BỘ đề THI HSG HUYỆN 2015 2016 (CÓ ĐÁP ÁN)

1
PHÒNG GD&ĐT NGỌC LẶC

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH MŨI NHỌN
MÔN TOÁN LỚP 7

ĐỀ CHÍNH THỨC

NĂM HỌC 2015-2016

Ngày khảo sát : 14/04/2016 Thời gian : 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (4 điểm) : Thực hiện phép tính

10 5 5
− +
7
11 23 +
a/ A =
26 13 13
403 − − +
7 11 23
155 −

b/ B =

212.35 − 46.92

( 2 .3)
2

6

+ 84.35

+

3 3
+ − 0,9
5 13
7
3
+ 0, 2 −
91
10

510.73 − 255.492

( 125.7 )

3

+ 59.143

Bài 2 (5 điểm) :
a/ Chứng minh rằng: 3n + 2 − 2n + 2 + 3n − 2n chia hết cho 10 với mọi số nguyên dương n.
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = 2014 − x + 2015 − x + 2016 − x
c/ Tìm x, y thuộc Z biết : 25 − y 2 = 8 ( x − 2015 )
Bài 3 (4 điểm) :a/ Cho

b/ Cho

2

x + 16 y − 25 z + 49
=
=
và 4 x 3 − 3 = 29 . Tính: x – 2y + 3z
9
−16
25

(

)

f ( x) = ax 3 + 4 x x 2 − 1 + 8 và g ( x) = x 3 + 4 x ( bx + 1) + c − 3 trong đó a, b, c là hằng số. Xác

định a, b, c để f(x) = g(x).
Bài 4 (5 điểm) : Cho tam giác ABC có (AB < AC). Gọi M là trung điểm của BC. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với tia
phân giác của góc BAC tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng :
a/ BE = CF

b/ AE =

AB + AC
2

Bài 5 (2 điểm) : Cho tam giác ABC có góc B bằng 450, góc C bằng 1200. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD =
2CB. Tính góc ADB.

----------------- Hết -------------------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm


2
PHÒNG GD&ĐT THANH OAI

ĐỀ THI VIOLYMPIC TOÁN 7

TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA

Năm học 2015-2016

------------

Thời gian 120 phút

Câu 1. (5 điểm)

a +b−c b+ c− a c + a −b
=
=
c
a
b
b
a
c





Hãy tính giá trị của biểu thức: B = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷.
a
c
b





a) Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện:

b) Tìm các số nguyên dương a,b,c biết rằng:
a3 - b3 -c3 = 3abc và a2 = 2(b + c)
Câu 2. (5 điểm)

a) Tính: A = 1 −


1 
1 
1  
1 
÷ 1 − ÷ 1 − ÷...  1 −
÷
15  21   28   210 

b) Thực hiện phép tính


A= 1 −


1 
1  
1

÷.  1 −
÷... 1 −
÷
1 + 2   1 + 2 + 3   1 + 2 + 3 + ... + 2006 

Câu 3: (3 điểm)
Tìm hai số dương biết tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ nghịch với ba số 20; 120; 16
Câu 4: ( 5 điểm )
Cho tam giác ABC vuông ở A, có góc C = 300 , đường cao AH. Trên đoạn HC lấy điểm D
sao cho HD = HB . Từ C kẻ CE vuông góc với AD. Chứng minh:
a) Tam giác ABD là tam giác đều.
b) AH = CE .
c) HE song song với AC.
Câu 5: (2 điểm)
Chứng minh rằng:

1
1
1
1
+
+

+ .... +
> 10 .
1
2
3
100

----------Hết----------


3
PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2015-2016
Môn: Toán 7
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi gồm 01 trang.

Chú ý: Thí sinh dự thi không được sử dụng máy tính cầm tay!
Câu 1. (2,5 điểm) Tìm các số x, y, z biết:
a) 2 x +3 + 5.2 x + 2 = 224 .
b) 2 xy = 3 yz = 4 zx và xyz = 3 .
c) x +

1
1
1
1

+ x+
+ x+
+ ... + x +
= 100 x .
1.2
2.3
3.4
99.100

Câu 2. (2,0 điểm)
a) Cho x, y là các số hữu tỉ thỏa mãn

3x − 1

2015

+ (2 x − y ) 2016 ≤ 0 . Tính giá trị của biểu thức

A = −2 x 2 − xy + y 2 + 2016 .
b) Cho ba số x, y, z thỏa mãn

19
19
19
7x
7y
7z
133
+
+

=
+
+
=
. Tính giá trị biểu
x + y y + z z + x y + z z + x x + y 10

thức M = (x + y + z) 2 .
Câu 3. (2,0 điểm)
a) Cho đa thức P(x)= x 3 - a 2 x + 2016b với a, b là số nguyên và a không chia hết cho 3. Chứng
minh rằng P(x) chia hết cho 3 với mọi x nguyên.
b) Cho x, y, z là các số nguyên tố khác 2 và các số thực a, b, c thỏa mãn dãy tỉ số bằng nhau
a−b b−c a −c
=
=
. Chứng minh rằng a = b = c .
x
y
z

Câu 4. (2,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh AB, AC lần lượt lấy điểm D và E sao
cho AD = AE. Qua A và D kẻ các đường vuông góc với BE và cắt BC lần lượt tại M và N. Tia ND cắt tia
CA tại I.
a) Chứng minh rằng: ∆AID = ∆ABE và A là trung điểm của CI.
b) Qua N kẻ đường thẳng song song với AC và cắt tia AM tại F. Chứng minh rằng CI = 2NF .
c) Chứng minh rằng M là trung điểm của mỗi đoạn thẳng AF và CN.
Câu 5. (1,0 điểm) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn điều kiện:
20abc < 30( ab + bc + ca) < 21abc

=== HẾT ===

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!


