BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT và TỪ BIẾN CỦA BÊ TÔNG cho các lớp cao học ngành Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp

BÀI GIẢNG
LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT và TỪ BIẾN CỦA BÊ TÔNG
cho các lớp cao học ngành Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp

Ngô Thế Phong - ĐHXD


LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP

Mục lục
BÀI GIẢNG...................................................................................................................................................1
LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT và TỪ BIẾN CỦA BÊ TÔNG..................................................................1
cho các lớp cao học ngành Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp.................................................................1
Ngô Thế Phong - ĐHXD...............................................................................................................................1
Mục lục..........................................................................................................................................................2
14. Tài liệu tham khảo…………………………………………………………………………………..42.3
Phần 1: LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT......................................................................................................4
1. Sơ lược về các tính chất biến dạng của vật liệu:....................................................................................4
2. Mô hình vật thể từ biến đơn giản (mô hình lưu biến) :......................................................................4
3. Mô hình vật thể chùng đơn giản :.......................................................................................................4
4. Mô hình 3 thông số:...............................................................................................................................4
a) Phương trình vi phân cơ bản:.............................................................................................................4
b) Trường hợp (từ biến):........................................................................................................................6
c) Trường hợp (chùng ứng suất):...........................................................................................................6
d) Trường hợp tải trọng bất kỳ (theo thời gian):....................................................................................6
e) Trường hợp biến dạng bất kỳ (theo thời gian):..................................................................................6
5. Quy luật chung của biến dạng tuyến tính:..............................................................................................7
6. Trường hợp trạng thái ứng suất tổng quát:.............................................................................................7
a) Nhắc lại một số quan hệ trong lý thuyết đàn hồi:..............................................................................7
b) Quan hệ ứng suất-biến dạng trong lít thuyết đàn hồi - nhớt:.............................................................9
7. Các phương pháp giải bài toán đàn hồi nhớt:......................................................................................10

a)Phương pháp Voltere (phương pháp tương tự đàn hồi) – Nguyên lý Voltere- Các phương trình cân
bằng và phương trình hình học giống như trong lý thuyết đàn hồi......................................................10
b)Phương pháp biến đổi Laplace:........................................................................................................10
c) Phương pháp tiệm cận của I.Iliusin:................................................................................................10
8. Lý thuyết nhiệt đàn hồi nhớt tuyến tính:..............................................................................................11
a) Nguyên lý tương tự nhiệt độ - thời gian:.........................................................................................11
b) Nhiệt và mô hình 3 thông số:...........................................................................................................11
c) Các dạng bài toán nhiệt đàn hồi nhớt:..............................................................................................12
d) Xác định các thông số bằng thực nghiệm:.......................................................................................12
e) Phương pháp tải trọng nhiệt ảo cho trường hợp T thay đổi bậc thang (tải trọng không đổi):.........13
Phần 2: LÝ THUYẾT TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG.......................................................................................14
1. Những đặc điểm biến dạng của vật liệu dưới tác dụng của tải trọng dài hạn:.....................................14
2. Quan hệ ứng suất - biến dạng đối với lý thuyết tuyến tính:.................................................................14
3. Các phương án biểu diễn từ biến:........................................................................................................15
a) Lý thuyết vật thể đàn hồi từ biến:....................................................................................................16
b) Lý thuyết di truyền đàn hồi:.............................................................................................................16
c) Lý thuyết già:...................................................................................................................................16
4. Trạng thái ứng suất-biến dạng của thanh đồng chất trong điều kiện từ biến tuyến tính:.....................17
a) Dưới tác dụng của ngoại lực:...........................................................................................................17
b) Biến dạng cưỡng bức:......................................................................................................................17
5. Bài toán tổng quát của lý thuyết từ biến tuyến tính:............................................................................18
a) Quan hệ ứng suất- biến dạng:..........................................................................................................18
b) Trường hợp trạng thái ứng suất do tải trọng gây ra:........................................................................19
c) Trường hợp trạng thái ứng suất gây ra do sự thay đổi của biến dạng :............................................21
d) Ứng suất nhiệt có xét đến từ biến:...................................................................................................22
6. Quan hệ ứng suất-biến dạng theo lý thuyết già:...................................................................................24
a) Cách 1: chia nhỏ tích phân...............................................................................................................24
b) Cách 2:.............................................................................................................................................25
7. Ứng suất-biến dạng của bêtông và cốt thép theo lý thuyết già khi không nứt:....................................26
a) Ứng suất gây nên bởi M:..................................................................................................................26

Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD

-(2)-


LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP
b) Ứng suất gây nên bởi N đặt ở trọng tâm hình học của tiết diện:.....................................................27
c) Ứng suất do co ngót của bêtông:......................................................................................................27
d) Ứng suất gây nên bởi lực ép trước trong BTCT ƯLT:....................................................................28
8. Tính chuyển vị của dầm tĩnh định:.......................................................................................................28
a) Chuyển vị gây nên vởi các yếu tố lực tác dụng dài hạn:.................................................................28
b) Chuyển vị do co ngót của bêtông....................................................................................................29
9. Tính dầm tĩnh định theo lý thuyết vật thể đàn hồi từ biến:..................................................................30
10. Tính dầm bêtông cốt thép có vết nứt khi làm việc:............................................................................32
11. Tính hệ thanh BTCT siêu tĩnh theo phương pháp lực........................................................................34
a) Khái niệm chung:.............................................................................................................................34
b) Phương trình chính tắc trên cơ sở lý thuyết già cải tiến:.................................................................35
c) Trình tự tính toán:............................................................................................................................37
d) Tính toán theo sự chuyển vị gối tựa và co ngót:..............................................................................38
e) Phương pháp dựa trên cơ sở lý thuyết vật thể đàn hồi từ biến:.......................................................38
f) Phương pháp lực trên cơ sở lý thuyết già cải tiến và phân nhỏ tích phân:.......................................39
g) Phương pháp đơn giản để tính hệ siêu tĩnh chịu chuyển vị cưỡng bức:..........................................41
h) Phương pháp chuyển vị để tính hệ thanh:........................................................................................42
13. Xác định các đặc trưng tính toán.......................................................................................................42
14. Tài liệu tham khảo…………………………………………………………………………………..42

Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD

-(3)-

LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP

Phần 1: LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT
1. Sơ lược về các tính chất biến dạng của vật liệu:
- Có tải trọng thì có biến dạng đàn hồi ban đầu.
- Giữ tải trọng thì biến dạng tăng
- Dỡ tải thì có biến dạng dư
- Các giá trị cụ thể phụ thuộc vào vật liệu cụ thể: thép ≠ chất
dẻo ≠ gỗ ≠ bêtông
- Có biến dạng thì có chùng ứng suất.
- Một trong các phương pháp nghiên cứu các biến dạng trên là
mô hình hóa vật liệu.

2. Mô hình vật thể từ biến đơn giản (mô hình lưu biến) :
- Đàn hồi lý tưởng: σ dh = Eε
- Nhớt lý tưởng: σ nh = Kε

Mo hinh Kelvin
1868

- Vật thể từ biến: quan hệ ứng suất - biến dạng:
ε = ε nh = ε dh
σ = Eε
 dh
⇒ σ = Eε + Kε gọi là phương trình lưu biến.


σ
=

K
ε
nh

σ = σ dh + σ nh
σ0
- Giải phương trình với σ = const = σ 0 và t = 0 thì ε = 0 ta được: ε =
E

E 

1 − e − k t 

 là



phương trình biểu diễn từ biến.
- Nếu ε = const → ε = 0 → σ = Eε tuân theo định luật Hook.
- Mô hình khởi điểm: không có chùng ứng suất.

3. Mô hình vật thể chùng đơn giản :
ε = ε nh + ε dh → ε = ε nh + ε dh
σ = Eε → ε = σ E
 dh
dh
dh
⇒ σ + nσ = Kε trong đó n = K E




σ
=
K
ε
→
ε
=
σ
K
nh
nh
nh

σ = σ dh = σ nh
E

- Giải phương trình với t = 0 và ε = const ta có: σ = σ e − k t là phương trình biểu
0
diễn chùng ứng suất.

4. Mô hình 3 thông số:
a) Phương trình vi phân cơ bản:
Cả hai mô hình trước đều không thể hiện được tính chất thực của vật liệu  tăng thêm thông số:
Mô hình :Maxwell
ε nh = ε dh1
ε = ε + ε
dh1
dh 2


σ = σ nh + σ dh1 = σ dh 2
E2 K
E E
K
ε + 1 2 ε =
σ + σ
⇒


E
+
E
E
+
E
E
+
E
σ
=
K
ε
1
2
1
2
1
2
nh
 nh

σ dh1 = E1ε dh1

σ dh 2 = E 2 ε dh 2 = σ
hoặc nHε + Eε = nσ + σ
Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD

-(4)-


LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP
trong đó:
H = E2 - môđun đàn hồi tức thời;
EE
E = 1 2 - môđun đàn hồi lâu dài;
E1 + E2
K
n=
- thời gian chùng ứng suất;
E1 + E2
Mô hình :
σ nh = σ dh 2
σ = σ + σ
nh
dh1

ε = ε nh + ε dh 2 = ε dh1
K ( E1 + E 2 )
K
ε + E1ε =
σ + σ hay nHε + Eε = nσ + σ

⇒


E
E
σ
=
K
ε
2
2
nh
nh

σ dh1 = E1ε dh1

σ dh 2 = E2ε dh 2 = σ
với H = E1 + E2 ; E = E1; n =

K
E2

Mô hình :
ε nh1 = ε dh1
σ = σ
nh1 + ε dh1 = σ nh 2


KK
K

ε = ε nh1 + ε nh 2
⇒ 1 2 ε + ( K1 + K 2 ) ε = 2 σ + σ

E1
E1
σ nh1 = Kε nh1
σ nh 2 = Kε nh 2


σ dh1 = E1ε dh1
K1K 2
K2
với A = E ; B = K1 + K 2 ; n = E
1
1

hay

Aε + Bε = nσ + σ

Mô hình :
ε nh1 = ε nh 2
σ = σ + ε
nh1
nh 2 = σ dh1

ε = ε nh1 + ε dh1
KK
K + K2
σ + σ hoặc Aε + Bε = nσ + σ

⇒ 1 2 ε + K 2ε = 1

E
E

σ
=
K
ε
1
1
nh1
 nh1
σ nh 2 = Kε nh 2

σ dh1 = E1ε dh1
K1K 2
K1 + K 2
với A = E ; B = K 2 ; n = E
1
1
Nhận xét:
1- Bậc của phương trình vi phân bằng số phần tử nhớt.
2- Khi không có phần tử đàn hồi mắc song song thì biến dạng dài hạn tăng lên vô cùng (mô hình )
3- Khi có phần tử đàn hồi mắc song song với phần tử nhớt thì biến dạng dài hạn là hữu hạn và xác định
bởi môđun đàn hồi dài hạn.
4- Khi ứng suất tăng rất nhanh thì phần tử nhớt tỏ ra như là cứng. Khi đó hệ biến dạng theo môđun đàn
hồi tức thời.
5- Trong hệ  không có phần tử đàn hồi mắc nối tiếp, môđun đàn hồi tức thời là lớn vô cùng.
6- Môđun đàn hồi tức thời luôn luôn lớn hơn môđun đàn hồi dài hạn.

