Các dạng toán về hình học phẳng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.45 MB, 59 trang )
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng
Trang 1
TĐP 01: ĐƯỜNG THẲNG
Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng dxy
1
:7170
-+=
,
dxy
2
:50
+-=
. Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với
dd
12
,
một tam
giác cân tại giao điểm của
dd
12
,
.
·
Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d
1
, d
2
là:
xyxy
xy ()
xy ()
1
2222
2
7175
3130
340
1(7)11
D
D
-++-
é
+-=
=Û
ê
=
ë
+-+
Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với
1
D
hoặc
2
D
.
KL:
xy
330
+-=
và
xy
310
-+=
Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng dxy
1
:250
-+=
.
dxy
2
:36–70
+=
. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; –1) sao cho đường thẳng
đó cắt hai đường thẳng d
1
và d
2
tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường
thẳng d
1
, d
2
.
·
d
1
VTCP a
1
(2;1)
=-
r
; d
2
VTCP a
2
(3;6)
=
r
Ta có: aa
12
.2.31.60
=-=
uuruur
nên
dd
12
^
và d
1
cắt d
2
tại một điểm I khác P. Gọi d là đường
thẳng đi qua P( 2; –1) có phương trình:
dAxByAxByAB
:(2)(1)020
-++=Û+-+=
d cắt d
1
, d
2
tạo ra một tam giác cân có đỉnh I
Û
khi d tạo với d
1
( hoặc d
2
) một góc 45
0
AB
AB
AABB
BA
AB
022
2222
2
3
cos453830
3
2(1)
-
é
=
Û=Û =Û
ê
=-
ë
++-
* Nếu A = 3B ta có đường thẳng
dxy
:350
+-=
* Nếu B = –3A ta có đường thẳng
dxy
:350
=
Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán.
dxy
:350
+-=
;
dxy
:350
=
.
Câu hỏi tương tự:
a) dxy
1
:7170
-+=
, dxy
2
:50
+-=
,
P
(0;1)
. ĐS:
xy
330
+-=
;
xy
310
-+=
.
Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng dxy
1
:350
++=
, dxy
2
:310
++=
và điểm
I
(1;2)
-
. Viết phương trình đường thẳng D đi qua I và cắt
dd
12
,
lần lượt tại A và B sao cho
AB
22
= .
·
Giả sử
AaadBbbd
12
(;35);(;31)
Î Î
; IAaaIBbb
(1;33);(1;31)
= = +
uuruur
I, A, B thẳng hàng
bka
IBkIA
bka
1(1)
31(33)
ì
-=-
Þ=Û
í
-+=
î
uuruur
·
Nếu
a
1
=
thì
b
1
=
Þ
AB = 4 (không thoả).
·
Nếu
a
1
¹
thì
b
baab
a
1
31(33)32
1
-
-+= Û=-
-
ABbaabtt
2
222
()3()422(34)8
éù
=-+-+=Û++=
ëû
(với
tab
=-
).
tttt
2
2
512402;
5
Û++=Û=-=-
+ Với
tabba
220,2
=-Þ-=-Þ==-
xy
:10
ÞD++=
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 2
+ Vi tabba
2242
,
5555
=ị-=ị==
xy
:790
ịD =
Cõu 4. Trong mt phng vi h trc to Oxy, cho hai ng thng dxy
1
:10
++=
,
dxy
2
:210
=
. Lp phng trỡnh ng thng (d) i qua M(1;1) ct (d
1
) v (d
2
) tng
ng ti A v B sao cho MAMB
20
+=
uuuruuurr
.
ã
Gi s: A(a; a1), B(b; 2b 1).
T iu kin MAMB
20
+=
uuuruuurr
tỡm c A(1; 2), B(1;1) suy ra (d): x 1 = 0
Cõu 5. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im M(1; 0). Lp phng trỡnh ng thng (d)
i qua M v ct hai ng thng dxy dxy
12
:10,:220
++=+=
ln lt ti A, B sao cho
MB = 3MA.
ã
Ad
AaaMAaa
BdBbb
MBbb
1
2
()
(;1)(1;1)
()(22;)
(23;)
ỡ
ỡ
ẻ
ù
ỡ
=
ị
ớớớ
ẻ-
=-
ợ
ù
ợ
ợ
uuur
uuur
.