4
Họ và tên thí sinh: ............................................. Số báo danh: ...............Phòng thi: ...........
UBND HUYỆN HOÀI NHƠN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN: TOÁN 7

Đề chính thức

Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
(Đề gồm 01 trang)
Bài 1: (4,0 điểm)
a) So sánh: 17 + 26 + 1 và 99 .
b) Chứng minh:

1
1
1
1
1
+
+
+ .... +
+
> 10 .

1
2
3
99
100

1 1 1
2 3 4

c) Cho S = 1 − + − + ... +
Tính ( S − P )

2016

1
1
1
1
1
1
1
1
−
+
+
+
+ ... +
+
và P =
.

2013 2014 2015
1008 1009 1010
2014 2015

.

Bài 2: (4,0 điểm)
a) Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư r là hợp số. Tìm hợp số r.
2

b) Tìm số tự nhiên ab sao cho ab = ( a + b)3
Bài 3: (6,0 điểm)



z 

x 

y







a) Cho x; y; z ≠ 0 và x – y – z = 0. Tính giá trị biểu thức B = 1 − ÷1 − ÷1 + ÷
x
y

z
b) Cho

3x − 2 y 2 z − 4 x 4 y − 3z
x y z
=
=
. Chứng minh rằng: = =
4
3
2
2 3 4

c) Cho biểu thức M =

5− x
. Tìm x nguyên để M có giá trị nhỏ nhất.
x−2

·
Bài 4: (3,0 điểm) Cho xAy
= 600 vẽ tia phân giác Az của góc đó. Từ một điểm B trên tia Ax vẽ đường

thẳng song song với Ay cắt Az tại C. Kẻ BH ⊥ Ay tại H, CM ⊥ Ay tại M, BK ⊥ AC tại K. Chứng minh:
a) KC = KA

b) BH =

AC
2

c) ΔKMC đều.

µ = 2.C
µ < 900. Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Trên tia AB lấy điểm
Bài 5: (3,0 điểm) Cho ∆ ABC có B
D sao cho AD = HC. Chứng minh rằng đường thẳng DH đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC.


5
PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016

TIỀN HẢI

MÔN: TOÁN 7
(Thời gian làm bài 120 phút)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Cho A = 3 + 32 + 33 + … + 32015 + 32016.

Bài 1 (4,0 điểm)
a) Tính A.
b) Tìm chữ số tận cùng của A.

c) A có là số chính phương không? Vì sao?
Bài 2 (4,0 điểm)
a) Tìm x, biết:

x − 1 +2 = 3

b) Tìm 3 phân số có tổng của chúng bằng 1

1
,
70

các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5 và các mẫu tương ứng của chúng tỉ lệ với

5; 1; 2.
Bài 3 (3,0 điểm)
Cho hàm số: y = f(x) = ax + 4 có đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a 2 – a).
a) Tìm a.
b) Với a vừa tìm được, tính giá trị của x thỏa mãn: f(3x- 1) = f(1- 3x).
Bài 4 (7,0 điểm)
Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABM, ACN vuông cân tại A. BN và
MC cắt nhau tại D.
a) Chứng minh: ∆AMC = ∆ABN. b) Chứng minh: BN ⊥ CM.
c) Cho MB = 3cm, BC = 2cm, CN = 4cm. Tính MN.
d) Chứng minh rằng DA là phân giác của góc MDN.
Bài 5 (2,0 điểm)
Tìm các số tự nhiên a, b sao cho:

( 2016a + 13b − 1) ( 2016

a

)

+ 2016a + b = 2015


6
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 7
TRƯỜNG THCS HỒNG ĐÀ

NĂM HỌC 2015 – 2016
Môn thi: TOÁN

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang)

Câu 1. (3 điểm) a. Tính giá trị biểu thức:

212.13 + 212.65
210.104

310.11 + 310.5
39.2 4

+

b. Cho A = 3 + 32 + 33 + …+ 32015

Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n
Câu 2. (5 điểm)a. Tìm các số x; y; z biết rằng:

b. Tìm x:

y + z +1 x + z + 2 y + x − 3
1
=
=
=
x
y
z
x+ y+z

x + 4 x + 3 x + 2 x +1
+
=
+
2012 2013 2014 2015

c. Tìm x để biểu thức sau nhận giá trị dương: x2 + 2016x
Câu 3. (5 điểm) a. Cho A =

x +1
. Tìm số nguyên x để A là số nguyên
x −3

b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B =

x 2 + 15
x2 + 3

c. Tìm số nguyên x,y sao cho x - 2xy + y = 0
Câu 4. (5 điểm)Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA.
Chứng minh rằng:
a. AC = EB và AC // BE
b. Gọi I là một điểm trên AC; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK. Chứng minh ba điểm I, M, K thẳng hàng

·
·
·
·
c. Từ E kẻ EH ⊥ BC ( H ∈ BC ) . Biết HBE
= 50o; MEB
=25o. Tính HEM
và BME
Câu 5. (2 điểm)
Từ điểm I tùy ý trong tam giác ABC, kẻ IM, IN, IP lần lượt vuông góc với BC, CA, AB. Chứng minh rằng: AN 2 +
BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2
Hết


7
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ..............................................Số báo danh:.......................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI THCS

HUYỆN Ý YÊN

NĂM HỌC 2015 - 2016
MÔN : TOÁN – LỚP 7

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài: 150 phút
Đề gồm 01 trang
Bài 1. (6 điểm)
1) Tính giá trị của biểu thức
3

