Đường cong đơn thức trong không gian afin

hướng dẫn đọc toàn văn báo cáo KQNC

!
!

Bạn muốn đọc nhanh
những thông tin cần thiết ?
Hy đọc qua Mục lục bên tay trái bạn trước khi
đọc báo cáo ( với Acrobat 4.0 trở lên, cho trỏ chuột vào
mỗi đề mục để đọc toàn bộ dòng bị che khuất )

! Chọn đề mục muốn đọc và nháy chuột vào đó
!
!

Bạn muốn phóng to hay thu nhỏ
trang báo cáo trên màn hình ?
Chọn, nháy chuột vào 1 trong 3 kích th
thưước
có sẵn trên thanh Menu

, hoặc

! Mở View trên thanh Menu, Chọn Zoom to
! Chọn tỷ lệ có sẵn trong hộp kích th
thưước
muốn,, Nhấn OK
hoặc tự điền tỷ lệ theo ý muốn

Chúc bạn hài lòng
với những thông tin đđưược cung cấp

Lời cảm ơn
Trước hết em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Trần Mạnh
Hùng- Người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình để em hoàn thành
khóa luận của mình.
Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Quảng
Bình, sự giúp đỡ về mọi mặt của quý thầy cô ở khoa Khoa học tự nhiên
đã cung cấp cho em những kiến thức quý báu trong thời gian học tập
cũng như trong suốt quá trình thực hiện khóa luận.
Lời cuối em xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, các bạn sinh
viên ở lớp Đại học sư phạm Toán K53 đã giúp đỡ động viên, chia sẻ
khó khăn cùng em.

1


Mục lục

Lời cảm ơn

1

MỤC LỤC

2

MỞ ĐẦU

4

1

7

Kiến thức cơ sở
1.1

Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3

Trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4

Iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5

Không gian afin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Đường cong đơn thức trong không gian afin
2.1

7

23

Đa tạp afin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1

Tập đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.2

Tôpô Zariski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2


2.2

2.1.3

Tập đại số bất khả quy . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.4

Đa tạp afin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Đường cong đơn thức trong không gian afin . . . . . . . 32

KẾT LUẬN

45

TÀI LIỆU THAM KHẢO

46

3


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Một trong những vấn đề quan trọng của Toán học trong suốt ba thế
kỉ qua là việc nghiên cứu và tìm lời giải cho bài toán Fermat. Đây là
một bài toán thuộc về lĩnh vực Lý thuyết số nhưng đã thu hút được
sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều nhà khoa học. Điều thú vị là
trong quá trình tìm kiếm lời giải cho giả thuyết Fermat thì người ta đã
phải sử dụng tới rất nhiều kiến thức và kĩ thuật cũng như phương pháp
nghiên cứu của rất nhiều ngành khác nhau như Lý thuyết số, Đại số
giao hoán, Giải tích... và đặc biệt trong số đó có sự đóng góp rất quan
trọng của ngành Hình học đại số. Lý thuyết về các đa tạp, các đường
cong đại số... và các kết quả nghiên cứu liên quan là những tiệm cận
của lời giải Định lí Fermat. Tôi lựa chọn đề tài này thuộc lĩnh vực Hình
học đại số với ý tưởng tìm hiểu một số kiến thức chuyên sâu của đa tạp
và nghiên cứu sâu sắc về đa tạp đại số, đường cong đơn thức trong các
không gian nhất là trong không gian afin.
2. Mục đích nghiên cứu
Thực hiện đề tài “Đường cong đơn thức trong không gian afin”, tôi
hướng đến mục đích là rèn luyện khả năng tiếp cận, tìm hiểu và nghiên
cứu một vấn đề Toán học còn khá mới đối với bản thân. Từ đó, hình
thành khả năng trình bày một khái niệm toán học trừu tượng một cách
lôgic và có hệ thống. Trình bày các kiến thức liên quan đến đề tài. Tổng

hợp các kiến thức bổ trợ cho đề tài: Nhóm, vành, trường, iđêan cũng
như không gian afin và đa tạp afin. Nghiên cứu sâu hơn đường cong
4


