Toán bồi dưỡng HS lớp 5; các bài toán về chia hết

Toán bồi dưỡng học sinh Giỏi lớp 5

CHUYÊN ĐỀ 4: CÁC

BÀI TOÁN VỀ CHIA HẾT

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Dấu hiệu chia hết :
- Chia hết cho 2: Chữ số tận cùng là các chữ số: 0;2;4;6;8
- Chia hết cho 3: Tổng các chữ số chia hết cho 3
- Chia hết cho 4: 2 chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4
- Chia hết cho 5: Chữ số tận cùng là các chữ số: 0; 5
- Chia hết cho 6: Vừa chia hết cho 2 và đồng thời vừa chia hết cho 3
- Chia hết cho 7: Hiệu của số tạo bởi các chữ số đứng trước số tận cùng với 2 lần
chữ số tận cùng chia hết cho 7 ( có thể làm nhiều lần cho tới khi chắc chắn chia hêt cho 7)
- Chia hết cho 8: 3 chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 8
- Chia hết cho 9: Tổng các chữ số chia hết cho 9
- Chia hết cho 11: Hiệu của tổng các chữ số hàng chẵn với tổng các chữ số hàng lẻ
chia hết cho 11.
- Chia hết cho 13: Tổng của số tạo bởi các chữ số đứng trước số tận cùng với 4 lần
chữ số tận cùng chia hết cho 13 ( có thể làm nhiều lần cho tới khi chắc chắn chia hêt cho
13)
- Chia hết cho 14: Kết hợp của dấu hiệu chia hết cho 2 và dấu hiệu chia hết cho 7
- Chia hết cho 15: Kết hợp của dấu hiệu chia hết cho 3 và dấu hiệu chia hết cho 5
2. Phép chia có dư
- Nếu A chia cho 2 dư 1 thì chữ số tận cùng của A phải là 1, 3, 5, 7 hoặc 9.
- Nếu A chia cho 5 dư 1 thì chữ số tận cùng của A phải là 1 hoặc 6. Tương tự
trường hợp dư 2 thì chữ số tận cùng phải là 2 hoặc 7; dư 3 thì tận cùng là 3 hoặc 8; dư 4
thì tận cùng phải là 4 hoặc 9.
- Nếu A và B có cùng số dư khi chia cho 2 thì hiệu của chúng chia hết cho 2. Tương
tự, ta có trường hợp chia hết cho 3, 4, 5 hoặc 9.

- Nếu A chia cho B dư B – 1 thì A + 1 chia hết cho B.
- Nếu A chia cho B dư r (r < B ) thì A + ( B – r ) chia hết cho B.
- Nếu A chia cho B dư r (r < B) thì A – r chia hết cho B.
- Nếu A và B chia hết cho 2 (hoặc 3, 4, 5, 9 ) thì tổng A + B cũng chia hết cho 2
(hoặc 3, 4, 5, 9).
Nguyễn Thị Thu Hương

Tiểu học Nghĩa Dân

1


Toán bồi dưỡng học sinh Giỏi lớp 5

- Nếu A và B đều chia hết cho 2 ( hoặc 3, 4, 5, 9) thì hiệu A - B cũng chia hết cho 2
(hoặc 3, 4, 5, 9).
- Nếu một số hạng chia cho 2 (hoặc 3, 4, 5, 9) dư r và các số hạng còn lại đều chia
hết cho 2 (hoặc 3, 4, 5, 9) thì tổng của chúng cũng chia cho 2 (hoặc 3, 4, 5, 9) dư r.
- Hiệu của một số chia hết cho 2 (hoặc 3, 4, 5, 9) và một số không chia hết cho 2
(hoặc 3, 4, 5, 9) là một số không chia hết cho 2 (hoặc 3, 4, 5, 9 ).
3. Tính chất chia hết của một tổng và một hiệu .
- Nếu mỗi số hạng của tổng đều chia hết cho 2 thì tổng của chúng cũng chia hết cho 2
- Nếu SBT và ST đều chia hết cho 2 thì hiệu của chúng cũng chia hết cho 2
- Một số hạng không chia hết cho 2, các số hạng còn lại chia hết cho 2 thì tổng không
chia hết cho 2
- Hiệu của 1 số chia hết cho 2 và 1 số không chia hết cho 2 là 1 số không chia hết cho 2.
(Tính chất này tương tự đối với các trường hợp chia hết khác)
II. BÀI TẬP THỰC HÀNH
Dạng 1. Viết số tự nhiên theo dấu hiệu chia hết
Bài 1 : Cho 4 chữ số 0, 4, 5, 9. Viết tất cả các số có 3 chữ số khác nhau :

a. Chia hết cho 2
b. Chia hết cho 4
c. Chia hết cho 2 và 5
Giải :
a. Các số chia hết cho 2 có tận cùng bằng 0 hoặc 4. Mặt khác mỗi số đều có các chữ
số khác nhau, nên các số thiết lập được là
540; 504

940; 904

450; 954

950; 594

490

590

b. Ta có các số có 3 chữ số chia hết cho 4 được viết từ 4 chữ số đã cho là :
540; 504; 940; 904
c. Số chia hết cho 2 và 5 phải có tận cùng 0. Vậy các số cần tìm là
540; 450;490; 940; 950; 590 .
Bài 2: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 ta lập được bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 5?
Giải:
Một số chia hết cho 5 khi tận cùng là 0 hoặc 5.
2

Nguyễn Thị Thu Hương

Tiểu học Nghĩa Dân

Toán bồi dưỡng học sinh Giỏi lớp 5

Với các số 1, 2, 3, 4, ta viết được 4 x 4 x 4 = 64 số có 3 chữ số
Vậy với các số 1, 2, 3, 4, 5 ta viết được 64 số có 5 chữ số (Có tận cùng là 5)
Dạng2. Tìm chữ số chưa biết theo dấu hiệu chia hết
Bài 3 : Thay a, b trong số 2007ab bởi chữ số thích hợp để số này đồng thời chia hết
cho 2; 5 và 9.
Giải:
Số 2007ab đồng thời chia hết cho 2 và 5 nên b = 0. Thay b = 0 vào số 2007ab ta
được 2007a0. Số này chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của nó chia hết cho 9. Vậy (2 + 0
+ 0 + 7 + a + 0) chia hết cho 9 hay 9 + a chia hết cho 9, suy ra a = 0 hoặc a = 9.
Vậy ta tìm được 2 số thoả mãn bài toán là 200700; 200790.
Bài 4: Cho A = x459y. Hãy thay x, y bởi chữ số thích hợp để A chia cho 2 ; 5 và 9
đều dư 1.
Giải :
- Vì A chia cho 2 ; 5 và 9 đều dư 1 nên A - 1 chia hết cho 2 ; 5 và 9.
- Vậy chữ số tận cùng của A - 1 phải bằng 0, suy ra y = 1.
- Vì A - 1 chia hết cho 9 nên (x + 4 + 5 + 9 + 0) chia hết cho 9 hay x + 18 chia hết
cho 9. Do 18 chia hết cho 9 nên x chia hết cho 9, nhưng x là chữ số hàng cao nhất nên x
khác 0. Từ đó x chỉ có thể bằng 9.
- Thay x = 9 ; y = 1 vào A ta được số 94591.
Dạng 3. Các bài toán về vận dụng tính chất chia hết của một tổng và một hiệu .
Bài 5: Không làm phép tính xét xem các tổng và hiệu dưới đây có chia hết cho 3 hay
không .