T A, B, M thng hng v
MBMA
3
=
ị
MBMA
3=
uuuruuur
(1) hoc
MBMA
3=-
uuuruuur
(2)
(1)
ị
A
dxy
B
21
;
():510
33
(4;1)
ỡ
ổử
ù
ỗữ
ị =
ớ
ốứ
ù
ợ
hoc (2)
ị
(
)
A
dxy
B
0;1
():10
(4;3)
ỡ
-
ị =
ớ
ợ
Cõu 6. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im M(1; 1). Lp phng trỡnh ng thng (d)
i qua M v ct hai ng thng dxy dxy
12
:350,:40
=+-=
ln lt ti A, B sao cho
MAMB
230
=
.
ã
Gi s
Aaad
1
(;35)
-ẻ
,
Bbbd
2
(;4)
-ẻ
.
Vỡ A, B, M thng hng v
MAMB
23
=
nờn
MAMB
MAMB
23(1)
23(2)
ộ
=
ờ
=-
ở
uuuruuur
uuuruuur
+
ab
a
AB
ab
b
5
55
2(1)3(1)
(1);,(2;2)
2
2(36)3(3)
22
2
ỡ
ổử
ù
ỡ
-=-
=
ị
ớớ
ỗữ
-=-
ợ
ốứ
ù
=
ợ
. Suy ra
dxy
:0
-=
.
+
aba
AB
abb
2(1)3(1)1
(2)(1;2),(1;3)
2(36)3(3)1
ỡỡ
-= =
ị-
ớớ
-= =
ợợ
. Suy ra
dx
:10
-=
.
Vy cú
dxy
:0
-=
hoc
dx
:10
-=
.
Cõu 7. Trong mt phng vi h to Oxy, cho im M(3; 1). Vit phng trỡnh ng thng d i
qua M ct cỏc tia Ox, Oy ti A v B sao cho
OAOB
(3)
+
nh nht.
ã
PT ng thng d ct tia Ox ti A(a;0), tia Oy ti B(0;b):
xy
ab
1
+=
(a,b>0)
M(3; 1)
ẻ
d
Cụsi
ab
abab
3131
12.12
-
=+ị
.
M OAOBabab
332312
+=+=
ab
a
OAOB
b
ab
min
3
6
(3)12
311
2
2
ỡ
=
ù
ỡ
=
ị+=
ớớ
=
==
ợ
ù
ợ
Phng trỡnh ng thng d l:
xy
xy
1360
62
+=+-=
Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 3
Cõu 8. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng D i qua im M(4;1)
v ct cỏc tia Ox, Oy ln lt ti A v B sao cho giỏ tr ca tng
OAOB
+
nh nht.
ã
xy
260
+-=
Cõu 9. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng d i qua im M(1; 2)
v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti A, B khỏc O sao cho
OAOB
22
94
+
nh nht.
ã
ng thng (d) i qua
M
(1;2)
v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti A, B khỏc O, nờn
AaBb
(;0);(0;)
vi
ab
.0
ạ
ị
Phng trỡnh ca (d) cú dng
xy
ab
1
+=
.
Vỡ (d) qua M nờn
ab
12
1
+=
. p dng bt ng thc Bunhiacụpski ta cú :
abab
ab
22
22
12132194
1.1.1
39
ổửổửổửổử
=+=+Ê++
ỗữỗữỗữỗữ
ốứốứốứốứ
ab
22
949
10
+
OAOB
22
949
10
+
.
Du bng xy ra khi
ab
132
:1:
3
= v
ab
12
1
+=
ab
20
10,
9
==
ị
dxy
:29200
+-=
.
Cõu 10. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng D i qua im M(3;1)
v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti B v C sao cho tam giỏc ABC cõn ti A vi A(2;2).
ã
xyxy
360;20
+-= =
Cõu 11. Trong mt phng vi h ta (Oxy). Lp phng trỡnh ng thng d qua
M
(2;1)
v to
vi cỏc trc ta mt tam giỏc cú din tớch bng
S
4
=
.
ã
Gi
AaBbab
(;0),(0;)(,0)
ạ
l giao im ca d vi Ox, Oy, suy ra:
xy
d
ab
:1
+=
.
Theo gi thit, ta cú:
ab
ab
21
1
8
ỡ
+=
ù
ớ
ù
=
ợ
baab
ab
2
8
ỡ
+=
ớ
=
ợ
.
ã
Khi
ab
8
=
thỡ
ba
28
+=
. Nờn: badxy
1
2;4:240
==ị+-=
.
ã
Khi
ab
8
=-
thỡ
ba
28
+=-
. Ta cú: bbb
2
440222
+-==- .