2

 7  2
 1
A = ( −1) . − ÷ .  − ÷ . ( −7 ) .  − ÷
 8  7
 14 
3

2 2
1


 0, 4 − 9 + 11 −1 6 + 0,875 − 0,7 ÷
B = 2016 : 
.
7 7

1
1 ÷
 1, 4 − +
÷
− 0, 25 +
9 11
3
5 

2) Cho đa thức Q(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d với a, b, c ,d ∈ Ζ . Biết Q(x) chia hết cho 3 với mọi x
∈ Ζ . Chứng tỏ các hệ số a, b, c, d đều chia hết cho 3.
Bài 2. ( 4 điểm)
1) Biết

bz − cy cx − az ay − bx
=
=
(với a, b, c ≠ 0 ).
a
b
c

Chứng minh rằng:

x y z
= = .
a b c

2) Số M được chia thành ba phần tỉ lệ nghịch với 3; 5; 6. Biết rằng tổng các lập phương của ba
phần đó là 10728. Hãy tìm số M.

1
3

Bài 3. ( 6 điểm) Cho tam giác ABC đều. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD = AB . Tại D kẻ đường
vuông góc với AB cắt cạnh BC tại E. Tại E kẻ đường vuông góc với BC cắt AC tại F.
1) Chứng minh DF ⊥ AC. Biết trong tam giác vuông cạnh đối diện với góc 300 thì bằng nửa
cạnh huyền.
2) Chứng minh tam giác DEF đều.
3) Gọi G là trọng tâm của tam giác DEF. Chứng minh GA = GB = GC.
Bài 4. (2 điểm) Cho tam giác ABC, trung tuyến AM và BE cắt nhau tại G. Chứng minh rằng nếu

·
AGB
≤ 900 thì AC + BC > 3AB .


8
Bài 5. ( 2 điểm)
Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức C=

22 − 3x
có giá trị lớn nhất.
4−x

HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
Thời gian: 150 phút
ĐỀ SỐ 6
Bài 1( 4,5 điểm):

1. Tính giá trị của biểu thức sau:

A=

212.35 − 4 6.9 2
510.7 3 − 25 5.49 2
−
(2 2.3) 6 + 8 4.35 (125.7) 3 + 5 9.14 3

2. a) Cho B = x 2013 − 2014x 2012 + 2014x 2011 − 2014x 2010 + .... − 2014x 2 + 2014x − 1
Tính giá trị của biểu thức B với x = 2013.
b)

Cho

Bài 2( 3 điểm) a) Cho

x + 16 y − 25 z + 9
=
=
và 2 x 3 − 1 = 15 . Tính B = x + y + z.
9
16
25

A=

1 2 3 4 5
99 100
+ 2 + 3 + 4 + 5 + ... 99 + 100

2 2
2 2
2
2
2

.So sánh A với 2.

b) Cho hai số tự nhiên a và b,với a > b và thỏa mãn: 3(a + b) = 5(a - b).

Tìm thương của hai số a và b

Bài 3( 4,5 điểm)
1. Tìm số tự nhiên n để phân số

7n − 8
có giá trị lớn nhất.
2n − 3

2. Cho đa thức p(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d là các hệ số nguyên. Biết rằng, p(x) M5 với mọi x nguyên.
Chứng minh rằng a, b, c, d đều chia hết cho 5.

3. Tìm tất cả các giá trị của số nguyên tố p để: p + 10 và p + 14 cũng là số nguyên tố.
Bài 4( 2 điểm)


9
Ba máy xay xay đuợc 359 tấn thóc. Số ngày làm việc của các máy tỉ lệ với 3:4:5, số giờ làm việc của các máy tỉ lệ
với 6, 7, 8, công suất các máy tỉ lệ nghịch với 5,4,3. Hỏi mỗi máy xay đuợc bao nhiêu tấn thóc.
Bài 5( 6 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD = KA.
a. Chứng minh: CD // AB.
b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N .
Chứng minh rằng: rABH = rCDH.

c. Chứng minh: ∆ HMN cân.

…………..Hết…………….

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH


10
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 7
Năm học 2015 – 2016 Môn: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (4,0 điểm)
Cho A = 3 + 32 + 33 + … + 32015 + 32016.
a) Tính A.
b) Tìm chữ số tận cùng của A.
c) A có là số chính phương không? Vì sao?
Bài 2 (4,0 điểm)
a) Tìm x, biết:

x − 1 +2 = 3

b) Tìm 3 phân số có tổng của chúng bằng 1

1
,

70

các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5 và các mẫu số tương ứng của chúng tỉ lệ

với 5; 1; 2.
Câu 3. (3,0 điểm)
Cho hàm số: y = f(x) = ax + 4 có đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a 2 – a).
a) Tìm a.
b) Với a vừa tìm được, tính giá trị của x thỏa mãn: f(3x- 1) = f(1- 3x).
Câu 4. (6,0 điểm).
Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông
góc và bằng AC.
a) Chứng minh: DC = BE và DC

⊥ BE

b) Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM. Chứng minh: AB = ME và ΔABC =
ΔEMA
c) Chứng minh: MA

⊥ BC

Câu 5. (3,0 điểm):
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A=

x − 2016 + 2017
x − 2016 + 2018

2) Tìm số nguyên x, y sao cho: x - 2xy + y = 0

------------------------- Hết ------------------------

ĐỀ THI OLYMPIC KHỐI 7 (CAO VIÊN)


11
NĂM HỌC 2015 – 2016

Môn thi: TOÁN

Câu 1: (6,0 điểm)
a) Tính A = 13 + 23 + 33 + 43 + ... + n 3
b) Chứng minh rằng:
c) Tìm x biết : x +

1
1
1
1
+
+
+ .... +
> 10
1
2
3
100

1
2

3
100
+ x+
+ x+
+ ... + x +
= 101x
101
101
101
101

Câu 2: (4 điểm)
a) Cho đa thức f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d
Với f(0) và f(1) là các số lẻ, chứng minh rằng f(x) không có nghiệm là số nguyên.
b) Tìm số dương có 3 chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ với 1,2,3.
Câu 3: ( 4 điểm)a) Cho biểu thức: A =

x +1
x −3

Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị là một số nguyên dương ?

