Ổn định mũ một số lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến (LV01965)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ THU HỒNG

ỔN ĐỊNH MŨ MỘT SỐ LỚP
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát

Hà Nội - 2016


LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát, người
đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành
luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng Sau đại
học, cùng các thầy cô giáo dạy lớp thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học
tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong
quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Thị Thu Hồng


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát,
luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Ổn định mũ
một số lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến” được hoàn thành
bởi nhận thức của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

Nguyễn Thị Thu Hồng


MỤC LỤC

Mở đầu

4

Danh mục kí hiệu

6

1 Cơ sở toán học

1.1 Hệ phương trình vi phân . .
1.2 Bài toán ổn định . . . . . . .
1.2.1 Ổn định các hệ tuyến
1.2.2 Ổn định hệ phi tuyến
1.3 Các bổ đề cơ bản . . . . . .

. . .
. . .
tính
. . .
. . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

7
7
9
11
17
18

2 Ổn định mũ một số lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến 19
2.1 Ổn định hệ phương trình vi phân có nhiễu phi tuyến . . . . 19
2.2 Ổn định mũ một số lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến . 26
Kết luận

37

Tài liệu tham khảo

38


4

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

Lý thuyết ổn định đã và đang được quan tâm nghiên cứu một cách sâu
rộng và mạnh mẽ, và nó có nhiều ứng dụng quan trọng trong nhiều lĩnh
vực của toán học ứng dụng. Đặc biệt bài toán ổn định các hệ phi tuyến
đang là một bài toán khó và được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước
nghiên cứu, và cho đến nay đã nhận được được nhiều kết quả đặc sắc. Vì
tính quan trọng và ứng dụng của bài toán ổn định hệ phương trình phi
tuyến, tôi đã chọn đề tài: “Ổn định mũ một số lớp hệ phương trình
vi phân phi tuyến”.

2. Mục đích nghiên cứu
Giới thiệu các phương pháp hàm Lyapunov và các kết quả cơ sở về bài
toán ổn định mũ hệ phương trình vi phân phi tuyến.
Chứng minh chi tiết điều kiện đủ cho tính ổn định mũ của hệ phương
trình vi phân phi tuyến theo biến thời gian.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu cơ sở lý thuyết bài toán ổn định Lyapunov và các phương pháp
giải.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Các khái niệm ổn định, ổn định mũ, các phương pháp hàm Lyapunov.
Các điều kiện đủ cho tính ổn định mũ hệ phương trình phi tuyến.


5

5. Phương pháp nghiên cứu
- Lý thuyết phương trình vi phân
- Phương pháp đại số tuyến tính
- Lý thuyết ma trận

- Giải tích hàm

6. Đóng góp của đề tài
Trình bày cách giải bài toán ổn định Lyapunov cho một lớp hệ phương
trình vi phân phi tuyến với các chứng minh chi tiết và ví dụ minh họa.
Luận văn được chia làm 2 chương
Chương 1: Cơ sở toán học
Chương 1 trình bày các định nghĩa, các khái niệm cơ bản hệ phương
trình vi phân, tính ổn định hệ phương trình vi phân, một vài định lý cơ
bản về tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính, cùng một số bổ
đề kỹ thuật dùng trong chứng minh các định lý.
Chương 2: Ổn định mũ một số lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến
Chương này trình bày các điều kiện đủ về tính ổn định mũ của một hai
lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến: Phương trình vi phân có nhiễu phi
tuyến và phương trình vi phân phi tuyến bằng phương hàm Lyapunov.


6

DANH MỤC KÍ HIỆU

R

tập hợp các số thực;

R+

tập hợp các số thực không âm;

Rn

không gian Euclide n-chiều trên trường số thực;

AT

ma trận chuyển vị của ma trận A;

I

ma trận đơn vị;

λ(A)

tập tất cả các giá trị riêng của ma trận A;

λmin (A) phần thực nhỏ nhất giá trị riêng của ma trận A.