a) 459 + 690 + 1 236

b) 2 454 - 374

Giải :

a) 459, 690, 1 236 đều là số chia hết cho 3 nên 459 + 690 + 1 236 chia hết cho 3
b) 2 454 chia hết cho 3 và 374 không chia hết cho 3 nên 2 454 - 374 không chia hết cho 3.
Bài 6: Tổng kết năm học 2001- 2002 một trường tiểu học có 462 học sinh tiên tiến
và 195 học sinh xuất sắc. Nhà trường dự định thưởng cho học sinh xuất sắc nhiều hơn học
sinh tiên tiến 2 quyển vở 1 em. Cô văn thư tính phải mua 1996 quyển thì vừa đủ phát
thưởng. Hỏi cô văn thư tính đúng hay sai ? vì sao?
Giải :

Nguyễn Thị Thu Hương

Tiểu học Nghĩa Dân

3


Toán bồi dưỡng học sinh Giỏi lớp 5

Ta thấy số HS tiên tiến và số HS xuất sắc đều là những số chia hết cho 3 vì vậy số
vở thưởng cho mỗi loại HS phải là 1 số chia hết cho 3. Suy ra tổng số vở phát thưởng cũng
là 1 số chia hết cho 3, mà 1996 không chia hết cho 3 > Vậy cô văn thư đã tính sai.
Dạng 5. Tìm số trong phép chia có dư
Bài 7 : Tìm số tự nhiên bé nhất chia cho 2 dư 1, chia cho 3 dư 2 ; chia cho 4 dư 3 và
chia cho 5 dư 4.
Giải :
- Gọi số cần tìm là A. Vì A chia cho 2 dư 1 và A chia cho 5 dư 4 nên A + 1 đồng
thời chia hết cho 2, 3, 4 và 5.
- Vì A + 1 chia hết cho 2 và 5 nên chữ số tận cùng của A + 1 là 0. Hiển nhiên A +1
không thể có 1 chữ số. Nếu A + 1 có 2 chữ số thì có dạng x0.

- Vì x0 chia hết cho 3 nên x chỉ có thể là 3 ; 6 ; 9 ta có số 30 ; 60 ; 90. Trong 3 số đó
chỉ có 60 là chia hết cho 4.
Vậy A +1 = 60
A = 60 - 1
A = 59
Do đó số cần tìm là 59.
Dạng 6. Chứng tỏ một số hoặc một biểu thức chia hết cho (hoặc không chia hết cho)
một số nào đó
Bài 8 : Cho số tự nhiên A. Người ta đổi chỗ các chữ số của A để được số B gấp 3
lần số A. Chứng tỏ rằng số B chia hết cho 27.
Giải:
Theo bài ra ta có: B = 3 x A (1), suy ra B chia hết cho 3, nhưng tổng các chữ số của
số A và số B như nhau (vì người ta chỉ đổi chỗ các chữ số) nên ta cũng có A chia hết cho
3 (2). Từ (1) và (2) suy ra B chia hết cho 9. Nếu vậy thì A chia hết cho 9 (vì tổng các chữ
số của chúng như nhau) (3). Từ (1) và(3), suy ra B chia hết cho 27.
Dạng 7. Các bài toán thay chữ bằng số
Bài 9 : Điền các chữ số thích hợp (các chữ cái khác nhau được thay bởi các chữ số
khác nhau) HALONG + HALONG + HALONG = TTT2006
Giải:

4

Nguyễn Thị Thu Hương

Tiểu học Nghĩa Dân


Toán bồi dưỡng học sinh Giỏi lớp 5

Ta có vế trái: HALONG + HALONG + HALONG = 3 x HALONG. Như vậy vế

trái là một số chia hết cho 3. Vế phải TTT2006 có: (T + T + T + 2 + 0 + 0 + 6) = 3 x T + 6
+ 2 = 3 x (T + 2) + 2 không chia hết cho 3, suy ra TTT2006 không chia hết cho 3. Điều
này chứng tỏ không thể tìm được các chữ số thoả mãn bài toán.
Bài 10: Chứng minh rằng không thể thay các chữ bằng các chữ số để có phép tính đúng :
Giải: Ta thấy 2 số

và

= 2004
có tổng các chữ số bằng nhau nên cả 2 số sẽ

có cùng số dư khi chia cho 9, do đó hiệu của hai số chắc chắn sẽ chia hết cho 9.
Mà 2004 không chia hết cho 9, do đó hiệu của hai số không thể bằng 2004.
Nói cách khác ta không thể thay các chữ bằng các chữ số để có phép tính đúng.
Dạng 8. Vận dụng tính chất chia hết và chia còn dư để giải toán có lời văn
Bài 11: Tổng số HS khối 1 của một trường tiểu học là 1 số có 3 chữ số và chữ số
hàng trăm là 3. Nếu xếp hàng 10 và hàng 12 đều dư 8, mà xếp hàng 8 thì không còn dư.
Tính số HS khối 1 cuỉa trường đó.
Giải :
Theo đề bài thì số HS khối 1 đó có dạng 3ab. Các em xếp hàng 10 dư 8 vậy b = 8.
Thay vào ta được số 3a8.
Mặt khác, các em xếp hàng 12 dư 8 nên 3a8 - 8 = 3a0 phải chia hết cho 12.
Suy ra 3a0 chi hết cho 3. suy ra a = 0, 3, 6 hoặc 9. Ta có các số 330; 390 không chia
hết cho 12 vì vậy số HS khối 1 là 308 hoặc 368 em. số 308 không chia hết cho 8 vậy số
HS khối 1 của trường đó là 368 em.
Bài 12 : Hai bạn An và Khang đi mua 18 gói bánh và 12 gói kẹo để đến lớp liên
hoan. An đưa cho cô bán hàng 4 tờ mỗi tờ 50 000 đồng và được trả lại 72 000đồng. Khang
nói: "Cô tính sai rồi". Bạn hãy cho biết Khang nói đúng hay sai ? Giải thích tại sao ?
Giải:
Vì số 18 và số 12 đều chia hết cho 3, nên tổng số tiền mua 18 gói bánh và 12 gói

kẹo phải là số chia hết cho 3. Vì An đưa cho cô bán hàng 4 tờ 50 000đồng và được trả lại
72 000đồng, nên số tiền mua 18 gói bánh và 12 gói kẹo là:
4 x 50 000 - 72 000 = 128 000 (đồng)
Vì số 128 000 không chia hết cho 3, nên bạn Khang nói "Cô tính sai rồi" là đúng.
Nguyễn Thị Thu Hương

