chuyên đề hệ phương trình không mẫu mực bồi dưỡng học sinh giỏi THCS

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO YÊN MỸ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài: Một số phương pháp giải hệ phương trình

không mẫu mực dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9

Họ và tên:
Đơn vị:

Nguyễn Văn Hiến
THCS Đoàn Thị Điểm - Yên Mỹ - Hưng Yên

Năm học 2012 - 2013


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9

MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU ......................................................................................................................3
I. LÝ DO CHỌN SÁNG KIẾN ......................................................................................3
1. Cơ sở lí luận ...........................................................................................................3
2. Cơ sở thực tiễn .......................................................................................................3
II. MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHƯƠNG PHÁP
NGHIÊN CỨU. .............................................................................................................4
1. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu ..............................................................................4
2. Đối tượng nghiên cứu .............................................................................................5
3. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................................5
B. NỘI DUNG ...................................................................................................................5
I. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CÙNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI CẦN NHỚ ....... 5
1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn........................................................................5

2. Hệ phương trình đối xứng loại một .........................................................................7
3. Hệ phương trình đối xứng loại hai ..........................................................................8
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC ........9
1. Phương pháp biến đổi tương đương ........................................................................9
DẠNG 1: Trong hệ có một phương trình bậc nhất đối với ẩn x hay ẩn y. ................9
DẠNG 2: Một hoặc hai phương trình của hệ có thể đưa về dạng tích. ................... 14
2. Phương pháp đặt ẩn phụ ....................................................................................... 19
3. Phương pháp đánh giá .......................................................................................... 25
C. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM....................................................................................... 29
I. GIÁO ÁN DẠY THỰC NGHIỆM ............................................................................ 29
II. KẾT QUẢ KIỂM TRA TRƯỚC VÀ SAU KHI DẠY THỰC NGHIỆM ................. 35
1. Kết quả kiểm tra trước khi tiến hành dạy thực nghiệm .......................................... 35
2. Kết quả kiểm tra sau khi tiến hành dạy thực nghiệm ............................................. 36
3. So sánh đối chứng trước và sau tiến hành thực nghiệm ......................................... 36
D. KẾT LUẬN ................................................................................................................ 37
I. NHỮNG VẤN ĐỀ CÒN HẠN CHẾ ......................................................................... 37
II. BÀI HỌC KINH NGHIỆM ..................................................................................... 38
III. KIẾN NGHỊ VỀ VIỆC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN ................................................... 39
IV. KẾT LUẬN CHUNG ............................................................................................. 40
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................ 41

Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, H­ng Yªn

2


MT S PHNG PHP GII H PHNG TRèNH KHễNG MU MC DNG BI DNG HC SINH GII LP 9

A. M U
I. Lí DO CHN SNG KIN

1. C s lớ lun

Kin thc v phng trỡnh, h phng trỡnh trong chng trỡnh ton ca
bc hc ph thụng l mt ni dung rt quan trng, vỡ nú l nn tng giỳp
hc sinh tip cn n cỏc ni dung khỏc trong chng trỡnh toỏn hc, vt lớ
hc, hoỏ hc, sinh hc ca bc hc ny.
Trong chng trỡnh toỏn ca bc hc ph thụng, bt u t lp 9 hc
sinh c hc v h phng trỡnh, bt u l h hai phng trỡnh bc nht hai
n. Cựng vi ú hc sinh c hc hai quy tc bin i tng ng mt h
phng trỡnh l Quy tc th; Quy tc cng i s. Trong chng trỡnh
toỏn lp 8 v lp 9 hc sinh c hc khỏ y v phng trỡnh mt n
nh: phng trỡnh bc nht mt n; phng trỡnh tớch; phng trỡnh cha n
mu; phng trỡnh cha du giỏ tr tuyt i; phng trỡnh bc hai; phng
trỡnh cha du cn. Thụng qua vic hc cỏc dng phng trỡnh trờn hc sinh
c trang b tng i y v cỏc phng phỏp gii cỏc phng trỡnh i
s, iu ny ng ngha vi vic hc sinh c trang b cỏc phng phỏp gii
h phng trỡnh khụng phi l h hai phng trỡnh bc nht hai n.
Cỏc h phng trỡnh m cỏch gii tu thuc vo c im riờng ca h,
khụng cú mt ng li chung cho vic gii cỏc h ú, ta gi cỏc h dng ny
l h phng trỡnh khụng mu mc. Vic gii cỏc h phng trỡnh khụng mu
mc ũi hi hc sinh phi nm rt vng cỏc phng phỏp bin i tng
ng mt h phng trỡnh, cỏc phộp bin i tng ng mt phng
trỡnh, c bit hc sinh phi rt tinh ý phỏt hin ra nhng c im rt riờng
ca tng h t ú cú cỏch bin i hp lớ nh ú mi cú th gii c h.
2. C s thc tin

Tuy trong ni dung chng trỡnh toỏn lp 8 v lp 9 ó trang b cho hc
sinh khỏ y kin thc v phng trỡnh v h phng trỡnh i s cựng cỏc

Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hưng Yên

3


MT S PHNG PHP GII H PHNG TRèNH KHễNG MU MC DNG BI DNG HC SINH GII LP 9

phng phỏp gii. Trong khi ú, vic trang b cỏc phng phỏp gii h phng
trỡnh khụng mu mc hu nh khụng c cp ti trong sỏch giỏo khoa v
ngay c h thng sỏch tham kho hin cú dnh cho hc sinh trung hc c s.
Vic gii c cỏc h phng trỡnh khụng mu mc ũi hi hc sinh
phi vn dng rt khộo lộo cỏc kin thc ó hc cú c cỏch bin i hp
lớ i vi riờng tng h phng trỡnh ó cho, iu ny ỏnh giỏ c trỡnh
kin thc ca hc sinh. Chớnh vỡ vy, trong ni dung cỏc thi hc sinh gii
cp tnh mụn toỏn 9, thi tuyn sinh vo trng THPT chuyờn Hng Yờn,
thi kho sỏt cht lng hc kỡ 2 mụn toỏn 9 nhiu nm gn õy ca S
Giỏo dc v o to Hng Yờn luụn xut hin cỏc cõu hi yờu cu hc sinh
phi gii cỏc h phng trỡnh khụng mu mc, vi mc ớch phõn loi i
tng hc sinh. Khụng nhng vy, trong ni dung thi tuyn sinh vo khi
THPT chuyờn ca trng i hc Quc gia, i hc S phm H Ni mụn
toỏn vũng 1, vũng 2 luụn xut hin cỏc cõu hi gii h phng trỡnh thuc
kiu h khụng mu mc.
Ti liu tham kho i vi cỏc giỏo viờn ph trỏch bi dng hc sinh
gii vit riờng cho chuyờn gii h phng trỡnh khụng mu mc khụng cú,
chớnh vỡ th giỏo viờn dy gp rt nhiu khú khn v lỳng tỳng khi dy n
chuyờn ny. Vỡ vy, khi dy n ni dung ny giỏo viờn thng dy lt
qua bng mt s vớ d minh ho cha lm rừ c nhng ng li chung
gii cỏc h phng trỡnh khụng mu mc.
Chớnh vỡ nhng lớ do mang tớnh lớ lun v thc t trờn m tụi chn sỏng
kin ca mỡnh l Mt s phng phỏp gii h phng trỡnh khụng mu
mc dựng bi dng hc sinh gii lp 9.

II. MC CH, NHIM V, I TNG NGHIấN CU V PHNG
PHP NGHIấN CU.
1. Mc ớch, nhim v nghiờn cu

Sỏng kin kinh nghim ny nhm mc ớch tp hp, sp xp h thng
cỏc phng phỏp thng c s dng gii h phng trỡnh khụng mu
mc dựng bi dng hc sinh gii lp 9 ca cp trung hc c s.

Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hưng Yên

4


MT S PHNG PHP GII H PHNG TRèNH KHễNG MU MC DNG BI DNG HC SINH GII LP 9

Nhim v cn t:

- Ch ra c kin thc v h phng trỡnh cú liờn quan m hc sinh cn
nm vng trc khi tip cn vi cỏc phng phỏp gii h phng trỡnh khụng
mu mc.
- a ra h thng cỏc phng phỏp gii h phng trỡnh khụng mu mc
cú s sp xp hp lụgớc v mt t duy kin thc b mụn.
- Xõy dng c h thng cỏc bi tp phự hp vi i tng hc sinh
theo tng phng phỏp c th, nhm giỳp hc sinh cú c bi tp luyn tp
khc sõu kin thc, giỏo viờn ging dy cú c h thng bi tp minh ho
phong phỳ cho tng phng phỏp.
2. i tng nghiờn cu

i tng nghiờn cu ca sỏng kin kinh nghim ny l h thng cỏc
phng phỏp gii h phng trỡnh khụng mu mc, nhng im hc sinh cn

lu ý khi tin hnh gii cỏc h phng trỡnh loi ny.
3. Phng phỏp nghiờn cu

hon thin sỏng kin ny tụi ó s dng cỏc phng phỏp nghiờn cu sau:
- Phng phỏp duy vt bin chng v duy vt lch s.
- Phng phỏp tru tng hoỏ khoa hc.
- Phng phỏp phõn tớch tng hp.
- Phng phỏp so sỏnh, i chiu, thng kờ.
- Phng phỏp s liu, h thng hoỏ phng vn, iu tra, kho sỏt
iu tra thc t.
B. NI DUNG
I. MT S H PHNG TRèNH C BN CNG PHNG PHP GII
CN NH
1. H hai phng trỡnh bc nht hai n

nh ngha:
H hai phng trỡnh bc nht hai n l h cú dng:
Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hưng Yên

5


MT S PHNG PHP GII H PHNG TRèNH KHễNG MU MC DNG BI DNG HC SINH GII LP 9

ax by c

a ' x b ' y c '

(1)
(2)

trong ú a, b, c, a, b, c l cỏc s cho trc, a 2 b 2 0 v a '2 b '2 0 .
Nghim ca h l cp s x; y tho món ng thi hai phng trỡnh (1)
v (2) ca h. Gii h tc l tỡm tt c cỏc nghim ca h.
Cỏch gii:
Trong chng trỡnh toỏn trung hc c s gii h hai phng trỡnh bc
nht hai n ta thng s dng hai phng phỏp:
- Phng phỏp th nh s dng quy tc th;
- Phng phỏp cng i s nh s dng quy tc cng i s.
minh ho cho hai phng phỏp ny ta xột vớ d sau:
3 x 2 y 4
2 x y 5

Vớ d. Gii h phng trỡnh

(1)
(2)

Li gii:
Cỏch 1: (S dng phng phỏp th)
- T phng trỡnh (2) ca h, rỳt y theo x ta cú y 5 2 x . Thay vo phng
trỡnh (1) ca h ta c: 3 x 2 5 2 x 4 Hay 7 x 14 .
- Theo quy tc th h phng trỡnh ó cho tng ng vi h phng trỡnh
7 x 14
x 2

y 5 2x
y 1

sau:

Vy h cú nghim duy nht x; y 2; 1 .
Cỏch 2: (S dng phng phỏp cng i s)
- Nhõn c hai v ca phng trỡnh (2) vi 2 ri cng vi phng trỡnh (1) v
vi v ta c: 4 x 2 y 3 x 2 y 10 4 Hay 7 x 14 .
- Theo quy tc cng i s h phng trỡnh ó cho tng ng vi h
7 x 14
x 2

2 x y 5
y 1

phng trỡnh sau:

Vy h cú nghim duy nht x; y 2; 1 .

Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hưng Yên

6


MT S PHNG PHP GII H PHNG TRèNH KHễNG MU MC DNG BI DNG HC SINH GII LP 9

Nhn xột: Trong chng trỡnh toỏn lp 10 ca cp THPT hc sinh mi bt
u tip cn n vic gii h phng trỡnh trờn bng phng phỏp s dng
nh thc cp 2. Bng phng phỏp s dng nh thc ta cú th gii h
phng trỡnh trờn nh sau:
3 x 2 y 4
cú:
2 x y 5

H phng trỡnh
D

3 2
4 2
3 4
3.1 2.2 7 0; Dx
4.1 5.2 14; Dy
3.5 2.4 7
2 1
5 1
2 5

Dx 14

x D 7 2
Suy ra h cú nghim duy nht:
y Dy 7 1

D 7

2. H phng trỡnh i xng loi mt

nh ngha: Mt h phng trỡnh hai n x, y c gi l h phng trỡnh i
xng loi mt nu mi phng trỡnh ca h ó cho i xng vi hai n x v y
(ngha l mi phng trỡnh ca h khụng thay i khi ta i vai trũ ca x v y
cho nhau).
Tớnh cht: Nu (x 0; y0) l mt nghim ca h thỡ (y0; x 0) cng l nghim ca
h.

Cỏch gii thng dựng: t S x y v P xy , vi iu kin S2 4P 0 a
h ó cho v h n gin hn ó bit cỏch gii.
x y xy 11
Vớ d. Gii h phng trỡnh 2 2

x y 3 x y 28

Li gii:
t S x y v P xy , khi ú h ó cho cú dng:
(1)
S P 11
2
S 2 P 3S 28 (2)

T (1) suy ra P 11 S , thay vo phng trỡnh (2) ta c:
S 2 2 11 S 3S 28 hay S 2 5S 50 0.

Phng trỡnh ny cú hai nghim phõn bit: S 5; S 10.

Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hưng Yên

7


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9

* Nếu S  5 thì P  6, nên x, y là các nghiệm của phương trình bậc hai:
t  2
t 2  5t  6  0   t  2  t  3  0  
t  3

Suy ra  x; y    2; 3 hoặc  x; y    3; 2  .
* Nếu S  10 thì P  21, nên x, y là các nghiệm của phương trình bậc hai:
 t  3
t  10t  21  0   t  3  t  7   0  
 t  7

Suy ra  x; y    3;  7  hoặc  x; y    7;  3  .
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm:  2; 3  ;  3; 2  ;  3;  7  ;  7;  3  .
3. Hệ phương trình đối xứng loại hai

Định nghĩa: Một hệ phương trình hai ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối
xứng loại hai nếu trong hệ phương trình, khi đổi vai trò của x và y cho nhau
thì phương trình này trở thành phương trình kia.
Tính chất: Nếu (x 0; y0) là một nghiệm của hệ thì (y0; x 0) cũng là nghiệm của
hệ.
Cách giải thường dùng: Trừ các vế tương ứng của hai phương trình thì nhận
x  y  0

được phương trình tích dạng  x  y  .f  x, y   0  

 f  x, y   0

Từ đó hệ đã cho tương đương với hai hệ đơn giản hơn có thể giải được.
 x3  1  2 y (1)
Ví dụ. Giải hệ phương trình sau:  3
 y  1  2 x (2)

Lời giải:
Trừ từng vế của phương trình (1) cho phương trình (2) ta được:

x3  y3  2  y  x 
  x  y   x 2  xy  y 2  2   0
2

y 3

 x  y  0 (V × x  xy  y  2   x    y 2  2  0 x, y )
2 4

 y  x.
2

2

Thay y  x vào phương trình (1) ta được:

Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, H­ng Yªn

8


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9

x  1
x  2 x  1  0   x  1  x  x  1  0  
 x  1  5

2
3

2

Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm là:

1; 1 ;

  1  5  1  5    1  5 1  5 
;
;

 ; 
 .
2
2
2
2

 


II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC
1. Phương pháp biến đổi tương đương

Để biến đổi tương đương một hệ phương trình chúng ta sử dụng các quy
tắc biến đổi tương đương như quy tắc thế, quy tắc cộng đại số. Cùng với đó ta
cần kết hợp các phép biến đổi tương đương một phương trình trong quá trình
biến đổi như quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân, phân tích thành tích, bình
phương hoặc lập phương hai vế, thêm bớt làm xuất hiện nhân tử chung,…
Nhìn chung việc biến đổi tương đương các hệ phương trình loại này đòi
hỏi người làm phải rất khéo léo và linh hoạt trong từng bước biến đổi. Ta có

thể vận dụng phương pháp biến đổi tương đương để giải hệ không mẫu mực
trong các tình huống sau.
DẠNG 1: Trong hệ có một phương trình bậc nhất đối với ẩn x hay ẩn y.
x  2 y 1  0

Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau: 