7

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ TOÁN HỌC

Chương này chuẩn bị kiến thức cơ sở cho chương 2, trước tiên là trình
bày về hệ phương trình vi phân, tiếp theo là bài toán ổn định hệ phương
trình vi phân và các bổ đề cơ bản. Nội dung của chương lấy từ các tài liệu
[1, 2, 5].

1.1

Hệ phương trình vi phân

Xét hệ phương trình vi phân



x˙ = f (t, x), t ∈ I = (a, b),


x(t0 ) = x0 ,

n

x∈R ,

(1.1)

t0 ≥ 0.

trong đó

f (t, x) : I × D → Rn , D = {x ∈ Rn :

x − x0 ≤ r}.

Nghiệm x(t) của phương trình vi phân (1.1) sẽ là hàm số khả vi liên tục
thỏa mãn
i) (t, x(t)) ∈ I × D,
ii) x(t) thỏa mãn phương trình vi phân (1.1).

Giả sử f (t, x) liên tục trên I × D, khi đó nghiệm x(t) cho bởi dạng tích
phân sau
t

x(t) = x0 +

f (s, x(s))ds.
t0


8

Định lý 1.1.1 (Định lý Picard- Lindeo¨lff). Xét hệ phương trình vi phân
(1.1), giả sử hàm f (t, x) : I × D → Rn là liên tục theo t và thỏa mãn điều
kiện Lipschitz theo x đều theo t :

∃K > 0 : f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ≤ K x1 − x2 ,

∀t ∈ I, ∀x1 , x2 ∈ D.

Khi đó với mỗi (t0 , x0 ) ∈ I × D sẽ tìm được số d > 0 sao cho hệ (1.1)
luôn có nghiệm duy nhất trên khoảng [t0 − d, t0 + d].
Trong luận văn này chúng tôi sẽ xét phương trình vi phân (1.1) trên
toàn nửa trục số [0, +∞), và do đó sẽ giả sử có các điều kiện cần thiết
trên hàm f (t, x) sao cho nghiệm của phương trình vi phân (1.1) được xác
định trên toàn nửa trục số [0, +∞).
Định lý 1.1.2 (Bất đẳng thức Gronwall). Giả sử u(t), a(t) là hai hàm
không âm xác định trên [t0 , ∞). Giả sử
t

u(t) ≤ C +

∀t ≥ t0 ≥ 0,

a(s)u(s)ds,
t0

trong đó C là hằng số không âm tùy ý. Khi đó nghiệm đúng bất đẳng thức
sau

t

a(s)ds

u(t) ≤ Ce

,

t0

∀t ≥ t0 .

Chứng minh.
Trước tiên ta chứng minh cho C > 0. Ta có

u(t)

≤ 1,

t

t ≥ t0 .

a(s)u(s)ds

C+
t0

Nhân hai vế của bất đẳng thức trên với a(t) ≥ 0 ta được

a(t)u(t)
t

C+

a(s)u(s)ds
t0

≤ a(t),

t ≥ t0 .


9

Vì

t

d

C+
dt

a(s)u(s)ds = a(t)u(t),
t0

nên sau khi lấy tích phân hai vế bất đẳng thức trên từ t0 đến t ta có
t

C+

a(s)u(s)ds
t0

ln

t

≤

C

a(s)ds.
t0

Vậy
t

u(t) ≤ C +

t

a(s)ds

a(s)u(s)ds ≤ Cet0

.

t0

Bây giờ nếu cho C → 0 thì rõ ràng điều khẳng định cũng đúng với C = 0.
Định lý được chứng minh.