+ Vi
(
)
(
)
bdxy
222:1221240
=-+ị-++-=
+ Vi
(
)
(
)
bdxy
222:1221240
= ị++-+=
.
Cõu hi tng t:
a)
MS
(8;6),12
=
. S:
dxy
:32120
=
;
dxy
:38240
-+=
Cõu 12. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im A(2; 1) v ng thng d cú phng trỡnh
xy
230
+=
. Lp phng trỡnh ng thng (D) qua A v to vi d mt gúc cú cos
1
10
= .
ã
PT ng thng (
D
) cú dng:
axby
(2)(1)0
++=
axbyab
20
++=
ab
22
(0)
+ạ
Ta cú:
ab
ab
22
21
cos
10
5()
a
-
==
+
7a
2
8ab + b
2
= 0. Chon a = 1
ị
b = 1; b = 7.
ị
(
D
1
): x + y 1 = 0 v (
D
2
): x + 7y + 5 = 0
PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng
Trang 4
Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm
A
(2;1)
và đường thẳng
dxy
:2340
++=
.
Lập phương trình đường thẳng D đi qua A và tạo với đường thẳng d một góc
0
45
.
·
PT đường thẳng (
D
) có dạng:
axby
(–2)(1)0
+-=
Û
axbyab
–(2)0
++=
ab
22
(0)
+¹
.
Ta có:
ab
ab
0
22
23
cos45
13.
+
=
+
Û
aabb
22
52450
=
Û
ab
ab
5
5
é
=
ê
=-
ë
+ Với
ab
5
=
. Chọn
ab
5,1
==
Þ
Phương trình
xy
:5110
D
+-=
.
+ Với
ab
5
=-
. Chọn
ab
1,5
==-
Þ
Phương trình
xy
:530
D
-+=
.
Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy
, cho đường thẳng
dxy
:220
=
và điểm
I
(1;1)
.
Lập phương trình đường thẳng D cách điểm
I
một khoảng bằng
10
và tạo với đường thẳng
d
một góc bằng
0
45
.
·
Giả sử phương trình đường thẳng
D
có dạng:
axbyc
0
++=
ab
22
(0)
+¹
.
Vì
·
d
0
(,)45
D
= nên
ab
ab
22
2
1
2
.5
-
=
+
ab
ba
3
3
é
=
Û
ê
=-
ë
·
Với
ab
3
=
Þ
D
:
xyc
30
++=
. Mặt khác dI
(;)10
D
=
c4
10
10
+
Û=
c
c
6
14
é
=
Û
ê
=-
ë
·
Với
ba
3
=-
Þ
D
:
xyc
30
-+=
. Mặt khác dI
(;)10
D
=
c2
10
10
-+
Û=
c
c
8
12
é
=-
Û
ê
=
ë
Vậy các đường thẳng cần tìm:
xy
360;
++=
xy
3140
+-=
;
xy
380;
=
xy
3120
-+=
.
Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho điểm
M
(0; 2) và hai đường thẳng
d
1
,
d
2
có
phương trình lần lượt là
xy
320
++=
và
xy
340
-+=
. Gọi
A
là giao điểm của
d
1
và
d
2
.
Viết phương trình đường thẳng đi qua M, cắt 2 đường thẳng
d
1
và
d
2
lần lượt tại
B
,
C
(
B
và
C
khác
A
) sao cho
ABAC
22
11
+
đạt giá trị nhỏ nhất.
·
AddA
12
(1;1)
=ÇÞ- . Ta có
dd
12
^
. Gọi
D
là đường thẳng cần tìm. H là hình chiếu
vuông góc của A trên
D
. ta có:
ABACAHAM
2222
1111
+=³
(không đổi)
Þ
ABAC
22
11
+
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
AM
2
1
khi H
º
M, hay
D
là đường thẳng đi qua M
và vuông góc với AM.
Þ
Phương trình
D
:
xy
20
+-=
.
Câu hỏi tương tự:
a) Với
M
(1;2)
-
, dxy
1
:350
++=
, dxy
2
:350
-+=
. ĐS:
xy
:10
D
++=
.
Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng
dxy
():–3–40
=
và đường
tròn Cxyy
22
():–40
+=
. Tìm M thuộc (d) và N thuộc (C) sao cho chúng đối xứng qua điểm
A(3; 1).