Tiểu học Nghĩa Dân

5


Toán bồi dưỡng học sinh Giỏi lớp 5

Dạng 9. Các bài toán hình học
Bài 13 : Có 10 mẩu que lần lượt dài: 1cm, 2cm, 3cm, 4cm, ... , 8cm, 9cm, 10cm.
Hỏi có thể dùng cả 10 mẩu que đó để xếp thành một hình tam giác đều được không?
Giải:
Một hình tam giác đều có cạnh là (a) là số tự nhiên thì chu vi (P) của hình đó phải là
số chia hết cho 3 vì P = a x 3.
Tổng độ dài của 10 mẩu que là: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 (cm)
Vì 55 là số không chia hết cho 3 nên không thể xếp 10 mẩu que đó thành một hình
tam giác đều được.
Dạng 10. Trò chơi - Toán vui
Bài 14 : Khi được hỏi: "Số nào có bốn chữ số mà khi ta đọc theo thứ tự từ phải sang
trái thì sẽ tăng lên 6 lần ? " Một học sinh giỏi toán đã trả lời ngay tức khắc. Bạn hãy đoán
xem bạn ấy đã trả lời như thế nào ?
Giải:
Bạn ấy đã trả lời là: "Không có số nào như vậy". Ta có thể giải thích điều này như
sau: Giả sử số phải tìm là x, theo bài ra ta có: x : 6 = a. Suy ra a chỉ có thể bằng 1 vì nếu a
bằng 2 trở lên thì x 6 sẽ cho một số có 5 chữ số. Mặt khác, tích a x 6 là một số chẵn, tức là

a phải chẵn. Mâu thuẫn này chứng tỏ không tồn tại số nào thoả mãn bài toán.
(Kết luận này không chỉ đúng với số có 4 chữ số mà đúng với số có chữ số tuỳ ý)
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ:
Bài 1. Cho 4 chữ số: 0 ; 2; 3; 5. Hãy lập tất cả các số có 3 chữ số khác nhau:
a. Chia hết cho 2.

b. Chia hết cho 5.

c. Chia hết cho cả 2 và 5.

Giải :
a/ Các số chia hết cho 2 có tận cùng là số chẵn,. Vậy với 4 chữ số đã cho ta chọn chữ số 0
và chữ số 2 làm hàng đơn vị.
- Nếu chọn chữ số 0 làm hàng đơn vị ta còn 3 chữ số chọn làm hàng trăm (2,3,5). Với mỗi
chữ số hàng trăm đã chọn ta còn 2 chữ số chọn làm hàng chục . Vậy với chữ số 0 làm hàng
trăm ta lập được: 3 x 2 x 1 = 6 (số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 2)
Các số đó là: 230 ; 250; 320; 350; 520; 530.
- Nếu chọn chữ số 2 làm hàng đơn vị ta còn 2 chữ số chọn làm hàng trăm (3 và 5). Với
mỗi chữ số 3 hoặc 5 được chọn làm hàng trăm ta còn hai chữ số chọn làm hàng chục.
6

Nguyễn Thị Thu Hương

Tiểu học Nghĩa Dân


Toán bồi dưỡng học sinh Giỏi lớp 5

Ta lập được : 2 x 2 = 4 (số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 2)
Các số đó là: 302, 502, 352, 532

Vậy ta lập được tất cả 10 số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 2 từ 4 chữ số 0,2,3,5.
b/ Các số chia hết cho 5 có tận cùng là 0 hoặc 5. Với 4 chữ số đã cho, nếu:
- Ta chọn chữ số 5 làm hàng đơn vị. Còn lại 2 chữ số chọn làm hàng trăm (2 và 3). Với
mỗi chữ số hàng trăm đã chọn ta còn 2 chữ số chọn làm hàng chục. Vậy ta lập được:
2 x 2 x 1 = 4 (số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 5). Các số đó là: 205, 305, 235, 325.
- Ta chọn chữ số 0 làm hàng đơn vị. Còn lại 3 chữ số chọn làm hàng trăm (2, 3và 5). Với
mỗi chữ số hàng trăm đã chọn ta còn 2 chữ số chọn làm hàng chục. Vậy ta lập được:
3 x 2 x 1 = 6 (số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 5). Các số đó là: 230, 250, 320, 350,
520, 530.
Vậy ta lập được tất cả : 6 + 4 = 10 (số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 5)
c/ Các số chia hết cho cả 2 và 5 phải có tận cùng là 0. Vậy với 4 chữ số đã cho ta chỉ có 1
cách chọn chữ số 0 làm hàng đơn vị. Còn lại 3 chữ số ta có 3 cách chọn chữ số hàng trăm,
2 cách chọn chữ số hàng chục. Vậy ta lập được: 3 x 2 x 1 = 6 (số có ba chữ số khác nhau
chia hết cho 5). Các số đó là: : 230, 250, 320, 350, 520, 530.
Bài 2 : Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 2 dư 1, cho 3 dư 2, cho 4
dư 3, cho 5 dư 4, cho 6 dư 5, cho 7 dư 6
Giải :
Gọi số phải tìm là a thì a + 1 chia hết cho 2, 3, 4, 5, 6 và 7 như vậy a + 1 có tận cùng
là chữ số 0
a + 1 không là số có 1 chữ số. Nếu a + 1 có 2 chữ số thì a + 1 tận cùng là chữ số 0
lại chia hết cho 7 nên a + 1 = 70 (loại vì 70 không chia hết cho 3)
Trường hợp a + 1 có 3 chữ số thì có dạng xy0
. Số xy0 chia hết cho 4 nên y phải bằng 0, 2, 4, 6 hoặc 8
. Số xy0 chia hết cho 7 nên xy bằng 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63; 70; 77; 84; 91
hoặc 98
. Số xy0 chia hết cho 3 thì x + y + 0 chia hết cho 3
Kết hợp các điều kiện trên thì a + 1 = 420 vậy a = 419
Đáp số : 419.

Nguyễn Thị Thu Hương

Tiểu học Nghĩa Dân

7


Toán bồi dưỡng học sinh Giỏi lớp 5

Bài 3 : Cho số gồm bốn chữ số có chữ số hàng trăm là 9 và chữ số hàng chục là 7.
Tìm số đã cho biết số đó chia hết cho 5 và 27.
Giải:
Gọi số phải tìm là

(a khác 0 ; a ; b <10)

Vì

chia hết cho 5 nên b = 0 hoặc b = 5.