1.2

Bài toán ổn định

Xét một hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân

x˙ = f (t, x),

t ≥ 0,
(1.2)

x(t0 ) = x0 ,
trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, f : R+ × Rn → Rn là hàm phi
tuyến cho trước. Giả thiết f (t, x) là hàm thỏa mãn các điều kiện sao cho
bài toán Cauchy của hệ (1.2) với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0,
luôn có nghiệm trên toàn nửa trục số [0, +∞). Khi đó dạng tích phân của
nghiệm được cho bởi công thức

t

x(t) = x0 +

f (s, x(s))ds.
t0

Ta có các định nghĩa sau


10

Định nghĩa 1.2.1. Nghiệm x(t) của hệ (1.2) gọi là ổn định nếu với mọi
số ε > 0, t0 ≥ 0 sẽ tồn tại số δ > 0 (phụ thuộc ε, t0 ) sao cho bất kỳ nghiệm

y(t), y(t0 ) = y0 của hệ thỏa mãn y0 − x0 < δ thì sẽ nghiệm đúng bất
đẳng thức

y(t) − x(t) < ε, ∀t ≥ t0 .
Định nghĩa 1.2.2. Nghiệm x(t) của hệ (1.2) gọi là ổn định tiệm cận nếu
nó ổn định và có một số δ > 0 sao cho với y(t) − x(t) < δ thì

lim y(t) − x(t) = 0.

t→∞

Nhận xét rằng bằng phép biến đổi




(x − y) → z


(t − t0 ) → τ
hệ phương trình (1.2) sẽ được đưa về dạng

z˙ = F (τ, z),

(1.3)

trong đó F (τ, 0) = 0 và khi đó sự ổn định của một nghiệm x(t) nào đó của
hệ (1.2) sẽ được đưa về nghiên cứu tính ổn định của nghiệm 0 của hệ (1.3).
Để ngắn gọn, từ nay ta sẽ nói hệ (1.3) là ổn định thay vì nói nghiệm 0 của
hệ là ổn định. Do đó từ bây giờ xét hệ (1.2) với giả thiết hệ có nghiệm 0,
tức là, f (t, 0) = 0, t ∈ R+ . Ta nói
- Hệ (1.2) là ổn định nếu với bất kỳ ε > 0, t0 ∈ R+ sẽ tồn tại số δ > 0
(phụ thuộc ε, t0 ) sao cho bất kỳ nghiệm x(t) : x(t0 ) = x0 thỏa mãn

x0 < δ thì x(t) < ε với mọi t ≥ t0 .
- Hệ (1.2) là ổn định tiệm cận nếu hệ là ổn định và có một số δ > 0 sao
cho nếu x0 < δ thì

lim x(t) = 0.

t→∞

Nếu số δ > 0 trong định nghĩa trên không phụ thuộc vào thời gian ban
đầu t0 thì tính ổn định (hay ổn định tiệm cận) được gọi là ổn định đều
(hay ổn định tiệm cận đều).

11

Định nghĩa 1.2.3. Hệ (1.2) là ổn định mũ nếu tồn tại các số M > 0,

δ > 0 sao cho mọi nghiệm của hệ (1.2) với x(t0 ) = x0 thỏa mãn
x(t) ≤ M e−δ(t−t0 ) x0 ,

∀t ≥ t0 .

Ví dụ 1.2.1. Xét phương trình vi phân

x(t)
˙
= ax,

t ≥ 0,

trong đó a ∈ R. Hệ có nghiệm với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 cho bởi

x(t) = x0 eat ,

t ≥ 0.

Dễ thấy hệ là ổn định nếu a = 0; ổn định tiêm cận (và ổn định mũ) nếu

a < 0.
1.2.1

Ổn định các hệ tuyến tính

Xét hệ tuyến tính

x(t)
˙
= Ax(t),

t ≥ 0,

(1.4)

trong đó A là (n × n)- ma trận. Nghiệm của hệ (1.4) xuất phát từ trạng
thái ban đầu x(t0 ) cho bởi

x(t0 ) = eA(t−t0 ) x0 ,

t ≥ 0.

Định lý 1.2.1. Hệ (1.4) là ổn định tiệm cận (và ổn định mũ) khi và chỉ
khi phần thực của tất cả các giá trị riêng của A âm, tức là

Re λ < 0,

∀λ ∈ λ(A).