đơn thức trong không gian afin.
3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
- Củng cố lại các kiên thức liên quan như nhóm, vành, trường, iđêan.
- Các kiến thức về không gian afin như ánh xạ afin, ảnh và tạo ảnh
qua ánh xạ afin.
- Các kiến thức liên quan đến đa tạp afin như tập đại số, tập đại số
bất khả quy, đa tạp afin và đường cong đơn thức trong không gian afin.
4. Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp được sử dụng trong quá trình nghiên cứu đề tài:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc, phân tích, tổng hợp tài liệu
làm rõ nội dung lý thuyết. Sau đó trình bày lại các tính chất theo một
hệ thống có lôgic.
- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Xemina, lấy ý kiến của giảng
viên hướng dẫn để hoàn thành về mặt nội dung cũng như hình thức đề
tài nghiên cứu.
- Nghiên cứu, phân tích, tổng hợp các tài liệu của các nhà khoa học
đã nghiên cứu về vấn Hình học đại số trước đây.
- Nghiên cứu về đa tạp afin một cách chuyên sâu qua đó mở ra vấn
đề đường cong đơn thức trong không gian afin.
5. Bố cục khóa luận
Ngoài các phần mở đầu, kết luận, mục lục và tài liệu tham khảo, nội
dung khóa luận gồm 2 chương:

5

Chương 1: Kiến thức cơ sở
Chương này là hệ thống gồm một số kiến thức về nhóm, vành, trường,
đặc số của trường, iđêan, tập sinh của iđêan, không gian afin và ánh xạ
afin.
Chương 2: Đường cong đơn thức trong không gian afin
Chương này sẽ hệ thống hóa các kiến thức liên quan đa tạp afin như
tập đại số, tập đại số bất khả quy. Cũng như nghiên cứu sâu hơn về
đường cong đơn thức trong không gian afin.

6


Chương 1

Kiến thức cơ sở
Chương này là hệ thống gồm một số kiến thức về nhóm, vành, trường,
đặc số của trường, iđêan, tập sinh của iđêan, không gian afin và ánh xạ
afin.

1.1

Nhóm

Định nghĩa 1.1.1. Phép toán hai ngôi (gọi tắt là phép toán) trên tập
hợp X là một ánh xạ
f : X × X −→ X
(x, y) −→ f (x, y).
Ta dùng kí hiệu xf y thay cho f (x, y). Như vậy, ứng với các phép toán
∗, ◦, +, ... ta có các kí hiệu x ∗ y, x ◦ y, x + y, ... Khi kí hiệu phép toán là

. ta gọi đây là phép nhân và thường viết xy thay cho x.y mà ta gọi đây
là tích của x và y. Còn khi kí hiệu phép toán là + ta gọi đây là phép
toán cộng và x + y là tổng của x và y.
Ví dụ. 1. Phép cộng và phép nhân thông thường trên các tập hợp
7


N, Z, Q, R, C là các phép toán hai ngôi. Phép trừ thông thường là phép
toán trên các tập hợp Z, Q, R, C nhưng không là phép toán trên N.
2. Phép cộng và phép nhân ma trận là các phép toán trên M (n, R)
gồm các ma trận vuông cấp n với hệ số thực.
Định nghĩa 1.1.2. Cho phép toán ∗ trên tập hợp X.
Ta nói phép toán ∗:
(i) Giao hoán nếu với mọi x, y ∈ X, x ∗ y = y ∗ x.
(ii) Kết hợp nếu với mọi x, y, z ∈ X, (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).
(iii) Có phần tử trung hòa trái (phân tử trung hòa phải) là e nếu
e ∈ X và với mọi x ∈ X, e ∗ x = x (tương ứng x ∗ e = x). Nếu e vừa
là phần tử trung hòa trái vừa là phần tử trung hòa phải thì ta nói e là
phần tử trung hòa của phép toán ∗.
Mệnh đề 1.1.3. Một phép toán có nhiều nhất một phần tử trung hòa.
Định nghĩa 1.1.4. Cho ∗ là một phép toán trên tập hợp X có phần
tử trung hòa e và x là một phần tử tùy ý của X. Ta gọi x là khả đối
xứng trái (tương ứng là khả đối xứng phải) nếu tồn tại x ∈ X sao cho
x ∗ x = e (tương ứng x ∗ x = e). Khi đó x được gọi là phần tử đối
xứng trái (tương ứng là phần tử đối xứng phải) của x. Trường hợp x
vừa là khả đối xứng trái, vừa khả đối xứng phải thì ta nói x là khả đối
xứng và phần tử x ∈ X thỏa mãn x ∗ x = x ∗ x = e được gọi là phần
tử đối xứng của x.

