Đề thi HSG toán lớp 9 có đáp án đề 55

kì thi tuyển vào lớp 10 - THPT chuyên lam sơn. (40)
môn thi: Toán học
Thời gian: 150 phút
đề bài
Bài 1 (2 điểm)
Xét biểu thức : M =








+












+
+

13
23
1:
13
1
13
1
19
8
3
xx
xx
xx
xx
xx
x
xx
a. Rút gọn biểu thức M.
b. Tìm giá trị của x để M =
2
3
Bài 2 (2 điểm)
Xét biểu thức A = y
2
+ 5xy +6x
2
.
a. Phân tích A thành nhân tử.
b. Tìm các cặp số (x; y) thoả mãn điều kiện:
x - y + 1 = 0 và A = 0.

Bài 3 (2 điểm)
Giải phơng trình sau:
2x
2
+
1121
2
=+
xxx
Bài 4 (2 điểm)
Giải phơng trình:
x
3
+ x
2
- 4x - 4 = 0.
Bài 5 (2 điểm).
Giải hệ phơng trình sau:






+=+
=+
4477
33
1
yxyx

yx
Bài 6 (2 điểm)
Cho a, b là hai số nguyên, xác định a để:
ax
17
+ bx
16
+ 1 chia hết cho x
2
- x - 1.
Bài 7 (2 điểm).
Trong một tam giác đều cạnh a, ngời ta gieo vào đó một cách tuỳ ý
5 điểm. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một cặp điểm mà khoảng cách giữa
chúng nhỏ hơn
2
a
.
Bài 8 (2 điểm).
Cho góc xOy và một đờng tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc đó tại A và B.
Qua A kẻ đờng thẳng song song với OB cắt đờng tròn tại điểm C. Gọi K là
trung điểm của đoạn thẳng OB, đờng thẳng AK cắt đờng tròn tại điểm E.
a. Chứng minh rằng 3 điểm O, E, C thẳng hàng.
b. Đờng thẳng AB cắt OC tại điểm D. Chứng minh rằng:
DC
DE
OC
OE
=
Bài 9 (2 điểm).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

f(x) =
52
568056164
2
234
++
++++
xx
xxxx
Bài 10 (2 điểm).
Giả sử f(x) là một đa thức bậc 4 với hệ số nguyên.
Chứng minh rằng: Nếu f(x)
7
với

x
thì từng hệ số của f(x) cũng
7
.
đáp án Đề thi đề xuất
kì thi vào 10 - thtp chuyên lam sơn.
môn thi: Toán học
bảng: B
Thời gian: 150 phút
Bài làm
Đáp án
Thang
điểm
Bài 1 (2 điểm):
ĐK: x

3
9
1
,0

x
0.25
đ
a. Ta có M =
3
13
19
133138
3
2
+









+++
xx
x
xxxxxxxxx
=

( )
3
13
*
19
3
3
3
+

+
xx
x
xxx
=
13
3

+
xx
xxx
0.75
đ
b. M =
2
3
13
2
3
3

=

+

xx
xxx
với các điều kiện nêu trên phơng trình trở
thành:
x
3
- 7x
03
=+
x
0.25
đ
Đặt t = x
2
1
,30372
21
2
===+
ttttx
0.25
đ
+ x
3
93
==

xx
0.25
đ
+ x
3
4
1
2
1
==
xx
0.25
đ
Bài 2 (2 điểm)
a. Ta có A = y
2
- 2xy - 3xy + 6x
2
= y(y - 2x) - 3x(y - 2x)
= (y - 2x)(y - 3x). 1
đ
b. Ta có A = 0




=
=

03

0
xy
xy
0.25
đ
Để thoả mãn bài toán ta có hệ:
0.75
đ

















=
=




=
=
⇔










=+−
=−



=+−
=−
2
3
2
1
2
1
01
03
01
02

y
x
y
x
yx
xy
yx
xy
Bµi 3 (2 ®iÓm).
§K:
11
01
01
2
≤≤−⇔



≥−
≥−
x
x
x
0.25
®
ChuyÓn vÕ ph¬ng tr×nh ta ®îc:

22
12211 xxxx
−−−=−

B×nh ph¬ng hai vÕ ta ®îc ph¬ng tr×nh hÖ qu¶:

0)18141(
18144)1(4411
22
2322224
=−+−−⇔
−+−−−−++=−
xxxx
xxxxxxxxx
0,75
®





=−+−−
=
⇒
)1.(018141
0
22
xxx
x
Gi¶i (1) ta ®Æt
222
101 txxt
−=⇒≥−=
0,5

®
Ta đợc phơng trình: 1 - 4t +8(1 - t
2
)t = 0
8t
3
- 4t - 1 = 0.
(2t + 1)(4t
2
- 2t - 1) = 0.

4
51

=
t
từ đó
8
55

=
x
Thử lại ta thu đợc nghiệm của phơng trình là:
x = 0;
8
55

=
x
0,5

đ
Bài 4 (2 điểm)
Giải phơng trình:
x
3
+ x
2
- 4x - 4 = 0 x
2
(x + 1) - 4(x + 1) = 0.
(x + 1)(x
2
- 4) = 0
(x + 1)(x - 2)(x + 2) = 0 1
đ






=
=
=

=+
=
=+
2
2
1
02
02
01
x
x
x
x
x
x
Vậy phơng trình có 3 nghiệm: x = -1; x = 2; x = -2. 1
đ
Bài 5 (2 điểm)
Hệ phơng trình đã cho tơng đơng với hệ:






=+
=+

++=+
=+
)2(0)(
)1(1
))((
1
33
33
334477
33
yxyx
yx
yxyxyx
yx
0,5
đ
+ Nếu x = 0 thì kết hợp với (1) ta đợc y = 1.
+ Nếu y = 0 thì kết hợp với (1) ta đợc x = 1.
+ Nếu x + y = 0 x = -y x
3
+ y
3
= 0 nên từ (1) không thoả mãn 0,5
đ
Vậy hệ phơng trình đã cho có nghiệm là: (x;y) = (0;1), (1;0)
0,5
đ

Bài 6 (2 điểm)
Đặt f(x) = ax
17
+ bx
16
+ 1, f(x) chia hết cho x
2
- x - 1 có nghĩa là
f(x) chia hết cho (x - )(x - ) với , là hai nghiệm của phơng trình
x
2
- x - 1 = 0 0,5
đ
Vậy ta có: 0,5
đ