Chứng minh.
Từ lý thuyết ma trận và theo công thức Sylvester áp dụng cho f (λ) = eλ ,
ta có

q

e

At

t

(Z1 + Z2 t2 + . . . + Zk tαk −1 )eλk ,

=
k=1


12

trong đó: λk là các giá trị riêng của A, αk là chỉ số mũ bội của các λk
trong phương trình đa thức đặc trưng của A. Zn là các ma trận hằng số
xác định bởi

n

Zn =

A − λj I
λ − λj
j=1,j=k k

Do đó ta có đánh giá sau
q
At

e

q

αk
i−1 Re λk t

≤

t

e

ti−1 eRe

Zk =

λk t

Zk .

k=1 i=1

k=1 i=1

Vì Re λk < 0 nên

αk

x(t) → 0 khi t → +∞.

Ngược lại nếu hệ là ổn định mũ, khi đó mọi nghiệm x(t), x(t0 ) = x0 của
hệ (1.4) thỏa mãn điều kiện

x(t) ≤ µ x0 e−δ(t−t0 ) ,

∀t ≥ 0,

(1.5)

với µ > 0, δ > 0 nào đó. Bây giờ giả sử phản chứng rằng có một λ0 ∈ λ(A)
sao cho Re λ0 ≥ 0. Khi đó với vectơ riêng x0 ứng với λ0 này ta có

Ax0 = λ0 x0 .
Và khi đó nghiệm của hệ với x0 (t) = x0 là x0 (0) = x0 eλ0 t , lúc này ta có

x0 (t) = x0 eRe

λ0 t

.

Vậy nghiệm x0 (t) → +∞ khi t → +∞, vô lý với điều kiện (1.5).
Định lý được chứng minh.
Ví dụ 1.2.2. Xét tính ổn định của hệ



x˙1 = −x1 + x2



x˙2 = x1 − 3x2
Giải.
Ta có phương trình đặc trưng

−1 − λ

1

1

−3 − λ

= λ2 + 4λ + 2 = 0


13

có các nghiệm sau đây λ = −2 ±

√

2

Tức là ta có các giá trị riêng có phần thực Re λ = −2 ±

√

2<0

Vậy hệ đã cho là ổn định mũ.
Theo định lý trên, muốn chứng minh hệ tuyến tính có ổn định hay không
ta cần tìm nghiệm của đa thức đặc trưng hay giá trị riêng của ma trận A
của hệ. Đôi khi việc tìm nghiệm của đa thức đặc trưng gặp khó khăn, để
xác định tính ổn định của hệ thuận tiện hơn ta sử dụng một phương pháp
khác của Routh-Hurwitz được nêu ở định lý sau.
Định lý 1.2.2. Giả sử đa thức đặc trưng mà phương trình vi phân (1.4)
đã cho là

f (z) = z n + a1 z n−1 + . . . an .
Khi đó, nếu định thức tất cả các ma trận con Dk , k = 1, 2, . . . , n là dương
thì phần thực của tất cả các nghiệm của f (z) là âm, tức là hệ ổn định tiệm
cận, trong đó


detD1 = a1 , detD2 = det 






detDk = det 






a1 a3
1 a2



,

a1 a3 a5 . . . a2k−1 

1 a2 a4 . . . a2k−2 


0 a1 a3 . . . a2k−3 
 , k = 2, 3, . . . n.

... ... ... ... ... 


0 0 0 . . . ak

và ar = 0, nếu r > n.
Ví dụ 1.2.3. Xét tính ổn định của hệ phương trình vi phân

x(4) + 3x(3) + 7x(2) + 2x˙ + 4 = 0.
Giải.


14

Ta có phương trình đặc trưng là

f (λ) = λ4 + 3λ3 + 7λ2 + 2λ + 4.
Khi đó,

detD1 = 3 > 0,

detD2 =

3 2

= 19 > 0,

1 7
3 2 0 0
3 2 0
detD3 = 1 7 4 = 2 > 0,

detD4 =

1 7 4 0

= 8 > 0.