8

Chú ý:
1. Đối với phép toán cộng: Phần tử trung hòa được gọi là phần tử
không và được kí hiệu là 0, phần tử đối xứng của x được gọi là phần
tử đối của x và kí hiệu là −x.
2. Đối với phép toán nhân: Phần tử trung hòa được gọi là phần tử
đơn vị và được kí hiệu là e hoặc 1, phần tử đối xứng của x được gọi là
phần tử nghịch đảo của x và kí hiệu là x−1 .
Định nghĩa 1.1.5. Cho tập hợp X với phép toán nhân. Ta nói (X, .)
( gọi tắt là X) là:
(i) Một nửa nhóm nếu phép toán nhân kết hợp trên X.
(ii) Một vị nhóm nếu phép toán nhân kết hợp trên X và có phần tử
trung hòa trên X.
Một nửa nhóm được gọi là giao hoán nếu phép toán tương ứng giao
hoán.
Ví dụ. 1. Với phép cộng thông thường, các tập hợp N, Z, Q, R, C trở
thành các vị nhóm giao hoán.
2. Với phép cộng thông thường, tập hợp N∗ trở thành một nửa nhóm
giao hoán nhưng không là vị nhóm.
Kí hiệu: Trong nửa nhóm (X, .) do phép toán nhân kết hợp nên với
mọi x, y, z.
(xy)z = x(yz).
Giá trị chung của hai vế trong đẳng thức trên được kí hiệu là xyz
và gọi là tích của các phần tử x, y, z theo thứ tự đó. Bằng quy nạp ta
9


định nghĩa tích của n phần tử x1 , x2 , ..., xn như sau:

x1 ...xn = x1 (x2 ...xn ).
Từ đó ta có định lí sau:
Định lí 1.1.6. Cho x1 , x2 , ..., xn là n phần tử tùy ý của nửa nhóm
(X, .) với n ≥ 3. Khi đó:
x1 ...xn = (x1 ...xi )(xi+1 ...xj )..(xk+1 ..xn ).
Trong đó 1 ≤ i < j < ... < k < n.
Định lí 1.1.7. Trong nửa nhóm giao hoán, tích của n phần tử tùy ý
không phụ thuộc vào thứ tự của các phần tử.
Định nghĩa 1.1.8. Nhóm là một vị nhóm mà mọi phần tử đều có phần
tử đối xứng. Nói cách khác, tập hợp G khác rỗng với phép toán nhân
được gọi là một nhóm nếu các tính chất sau được thỏa mãn:
(i) ∀x, y, z ∈ G, (xy)z = x(yz).
(ii) ∃e ∈ G sao cho ∀x ∈ G, ex = xe = x.
(iii) ∀x ∈ G, ∃x−1 ∈ G sao cho xx−1 = x−1 x = e.
Nếu phép toán trên G là phép cộng thì các tính chất trên trở thành:
(i) ∀x, y, z ∈ G, (x + y) + z = x + (y + z).
(ii) ∃0 ∈ G sao cho ∀x ∈ G, 0 + x = x + 0 = x.
(iii) ∀x ∈ G, ∃ − x ∈ G sao cho x + (−x) = (−x) + x = 0.