Vì

chia hết cho 27 nên

chia hết cho 9.

Thay b = 0 ta có

chia hết cho 9 nên a = 2. Thử 2970 : 27 = 110 (đúng).

Thay b = 5 ta có

chia hết cho 9 nên a = 6. Thử 6975 : 27 = 258 (dư 9) trái với

điều kiện bài toán. Vậy số tìm được là 2970.
Bài 4 : Thay a, b trong số 2003ab bởi chữ số thích hợp để số này đồng thời chia hết
cho 2, 5 và 9.
Giải :
- Số 2003ab đồng thời chia hết cho 2 và 5 nên b = 0.
- Thay b = 0 vào số 2003ab ta được 200a0. Số này chia hết cho 9 nên tổng các
chữ số của nó chia hết cho 9. Vậy (2 +0 +0 +3 +a +0) chia hết cho 9 hay (5 +a) chia hết
cho 9. Vì 5 chia cho 9 dư 5 nên a chỉ có thể là 4.
Vậy a = 4 và b = 0 ta được số 200340 chia hết cho 9.
Thử : 200340 : 9 = 22260 (đúng)
Bài 5 : Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 2 dư 1, cho 3 dư 2, cho
4 dư 3, cho 5 dư 4, cho 6 dư 5, cho 7 dư 6
Giải :
- Gọi số phải tìm là a ( a>0) khi chia số a cho 2 dư 1, cho 3 dư 2, cho 4 dư 3, cho 5
dư 4, cho 6 dư 5, cho 7 dư 6. Vậy a + 1 chia hết cho 2, 3, 4, 5, 6 và 7 .
- Vì a + 1 chia hét cho 2 và 5 nên a + 1 có tận cùng là chữ số 0
- a + 1 không thể là số có 1 chữ số.
+ Nếu a + 1 có 2 chữ số thì a + 1 có dạng a0.
- Vì a0 chia hết cho 7 nên a + 1 = 70 mà 70 không chia hết cho 3 nên loại.
+ Nếu a + 1 có 3 chữ số thì có dạng xy0
- Số xy0 chia hết cho 4 nên y phải bằng 0, 2, 4, 6 hoặc 8
- Số xy0 chia hết cho 7 nên xy bằng 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63; 70; 77; 84; 91
hoặc 98
8

Nguyễn Thị Thu Hương

Tiểu học Nghĩa Dân


Toán bồi dưỡng học sinh Giỏi lớp 5

- Số xy0 chia hết cho 3 thì x + y + 0 chia hết cho 3
Kết hợp các điều kiện trên thì a + 1 = 420 vậy a = 419
Đáp số : 419.
Bài 6: Một cửa hàng có 5 rổ đựng cam và quýt (trong mỗi rổ chỉ đựng một loại
quả). Số quả trong mỗi rổ lần lượt là 104, 115, 132, 136, và 148 quả. Sau khi bán được
một rổ cam, người bán hàng thấy rằng số quýt còn lại gấp 4 lần số cam. Hỏi cửa hàng đó
có bao nhiêu quả mỗi loại ?
Giải:
Tổng số Cam và quýt của cửa hàng là: 104 + 115 + 132 + 136 + 148 = 635 ( quả)
Số quýt còn lại gấp 4 lần số cam cho nên số quả cam và quýt còn lại phải chia hết
cho 5. Tổng số 635 quả cam và quýt của cửa hàng là số chia hết cho 5, vì vậy số quả cam
đã bán phải chia hết cho 5. Trong số 5 rổ cam và quýt của cửa hàng chỉ có rổ đựng 115
quả là chia hết cho 5, vậy của hàng đã bán rổ đựng 115 quả cam.
Số cam còn lại bằng 1 phần 5 (1/5) số quả chưa bán. Mặt khác:
( 104 + 132 + 136 + 148 ) : 5 = 104 (quả).
Trong 4 rổ còn lại chỉ có rổ đựng 104 quả là có số quả bằng 1 phần 5 (1/5) số quả
còn lại. Vậy theo đề bài rổ đựng 104 quả là rổ cam và 3 rổ đựng 132, 136, 148 quả là các
rổ quýt.
Số cam của của hàng là: 104 + 115 = 219 (quả)
Số quýt của cửa hàng là: 132 + 136 + 148 = 416 (quả)
Đáp số: cam: 219 quả; quýt: 416 quả.
Bài 7: Một cửa hàng có 6 túi xà phòng gồm : túi 15kg, túi 16kg, túi 18kg, túi 19kg,
túi 20kg và túi 31kg, bán trong một ngày được 5 túi. Biết rằng khối lượng xà phòng buổi
sáng bán: gấp đôi buổi chiều. Hỏi cửa hàng còn lại túi xà phòng nào ?
Giải

Khối lượng 6 túi xà phòng của cửa hàng là:
15 + 16 + 18 + 19 + 20 + 31 = 119 (kg)
Vì khối lượng xà phòng bán buổi sáng gấp đôi khối lượng bán buổi chiều nên khối
lượng xà phòng đã bán là số chia hết cho 3.
Tổng 119 là số chia cho 3 dư 2, số xà phòng đã bán là số chia hết cho 3 nên số xà
phòng còn lại là số chia 3 dư 2.
Nguyễn Thị Thu Hương

Tiểu học Nghĩa Dân

9


Toán bồi dưỡng học sinh Giỏi lớp 5

Trong số 6 túi trên chỉ có 20 là số chia 3 dư 2.
Vậy túi xà phòng còn lại là 20kg.
Đáp số: 20kg
Bài 8: Có một số sách, nếu xếp mỗi gói 10 quyển thì thiếu 2 quyển, nếu xếp mỗi
gói 1 tá thì thừa 8 quyển. Tính số sách đó, biết rằng số sách đó lớn hơn 360 và nhỏ hơn 400.
Giải:
Khi xếp mỗi gói 10 quyển thì thiếu 2 quyển có nghĩa là số sách đó chia cho 10 thì dư 8.
Khi xếp mỗi gói 1 tá (12 quyển) thì thừa 8 quyển, nghĩa là số sách đó chia cho 12 thì dư 8.
Vậy số sách đó là số chia cho 10 và 12 đều dư 8.
Nếu bớt 8 quyển thì số sách còn lại chia hết cho 10 và 12.
Số sách còn lại ở trong khoảng từ (360 - 8) đến (400 - 8).
Trong khoảng đó (từ 352 đến 392) có các số trong chục là 360, 370, 380, 390 mà
chỉ có 360 là chia hết cho 12.
Vậy số sách là : 360 + 8 = 368 (quyển)
Đáp số: 368 quyển sách.