0 3 2 0
0 3 2
0 0 0 4
Hệ đã cho là ổn định tiệm cận.
Một phương pháp khác giải bài toán ổn định cho hệ tuyến tính là phương
pháp dựa trên phương trình Lyapunov:

AT X + XA = −Y
trong đó X, Y là các ma trận (n × n) chiều và gọi là cặp nghiệm của
phương trình trên.
Ta có định lý sau
Định lý 1.2.3. Ma trận A là ổn định khi và chỉ khi phương trình Lyapunov
có cặp nghiệm X, Y là các ma trận đối xứng, xác định dương.
Chứng minh.
Giả sử phương trình Lyapunov có nghiệm là ma trận X > 0 với Y > 0.
Với x(t) là một nghiệm tùy ý của (1.4) với x(t0 ) = x0 , t0 ∈ R+ , ta xét
hàm số

V (x(t)) = Xx(t), x(t) ,

∀t ≥ t0 .


15

Ta có

d
V (x(t)) = X x,
˙ x + Xx, x˙
dt
= (XA + AT X)x, x
= − Y x(t), x(t) .
Do đó

t

V (x(t)) − V (x(t0 )) = −

Y x(s), x(s) ds.
t0

Vì X là xác định dương nên V (x(t)) ≥ 0, với mọi t ≥ t0 và do đó
t

Y x(s), x(s) ds ≤ V (x0 ) = Xx0 , x0 .
t0

Mặt khác, vì Y là xác định dương nên tồn tại số α > 0 sao cho

Y x, x ≥ α x 2 ,
do đó

∀x ∈ Rn ,

t

x(s) 2 ds ≤

Xx0 , x0
.
α

t0

Cho t → +∞ ta được
+∞

x(s) 2 ds ≤ +∞.

(1.6)

t0

Ta sẽ chứng minh rằng Re λ < 0 với mọi λ ∈ λ(A). Thật vậy giả sử có
một số λ0 ∈ λ(A) mà Re λ0 ≥ 0. Lấy x0 ∈ Rn ứng với giá trị riêng λ0 này
thì nghiệm của hệ (1.4) sẽ cho bởi x1 (t) = eλ0 t x0 và do đó
+∞

+∞

x1 (t) 2 dt =
t0

e2Re

λ0 t

x0 2 dt = +∞,

t0

vì Re λ > 0, vô lý với điều kiện (1.6).
Ngược lại, giả sử A là ma trận ổn định, tức là, Re λ < 0 với mọi λ ∈ λ(A).


16

Với bất kỳ ma trận Y đối xứng xác định dương, xét phương trình ma trận
sau đây



˙
Z(t)
= AT Z(t) + Z(t)A,

t ≥ t0 ,

(1.7)



Z(t0 ) = Y.
Nhận thấy hệ trên có một nghiệm riêng là
T

Z(t) = eA t Y eAt .
Đặt
t

X(t) =

Z(s)ds.
t0

Vì A là ma trận ổn định nên dễ dàng kiểm tra được rằng tích phân

∞

Z(s)ds < ∞,

X=
t0

là xác định và do Y là đối xứng nên X cũng là đối xứng. Mặt khác, lấy
tích phân hai vế phương trình (1.7) từ t đến t0 ta có

Z(t) − Y = AT X(t) + X(t)A,

∀t ≥ t0 .

Cho t → +∞ để ý rằng khi đó Z(t) → 0 và vì A là ổn định nên ta được

−Y = AT X + XA
hay là, các ma trận đối xứng X và Y thỏa mãn phương trình Lyapunov.
Ta chỉ còn chứng minh X là ma trận xác định dương. Thật vậy, ta có
∞
T

Y eA t x, eAt x dt.

Xx, x =
t0

Do Y > 0 và eAt là không suy biến nên

Xx, x > 0,

Định lý được chứng minh.

x = 0.