7- Trong hệ  không tồn tại biến dạng dư.
Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD

-(5)-


LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP
- Hệ có nhiều thông số (phần tử) có thể mô tả đường cong biến dạng chính xác hơn nhưng tính toán phức
tạp và không dễ xác định các thông số thực nghiệm. Ta dừng lại ở mô hình 3 thông số: nHε + Eε = nσ + σ
- Khi quá trình biến dạng xảy ra rất chậm thì ε ≈ 0, σ ≈ 0 và ta có định luật Hooke với môđun đàn hồi dài
hạn E.
- Khi quá trình xảy ra rất nhanh, bỏ qua ε , σ so với ε , σ . Khi đó có định luật Hooke với môđun đàn hồi
tức thời H.
- Vật liệu tuân theo phương trình như vậy gọi là vật liệu đàn hồi nhớt.
- Điều kiện ban đầu lấy là trạng thái tự nhiên, tức là khi ứng với biến dạng nhớt ε nh = 0 . Khi đó biến
dạng của hệ sẽ là: ε 0 = σ H
b) Trường hợp σ = const (từ biến):
- Từ phương trình: nHε + Eε = σ ⇒ ε +

Et
E
σ
−
ε=
; nghiệm sẽ là: ε = Ce Hn + σ
Hn
Hn
E

(

σ
là nghiệm
E

riêng)
Et
−
σ
 1 1
σ
1
1


Hn
→ C = σ  −  ; suy ra: ε = + σ  −  e
- Ở trạng thái ban đầu: ε = ε 0 =
H
H E
E
H E
 1 1
- Ta thấy  −  luôn âm vì H > E .
H E
- Rỡ tải ở thời điểm t = t 0 ; ε = ε 0 (chất tải σ ở trạng thái đầu ε = 0 ):

−

Et0

e Hn

Et
Hn

−

E
( t −t0 )
Hn

→ C = ε0
→ ε = ε 0e
ε = Ce
- Khi t → ∞ thì ε → 0 vật thể quay về trạng thái ban đầu.
c) Trường hợp ε = const = ε 0 (chùng ứng suất):
- Từ phương trình: σ + nσ = Eε 0 ; với điều kiện σ

t

t =0

= σ 0 ta có: σ = Eε + ( σ − Eε ) e − n
0
0
0
t

- Ở thời điểm đầu: σ 0 = ε 0 H , vậy phương trình trên có thể viết thành: σ = Eε + ( H − E ) ε e − n
0

0
d) Trường hợp tải trọng bất kỳ (theo thời gian): σ = σ ( t )
- Biến dạng ở thời điểm t sẽ là: ε ( t ) = e

−

Et
Hn

- Ở thời điểm đầu ε = ε 0 ta có: ε ( t ) = ε 0 e

−

Eτ
 1 t

Hn

[σ (τ ) + nσ (τ ) ] e dτ + C 
 Hn 0


∫

E
t
Hn

1
+

Hn

t

∫ [σ (τ ) + nσ (τ ) ]

E
(τ − t )
Hn
e
dτ

0

- Tiến hành tích phân từng phần rồi rút gọn lại ta được: ε ( t ) =

−
( t −τ )
σ (t ) H − E
Hn
+
σ
(
τ
)
e
dτ
H
H 2n 0
t

∫

E

(a)

E

- Hàm số K ( t − τ ) = e − Hn ( t −τ ) là hàm số ảnh hưởng của lực ở thời điểm τ đến biến dạng ở thời điểm t, còn
gọi là hàm di truyền.
e) Trường hợp biến dạng bất kỳ (theo thời gian): ε = ε ( t )
- Ở thời điêm t = 0 vật liệu ở trạng thái tự nhiên. Giải phương trình vi phân: nHε + Eε = σ + nσ ta được:

Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD

-(6)-


LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP
t

−
H −E
σ ( t ) = Hε ( t ) −
ε (τ ) e
n 0

∫

- Hàm số R( t − τ ) = e −

( t −τ )
n

t −τ
n dτ

(b)

là hàm số ảnh hưởng của biến dạng ở thời điểm τ đến ứng suất ở thời điểm t.

- Biểu thức (b) có thể coi là lời giải của phương trình tích phân (a) và ngược lại.

5. Quy luật chung của biến dạng tuyến tính:

- Phương trình vi phân nHε + Eε = σ + nσ mô tả biến dạng của vật liệu, gần với quan sát thực nghiệm,
nhưng có khuyết điểm:

( H − E ) e− Hn ⇒ ngay sau khi đặt tải:
- Xét trường hợp σ = const , tốc độ biến dạng là: ε ( t ) = σ
nH 2
( H − E)
ε ( 0 ) = σ
nH 2
trong khi đó thì hầu hết thí nghiệm đối với vật liệu khác nhau (gỗ, thép, bêtông…) đều cho đường cong
tiệm cận với trục đứng.
- Dạng đường cong đó không thể phù hợp với quy luật biến dạng tuyến tình, dù là có nhiều số hạng trong
Et

( n)

( m)

phương trình vi phân: a0ε + a1ε + a2ε + ... + an ε = b0σ + b1σ + b2σ + ... + bm σ
- Trường hợp σ = const nghiệm của phương trình này là một tổng các hàm mũ mà đạo hàm của nó
không thể có giá trị vô hạn khi t = 0

σ (t)
− K ( t − τ )σ (τ ) dτ
- Vậy có thể viết quy luật chung của biến dạng như sau: ε ( t ) =
H
t
t

∫
0

ở đây t0 là thời điểm bắt đầu của lịch sử biến dạng, có thể lấy là − ∞ hoặc t0 = 0 coi như thời điểm hoàn
thành chế tạo.
 1 t −t 0

- Khi σ = const = σ 0 , ta có: ε ( t ) = σ 0  + ∫ K ( t − τ ) dτ 
0
 H


σ0
H
tốc độ biến dạng: ε ( t ) = σ 0 K ( t − t0 )

giả sử thời điểm đầu t 0 thì: ε 0 =

giả sử thời điểm đầu t 0 = 0 : K ( t ) =
K ( t ) (kéo hoặc nén mẫu).

ε ( t )
Biểu thức này cho phép rút ra đường cong thực nghiệm của
σ0

1 ∞
 σ
- Khi t → ∞ , ta có: ε ( ∞ ) = σ 0  + K (τ ) dτ  = 0 ⇒
 H 0
 E

∫

∞

1

1

∫ K (τ ) dτ = E − H

; trong đó: E – giá trị môđun

0

dài hạn.

6. Trường hợp trạng thái ứng suất tổng quát:
a) Nhắc lại một số quan hệ trong lý thuyết đàn hồi:
- Phương trình vật lý – quan hệ của ứng suất-biến dạng:

Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD

-(7)-


LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP

τ xy
1
2(1 + ν )
[ (1 + ν )σ xx − νσ kk ]
ε xy = ε yx =
τ xy =
E
E
G
τ
1
2(1 + ν )
ε yy = (1 + ν )σ yy − νσ kk
ε xz = ε zx =
τ xz = xz
E
E
G

τ
1
2(1 + ν )
yz
ε zz = [ (1 + ν )σ zz − νσ kk ]
ε yz = ε zy =
τ yz =
E
E
G
σ xx τ xy τ xz
- Ten-xơ ứng suất: Tσ = τ yx σ yy τ yz
τ zx τ zy σ zz
ε xx =

[

(σ kk = σ xx + σ yy + σ zz )

]

- Ten-xơ cầu ứng suất: Tσ 0

σ0 0 0
= 0 σ 0 0 với σ 0 = σ kk 3 - ưs pháp TB.
0
0 σ0

σ xx − σ 0
τ xy

τ xz
Dσ =
τ yx
σ yy − σ 0
τ yz
= Tσ − Tσ 0 ;
τ zx
τ zy
σ zz − σ 0

Tσ = Tσ 0 + Dσ

δ ij = 1 khi i = j
1
- Gọi thành phần của Dσ là S ij , có thể viết thành: Sij = σ ij − δ ijσ kk với
δ ij = 0 khi i ≠ j
3
ε xx

1
γ xy
2

1
γ xz
2
1
1
γ yz (thừa số để biểu diễn nhất quán sau này)
2

2

1
γ yx ε yy
2
1
1
γ zx
γ zy ε zz
2
2
ε + ε yy + ε zz ε kk
- Biến dạng trung bình: ε 0 = xx
=
3
3
ε0 0 0
- Ten-xơ cầu biến dạng: Tε 0 = 0 ε 0 0 đặc trưng cho sự thay đổi thể tích.
0 0 ε0
- Ten-xơ biến dạng: Tε =

ε xx − ε 0
Dε =

1
γ yx
2
1
γ zx
2

1
γ xy
2

ε yy − ε 0
1
γ zy
2

1
γ xz
2
1
γ yz
2

= Tε − Tε 0 ;

Tε = Tε 0 + D ε

ε zz − ε 0

δ ij = 1 khi i = j
1
- Gọi thành phần của D ε là eij , có thể viết thành: eij = eij − δ ij ekk với
δ ij = 0 khi i ≠ j
3
1 +ν
1

Sij =
Sij
- Rút ra quan hệ: eij =
E
2G
1
1 − 2ν
σ kk =
σ kk , với K 0 = E
- Từ phương trình vật lý rút ra: ε kk =
K0
E
1 − 2ν
nếu v = 0.5 thì không có sự thay đổi về thể tích vì ε kk = 0

Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD

-(8)-


LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP
b) Quan hệ ứng suất-biến dạng trong lít thuyết đàn hồi - nhớt:

∂
∂m
P
=
a
+
a

+
...
+
a

0
1
m
∂t
∂t m là các toán tử vi phân.
Quan hệ vi phân: Qeij = PSij trong đó: 
n
Q = b + b ∂ + ... + b ∂
0
1
n

∂t
∂t n
Sij, eij là các thành phần của tensơ ứng suất và biến dạng giống như trên
.
1 1 ∂
∂
; Q=
- Mô hình Maxwell: P = +
K E ∂t
∂t
∂
- Mô hình Kenvin: P = 1; Q = E + K
∂t

t

Sij = R ( t ,τ ) deij (τ )

0
Quan hệ tích phân: năm 1874 Bolsman đề nghị: 
; với R( t ,τ ) và R1 ( t , τ ) là các
t
σ = R ( t ,τ ) de (τ )
1
kk
 kk
0

hàm xác định bằng thực nghiệm, được gọi là hàm chùng ứng suất cắt và hàm biến dạng thể tích.
- Đối với vật liệu già, môđun đàn hồi và các đặc trưng cơ học khác không phụ thuộc thời điểm đặt lực.
Trạng thái ứng suất biến dạng của vật thể chỉ phụ thuộc vào khoảng cách thời gian từ lúc đặt tải đến thời
t
t


Sij = R ( t − τ ) deij (τ )
eij = Π ( t − τ ) dSij (τ )


0
0
điểm tính toán ( t − τ ) . Do vậy: 
Ngược lại ta có: 
;

t
t
σ = R ( t − τ ) de (τ )
ε = Π ( t − τ ) dσ (τ )
1
kk
1
kk
 kk
 kk
0
0


với Π ( t ,τ ) và Π1 ( t ,τ ) là các hàm từ biến khi cắt và thay đổi thể tích.