2
2
 x  y  xy  1  0

Lời giải:
Ta có:
x  2 y 1  0
 2
2
 x  y  xy  1  0
 x  2 y  1

2
2
 2 y  1  y  y  2 y  1  1  0
 x  2 y  1

5 y  y  1  0
  x  2 y  1   x  1


y  0
y  0




 x  2 y 1  x  1


  y  1
  y  1
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, H­ng Yªn

9


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Vậy hệ có hai nghiệm:  1; 0  ; 1; 1 .
Nhận xét: Phương trình thứ nhất của hệ là phương trình bậc nhất hai ẩn nên
ta có thể rút x theo y ( hoặc y theo x ) rồi thế vào phương trình còn lại của hệ,
theo quy tắc thế ta nhận được một hệ mới tương đương. Trong hệ mới nhận
được có một phương trình là phương trình một ẩn, nhờ đó ta đã giải được hệ.
Trong lời giải trên, ta đã tính x theo y từ phương trình thứ nhất rồi thế vào
phương trình thứ hai. Ta cũng có thể tính y theo x rồi thế vào phương trình
thứ hai của hệ, tuy nhiên việc biến đổi hệ tiếp theo sẽ trở nên phức tạp vì xuất
hiện mẫu số.
Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau:
2
2
 x  y  1 x  y  1  3 x  4 x  1

2

 xy  x  1  x

(1)
(2)

Lời giải:
Nhận thấy x  0 không thoả mãn phương trình (1) của hệ nên hệ không có
nghiệm  0; y  .
Khi x  0 từ phương trình (2) ta có y  1 

x2  1
thay vào phương trình (1) ta
x

được:
 2  x 2  1 
x2  1 
2
x 
 x 
  3x  4 x  1
x 
  x 

2
x 1

 y  1  x
 x 2  1 2 x 2  1   x  1 3 x  1



x2  1
 y 1 

x
 x  1
 x  1

 2 x  x  1  x  2   0

  y  1

  x  2


   x  2
x2  1

x 2 1
 y 1 

x

 y   5
 y  1  x
 
2
2

5

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: 1;  1 ;  2;   .


Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, H­ng Yªn

2

10


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Nhận xét: Phương trình (2) của hệ là phương trình bậc nhất đối với ẩn y nên
ta tiến hành tính ẩn y theo ẩn x rồi thế vào phương trình (1) của hệ. Tuy nhiên
việc tính y theo x ta phải thực hiện phép chia cho x, nên cần nhận xét  0; y 
không là nghiệm của hệ để từ đó với x  0 ta có thể tính y  1 

x2 1
và hệ
x

nhận được tương đương với hệ đã cho.
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau
2
2
 x  y  10 x  0
 2
2
 x  y  4 x  2 y  20  0

Lời giải:
Lấy phương trình thứ nhất trừ cho phương trình thứ hai ta được y  7 x  10 .
Theo quy tắc cộng đại số, hệ đã cho tương đương với hệ phương trình sau:

 x 2  y 2  10 x  0

 y  7 x  10
 x 2   7 x  10 2  10 x  0

 y  7 x  10
 x2  3x  2  0

 y  7 x  10
  x  1
  x  1


 y  17
   x  2

  x  2
 y  7 x  10


  y  24

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm:  1;  17  ;  2;  24  .
Nhận xét: Tuy ở cả hai phương trình của hệ đều không có phương trình nào
là phương trình bậc nhất đối với một ẩn, nhưng bằng việc sử dụng quy tắc
cộng đại số trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được một phương trình

là phương trình bậc nhất hai ẩn, nhờ đó ta đã giải được hệ.
 x  y  xy  2 x  y   5 xy
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau 
 x  y  xy  3x  y   4 xy

Lời giải:
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, H­ng Yªn

11


MT S PHNG PHP GII H PHNG TRèNH KHễNG MU MC DNG BI DNG HC SINH GII LP 9

*) D thy x y 0 l nghim ca h.
*) Cỏc cp s x ; y với x 0; y 0 hay x 0; y 0 u khụng l nghim.
*) Vi xy 0. Chia c hai v ca mi phng trỡnh trong h cho xy 0 ta
c:
1 1
x y 2x y 5


1 1 3x y 4
x y
1
x

1
y

Suy ra 5 2 x y 4 3 x y x 2 y 1

Thay x 2 y 1 vo phng trỡnh th 2 ca h ban u ta c:
x 2 y 1

2 y 1 y 2 y 1 y 3 2 y 1 y 4 y 2 y 1
x 2y 1
x 2 y 1



2
3
2
10 y 19 y 10 y 1 0
y 1 10 y 9 y 1 0





x 2y 1




41 1
41 1
y 1
x
x

x 1



10
10

hoặc
hoặc
9 41
y 1
y 20
y 9 41
y 9 41



20
20
9 41

y 20


Vy h ó cho cú 4 nghim l:
41 1 9 41 41 1 9 41
;
;
;

.
20 10
20
10

0; 0 ; 1; 1 ;

Nhn xột: gii h trờn ta cú th bin i ngay t h ban u nh quy tc
cng i s nh sau:
x y xy 2 x y 5 xy

x y xy 3 x y 4 xy
x y xy 3 x y x y xy 2 x y 4 xy 5 xy

x y xy 3 x y 4 xy

Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hưng Yên

12


MT S PHNG PHP GII H PHNG TRèNH KHễNG MU MC DNG BI DNG HC SINH GII LP 9

xy x 2 y 1 0

x y xy 3 x y 4 xy
x 0

x y xy 3 x y 4 xy

y 0

x y xy 3 x y 4 xy

x 2 y 1

x y xy 3 x y 4 xy

n õy vic gii h ban u c a v vic gii 3 h phng trỡnh
n gin hn. Cỏch bin i ny khỏ n gin nờn hc sinh khỏ d tip thu,
c bit l hc sinh lp 9.
Vớ d 5: Gii h phng trỡnh sau
3
3
x y 9
(Thi học k ì 2 lớp 9 năm học 2011- 2012 Sở Hưng Yê n)
2
2
x 2 y x 4 y