10


Nếu phép toán trên nhóm G giao hoán thì ta nói G là nhóm giao
hoán hay nhóm Abel. Nhóm G được gọi là nhóm hữu hạn khi tập hợp
G hữu hạn. Khi đó số phần tử của G được gọi là cấp của nhóm G. Nếu
nhóm G không hữu hạn thì ta nói G là nhóm vô hạn.
Ví dụ. 1. Tập hợp các số nguyên Z cùng với phép cộng thông thường
là một nhóm giao hoán mà ta thường gọi là nhóm cộng các số nguyên.
2. Tập hợp các số hữu tỉ khác không Q∗ cùng với phép nhân thông
thường là một nhóm giao hoán mà ta thường gọi là nhóm nhân các số

hữu tỉ khác không.
3. Với X = {1, 2, ..., n} đặt:
Sn = {σ|σX → X là một song ánh}.
Khi đó Sn với phép nối ánh xạ là một nhóm có phần tử đơn vị là ánh
xạ đồng nhất IdX và phần tử nghịch đảo σ ∈ Sn chính là ánh xạ ngược
σ −1 . Ta gọi (Sn , ◦) là nhóm hoán vị hay nhóm đối xứng bậc n.
Định lí 1.1.9. Cho nhóm (G, .) và x, y, x1 , ..., xn ∈ G. Khi đó:
(i) Phần tử đơn vị e là duy nhất.
(ii) Phần tử nghịch đảo x−1 của x là duy nhất và (x−1 )−1 = x.
(iii) xy = e khi và chỉ khi yx = e. Hơn nữa khi đó y = x−1 .
−1
n −1
(iv) (x1 ...xn )−1 = x−1
= (x−1 )n ∀n là số nguyên
n ...x1 . Đặc biệt (x )

dương.
(v) Phép toán nhân có tính giản ước, nghĩa là ∀x, y, z ∈ G từ đẳng
thức xy = xz hay yx = zx đều dẫn đến y = x.

11


Định lí 1.1.10. Cho (G, .) là một nửa nhóm khác rỗng. Khi đó các
mệnh đề sau là tương đương:
(i) (G, .) là một nhóm.
(ii) ∀a, b ∈ G các phương trình ax = b và ya = b đều có nghiệm trong
G.
(iii) Trong G có phần tử đơn vị trái e và ∀x ∈ G, ∃x ∈ G sao cho
x x = e.

(iv) Trong G có phần tử đơn vị phải e và ∀x ∈ G, ∃x ∈ G sao cho
xx = e .

1.2

Vành

Định nghĩa 1.2.1. Một tập hợp R cùng với hai phép toán cộng và
nhân được gọi là Vành nếu thỏa mãn các tính chất sau:
(i) (R, +) là nhóm Abel.
(ii) (R, .) là nửa nhóm.
(iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, nghĩa là x, y, z ∈ R ta
có
x(y + z) = xy + xz.
(y + z)x = yx + zx.
Phần tử trung hòa của phép cộng được gọi là phần tử không kí hiệu
là 0, phần tử đối xứng của phần tử x ∈ R là phần tử đối của x, kí hiệu
là −x. Nếu phép nhân giao hoán thì ta nói vành R giao hoán, nếu phép
12


toán nhân có phần tử đơn vị thì vành R được gọi là vành có đơn vị.
Phần tử đơn vị được kí hiệu là e hay 1.
Nhận xét: Cho R là vành có đơn vị e. Phần tử x ∈ R được gọi là
khả nghịch nếu x khả đối xứng đối xứng với phép nhân, nghĩa là tồn
tại y ∈ R sao cho xy = yx = e. Kí hiệu:
R∗ = {x ∈ R|x khả nghịch }. Khi đó, R∗ là một nhóm đối với phép
nhân, gọi là nhóm các phần tử khả nghịch của R.
Ví dụ. 1. Tập hợp các số nguyên Z với phép cộng và phép nhân thông
thường là vành giao hoán, có đơn vị, gọi là vành các số nguyên. Tương

tự ta cũng có vành các số hữu tỉ Q, vành các số thực R, vành các số
phức C.
2. Trên nhóm cộng Zn các số nguyên modulo n, ta định nghĩa phép
toán nhân như sau: ∀x, y ∈ Zn , xy = xy. Khi đó Zn trở thành vành giao
hoán có đơn vị 1.
3. Tập M (n, R) các ma trận vuông cấp n với hệ số thực cùng với
phép cộng và nhân ma trận thông thường là vành có đơn vị. Vành này
không giao hoán nếu n ≥ 2.
4. Cho (G, +) là nhóm Abel. Tập hợp End(G) các tự đồng cấu của
nhóm G là vành có đơn vị với phép cộng được xác định bởi:
(f + g)(x) = f (x) + g(x), ∀f, g ∈ End(G), ∀x ∈ G,
và phép nhân là phép hợp nối ánh xạ. Vành này không giao hoán nếu
|G| ≥ 2.