17

1.2.2

Ổn định hệ phi tuyến

Để giải các bài toán ổn định các hệ phương trình vi phân phi tuyến,
nhà toán học Lyapunov đã đưa ra hai phương pháp:
- Phương pháp thứ nhất: Nội dung chính của phương pháp này là nghiên
cứu tính ổn định thông qua số mũ Lyapunov hoặc thông thường hơn
dựa trên hệ xấp xỉ tuyến tính. Phương pháp này đòi hỏi tính khả vi
liên tục của hàm vế phải.
- Phương pháp thứ hai: Phương pháp này dựa vào sự tồn tại của một
lớp hàm trơn đặc biệt gọi là hàm Lyapunov mà tính ổn định của hệ
được thử trực tiếp qua dấu của đạo hàm theo vế phải của hệ đã cho.
Song việc tìm kiếm hàm Lyapunov trơn này lại khá phức tạp và khó
khăn.
Hàm Lyapunov. Xét hệ phương trình phi tuyến dừng

x(t)
˙
= f (x), f (t, 0) = 0,

t ∈ R+ .

(1.8)

Hàm V (x) : Rn → R là xác định dương nếu
i) V (x) ≥ 0 với mọi x ∈ Rn ,
ii) V (x) = 0 khi và chỉ khi x = 0.
Định nghĩa 1.2.4. Hàm V (x) : Rn → R gọi là hàm Lyapunov của hệ
(1.8) nếu V (x) là hàm khả vi liên tục trên Rn và
i) V (x) là hàm xác định dương,

∂V
f (x) ≤ 0, ∀x ∈ Rn .
∂x
Hàm V (x) gọi là hàm Lyapunov chặt nếu nó là hàm Lyapunov và thêm
ii) Df V (x) :=

vào đó, bất đẳng thức trong điều kiện ii) là thực sự âm, với mọi x nằm
ngoài một lân cận 0 :
iii) ∃c > 0 : Df V (x) ≤ −c||x||2 ,

x ∈ Rn \{0}.


18

Định lý sau cho ta biết điều kiện đủ để hệ (1.8) là ổn định tiệm cận với sự
tồn tại của hàm Lyapunov.
Định lý 1.2.4. Nếu hệ (1.8) có hàm Lyapunov thì ổn định. Hơn nữa, nếu
hàm Lyapunov đó là chặt thì hệ là ổn định tiệm cận đều.

1.3

Các bổ đề cơ bản

Bổ đề 1.3.1 (Bổ đề Schur). Cho các ma trận hằng số, đối xứng X, Y
trong đó Y > 0 và ma trận Z . Khi đó X + Z T Y −1 Z < 0 khi và chỉ khi


T
X Z

 < 0.
Z −Y
Bổ đề 1.3.2 (Bất đẳng thức ma trận Cauchy). Cho S ∈ Rn×n là một ma
trận đối xứng, xác định dương. Khi đó, mọi ma trận Q ∈ Rn×n , ta có

2 Qy, x − Sy, y ≥ QS −1 QT x, x , ∀x, y ∈ Rn .


19

CHƯƠNG 2

ỔN ĐỊNH MŨ MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN PHI TUYẾN

Chương này trình bày các điều kiện đủ cho tính ổn định mũ cho hai lớp
phương trình vi phân phi tuyến: phương trình vi phân có nhiễu phi tuyến
và phương trình vi phân phi tuyến. Nội dung chương này được trình bày
từ tài liệu [4].

2.1

Ổn định hệ phương trình vi phân có nhiễu phi tuyến

Xét hệ phương trình vi phân có nhiễu phi tuyến dạng:

x˙ = Ax(t) + g(x(t)),

t ≥ 0,

(2.1)

trong đó x(t) ∈ Rn , A ∈ Rn×n là ma trận hằng số cho cho trước,

g(x) : Rn → Rn là hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện
∃M > 0 :

g(x) ≤ M x ,

∀x ∈ Rn .

Giả sử A là ma trận ổn định mũ, t.l. thỏa mãn điều kiện:

eAt ≤ Ke−δt ,

∀t ≥ 0.

