GIÁO ÁN CASIO HAY CÓ BỔ SUNG CHỈ CẦN IN RA DẠY

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP.
Chuyên đề 1: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ HỌC
Dạng 1: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC
Bài 1: Thực hiện phép tính :
4
2 4
0,8 : ( .1,25) (1,08 − ) :
5
25 7 + (1,2.0,5) : 4 .
+
A=
1
5
1
2
5
0,64 −
(6 − 3 ).2
25
9
4 17
Hướng dẫn
4
1
Ấn ( 0,8 : ( .1,25) ) : (0,64 ) = SHIFT STO A.
5
25
2
4

5
1
2
Ấn tiếp ( (1,08 ) : ) : ( 6 −3 ):2
= SHIFT STO B.
25
7
9
4
17
4
Ấn tiếp 1,2 . 0,5 : = + ALPHA A + ALPHA B = KQ:2,333333333
5
Bài 2: Thực hiện phép tính
1 1
1+ .
1,5
1
2 0,25
1
+ +
50 4
46
B = 6 : - 0,8 : 3
.
.0,4.
6−
3
1
2

1 + 2,2.10
1:
2
Hướng dẫn
3
1
Ấn 1,5 : ( .0,4.50 : (1: )) = SHIFT STO A.
2
2
1 1
46
) : (6 −
) = SHIFT STO B.
Ấn tiếp (1 + .
2 0,25
1 + 2,2.10
1
1
Ấn tiếp 6 : − 0,8 = : ALPHA A + ALPHA B + = KQ : 173
3
4
Bài 3: Tính:
1 1 1
2 2 2 

2+ + +
 1+ + +
 91919191
3
9

27
3
9
27
×
:
a) M = 182 × 
 4 − 4 + 4 − 4 1 − 1 + 1 − 1  80808080


7 49 343
7 49 343 

5
5
5
10 10
10 

5+ +
−
10 +
+
−

 434343
187
17
89
113

23
243
611

×
×
:
b) N =
11
11
11
3
3
3
129  11 + +
 515151
−
3+
+
−


17 89 113
23 243 611 


Trang 1

Giáo viên: Mai Văn Dũng

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH



4
4
4
4
+
+
+
.....
+

÷ 201120112011
63
399
÷.
d/ P =  2 15 35
2
2
2
201220122012
 3 + 3 + 3 + ... + 3 ÷
÷
39400 
 8.11 11.14 14.17
281
1

KQ: M = 25
N=
P ≈ 1,58651267
320
6
1212....12
14 2 43
12 1212 121212
2012
+
+
+
....
+
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức: A =
13 1313 131313
1313....13
14 2 43
2012

Hướng dẫn
12 12 12
12 2012.12 24144
+ + + .... +
=
A = 13 13 13
=
1 4 4 4 2 4 4 4 13
3
13

13
2012

Bài 5 : Tính giá trị của một biểu thức:
A = 321930 + 291945 + 2171954 + 3041975
B=

20052006 + 20062007 + 20072008 + 20082009 + 20092010

C=

2006 + 2006 + 2006 + 2006 + 2006 + 2006......

D=

2006 2006 2006 2006 2006 2006......
KQ : A = 567,86590 , B = 4478,4468, C = 45,29118217, D = 2006
A= 2006 : B=2006.A: A= B ======
Bài 6: Lập quy trình bấm phím tính giá trị của mỗi biểu thức sau:
P=

2013

2012 +

2012

2011 +

2011

2010 + ......... + 1993 1992 + 1992 1991 + 1991 1990

Giải
Quy trình ấn phím :
Gán: D = 1989, A = 0
Ghi vào màn hình: D D+1 A= D +1 D + A
Ấn dấu
liên tiếp cho đến khi D = 2012, ấn
≈
Vậy P 1,003786277

Q=

2013

2012

2012

2011

2011

2010..........1993 19921992 19911991 1990

Giải
Quy trình ấn phím :
Gán: D = 1989, A = 1
Ghi vào màn hình: D D+1 A D +1 D. A

Ấn dấu
liên tiếp cho đến khi D = 2012, ấn
Trang 2

được A =1,003786277

được A = 1,003787915
Giáo viên: Mai Văn Dũng


BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH

Vậy Q ≈ 1,0037915
BÀI TÂP TỰ GIẢI
1.
Tìm gần đúng đến 4 chữ số thập phân

9 8 7 4 3 2
9 8 7... 4 3 2
2.

Tính giá trị biểu thức
3

4

2 + 3 + 4 + 5 5 + ... + 8 8 + 9 9
3.

Tính giá trị biểu thức

3

4

2 − 3 + 4 − 5 5 + ... + 8 8 − 9 9
4.

Tính giá trị biểu thức (gần đúng đến 6 chữ số thập phân)
1 − 2 + 3 3 − 4 4 + 5 5 − 6 6 + 7 7 − 8 8 + 9 9 − 10 10

Dạng 2: TÌM x THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Bài 1: Tìm x biết:

2+ 3
1− 6
3 − 7 15 − 11
x−
(x −
)=
3− 5
3+ 2
4− 3
2 3 −5

Hướng dẫn
Qui trình ấn phím:
2+ 3
3− 7
15 − 11
1− 6

Gán: A =
B=
C=
D=
3− 5
4− 3
2 3 −5
3+ 2
Ghi vào màn hình: Ax – B(x – C)
D
Ấn: SHIFT SOLVE
Máy hiện: A? ấn ALPHA A
X? ấn
(bỏ qua)
B? ấn ALPHA B
C? ấn ALPHA C
D? ấn ALPHA D
D? ấn
X? ấn SHIFT SOLVE , Kết quả: x = - 1,4492
Bài 2: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình:
5− 2
2
7 + 11 
13
5− 3
x−
x+

÷=
3  7+ 3

5
7 −3
5− 7

Kquả: x ≈0,142313
Bài 3: Cho phương trình:
1
 1
 1

14 −  49 :16 − 14 :8 ÷ 4,85 −  3 + 1,105 ÷
6
 3
 8
 = 2010
×
. Giải phương trình (chính xác
17  59 37
19 
x
2011
1 : 1 +
+2 ÷
18  70 42
30 
đến 6 chữ số thập phân, ghi kết quả dưới dạng phân số tối giản).

Trang 3

Giáo viên: Mai Văn Dũng

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH

198431403
9192400
Bài 4: Tính giá trị của x từ các phương trình sau:
3 4
1

 4
0
,
5
−
1
×
x
−
1
,
25
×
1
,
8
:
+
3






 7
7 5
2
3





= 5,2 :  2,5 − 
a)
3  1
3
4


15,2 × 3,15 − :  2 × 4 + 1,5 × 0,8 
4  2
4

[ ( 0,152 + 0,352 ) : ( 3x + 4,2) ] ×  3 + 2 × 4  1
 4 3 5  = 3 : (1,2 + 3,15)
b)
2 3 
12 
2

12,5 − × : ( 0,5 − 0,3 × 0,75) : 
7 5 
17 
KQ a/ x ≈ -903, 4765135b/ x ≈ -1, 39360764
Bài 5: Tìm x và làm tròn đến 4 chữ số thập phân:
1
1
1 
 1
+
+
..... +
a/ 
÷× 140 + 1,08 : [ 0,3 × ( x − 1) ] = 11
29.30 
 21.22 22.23 23.24
1
3  1
 

x
−
4
:
0
,
003
0
,
3

−



 ×1

1
2
20  2 


 : 62 + 17,81 : 0,0137 = 1301
−
b/ 
20
  3 1 − 2,65  × 4 : 1 1,88 + 2 2  × 1 




  20
5 
35  8 

KQ: x =1,4 KQ:x ≈ 6, 000 172 424
Bài 6: Tìm số hữu tỷ x biết :
5
5
5
10 10

10 

5+ +
−
10 +
+
−

12345679
17 89 113 :
23 243 611 ÷ = 434343
× x −
11 11 11
3
3
3 ÷ 515151
333333333 
÷
11 + +
−
3+
+
−
17 89 113
23 243 611 