Li gii:
3
3
x y 9
2
2
x 2 y x 4 y

3
3

x y 9

2
2
3 x 2 y 3 x 4 y

x3 y 3 9
x3 y 3 3 x 2 3 x 6 y 2 12 y 9
2

2
2
2
3 x 3 x 6 y 12 y 9 9
x 2 y x 4 y
3
3
x 1 y 2
x 1 y 2

2
2
2
2
x 2y x 4 y
x 2 y x 4 y
x y 3
x y 3

2

2
2
y 3 2 y y 3 4 y
y 3y 2 0
x 2

y 1

x 1

y 2

Vy h ó cho cú 2 nghim: 1; 2 ; 2; 1 .
Nhn xột: Rừ rng vi vớ d 5 ny vic tỡm ra c cỏch bin i gii
c h phng trỡnh trờn nh trờn l khỏ khú i vi hc sinh, c bit l
hc sinh lp 9. Vi vớ d ny, ũi hi hc sinh phi nhn xột ht sc tinh t

Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hưng Yên

13


MT S PHNG PHP GII H PHNG TRèNH KHễNG MU MC DNG BI DNG HC SINH GII LP 9

cỏc h s ca tng hng t trong mi phng trỡnh v hc sinh ó c tip
cn vi cỏch bin i tng t nh trờn.
BI TP.
Bi 1: Gii cỏc h phng trỡnh sau
3
3

x y 3 x y
1)
x y 1

x 2y 1 0
2) 2
2
x y xy 1 0

x y 4
3)
2
x 1 y xy 4 y 2

x y 1
4) 3 3
2
2
x y x y

x 3 y 3 1
5) 5
5
2
2
x y x y

x 3 y 3 35
6) 2
2

2 x 3y 4 x 9 y

3
3
x y 9
7) 2
2
x 2 y x 4 y

2
x 5 x y 9
8) 3
2
2
3 x x y 2 xy 6 x 18

x y m 1

Bi 2: Cho h phng trỡnh

2
2
2
x y xy 2 m m 3

(m ltham số)

a) Gii h phng trỡnh khi m = 3.
b) Chng minh rng h phng trỡnh ó cho luụn cú nghim vi mi giỏ
tr ca m.

DNG 2: Mt hoc hai phng trỡnh ca h cú th a v dng tớch.
x 2 5 xy 6 y 2 0
Vớ d 1. Gii h phng trỡnh sau 2 2
2 x y 1

Li gii:
2
2
x 5 xy 6 y 0
2
2
2 x y 1

x 2 y x 3 y 0

2
2
2 x y 1
x 2 y
x 2 y
x 2y

2
2
2
2
2
2 x y 1 2 2 y y 1 9 y 1

x 3y
x 3y
x 3y






2 x 2 y 2 1 2 3 y 2 y 2 1
19 y 2 1



3 19
3 19
2
2


x
x
x 3
x 3


19
19

hoặc
hoặc
hoặc
y 1
y 1
y 19
y 19



3

3
19
19
Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hưng Yên

14


MT S PHNG PHP GII H PHNG TRèNH KHễNG MU MC DNG BI DNG HC SINH GII LP 9




Vy h ó cho cú 4 nghim: 2 ; 1 ; 2 ; 1 ; 3 19 ; 19 ; 3 19 ; 19 .
3 19
19 19
19

3 3 3

Nhn xột: Trong h phng trỡnh trờn, phng trỡnh th nht chớnh l
phng trỡnh ng cp bc hai, tuy nhiờn i vi hc sinh lp 9 khụng nờn
gii bng cỏch t x = ky vỡ vi cỏch gii ny hc sinh rt khú hiu ti sao li
ngh ra cỏch t ú. Chớnh vỡ vy, khi dy giỏo viờn nờn hng dn hc sinh
hóy phõn tớch phng trỡnh th nht v dng tớch v bin i tip nh cỏch
gii trờn.
Vớ d 2. Gii h phng trỡnh sau:
2 x 2 y 2 xy y 5 x 2 0 (1)
2
2
(2)
x y x y 4 0

(TS Chuyờn Toỏn H ưng Yê n 2011 2012)

Li gii:
Dựng phng phỏp phõn tớch a thc thnh nhõn t bin i phng
trỡnh (1) v dng tớch.
2
2
2 x y xy y 5 x 2 0
2
2
x y x y 4 0

x y 2 2 x y 1 0
2
2

x y x y 4 0

x y 2 0
(a)
2
2
x y x y 4 0

2x y 1 0

(b)
x 2 y 2 x y 4 0

Gii h (a):
y 2 x
x y 2 0
y 2 x
x 1
2
2

2
2
2
y 1
x 2 x x 2 x 4 0
x y x y 4 0
x 2x 1 0

Gii h (b):

2 x y 1 0
2
2
x y x y 4 0
x 1

y 1
y 2 x 1
y 2x 1

2
2
x 4
2

x 2 x 1 x 2 x 1 4 0
5 x x 4 0
5


13
y
5

Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hưng Yên

15


MT S PHNG PHP GII H PHNG TRèNH KHễNG MU MC DNG BI DNG HC SINH GII LP 9

4 13
;
.
5
5

Vy h ó cho cú hai nghim: 1; 1 ;
Nhn xột:

- Ta cú th xem phng trỡnh (1) ca h l phng trỡnh bc 2 i vi n x
cũn n y l tham s v tin hnh gii nh sau:
(1) 2 x 2 y 5 x y 2 y 2 0
x 9 y 2 18 y 9 3 y 3

2

y 5 3y 3 y 1
y 5 3y 3

; x
y 2
4
2
4
y 1
*) Khi x
y 2 x 1 thay vo phương tr ì nh (2) ta cú được :
2
4

5 x 2 x 4 0 x 1;

5
x

Khi đó ta được nghiệm của hệ l



4 13
;
.
5
5

x; y 1; 1 ;


*) Khi x y 2 y 2 x thay vo (2) ta cú : 2 x 2 2 x 1 0 x 1
Khi đó ta được nghiệm của hệ l

x; y 1; 1 .