A=

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

x + 1996
−1997

Câu 4: (5 điểm)

µ = 2C
µ . Tia phân giác của Bµ cắt AC tại E.
1) Cho tam giác ABC có AH vuông góc với BC và BAH
µ cắt BE tại I. Chứng minh rằng tam giác AIE vuông cân.
a) Tia phân giác BAH

b) Chứng minh rằng HE là tia phân giác của góc AHC.
2) Cho 9 đường thẳng trong đó không có hai đường thẳng nào song song. Chứng minh rằng ít
nhất cũng có hai đường thẳng mà góc nhọn giữa chúng không nhỏ hơn 200.
Câu 5: (1 điểm)
Tìm số nguyên x sao cho: ( x2 –1)( x2 – 4)( x2 – 7)(x2 – 10) < 0.
------------------------------------------------------HẾT
(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)


12
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN

HUYỆN KỲ ANH

NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN : Toán 7

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian : 120 phút
(Không kể thời gian giao nhận đề)

Câu 1: a) Cho biểu thức P = x – 4xy + y. Tính giá trị của P với x = 1,5; y = - 0,75
b) Tìm x biết: x + 1 + x + 2 + x + 3 = 4 x .
Câu 2: a) Tìm x, y, z biết:

x y y z
= , = và 2x – 3y + z = 6
3 4 3 5

b) Tìm x biết : x − 2015 + 2016 − x = 1 .
Câu 3: a) Cho n là số tự nhiên có hai chữ số. Tìm n biết n + 4 và 2n đều là các số chính phương.
b) Tính giá trị của đa thức: A(x) = x + x-2 + x3 + .....+ x99 + x100 tại x =

1
.
2

Câu 4: Cho tam giác ABC có ∠ A = 1200; ∠ B = 450. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho
AD = 2AB. Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với AC tại E.
1) Chứng minh: a) AE=AB b) EB=ED
2) Tính số đo góc BDC.
Câu 5: Tìm các số tự nhiên a, b sao cho: ( 2016.a + 3.b + 1) ( 2016 a + 2016.a + b ) = 225

HƯỚNG DẪN CHẤM (NGỌC LẶC)


13
Bài

Nội dung

Bài 1

4điểm

10 5 5
− +
7
11 23 +
A=
26 13 13
403 − − +
7 11 23
155 −

a/

Điểm

2 1 1 

3 3
5  31 − − + ÷ 3 + 3 − 9
+ − 0,9
7 11 23  5 13 10
5 13
= 
+
7
3

2 1 1  1 1 3

+ 0, 2 −
+ −
13  31 − − + ÷
91
10
7 11 23  13 5 10


2 1 1 

1 1 3 
5  31 − − + ÷ 3  + − ÷
7 11 23 
5 13 10 
= 
+ 
1 1 3
2 1 1 

+ −
13  31 − − + ÷
5 13 10
7 11 23 

5
5
= +3= 3
13

13

0,5đ

1,0đ

0,5đ

B=
b/

=
=

212.35 − 46.92

( 2 .3)
2

6

+ 84.35

212.34 ( 3 − 1)
212.35 ( 3 + 1)

−

−

510.73 − 255.492

( 125.7 )

3

+ 59.143

=

212.35 − 212.34 510.7 3 − 510.7 4
−
212.36 + 212.35 59.73 + 59.73.23

1,0đ

510.73 ( 1 − 7 )

(

59.73 1 + 23

)

0,5đ

2 5. ( −6 ) 1 10 21 7
−
= + =
=

3.4
9
6 3
6 2
0,5đ

Bài 2
a/

5điểm
Ta có : 3n + 2 − 2 n + 2 + 3n − 2 n = 3n.9 − 2 n.4 + 3n − 2 n

= 3n.10 − 2n.5 = 3n.10 − 2 n −1.10

(

0,5đ
0,5đ

)

= 10 3n − 2 n −1 M
10
Vậy 3n + 2 − 2n + 2 + 3n − 2n chia hết cho 10 với mọi số nguyên dương n.
b/

Vì

0,5đ

2015 − x ≥ 0 nên :

A = 2014 − x + 2015 − x + 2016 − x ≥ 2014 − x + 2016 − x
0,75đ
Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi x = 2015 (1)
Ta có : 2014 − x + 2016 − x = x − 2014 + 2016 − x ≥ x − 2014 + 2016 − x = 2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2014)(2016 – x) ≥ 0, suy ra :

0,75đ


14
2014 ≤ x ≤ 2016 (2)
Từ (1) và (2) suy ra A ≥ 2. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 2015.
Vậy A nhỏ nhất bằng 2 khi x = 2015.
c/

Ta có : 25 – y2 ≤ 25 =>

8 ( x − 2015 )

0,5đ
2

≤ 25 =>

( x − 2015)

2

< 4.
0,5đ

Do x nguyên nên ( x − 2015 ) là số chính phương. Có 2 trường hợp xảy ra :
2

TH 1 : ( x − 2015 ) = 0 ⇒ x = 2015 , khi đó y = 5 hoặc y = -5.
2

 x − 2015 = 1
 x = 2016
⇒
 x − 2015 = −1  x = 2014

0,5đ

TH 2 : ( x − 2015 ) = 1 ⇒ 
2

Với x = 2016 hoặc x = 2014 thì y2 = 17 (loại)
Vậy x = 2015, y = 5 và x = 2015, y = -5

0,5đ

Bài 3
a/

4điểm
Ta có :

4 x3 − 3 = 29 ⇒ 4 x 3 = 32 ⇒ x 3 = 8 ⇒ x = 2 .