∫

∫

∫

∫

∫

∫

t

∫

deij

Sij = R0eij ( t ) + R′( t − τ ) eij (τ ) dτ ;

R′( t ) =

- Tích phân từng phần biểu thức S ij = R( t − τ )
0

t

∫
0

dτ ta được:

dτ

dR
dt

- Nếu đòi hỏi ở thời điểm đầu vật liệu tuân theo định luật Hooke ta có: R0 = 2G . Đặt Γ ( t ) = −

dR
ta
dt

được:

t

t

Sij = 2Geij ( t ) − Γ ( t − τ ) eij (τ ) dτ ; tương tự: σ kk = K 0ε kk ( t ) − Γ1 ( t − τ ) ε kk (τ ) dτ ;

∫

∫

0

0

dR
với Γ 1 ( t ) = − 1
dt
- Ngược lại:
t

1
eij =
Sij ( t ) + K ( t − τ ) Sij (τ ) dτ
2G
0

∫

t

ε kk

1
=
σ kk ( t ) − K1 ( t − τ )σ kk (τ ) dτ
K0
0

∫

dΠ
dΠ1

(
)
(
)
K
t
=
;
K
t
=
1

dt
dt
với 
1

1
; Π1 ( 0 ) =
 Π ( 0) =

2G
K0

Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD

-(9)-


LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP

7. Các phương pháp giải bài toán đàn hồi nhớt:
a)Phương pháp Voltere (phương pháp tương tự đàn hồi) – Nguyên lý Voltere- Các phương trình cân
bằng và phương trình hình học giống như trong lý thuyết đàn hồi.
- Các phương trình vật lý:
~
t
Sij = 2Geij
t
~


(
)
Γ
f
t

=
Γ ( t − τ ) f ( τ ) dτ

~
Sij = 2Geij ( t ) − Γ ( t − τ ) eij (τ ) dτ

σ
=
K
ε

kk
kk


0
0
viết lại:  ~
với 

1~
t
t
σ = K ε ( t ) − Γ ( t − τ )ε (τ ) dτ
G = G − 2 Γ
~
0 kk
1
kk
 kk

~
 Γ1 f ( t ) = Γ1 ( t − τ ) f (τ ) dτ
~
0

0
 K = K 0 − Γ1

- Như vậy lời giải bài toán đàn hồi nhớt về hình thức trùng với bài toán đàn hồi. Khác nhau chỉ ở chỗ thay
~ ~
cho các hằng số đàn hồi G, K 0 ta đưa vào các toán tử tương ứng G , K .
~ ~
- Các toán tử G , K thực hiện các phép tính theo thời gian, còn lời giải đàn hồi có liên quan đến phép tính
theo tọa độ. Như vậy phương pháp Voltere không giải được cho bài toán vật thể không đồng chất vì trong
~ ~
các toán tử G , K khi đó lại có chứa các hàm phụ thuộc tọa độ.

∫

∫

∫

∫

b)Phương pháp biến đổi Laplace:
- Có hàm f ( t ) , qua phép biến đổi toán tử Laplace ta có được ảnh của nó:
∞

− pt

Phép biến đổi Laplace: f ( p ) = ∫ e f ( t ) dt
0

∞

− pt
Phép biến đổi Laplace-Karson: f * ( p ) = p ∫ e f ( t ) dt

;

p- thông số thực

0

- Cho f ( p ) -ảnh sẽ tìm được f ( t ) -gốc.
- Thực hiện phép biến đổi Laplace đối với các phương trình và điều kiện biên, ta có ảnh của chúng. Thí
dụ đối với phương trình vật lý ta có: Sij = ( 2G − Γ ) eij ; σ kk = ( K 0 − Γ1 ) ε kk
- Có thể viết:

2G ′ = 2G − Γ ; K ′ = K 0 − Γ 1 .
- Ta thấy phép biến đổi Laplace đã loại thời gian ra khỏi các phương trình nhưng có đưa thêm vào thông
số p.
Phương pháp giải:
Xây dựng lời giải tương tự đàn hồi với các môđun G′, K ′ trong đó các ứng suất, biến dạng, chuyển vị…
đều được thay bằng ảnh của nó qua phép biến đổi Laplace. Sau đó tìm lại gốc (tức là các hàm cần tìm vừa
phụ thuộc thời gian vừa phụ thuộc tọa độ) qua phép biến đổi Laplace ngược.
Khó khăn lớn nhất của việc thực hiện phương pháp này là việc tìm gốc của ảnh. Trong nhiều trường hợp
không làm được vì khó khăn toán học.
Về nguyên lý thì phương pháp này áp dụng được cho bài toán vật thể không đồng chất. Vì phép biến đổi
Laplace thực hiện đổi thông số t ra p chứ không tách thời gian ra khỏi tọa độ.

c) Phương pháp tiệm cận của I.Iliusin :
∞

− pt
- Phương pháp này sử dụng phép biến độ Laplace-Karson: f * ( p ) = p ∫ e f ( t ) dt
0

- Đặc điểm:
+ Nếu f ( t ) = const thì f ( p ) = f ( t )
+ Nếu đối với t bất kỳ và hàm f ( t ) dương ,
nằm trong giới hạn đó.

Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD

nằm trong khoảng không đổi: f1 ≤ f ( t ) ≤ f 2 thì ảnh cũng

-(10)-


LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP
+ Nếu f ( t ) cho dưới dạng tích phân: f ( t ) =

t

∫ F ( t − τ ) dψ (τ )
0

thì ảnh của nó là tích 2 ảnh:

f ( p ) = F ( p )ψ ( p ) . Sự chuyển đổi này chỉ tồn tại khi ψ (τ ) = 0 .

+ Ngược lại, nếu ảnh cho ở dạng tích như trên thì gốc cũng được biểu diễn qua tích phân như trên.
- Nội dung của phương pháp này là qua phép biến đổi Laplace-Karson khử biến số thời gian t trong các
biểu thức: phương trình cân bằng, điều kiện biên, phương trình vật lý, phương trình hình học giống như
trong phép biến đổi Laplace. Sau đó xây dựng các lời giải tương tự đàn hồi và tìm lại gốc của nó.
Trong đó đã có sự chuyển: 2G → R , Sij → Sij , eij → eij 
Ở đây Iliusin sử dụng 2 thông số độc lập là Κ và ω . Với những mối liên hệ như sau:
1−ω
1 − 2ν

ν = 2 + ω hay ω = 1 + ν

với µ là hằng số Lamé.
2 µ = 2G = 3Kω
ω

E = 9K 2 + ω

1
 1
1 + ν = 3 (1 − ω )
ν
1
( ω − 1)
Có thể chuyển đổi các công thức của lý thuyết đàn hồi theo ω và K như sau:  =
 E 29 K
1 − ν = 1 1 1 + 2ω
 E
3K ω 2 + ω
ω
<

1
Vì
nên người ta khai triển các biểu thức của lời giải tương tự đàn hồi theo w thành các biểu thức đại
số dễ dàng tìm thấy gốc của các ảnh. Đó là phương pháp gần đúng.

8. Lý thuyết nhiệt đàn hồi nhớt tuyến tính:
- Vật liệu đàn hồi nhớt có tính chất cơ lý phụ thuộc vào nhiệt độ.
- Kết cấu BTCT có thể sử dụng ở nhiệt độ dưới 200oC nhưng phải được kể đến nhiệt độ khi thiết kế.
- Nhiệt độ tăng làm giảm cường độ và môđun đàn hồi. Theo một số nghiên cứu thì ở nhiệt độ 60-100 oC
cường độ giảm 20-40% kéo dài > 6 giờ.
a) Nguyên lý tương tự nhiệt độ - thời gian:
- Khi tăng nhiệt độ, quá trình biến dạng xảy ra nhanh hơn. Người ta đề nghị dùng nguyên lý tương tự
t dt
nhiệt độ - thời gian qua biểu thức: t ′ = 0
(thay thời gian bằng thời gian quy đổi t’).
aT
ở biểu thức trên, aT là hàm số nào đó của nhiệt độ, đặc trưng cho sự thay đổi của các thông số biến dạng
(thí dụ, sự thay đổi của các thông số đàn hồi và nhớt trong các mô hình đàn hồi - nhớt).
- Như vậy trong khi giải bài toán nhiệt đàn hồi nhớt ta giải như bài toán nhiệt đàn hồi nhưng thay thời
gian t bằng thời gian quy đổi t’. Nguyên lý này đã được dùng trong thí nghiệm để rút ngắn thời gian đo
các đặc trưng từ biến, nhưng nhiều học giả còn nghi ngờ…

∫

b) Nhiệt và mô hình 3 thông số:
 E1 = E1 ( T )

 E2 = E2 ( T )
K = K ( T )


- Nhiệt độ là hàm số của t nên các thông số cũng là hàm số của t.
- Lập phương trình lưu biến trên cơ sở:
σ = σ 1 + σ 2
E
σ
1 E
KE 

+ 1 + 2 − 21 σ
⇒ ε − αT ( t ) + 2 [ε − αT ( t ) ] =
ε = ε1 + ε 2 + αT ( t )
K
E1 K  E1
E1 
σ = E ε ; σ = Kε + E ε
1 1
2
2
2 2
 1

[

Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD

]

-(11)-

LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP
 E2 KE 1 
− 2 σ
1 +
 E1 E1 
- Nếu giả thiết môi trường là đoạn nhiệt, tức là E 1 = 0 (hoặc môđun đàn hồi tức thời thay đổi ít khi có sự
thay đổi nhiệt độ, hoặc nhiệt độ thay đổi trong khoảng hẹp) thì phương trình lưu biến có dạng:
E
σ
1  E 
ε + 2 ε =
+ 1 + 2 σ
K
E1 K  E1 
E
σ
1
+
- Đặt ε = ε − αT ( t ) , ta có phương trình lưu biến: ε + 2 ε =
K
E1 K

