Một vài kết quả quen thuộc trong bài toán khảo sát hàm số

Khảo sát hàm số

CÁC KẾT QUẢ QUEN THUỘC CỦA
BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Kết quả này của anh Popeye Nguyễn sưu tầm. Mình bổ sung một vài ý và kèm theo chứng minh.
Nếu có gì sai sót các bạn inbox cho mình qua facebook: Vệ Tâm nhé. Cám ơn mọi người.

KẾT QUẢ 1: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d. Điều kiện để hàm số có cực trị là b2 − 3ac > 0
và phương trình đường thẳng đi qua hai cực trị của đồ thị hàm số có dạng:
2c 2b2
−
3
9a

x+d−

bc
9a

M
AT
H

y=

hay ∆ =

1
9a

9ay −

y
.y
2

Trong đó ∆ là phương trình đi qua hai điểm cực trị
Chứng minh
3
2
Cho hàm số y = ax + bx + cx + d:
Ta có: y = 3ax2 + 2bx + c và y = 6ax + 2b
Ta có: y =
⇒ 9ay =

3ax + b
9a

(3ax2 + 2bx + c) +

(6ac − 2b2 )
9ad − bc
x+
9a
9a

y
.y + Ax + B
2

Ta không cần quan tâm A và B có dạng gì

1
= T (0)
Nhập T (x) = 9ay − y .y thì ta có: B
A = T (1) − T (0)
2

ax + b
d
a
có TCĐ là x = − và TCN là y = . Đối với đồ thị
cx + d
c
c
ax2 + bx + c
e
a
bd − ae
y=
thì ta có TCĐ là x = − và TCX là y = x +
dx + e
d
d
d2

KẾT QUẢ 2: Đồ thị hàm số y =

Ta thực hiện phép chia

ax2

Chứng minh
+ bx + c cho dx + e:

a
bd − ae
x+
x→∞
d
d2
cd2 − bde + ac2
= lim
=0
x→∞
d2 (dx + e)
a
bd − ae
Vậy TCX của đồ thị là: y = x +
d
d2

Ta có: lim

f (x) −

** Cách khác:
Giả sử TCX của đồ thị có dạng y = mx + n
Ta tìm m và n bằng cách:
f (x)
x→∞ x
n = lim (f (x) − mx)

m = lim

x→∞

Nhận luyện thi Toán theo nhóm ở TPHCM - Liên hệ sđt: 0931438453

1


Khảo sát hàm số

KẾT QUẢ 3: Tích hai khoảng cách từ một điểm M bất kỳ thuộc đồ thị hàm số y =
đến hai tiệm cận của hàm số đó là một số không đổi. Cụ thể số đó là

ax + b
cx + d

bc − ad
c2

Chứng minh
Gọi x0 là hoành độ của điểm M thuộc (C). Ta có:
M

x0 ;

ax0 + b
d
a
. Tiệm cận đứng x = − và tiệm cận ngang y =

cx0 + d
c
c

Khi đó tích hai khoảng cách đến hai tiệm cận là:
x0 +

ax0 + b a
cx0 + d bc − ad
bc − ad
d
.
=
=
−
.
c
cx0 + d c
c
c(cx0 + d)
c2

KẾT QUẢ 4: Cho hàm số y =

ax + b
1
. Khi đó điểm M có hoành độ x = ±
cx + d
c

|bc − ad| −

d
c

M
AT
H

thuộc đồ thị hàm số là điểm mà tổng khoảng cách đến hai tiệm cận đồ thị hàm số là nhỏ nhất.
Chứng minh
Gọi M ( x0 ;

ax0 + b
cx0 + d

là điểm thuộc đồ thị hàm số

d
c

a
c

Hai tiệm cận lần lượt có phương trình, TCĐ là x = − và TCN là y = .
Tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là:
x0 +

d
ax0 + b a

cx0 + d
bc − ad
−
+
=
+
≥2
c
cx0 + d c
c
c(cx0 + d)

bc − ad
(không đổi)
c2

cx0 + d
bc − ad
=
c
c(cx0 + d)
d
1√
bc − da −
⇔ (cx0 + d)2 = |bc − ad| ⇔ x0 = ±
c
c

Dấu ” = ” xảy ra khi

KẾT QUẢ 5: Cho đồ thị hàm số y =

ax + b
. Gọi I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. Khi
cx + d

đó sẽ không tồn tại tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại I.
Chứng minh

a
d
d a
và TCĐ là x = − ⇒ I − ;
c
c
c c
Và f (x) tại điểm I không tồn tại nên khi đó sẽ không tồn tại tiếp tuyến của hàm số tại đó.