Bài 9: Có 3 tờ giấy. Lan xé mỗi mảnh ra làm 5, rồi lại lấy một số mảnh, xé tiếp mỗi
mảnh ra làm 5, cứ như vậy…khi ngừng xé theo quy luật trên Lan đếm được 49 mảnh cả
thảy. Hỏi Lan đếm đúng hay sai? Giải thích tại sao?
Giải:
Khi xé một mảnh ra làm 5 thì số mảnh tăng thêm là 4.
Khi xé một số mảnh ra làm 5 thì số mảnh tăng lên là một số chia hết cho 4. Số
mảnh ban đầu là 3 nên số mảnh thu được sau mỗi lần xé là một số chia cho 4 dư 3, mà 49
chia cho 4 dư 1 nên không xé được số mảnh như vậy. Nên Lan đếm sai.
Bài 10: Tổng số học sinh khối Bốn của một trường tiểu học là số bé nhất. Nếu xếp
hàng ba được một số hàng và thừa 1 em, xếp hàng bốn được một số hàng và thừa 2 em,
xếp hàng năm được một số hàng và thừa 3 em, xếp hàng sáu được một số hàng và thừa 4
em. Tính số học sinh khối Bốn của trường đó.
Giải:
Gọi số học sinh của khối Bốn của trường đó là A. Theo bài ra ta có:
A : 3 dư 1 thì (A + 2) chia hết cho 3
A : 4 dư 2 thì (A + 2) chia hết cho 4
10 Nguyễn Thị Thu Hương

Tiểu học Nghĩa Dân


Toán bồi dưỡng học sinh Giỏi lớp 5

A : 5 dư 3 thì (A + 2) chia hết cho 5
A : 6 dư 4 thì ( A + 2) chia hết cho 6
Vậy ( A+ 2) chia hết cho 3, 4, 5, và 6. Số bé nhất chia hết cho 3, 4, 5, 6 là 60.
Số học sinh khối Bốn của trường đó là 60 – 2 = 58 (em)
Đáp số: 58 em.
Bài 11: Lớp 4A xếp hàng hai được một số hàng không thừa bạn nào, xếp hàng ba
hay hàng bốn đều được một số hàng không thừa bạn nào. Nếu cộng tổng các hàng xếp

được đó thì được 39 hàng. Hỏi lớp 4A có bao nhiêu bạn?
Giải:
Theo bài ra số học sinh của lớp 4A phải là số chia hết cho 2, 3, 4. Số nhỏ nhất chia
hết cho 2, 3, 4 là 12. 12 chia cho 2 được 6, chia cho 3 được 4, chia cho 4 được 3. Mà: 6 +
4 + 3 = 13
39 so với 13 thì gấp 39 : 13 = 3 (lần).
Vậy số học sinh của lớp 4A là:
12 x 3 = 36 ( học sinh)
Đáp số: 36 học sinh.
Bài 12 : Một người mang ra chợ 5 giỏ táo gồm hai loại. Số táo trong mỗi giỏ lần
lượt là : 20 ; 25 ; 30 ; 35 và 40. Mỗi giỏ chỉ đựng một loại táo. Sau khi bán hết một giỏ táo
nào đó, người ấy thấy rằng : Số táo loại 2 còn lại đúng bằng nửa số táo loại 1. Hỏi số táo
loại 2 còn lại là bao nhiêu ?
Giải :
Số táo người đó mang ra chợ là : 20 + 25 + 30 + 35 + 40 = 150 (quả)
Vì số táo loại 2 còn lại đúng bằng nửa số táo loại 1 nên sau khi bán, số táo còn lại
phải chia hết cho 3.
Vì tổng số táo mang ra chợ là 150 quả chia hết cho 3 nên số táo đã bán phải chia hết
cho 3. Trong các số 20, 25, 30, 35, 40 chỉ có 30 chia hết cho 3. Do vậy người ấy đã bán
giỏ táo đựng 30 quả.
Tổng số táo còn lại là : 150 - 30 = 120 (quả)
Ta có sơ đồ biểu diễn số táo của loại 1 và loại 2 còn lại :

Nguyễn Thị Thu Hương

Tiểu học Nghĩa Dân

11

Toán bồi dưỡng học sinh Giỏi lớp 5

Số táo loại 2 còn lại là : 120 : (2 + 1) = 40 (quả)
Vậy người ấy còn lại giỏ đựng 40 quả chính là số táo loại 2 còn lại.
Đáp số : 40 quả

Bài 3:Thay x và y vào 1996 xy để được số chia hết cho 2, 5, 9.
Giải :
Số phải tìm chia hết cho 5 vậy y phải bằng 0 hoặc 5.
Số phải tìm chia hết cho 2 nên y phải là số chẵn
Từ đó suy ra y = 0 . Số phải tìm có dạng 1996 ì 0.
Số phải tìm chia hết cho 9 vậy (1 +9 + 9+ 6 + x )chia hết cho 9 hay (25 + x) chia hết cho
9 .Suy ra x = 2.
Số phải tìm là : 199620.
Bài 4: Cho n = a 378 b là số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Tìm tất cả các chữ
số a và b để thay vào ta dược số n chia hết cho 3 và 4 .
Giải :
- n chia hết cho 4 thì 8b phải chia hết cho 4. Vậy b = 0, 4 hoặc 8
- n có 5 chữ số khác nhau nên b = 0 hoặc 4
- Thay b = 0 thì n = a3780
12 Nguyễn Thị Thu Hương

Tiểu học Nghĩa Dân


Toán bồi dưỡng học sinh Giỏi lớp 5

+ Số a3780 chia hết cho 3 thì a = 3, 6 hoặc 9
+ Số n có 5 chữ số khác nhau nên a = 6 hoặc 9
Ta được các số 63 780 và 930780 thoả mãn điều kiện của đề bài

- Thay b = 4 thì n = a3784
+ Số a3784 chia hết cho 3 thì a = 2, 5 hoặc 8
+ Số n có 5 chữ số khác nhau nên a = 2 hoặc 5. Ta được các số 23784 và 53
784 thoả mãn điều kiện đề bài
Các số phải tìm 63 780; 93 780; 23 784; 53 784.
Dạng 2. Tìm số tự nhiên theo dấu hiệu chia hết
Ví dụ : Một số nhân với 9 thì được kết quả là 180 648 07a. Hãy tìm số đó.
Giải:
Một số nhân với 9 thì được kết quả là 180 648 07a nên số 180 648 07a chia hết cho
9. Vì số 180 648 07a chia hết cho 9 nên (1 + 8 + 0 + 6 + 4 + 8 + 0 + 7 + a) chia hết cho 9,
hay 34 + a chia hết cho 9, suy ra a = 2. Thay a = 2 vào số 180 648 07a ta được 180 648
072. Số cần tìm là:
180 648 072 : 9 = 20072008.

Bài 139 : Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho a chia cho 2 dư 1, chia cho 5 dư 1,
chia cho 7 dư 3 và chia hết cho 9.