4 13
Vậy tập nghiệm của hệ đã cho l x; y 1; 1 ; ;
.
5
5

- Vic phõn tớch a thc v trỏi ca phng trỡnh th nht ca h, giỏo
viờn khi dy nờn hng dn hc sinh s dng hng ng thc ỏng nh
tin hnh bin i vỡ õy l a thc bc hai i vi hai n.
Vớ d 3. Gii h phng trỡnh sau
2 xy
2
2
x y x y 1 (1)
(Thi HSG tỉnh Hưng Yê n năm học 2011 2012)

x y x2 y
(2)


Li gii:
*) ĐK : x y 0
2

2

Ta có (1) x y


x y

2

x2 y2

x y

x y x2 y 2 x y

2

1

x2 y 2 x y

x y

Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hưng Yên

0

16


MT S PHNG PHP GII H PHNG TRèNH KHễNG MU MC DNG BI DNG HC SINH GII LP 9



x y 1 x 2 y 2 x y 1 x y
x y

0

x2 y 2
x y 1

1 0
x

y


x y 1 0

(V ì x y 0 nê n

x2 y 2
1 0)
x y

x y 1
Thay vào pt (2) ta được : 1 x 2 1 x x 2 x 2 0 x 1 hoặc x 2.
Từ đó suy ra hệ đã cho có 2 nghiệm x; y 1; 0 ; 2; 3 .

Nhn xột:
- Vi h cú cha du cn, khi dy giỏo viờn cn rốn cho hc sinh thúi
quen phi t iu kin cỏc cn thc cựng cú ngha, trong thc t
hc sinh thng quờn iu ny.
- bin i phng trỡnh th nht ca h v dng tớch, ta cng cú th
bin i nh sau:
x2 y2

2 xy
1
x y

x 2 y 2 2 xy 1

2 xy
2 xy 0
x y

1

2
x y 1 2 xy
1 0
x y
x y 1 x y 1 x y 2 xy x y 1 0
x y 1 x y x y 1 2 xy 0
x y 1 x 2 y 2 x y 0

Do x y 0 nờn x

x y 1 0

2

y2 x y 0

x2 4y2 5

Vớ d 4. Gii h phng trỡnh sau

4 xy x 2 y 7

Li gii:
Cng v vi v hai phng trỡnh ca h ta c:

x

2



4 xy 4 y 2 x 2 y 12
2

x 2 y x 2 y 12 0

Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hưng Yên

17


MT S PHNG PHP GII H PHNG TRèNH KHễNG MU MC DNG BI DNG HC SINH GII LP 9

x 2 y 4 x 2 y 3 0
x 2 y 4 hoặc x 2 y 3

Do ú ta cú:
x 2 y 4
(a )

x 4y 5
4 xy x 2 y 7

x 2y 3
4 xy x 2 y 7

(b )
4 xy x 2 y 7
2

2

Gii h (a):
x 2 y 4
x 2 y 4
x 2 y 4

2

4 y 2 y 4 2 y 4 2 y 7
4 xy x 2 y 7
8y 16 y 11 0

Vỡ phng trỡnh 8 y 2 16 y 11 0 cú ' 24 0 nờn vụ nghim. Do vy h (a)
vụ nghim.
Gii h (b):
x 2y 3

4 xy x 2 y 7
x 3 2y

2
2 y 3 y 1 0

x 3 2 y

4 y 3 2 y 3 2 y 2 y 7
x 3 2y
x y 1


y 1
x 2



1
y 1
y

2

2


1
Vy h ó cho cú 2 nghim: 1; 1 ; 2; .


2

Nhn xột: Trong h trờn cha cú phng trỡnh no ca h cú th a ngay v
dng tớch, tuy nhiờn bng vic cng v vi v hai phng trỡnh ca h theo
quy tc cng i s ta nhn c mt h mi, trong h mi ny cú mt
phng trỡnh a c v dng tớch.
BI TP.
Gii cỏc h phng trỡnh sau:
x3 6 x 2 y 9 xy 2 4 y 3 0
1)
x y x y 2

y3

x y x3
x
2)
x y x x3


Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hưng Yên

18


MT S PHNG PHP GII H PHNG TRèNH KHễNG MU MC DNG BI DNG HC SINH GII LP 9

xy x y x 2 2 y 2
3)
x 2 y y x 1 2 x 2 y

2

2
x y x y 1 x y
4)
x y 1

3 x y 2 xy
5)
2
2 x y 8
x y 2
7) 2
2
4 x y 5(2 x y ) xy

3
3
x 4 y y 16 x
6)
2
2
1 y 5(1 x )

x 2 3 x( y 1) y 2 y( x 3) 4
8)
x xy 2 y 1

2
2
x xy 2 y 2 y 2 x
9)

y x y 1 x 2

2
y 5 x 4 4 x
10)
2
2
5 x y 4 xy 16 x 8 y 16 0

2
2 x 2 xy y 5
11) 2
y xy 5 x 7

2
2
x x y y
12) 2
2
x y 3 x y
1
1
x x y y
14)
2 y x3 1


x3 7 x y 3 7 y
13) 2
2

x y x y 2
2
2
x y x y 4
15)
x x y 1 y y 1 2

2. Phng phỏp t n ph

* im mu cht ca phng phỏp ny l phi phỏt hin ra n ph
u f x; y ; v g x; y ngay trong tng phng trỡnh ca h hoc sau mt s

phộp bin i h ó cho.
* Thụng thng vic bin i h ch xoay quanh vic cng, tr 2 phng trỡnh
ca h theo v hoc chia c hai v ca mt phng trỡnh hay c hai phng
trỡnh ca h cho mt i lng khỏc 0 no ú ó ch ra trong cỏc phng
trỡnh, nh ú nhn ra vic phi chn n ph nh th no cho hp lớ.
Vớ d 1. Gii h phng trỡnh sau:
x 2 y 2 xy 1 4 y
(1)
(Thi HSG tỉnh Hưng Yên năm học 2010-2011)