Ta có định lý sau cho điều kiện đủ để hệ là ổn định mũ.
Định lý 2.1.1. Giả sử A là ma trận ổn định mũ. Khi đó hệ (2.1) là ổn
định mũ nếu:

M<

δ
.
K

(2.2)


20

Chứng minh.
Nghiệm của hệ (2.1) với điều kiện ban đầu x(0) = x0 là:
t
At

eA(t−s) g(x(s))ds.

x(t) = e x0 +
0

Vì A là ma trận ổn định nên theo điều kiện trên ta có các số K > 0, δ > 0
sao cho

eAt ≤ Ke−δt ,

∀t ≥ 0.

Do đó ta có đánh giá sau:

t

x(t) ≤ Ke−δt x0 +

Ke−δ(t−s) g(x(s)) ds

0
−δt

≤ Ke

t

x0 + KM

e−δ(t−s) (x(s)) ds.

0

Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, Bổ đề 1.3.2 với u(t) = e−δt (x(t)) , ta
có:

x(t) ≤ KM x0 e−δt

t
0 Kds

= K x0 e(KM −δ)t ,

∀t ≥ 0.

Từ đó suy ra nếu điều kiện (2.2) thỏa mãn thì KM − δ < 0 và do đó ta
có đánh giá mũ của nghiệm x(t) và kết luận hệ là ổn định mũ.
Ví dụ 2.1.1. Xét tính ổn định của hệ phương trình vi phân có nhiễu phi
tuyến



x˙ 1 (t) = −x1 (t) + x21 (t) sin2 t

(2.3)



x˙ 2 (t) = −2x2 (t) + x22 (t) cos2 t,

t ≥ 0.

Giải.
Ta có:


−1 0
,
A=
0 −2



x21 sin2 t



.
g(x) = 
2
2
x2 cos t

Vì A là ma trận ổn định : λ(A) = −1, −2. Hơn nữa ta có:

g(x) ≤

x41 + x42 ≤ x2 ,


21

vì

2
δ
= = 2,
K
1
nên hệ (2.3) theo Định lý 2.1.1 là ổn định mũ.
M =1≤

Định lý sau đây cho điều kiện đủ để hệ phi tuyến không ôtônôm có
nhiễu phi tuyến:

x˙ = A(t)x(t) + g(t, x(t)),

t ≥ 0,

(2.4)

là ổn định mũ.
Trước tiên ta giả sử có các điều kiện sau:
(a)

∃K > 0, δ > 0 :

Φ(t, s) ≤ Ke−δ(t−s) ,

∀t ≥ s ≥ 0,

(b)

∃L(.) : R+ → R+ : g(t, x) ≤ L(t) x ,

∀t ≥ 0, x ∈ Rn ,

(c)

sup |L(t)| ≤
t∈R+

δ
,

K

trong đó Φ(t, s) là ma trận nghiệm cơ bản của phương trình vi phân tuyến
tính thuần nhất

x(t)
˙
= A(t)x(t),

t ≥ 0.

Nhắc lại rằng ma trận nghiệm cơ bản của phương trình tuyến tính thuần
nhất trên được tìm bởi nghiệm Φ(t, s) của phương trình vi phân ma trận
sau:

˙ s) = A(t)Φ(t, s),
Φ(t,

t ≥ s ≥ 0,

Φ(s, s) = I.
Định lý 2.1.2. Giả sử các điều kiện (a), (b), (c) thỏa mãn. Khi đó hệ
(2.4) là ổn định mũ.


22

Chứng minh.
Bằng lập luận tương tự như chứng minh định lý trước ta nhận được
đánh giá sau:

−δt

x(t) ≤ Ke

t

x0 +

Ke−δ(t−s) L(s) x(s) ds.

0

Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, Bổ đề 1.3.2 với u(t) = e−δt (x(t)) , ta
có:
K 0t L(s)ds

x(t) ≤ K x0 e−δt

,

do đó ta có

x(t) ≤ K x0 e(KM −δ)t ,
Vì M <

δ
K,

∀t ≥ 0.

nên hệ là ổn định mũ.