KQ: x ≈ - 9,7925
Dạng 3 TÍNH TỔNG CÁC CHỮ SỐ CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN
14 2 43 ( n chữ số 9)
Bài 1: Hãy tính tổng các chữ số của A2 biết A = 999....99

KQ: a/ x ≈ 21,586463 , b/ x =

n

Hướng dẫn
Ta có: A2 = A2 - 1 + 1 = (A - 1)(A+1) +1
14 2 43 14 2 43
= 999.....998000...001
n −1

n

Vậy tổng các chữ số của A2 là (n - 1).9 +8 +1 = 9n
Bài 2: Cho số B = 999……99 (có 2015 số 9). Hãy so sánh tổng các chữ số của B và
tổng các chữ số của B2.
Hướng dẫn
Ta có: B= 999…..99 (có 2015 số 9).
Suy ra tổng các chữ số của B là: 2015.9 (1)
Ta lại có: B2 = B2 – 1 + 1
= ( B+1)( B - 1) + 1
Trang 4

Giáo viên: Mai Văn Dũng


BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH

14 2 43 + 1)(9999.....9
14 2 43 − 1) + 1
= (9999.....9

2015

2015

14 2 43 14 2 43 + 1
= 10000...00.999.....98
2015

2014

14 2 43 14 2 43 + 1
= 999....998000.....00
2014

2015

Tổng các chữ số của B2 là: 2014.9 + 8.+1= 2015.9 (2)
Từ (1) và (2) suy ra tổng các chữ số của B và tổng các chữ số của B2 bằng nhau.
Tương tự:
1/ Cho S(a) là tổng các chữ số của số a. Cho a = 9999..998 ( có 2011 chữ số 9). Hãy
tính S(a2)
Hướng dẫn
Ta có: a2 = a2 – 4 + 4 = (a + 2)(a - 2) + 4
14 2 43
14 2 43 + 4
= 999....996.1000...00
2011

2011

1 2 3 14 2 43 + 4
= 999...96000....00
2011

2011

Vậy S(a2) = 9.2011 + 6 + 4 = 18109
2/ Cho a là số tự nhiên được viết là 223 chữ số 9. Hãy tính tổng các chữ số của n với n
= a2 + 2010
Hướng dẫn
14 2 43
Ta có: a = 999....99
223

2

n = a + 2010 = a2 – 1 + 2011 = (a - 1)(a + 1) + 2011
123
14 2 43 + 2011
= 999...98.1000...00
222

223

Vậy tổng các chữ số của n là: 222.9 + 2 + 1 + 1+ 8 = 2010
Dạng 4: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA DÃY SỐ THEO QUI LUẬT
Bài 1: Cho Sn = 1.2 + 2.3 + 3.4 + …………. + n(n+1)
a/ Tìm công thức tính Sn
b/ Tính S100 và S2009
Hướng dẫn

a/ Tìm công thức tính Sn
Ta có: 3.1.2 = 1.2.3 – 0.1.2
3.2.3 = 2.3.4 – 1.2.3
3.3.4 = 3.4.5 – 2.3.4
………………………………..
3.n.(n+1) = n(n+1)(n+2) – (n-1)n(n+1)
Suy ra 3.Sn = n(n+1)(n+2)
n(n + 1)(n + 2)
Vậy Sn =
3
Bài 2:Cho Sn = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + …………. + n(n+1)(n+2)
a/ Tìm công thức tính Sn
b/ Tính S2012
Hướng dẫn
a/ Tìm công thức tính Sn
Trang 5

Giáo viên: Mai Văn Dũng


BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH

Ta có: 4.1.2.3 = 1.2.3.4 – 0.1.2.3
4.2.3.4 = 2.3.4.5 – 1.2.3.4
4.3.4.5 =3.4.5.6 – 2.3.4.5
………………………………..
4.n.(n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)(n+3) – (n-1)n(n+1)(n+2)
Suy ra 4.Sn = n(n+1)(n+2)(n+3)
n(n + 1)(n + 2)( n + 3)
Vậy Sn =

4
b/ S100 = 4109095895190
Tương tự:
1/Cho Sn = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + …………. + n(n+1)(n+2). Tính S2009, S2011
Kết quả: S2009 = 4087371731776
S2011 = 4100938881006
2/ Tính giá trị biểu thức: A=1.2.3 + 2.3.5 + 3.4.7...+ 2010.2011.4021
Hướng dẫn
2010

Ghi vào màng hình: ∑ X ( X + 1)(2 X + 1) Ấn
1

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức: S = 23 - 43 + 63 - 83 +….+ 20123
Hướng dẫn
1006

Ghi vào màn hình:

∑ (−1)

x +1

(2 X )3 = - 4072429846

1

Bài 4: Tính giá trị của biểu thức: S = 13 – 33 + 53 – 73 +…..+ 20113
Hướng dẫn
1005

Ghi vào màn hình:

∑ (−1) (2 X + 1)
x

3

0

Bài 5: Cho dãy số Un =
U10, U15, U20.
Hướng dẫn

1 2 3
n
+ + + ........ +
. Lập quy trình ấn phím tính U n. Tính
2 3 4
n +1
X

Cách 1: Ghi vào màn hình

X

∑ X + 1 Ấn CALC với X = 10, 15, 20.
1

Cách 2: Gán X = 0; C = 0

X
.Ấn dấu
liên tục tìm Un.
X +1
1 2 3
19
Tương tự: Cho biểu thức M = + + + .... +
và M + N = 19. Tính N. (Trích đề
2 3 4
20
thi học sinh giỏi trên máy tính Casio quận 12 năm 2013-2014 )
Hướng dẫn
19
X
Ta có: N = 19 – M = 19 – ∑
= 2,597739657
X
+
1
1
Bài 6: Tính giá trị gần đúng ( chính xác đến 4 chữ số thập phân ) biểu thức sau:
12 3
32 3
52 3
57 2 3
A = (1 −
) + (2 −
) + (3 −
) + ... + (29 −
)

2.3
4.5
6.7
58.59
Ghi vào màn hình: X

Trang 6

X+1

C

C+

Giáo viên: Mai Văn Dũng


BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH

Hướng dẫn
Quy trình ấn phím:
Gán A = 0 X = 0
(2 X − 1) 2
Ghi vào màn hình: X X + 1 A
A+(X–
)
2 X (2 X + 1)
Ấn dấu = liên tiếp đến X = 29 thì dừng. Kết quả: A ≈ 166498,7738
Tương tự: Tính giá trị gần đúng (chính xác đến 4 chữ số thập phân) biểu thức sau:
530

2 3
5 3
10 3
17 3
A= (1) +( 3 −
) +(5) + (7) +...+ (45 )3
1.2.3
2.3.4
3.4.5
4.5.6
23.24.25
Hướng dẫn
29
X 2 +1
)3 ) Kết quả: 55662,0718
Khai báo : ∑ ((2 X − 1 −
x =1
X ( X + 1)( X + 2)
12
32
52
292
Bài 7: Tính tổng: B = 3
+
+
+ ... + 3
.
1 + 23 23 + 33 33 + 43
15 + 163
Hướng dẫn

Gán: A = 0; B = 1; C = 2; X = 0 ( Biến đếm)
D= (số hạng )
E = 1/9 (tổng)
Ghi vào màn hình:
X
X+1 A
2X+1 B
B+1
2
3
3
C
C+1 D
A
(B +C )
E
E+D
Bấm
liên tục đến khi A = 29 thì E là kết quả tương ứng
Đáp số: B = 2,6943577288
15
 (2 x − 1) 2 
Cách 2: Sử dụng công thức ∑  3
3  kết quả: B = 2,6943577288
x =1  x + ( x + 1) 
1
1
1
1
Bài 8: Cho dãy số un = ( 1 – )( 1 – )( 1 – )……( 1 – n ) . Tính u5; u10; u15