- Nghiệm của phương trình trong điều kiện đầu σ

ε (t) =

σ ( t ) − ∫0
+e
E1
t

∫

t =0

= 0; ε

t =0

= 0 là:

( ) e ∫ EK dt dt

E2
dt t σ t
K
0 K

t

2

0

t

−∫
1
- Nếu cho σ ( t ) = 1 ta có biến dạng toàn phần: F ( t ) =
+e 0

E1

E2
dt t
K
0

∫

σ ( t ) ∫0
e
K
t

E2
dt
K dt

1
- biến dạng đàn hồi khi σ = 1
E1
- Khi nhiệt độ là hằng số: F ( t ) =

1
1 
+
1−
E1 E 2 

E

− 2t
e K


 . Ta gọi:



E
− 2t
1 
1 − e K  - b.dạng từ biến khi σ = 1


E2


E
− 2t 
1 
C(t ) =
1 − e K  - độ từ biến khi quá


E2


trình là đẳng nhiệt

c) Các dạng bài toán nhiệt đàn hồi nhớt:

1. Bỏ qua sự thay đổi tính chất cơ học của vật liệu khi nhiệt độ môi trường thay đổi.
2. Kể đến sự thay đổi tính chất cơ học của vật liệu nhưng trường nhiệt độ là đồng nhất và không ổn định.
3. Kể đến sự thay đổi tính chất cơ học của vật liệu nhưng trường nhiệt độ là không đồng nhất và không ổn
định.
- Loại bài toán thứ 1: có thể dùng các phương pháp đã nói ở trên để giải. Trong đó biểu thức biến dạng
phải thêm phần αT .
- Loại bài toán thứ 2: nhiệt độ không phụ thuộc tọa độ, do đó nguyên lý Voltere có thể áp dụng được.
- Loại bài toán thứ 3: nhiệt độ phụ thuộc vào tọa độ và thời gian. Ở đây nguyên lý Voltere và phép biến
đổi toán tử đều không dùng được vì các phép tính theo thời gian và không gian là phụ thuộc. Vấn đề này
bao gồm cả trường hợp phải giản bài toán cơ học đồng thời với bài toán truyền nhiệt.
d) Xác định các thông số bằng thực nghiệm:
- Xác định E1 và E2:
E
− 2t
1
1 
1
1
1
1
1
F(t) =
+
1 − e K ; F ( 0 ) =
= ε 0 → E1 = ; F ( ∞ ) =
+
→ E2 =

E1 E2 
E1

ε0
E1 E2
ε∞ − ε0


Phải đo được ε 0 là biến dạng ngay sau khi đặt tải.
- Xác định K:
E
− 2t
1 
ε = ε0 +
1− e K  → K =


E2
ln



E2t
1
1 − E2 ( ε − ε 0 )

Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD

-(12)-


LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP
ở mỗi thời điểm t ta có 1 giá trị K. Người ta thấy rằng ở mọi thang nhiệt độ khác nhau giá trị K thay đổi

theo t: K = K max 1 − e −γ t . Với γ là hệ số phụ thuộc vào nhiệt độ môi trường.

(

)

e) Phương pháp tải trọng nhiệt ảo cho trường hợp T thay đổi bậc thang (tải trọng không đổi):
Giả thiết nhiệt độ thay đổi hình bậc thang:
- Ở thang nhiệt độ T1 các thông số là E21 và K1.
- Ở thang nhiệt độ T2 trong khoảng thời gian t1, t2 các thông số là E22
và K2.
- Ở thang nhiệt độ T3 trong khoảng thời gian t2, t3 các thông số là E23
và K3.
- Từ thời điểm t1 nhiệt độ tăng lên T2. Khi đó biến dạng tăng và tốc
độ từ biến càng tăng lên. Cũng lý luận tương tự khi nhiệt độ giảm ở
thời điềm t3.
- Để có đường cong từ biến C(t) như trên, ta có thể tưởng tượng răng
ở thời điểm t1 có 1 tải trọng ảo không đổi ∆P tác dụng vào hệ. Khí đó
E 22
vật có thông số tốc độ biến dạng là: n 2 =
K2
1 + ∆P
1 − e − n2 ( t −t1 )
- Biến dạng từ biến ở thời điểm t nằm giữa t1, t2 sẽ là: C ( t ) = C ( t1 ) +
E21
- Tải trọng ảo ∆P được xác định từ điều kiện: khi t = ∞ ảnh hưởng của nhiệt độ T1 đến biến dạng từ biến
1
phải không còn nữa, nghĩa là biến dạng từ biến chỉ phụ thuộc vào E22 và có giá trị cuối cùng là
khi
E 22

T = T2 .
1 + ∆P
1
1
=
−
1 − e − n1t1
- Từ đó rút ra:
E21
E22 E21
- Thay trở lại biểu thức tính C ( t ) ở trên ta có C ( t ) trong khoảng (t1, t2) như sau:
 1

1
1
C(t ) =
1 − e − n1t1 + 
−
1 − e − n1t1  1 − e − n2 ( t −t1 )
E21
 E22 E21

- Từ công thức trên ta thấy ảnh hưởng của T1 (qua E21 và n1) vào từ biến ở giai đoạn sau (t1, t2). Người ta
gọi là tính di truyền của nhiệt độ trong quá trình biến dạng.

(

(

(

)

)

)

(

)(

)

- Tương tự ta có thể tìm được C ( t ) trong khoảng (t2, t3):
 1

1
1
C(t ) =
1 − e − n1t1 + 
−
1 − e − n1t1  1 − e − n2 ( t −t1 ) +
E21
 E22 E21


(

)

(

)(

)

)(

 1

 1

1
1
+
−
1 − e − n1t1 − 
−
1 − e − n1t1  1 − e − n2 ( t −t1 )  1 − e − n3 ( t − t3 )
 E23 E21

 E22 E21

 1

− C ( ti −1 )  1 − e − ni ( t −ti −1 )
- Nếu tính lần lượt ta nhận được : C ( ti ) = C ( ti −1 ) + 
 E2 i


(

)

(

)(

(

Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD

)

)

-(13)-


LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP

Phần 2: LÝ THUYẾT TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG
1. Những đặc điểm biến dạng của vật liệu dưới tác dụng của tải trọng dài hạn:
- Biến dạng toàn phần khi tải trọng không đổi theo thời gian:

ε * ( t ) = ε dh (τ ) + ε tb ( t , τ )

τ- thời điểm đặt tải
ε dh (τ ) - biến dạng đàn hồi
trong đó:

tức thời
- Tồn tại một cường độ dài dạn của bêtông: R dh
+ Khi σ < Rdh biến dạng từ biến tắt dần
+ Khi σ > Rdh biến dạng từ biến phát triển và kết thúc bằng
phá hoại mẫu thử.
Đối với bêtông ở tuổi 28 ngày: Rdh ≈ 0.8 Rlt ; Rlt ≈ 0.78R
- Quan hệ giữa ứng suất và ε dh (τ ) là tuyến tính. Trong khi đó
quan hệ giữa ứng suất và ε tb ( t , τ ) nói chung là không tuyến
tính. Trong đó tỷ số σ R càng lớn thì càng ít tuyến tính.
σ ≤ 0.5 Rlt
Trong tính toán có thể coi gần đúng: khi 
có thể
σ k ≤ 0.8 Rk
dùng lý thuyết biến dạng từ biến tuyến tính.
′ (τ 2 ) < ε dh (τ1 )
R- Rỡ tải: ε dh
Biến dạng từ biến là biến dạng khôi phục nhưng lệch pha với
tải trọng. Tải trọng đã hết nhưng biến dạng vẫn tiếp diễn.
- Nguyên lý cộng tác dụng:
Đối với biến dạng từ biến tuyến tính tồn tại nguyên lý cộng tác
dụng:
ε * ( t ) = ε * ( t ,τ 1 ) + ε * ( t ,τ 2 ) + ε * ( t ,τ 3 )

2. Quan hệ ứng suất - biến dạng đối với lý thuyết tuyến tính:
- Giả thiết: đồng chất đẳng hướng, biến dạng nhỏ ⇒ có thể áp
dụng nguyên lí cộng tác dụng.
• Xét biến dạng toàn phần do σ = 1 tác dụng:
1
δ ( t,τ ) =
+ C ( t,τ )

E (τ )
1
trong đó:
- biến dạng đàn hồi tức thời;
E (τ )
C ( t , τ ) - độ từ biến.
1
- Việc phân biệt
và C ( t , τ ) trong thí nghiệm không phải
E (τ )
là dễ.
Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD

-(14)-


LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP
1
[1 + ϕ ( t , τ ) ] ; với ϕ ( t , τ ) - đặc trưng từ biến.
E (τ )
- So sánh hai biểu thức thì thấy: ϕ ( t , τ ) = E (τ ) × C ( t , τ ) ; thực chất thì:
ε
C ( t,τ )
ϕ ( t , τ ) = tb =
= E (τ ) × C ( t , τ )
ε dh 1 E (τ )
• Biến dạng toàn phần ở thời điểm t do ứng suất không đổi σ tác dụng ở thời điểm τ1:
ε * ( t ) = σ (τ 1 ) × δ ( t , τ 1 )
t ∂σ ( t )
*

δ ( t , τ ) dτ
- Trường hợp ứng suất thay đổi: ε ( t ) = σ (τ 1 ) × δ ( t , τ 1 ) +
τ 1 ∂τ
- Tính tích phân từng phần biểu thức trên, với chú ý E ( t ) = 1 δ ( t , t ) ta được:
t
σ (t)
∂δ ( t , τ )
ε * (t ) =
− σ (t)
dτ
E ( t ) τ1
∂τ
∂δ ( t , τ )
≤ 0 ⇒ biến dạng toàn phần luôn lớn hơn biến dạng
- Vì biến dạng luôn giảm theo tuổi đặt tải nên:
∂τ
đàn hồi tức thời.
• Biến dạng cắt thuần túy: tương tự như biến dạng dọc trục:
t

τ( t )
∂  1
γ * (t) =
− ∫ τ (τ )
+ ω ( t ,τ )  dτ

G ( t ) τ1
∂τ  G (τ )

trong đó: G ( t ) - môdun cắt;

ω ( t ,τ ) - độ từ biến khi cắt;
E (τ )
- Trong lý thuyết đàn hồi có quan hệ: G (τ ) =
2[1 + ν 1 (τ ) ]
với: ν 1 (τ ) - hệ số Poisson trong giai đoạn đàn hồi.
- Có thể biểu diễn: δ ( t , τ ) =

∫

∫

 1

+ C ( t , τ )  với
- Để có quan hệ ω ( t ,τ ) và C ( t , τ ) trong giai đoạn từ biến, ta so sánh 
 E (τ )

1
1
 1

 G (τ ) + ω ( t ,τ )  : thay E (τ ) bằng C ( t , τ ) và G (τ ) bằng ω (t ,τ ) trong biểu thức đàn hồi:


1
1
=
⇒ ω ( t ,τ ) = 2C ( t ,τ ) [1 + ν 2 (τ ) ]
ω ( t ,τ ) 2[1 + ν 2 (τ ) ]C ( t ,τ )
với: ν 2 (τ ) - hệ số Poisson trong giai đoạn từ biến.