Nguyễn Thị Thu Hương

Tiểu học Nghĩa Dân

13


Toỏn bi dng hc sinh Gii lp 5

Bi gii : Vỡ a chia cho 2 d 1 nờn a l s l.
Vỡ a chia cho 5 d 1 nờn a cú tn cựng l 1 hoc 6.
Do ú a phi cú tn cựng l 1.
- Nu a l s cú hai ch s thỡ do a chia ht cho 9 nờn a = 81, loi vỡ 81 : 7 = 11 d 4

(trỏi vi iu kin ca bi).
- Nu a l s cú ba ch s thỡ a nh nht thỡ ch s hng trm phi l 1. Khi ú
a chia ht cho 9 thỡ theo du hiu chia ht cho 9 ta cú ch s hng chc phi l 7 ( 1
+ 7 + 1 = 9 9).
Vỡ 171 : 7 = 24 d 3 nờn a = 171.
Vy s phi tỡm nh nht tha món iu kin ca bi l 171.

3 - Xác định x, y để phân số

x 23y
là một số tự nhiên.
45

Bài 2: Tìm các số tự nhiên có dạng 25b 6.
Hớng dẫn HS:
+ Những số nh thế nào thì chia hết cho 6? (. . . vừa chia hết cho 3
vừa chia hết cho2).
+ Những số nh thế nào thì chia hết cho 2? (. . . có tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8).
+ Vậy b có thể là những số nào? (. . . 0; 2; 4; 6; 8).
+ Những số nh thế nào thì chia hết cho 3? (. . . có tổng các chữ số chia hết cho
3).
Bài giải
Vì 25b 6 nên 25b 2 và 3.
* 25b 2 => b=0; 2; 4; 6; 8.
* 25b 3 => (2+5+b) = (7+b) 3 => b= 2 hoặc b=8.

14 Nguyn Th Thu Hng

Tiu hc Ngha Dõn

Toỏn bi dng hc sinh Gii lp 5

Vậy ta đợc các số cần tìm thoả mãn điều kiện bài toán là : 252 và
258.

Các bài toán về chia hết và chia có d
Bài 4: Tìm số tự nhiên từ 0 đến 20 sao cho lấy số đó chia cho 3 thì d
2, chia cho 2 thì d 1.
Hớng dẫn HS
Cách 1: Yêu cầu học sinh nhẩm tìm kết quả. ( Các số thoả mãn
điều kiện bài toán là: 5; 11; 17)
Cách 2:+ Gọi số tự nhiên cần tìm là a thì a thoả mãn những điều kiện nào?
(. . . 0 < a < 20; a chia cho 3 d 2, chia cho 2 d 1)
+ a chia cho 3 d 2 thì a cộng thêm bao nhiêu sẽ chia hết cho 3?
(. . .1)
+ a chia cho 2 d 1 thì a cộng thêm bao nhiêu sẽ chia hết
cho 2? (. . .1)
+ Nh vậy (a + 1) chia hết cho cả 2 và 3 hay (a + 1) chia
hết cho mấy? (. . . 6)
Bài giải
Gọi STN cần tìm là a ( 0 < a < 20)
Theo đề bài ta có:. a : 3 d 2 => ( a + 1) 3

(a+1) 6
. a : 2 d 1 => ( a + 1)(a2+ 1) 6 hay a + 1 =

Ta có bảng sau:
k

1

2

3

4

a+

6

12

18

24

1
Nguyn Th Thu Hng

Tiu hc Ngha Dõn

15


Toỏn bi dng hc sinh Gii lp 5

a

5

11

17

23(loại

)
Vậy các số cần tìm là : 5; 11; 17 thoả mãn điều kiện bài toán.
Bài 5: Tìm số tự nhiên từ 0 đến 50 sao cho khi chia số đó cho 5 thì d 2, chia
cho 3 thì d 1.
Hớng dẫn HS
+ Gọi số tự nhiên cần tìm là a thì a thoả mãn những điều kiện nào? (. . . 0
< a < 50; a chia cho 5 d 2, chia cho 3 d 1)
+ a chia cho 5 d 2 thì a cộng thêm bao nhiêu sẽ chia hết cho 5? (. . .3)
+ a chia cho 3 d 1 thì a cộng thêm bao nhiêu sẽ chia hết cho
3? (. . .2)
+ Nh vậy a cộng thêm bao nhiêu sẽ chia hết cho cả 3 và 5?
Hớng dẫn HS tìm ( a + ?) 3 và 5.

Ta có ( a + 3) 5 => (a + 3 + 5 x n ) (35+ 5 x n ) = (2 + 3 x m)
(a + 2) 3 => (a + 2 + 3 x m )

3

Từ đó HS tìm đợc n = 1 và m = 2.=> (a + 8) 3 và 5.
Bài giải
Gọi STN cần tìm là a ( 0 < a < 50)
Theo đề bài ta có:

a : 5 d 2 => (a + 3) 5 => (a + 3 + 5)(a+5 8) 15 hay (a + 8)= 15
a : 3 d 1 => (a + 2) 3 => (a + 2 + 6) x
3q
Ta có bảng sau q
.a+
8

1

2

3

4

15

30

45

60

Vậy các số cần tìm là: 7; 22; 37 thoả mãn điều kiện bài toán.
16 Nguyn Th Thu Hng

Tiu hc Ngha Dõn


Toỏn bi dng hc sinh Gii lp 5

Bài 6: Tìm STN lớn nhất có 3 chữ số sao cho đem số đó chia cho 5 thì d 3,
chia cho 9 thì d 8.
Hớng dẫn HS
+ Gọi số tự nhiên cần tìm là a thì a thoả mãn những điều kiện nào? (. . .
100 < a < 999; a chia cho 5 d 3, chia cho 9 d 8)
+ a chia cho 5 d 3 thì a cộng thêm bao nhiêu sẽ chia hết cho 5? (. . .2)
+ a chia cho 9 d 8 thì a cộng thêm bao nhiêu sẽ chia hết cho
9? (. . .1)
+ Nh vậy a cộng thêm bao nhiêu sẽ chia hết cho cả 9 và 5?
* Hớng dẫn HS tìm ( a + ?) 9 và 5.
Ta có ( a + 2) 5 => (a + 2 + 5 x n ) 5 ( 2 + 5 x n) = ( 1 + 9 x
(a + 1) 9 => (a + 1 + 9 x m ) 9m)
Từ đó HS tìm đợc n = 7 và m = 4.=> (a + 37) 5 và 9.
Bài giải
Gọi STN cần tìm là a ( 110 < a < 999)
Theo đề bài ta có:
a : 5 d 3 => (a + 2) 5 => (a + 2 + 35) (a
5 + 37) 45 hay (a + 37)= 45
a : 9 d 8 => (a + 1) 9 => (a + 1 + 36) x9 q
Vì 100 < a < 999. => ( 100 + 37)



45 x q



( 999 + 37) Hay 137

45 x q



137



45 x q





q

1036
1036
3



23

=> q lớn nhất là 23.
a + 37 = 45 x 23 = 1035

=> a = 1035 - 37 = 998

Vậy số cần tìm là: 998 thoả mãn điều kiện bài toán.