8
2
4
2
Hướng dẫn
Gán X = 0 A = 1
1
Ghi vào màn hình: X
X +1 A
A.( 1 – X )
2
Ấn dấu = liên tục tìm un
9765
Kết quả: u5 =
, u10 = 0,2890702984, u15 = 0,2887969084, u20 = 0,2887882705,
32768
Dạng 5: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA DÃY LŨY THỪA THEO QUI LUẬT
GHI NHỚ:
n(n + 1)(2n + 1) n 2
2
2
2
2
2
= ∑x
1/ 1 + 2 +3 +4 +……+ n =
6
1
2n(n + 1)(2n + 1) n
2

2
2
2
2
= ∑ (2 x)2
2/ 2 +4 +6 + 8 +….+ (2n) =
3
1

Trang 7

Giáo viên: Mai Văn Dũng


BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH

n(4n 2 − 1) n
= ∑ (2n − 1) 2
3/ 1 + 3 + 5 +7 +….+ (2n – 1) =
3
1
2
2
n
n ( n + 1)
2
3
3
3
3

3
= (1 + 2 + 3 + .. + n) = ∑ x 3
4/ 1 + 2 + 3 + 4 +….+ n =
4
1
B/ BÀI TOÁN:
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức: M = 1+ 4 + 9 + 16 + …. + 20102
Hướng dẫn
2

2

2

2

2

2010
2

2

2

2

2

M = 1 + 2 + 3 +4 + …. + 2010 =

∑X

2

Ấn = kết quả M = 2708887385

1

n(n + 1)(2n + 1)
= 2708887385
6
Bài 2: Cho Sn = 13 + 23 + 33 + 43 +….+ n3. Tính S30.
Hướng dẫn
M=

30

3

3

3

3

3

Cách 1: Sn = 1 + 2 + 3 + 4 +….+ n =

∑X

3

Ấn dấu = Kết quả Sn = 216225.

1

n 2 ( n + 1) 2
Cách 2: Sn =
= (1 + 2 + 3 + .. + n) 2
4
Cách 3: Lập quy trình ấn phím:
Gán D = 1 (biến đếm), A = 13 (Số hạng)
Ghi vào màn hình: D
D+1 A
A + D3
Ấn dấu
Kết quả: Sn = 216225
Bài 3: Tính M = 20013 + 20023 + 20033 + …. + 20123
Hướng dẫn
Gán D = 2001; A = 20013
Ghi vào màn hình D
D + 1 A A + D3
Ấn dấu = Kết quả M = 72541712025
Bài 4: Tìm hai chữ số tận cùng của tổng S = 1 + 3 + 32 + 33 + ….+330
Hướng dẫn
331 − 1
Cách 1: S =
=3,088366981.1014

2
Ấn tiếp: Ans – 3,08836698.1014 = 308836698141973
30

Cách 2:

∑ (1 + 3

X

)

3,088366981.1014

1

Tương tự:
1/ Tính tổng
20

Ta ghi vào biểu thức vào máy

∑X

3

và ấn

0

Ta được kết quả là 52301176601
2/ Cho A = 412 + 432 + 452+…….+1412 và B = 413 + 433 + 453+…….+1413
Tính : A2 ; A.B .
Hướng dẫn
KQ: A2 = 217651173961 và A.B = 23559190814991
Trang 8

Giáo viên: Mai Văn Dũng


BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH

Dạng 6: DÃY PHÂN SỐ THEO QUI LUẬT
A/ GHI NHỚ:
1
1
1
= −
1/
=
n(n + 1) n n + 1
2/

n

1

∑ n(n + 1)
1


1
1 1
1
= 
−
n(n + 1)(n + 2) 2  n(n + 1) (n + 1)(n + 2) 


1
1
1
1
= 
−
n(n + 1)(n + 2)( n + 3) 3  n( n + 1)( n + 2) ( n + 1)(n + 2)(n + 3) 
B/ BÀI TOÁN:
1
1
1
1
+
+
+ ......... +
Bài 1: Tính A =
1.2 2.3 3.4
2008.2009
Hướng dẫn
1
1

1
1
1
2008
+
+
+
+ ... +
=
A=
1.2 2.3 3.4 4.5
2008.2009 2009
Tương tự:
2012 2012 2012
2012
+
+
+ ......... +
1/ Tính B = 1006 +
2.3
3.4
4.5
2002.2003
Hướng dẫn
1
1
1
1
1
+

+
+
+ ......... +
)
B = 2012(
1.2 2.3 3.4 4.5
2002.2003
1
2012
1
= 2012(1 ) = 2012.
= 2011
2013
2013
2013
1 1
1
1
1
+
+
+ ... +
2/ Tính G = +
4 28 70 130
4038088
3/

Hướng dẫn
1
1

1
1
1
+
+
+
+ ... +
G=
1.4 4.7 7.10 10.13
2008.2011
1 1 1 1 1 1 1
1
1
−
)
= ( − + − + − + ... +
3 1 4 4 7 7 10
2008 2011
1
1
2010 670
)=
=
= (1 −
3
2011 6033 2011
1 1
1
1
1

1
+ +
+ ... +
3/ Tính L = + +
3 15 35 63 99
4032063
Hướng dẫn
1
1
1
1
1
+
+
+
+ ... +
L=
1.3 3.5 5.7 7.9
2007.2009
1
1 1 1 1 1
1
1
−
)
= (1 − + − + − + ... +
2
3 3 5 5 7
2007 2009
1

1
1 2008 1004
)= .
=
= (1 −
2
2009 2 2009 2009
Trang 9

Giáo viên: Mai Văn Dũng


BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH

Bài 2: Tính M =

1
1
1
1
+
+
+ ......... +
1.2.3 2.3.4 3.4.5
2001.2002.2003

Hướng dẫn

1
1 1

1
= 
−
n(n + 1)(n + 2) 2  n(n + 1) (n + 1)(n + 2) 
501
Kết quả: M =
2006
Tương tự:
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1/ Tính: A =
1.2.3 2.3.4 3.4.5
2006.2007.2008
1
1
1
1
+
+
+ ×××+
2/ Tính B =
3.5.7 5.7.9 7.9.11
995.997.999
1
1

Kết quả: A = −
B ≈ 0,0166664157
4 2.2007.2008
1
1
1
1
+
+
+ ......... +
Bài 3: Tính P =
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6
102.103.104.105
Áp dụng:

Hướng dẫn

1
1
1
1
= 
−
n(n + 1)(n + 2)( n + 3) 3  n( n + 1)( n + 2) ( n + 1)(n + 2)(n + 3) 
Kết quả: P = 0,055555259
1
1
4
1
+

+
+ ... +
Tương tự: Tính C =
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6
2011.2012.2013.2014
Kết quả: C = 0,0556
Bài 4: Tính giá trị của biể thức:
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1/ A=
Kết quả: A = 21,92209
1+ 3
3+ 5
5+ 7
2009 + 2011
1
1
1
1
+
+
+ .... +
2/B =
B ≈ 21,92209
1+ 3

3+ 5
5+ 7
2009 + 2011
1
1
1
1
+
+
+ ... +
3/ C = A=
1− 2
2− 3
3− 4
99 − 100
Hướng dẫn
99
1
Ghi vào màn hình: C
∑1 X − X + 1
Ấn phím Calc X? 1
Kết quả: C ≈ - 1331,925894
Bài 5: Tính giá trị của biểu thức:
1
1
1
+
+ ... +
1/ E =
2 1 +1 2 3 2 + 2 3

2013 2012 + 2012 2013
1
1
1
1
+
+
+ ... +
2/ B =
2 1 +1 2 2 3 + 3 2 3 4 + 4 3
2008 2009 + 2009 2008
Ta có:

Trang 10

Giáo viên: Mai Văn Dũng


BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH

1
≈ 0,9777 KQ: B ≈ 0,977689462
2013
Bài 6: Tính giá trị của biểu thức:
E = 1–

1
1
1
1

1
1
+
+
+
+ ... +
+
1+ 5
2+ 6
5+ 9
6 + 10
2009 + 2012
2010 + 2014
1
1
1
1
1
1

 