Thay vào tỷ lệ thức ta được :

b/

2 + 16 y − 25 z + 49
y − 25 z + 49
=
=
⇒
=
=2
9
−16
25
−16
25

0,5đ
0,5đ

⇒ y = −7, z = 1 .

0,5đ

Vậy x – 2y + 3z = 2 – 2.(-7) + 3.1 = 19

0,5đ

Ta có : f(x) = ax
g(x) =

3

+ 4 x ( x 2 − 1) + 8 = ax 3 + 4 x3 − 4 x + 8 = ( a + 4 ) x 3 − 4 x + 8

x 3 − 4 x ( bx + 1) + c − 3 = x 3 − 4bx 2 − 4 x + c − 3

0,5đ

Do f(x) = g(x) nên chọn x bằng 0; 1; -1 ta được:
f(0) = g(0) ⇒ 8 = c – 3 ⇒ c = 11 ⇒

g ( x) = x 3 − 4bx 2 − 4 x + 8

0,5đ

f(1) = g(1) ⇒ a + 4 – 4 + 8 = 1 – 4b – 4 + 8 ⇒ a + 4b = -3 (1)
f(-1) = g(-1) ⇒ -a – 4 + 4 + 8 = -1 - 4b + 4 + 8 ⇒ - a + 4b = 3(2)

0,5đ

Từ (1) và (2) suy ra: b = 0; a = -3.
Vậy a = -3 , b = 0 ; c = 11
Bài 4

0,5đ
5điểm

15
A

F
B

C

M
N

D
E

a/

Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt EF tại D.

·
·
Xét ∆ MBD và ∆ MCF có : DBM
(so le trong)
= FCM

0,5đ

·
·
MB = MC (giả thiết) ; BMD

(đối đỉnh)
= CMF
Do đó: ∆ MBD = ∆ MCF (c.g.c) suy ra BD = CF (1)
Mặt khác : ∆ AEF có AN vừa là đường cao, vừa là đường phân giác nên cân tại A, suy ra

µ = MFA
·
·
·
·
µ
. Mà BDE
(đồng vị) nên BDE
E
= MFA
=E

0,75đ

Do đó: ∆ BDE cân tại B, suy ra BD = BE (2).

0,5đ
0,5đ

Từ (1) và (2) suy ra : BE = CF (đpcm)
b/

0,75đ

Tam giác AEF cân tại A suy ra AE = AF

0,5đ

Ta có: 2AE = AE + AF = (AB + BD) + (AC – CF)

0,5đ

Vậy

AE =

= (AB + AC) + (BD – CF) = AB + AC (do BE = CF)

0,5đ

AB + AC
(đpcm)
2

0,5đ

Bài 5

2điểm

·
µ 1 = 30o
Trên CA lấy điểm E sao cho EBA
= 15o ⇒ B
µ =µ

·
Ta có : E
A1 + EBA
= 300 , do đó ∆ CBE cân tại C ⇒ CB = CE
1

0,5đ

Gọi F là trung điểm CD ⇒ CB = CE = CF = FD

µ 1 = 1800 − BCA
·
Tam giác CEF cân tại C, lại có C
= 60o nên là tam giác đều.

0,5đ

Như vậy : CB = CE = CF = FD = EF.

µ1=E
µ 3 mà D
µ1+E
µ3=F
µ 2 = 60o (∆ CEF đều) ⇒ D
µ 1 = 30o
Suy ra D

(

)

·
µ +D
¶ = 900 (1)
= 180o − C
Xét tam giác CDE ta có: CED
1
1
0,5đ


16
µ1=B
µ 1 => EB = ED, µA1 = EBA
·
Ta có : D
=> EA = EB => ED = ED (2)
0,5đ

µ 2 = 45o
Từ (1) và (2) => Tam giác EDA vuông cân tại E => D
¶ +D
¶ = 30o + 45o = 75o
Vậy ·ADB = D
1
2
B
1
15 0
1200

C
1
1
2

E

3
2

F

1
2

A

1

D

2

Chú ý:
- Bài hình nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai cơ bản thì không chấm điểm.
- Nếu học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM

------------

Năm học 2015-2016

Câu

Nội dung cần đạt

Điểm

a) Vì a, b,c là các số dương nên a + b + c ≠ 0
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a + b − c b + c − a c + a −b a +b −c +b + c − a + c + a −b
=
=
=
=1
c
a
b
a +b +c
a +b−c
b+c−a
c +a −b
+1 =
+1 =
+1 = 2
c

a
b
⇒

a+b b+c c+a
=
=
=2
c
a
b

0,5

0,5

1,0


17
 b  a   c 
B =  1 + ÷1 + ÷1 + ÷
 a  c   b 

0,5

 a + b  c + a  b + c 
⇒B=
÷
÷

÷= 8
 a  c  b 

Câu 1

Vậy: B = 8
b)

(5điểm)

a3 - b3 -c3 = 3abc (1); a2 = 2(b + c) (2)
Từ (2) suy ra a2 chẵn ⇒ a chẵn .