13


5. Giả sử R1 , R2 , ..., Rn là các vành. Khi đó tích Descartes
n

Ri = {(x1 , x2 , ..., xn )|x1 ∈ R1 , x2 ∈ R2 , ..., xn ∈ Rn },
i=1

cùng với phép cộng (xi ) + (yi ) = (xi + yi ) và phép nhân (xi )(yi ) = (xi yi )
là một vành, gọi là vành tích trực tiếp của R1 , R2 , ..., Rn . Hiển nhiên
nếu mọi vành Ri đều giao hoán (tương ứng có đơn vị) thì vành tích trực
tiếp cũng giao hoán (tương ứng có đơn vị).
Mệnh đề 1.2.2. Cho R là một vành. Khi đó với mọi x, y, z ∈ R và
n ∈ Z ta có:
(i) x(y − z) = xy − xz và (y − z)x = yx − zx.

(ii) 0x = x0 = 0.
(iii) x(−y) = (−x)y = −(xy) và (−x)(−y) = xy.
(iv) (nx)y = x(ny) = n(xy). Đặc biệt, nếu R có đơn vị e thì
nx = (ne)x = x(ne).
Định nghĩa 1.2.3. (i) Giả sử X và Y là các vành. Ánh xạ f : X → Y
được gọi là đồng cấu vành nếu thỏa hai điều kiện sau:
với mọi x, y ∈ X
f (x + y) = f (x) + f (y).
f (xy) = f (x)f (y).
Nếu X = Y thì đồng cấu f : X → Y được gọi là tự đồng cấu của X.
(ii) Cho đồng cấu vành f : X → Y. Khi đó:
f là đơn cấu nếu ánh xạ f là đơn ánh.
f là toàn cấu nếu ánh xạ f toàn ánh.
14


f là đẳng cấu nếu ánh xạ f là song ánh.
Một tự đồng cấu song ánh được gọi là một tự đẳng cấu.
Ví dụ. 1. Ánh xạ đồng nhất idR của vành R là một tự đẳng cấu gọi là
tự đẳng cấu đồng nhất của R.
2. Giả sử A là vành con của vành R. Khi đó ánh xạ bao hàm:
iA : A → R xác định bởi iA (x) = x là một đơn cấu, gọi là đơn cấu chính
tắc.
3. Giả sử I là iđêan của vành R. Khi đó ánh xạ π : R → R/I xác
định bởi π(x) = x là một toàn cấu, gọi là toàn cấu chính tắc.
4. Giả sử R, R là hai vành. Khi đó ánh xạ f : R → R xác định
bởi f (x) = 0R (0R là phần tử không của vành R ) là một đồng cấu, gọi
là đồng cấu tầm thường.
Tính chất. (i) Tích của hai đồng cấu vành là một đồng cấu vành.
(ii) Giả sử f : X → Y là đồng cấu vành. Khi đó:

ii1 . f là một toàn cấu khi và chỉ khi Imf = Y.
ii2 . f là một đơn cấu khi và chi khi Kerf = {0}.

1.3

Trường

Định nghĩa 1.3.1. Một vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn một
phần tử trong đó mọi phần tử khác 0 đều khả nghịch được gọi là một
trường.