=
+
+ ...
++
+ ... +
÷+ 
÷
5+ 9

2009 + 2013   2 + 6
6 + 10
2010 + 2014 
 1+ 5
1
1
=−
1 − 5 + 5 − 9 + ... 2009 − 2013 −
2 − 6 − 6 + 10 + ... + 2010 − 2014
4
4
B=

(

) (

(

)

)

1
Kết quả : B = 21, 83251
1 − 2013 + 2 − 2014 = 21,83246658
4
Bài 7: Tính giá trị của biểu thức:
1 1
1 1

1 1
1
1
M = 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + ... + 1 + 2 +
1 2
2 3
3 4
99 1002
Hướng dẫn
1
1
1 2
1 2
)
Ta có: 1 + 2 +
2 = 1+ ( ) + (
k
(k + 1)
k
k +1
1 2
1 2
1
1
1 1
2
) + 2.1.( ) − 2.1(
) − 2( )(
)
= 1 +( ) +(

k
k +1
k
k +1
k k +1
1
1
1 1
k +1 −1 − k
) − 2( )(
) = 2.
= 0)
( Do 2.1.( ) − 2.1(
k
k +1
k k +1
k (k + 1)
1
1
1
1 2
Vậy: 1 + 2 +
)
2 = ( 1 +
k
(k + 1)
k
k +1
1
1

1
1
1
1
1
+
−
Suy ra: 1 + 2 +
=
= 1+ −
2
k
(k + 1)
k k +1
k k +1
=−

1
1 
 1 1  1 1  1 1

M =  1 + − ÷+  1 + − ÷+  1 + − ÷+ ... +  1 + −
÷
 1 2  2 3  3 4
 99 100 
1 1 1 1 1 1 1
1 1
1
= 99 + − + − + − + − ... + −
= 100 −

= 99,99
1 2 2 3 3 4 4
99 100
100
Tương tự: Tính giá trị của biểu thức:
1 1
1 1
1 1
1
1
1/ P = 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + ... + 1 +
+
1 2
2 3
3 4
20142 20152
1 1
1 1
1
1
2/ B= 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + ... + 1 +
+
1 2
2 3
20092 20102
KQ: B = 2009,9995
1 1
1 1
1 1
1

1
3/ S = 1+ 2 + 2 + 1+ 2 + 2 + 1+ 2 + 2 + ... + 1+ 2 +
2 3
3 4
4 5
n ( n +1) 2
a) Viết một quy trình bấm máy để tính S
b) Tính S(10); S(12) với 6 chữ số ở phần thập phân.
KQ: S(10) = 10,416667; S(12) = 12, 428571
Trang 11

Giáo viên: Mai Văn Dũng


BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH

Bài 8: Tính tổng:
1 + 20102 +

20102 2010
20112 2011
20122 2012
2
2
+
+
1
+
2011
+

+
+
1
+
2012
+
+
.
20112 2011
20122 2012
20132 2013

Hướng dẫn
2
Ta có: 20112 = ( 2010 + 1) = 20102 + 2.2010 + 1
⇒ 1 + 20102 = 20112 − 2.2010
⇒ 1 + 20102 +

20102 2010
20102 2010
2
+
=
2011
−
2.2010
+
+
20112 2011
20112 2011

2

2010 
2011
2010 2010

=  2011 −
= 2011 −
+
= 2011
÷ +
2011 
2012
2011 2011

Bài 9: Tính giá trị của biểu thức. ( kết quả dưới dạng phân số)
1
1
1
1
(14 + )(34 + )(54 + ).....(20094 + )
4
4
4
4
A=
1
1
1
2

(24 + )(44 + )(64 + ).....(2010 4 + )
4
4
4
4
Hướng dẫn
Ta có: a4 + 4 = (a2)2 + 4a2 + 4 – 4a2
= (a2 + 2)2 – (2a)2
= (a2 + 2 + 2a)(a2 + 2 – 2a)
2
2
= (a + 1) + 1 (a − 1) + 1
1
1
1
1
16(14 + )16(34 + )16(54 + ).....16(20094 + )
4
4
4
4
Do đó: A =
1
1
1
2
16(24 + )16(44 + )16(64 + ).....16(20104 + )
4
4
4

4
4
4
4
4
(2 + 4)(6 + 4)(10 + 4).....(4018 + 4)
= 4
(4 + 4)(84 + 4)(124 + 4).....(40204 + 4)
(12 + 1)(32 + 1)(52 + 1)(7 2 + 1)....(4017 2 + 1)(40192 + 1)
= 2
(3 + 1)(52 + 1)(7 2 + 1)(92 + 1)....(40192 + 1)(40212 + 1)
12 + 1
1
=
=
40212 + 1 8084221
1
1
1
1
(14 + )(34 + )(54 + )...(194 + )
4
4
4
4
Tương tự: 1/Tính giá trị của biểu thức: F =
1
1
1
1

(24 + )(44 + )(64 + )...(20 4 + )
4
4
4
4
Hướng dẫn
Ta có: a4 + 4 = (a2)2 + 4a2 + 4 – 4a2
= (a2 + 2)2 – (2a)2
= (a2 + 2 + 2a)(a2 + 2 – 2a)
2
2
=  (a + 1) + 1 (a − 1) + 1
Trang 12

Giáo viên: Mai Văn Dũng


BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH

1
1
1
1
16.(14 + ).16.(34 + ).16.(54 + )...16.(19 4 + )
4
4
4
4
F=
1

1
1
1
16.(2 4 + ).16.(44 + ).16.(6 4 + )...16.(20 4 + )
4
4
4
4
4
4
4
4
(2 + 4)(6 + 4)(10 + 4)...(38 + 4)
=
1
(44 + 4)(84 + 4)(12 4 + )...(40 4 + 4)
4
12 + 1) ( 32 + 1) ( 52 + 1) ( 7 2 + 1) ... ( 37 2 + 1) ( 392 + 1)
(
= 2
( 3 + 1) ( 52 + 1) ( 72 + 1) ( 92 + 1) ...( 392 + 1) ( 412 + 1)
12 + 1
1
= 2
=
41 + 1 841

1
1
1

1
(24 + )(4 4 + )(64 + )....(2014 4 + )
4
4
4
4
2/ Tính giá trị của biểu thức:M =
1
1
1
1
( 4 + )(34 + )(54 + )....(20134 + )
4
4
4
4
Hướng dẫn
1
1
1 
2
Ta có: n4 + = ( n2 – n + )  (n + 1) − (n + 1) + 
2
4
2 
Áp dụng công thức trên giản ước ta được: M = 8116421
32 − 1 7 2 − 1 20112 − 1
Bài 10: Tính giá trị của biểu thức: K = 2 . 2 ....
5 − 1 9 − 1 20132 − 1
Hướng dẫn

32 − 1 7 2 − 1 20112 − 1 2.4 6.8 2010.2012
2
K = 2 . 2 ....
=
.
...
=
2
5 − 1 9 − 1 2013 − 1 4.6 8.10 2012.2014 2014
KQ: 0,00099
Tương tự:
1/ Rút gọn biểu thức (kết quả viết dưới dạng phân số)

(14 + 4)(54 + 4)(94 + 4)(134 + 4)(17 4 + 4)(214 + 4)(254 + 4)
C= 4
(3 + 4)(7 4 + 4)(114 + 4)(154 + 4)(194 + 4)(234 + 4)(27 4 + 4)
2/ Rút gọn biểu thức (kết quả viết dưới dạng phân số)

(14 + 6)(7 4 + 6)(134 + 6)(194 + 6)(254 + 6)(314 + 6)(37 4 + 6)
B= 4
(3 + 6)(94 + 6)(154 + 6)(214 + 6)(27 4 + 6)(334 + 6)(394 + 6)
3/ Tìm số nguyên dương n thỏa mãn:

1
1
1
1
1
2014
(1 + )(1 +

)(1 +
)....(1 +
)=
2
1.3
2.4
3.5
n.( n + 2)
2015
Hướng dẫn

1
k 2 + 2k + 1 k + 1 k + 1
=
=
.
Ta có: 1 +
Với k∈N
k (k + 2)
k (k + 2)
k k +2
1 2 2 3 3 4 4
n +1 n +1
2014
.
)=
Cho k từ 1 đến n ta được: ( . )( . )( . )......(
2 1 3 2 4 3 5
n n + 2 2015
Trang 13