Ta có TCN là y =

KẾT QUẢ 6: Phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến tại x0 của hàm số y = f (x)
(hàm bậc ba và trùng phương ) với đồ thị hàm số y = f (x) có nghiệm kép x = x0 .
Chứng minh
3
2
• Hàm bậc 3. Ta có y = ax + bx + cx + d
Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 là:
y = (3ax2 + 2bx + c)(x − x0 ) + (ax30 + bx20 + cx0 + d)

Phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến và hàm số bậc ba là:

ax3 + bx2 + cx + d = (3ax2 + 2bx + c)(x − x0 ) + (ax30 + bx20 + cx0 + d)
⇔ a(x − x0 )(x2 + xx0 + x20 ) + b(x − x0 )(x + x0 ) + c(x − x0 ) = (3ax2 + 2bx + c)(x − x0 )
⇔ (x − x0 )(−2ax2 + x(ax0 − b) + bx0 + ax20 ) = 0
⇔ (x − x0 )(x − x0 )(2ax + ax0 + b) = 0 ⇔ (x − x0 )2 (2ax + ax0 + b) = 0
• Hàm bậc 4. Ta có y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e các bạn chứng minh tương tự.

KẾT QUẢ 7: Cho hàm số y =

ax + b
. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận đồ thị hàm số,
cx + d

Nhận luyện thi Toán theo nhóm ở TPHCM - Liên hệ sđt: 0931438453

2


Khảo sát hàm số

M là một điểm bất kì thuộc đồ thị. Tiếp tuyến tại M của đồ thị hàm số cắt hai tiệm cận lần
lượt tại A và B. Khi đó diện tích tam giác IAB không đổi và bằng 2
hoành độ x = ±

1
c

|ad − bc| −

bc − ad
. Và điểm M có

c2

d
là điểm thỏa mãn điều kiện chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.
c

Chứng minh
Gọi M x0 ;

ax0 + b
cx0 + d

d a
c c

là điểm thuộc đồ thị hàm số. Giao của hai tiệm cận là I − ;

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M có dạng ∆ : y =

ad − bc
ax0 + b
(x
−
x
)
+
0
(cx0 + d)2
cx0 + d

d
d 2bc − ad + acx0
c
c
c(cx0 + d)
2cx0 + d a
a
Tiếp tuyến cắt tiệm cận ngang y = nên B
;
c
c
c
−
→
−→
2cx0 + 2d
2bc − 2da
;0
Ta có: IA = 0;
và IB =
c(cx0 + d)
c
2cx0 + 2d
bc − ad
1
1 2bc − 2ad
.
=2
Ta thấy IA⊥IB nên SIAB = IA.IB =
2

2 c(cx0 + d)
c
c2
Chu vi ∆IAB là:
√
PIAB = IA + IB + AB = IA + IB + IA2 + IB 2
√
bc − ad
Ta có IA + IB ≥ 2 IA.IB = 2 2
c2

M
AT
H

Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng x = − nên A − ;

IA2 + IB 2 ≥ 2IA.IB = 4
⇒

√

IA2 + IB 2 ≥ 2

⇒ PIAB ≥ 2

bc − ad
c2

bc − ad

c2

bc − ad
+2
c2

2

Dấu ” = ” xảy ra khi

bc − ad
c2

2bc − 2ad
1
2cx0 + 2d
=
⇔x=±
c(cx0 + d)
c
c

|ad − bc| −

d
c

4
2
KẾT QUẢ 8: Để đồ thị hàm

 số y = ax + bx + c cắt trục hoành tại 4 điểm lập thành một
ac > 0


ab < 0
cấp số cộng thì điều kiện là

b2 = 100 ac

9

Chứng minh
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox là:
ax4 + bx2 + c = 0 (1) ⇔ at2 + bt + c = 0 (2) (t = x2 ≥ 0)

Để phương
(1) có 4 nghiệm
thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm phân biệt
trình
 phân biệt
√
2 − 4ac > 0
2
b
−b − b − 4ac

 b
t1 =

√2a

dương ⇒ − a > 0
⇒
−b
+
b2 − 4ac

c
 >0
t2 =
2a

a

Từ đó ta suy ra 4 nghiệm của phương trình (1) lần lượt là:
x1 = −

−b +

√

b2 − 4ac
; x2 = −
2a

−b −

√

b2 − 4ac
; x3 =

2a

−b −

√
b2 − 4ac
; x4 =
2a

Nhận luyện thi Toán theo nhóm ở TPHCM - Liên hệ sđt: 0931438453

−b +

√
b2 − 4ac
2a
3


Khảo sát hàm số
1 + x3 = 2x2
Điều kiện để 4 điểm lập thành một cấp số cộng là x
x2 + x4 = 2x3
Ta chỉ cần một trường hợp là x1 + x3 = 2x2

√
b2 − 4ac
−b + b2 − 4ac
−
= −2

⇔
2a
2a
√
b
c 2 b2 − 4ac
⇔ =2
−
a
a
a
2
8 c(b − 4ac)
3b2 12c
⇔
= 2 −
a
a
a
a
⇔ 136acb2 − 9b4 − 400a2 c2 = 0
100
ac
⇔ (9b2 − 100ac)(b2 − 4ac) = 0 ⇔ b2 =
9

√

−b −

√

b2 − 4ac
2a

M
AT
H

−b −

BÀI TẬP

Nhận luyện thi Toán theo nhóm ở TPHCM - Liên hệ sđt: 0931438453

4