15


Nhận xét: (R, +, .) là một trường khi và chỉ khi các tính chất sau đây
được thỏa mãn:
(i) (R, +) là nhóm Abel.
(ii) R {0} là nhóm Abel.
(iii) Phép nhân phân phối với phép cộng.
Ví dụ. 1. Tập hợp các số hữu tỷ Q với phép cộng và nhân thông thường
là trường. Ta gọi là trường các số hữu tỷ Q. Tương tự, ta có trường các
số thực R, trường các số phức C.
2. Vành Zn các số nguyên modulo n là trường khi và chỉ khi n = p
(nguyên tố).
Một đồng cấu trường là một một đồng cấu vành biến đơn vị thành
đơn vị. Tương tự như vành, ta có khái niệm đơn cấu, toàn cấu và đẳng
cấu trường.
Cho F là một trường. Một đồng cấu (đẳng cấu) trường từ F vào F
gọi là một tự đồng cấu (tự đẳng cấu) trường. Tập tất cả các tự đẳng
cấu trường với phép toán tích các ánh xạ tạo thành một nhóm, kí hiệu

là Aut(F).
Nhận xét: Mọi đồng cấu trường đều là đơn cấu.
Định nghĩa 1.3.2. Một vành con A chứa phần tử 1 của trường F được
gọi là trường con nếu A ổn định với phép lấy phần tử nghịch đảo.
Nhận xét:
(i) Một trường con của F là một trường với các phép toán cảm sinh.
16


(ii) Giao của một họ khác rỗng các trường con là một trường con.
Cho F là một trường. Xét ánh xạ
ϕ:Z→F
m → m1F
Dễ dàng chứng minh rằng ϕ là một đồng cấu vành. Xét Ker(ϕ) ta có
các trường hợp sau:
• Ker (ϕ) = 0. Do Z là miền nguyên chính, ta có Ker(ϕ) = (p) với
p > 0 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa p1F = 0. Rõ ràng p là một số
nguyên tố. Suy ra ϕ cảm sinh một đơn cấu từ Z vào F, do đó F chứa
một trường con đẳng cấu với Z . Trường con này chứa trong tất cả các
trường con của F. Số nguyên tố p được gọi là đặc số của trường F.
• Ker(ϕ) = 0, tức là 0 là số nguyên duy nhất để m1F = 0. Khi đó ϕ
mở rộng duy nhất thành một đồng cấu trường từ Q vào F xác định bởi
m/n → ϕ(m)ϕ(n−1 ). Do đó F chứa một trường con đẳng cấu với Q và
trường con này chứa trong tất cả các trường con của F. Khi đó ta nói
F là trường có đặc số 0.

1.4

Iđêan

Định nghĩa 1.4.1. Cho R là một vành.
Tập con A khác rỗng của R được gọi là một vành con của R nếu A
ổn định đối với hai phép toán trong vành R (nghĩa là x + y ∈ R và
xy ∈ R) và A cùng với hai phép toán cảm sinh là một vành.

17


Định lí 1.4.2. Cho A là một tập con khác rỗng của vành R. Các mệnh
đề sau là tương đương
(i) A là một vành con của R.
(ii) ∀x, y ∈ A, x + y ∈ A, xy ∈ A, −x ∈ A.
(iii) ∀x, y ∈ A, x − y ∈ A, xy ∈ A.
Định nghĩa 1.4.3. Vành con I của R được gọi là một iđêan trái (tương
ứng iđêan phải) của R nếu ∀r ∈ R, x ∈ I ta có rx ∈ I tương ứng xr ∈ I.
Ta nói I là một iđêan của R nếu I vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải
của R.
Định lí 1.4.4. Cho I là một tập con khác rỗng của vành R. Các mệnh
đề sau đây tương đương:
(i) I là một iđêan của R.
(ii) ∀x, y ∈ I và r ∈ R, x + y ∈ I, −x ∈ I, rx ∈ I, xr ∈ I.
(iii) ∀x, y ∈ I và r ∈ R, x − y ∈ I, xr ∈ I, rx ∈ I.
Nhận xét:
1. Các tập hợp {0} và R đều là các iđêan của R, gọi là các iđêan tầm
thường.
2. Nếu vành R giao hoán thì các khái niệm iđêan trái, iđêan phải và
iđêan là trùng nhau.
3. Giả sử R là vành có đơn vị và I là một iđêan trái hay phải của R.
Khi đó I = R ⇔ I chứa ít nhất một phần tử khả nghịch ⇔ chứa phần
tử đơn vị.