Giáo viên: Mai Văn Dũng


BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH

Do đó :

n + 1 2014
=
⇔ n = 2013
n + 2 2015

4/ Tính giá trị của biểu thức:
1
1
1
1
A = (1 + )(1 + )(1 + )...(1 + 12 ) Kết quả:A= 2,3837
2
4
8
2
1
2
99
100
−
+ .... +
−

Bài 11: Tính tổng S =
2.3 3.4
100.101 101.102
Hướng dẫn
Quy trình ấn phím:Cách 1
Gán D = 0
(−1) D −1.D
Ghi vào màn hình D
D+1
A A+
( D + 1)( D + 2)
Ấn dấu
liên tục đến khi D = 100. Kết quả: S ≈ 0,074611665
Quy trình ấn phím:Cách 2:
100
(−1) X −1. X
Ghi vào màn hình: ∑
1 ( X + 1)( X + 2)
Ấn dấu
chờ kết quả S ≈ 0,074611665
1
 1  1 1  1 1 1   1 1 1
Bài12: Tính S =  1 + ÷1 + + ÷1 + + + ÷... 1 + + + + ... + ÷chính xác
10 
 2  2 3  2 3 4   2 3 4
đến 4 chữ số thập phân.
Hướng dẫn
Qui trình ấn phím Casio 570 MS.
Gán số 1 cho các biến X,B,C.
Ghi vào màn hình của máy dãy lệnh:

X
X+1 A
1 X
B
B + A C CB
Thực hiện ấn phím
liên tiếp cho đến khi X = 10, lúc đó ta có kết quả gần đúng
chính xác đến 4 chữ số thập phân của S là: 1871,4353
1 2 3 4
15
Bài 13: Cho tổng: S = + 2 + 3 + 4 + .... + 15
3 3 3 3
3
a/ Viết qui trình bấm phím liên tục tính tổng S?
1
Gán: D = 1, A =
3
D
Ghi vào màn hình: D
D +1
A
A+ D
3
Ấn dấu
liên tiếp khi đến D =15 ấn tiếp
ta được KQ
≈
b/ KQ: S=A 0,749999
Bài 14: Tính giá trị của biểu thức:
1

1 1
1 1 1
1 1 1
1
1 + . 1 + + . 1 + + + ... 1 + + + + ... +
2
2 3
2 3 4
2 3 4
20
Hướng dẫn
Gán A = 0, B = 0
Khai báo: A
A+1 B
B+1 /A
C+C. B
Trang 14

Giáo viên: Mai Văn Dũng


BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH

Kết quả: 17667,97575
Bài 15: Tìm số tự nhiên x biết : 1 + 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5 + 6 6 + .... + x x = 45,354.....
Hướng dẫn
Qui trình bấm phím liên tục tìm x:
X
X+1
A

A+ X X
Ấn dấu
liên tục cho đến khi màn hình hiển thị KQ: 45,33591372.. thì nhận
được x = 38 .KQ: x = 38
Tương tự: Tìm giá trị x nguyên để :
1/ 1 + 2 + 3 3 + 4 4 + ......... + x x ≈ 142.717 .Kết quả x = 130
2/ 1. 2. 3 3. 4 4......... x x ≈ 357,2708 Kết quả x = 31
1 1
1
3/ 1 + + + ......... + ≈ 5 . Kết quả x = 83
2 3
x
1 1
1
4/ 1 + + + ......... + ≈ 1.71805(5) . Kết quả x = 6
2! 3!
x!
n
1
> 0,24955
Bài16: Tìm số tự nhiên n thỏa mãn ∑
k =1 k ( +1)( k + 2)
Hướng dẫn
1
1
1
=
−
Ta có
k (k + 1)( k + 2) k (k + 1) (k + 1)(k + 2)

n
1
> 0,24955
Mà: ∑
k
(
+
1)(
k
+
2)
k =1
1 1
1
) > 0,24955
Nên: ( −
2 2 (n + 1)(n + 2)
Suy ra: (n+1)(n+2) > 1000
Vậy n ≥ 99 ( n ∈ N )
Dạng 7: TÌM SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA HAI SỐ TỰ NHIÊN
I/ KHI ĐỀ CHO SỐ NHỎ HƠN 10 CHỮ SỐ:
A/ PHƯƠNG PHÁP:
Sử dụng chức năng phím ÷ R để tìm thương và số dư trong phép chia.
Ví dụ: Tính thương và số dư của phép chia 8 ÷ 3
(÷ R)
Cách ấn máy:
kết quả 2; R = 2
( Với 2 là thương R = 2 là sô dư của phép chia)
B/ BÀI TOÁN:
Bài 1: Tìm thương và số dư khi chia 18901969 cho 2382001.

Hướng dẫn
Ấn phím: 18901969 ALPHA ÷ R 2382001
Kết quả: Thương là: 7 và số dư R = 2227962
Tương tự: Tìm thương và số dư trong phép chia:
1/ 3523127 cho 2047
KQ: q=1721 và R = 240
2/ 123456789 cho 23456
KQ: q = 5263 và R = 7861
3/ 987654321 cho 123456789
KQ: q = 8, R= 9.
Trang 15

Giáo viên: Mai Văn Dũng


BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH

Bài 2: Tìm thương và số dư trong phép chia 815 cho 2004
Hướng dẫn
Ta có: 815 = 88.87
Thực hiện phép chia 88 cho 2004 được số dư là: r1 = 1732
Thực hiện phép chia 87 cho 2004 được số dư là: r2 = 968
Số dư trong phép chia 815 cho 2004 chính là số dư trong phép chia 1732 . 968 cho
2004.
Vậy: Số dư của phép chia 88 cho 2004 là: R = 1232
II/ KHI ĐỀ CHO SỐ LỚN HƠN 10 CHỮ SỐ :
A/ PHƯƠNG PHÁP:
1/ Cách 1: Tìm số dư của A khi chia cho B ( A là số có nhiều hơn 10 chữ số)
Cắt ra thành từng nhóm , nhóm đầu có chín chữ số (kể từ bên trái). Tìm số dư phần
đầu khi chia cho B.Viết liên tiếp sau số dư phần còn lại (tối đa đủ 9 chữ số) rồi tìm số

dư lần hai. Nếu còn nữa tính liên tiếp như vậy.
2/ Cách 2: Giải trên máy FX 570vn plus
Tìm số dư trong phép chia 1234567890987654321 cho 207207. (Trích kì thi chọn học
sinh giỏi toán trên máy tính Casio Quận 12 năm học 2014-2015)
Hướng dẫn
Gán : A = 207207. Ấn phím:
máy hiện
A
Chia 1234567890 cho A.Ấn phím:
Máy hiện: 5958, R = 28584
Gắn thêm 5 chữ số tiếp theo vào số dư 28586 thành số có 10 chữ số 2858498765 rồi
chia cho A bằng cách ấn phím
Máy hiện: 13795, R = 78200
Gắn thêm các chữ số tiếp theo vào số dư 78200 thành số 782004321 rồi chia cho A
bằng cách ấn phím
Máy hiện: 3774, R = 5103
Vậy số dư là: R = 5103 và thương là: Q = 5958137953774
B/ BÀI TOÁN
Bài 1: Tìm số dư của phép chia 2345678901234 cho 4567.
Hướng dẫn
Số dư của phép chia 234567890 cho 4567là : 2203
Số dư của phép chia 22031234 cho 4567 là: 26
Kết quả số dư cuối cùng là 26.
Bài 2: Tìm số dư trong phép chia
a)
983637955 cho 9604325
b)
903566896235 cho 37869.
c)
1234567890987654321 : 123456

d)
2009201020112012 : 2020.
KQ: r = 972
e)
24728303034986074 cho 2008 .
KQ: r = 522
III/DÙNG KIẾN THỨC ĐỒNG DƯ TÌM SỐ DƯ
A/ PHƯƠNG PHÁP:
+ Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số dư ta nói a
đồng dư với b theo modun c ký hiệu a ≡ b(mod c )
Trang 16

