Toán Nâng Cao Tự Luận và Trắc Nghiệm Lượng Giác 11 (NXB Đại Học Quốc Gia 2006) Lê Hồng Đức, 256 Trang

Toán nâng cao
Tự LUẬN & TRẮC NGHIỆM

NHA XUÃT BÁN ĐẠI HỌC QUÕC GIA HÀ NỘI


LÊ HỔNG ĐỨC - LÊ BÍCH NGỌC

TOÁN NÂNG CAO

Tự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM

LƯƠNG GIÁC 11


MỞ ĐẨU
Sự ưu việt của phương pháp thi trắc nghiệm dã vù đung dược chứng minh
từ những nước có nền giáo dục tiên tiến trên thế giới hời những nu điềm như
tính khách quan, tính hao quát và tính kinh tể.
Trong thời gian không xa, theo chù trươtìg của BGD&ĐT các trường dại
học, cao dẳng và trung học chuyên nghiệp sè chuyển sang hình thức tuyển
sinh hằng phương pháp trắc nghiệm. Và dể có dược thời gian chuẩn hi tốt
nhất, cúc hủi kiềm tra kiên thức trong chương trình THCS và THPT cũng sẽ
có phần trắc nghiệm dê các em học sinh làm quen.
Tuy nhiên, việc hiên soạn cức câu hòi trắc nghiệm cần tuân thù một sô
yêu cầu cơ hàn về mặt li luận sư phạm và ý nghĩa đích thực của các số liệu
thống kê. Ngoài ra, một dề thi môn toán dược chấm hoàn toàn dựa trên kết
quà trắc nghiệm chắc chắn sẽ chưa phù hợp với hiện trạng giáo dục cùa
nước tư hời nhiều lí do, từ dó dẫn tới việc không đàm hào dược tính khái h
quan trong việc dánh giá kết quả học tập cùa học sinh. Đê khắc phục nhược
sỉ I

A/

/||| ề•1*líit/i //lì ///í

/1

/I fIn//' ii I I) Itíii/ r/11««


Dựa trên tư tưởng này, Nhóm Cự Mồn (lưới sự phụ trách của Lê Hồng
Đức xin trán trọng giới thiệu tới hạn đọc hộ sách:
TOÁN NẰNG CAO T ự LUẬN. VÀ TRẮC NGHIỆM THPT

Bộ sách này sè cung cấp cho hạn đọc một ngân hàng hài rập tự luận vù
trắc nghiệm mồn toán THPT có chất lượng theo đúng thứ tự cùa chương trình
Toán PTTH hởi về hình thức hạn đọc sè nhận thấy rằng hộ sách này chính là
những cuốn sách gidi hài tập của hộ sách Học và Ôn tập Toán (dược viết
theo lớp 10,11,12) do NXB Đại học Quốc gia Hà Nội ấn hành.
Cuốn LltyNC GIẮC dược hiên soạn theo đúng thứ tự của chương trình
Lượng giác cấp PTTH và dược chia thành 2 chương:
Chương ỉ:
Hàm số lượng giác
Chương II:
Phương trình và hệ phương trình lượng giác
Cuối cùng, cho dù đã rất cố gắng, nhưng thật khó tránh khỏi những thiếu sót
hài những hiểu hiết và kinh nghiệm còn hạn chế, rất mong nhận dưạ những ý
kiến đóng góp quý háu cùa hạn dọc gần xa. Mọi ý kiến đỏng góp xih liên hệ tới:
Địa chỉ: Nhóm tác giả Cự Môn do Lẻ Hồng Đúc phụ trách
SỐ nhà 20 - Ngõ 86 - Đường Tô Ngọc Vân - Quận Tây H6 - Hà Nội

Điện thoại: (04) 7196671 hoác 0893046689
E-mail: hoặc
Hà Nội, ngày l tháng 5 năm 2006
NHÓM Cự MÔN - LÊ HỔNG ĐỨC