0,5

Từ (1) suy ra a > b; a > c ⇒ 2a > b + c ⇒ 4a > 2(b + c)

0,5

kết hợp với (2) ⇒ a2 < 4a ⇒ a < 4 ⇒ a = 2 thay vào (2)

0,5

ta được: b + c = 2 ⇒ b = c =1 (vì b,c nguyên dương).

0,5

Thử lại thấy đúng vậy a = 2; b = c = 1

0,5

a) A =

1,0

14 20 27 209 28 40 54 418 4.7 5.8 6.9 19.22
. . ....
= . . ....
=
.
....
=
15 21 28 210 30 42 56 420 5.6 6.7 7.8 20.21

1,5

4.5.6...19 7.8.9...22 4 22 11
.
= . =
=
5.6.7...20 6.7.8...21 20 6 15

Câu 2
(5điểm)



 



÷
÷ 
÷
1
1
1
b) A= 1 − (1 + 2).2 ÷.  1 − (1 + 3).3 ÷...1 − (1 + 2006)2006 ÷

÷
÷ 
÷

2

2
 
2


=

2 5 9 2007.2006 − 2 4 10 18 2007.2006 − 2
. . ....
= . . ....
3 6 10
2006.2007
6 12 20
2006.2007

0,5

(1)

0,5

Mà: 2007.2006 - 2 = 2006(2008 - 1) + 2006 - 2008
= 2006(2008 - 1+ 1) - 2008 = 2008(2006 -1) = 2008.2005

(2)

0,5

Từ (1) và (2) ta có:
4.1 5.2 6.3 2008.2005 (4.5.6...2008)(1.2.3...2005)
2008 1004
. .
....
=
=
=
A=
2.3 3.4 4.5 2006.2007 (2.3.4...2006)(3.4.5...2007) 2006.3 3009

Gọi hai số dương cần tìm là x , y

0,5
0,5


18

Theo bài ra ta có: 30 ( x + y ) = 120 ( x − y ) = 16 xy
⇒

Câu 3

0,5
0,5

x + y x − y xy
=
=
=k
8
2
15

⇒ x + y = 8k ; x − y = 2k ; xy = 15k

(3điểm)

0,5

⇒ x = 5k ; y = 3k ⇒ xy = 5k .3k = 15k
15k 2 = 15k ⇒ k = 1

1,0

⇒ x + y = 8; x − y = 2 ⇒ x = 5; y = 3

Vậy hai số dương cần tìm là 5 và 3

0,5

A

Câu 4
(5điểm)

B

D

300

C

H
E

Vẽ hình ghi GT – KL đúng
a) ∆ABD có AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên ∆ABD
cân tại A.

0,5

0,5

Ta có: Bˆ + Cˆ = 90 0 (Hai góc nhọn của một tam giác vuông)
⇒ Bˆ = 90 0 − 30 0 = 60 0

0,25


19
Nên ∆ABD là tam giác đều. (đpcm)

0,25

ˆ C = BA
ˆ C - BA
ˆ D = 90 0 − 60 0 = 30 0
EA

b) Ta có:

⇒ ∆AHC = ∆CEA (cạnh huyền –góc nhọn)

0,5
0,5

Do đó AH = CE (đpcm)
c) ∆AHC = ∆CEA (cmt) nên HC = EA (1)

0,5

∆ADC cân ở D vì có DAˆ C = DCˆ A = 30 0

Suy ra : DA = DC. (2)
Từ (1) và (2) ⇒ DH = DE ⇒ ∆DHE cân tại D

0,5

Hai tam giác cân: ∆ACD cân tại D và ∆DHE cân tại D có:
ˆ D ở vị trí so le trong
ˆ C = HD
ˆ E (đđ) ⇒ DH
ˆ E = AC
AD

0,5

⇒ EH / / AC (đpcm)

Câu 5

1

1
;
1 10

1

1
;
2 10

>

(2điểm) Vậy :

1
1

+

1

1
; …..;
3 10

>

1
2

+

1
3

>

+ .... +

1
100

1,0

> 100.

1

1
.
100 10
=

1,0

1
= 10 (đpcm)
10

1,0

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN – TOÁN 7 – NĂM HỌC 2015 – 2016 (HOÀI
NHƠN)

Câu

Nội dung
a) So sánh: 17 + 26 + 1 và 99

Điểm
1,0đ

Ta có: 17 > 16; 26 > 25 => 17 + 26 + 1 > 16 + 25 + 1 = 4 + 5 + 1 = 10

0,5đ

Mà 10 = 100 > 99

0,5đ


20
Vậy: 17 + 26 + 1 > 99 .
Chứng minh:
Ta có:
b)
Suy ra:

1
1
1
1
1
+
+
+ .... +
+
> 10
1
2
3
99

100

1
1
1
1
1
1
1
1
>
;
>
;
>
;...;
>
1
100 2
100 3
100
99
100

1 1 1
2 3 4

Cho S = 1 − + − + ... +

Bài1: (4,0 điểm)

0,5đ

1
1
1
1
1
+
+
+ .... +
> 100.
= 10
1
2
3
100
100

1
1
1
1
+
+
+ .... +
> 10
Vậy:
1
2

3
100

P=

1,0đ

1
1
1
−
+
và
2013 2014 2015

0,5đ

2,0đ

1
1
1
1
1
2016
+
+
+ ... +
+
. Tính ( S − P )

1008 1009 1010
2014 2015

Ta có: P =

1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
+
1008 1009 1010
2014 2015