Giáo viên: Mai Văn Dũng


BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH

+ Một số tính chất: Với mọi a, b, c thuộc Z+
a ≡ a (mod m)
a ≡ b(mod m) ⇔ b ≡ a(mod m)
a ≡ b(mod m); b ≡ c (mod m) ⇒ a ≡ c (mod m)
a ≡ b(mod m); c ≡ d (mod m) ⇒ a ± c ≡ b ± d (mod m)
a ≡ b(mod m); c ≡ d (mod m) ⇒ ac ≡ bd (mod m)
a ≡ b(mod m) ⇔ a n ≡ b n (mod m)
B/ BÀI TOÁN:
Bài 1: Tìm số dư của phép chia 126 cho 19
Hướng dẫn
122 = 144 ≡ 11(mod19)
126 = ( 122 ) ≡ 113 ≡ 1(mod19)
Vậy: số dư của phép chia 126 cho 19 là 1

Bài 2: Tìm số dư của 199140 cho 2008
Hướng dẫn
Ta có: 19913 ≡ 1111(mod 2008)
19912 ≡ 289 (mod 2008 )
19915 ≡ 289.1111 (mod 2008) ≡ 1807 (mod 2008)
199110 ≡ 18072 (mod 2008) ≡ 241 (mod 2008)
199140 ≡ 2414 ≡ 713
Vậy số dư là 713
Bài 3: Tìm số dư khi chia số 182008 + 82009 cho 49
Hướng dẫn
* Tìm số dư khi chia 182008 cho 49
Ta có: 182008 = 18.182007 = (183)669 . 18
183 ≡ 1(mod 49) ⇒ (183)669 ≡ 1(mod 49)
18. (183)669 ≡ 18(mod 49)
* Tìm số dư khi chia 82009 chia cho 49
Ta có 82009 = (87)287
87 ≡ 1(mod 49)
⇒ (87)287 ≡ 01(mod 49)
Vậy số dư khi chia số 182008 + 82009 cho 49 là 19.
Bài 4: Tìm số dư khi chia 15972008 cho 49
Hướng dẫn
Ta có: 1597 ≡ 29(mod 49)
Suy ra 15972008 ≡ 292008 (mod 49)
292008 = (294 )502
294 ≡ 15(mod 49) ⇒ (294 )502 ≡ 15502 (mod 49)
15502 ≡ (157)71. 155
Ta có :157 ≡ 1(mod 49) ⇒ (157)71≡ 1(mod 49)
155 ≡ 22( mod 49)
Nên (157)71. 155 ≡ 22( mod 49)
3

Trang 17

Giáo viên: Mai Văn Dũng


BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH

Vậy: Vậy số dư khi chia số 15972008 cho 49 là 22.
Dạng 8. TÌM CHỮ SỐ HÀNG ĐƠN VỊ, HÀNG CHỤC, HÀNG TRĂM...
CỦA MỘT LUỸ THỪA
A/ PHƯƠNG PHÁP:
Để tìm số dư của phép chia An cho B ta tìm số R < B sao cho : A ≡ R (mod B)
Quan hệ đồng dư và các tính chất
* Định lý Fermat:
Với p là số nguyên tố ta có: ap ≡ a (mod p)
Đặc biệt nếu (a,p) = 1 thì ap-1 ≡ 1 (mod p)
a)
Tìm một chữ số tận cùng của an
Nếu a có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 thì an lần lượt có chữ số tận cùng là 0, 1, 5 , 6.
Nếu a có chữ số tận cùng là 2, 3, 7 ta có nhận xét sau
24k ≡ 6 (mod 10)
34k ≡ 1 (mod 10)
74k ≡ 1 ( mod 10)
b)
Tìm hai chữ số tận cùng của an
Ta có nhận xét sau
a20k ≡ 00 (mod 100) nếu a có chữ số tận cùng là 0
a20k ≡ 01 (mod 100) nếu a có chữ số tận cùng là 1,3,7,9
a20k ≡ 25 (mod 100) nếu a có chữ số tận cùng là 5

a20k ≡ 76 (mod 100) nếu a có chữ số tận cùng là 2,4,6,8
c)
Tìm ba chữ số tận cùng của số an
a100k ≡ 000 (mod 1000) nếu a có chữ số tận cùng là 0
a100k ≡ 001 (mod 1000) nếu a có chữ số tận cùng là 1,3,7,9
a100k ≡ 625 (mod 1000) nếu a có chữ số tận cùng là 5
a100k ≡ 376 (mod 1000) nếu a có chữ số tận cùng là 2,4,6,8
B/ BÀI TOÁN:
Bài 1: Tìm chữ số hàng đơn vị của số 172002
Hướng dẫn
2
17 ≡ 9(mod10)

( 17 )

2 1000

= 17 2000 ≡ 91000 (mod10)

92 ≡ 1(mod10)
91000 ≡ 1(mod10)
17 2000 ≡ 1(mod10)
2000
2
Vậy 17 .17 ≡ 1.9(mod10) . Chữ số tận cùng của 172002 là 9
Bài 2: Tìm chữ số hàng đơn vị của số: N = 1032006
Hướng dẫn
1031 ≡ 3(mod10); 1032 ≡ 9(mod10);
1033 ≡ 3 × 9 = 27 ≡ 7(mod10);
1034 ≡ 21 ≡ 1(mod10);

1035 ≡ 3(mod10);
Như vậy các lũy thừa của 103 có chữ số tận cùng liên tiếp là: 3, 9, 7,1
Trang 18

Giáo viên: Mai Văn Dũng


BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH

2006 ≡ 2 (mod 4) , nên 1032006 có chữ số tận cùng là 9.
Bài 3: Tìm chữ số tận cùng của 6195 và 21000
Hướng dẫn
Ta có : 62 = 36 ≡ 6 mod 10 suy ra 6n ≡ 6 mod 10
Suy ra: 6195+ ≡ 6 (mod 10) Vậy chữ số tận cùng của 6195 là 6.
Ta cã: 21000 = 24 . 250 = (2n)250
Vì 2n ≡ 16 ≡ 6 (mod 10)
Suy ra: (2n)250 ≡ 16250 ≡ 6250 ≡ 6 (mod 10)
Do đó: 21000 ≡ 6250 ≡ 6 (mod 10)
Vậy chữ số tận cùng của 21000 là 6.
Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của số 19911997; 19971996
Hướng dẫn
a. Ta có: 1991 ≡ 1 (mod 10) suy ra 19911997 ≡ 1 (mod 10)
Vậy: 19911997 có chữ số tận cùng là 1
b. Ta có: 1997 ≡ 7 (mod 10) suy ra 19972 ≡ 49 ≡ 9 (mod 10)
Suy ra 19974 ≡ 1 (mod 10) suy ra (19974)409 ≡ 1 (mod 10)
Suy ra 19971996 ≡ 1 (mod 10)
Vậy 19971996 có chữ số tận cùng là: 1
Bài 5: Tìm chữ số tận cùng của tổng B = 21 + 35 + 49 + …+ 20138045.
Hướng dẫn
Ta có: B = 21 + 35 + 49 + …+ 20138045

21 có tận cùng là 2
35 có tận cùng là 3
49 có tận cùng là 4
………………….
20138045 có tận cùng là 2013
Suy ra: B có tận cùng là (2 + 3 + 4 + ….+ 2013)
= (2 + 2013).