18


4. Với I, J là hai iđêan của R, đặt:
I + J = {x + y|x ∈ I, y ∈ I}
n

xi yi |xi ∈ I, yi ∈ J, n ∈ N∗ }

IJ = {
i=1

Khi đó I + J và IJ cũng là các iđêan của R, gọi là tổng và tích của các
iđêan I và J.
Ví dụ. 1. I là iđêan của Z ⇔ I có dạng nZ với n ∈ Z.
2. M (n, Z) là vành con của M (n, Q) nhưng không là iđêan.
3. M (n, 2Z) là iđêan của M (n, Z).
Từ định nghĩa ta thấy giao của một họ khác rỗng của các iđêan của
một vành R cũng là một iđêan của vành R.
Giả sử S là một tập con của vành R. Khi đó S chứa trong ít nhất
một iđêan của R chẳng hạn S ⊂ R. Giao của tất cả các iđêan của R có
chứa S là một iđêan của R có chứa S. Ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.4.5. Cho S là một tập con khác rỗng của vành R. Ta
có định nghĩa: Giao của tất cả các iđêan của R có chứa S là iđêan sinh
bởi S. Kí hiệu S .
Từ định nghĩa ta thấy iđêan của R sinh bởi tập hợp S chính là iđêan
nhỏ nhất của R có chứa S. Đặc biệt {0} là vành con cũng là iđêan sinh
bởi tập rỗng. Định lí sau đây miêu tả iđêan sinh bởi các tập hợp khác
rỗng.
Định lí 1.4.6. Cho S là một tập con khác rỗng của vành R. Khi đó

19


(i) Nếu R là vành có đơn vị thì iđêan sinh bởi S là tập hợp
n

xi si yi |xi , yi ∈ R, si ∈ S, n ∈ N∗ }.

S ={
i=1

(ii) Nếu R là vành giao hoán có đơn vị thì
n

xi si |xi ∈ R, si ∈ S, n ∈ N∗ }.

S ={
i=1

Định nghĩa 1.4.7. Cho S là một tập con của vành R và I = S . Ta
nói I được sinh ra bởi S và S là tập sinh của I. Nếu S hữu hạn thì ta
nói I hữu hạn sinh. Đặc biệt, nếu S = {a} thì ta viết I = a , gọi là
iđêan chính sinh bởi a.
Nhận xét: Nếu vành R giao hoán, có đơn vị thì iđêan chính sinh bởi
a là:
a = {xa|x ∈ R}
Ta còn kí hiệu tập hợp trên là Ra.

1.5

Không gian afin

Định nghĩa 1.5.1. Cho K- không gian vectơ V , tập A khác rỗng và
ánh xạ
f : A × A → V, f (M, N ) = M N , ∀M, N ∈ A.
Bộ ba (A, f, V ) được gọi là K- không gian afin nếu các tiên đề sau
được thỏa mãn:
(i) Với mọi điểm M của A và với mọi vectơ u của V có duy nhất một
−−→
điểm N của A sao cho M N = u.
−−→ −−→ −−→
(ii) Với mọi bộ ba điểm M, N, P của A luôn có M N + N P = M P .
20


K- không gian afin(A, f, V ) còn được gọi là không gian afin A liên
kết với không gian vectơ V hoặc vắn tắt là không gian afin A.
Không gian afin A gọi là n chiều nếu dim V = n, kí hiệu dim A = n.
−−→
Tính chất. (i) Với mọi điểm M của A thì M M = 0.
−−→
(ii) Với mọi cặp điểm M, N của A mà M N = 0 thì M ≡ N.
−−→
−−→
(iii) Với mọi cặp điểm M, N của A thì M N = −N M .
−−→ −→
−−→ −−→
(iv) M N = P Q ⇔ M P = N Q.
−−→ −−→ −−→
(v) Với ba điểm M, N, P của A thì M P = N P − N M .