CHƯƠNG I
H À M

S Ố lU Ợ N « G IÁ C
CHỦ ĐỀ 1

GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIẤC
I. TỎM TẮT LÝ THUYẾT
1. s ử DỤNG ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC

Dườìig tròn Ìượtìg giác là đường tròn định hướng có bán kính bằng 1, trên
đó có diêm A gọi là diêm gốc.
1rục noann
hoành tương ưng VƠI trục gia tri cua cosin.
c<
Trục tung tương ứng với trục giá trị cùa sin
J
Đường thăng di qua điểm A(l, 0) và vuong góc với trục cos tương ứng
với trục giá trị của tang
Đường thẫng di qua diếm B(0, 1) và vuông góc với trục sin tương ứng
VỚI trục giá trị cùa cotang
__ _

.1

M U V

___

*

/

•

.

i _____ J

Ộ I M

•

i l Ị

. V

_

__• /

#•

V U «

•

1 / 1

/\ V

X

U 1U Ệ ,.

. .

.

___

. .

t

' ——
Hàin số lượng giac '
cosa
sina
tga
cotga

Đô đo

0 < oí < 90°
•

+
+
+
+

90lr < a < 180°
+
—

—

.


m inm e I: Mam so lương lilac

4. CÁC HẰNG ĐẲNG

t h ứ c l ư ợ n g g iá c c ơ b ẳ n

a. sin2a + cos2a = 1
sina
b. tga =

d. tga.cotga = 1
1
_ ,

2
= 1 + tg a
e.

c.

f.

cosa
cosa

cotga =

sina

eos 2 a

1

= l + cotg2a

sin2a

5. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐỐI NHAU

a. sin(- x) = - sinx
b. cos(- x) = cosx

c. tg(- x) = - tgx
d. cotg(- x) = - cotgx

6. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG BÙ NHAU

a. sin( 180° - a) = sina
b. cos( 180" - a) = - cosa

c. tg( 180° - a ) = - tga
d. cotg( 180° - a ) = - cotga

7. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CƯNG PHỤ NHAU

a. sin(90" - a) = cosa
b. cos(90" - a) = sina

c. tg(90" - a ) = cotga
d. cotg(90" •- a) = tga

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DANG TOÁN LIÊN QUAN VÀ BÀI TẬP ,


Bái tập 4: Xác

p T ự LUẬN
TRẮC NGHIỆM
:ủ
thức:


PHƯƠNG PHÁP CHƯNG

Ta sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác.
Cần lưu ý rằng việc rút gọn biểu thức trong nhiéu trường hợp là công vièc
cẩn thiết nhất trước khi thực hiện việc tính giá trị của biểu thức.

Bài tập 12: Rút gọn biểu thức:
a.

Ak= --------- ■ __ ............., với a € (7t, 2n).
sin a - )/cot g 2a - cos2a

□
b.

a

A = cos2a.

□

A = tga.

□

A = cotg2a.

B = J Õ + tga).cos2 a + (l + cot ga).sin2 a , với a € (0, —).
□
□

$

A = sina.

B = cosa + sina.
B = cosa - sina.

□
a

B = sina - cosa.
B = -cp sa - sina.


PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Sử dụng hệ thức cơ bản và các hộ quả để thực hiộn các phép biến đổi
tương dương. Khi dơ ta lựa chọn theo các hướng sau:
Hư(VHỊ 1:

Biến dôi VT thành v p hoặc ngược lại, trong trường hợp này
thông thường ta lưa chon viêc biến đổi vế phúc tap về vế dơn giản.



Dợnnỉ 2:

Già sử biết sina, ta xét hai trường hợp:
'T '

«

I

t

Trường hợp 2:

V T a'

/M I

—

-

V

.