Nguyn Th Thu Hng

Tiu hc Ngha Dõn

17


Toỏn bi dng hc sinh Gii lp 5

Bài 7:Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng khi chia nó cho 4; 5; 6đều d 2 và
chia cho 7 thì không d.
Cách 1:

Hớng dẫn HS

+ Gọi a là số cần tìm thì a thoả mãn những điều kiện nào? ( . . . a
chia cho 4; 5; 6 đều d 2 và chia hết cho 7)
+ a chia cho 4; 5; 6 đều d 2 nghĩa là a bớt đi mấy thì chia hết cho 4; 5; 6 ? (. . .
2).
+Nh vậy ta có (a 2) 4; 5; 6. Vậy a số tự nhiên nhỏ nhất 4; 5; 6.
Đó là số nào? (. . .60)
+ Vậy a - 2 = 60 x k, hay a = 60 x k + 2. Theo đề bài a 7 nên 60 x k + 2 7.
Từ đó tìm k nhỏ nhất
Bài giải
Gọi a là số cần tìm ( a > 0, và a nhỏ nhất)
*Vì a chia cho 4; 5; 6 d 2 => (a 2) 4; 5; 6.
=> (a 2) 60 => (a 2) = 60 x k. Hay a = 60 x k + 2.

* Vì a 7 nên (60 x k + 2) 7 => ( 56 x k + 4 x k + 2) 7.
Mà 56 x k 7. Suy ra ( 4 x k + 2) 7 => k nhỏ nhất để ( 4 x k + 2) 7 là k =
3.
Với k = 3, ta có a = 60 x 3 + 2 = 182.
Số nhỏ nhất thoả mãn điều kiện bài toán là 182.
Cách2:

Hớng dẫn HS

+ Gọi a là số cần tìm thì a thoả mãn những điều kiện nào? ( . . . a
chia cho 4; 5; 6 đều d 2 và chia hết cho 7).
+ a chia cho 4 d 2 nghĩa là a cộng với mấy thì chia hết cho 4? (. . . cộng với 2)
+ a chia cho 5 d 2 nghĩa là a cộng với mấy thì chia hết cho 5? (. . . cộng với 3)
+ a chia cho 6 d 2 nghĩa là a cộng với mấy thì chia hết cho 6? (. . . cộng với 4)
Sau đó làm tơng tự nh bài 3.
18 Nguyn Th Thu Hng

Tiu hc Ngha Dõn


Toỏn bi dng hc sinh Gii lp 5

Bài giải
Gọi a là số cần tìm ( a > 0 và a nhỏ nhất)

=>(a + 18) 20 => (a+18) 10

Ta có: * a : 4 d 2 => (a + 2) 4 => (a + 2 + 16) 4

* a : 5 d 2 => (a + 3) 5 => (a + 3 + 15) 5

* a : 6 d 2 => (a + 4) 6 => (a + 4 + 24) 6
=> (a + 28) 42 => (a + 28)
* a 7=> (a+28) 7
21
Từ (1) và (2) ta có: (a + 28)

210

=> a + 28 = 210 x k => a = 210 x k 28.

vì a nhỏ nhất nên k nhỏ nhất. Vậy k = 1.Suy ra a = 210 x 1 28 =182.
Số cần tìm thoả mãn điều kiện bài toán là 182.
Kiểu 2: Dùng dấu hiệu chia hết để điền các chữ số cha biết
Bài 1: Thay x và y trong số a = 1996xyđể đợc số chia hết cho 2; 5 và 9.
Hớng dẫn HS
+ Những số nh thế nào thì chia hết cho cả 2 và 5? ( . . . có tận cùng là 0)
+ Những số nh thế nào thì chia hết cho 9/ ( . . . có tổng các chữ số chia hết cho
9)
Bài giải
Vì a 5 nên a có tận cùng là 0 hoặc 5.
a 2 nên y phải là số chẵn. Vậy y = 0
Thay y = 0 ta đợc số a = 1996x0.
Vì a 9 nên (1+9+9+6+x+0) 9 hay (25 + x) 9 => x = 2.
Vậy với x = 2; y = 0 ta đợc số a = 199620chia hết cho cả 2; 5và 9
Bài 2: Tìm a, b, c để 579abc chia hết cho cả 5; 7 và 9.
Hớng dẫn HS
+ Số 579abc chia hết cho cả 5; 7và 9 thì nó chia hết cho tích của 5; 7 và 9.
Đó là số nào?
Nguyn Th Thu Hng

Tiu hc Ngha Dõn

19


Toỏn bi dng hc sinh Gii lp 5

(. . . 5 x 7 x 9 = 315)
+ Tách 579abc thành tổng 2 số trong đó có một số chia hết cho 315. Sau
đó đa về dạng bài 3.
Bài giải
Vì 579abc 5; 7; 9 =>579abc 315

=> (579000 + abc) 315
=> (1838 x 315 + 30 + abc) 315
=> (30 + abc) 315 Hay 30 +abc = 315 x q
=>abc = 315 x q - 30
Ta có bảng sau;
q
30+

1

2

3

4

315

630

945

1230

285

600

915

1200(loại

abc
abc

)
Vậy các số thoả mãn điều kiện bài toán là 285; 600; 915.
Bài 3: Tìm x, y để N=x459y khi chia cho 2, 5 và 9 đều đợc số d
là 1.
Cách 1:

Hớng dẫn HS

+ Những số nh thế nào thì chia cho 2 d 1? (. . . có tận cùng là 1; 3; 5; 7; 9).
+ Những số nh thế nào thì chia cho 5 d 1? (. . . có tận cùng là 1; 6).
+ Những số chia cho 2 và 5 d 1 thì có tận cùng là mấy? (. . . 1)
+ Vậy y bằng mấy? (y = 1)

+ Những số nh thế nào thì chia hết cho 9? (. . . có tổng các chữ số
chia hết cho 9)
+ Để x4591 9 thì x4591 phải thay đổi nh thế nào? (. . .trừ đi 1)
20 Nguyn Th Thu Hng

Tiu hc Ngha Dõn


Toỏn bi dng hc sinh Gii lp 5

Bài giải
Vì N chia cho 2 d 1 nên y là số lẻ.

y=1

N chia cho 5 d 1 nên y=1 hoặc y=6.
Ta có: N=x4591. => N-1= x4590 9 => (x+4+5+9+0) = (x+18) 9 => x=9.
Vậy với x=9; y=1 thì x459y chia cho 2; 5 và 9 đều d 1.
Cách 2:

Hớng dẫn HS

+ Để x459y
+ Để N-1

2

2

và 5 và thì x459y phải thay đổi nh thế nào? (. . .trừ đi 1)

và 5 thì N-1 có tận cùng là mấy? (. . . 0 )

+ Để N-1 9 thì (x+4+5+9+0) phải 9.
Bài giải
Vì N chia cho 2; 5 và 9 đều d 1. Nên ( N-1) 2; 5 và 9. =>(N-1)=x4590.
Để x4590 9 thì (x+4+5+9+0)=(x+18) 9 => x=0 và x=9.
Vì x459y là số có 5 chữ số nên x=9.=> N-1 = 94590 =>N = 94591.
Vậy với x=9; y=1 thì N=x459y chia cho 2; 5 và 9 đều d 1.
Bài 4: Cho N=a378b là số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau . Tìm tất cả các chữ
số a; b để thay vào ta đợc số N chia hết cho 3 và 4.
Hớng dẫn HS
+ Những số nh thế nào thì chia hết cho 4? (. . . có 2 chữ số tận
cùng chia hết cho 4)
+ Vậy b có thể là những số nào? (. . .0; 4; 8)
+ Những số nh thế nào thì cha hết cho 3/ (. . . có tổng các chữ số
chia hết cho 3)
Bài giải
N 4 =>8b 4. Vậy b = 0; 4 hoặc8.
Vì N có 5 chữ số khác nhau nên b=0 hoặc b=4.
Với b = 0 thì N = a3780.

Nguyn Th Thu Hng

Tiu hc Ngha Dõn

21


Toỏn bi dng hc sinh Gii lp 5

Để a3780 3 thì (a+3+7+8+0) 3 hay (a+18) 3 =>a= 0; 3; 6 hoặc
9.
Vì N là số có 5 chữ số nên loại trờng hợp a=0 và a=3. Vậy a=6, hoặc a=9.
Ta đợc các số 63780 và 93780 thoả mãn điều kiện bài toán.
Với b=4 thì N =a3789.

Để a3784 3 thì (a+3+7+8+4) 3 hay (a+22) 3 => a=2; 5 hoặc 8.
Vì 5 chữ số của N khác nhau nên loại trờng hợp a=8. Vậy a=2 hoặc a=5.
Ta đợc các số 23784 và 53784 thoả mãn điều kiện bài toán.
Vậy các số cần tìm là: 63780; 93780; 23784 và53784.
Bài 5: Tìm các chữ số a; b; c để N= a7b8c9 1001.
Bài giải
Cách 1: Ta có: a7b8c9 = 1001 x k = 1000 x k + k => a7b8c9 - k =
1000 x k.
a7b x 1000 + 8c9 - k = 1000 x k. ( *)

Vì a7b x 1000 1000; 1000 x k 1000 => (8c9 - k) 1000 => (8c9 - k) =
0.
=> k = 8c9.
Thay k = 8c9 vào ( * ) ta đợc:
a7b x 1000 + (8c9 - 8c9) = 1000 x 8c9
a7b x 1000 = 1000 x 8c9
a7b = 8c9
a = 8; c = 7; b = 9.

Cách 2: Vì a7b8c9 :1001 = k ( * ) với 100 lần chia do đó thơng có 3 chữ số).
Đặt k = mnp. Theo đề bài ta có:
a7b8c9 = 1001 x mnp = mnpmnp

n=7
22 Nguyn Th Thu Hng

Tiu hc Ngha Dõn


Toỏn bi dng hc sinh Gii lp 5

=>

m=8

=> k = 879.

p=9
Thay k = 879 vào ( * ) ta đợc:
a7b8c9 : 1001 = 879
a7b8c9 = 879 x 1001 = 879879.

a=8
=>

b=9
c=7

Vậy với a = 8; b = 9; c = 7 thì a7b8c9 1001.
Bài 6: Tìm a sao cho N = 20a20a20a 7.
Bài giải
Ta có N = 20a20a20a = 20a x 1000000 + 20a x 1000 + 20a x 1.
= 20a x ( 1000000 + 1000 + 1)

= 20a x 1001001.
Vì N 7. Mà 1001001

7

=> 20a 7.

Cách 1: Ta có: 20a = ( 200 + a) = (196 + 4 + a ).
Vì 196 7 => (4+a) 7 => a = 3.
Vậy với a = 3 ta có N = 203203203 7.
Cách 2: Đặt tính.
20a 7
6a 2
Để 6a 7 thì a=3.
Vậy với a = 3 ta có N = 203203203 7.
Bài 7: Trong một phép chia có d có số bị chia là số tự nhiên có 4 chữ
số giống nhau; số chia là số tự nhiên có 3 chữ số giống nhau thơng là
13 và số d khác 0. Nếu cùng xoá đi một chữ số ở số bị chia và số chia
thì vẫn đợc thơng là 13 nhng số d giảm đi 100 đơn vị. Tìm số bị chia
và số chia của phép chia đó.
Nguyn Th Thu Hng

Tiu hc Ngha Dõn

23


Toỏn bi dng hc sinh Gii lp 5

Bài giải

Gọi số bị chia là aaaa; số chia là bbb và số d là r. theo đề bài ta có:
aaaa = 13 x bbb + r1
aaa = 13 x bb + r2
a000 = 13 x b00 + ( r1 - r2)
Mà r1 - r2 = 100.
a000 = 13 x b00 + 100.
a0 = 13 x b + 1.
a0 - 1 = 13 x b. Vì a0 - 1 có tận cùng là 9 nên 13 x b phải có tận cùng là

9. Vậy b = 3.
Với b = 3 => a0 - 1 = 13 x 3 = 39
a0 = 39 + 1 = 40
a = 4.

Thử: 4444 : 333 = 13 d 115
444 : 33 = 13 d 15
115 - 15 = 100 (Đúng)
Vậy số bị chia là 4444 và số chia là 333.
Dng 9 . Cỏc bi toỏn khỏc
Vớ d : Hóy chng t rng: Nu cho 3 s t nhiờn no ú trong ú khụng cú s no
chia ht cho 3 thỡ bao gi ta cng cú hoc l tng c ba s ú hoc l tng ca hai s no
ú trong ba s ó cho phi chia ht cho 3.
Gii:
Mt s t nhiờn khụng chia ht cho 3 thỡ khi chia cho 3 s cú s d l 1 hoc 2.
- Nu c ba s chia cho 3 cú cựng s d thỡ tng ba s ú chia ht cho 3.
- Nu ba s chia cho 3 khụng cựng s d thỡ tng ca hai s cú s d khỏc nhau s
chia ht cho 3.

24 Nguyn Th Thu Hng

Tiu hc Ngha Dõn