1
1
1
1
1   1 1
1
1 
 1 1
=  1 + + + ... +
+
+
+ ... +
+

+
÷ − 1 + + + ... +
÷
1006 1007 1008
2014 2015   2 3
1006 1007 
 2 3

0,5đ

c)
1
1
1
1
1  1 1 1
1
1 
 1 1
=  1 + + + ... +
+
+
+ ... +
+
+
÷ −2  + + + ... +
÷
1006 1007 1008
2014 2015   2 4 6
2012 2014 

 2 3

1 1 1
1
1
1
= 1 − + − + ...... +
−
+
= S.
2 3 4
2013 2014 2015

Bài 2: (4,0 điểm)

Do đó ( S − P )

2016

1,0đ

0,5đ

=0

a) Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư là r là hợp số. Tìm hợp số r.
Vì p chia cho 42 có số dư là r nên: p = 42k + r (0 < r < 42, k, r tự nhiên)
Hay p = 2.3.7k + r.
Vì p là số nguyên tố nên r không chia hết cho 2; 3; 7

2,0đ
0,5đ

1,0đ

=> r là hợp số không chia hết cho 2; 3; 7 và r < 42
Học sinh chỉ ra được r = 25

0,5đ


21
Vậy hợp số r = 25
2

Tìm số tự nhiên ab sao cho ab = (a + b)3

2,0đ

2

Ta có: (a + b)3 = ab là số chính phương nên a + b là số chính phương.

0,5đ

Đặt a + b = x (x ∈ N )
2

*

2

Suy ra: ab = (a + b)3 = x6
b) => x = ab < 100 và ab > 8 => 8 < x < 100 => 2 < x < 5 => x = 3; 4 vì x ∈ N
3

3

1,0đ
*

2

- Nếu x = 3 => ab = ( a + b)3 = 36 = 729 = 272 = (2 + 7)3 => x = 3 (nhận)
2
- Nếu x = 4 => ab = ( a + b)3 = 46 = 4096 = 642 ≠ (6 + 4)3 = 1000

0,5đ

=> x = 4 (không thỏa mãn)

Bài 3: (6,0 điểm)

Vậy số cần tìm là: ab = 27



z 

x 

y







Cho x; y; z ≠ 0 và x–y–z = 0. Tính giá trị biểu thức B = 1 − ÷1 − ÷1 + ÷
x
y
z


z 

x 

y

x−z y−x z+ y

.
.
Ta có: B = 1 − ÷1 − ÷1 + ÷ =
z
x
y
z

 x  y 
a)

Từ: x – y – z = 0 => x – z = y; y – x = – z và y + z = x
Suy ra: B =
b)

Cho

y −z x
. . = −1( x; y; z ≠ 0)
x y z

3x − 2 y 2 z − 4 x 4 y − 3z
x y z
=
=
. Chứng minh rằng: = =
4
3
2
2 3 4

Ta có:

3x − 2 y 2 z − 4 x 4 y − 3z
4(3 x − 2 y ) 3(2 z − 4 x) 2(4 y − 3 z )
=
=
=>

=
=
4
3
2
16
9
4

2,0đ
0,5đ
1,0đ
0,5đ
2,0đ
0,5đ

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
4(3x − 2 y ) 3(2 z − 4 x) 2(4 y − 3 z ) 4(3 x − 2 y ) + 3(2 z − 4 x) + 2(4 y − 3 z )
=
=
=
=0
16
9
4
16 + 9 + 4

=>

4(3x − 2 y )

x y
3(2 z − 4 x)
x z
= 0 => 3 x = 2 y => = (1) và
= 0 => 2 z = 4 x => = (2)
16
2 3
9
2 4

Từ (1) và (2) suy ra:

x y z
= =
2 3 4

0,75đ

0,75đ


22
Cho biểu thức M =
Ta có: M =

5− x
. Tìm x nguyên để M nhỏ nhất
x−2

5 − x 3 − ( x − 2)

3
=
=
− 1 ( x ≠ 2)
x−2
x−2
x−2

c) M nhỏ nhất 

3
nhỏ nhất  x – 2 lớn nhất và x – 2 < 0
x−2

2,0đ
0,5đ

1,0đ

 x lớn nhất và x < 2  x = 1 (vì x nguyên)
3
− 1 = −4 khi x = 1
1− 2

0,5đ

Bài 4: (3,0 điểm)

Khi đó GTNN của M là: M =

Chứng minh: KC = KA

1,0đ

·
· )
Ta có ·yAz = zAx
= 300 (Az là tia phân giác của xAy
·
a) Mà: ·yAz = ACB
(Ay // BC, so le trong)
· = ACB
·
⇒ zAx
⇒V ABC cân tại B
Trong tam giác cân ABC có BK là đường cao ứng với cạnh đáy
⇒ BK cũng là đường trung tuyến của ∆ABC ⇒ KC = KA

Chứng minh: BH =

AC
2

·
Ta có: ·ABH = 900 − xAy
= 300 (∆ABH vuông tại H).