-

/ \

■

A ề

Nếu 9Ơ’< a £ 18Ơ\ thì cosa, tga, cotga <,0 do đó:

sin2a + cos2a = 1 o cosa = - v l- s in 2 a ,

sina
_
cosa , ,
_
1
tga = — -— , cotga = ——— hoặc cotga = ——.
cosa
sina
tga


Trường hợp 2: Nếu tga < 0 <=> 9Ơ' < a < 18ơ\ thì cosa, tga.
cotga £ 0 do dó:
1
_
2
_ ' 1
= 1 + tg a o cosa = cos a
>/l + tg2a
sin a
.___________ ___
1
tga = ——— <=> sina = tga.cosa, cotga = ——.
cosa
tga
Dạng 4:
Dạng 5:

Giả sử biết cotga, tương tự dạng 3.
Giả sử biết giá trị của một biểu thức lượng giác, cẩn tính giá trị

của các hàm số lượng giác của một góc a , ta lựa chọn một
trong các hướng sau:
Hướng 1 : Biến đổi biểu thức lượng giác vẻ dạng chi chứa một



rhươm: I: Hàm sQỊ Ịựợniíiiiác

□

G = ».

□

G=

4

□

O . il.
16

□

G=

^ I UJ

b. Tính giá trị cùa biểu thức G = sin4a + cos2a.

Bài tập 31: Biết sina - cosa = V2 , với — < a < TC.
a.

d.

Tính cosa, sina, tga, cotga.
□

sina = y¡2 , cosa = o và tga = y¡2 , cotga = — .
V2

□

sina = 0, cosa = - V2 và tga = o, cotga = 00.

„

_____ ______________ " ______,

t
.
s in a -c o s a
tg a -1
□ D = m.
□ D = 2m. . □ D = m - 1. □
Bài tập 33: Tính cosa, sina, tga, cotga, biết:
a. a.sina + b.cosa = o, với a2 + b2* 0.
1
1

/—
b. ( 1 + —-— )sina + ( 1 + —-— )cosa = 2 + V2 .
co sa
sin a
c. 5sina - 20cosa = 4(tga - 4).
% d. 49 - 50sina.cosa = 12(tga + cotga), với o < a < 90°.

14

D=

D=sir+-1.


a.

sin( 180° - a) = sina.

a.

sin(90" - a ) = cosa.

b. cos( 180" - a ) = - cosa.

b. cos(90" - a) = sina.

c.

c.

tg( 180" - a) = - tga.

d. cotg( 180" - a) = - cotga.

tg(90" - a ) = cotga.

d. .cotg(90" - a) = tga.

BÀI TẬP T ự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM
•

ố

Biết sina = -

4 I

I

•

n

a

(Ì

*

«

■

*

•

Ạ

hàm sò' lượng



Hài táp 4.
a. A < 0.
Bài tip 5.
a. A > 0.
Bài u p 6. A > 0.
Bài tip 7.
a.

t'

b.

B < 0.

b.

B< 0.

b. S2>0.

s >0

Bài Up 8. s > 0 .
Bài Up 9. Tìm k ẽ Z, sao cho:
a. k = 2n với n G z.
b. k = 2n + với n e z
Bài táp 10.

1

ri


Bài tập 15.
a. Ta biến đổi:
Vt = (1 + tga)cosa(l + cotga)sina
= (cosa + sina)(sina + cosa) = cos2a + sin2a + 2sina.cosa
= 1 + 2 sina.cosa, dpcm.
b. Ta biến dổi:
VP = (1 + tga)cosa.cosa + (1 + cotga)sina.sina
= (cosa + sina)cosa + (sina + cosa)sina
= (cosa + sina)(sina + cosa) = (1 + tga)cosa( 1 + cotga):;ina
= (1 + tga)(l + cotga)sina.cosa, đpcm.

sin2 a

sin a

1 + 2cosa + cos2 a - ( l - c o s 2 a )
sin2a

1 - c o s a 2 cosa + 2 cos2 a _ 1 - c o s a
sin a
sin2 a
sin a

2(1 + cos a ) cos ox
sin2a

2(1 - c o s 2 a )c o s a 2sin2a .c o sa ,
= --------- r~r~_--------= ----- ~~r~-----= 2cotga, dpcm.
sin a
sin a
18


sin a
cosa
sin' a + cos' a _ (sin a + cosaXsin2 a + cos2 a - sin a. cos a )
sin a + cos a
sin a + cos a
= 1 - sina.cosa, dpcm.
Bài tập 18.