2
2
y x y 2 x 7 y 2 (2)

Li gii:
* Nhn thy mi cp s x; y vi y = 0 u khụng phi l nghim ca h.
* Khi y 0 , chia c hai v ca (1) v (2) cho y ta c h:

Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hưng Yên

19


MT S PHNG PHP GII H PHNG TRèNH KHễNG MU MC DNG BI DNG HC SINH GII LP 9

x2 1
y x y 4


2
x y 2 2. x 1 7

y

x2 1
u

u v 4
t
y , khi ú h trờn tr thnh: 2
v 2.u 7
v x y


Gii h phng trỡnh:
u 4 v
u v 4
u 4 v

u 1
u 9
2
2

hoặc
2
v 2 4 v 7
v 3
v 5
v 2.u 7
v 2v 15 0
u 1
thay vo cỏch t n ph ta c:
v 3

* Vi

x2 1
1 y x 2 1 x2 x 2 0
x 1
x 2




hoặc
y
y 2
y 5

y 3 x
y 3 x
x y 3

u 9
thay vo cỏch t n ph ta c:
v 5

* Vi

x2 1
9
9 y x 2 1 x 2 9 x 46 0



y
y 5 x
y 5 x
x y 5


H ny vụ nghim vỡ phng trỡnh x 2 9 x 46 0 cú 103 0 nờn vụ
nghim.
Vy h ó cho cú 2 nghim: 1; 2 ; 2; 5 .
Nhn xột:
- Vi h phng trỡnh trờn vic vn dng cỏc phộp bin i tng ng mt h
gp khú khn vỡ khụng th s dng c quy tc th hay quy tc cng i s.
- cú th lm xut hin nhng yu t c lp i lp li trong cỏc phng
trỡnh ca h, nh ú ta t c n ph thỡ cn chia c hai v ca tng

phng trỡnh cho y 0 .

Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hưng Yên

20


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9

 x 4  4 x 2  y 2  6 y  9  0
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau:  2
.
 x y  x 2  2 y  22  0

Lời giải:
Hệ phương trình đã cho tương đương với
2
2
2
2
2
2
( x  2)  ( y  3)  4
( x  2)  ( y  3)  4

 2

2
2
2

( x  2) y  x  22  0
( x  2  4)( y  3  3)  x  2  20  0

 x2  2  u

Đặt 

y 3  v

u 2  v 2  4
u.v  4(u  v)  8

, khi đó hệ phương trình trên trở thành: 
u  2
u  0
hoặc 
.
v  0
v  2

Giải hệ trên ta được 

Thế vào cách đặt ta được các nghiệm của hệ là:
 x  2  x  2
;
;

y  3 y  3

 x  2

;

 y  5

 x   2
.

 y  5

Nhận xét:
- Với hệ phương trình trên, việc biến đổi hệ để xuấn hiện bộ phận để đặt
ẩn phụ khá dễ nhận ra việc phải sử dụng hằng đẳng thức nhờ phương
trình thứ nhất của hệ.
- Ta cũng có thể giải hệ trên nhờ phương pháp thế bằng cách tính y theo
x từ phương trình thứ hai rồi thay vào phương trình thứ nhất. Tuy
nhiên theo cách này sẽ xuất hiện một phương trình bậc 8 rất khó giải.
3

2
2
7
2
 4 xy  4  x  y  
x  y


Ví dụ 3. Giải hệ phương trình sau: 
2 x  1  3

x y

Lời giải:
* ĐK: x  y  0.
* Hệ đã cho được viết lại dưới dạng sau:
3
2



7
2
4 xy  4  x  y   2 xy  
 x  y


 x  y   1   x  y   3

x y

Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, H­ng Yªn

21


MT S PHNG PHP GII H PHNG TRèNH KHễNG MU MC DNG BI DNG HC SINH GII LP 9

3
2

7

2
4 x y 4 xy
x y



x y 1 x y 3

x y

1
2
2
3 x y
x y 7
2

x y


1
x y x y x y 3

1

3 u 2 2 v 2 7
; u 2
u x y
x y
* t

, khi ú h ó cho tr thnh:
v x y
u v 3


3 u 2 2 v 2 7
3u 2 v 2 13 u 2
* Gii h vi n ph u, v ta cú:


u v 3

u v 3

v 1

1

2
x y 1 x 1
x y
x y
* Thay vo cỏch t ta c:


x y 1 y 0
x y 1


x 1

.
y 0

Vy h ó cho cú nghim duy nht:

Nhn xột: Vic bin i h trong vớ d ny nhn thy ngay phi s dng hng
2

ng thc ỏng nh nhm xut hin x y , ú chớnh l c s thc
hin cỏch bin i h to iu kin thun li cho vic t n ph.
Vớ d 4. Gii h phng trỡnh sau:
5
2
3
2
x y x y xy xy 4
(Đề tuyển sinh Đại học khối A năm 2008)

x 4 y 2 xy (1 2 x ) 5

4
Li gii:

5
2
2
x y xy ( x y ) xy 4
H ó cho tng ng vi
.
5

2
2
( x y ) xy

4
5

a

ab

b


2

x y a
4
t
, khi ú ta c h mi
xy b
a 2 b 5

4
Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hưng Yên

22


MT S PHNG PHP GII H PHNG TRèNH KHễNG MU MC DNG BI DNG HC SINH GII LP 9

Gii h phng trỡnh mi nhn c ta cú:
5
5


2
a ab b 4
b 4 a


a 2 b 5
a 5 a a 3 5 a 2 5

4

4
4
4
a
5
3

2
a a 4 0
a 0; b 4


a 1 ; b 3
b 5 a 2

4

2
2
3

10
x 2 y 0 y x2
x





2

5 3 5
3
xy
x
y 100

4

4

4
1
1

2
1

a


x

y


2
x 1


y x

2
2
2
* Vi
, ta c:

3
3
3
b
xy
2 x3 x 3 0 y 2

2
2
3
3 10
100
3
Vy h ó cho cú hai nghim :
;
; 1; .
4
2
2
Nhn xột:

a 0

* Vi
5 , ta c
b



4

Qua vớ d ny cho thy vi kin thc lp 9, hc sinh hon ton cú th tip
cn c n vic gii cỏc h khụng mu mc ngay c trong thi vo cỏc
trng i hc. Rừ rng vi phng phỏp t n ph giỳp chỳng ta gii c

nhiu h tng i phc tp bng cỏch a v vic gii cỏc h n gin hn.
x y 1 1 4 x y 2 3. x y
Vớ d 5. Gii h phng trỡnh sau:
3
2 x y

2

Li gii:
* K: x y 0
* t t x y; t 0. Khi ú phng trỡnh th nht ca h tr thnh :
1 2t
2t 1 2t 1
t 1 3t
1


1 2t
2t 1 0
t 1 3t

1
1
t (Do t 0 nờn
2t 1 0).
2
t 1 3t

Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hưng Yên

23


MT S PHNG PHP GII H PHNG TRèNH KHễNG MU MC DNG BI DNG HC SINH GII LP 9

1
2


x 3
x y 2
Do ú h ó cho tr thnh

2 x y 3
y 1

2
6

2
1
Vy h ó cho cú nghim duy nht: ; .
6
3

Nhn xột:
- Trong vớ d trờn vic t n ph li khụng tin hnh theo li thụng
thng, l bin i h xut hin biu thc t n ph m vic t n
ph ch tin hnh phng trỡnh th nht ca h nhm a phng
trỡnh th nht v dng n gin, nh ú m ta gii c h phng

trỡnh.
- Nh vy cú th núi, vic t n ph ũi hi ngi gii toỏn phi ht sc
linh hot trong vic chn gii phỏp bin i h ó cho nhm xut hin
b phn cn t n ph. Cng cú khi vic t n ph ch nhm mc
ớch bin i mt phng trỡnh ca h thnh phng trỡnh mi tng
ng vi vi phng trỡnh ban u nhng dng n gin hn, chớnh
vỡ vy giỳp ta cú th gii c h phng trỡnh toỏn t ra.
BI TP.
Gii cỏc h phng trỡnh sau:
x 2 1 y y x 4 y
1) 2
x 1 y x 2 y



1
x y 1 5

xy
2)
xy 1 4

xy

x y
x y 15
y x
3)
2
2

x y x 2 y 2 85


y 2 x 2


x 2 y 2 y x 4 xy

4) 1
1 x
x 2 xy y 3


3
y

x 2 y 2 1 2. x 1

5)
x 2 y 2 4. x 22

y

1
2
2 x x y 2
6)
y y 2 x 2 y 2 2

2
2
2 2
x y x y 1 2 xy
7)
2
2
x x y xy y xy 1

x 2 xy y 2 3 x y
9)
2
2
2
x xy y 7 x y

2
2
x y x y 12
8)
y x 2 y 2 12
2
1 1
x x 1 4
y
y

10)
2
x x 1 4 x3

y 2 y y3


Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hưng Yên

24


MT S PHNG PHP GII H PHNG TRèNH KHễNG MU MC DNG BI DNG HC SINH GII LP 9
3 3
3
8 x y 27 7 y
11) 2
2
4 x y 6 x y

2
2
2 y x 1
12) 3
3
2 x y 2 y x

3
y

x 2 y 2 1 2 x 1

13)
x 2 y 2 4 x 22

y
( x 1)( y 1)( x y 2) 6
15) 2
2
x y 2x 2 y 3 0

x 2 y 2 x 2 3 y 15 0
16) 4
2
2
x y 2 x 4 y 5 0

2 x y 1 x y 1
17)
3 x 2 y 4

4
3
2 2
x x y x y 1
18) 3
2
x y x xy 1

x y x 2 y 2 13

14)
2
2

x y x y 25


x2 y 2 1
2

19)
x y2
( xy x y 1)( x y 2) 6

x y 1 1 4 x y 2 3. x y

20)
3
2 x y

2

3. Phng phỏp ỏnh giỏ

Vi phng phỏp ny ũi hi ngi lm toỏn phi tin hnh ỏnh giỏ giỏ
tr hai v ca mt hoc hai phng trỡnh trong h. Nh ú ta cú th thu hp
c min giỏ tr ca cỏc n, to iu kin cho ta ch ra nghim ca h hoc
chng minh h ó cho vụ nghim.
Tuy nhiờn vi phng phỏp ny, ũi hi ngi lm toỏn cn nm rt vng
kin thc v bt ng thc, cỏc phng phỏp tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh
nht. Di õy l mt s vớ d cú tớnh cht minh ho cho phng phỏp ny.
1

1 x y 2 z 4

Vớ d 1. Gii h phng trỡnh sau

z 3 2x 8

Li gii:
Xột phng trỡnh th nht ca h ta cú:

x y

2

1

2

0 1 x y 1

1 x y

2

1 z 4 1 z 3

Mt khỏc t phng trỡnh th hai ca h ta cú: z 3 0 z 3 .
Do vy ta suy ra z 3 v 2 x 8 x 4 .
Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hưng Yên

25