Nhận xét rằng, ta có thể thay điều kiện (c) bằng điều kiện khác:
∞

L(s)ds < +∞.
0

Bằng cách sử dụng phương pháp hàm Lyapunov, định lý sau cho ta điều
kiện đủ khác về ổn định mũ của hệ phi tuyến có nhiễu

x(t)
˙
= Ax(t) + f (x(t)),

t ≥ 0,

dưới dạng nghiệm của bất đẳng thức ma trận tuyến tính.
Giả sử hàm phi tuyến f (t, x) thỏa mãn điều kiện tăng trưởng sau:

∃a > 0 : f (x) ≤ a x 2 ,

∀x ∈ Rn .

(2.5)

Định lý 2.1.3. Giả sử điều kiện (2.5) thỏa mãn. Khi đó hệ (2.4) là ổn
định mũ nếu tồn tại ma trận đối xứng, xác định dương P > 0 là nghiệm
của bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau:



T
2
A P + PA + a I P
 < 0.
M =
P
−I

(2.6)


23

Chứng minh.
Xét hàm Lyapunov dạng:

V (x(t)) = P x(t), x(t) .
Ta có ngay:

V (x) ≥ λmin (P ) x 2 .
Vì P > 0 và đối xứng nên λmin (P ) > 0, ta có
a
V (x).
−a x 2 ≤−
λmax (P )
Lấy đạo hàm của V (x(t)) theo t ta có

V˙ (x(t)) = 2 P x(t),
˙

x(t) = 2P Xx(t), x(t) + 2 P f (.), x(t)
= (AT P + P A)x(t), x(t) + 2 P f (.), x(t) .
Theo điều kiện tăng trưởng (2.5) của hàm f (.) ta có

− f (x), f (x) + a2 x, x ≥ 0,
do đó ta có đánh giá sau là đúng:

V˙ (x(t)) ≤ (AT P + P A)x(t), x(t) + 2 P f (.), x(t)
− f (x(t)), f (x(t)) + a2 x(t), x(t) .
Đặt y(t) = [x(t), f (x(t))]T , ta có:

(AT P + P A)x(t), x(t) + 2 P f (.), x(t) − f (x(t)), f (x(t))
+a2 x(t), x(t) = y(t)T M y(t),
trong đó


T
2
A P + PA + a I P
.
M =
P
−I
Vì vậy ta nhận được đánh giá đúng sau:

V˙ (x(t)) ≤ y(t)T M y(t).

(2.7)

24

Theo giả thiết M < 0, ta sẽ tìm được số dương α > 0 sao cho

M y, y ≤ −α y 2 .
Kết hợp với bất đẳng thức đã chứng minh được (2.2), ta nhận được bất
đẳng thức đúng sau:

V˙ (x(t)) ≤ −α y(t) 2 .
Vì y(t) ≥ x(t)

2

nên ta có

V˙ (x(t)) ≤ −α x(t)

2

≤−

a
V (x).
λmax (P )

Lấy tích phân hai vế bất đẳng thức trên theo t từ 0 đến t ta được
a

V (x(t)) ≤ V (x(0))e− λmax (P ) t ,

∀t ≥ 0.

Vì

V (x(0)) = P x(0), x(0) ≤ λmax (P ) x(0) 2 ,
ta có
a

V (x(t)) ≤ λmax (P )e− λmax (P ) t x(0) 2 ,

∀t ≥ 0,

điều này chứng minh tính ổn định mũ của hệ (2.4).
Ví dụ 2.1.2. Xét hệ:


1

x˙ 1 = −2x1 + x21 cos2 t
4

1

x˙ 2 = −x1 − 3x2 + x22 sin2 t,
4
Ta có

(2.8)

t ≥ 0.


1 2
2


 4 x1 cos t 


−2 0
.
 , f (x) = 
A=


 1

−1 −3
2
2
x sin t
4 2
Ma trận A là ổn định vì λ(A) = −2, −3. Hơn nữa ta có,


1
1
f (x) = (x41 cos4 t + x42 sin4 t)1/2 ≤ x 2 ,
4
4

∀x ∈ R2 .