2013 − 2 + 1
= 2027090
2

Vậy: chữ số tận cùng của B là 0
Bài 6: Tìm chữ số tận cùng của tổng: S = 21 + 35 + 4 9 + ... + 505 2013 .
Hướng dẫn
5
2
Trước tiên, ta nhận xét rằng: n − n = n ( n − 1) ( n + 1) ( n + 1) là số chẵn và chia hết cho
5 nên có tận cùng bằng 0 (với mọi số tự nhiên n)
4 k +1
− n = n ( n 4 k − 1) chia hết cho n ( n 4 − 1) = n5 − n
Mặt khác, ta có: n
Nên n 4 k +1 − n cũng là số có tận cùng bằng 0.
Như vậy, tổng:
( 21 − 2 ) + ( 35 − 3) + ( 49 − 4 ) + ... + ( 5052013 − 505 ) có tận cùng bằng 0.
Suy ra chữ số tận cùng của tổng: S = 21 + 35 + 49 + ... + 5052013 chính là chữ số tận cùng
1
của tổng: 2 + 3 + 4 + ... + 504 + 505 = .504.507 = 127764
2
Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 4.

Bài 7: Tìm chữ số tận cùng của số:
Trang 19

Giáo viên: Mai Văn Dũng


BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH

S =11+ 22 + 33 + 44 + 55 + 66 + 77 + 88 + 99 + 1010 + 1111 + 1212 + 1313 + 1414.
Kết quả a = 3.
Bài 8: Tìm chữ số hàng chục, hàng trăm của số 232005.
Hướng dẫn
231 ≡ 23(mod100)
232 ≡ 29(mod100)
233 ≡ 67(mod100)
234 ≡ 41(mod100)

2320 = ( 234 ) ≡ 415 ≡ 01(mod100)
5

232000 ≡ 01100 ≡ 01(mod100)
⇒ 232005 = 231.234.232000 ≡ 23.41.01 ≡ 43(mod100)
Vậy chữ số hàng chục của số 232005 là 4, hai chữ số tận cùng của số 232005 là 43.
Bài 9: a/ Tìm chữ số hang chục của số 232008
Hướng dẫn

231 ≡ 23(mod100), 232 ≡ 29(mod100), 233 ≡ 67(mod100),
234 ≡ 41(mod100),235 ≡ 43(mod100) suy ra
2320 = (234 )5 ≡ 415 ≡ 01(mod100) ⇒ 232000 ≡ 01(mod100 )

Mặt khác : 232008 = 233.235.232000 ⇒ 67.43.1 ≡ 81(mod100) .
Vậy chữ số cần tìm là: 8.
b/ Tìm hai chữ số tận cùng của số 242006
Hướng dẫn
242006 ≡ 76 ( mod 100)
Vậy hai chữ số tận cùng của số 242006 là 76
Bài 10: Tìm chữ số hàng chục của số 29999.
Hướng dẫn
219 ≡ 88 (mod 100) ; 220 = 76 (mod 100)
29999 = (220)499 x 219 ≡ 76499 x 88 ≡ 76 x 88 ≡ 88 (mod 100)
Vậy chữ số hàng chục của 29999 là 8
Bài 11:Tìm hai chữ số cuối cùng của số: A = 21999 + 22000 + 22001
Hướng dẫn
A = 21999(1 + 2 + 4) = 7.21999
Ta có 220 ≡ 76 (mod 100) mà 1999 = 20.99 + 19
Do đó 220.99.219 ≡ 76.219 (mod 100) ≡ 88 (mod 100)
Suy ra: A ≡ 88.7 (mod 100) => A ≡ 616 (mod 100)
Vậy hai chữ số cuối của A là 16
Bài 12 Tìm hai chữ số cuối cùng của tổng A = 22001 + 22002 + 22003
Hướng dẩn
Bài toán này được đưa về bài toán tìm số dư trong phép chia A cho 100 . Phải thực
hiện thuật giải sau :

Trang 20

Giáo viên: Mai Văn Dũng


BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH

A = 22001 (1 + 2 + 22) = 7.22001
22001 = 22000.2 = [(225)4]20.2
• 225 ≡ 32 (mod 100) (Chú giải :2 25 = 33554432 , khi chia cho 100 dư là 32, tất nhiên
32 chia 100 cũng dư 32)
(225)4 ≡ 324 ≡ 76 (mod 100) hay 2100 ≡ 76 (mod 100) ( tính chất )
• (2100)4 ≡ 764 ≡ 76 (mod 100)
(Chú giải : 764 = 33362176 nên 764≡ 76 (mod 100) )
Hay 2400 ≡ 76 (mod 100)
 (2400)5 ≡ 765 ≡ 76 (mod 100) (Chú giải : 755 = 2535525376)
Hay 22000 ≡ 76(mod100)  2.22000 ≡ 2 . 76 (mod 100) ( tính chất)
 22001 ≡ 152 ≡ 52 (mod 100)  7. 22001 ≡ 7. 52 = 364 ≡ 64 (mod 100) .
Vậy 2 chữ số cuối cùng của tổng A là 64
Bài 13:
Tìm 2 chữ số tận cùng của số A = 20072008 + 20082009
Hướng dẫn
Ta tìm 2 chữ số tận cùng của 20072008 = 20078 . 20072000
20072 ≡ 49(mod 100)
⇒(20072)4 ≡ 494(mod 100) ≡ 01(mod 100)
20072000 = (20078)250 ≡ 01(mod 100)
Vậy: 20072008 ≡ 01(mod 100)
Bài 14: Tìm 2 chữ số tận cùng của Tổng 39999 + 29999
Hướng dẫn
* Có 39999 = 320.499.319
319 = 1162261467 ≡ 67(mod 100)
320 = 3486784401 ≡ 01(mod 100)
⇒ (320)499 ≡ 01(mod 100)
Do đó (320)499.319 ≡ 67(mod 100)
* Có 29999 = 220.499.219
219 = 524288 ≡ 88(mod 100)
220 = 1048576 ≡ 76(mod 100)

⇒ (220)499 ≡ 76(mod 100)
Do đó (220)499.219 ≡ 76.88(mod 100) ≡ 88(mod 100)
⇒39999 + 29999 ≡ (67+88)(mod 100) = 55(mod 100)
Vậy chữ số tận cùng của tổng là 55
Bài 15: Tìm chữ số hàng trăm của số 232005
Hướng dẫn
231 ≡ 023(mod1000)
234 ≡ 841(mod1000)
235 ≡ 343(mod1000)
2320 ≡ 3434 ≡ 201(mod1000)
232000 ≡ 201100 (mod1000)

Trang 21

Giáo viên: Mai Văn Dũng


BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH

2015 ≡ 001(mod1000)
201100 ≡ 001(mod1000)
232000 ≡ 001(mod1000)
232005 = 231.234.232000 ≡ 023.841.001 ≡ 343(mod1000)
Vậy chữ số hàng trăm của số 232005 là số 3, ba chữ số tận cùng của số 232005 là số 343.
Bài 16: Tìm hai chữ số tận cùng của số 2999 và tìm 6 chữ số tận cùng của số 521
Hai chữ số tận cùng của số 2999 là 88.
Sáu chữ số tận cùng của số 521 là 203125
Bài 17: Tìm 3 chữ số cuối của số 7341
Hướng dẫn
710 ≡ 249(mod1000)

7100 ≡ 24910 ≡ (249 4 ) 2 × 249 2 ≡ (001) 2 × 001 ≡ 001(mod1000)
7 3400 ≡ 001(mod 1000)
7 3411 ≡ 7 3400 × 710 × 7 ≡ 001 × 249 × 7 ≡ 743(mod1000)
Khi thực hành ta thực hiện phép tính như sau cho nhanh
7 3411 ≡ 711 ≡ 743(mod1000) KQ: : 743
Bài 18: Tìm hai chữ số tận cùng của tổng S = 1! + 2! + 3! +…………+ 2014!
Hướng dẫn
Với n là số tự nhiên tứ 10 trở đi thì n! có hai chữ số tận cùng là 00.
Suy ra hai chữ só tận cùng của S là hai chữ số tận cùng của 1!+ 2! +3! +…+9!
Kết quả: Hai chữ số tận cùng của S là 13
Bài 19: Tìm ba chữ số tận cùng của 213
Hướng dẫn
Ta có: 210 = 1024; 210 = 24 (mod 1000)
23 ≡ 8 (mod 1000); 213 ≡ 192 (mod 100)
Vậy ba chữ số cuối cùng của 213 là 192.
Bài 20: Tìm 3 chữ số tận cùng của số 232014.
Hướng dẫn
Ta có:

231 ≡ 023(mod1000) ⇒ 234 ≡ 841(mod1000);

⇒ 235 ≡ 343(mod1000) ⇒ 2320 ≡ 201(mod1000)
⇒ 232000 ≡ 201100 (mod1000)
Vì 2015 ≡ 001(mod1000) nên 201100 ≡ 001(mod1000)
Suy ra 232014 = 23 2000.2310.234 ≡ 001.3432.841 ≡ 809(mod1000)
Dạng 9: SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN
A/ PHƯƠNG PHÁP:
Định lí: (Dấu hiệu nhận biết một phân số đổi được ra số thập phân hữu hạn)
Điều kiện cần và đủ để một phân số tối giản có thể viết được thành ra số

thập phân
hữu hạn là mẫu số của nó không chứa những thừa số nguyên tố ngoài 2 và 5.
Trang 22

Giáo viên: Mai Văn Dũng


BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH

1/ Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số tối giản:
a/ Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn dưới dạng phân
số, ta lấy chu kỳ làm tử, còn mẫu là một số gồm các chữ số 9, số chữ số 9 bằng số chữ
số của chu kỳ.
31
3
1
Ví dụ: 0,(31) =
; 1,(3) = 1 = 1
99
9
3
b/ Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp dưới dạng phân
số, ta lấy số gồm phần bất thường và chu kỳ trừ đi phần bất thường làm tử, còn mẫu là
một số gồm các chữ số 9 kèm theo các chữ số 0, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu
kỳ, số chữ số 0 bằng số chữ số của phần bất thường.
1253 − 12 1241
=
Ví dụ: 0,12(53) =
,
9900

9900
341 − 3
338
169
=2+
=2
2,3(41) = 2 + 0,3(41) = 2 +
990
990
990
2/ Công thức Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số tối giản:
(c1c2c3 ...cn )
A, b1b2b3 ...bm (c1c2c3...cn ) = A, b1b2b3...bm +
999...9000...0
123 123
n

m

3/ Đưa vào số thập phân tuần hoàn Khi đưa vào số thập phân tuần hoàn , ta ấn
(
). Để đưa giá trị của số thập phân tuần hoàn 0,909090 … 0, (90) . Thực hiện thao tác
như sau :
( )
10
Ví dụ : Tính tổng của hai số thập phân tuần hoàn : 1, (021) + 2, (312) cho kết quả: 3

Cách ấn máy:

(

)

(

)

Điều kiện hiển thị số thập phân tuần hoàn
26
Ví dụ 1: 0,(3) + 0,(45) = 33 = 0,(78)
Cách ấn máy :
Ví dụ 2: 1,(6) + 2,(8) =

41
= 4,(5)
9

Cách ấn máy
B/ CÁC DẠNG TOÁN:
Dạng 1: ĐỔI SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN RA PHÂN SỐ
Bài 1: Đổi các số thập phân sang phân số:
6 2
231 77
=
a/ 0, ( 6 ) = =
b/ 0, ( 231) =
9 3
999 333
18
7

345
=
c/ 0,3 ( 18 ) = 0,3 +
d/ 6,12 ( 345 ) = 6,12 +
990 22
99900
Bài 2: a/ Phân số nào sinh ra số thập phân tuần hoàn 3,15(321).
Hướng dẫn
Trang 23

Giáo viên: Mai Văn Dũng


BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH

315321 − 315 315006 52501
=
=
99900
99900 16650
Cách 2: Ta đặt 3,15(321) = a
Hay : 100.000 a = 315321,(321) (1)
100 a = 315,(321)
(2)
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta có : 99900 a = 315006
315006 52501
=
Vậy: a =
99900 16650
b/ Phân số nào sinh ra số thập phân vô hạn tuần hoàn sau:

422303
M = 4,22345234523452345......
KQ
M=
99990
E = 1,23507507507507507....... Hãy viết E dưới dạng phân số tối giản.
41128 10282
=
KQ: E =
33300 8325
c/ Nếu F = 0,4818181.... Khi viết F dưới dạng phân số tối giãn thì mẫu lớn hơn tử là
bao nhiêu?
Hướng dẫn
81
53
=
Ta có: F = 0,4818181... = 0,4 ( 81) = 0,4 +
990 110
Vậy Mẫu số lớn hơn tử số là: 110 – 53 = 57
2
2
2
+
+
Bài 3: Tính A =
0,19981998... 0,019981998... 0,0019981998...
Hướng dẫn
Đặt 0,0019981998... = a.
Ta có:
1

1
 1
A = 2.
+
+ ÷
 100a 10a a 
2.111
A=
100a
1998
Trong đó : 100a = 0,19981998... = 0,(0001) . 1998 =
9999
2.111.9999
= 1111
Vậy A =
1998
1
Bài 4: Cho M = [0,(153846)] 3 + [0,0(153846)] 3. Hãy so sánh M với
2011
Hướng dẫn
153846 2
1 153846 2
=
=
Ta có 0,(153846) =
; 0,0(153846) = .
999999 13
10 999999 130
3
3

1
1
2  2 
Bấm máy  ÷ + 
≈ 0,00314 ⇒ M >
÷−
2011
 13   130  2011
Cách 1: Ta có: 3,15(321) =

Bài 5: Tìm chữ số thập phân thứ 2013 sau dấu phẩy của số
Trang 24

Giáo viên: Mai Văn Dũng


BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH

A = 2,(085) + 1,2(915) đề thi học sinh giỏi trên máy tính Casio cấp TPHCM
Hướng dẫn
2083 4301
+
= 3,3766766.....
Ta có: A = 2,(085) + 1,2(915) =
999 3330
Vậy chữ số thập phân thứ 2013 sau dấu phẩy là 6
Dạng 2: TÌM CHỮ SỐ THẬP PHÂN THỨ n ∈ N SAU DẤU PHẨY
CỦA SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN
Bài 1: Tìm chữ số lẻ thập phân thứ 105 của phép chia 17 : 13
Hướng dẫn

Bước 1:
 Thực hiện phép chia 17 : 13 = 1.307692308 (thực chất máy đã thực hiện
phép tính rồi làm tròn và hiển thị kết quả trên màn hình)
Ta lấy 7 chữ số đầu tiên ở hàng thập phân là: 3076923
Lấy 1,3076923 . 13 = 16,9999999
17 - 16,9999999 = 0,0000001
Vậy 17 = 1,3076923 . 13 + 0.0000001
(Tại sao không ghi cả số 08)??? Không lấy chữ số thập cuối cùng vì máy có thể đã
làm tròn. Không lấy số không vì :
17 = 1,30769230 . 13 + 0,0000001= 1,30769230 . 13 + 0,0000001
Bước 2:
 Lấy 1 : 13 = 0,07692307692
Mười một chữ số ở hàng thập phân tiếp theo là: 07692307692
Ta đã tìm được 18 chữ số đầu tiên ở hàng thập phân sau dấu phẩy là:
307692307692307692
Vậy 17 : 13 = 1,(307692) Chu kỳ gồm 6 chữ số.
Ta có 105 = 6.17 + 3 (105 ≡ 3(mod 6) )
Vậy chữ số thập phân thứ 105 sau dấu phẩy là chữ số thứ ba của chu kỳ. Đó chính là
số 7
Bài 2:
Tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy trong phép chia 250000 cho 19.
Hướng dẫn
250000
17
= 13157 + .
Ta có
19
19
Vậy chỉ cần tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy trong phép chia
17 : 19 = 0,(894736842105263157). Chu kỳ gồm 18 chữ số.

669
Ta có 133 ≡ 1(mod18) ⇒ 132007 = ( 133 ) ≡ 1669 (mod18)
Vậy chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy là chữ số thứ nhất của chu kỳ. Đó chính
là số 8.
Bài 3:
Tìm chữ số thập phân thứ 2011 sau dấu phấy trong phép chia 10: 51
Hướng dẫn
KQ phép chia 10: 51= 0,(1960784313725490), chu kỳ 16 chữ số

Trang 25

Giáo viên: Mai Văn Dũng