Định nghĩa 1.5.2. Hệ m+1 điểm A0 , A1 , ..., Am , (m ≥ 1) của không
−−−→ −−−→ −−−→
gian afin A gọi là độc lập nếu m vectơ A0 A1 , A0 A2 , A0 Am , là độc lập
tuyến tính. Hệ một điểm bất kì luôn được xem là độc lập.
Định nghĩa 1.5.3. Cho hai K- không gian afin A và A liên kết lần
lượt với các không gian vectơ V và V .
Ánh xạ f : A → A được gọi là ánh xạ afin giữa các không gian afin
A và A nếu có ánh xạ tuyến tính g : V → V sao cho với mọi điểm
M , N của A và các ảnh của chúng M = f (M ), N = f (N ) thì ta có
−−−→
−−→
M N = g(M N ).
Ánh xạ tuyến tính g được gọi là liên kết với ánh xạ afin f.
Tính chất. (i) Mỗi ánh xạ afin f : A → A chỉ có một ánh xạ tuyến
tính liên kết duy nhất g: V → V .
(ii) Ứng với mỗi ánh xạ tuyến tính g: V → V và mỗi cặp điểm I
của A và I của A có duy nhất một ánh xạ afin f : A → A mà ánh xạ
21


tuyến tính liên kết với nó là g và f (I) = I.
(iii) Nếu f : A → A , f : A → A là những ánh xạ afin có các ánh
xạ tuyến tính liên kết lần lượt là g : V → V và g : V → V thì g .g :
V → V là ánh xạ tuyến tính liên kết với ánh xạ afin f .f : A → A .
(iv) Cho n+1 điểm độc lập M0 , M1 , ..., Mn trong đó K- không gian
afin n chiều A và cho n+1 điểm tùy ý M0 , M1 , ..., Mn trong đó K- không
gian afin A . Khi đó có một và chỉ một ánh xạ afin f : A → A sao cho
f (Mi ) = Mi , i = 1, 2, ...
Định nghĩa 1.5.4. Cho ánh xạ afin f : A → A liên kết với ánh xạ
tuyến tính g : V → V .

(i) Nếu α là cái phẳng trong A có phương W thì f(α) là cái phẳng
trong A có phương g(W).
(ii) Nếu α là cái phẳng trong A với phương W và nếu f −1 (α ) = ∅
thì f −1 (α ) là cái phẳng trong A với phương g −1 (W ).

22


Chương 2

Đường cong đơn thức trong không
gian afin
Chương này sẽ hệ thống hóa các kiến thức liên quan đến đường cong
đơn thức trong không gian afin. Cũng như nghiên cứu sâu hơn về đường
cong đơn thức trong không gian afin

2.1
2.1.1

Đa tạp afin
Tập đại số

Để tìm hiểu về khái niệm tập đại số, trước hết ta xét một số ví dụ sau:
Ví dụ. Trong mặt phẳng, các hình hình học cơ bản là các đường cong,
thường được xác định bởi đồ thị của một phương trình hai ẩn số
f (x, y) = 0, hàm f (x, y) thường là một đa thức hai biến. Ví dụ phương
trình tổng quát của một đường thẳng có dạng
ax + by + c = 0.
Trong đó các hệ số a, b, c không đồng thời bằng không, còn phương
23

trình tổng quát của một đường cong bậc hai có dạng
ax2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0.
Trong đó a, b, c không đồng thời bằng không.
Ví dụ. Trong không gian, các mặt cong thường được xác định bởi đồ
thị của một phương trình ba ẩn số
f (x, y, z) = 0.
Ví dụ một mặt phẳng trong không gian được xác định bởi đồ thị của
một phương trình tuyến tính
ax + by + cz + d = 0.
Trong đó a, b, c không đồng thời bằng không. Tuy nhiên không phải
hình học nào trong không gian cũng có thể mô tả bởi duy nhất một
phương trình. Khác với đường cong trong mặt phẳng, một đường thẳng
trong không gian được xác định bởi một hệ hai phương trình tuyến
tính:


a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0
.
a x + b y + c z + d = 0
2
2
2
2

Điều này ứng với việc đường thẳng này là giao của hai mặt phẳng
của hai phương trình tuyến tính trên.
Có thể xem các hình hình học trong không gian n- chiều là các tập
nghiệm của các hệ phương trình n ẩn số. Quan niệm này mặc dù chưa

chính xác nhưng lại có một thuận lợi lớn là xét các mối quan hệ giữa
các hình hình học có thể quy về việc xét tập nghiệm của một hệ phương
24