2[1 + ν 1 (τ ) ]
1
+ ω ( t ,τ ) =
+ 2C ( t ,τ ) [1 + ν 2 (τ ) ] =
- Tính:
G (τ )
E (τ )
 1
 ν (τ )

= 2 
+ C ( t ,τ )  +  1 + ν 2 (τ ) C ( t ,τ )   = 2[δ ( t ,τ ) + δ 1 ( t ,τ ) ]
  E (τ )

  E (τ )
ν 1 (τ )
+ ν 2 (τ ) C ( t , τ )
với: δ 1 ( t ,τ ) =
E (τ )
- Cuối cùng có:
t
 [1 + ν 1 ( t ) ] τ( t )

∂
γ * ( t ) = 2
− ∫ τ( t )
[
δ ( t , τ ) + δ 1 ( t , τ ) ] dτ 
τ1
E( t )

∂τ



3. Các phương án biểu diễn từ biến:
Tồn tại 3 phương án chính:
- Lý thuyết vật thể đàn hồi từ biến (lý thuyết di truyền già)
- Lý thuyết di truyền đàn hồi
Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD

-(15)-


LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP
- Lý thuyết già
a) Lý thuyết vật thể đàn hồi từ biến:
- Theo Aruchiunhian.:
A 

C ( t ,τ ) = θ (τ ) f ( t − τ ) =  C 0 + 1  1 − e −γ ( t −τ )
τ 

trong đó: θ (τ ) - hệ số già: khi τ tăng thì θ giảm;
f ( t − τ ) - hàm số xét đến độ dài tác dụng của tải trọng;
- Môđun đàn hồi theo Aruchiunhian :
E (τ ) = E gh 1 − β e −αt

[

(

]

)

với: E gh - giá trị giới hạn của môđun đàn hồi bêtông;
α , β - các hệ số thực nghiệm;
- Như vậy có 6 hằng số: E gh , C 0 , A1 , γ , α , β .
A1 

- Khi t = ∞ thì C ( t , τ ) =  C 0 +  là giá trị giới hạn độ từ biến.
τ 

Đặc điểm: đường cong độ từ biến không song song với nhau. Nó chỉ trở thành gần song song khi từ biến
gần tắt.
- Theo Prokopovits: C ( t , τ ) = C 0 + Ae −γ t 1 − e −γ ( t −τ )
- Alexandrovski đề nghị biểu thức với nhiều thông số hơn nhằm tiệm cận hơn với đường cong thực
nghiệm. Tuy nhiên việc xác định các thông số cũng vất vả hơn.

)[

(

]

b) Lý thuyết di truyền đàn hồi:
σ (t) t
∂δ ( t , τ )
*
− σ (t)

dτ , nếu cho Eτ = E ( t ) = E 0
- Từ công thức: ε ( t ) =
E ( t ) τ1
∂τ
và θ (τ ) = C 0 , tức là chỉ đặt tải khi bêtông đã có tuổi khá lớn và quá trình già
đi của bêtông coi như kết thúc. (Thực ra nó thích hợp với polime.) Sau khi
biến đổi, công thức trên trở thành:
t
σ (t )
ε * (t ) =
+ γ C 0 σ ( t ) e −γ ( t −τ ) dτ ;
C ( t , τ ) = C0 1 − e −γ ( t −τ )
0
E0
Nhận xét: đường cong C ( t , τ ) chỉ là sự tịnh tiến trên trục hoành.

∫

[

∫

]

c) Lý thuyết già:
- Theo lý thuyết già thì các đường cong độ từ biến song song với
nhau. Có thể suy đường cong ở tuổi τ từ đường cong ở tuổi τ1:
C ( t , τ ) = C ( t ) − C (τ )
 1


t dσ ( t )  1

*
+ C( t )  +
+ C ( t ) − C (τ )  dτ
- Do đó: ε ( t ) = σ ( 0 ) 

 0 dτ  E ( t )

 E( 0 )

(coi thời điểm đầu là 0)
- Khi dùng lý thuyết già, thường biểu diễn qua đặc trưng từ biến ϕ :


σ ( 0)
t
(1 + ϕ ( t ) ) + 0 dσ ( t )  1 + ϕ ( t ) − ϕ (τ )  dτ
ε (t) =
E ( 0)
dτ  E ( t )
E ( 0)


∫

∫

- Nếu coi môđun đàn hồi không đổi thì:
σ ( 0)

t
(1 + ϕ ( t ) ) + 1 dσ ( t ) [1 + ϕ ( t ) − ϕ (τ ) ] dτ
ε (t) =
E ( 0)
E ( 0 ) 0 dτ

∫

Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD

-(16)-


LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP
- Lý thuyết già này có sai số vì chấp nhận sự song song
của đường cong độ từ biến. Do đó sinh ra lý thuyết già
cải tiến.
- Tính không song song thể hiện chủ yếu ở đoạn đầu
đường cong, tức là khi vừa mới chất tải. Do vậy phải
thêm 1 đoạn αC (τ ) :
C ( t , τ ) = C ( t ) − C (τ ) + αC (τ ) = C ( t ) − C (τ )(1 − α )

ε (t) =

σ ( 0)
E ( 0)

t

- Nếu giả thiết: E ( t ) =

ε (t) =

σ ( 0)
E ( 0)

 1
ϕ ( t ) − ϕ (τ ) ( 1 − α ) 
+
 dτ
dτ  E ( t )
E ( 0)


(1 + ϕ ( t ) ) + ∫0 dσ ( t ) 
E( 0)

1 − k0 ϕ ( t )

(1 + ϕ ( t ) ) +

, ta có:

1
E( t )

∫

dσ ( t )
[1 + ϕ ( t ) − ϕ (τ ) (1 − α + k 0 ) ] dτ

dτ

t

0

biến đổi cuối cùng:
1 
ε (t) =
σ ( t ) (1 + ϕ ( t ) ) − ( 1 − α + k 0 )
E ( 0 ) 

∫

t

0

dσ ( t )

ϕ (τ ) dτ 
dτ


4. Trạng thái ứng suất-biến dạng của thanh đồng chất trong điều kiện từ biến tuyến tính:
a) Dưới tác dụng của ngoại lực:
P( t )
*
- Điều kiện cân bằng: σ ( t ) =
F

P( t )
F
*
có nghĩa là: σ ( t ) = σ ( t ) ⇒ từ biến không ảnh hưởng đến trạng thái ứng suất.
- Nếu ở thời điểm t tác dụng P( t ) thì ứng suất tức thời: σ ( t ) =

t
σ x (t)
∂δ ( t , τ )
dU ∗
∗
− σ x (τ )
dτ
⇒ U ∗ ( t ) = ε x∗ ( t ) dx ⇒ ε x ( t ) =
τ
E(t )
∂τ
1
dx
t
P( t ) l
∂δ ( t , τ )
∗
dτ ; với U ( t ) =
- Với U = ε l , ta có: U ( t ) = U ( t ) − U (τ ) E (τ )
là chuyển vị đàn hồi tức
τ1
FE ( t )
∂τ

thời.
- Khi P( t ) = const , ta có: U ∗ ( t ) = U (τ 1 ) [1 + ϕ ( t , τ 1 ) ]
Nhận xét: Nếu trạng thái ứng suất không phụ thuộc từ biến thì biến dạng do từ biến chỉ thêm thừa số
[1 + ϕ ( t , τ 1 ) ] khi tải trọng không phụ thuộc thời gian.

∫

∫

- Biến dạng: ε x∗ =

∫

b) Biến dạng cưỡng bức:
- Thí dụ 1 thanh bị ngàm chịu sự thay đổi nhiệt độ T ( t ) , ta có biến dạng:
ứng suất σ * ( t )

- Dùng quan hệ: ε ∗ ( t ) =

ε ∗ (t) − ε 0 (t) = 0 .
∗
- Vậy: σ ( t ) − E ( t )

t

σ ∗ (t)
−
E(t )

t

∫τ σ
1

∗

(τ ) ∂δ ( t , τ ) dτ .
∂τ

ε 0 (t) = T (t) α

và

Vì chiều dài thanh không đổi nên:

(τ ) ∂δ ( t , τ ) dτ

= E ( t ) ε 0 ( t ) (Phương trình Voltere loại 2)
∂τ
- Nghiệm của phương trình trên có dạng:

∫τ σ
1

∗

Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD

-(17)-

LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP
t
σ ∗ ( t ) = E ( t ) ε 0 ( t ) + ε 0 (τ ) R ( t ,τ ) dτ 
τ1


(
)
R
t
,
τ
trong đó
là hàm giải được theo lý thuyết phương trình tích phân dạng Voltere.
- Khi τ 1 = t ta có lời giải của bài toán đàn hồi tức thời: σ ( t ) = E ( t ) ε 0 ( t )
- Từ đó ta có:

∫

σ ∗ ( t ) − E( t )

t

∫τ ε
1

0

(τ ) R ( t , τ )

dτ = σ ( t )

- Khi biến dạng cưỡng bức là ổn định (không thay đổi theo thời gian), tức là: σ ( t ) = E ( t ) ε 0 (τ 1 )
∂δ ( t , τ )
< 0 . Lại vì E ( t ) thay đổi đơn điệu nên: σ ∗ ( t ) ≤ σ ( t ) (chùng ứng
với điều kiện: khi t > τ 1 thì
∂τ
suất)

5. Bài toán tổng quát của lý thuyết từ biến tuyến tính:
a) Quan hệ ứng suất- biến dạng:
- Giả sử ở thời điểm τ 1 (tuổi τ 1 ) có tác dụng σ x (τ 1 ) không
đổi theo thời gian. Biến dạng ngang có biến dạng đàn hồi
tức thời và từ biến.
σ x (τ 1 )
- Phần biến dạng ngang đàn hồi tức thời là: − ν 1 (τ 1 )
E (τ 1 )
- Phần biến dạng ngang từ biến là: − ν 2 ( t ,τ 1 ) C ( t ,τ 1 ) σ x (τ 1 )
trong đó: ν 1 (τ 1 ) ; ν 2 ( t ,τ 1 ) là các hệ số nở ngang tương ứng với phần biến dạng đàn hồi và biến dạng từ
biến.
ν 1 (τ 1 ) chỉ phụ thuộc tuổi τ 1 còn ν 2 ( t ,τ 1 ) thì phụ thuộc cả thời gian tác dụng tải trọng ( t − τ 1 ) .
σ x (τ 1 )
[ν 1 (τ 1 ) + ν 2 ( t ,τ 1 ) ϕ ( t ,τ 1 ) ]
- Biến dạng ngang toàn phần do σ x (τ 1 ) gây ra là: ε z ( t ) = ε y ( t ) = −
E (τ 1 )
chú ý rằng C ( t , τ 1 ) = ϕ ( t , τ 1 ) E (τ 1 )
- Khi σ x thay đổi theo thời gian: σ x = σ x ( t ) thì biến dạng ngang toàn phần sẽ là:

σ x (t)

+
E(t )

∂ ν 1 (τ ) + ν 2 ( t , τ ) ϕ ( t , τ ) 
 dτ
τ1
∂τ 
E (τ )

- Khi có cùng 1 lúc 3 thành phần ứng suất σ x , σ y , σ z tác dụng:
[1 +ν 1 ( t ) ] σ x ( t ) −ν 1 ( t ) σ k ( t ) t 
∂
∂

ε x (t) =
− σ x (τ )
[
δ ( t , τ ) + δ 1 ( t , τ ) ] − σ k (τ )
δ 1 ( t , τ ) dτ
τ1 
E( t )
∂τ
∂τ


ε z ( t ) = ε y ( t ) = −ν 1 ( t )

∫

t

σ x (τ )

∫


σ ( t ) = σ ( t ) + σ ( t ) + σ ( t )
x
y
z
 k
1

+ C ( t,τ )
trong đó: δ ( t , τ ) =
(
)
E
τ

ν 1 (τ )

(
)
δ
t
,
τ
=
+ν 2 ( t, τ ) C ( t ,τ )

1

E (τ )

- Từ kết quả ở mục 2 suy ra biến dạng trượt:
t
 [1 + ν 1 ( t ) ] τ xy ( t )

∂
γ xy ( t ) = 2
− τ xy (τ )
[
δ ( t , τ ) + δ 1 ( t , τ ) ] dτ 
τ1
E( t )
∂τ


từ đó suy ra ε y ( t ) , ε z ( t ) , γ yz ( t ) , γ xz ( t )

∫

Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD

-(18)-


LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP
b) Trường hợp trạng thái ứng suất do tải trọng gây ra:
- Gọi bài toán đàn hồi tức thời là bài toán về trạng thái ứng suất biến dạng của vật thể với các hằng số đàn

hồi phụ thuộc thời gian; các lực thể tích và bề mặt xem là tĩnh định, tức là coi thời gian là thông số. Đối
với bài toán đó các phương trình cân băng, điều kiện biên, phương trình biến dạng liên tục, quan hệ ứng
suất biến dạng vẫn giữ nguyên, chỉ phải thay E ,ν bằng E ( t ) ,ν ( t ) .
- Đối với bài toán từ biến thì các phương trình cân bằng, phương trình hình học vẫn giống như bài toán
đàn hồi tức thời. Gọi các vectơ lực bề mặt và thể tích (đơn vị) là F ( x, y, z, t ) và K ( x, y, z, t ) .
- Phương trình cân bằng:
∗
 ∂σ ∗ ( t ) ∂τ xy
( t ) τ xz∗ ( t )
x
+
+
+ K x (t) = 0

∂y
∂z
 ∂x
 ∂τ ∗yx ( t ) ∂σ ∗y ( t ) τ ∗yz ( t )
+
+
+ K y (t) = 0

∂
x
∂
y
∂
z

∗

 ∂τ zx
( t ) ∂τ zy∗ ( t ) σ z∗ ( t )
+
+
+ K z (t) = 0

∂y
∂z
 ∂ x
- Điều kiện biến dạng liên tục của Saint-Venant biểu diễn qua các thành phần biến dạng: 6 phương trình.
∗
 ∂ 2 ε ∗ ( t ) ∂ 2 ε ∗y ( t ) ∂ 2 γ xy
(t)
x

+
=
2
∂ x∂ y
∂ x2
 ∂y
....................................................
 2 ∗
∗
 ∂γ ∗ ( t )
∂γ ∗ ( t ) 
2 ∂ ε x ( t ) = ∂ − yz + ∂γ zx ( t ) + xy 
 ∂ y∂ z ∂ x  ∂ x
∂y
∂ z 



....................................................
- Thay các biểu thức ε x ( t ) , ε y ( t ) , ε z ( t ) , γ xy ( t ) , γ yz ( t ) , γ xz ( t ) vào ta có phương trình biến dạng liên tục đối
với môi trường từ biến biểu diễn qua ứng suất:
2 ∗
∂ 2σ x∗ ( t ) ∂ σ y ( t )
ν 1 ( t )  ∂ 2σ k∗ ( t ) ∂ 2σ k∗ ( t ) 
+
−
+

−
1 +ν 1 ( t )  ∂ y 2
∂ y2
∂ x2
∂ x2 
2 ∗

 ∂ 2σ k∗ (τ ) ∂ 2σ k∗ (τ )  ∂
E ( t ) t  ∂ 2σ x∗ (τ ) ∂ σ y (τ )  ∂
(
)
(
)
(
)
−
+
[

δ
t
,
τ
+
δ
t
,
τ
]
−
+
δ
t
,
τ



 dτ


1
1
2
1 + ν 1 ( t ) ∫τ 1  ∂ y 2
∂ x 2  ∂τ
∂ x 2  ∂τ

 ∂y

∂ 2τ xy∗ ( t )

2 ∗
E ( t ) t ∂ τ xy (τ ) ∂
[δ ( t ,τ ) + δ 1 ( t ,τ ) ] dτ
=2
−
∂ x ∂ y 1 + ν 1 ( t ) ∫τ 1 ∂ x ∂ y ∂τ

- Giả thiết lực khối là không đổi, đưa phương trình cân bằng vào ta có dạng sau của hệ 6 PT biến dạng
liên tục.

Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD

-(19)-


LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP
 1 
∂ 2σ k∗ ( t )  t  2 ∗
∂ 2σ k∗ (τ ) ∂δ ( t ,τ ) 
∂
2 ∗
[δ ( t , τ ) + δ 1 ( t , τ ) ] +

[1 + ν 1 ( t ) ]∇ σ x ( t ) +
 − ∇ σ x (τ )
 dτ = 0
∂τ

∂τ 
∂ x 2  τ1 
∂ x2
 E ( t ) 
2 ∗
2 ∗
 1 
 t



[ 1 + ν 1 ( t ) ]∇ 2σ ∗y ( t ) + ∂ σ k2( t )  − τ ∇ 2σ ∗y (τ ) ∂ [δ ( t ,τ ) + δ 1 ( t ,τ ) ] + ∂ σ k 2(τ ) ∂δ ( t ,τ )  dτ = 0
∂τ
∂τ 
 E ( t ) 
1
∂ y 
∂y


2 ∗
2 ∗
 1 [1 + ν ( t ) ]∇ 2σ ∗ ( t ) + ∂ σ k ( t )  − t ∇ 2σ ∗ (τ ) ∂ [δ ( t ,τ ) + δ ( t ,τ ) ] + ∂ σ k (τ ) ∂δ ( t ,τ )  dτ = 0



1
z
z
1

 E ( t ) 
∂τ
∂τ 
∂ z 2  τ1 
∂ z2


2 ∗
2 ∗
 1 [1 + ν ( t ) ]∇ 2τ ∗ ( t ) + ∂ σ k ( t )  − t ∇ 2τ ∗ (τ ) ∂ [δ ( t , τ ) + δ ( t , τ ) ] + ∂ σ k (τ ) ∂δ ( t , τ )  dτ = 0



1
xy
xy
1
 E ( t ) 
∂ x ∂ y  τ1 
∂τ
∂ x∂ y
∂τ 


∂ 2σ k∗ ( t )  t  2 ∗
∂ 2σ k∗ (τ ) ∂δ ( t ,τ ) 
 1 
∂
2 ∗
[

(
)
]
(
)
(
)
[
(
)
(
)
]
1
+
ν
t
∇
τ
t
+
−
∇
τ
τ
δ
t
,
τ
+

δ
t
,
τ
+



 dτ = 0
1
yz
yz
1
 E( t )
τ1 
∂
y
∂
z
∂
τ
∂
y
∂
z
∂
τ








 1 
∂ 2σ k∗ ( t )  t  2 ∗
∂ 2σ k∗ (τ ) ∂δ ( t , τ ) 
∂
2 ∗
[
(
)
]
(
)
(
)
[
(
)
(
)
]
1
+
ν
t
∇
τ
t

+
−
∇
τ
τ
δ
t
,
τ
+
δ
t
,
τ
+




 dτ = 0
1
zx
zx
1
∂ z ∂ x  τ 1 
∂τ
∂z∂x
∂τ 
 E ( t ) 
- Trường hợp ν 1 ( t ) = ν 2 ( t , τ ) = ν = const (tức là khi đó δ 1 = ν δ hoặc ω ( t , τ ) = 2(1 + ν ) C ( t , τ ) ) thì phương

trình trên có dạng như sau:
 1 
∂ 2σ k∗ ( t )  t  2 ∗
∂ 2σ k∗ (τ )  ∂δ ( t , τ )
2 ∗
[
1
+
ν
]
∇
σ
(
t
)
+
−
∇
σ
(
τ
)
[
1
+
ν
]
+
dτ = 0






x
x
∂ x 2  τ 1 
∂ x 2  ∂τ
 E ( t ) 

2 ∗
2 ∗

 t

 1 [1 + ν ]∇ 2σ ∗y ( t ) + ∂ σ k ( t )  − ∇ 2σ ∗y (τ ) [1 + ν ] + ∂ σ k (τ )  ∂δ ( t , τ ) dτ = 0
 E ( t ) 
∂ y 2  τ 1 
∂ y 2  ∂τ

2 ∗
2 ∗
 1 [1 + ν ]∇ 2σ ∗ ( t ) + ∂ σ k ( t )  − t ∇ 2σ ∗ (τ ) [1 + ν ] + ∂ σ k (τ )  ∂δ ( t , τ ) dτ = 0



z
z
 E ( t ) 
∂ z 2  τ 1 

∂ z 2  ∂τ


2 ∗
2 ∗
 1 [1 + ν ]∇ 2τ ∗ ( t ) + ∂ σ k ( t )  − t ∇ 2τ ∗ (τ ) [1 + ν ] + ∂ σ k (τ )  ∂δ ( t , τ ) dτ = 0



xy
xy
 E ( t ) 
∂ x ∂ y  τ 1 
∂ x ∂ y  ∂τ


 1 
∂ 2σ k∗ ( t )  t  2 ∗
∂ 2σ k∗ (τ )  ∂δ ( t , τ )
2 ∗
[
1
+
ν
]
∇
τ
(
t
)