Chưưni! I: Ham M> lư<>m; tute

Bài tập 20. Ta có:
tg2a
._ 2 _
1 +. tg
'a

sin2 a
_ eos2 a .
•_ 2
t sin2a
1 4* :—
eos a

Sin a
= sin2a
cos2a + s in 2a

Từ đó suy ra:
•2
. 2__ . _
tg2a
tg2b
tg2C _ ,
sin a + sin b + sin c = 1 <=> — + —
- + —
~ 1
I + tg 2a 1+ tg2b
l + tg2c
o tg2a.(l + tg2b).(l + tg2c) + tg2b.(i + tg2c).(l + tg2a) +
+ tg2c.(l + tg a).(l ♦ fg2b) = (1 + tg2a).(l + tg2b).(l + tg2c

<=> tg2a.tg2b + tg2b.tg2c + tg2c.tg2a = 1 - 2 tg2a.tg2b.tg2c, đpcm.
Bài tập 21.
a. Ta có:
a2 + b2 + c2 = sin2ot + cos2a.sin2p + cos2ot.cos2p
= sin2a + cos2a(sin2p + cos2p) = sin2a + cos2a = 1, đpcir.
b. Tổng quát hoá cho n sô at, a2..... a„ như sau:
— cin r»

a„ = c o s a ..c o s a ,...c o s a , ..c o sa ,
Bài tập 22.
a. Ta có:
sin*a + cosKa = (sin4a + cos4a )2 - 2sin4a.cos4a
— í/c in ‘f* X

9 cin*

— —cin*^r*

^
2a + 1
,
8
4
Vậy, biểu thức A khổng phụ thuộc a.
b. Ta có:
sinAa + cos6a = (sin2a + cos2a)* - 3(sin2a + cos2a)sin2a.cos2a
3 . 2= 1 - —sin 2a,
4

1 .

sin4a + cos4a = (sin2a + cos2a )2 - 2sin2a.cos2a = 1 - —sin22a.
.
0

20


+ ( - sin4a - sin2a.cos2a)(sin4a + sin2a.cos2a + 2cos4a )
= - cos2a(sin2a + cos2a)[2sin4a + (sin2a + cos2a)cos2a] - sin2a(sin2a + cos2a)[(sin2a + cos2a)sin2a + 2cos4a]
= - cos2a(2sin4a + cos’a) - sin2a(sin2a + 2cos4a )
.
cos4a - sin4a - 2cos2a.sin4a - 2sin2a.cos4a



Bài tập 31.
a. Ta lựa chọn uột trong hai
Cách 7 : Biến đổ sina - cosa 5
cinry =

rrvsn <*~~N

~ ( */'?

Krĩi cinn ■> n


x — « »-1»*»»> m u m i>

Cách 2: Áp dung bát dáng thúrc Bunhiacópxki, ta có:

(sina - cosa)2 = (1 .sina - 1.cosa)2< (1 + 1)(sin2a + cos2a) = 2
<=> | sina - cosa | s V 2 .
Do dó, dé có duac biéu thúrc cúa giá thiét thi dáu "=" phái xáy ra irong bát
dáng thúrc trén:
1
<=>
o t g a = - l a a = 135°,
s in a
co sa
*
^2
V2 .
.
tu do sina = ---- , cosa = ------- va cotga = -1.
2
2
b. Ta lúa chon mót trong hai cách sau:
Cách /: Tán dune két ouá troné a), ta dude:


«rsin a = b cos a o a sin a = b (1 - sin et) <=>(a + b )sin a = b
Ib I
sina = ■7 ==• => cosa

O (5cosa - 4)(sina - 4cosa) = 0 <=>
*

5cosa - 4 = 0
sin a - 4 cos a = 0

Với 5cosa - 4 = 0, suy ra:
4
3 , ___ 3 ______ 4
cosa = — => sina = — va tga = —, cotga = —.
5
5
4
3