0,5đ

0,5đ

1,0đ
0,25đ

b) Xét hai tam giác vuông ∆ABH và ∆BAK, có:
· = ·ABH (= 300 )
AB: Cạnh chung; zAx

0,5đ

⇒ ∆ABH = ∆BAK ⇒ BH = AK
Mà: AK =

AC
AC
(cmt ) ⇒ BH =
2
2

c) Chứng minh: ΔKMC đều

0,25đ
1,0đ


23
Ta có: ∆AMC vuông tại M có MK là trung tuyến ứng với cạnh huyền
⇒ KM = AC/2 (1)
Mà: AK = KC = AC/2 (2)
Từ (1) và (2) => KM = KC => ∆KMC cân tại K (3)
0

·
·
Mặt khác: ∆AMC có ·AMC = 900 ; yAz=30
⇒ MCK
= 900 − 300 = 600 (4)

0,5đ

0,5đ

Bài 5: (3,0 điểm)

Từ (3) và (4) ⇒ ∆AMC đều

Chứng minh rằng đường thẳng DH đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC

3,0đ

µ = 2.C
µ => B
µ >C
µ nên AC > AB => HC > HB
Ta có: B

0,25đ

Trên đoạn thẳng HC lấy điểm I sao cho IH = HB => ∆AHI = ∆AHB

0,5đ

·
·
=> AI = AB và ·AIB = ABC
= 2. ACB
·
·
·
·
Mặt khác: ·AIB = ACB
+ IAC
=> IAC
= ACB

0,5đ

Do đó: IA = IC < HC hay AB < HC = AD
Gọi K là giao điểm của DH với AC.
Vì AD = HC, AB = IC nên BD = HI = HB => ∆DBH cân tại B
1·
·
·
·
= BHD
= ABC
= ACB
Do đó: BDH
2
·
·
·

·
·
Suy ra: KHC = ACB (= BHD
(phụ hai góc bằng nhau)
) => KAH
= KHA

Suy ra: KA = KH = KC hay K là trung điểm của AC
Vậy đường thẳng DH đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC
Ghi chú: - Mọi cách giải khác nếu đúng, lý luận phù hợp đều ghi điểm tối đa.
- Điểm bài thi được làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất.
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016

TIỀN HẢI

ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM
m¤N: TOÁN 7

(Đáp án và biểu điểm chấm gồm 03 trang)

1,0đ

0,75đ


24
Bài 1 (4,0 điểm)
Cho A = 3 + 32 + 33 + … + 32015 + 32016.

a) Tính A.
b) Tìm chữ số tận cùng của A.
c) A có là số chính phương không? Vì sao?
Câu

Nội dung
A = 3 + 32 + 33 + … + 32015 + 32016

Ta có:

0,5

3A = 32 + 33 + 34 + … + 32016 + 32017

a/
(1,5 đ)

Suy ra: 3A - A = (32 + 33 + 34 + … + 32016 + 32017 )- (3 + 32 + 33 + … + 32015 + 32016)
A=

Điểm

32017 − 3
.
2

0,5
0,5

Ta có: A = (3 + 32 + 33 + 34) + … +(32013 + 32014 + 32015 + 32016)

b/

= 3(1 + 3 + 32 + 33) + ... + 32013(1 + 3 + 32 + 33)

(1,5 đ)

= 3.40 + ... + 32013.40 = 40.(3 + 35 + ... + 32013)

c/
(1,0 đ)

0,75
0,5

Suy ra A có chữ số tận cùng là 0

0,25

Lập luận được A chia hết cho 3

0,25

Lập luận được A không chia hết cho 32

0,25

Mà 3 là số nguyên tố nên suy ra A không là số chính phương

0,5

Bài 2 (4,0 điểm)
a) Tìm x, biết:

x − 1 +2 = 3

b) Tìm 3 phân số có tổng của chúng bằng 1

1
,
70

các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5 và các mẫu tương ứng của chúng tỉ lệ với

5; 1; 2.
Câu

Nội dung
Lập luận được x − 1 +2 > 0.

a/
(2,0 đ)

Nên

x − 1 +2 = 3 ⇒ x − 1 +2

Điểm
0,5

=3⇒

x −1 =1

0,75

⇒ x -1 = 1 hoặc x – 1 = -1 ⇒ x = 2 hoặc x = 0.

0,5

Vậy x = 2 ; x = 0

0,25


25
Gọi 3 phân số cần tìm lần lượt là

a b c
; ;
x y z

thì ta có
0,5

a b c
1
+ + =1
x y z
70

⇒
b/
(2,0 đ)

và

a b c x y z
= = ; = =
3 4 5 5 1 2

a x b y c z
: = : = :
3 5 4 1 5 2

a b c
y
⇒ x = = z
3 4 5
5 1 2

0,75

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

a b c
x=y=z
3 4 5
5 1 2

=

a b c
1
+ +
1
x y z
= 70
3 4 5
71
+ +
5 1 2 10

Vậy 3 phân số cần tìm là

=

1
7

⇒

a 3 b 4 c 5
= ; = ; =
x 35 y 7 z 14

3 4 5
; ; .
35 7 14

0,5

0,25

Bài 3 (3,0 điểm)
Cho hàm số: y = f(x) = ax + 4 có đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a 2 – a).
a) Tìm a.
b) Với a vừa tìm được, tính giá trị của x thỏa mãn: f(3x- 1) = f(1- 3x).
Câu

Nội dung

Điểm

Đồ thị hàm số y = ax + 4 đi qua điểm A(a+1; a2- a) nên có:
a/
(1,5đ)

0,5

a2- a = a(a+1) +4.
⇒ a2 - a = a2 +a + 4 ⇒ a = -2.

0,75

Vậy a = -2 thì đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a2 – a).

0,25

Với a = -2 ta có hàm số y = f(x) = -2x + 4
0,5

⇒ f(3x- 1) = -6x + 6; f(1- 3x) = 6x + 2.
b/
(1,5đ)

Do đó: f(3x- 1) = f(1- 3x) ⇒ -6x + 6 = 6x + 2 ⇒ x =

Vậy khi x =
Bài 4 (7,0 điểm)

1
thì f(3x- 1) = f(1- 3x).
3

1
.
3

0,75

0,25