+
−
∇
τ
(
τ
)
[
1
+
ν
]
+
dτ = 0

 τ 

yz
yz

(
)
E
t
∂
y
∂
z
∂
y

∂
z
∂
τ
1 








2 ∗
2 ∗
 1 

t


(
)
(
)
∂
σ
t
∂
σ
τ


 2 ∗
 ∂δ ( t , τ )
2 ∗
k
k

dτ = 0
[1 + ν ]∇ τ zx ( t ) +
 − τ ∇ τ zx (τ ) [1 + ν ] +

∂ z ∂ x  1 
∂ z ∂ x  ∂τ
 E ( t ) 
hệ phương trình này là hệ phương trình tích phân dạng Voltere loại 2 có nhân:
 1

∂
K ( t,τ ) =
E( t ) 
+ C ( t,τ ) 
∂τ
 E (τ )

hệ phương trình đó không có nghiệm nào khác ngoài nghiệm bằng 0. Do đó nghiệm duy nhất của hệ PT
là:

∫

∫

∫

∫
∫

∫

∫

∫

∫

∫
∫

∫

Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD

-(20)-


LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP

∂ 2σ k∗ ( t )
2 ∗
=0
[1 + ν ]∇ σ x ( t ) +

∂ x2


∂ 2σ k∗ ( t )
2 ∗
(
)
=0
[1 + ν ]∇ σ y t +
∂ y2


∂ 2σ k∗ ( t )
[1 + ν ]∇ 2σ z∗ ( t ) +
=0

∂ z2

∂ 2σ ∗ ( t )

[ 1 + ν ]∇ 2τ xy∗ ( t ) + k = 0
∂ x∂ y

2 ∗
[1 + ν ]∇ 2τ ∗ ( t ) + ∂ σ k ( t ) = 0
yz

∂ y∂ z

2 ∗

[1 + ν ]∇ 2τ ∗ ( t ) + ∂ σ k ( t ) = 0
zx

∂z∂x

- Quan hệ đó trùng với lời giải bài toán đàn hồi tức thời tương ứng. Kết quả đó có thể đặt thành định đề
sau:
Nếu trạng thái ứng suất của vật thể gây ra bởi ngoại lực tác dụng mà độ từ biến khi kéo nén dọc trục
C ( t , τ ) tỷ lệ với độ từ biến khi cắt thuần túy ω ( t ,τ ) với hệ số tỷ lệ k 0 = 2(1 + ν ) thì ứng suất trong vật
thể trùng với ứng suất của bài toán đàn hồi tức thời tương ứng. Tức là:
∗
σ x∗. y. z ( t ) = σ x. y. z ( t ); τ xy
. yz . zx ( t ) = τ xy. yz. zx ( t ) .
Khi đó từ biến trong trạng thái ứng suất không gian chỉ ảnh hưởng đến trị số biến dạng của vật thể (khi
ν 1 ( t ) = ν 2 ( t , τ ) = ν = const ).
Nếu các thành phần ứng suất là hằng số hoặc thay đổi bậc nhất theo các tọa độ x, y, z thì bất kể điều kiện
ν 1 ( t ) = ν 2 ( t , τ ) = ν = const , phương trình tổng quát được thỏa mãn ngay, khi đó:
∗
σ x∗. y. z ( t ) = σ x. y. z ( t ); γ xy
. yz. zx ( t ) = γ xy . yz. zx ( t ) .

c) Trường hợp trạng thái ứng suất gây ra do sự thay đổi của biến dạng :
- Trong trường hợp này, từ biến không chỉ làm thay đổi trị số biến dạng trong vật thê mà còn làm cho ứng
suất thay đổi theo thời gian.
∗
∗
- Giả sử sự thay đổi của biến dạng được xác định bởi ε x. y. z ( t ) ; γ xy. yz. zx ( t ) là những hàm liên tục của x, y,
z, t. Khi đó các thành phần biến dạng toàn phần ở trạng thái ứng suất không gian sẽ là:
t 
σ ∗ ( t ) [1 + ν 1 ( t ) ] − σ k∗ ( t )ν 1 ( t )

∂
∂

[
ε x∗ ( t ) = ε x0 ( t ) + x
− σ x∗ (τ )
δ ( t ,τ ) + δ 1 ( t , τ ) ] − σ k∗ (τ ) δ 1 ( t ,τ ) dτ
τ
E( t )
∂τ
∂τ
1

∗
 [1 +ν 1 ( t ) ] τ xy ( t )

t
∂
∗
( t ) = 2
γ xy
− τ ∗xy (τ )
[
δ ( t , τ ) + δ 1 ( t ,τ ) ] dτ 
τ1
E(t )
∂τ


… (và các hoán vị)

∫

∫

0
0
- Nếu các thành phần ε x. y. z ( t ) ; γ xy. yz. zx ( t ) thỏa mãn điều kiện chập Saint-Venant và các hệ số nở ngang

ν 1 = ν 2 thì ứng suất trong vật không xuất hiện. Ta xét trường hợp không thỏa mãn điều kiện Saint-Venant
và trong kết cấu có ứng suất.
- Người ta đã chứng minh rằng, khi ν 1 ( t ) = ν 2 ( t , τ ) = ν = const thì lời giải bài toán từ biến có thể suy ra từ
lời giải bài toán đàn hồi tức thời tương ứng theo các phương trình tích phân sau:
t
 1

∂
σ x∗ ( t ) = σ x ( t ) + σ x∗ (τ )
E( t ) 
+ C ( t , τ )  dτ
τ1
∂τ
 E (τ )


∫

Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD

-(21)-

LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP
 1

∂
G( t ) 
+ C ( t , τ )  dτ (hoán vị x, y, z để được 4 phương trình nữa)
∂τ
1
 G (τ )

−
γ
(
t
−
τ
)
C ( t , τ ) = ϕ (τ ) 1 − e

−ατ
- Trường hợp:  E (τ ) = E 0 1 − β e
, lời giải có dạng:
ϕ (τ ) = C + A τ
0
1

∗
( t ) = τ xy ( t ) +

τ xy

t

∫τ τ

∗
xy

(τ )

[

[

]

]

[

]


∂  1
+ ϕ (τ ) 1 − e −γ ( t −τ )  dτ

∂τ  E (τ )
1


phương trình tích phân đó có thể đưa về phương trình vi phân tương ứng:
 E ′( t ) 


E ′( t ) 
E ′( t ) 
E ′( t )  E ′′( t ) 
(
)
σ *x // ( t ) + σ *x / ( t ) γ [1 − ϕ ( t ) ] E ( t ) −
−
σ
t
γ
−
2
+
 = σ x′′ ( t ) + σ ′x ( t ) γ − 2


x

E(t ) 
E ( t ) 
E ( t )  E ( t ) 


 E( t ) 
- Giải phương trình vi phân trên trong trường hợp môđun đàn hồi thay đổi ít theo thời gian, coi là không
đổi E 0 , ta có kết quả cuối cùng:

t e − rτ
k
τA
 A1


rτ1 β
∗
− rτ − p


 1 + C 0  σ ′x (τ ) e −rτ τ p dτ (♦)
σ x ( t ) = σ x ( t ) − γ E 0  + C 0 σ x (τ 1 ) e τ 1
d
τ
−
γ
E
e
τ
d
τ
0
p
τ1 τ
τ1
τ1 τ
 τ1

 1



σ x∗ ( t ) = σ x ( t ) − E ( t )

t

∫τ σ

∗
x

(τ )

∫

∫

∫

 r = γ (1 + E 0 C 0 )
trong đó: 
 p = γ A1 E 0
- Khi σ x ( t ) , σ y ( t ) … không phụ thuộc thời gian, tức là: σ x ( t ) = σ x (τ 1 ) ; σ y ( t ) = σ y (τ 1 ) , thì:

t e − rτ


A

σ x∗ ( t ) = σ x (τ 1 ) 1 − γ E 0  1 + C 0 e rτ1τ 1β

dτ 
p
τ1 τ
 τ1



- Khi t = τ 1 thì σ x* ( t ) = σ x (τ 1 ) , sự phân bố ứng suất giống như trong lí thuyết đàn hồi. Do từ biến, trạng
thái ứng suất thay đổi và tiến dần đến một trạng thái ổn định nào đó.

∫

d) Ứng suất nhiệt có xét đến từ biến:
- Bài toán ứng suất-biến dạng nhiệt chia 3 giai đoạn:
1- Xác định trường nhiệt độ ở 1 vị trí và thời điểm nhất định;
2- Xác định ứng suất đàn hồi tức thời theo sự phân bố nhiệt độ đã cho;
3- Giải bài toán ứng suất nhiệt có kể đến từ biến.
ở đây chỉ xét giai đoạn 3.
- Vì bêtông dẫn nhiệt kém nên những thay đổi nhiệt độ ngày đêm chỉ ảnh hưởng đến chiều sâu 0.3-0.4m
tính từ mặt công trình.
- Tính ứng suất của vòm theo lý thuyết đàn hồi thường cho kết quả khá lớn ⇒ ứng suất kéo vượt quá khả
năng chịu lực của bêtông. Tuy vậy, theo dõi các cầu vòm thì thấy tình trạng có phần ít nghiêm trọng hơn.
Khi xét ảnh hưởng của từ biến, ứng suất có thể giảm 3-4 lần ứng suất tính theo giai đoạn đàn hồi (do sự
chùng ứng suất xảy ra ngay sau khi có sự tác động của nhiệt độ).
- Tổng quát có thể biểu diễn sự thay đổi của nhiệt độ theo thời gian:
n
n

 iπ t 
 iπ t  

T = w( t ) =
wi ( t ) =
Ti sin  θ  + Fi cos θ 




i =1
i =1 
- Các thông số trong biểu thức có thể xác định theo biểu đồ thay đổi nhiệt độ trong năm.
- Giả sử nhiệt độ lúc đầu của kết cấu là T0 = w(τ 1 )
với τ 1 - tọa độ thời gian lúc đầu của kết cấu, chẳng hạn, tính từ lúc đổ bê tông.
- Ứng suất đàn hồi tức thời biểu diễn dưới dạng:

∑

∑

Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD

-(22)-


LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP
σ x ( t ) = σ x0 ( x, y, z ) E 0α [ w( t ) − w(τ 1 ) ]

0
σ y ( t ) = σ y ( x, y, z ) E 0α [ w( t ) − w(τ 1 ) ]
σ z ( t ) = σ z0 ( x, y, z ) E 0α [ w( t ) − w(τ 1 ) ]


0
τ xy ( t ) = τ xy ( x, y, z ) G0α [ w( t ) − w(τ 1 ) ]
τ ( t ) = τ 0 ( x, y, z ) G α [ w( t ) − w(τ ) ]
yz
0
1
 yz
0
τ zx ( t ) = τ zx ( x, y, z ) G0α [ w( t ) − w(τ 1 ) ]
trong đó:
σ x0 ( x, y, z ) … xác định luật phân bố ứng suất đàn hồi tức thời trong cấu kiện.
α - hệ số co dãn nhiệt.
*
- Có thể tìm σ x* ( t ) dưới dạng: σ x ( t ) =

n

∑σ

0
x

( x, y , z ) X i ( t )

(tương tự cho y và z)

i =1

 iπ t 
 iπ t 

 + Fi cos
 . Thay các giá trị của σ x* ( t ) , σ x ( t ) , wi ( t ) và
- Xét 1 số hạng của T là: wi ( t ) = Ti sin 
θ
θ




dùng điều kiện σ x (τ i ) = 0 thay vào biểu thức tổng quát (♦) ở trên ta có:

X i ( t ) = E 0α wi ( t ) − wi (τ i ) − E 0 γ


t

∫τ e
1

− rτ

τ − p dτ

τ

 A1

∫τ  τ
1



+ C 0  wi′ (τ ) e rτ τ p dτ 



π t 
- Xét trường hợp đơn giản hơn: T = T1 sin   ; từ biểu thức tổng quát:
θ 
 π t 
 π τ 
σ x ( t ) = σ x0 ( x, y, z ) E 0α T1 sin   − sin  1 
 θ 
 θ 
π t 
σ ′x ( t ) = σ x0 ( x, y, z ) E 0α T1 cos 
θ 
σ x (τ 1 ) = 0
- Thay vào biểu thức X i ( t ) ta được:
 π t 
πτ 
σ x* ( t ) = σ x0 ( x, y, z ) E 0α T1 sin   − sin  1  −
 θ 
 θ 
t  A
π

π t 
− γ E 0 r −( 1− p ) φ ( rt , p )  1 + C 0  E 0α T1 cos e rτ τ p dτ −
τ

θ
1 τ
θ 


∫

 A1

 π t  rτ p  
 + C 0 φ ( rτ , p ) cos e τ dτ  
τ1  τ
θ 


- Tích phân biểu thức này rất khó, cho nên phải tính gần đúng.
ξ e −τ
- Trong biểu thức trên: φ ( ξ , p ) =
dτ
0 τ p
t e − rτ
0 ≤ p ≤ 1
−( 1− p )
- Người ta tính được:
khi
(
)
(
)
d

τ
=
r
[
φ
rt
,
p
−
φ
r
τ
,
p
]

1
τ1 τ p
0 ≤ r ≤ p + 1
- Giả thiết p khá nhỏ, tức là bêtông già nhanh, tốc độ từ biến ở tuổi trẻ là nhỏ. Ký hiệu σ x* ( t ) là ứng suất
−

∫

t

∫

∫

có kể đến từ biến, trong trường hợp đó thì: σ x* ( t ) ≤ σ x* ( t )

- Khi p = 0 sẽ định được giới hạn trên của σ *x ( t ) . Kết quả tính toán cho ta:
Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD

-(23)-


LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP
 π t  γ
πτ 
σ x* ( t ) = σ x0 ( x, y, z ) E 0α T1 sin   − sin  1  −
 θ  r  θ 
  π t   π  2  π τ 1  − r ( t −τ )

πτ 
π t 
cos  − cos 1 e − r ( t −τ1 )  
e
 sin   +   sin 
E 0 C 0   θ   rθ 
θ 
 θ 
 θ 
 
−
−
2

rθ π

1 + E0 C0

π 
+

1+  

π rθ

 rθ 

*
- Để có giới hạn dưới của σ x ( t ) , biến đổi biểu thức trên thành:
πτ 
π t 
σ x* ( t ) = σ x0 ( x, y, z ) E 0α T1 { sin   − sin  1 
θ 
 θ 
π t
[φ ( rt , p ) − φ ( rτ , p ) ]  A1 + C 0  cos π t e rτ τ p dτ
−γ E 0 r −( 1− p )
τ
θ 1
θ 
τ


∫

- Tích số [φ ( rt , p ) − φ ( rτ , p ) ] e rτ τ

p

}

phải giảm đơn điệu trong khoảng τ 1 ≤ τ ≤ t để đảm bảo σ x* ( t ) ≤ σ x* ( t )

nên để có giới hạn dưới của σ *x ( t ) , người ta cho tích trên ra ngoài dấu tích phân và nhận được:
πτ 
π t 
σ~ x* ( t ) = σ x0 ( x, y , z ) E 0α T1 { sin   − sin  1  −
θ 
 θ 
 π t 
πτ  A π
− γ E 0 C 0 e rτ1τ 1p r −(1− p ) [φ ( rt , p ) − φ ( rτ , p ) ] sin   − sin  1  + 1
 θ  θ C0
 θ 
cos u
du
0
u
- Như vậy: σ~ x* ( t ) ≤ σ *x ( t ) ≤ σ x* ( t ) .
với C i ( ξ ) =

 π t 
 π τ 1  
C i  θ  − Ci  θ  

 

  

ξ

∫

[

- Người ta lấy giá trị trung bình: σ x* ( t ) = 0.5 σ~ x* ( t ) + σ x* ( t )

]

6. Quan hệ ứng suất-biến dạng theo lý thuyết già:
ε (t) =

1
E0

t


dσ ( t ,τ )
(
)
(
)
(
)
ε
t

[
1
+
ϕ
t
,
τ
]
−
1
−
α
+
k
ϕ ( t ,τ ) dτ  Ta tìm cách bỏ dấu tích phân để dễ tính toán.

0
dτ


0

∫

a) Cách 1: chia nhỏ tích phân
τn
τ2

τ1 dσ ( t ,τ )


(
)
1 
d
σ
t
,
τ
dσ ( t ,τ )

 
ε (t) =
ε
(
t
)
[
1
+
ϕ
(
t
,
τ
)
]
−
(
1
−

α
+
k
)
ϕ
(
t
,
τ
)
d
τ
+
ϕ
(
t
,
τ
)
d
τ
+
...
+
ϕ
(
t
,
τ
)

d
τ

0
E0 
dτ
dτ
 0 dτ

τ1
τ n −1



- Trong khoảng thời gian ∆τ chấp nhận σ ( t ,τ ) , ϕ ( t ,τ ) thay đổi tuyến
dσ ( t ,τ )
tính. Khi đó
là đường dật cấp.
dτ
dσ ( t ,τ ) ∆σ ( t ,τ ) σ ( t ,τ i ) − σ ( t ,τ i −1 )
=
=
- Thay
. Theo Vêrêxaghin:
dτ
∆τ
∆τ

∫

∫

∫

τi

ϕ ( t ,τ i ) + ϕ ( t ,τ i −1 )
dσ ( t ,τ )
σ ( t ,τ i ) − σ ( t ,τ i −1 )  ϕ ( t ,τ i ) + ϕ ( t ,τ i −1 )
ϕ ( t ,τ ) dτ = 
∆τ
= [σ ( t ,τ i ) − σ ( t ,τ i −1 ) ]

dτ
∆τ
2
2


i −1

∫
τ

- Với τ n = t , sắp xếp lại ta có:
Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD

-(24)-

LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP
ε (t) =

1 1 − α + k 0

E0 
2

n −1

∑ σ ( t ,τ
i =0

i

)ϕ ( t ,τ i ) + σ t 1 + (1 + α − k 0 )


ϕt
ϕ ( t ,τ n −1 )  
+ (1 − α + k 0 )

2
2


- Biểu thức trên cho biết quan hệ ứng suất-biến dạng ở mọi thời điểm.
b) Cách 2:
- Chấp nhận một quan hệ nào đó giữa σ ( t ,τ ) và ϕ ( t ,τ ) trong cả khoảng thời gian từ t0 đến t = ∞ . (Thực
ra quan hệ này chưa biết.)

- Đầu tiên giả thiết gần đúng chúng có quan hệ tuyến tính: σ ( t ,τ ) = α ϕ ( t ,τ ) + C , ta có:
t

∫
0

dσ ( t ,τ )
dϕ ( t ,τ )
α
α
σ ( t ,τ ) − C
ϕ ( t ,τ ) dτ = α
ϕ ( t ,τ ) dτ = α ϕ ( t ,τ ) dϕ ( t ,τ ) = ϕ 2 ( t ,τ ) = ϕ ( t ,τ )
dτ
dτ
2
2
α
0
0
t

∫

t

∫

- Khi τ = 0 đặc trưng từ biến ϕ τ =0 = 0 và ứng suất là ứng suất ban đầu σ
t

- Vậy ta có:

∫
0

τ =0

= σ0 ⇒ C = σ0

σ ( t ,τ ) − σ 0
dσ ( t ,τ )
ϕ ( t ,τ ) dτ = ϕ ( t ,τ )
dτ
2

- Thay vào biểu thức đầu ta có:
ϕt
ϕ 
1 

εt =
+ σ t 1 + (1 + α − k 0 ) t  
σ 0 (1 − α + k 0 )
E0 
2
2 


ϕt


(1 − α + k 0 ) 2 = k1
1
{σ 0 k1 + σ t k 2 }
⇒ εt =
ký hiệu: 
ϕ
E0
1 + (1 + α − k 0 ) t = k 2
2

công thức này có thể có trực tiếp từ công thức chia nhỏ tích phân ở trên với điều kiện ∆τ = t − τ 0 và n = 1
vì khi đó ϕ ( t ,τ i ) = ϕ 0 = 0; i = 1, ( n − 1) .

- Quan hệ chính xác hơn (theo 1 tác giả người Nga) giữa σ ( t ,τ ) và ϕ ( t ,τ ) là quan hệ hàm mũ e:
1 − e −ϕτ
σ 0 − σ τ = (σ 0 − σ t )
1 − e −ϕt
tuy nhiên tính toán phức tạp và phải dùng đến bảng biểu. ( Nếu đưa vào máy tính thì cũng đơn giản thôi.)
- Nhiều tác giả cho rằng có hể đạt độ chính xác cần thiết khi dùng quan hệ
parabol.
ϕt

k
=
(
1
−
α
+

k
)
1
0

1
3
{σ 0 k1 + σ t k 2 } với 
- Kết quả tính toán là: ε t =
ϕ
E0
k 2 = 1 + ( 2 + α − k 0 ) t
3

(1 − α + k 0 ) η ( 3 − 2η ) ϕ t

k1τ =
2 −η
3

4
1
{σ 0 k1τ + σ τ k 2τ } , với k 2τ = 1 + η 3 ( 2 − η ) − 1 − α k 0 ( 3 − 2η ) ϕ t
- Ở thời điểm τ nào đó thì: ε τ =
E0
2 −η
3

ϕ
η = τ


ϕt


[

Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD

(

)

]

-(25)-