·
M
Î
(d)
Þ
M(3b+4; b)
Þ
N(2 – 3b; 2 – b)
N
Î
(C)
Þ
(2 – 3b)
2
+ (2 – b)
2
– 4(2 – b) = 0
Þ
b b
6
0;
5
==
Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 5
Vy cú hai cp im: M(4;0) v N(2;2) hoc M N
38684
;,;
5555
ổửổử
-
ỗữỗữ
ốứốứ
Cõu 17. Trong mt phng ta Oxy, cho im A(1; 1) v ng thng D:
xy
2340
++=
. Tỡm
im B thuc ng thng D sao cho ng thng AB v D hp vi nhau gúc
0
45
.
ã
D
cú PTTS:
xt
yt
13
22
ỡ
=-
ớ
=-+
ợ
v VTCP
u
(3;2)
=-
r
. Gi s
Btt
(13;22)
D
+ẻ
.
AB
0
(,)45
D
=
ị
ABu
1
cos(;)
2
=
uuurr
ABu
ABu
.1
.
2
=
uuur
r
r
t
tt
t
2
15
13
169156450
3
13
ộ
=
ờ
=
ờ
ờ
=-
ở
.
Vy cỏc im cn tỡm l: BB
12
3242232
;,;
13131313
ổửổử
ỗữỗữ
ốứốứ
.
Cõu 18. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng thng
dxy
:360
=
v im
N
(3;4)
.
Tỡm ta im M thuc ng thng d sao cho tam giỏc OMN (O l gc ta ) cú din tớch
bng
15
2
.
ã
Ta cú ON
(3;4)
=
uuur
, ON = 5, PT ng thng ON:
xy
430
-=
. Gi s
Mmmd
(36;)
+ẻ
.
Khi ú ta cú
ONM
ONM
S
SdMONONdMON
ON
2
1
(,).(,)3
2
D
D
===
mm
mmm
4.(36)313
3924151;
53
+
=+==-=
+ Vi
mM
1(3;1)
=-ị-
+ Vi mM
1313
7;
33
ổử
=ị-
ỗữ
ốứ
Cõu 19. Trong mt phng to
Oxy
,
cho im
A
(0;2)
v ng thng
dxy
:220
-+=
. Tỡm
trờn ng thng d hai im B, C sao cho tam giỏc ABC vuụng
B
v AB = 2BC .
ã
Gi s
BbbCccd
(22;),(22;)
ẻ
.
Vỡ
D
ABC vuụng B nờn AB
^
d
d
ABu
.0
=
uuur
r
B
26
;
55
ổử
ỗữ
ốứ
ị
AB
25
5
=
ị
BC
5
5
=
BCcc
2
1
125300180
5
=-+=
5
5
cC
cC
1(0;1)
747
;
555
ộ
=ị
ờ
ổử
ờ
=ị
ỗữ
ốứ
ở
Cõu 20. Trong mt phng to Oxy, cho hai ng thng dxy
1
:30
+-=
, dxy
2
:90
+-=
v
im
A
(1;4)
. Tỡm im
BdCd
12
,
ẻẻ
sao cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A.
ã
Gi
BbbdCccd
12
(;3),(;9)
-ẻ-ẻ
ị
ABbb
(1;1)
=
uuur
,
ACcc
(1;5)
=
uuur
.
D
ABC vuụng cõn ti A
ABAC
ABAC
.0
ỡ
=
ớ
=
ợ
uuuruuur
bcbc
bbcc
2222
(1)(1)(1)(5)0
(1)(1)(1)(5)
ỡ
+-=
ớ
-++=-+-
ợ
(*)
Vỡ
c
1
=
khụng l nghim ca (*) nờn
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 6
(*)
bc
b
c
c
bbcc
c
2
2222
2
(1)(5)
1(1)
1
(5)
(1)(1)(1)(5)(2)
(1)
ỡ
+-
-=
ù
-
ù
ớ
-
ù
+++=-+-
ù
-
ợ
T (2)
bc
22
(1)(1)
+=-
bc
bc
2
ộ
=-
ờ
=-
ở
.
+ Vi
bc
2
=-
, thay vo (1) ta c
cb
4,2
==
ị
BC
(2;1),(4;5)
.
+ Vi
bc
=-
, thay vo (1) ta c
cb
2,2
==-
ị
BC
(2;5),(2;7)
-
.
Vy:
BC
(2;1),(4;5)
hoc
BC
(2;5),(2;7)
-
.
Cõu 21. Trong mt phng to Oxy, cho cỏc im A(0; 1) B(2; 1) v cỏc ng thng cú
phng trỡnh: dmxmym
1
:(1)(2)20
++=
; dmxmym
2
:(2)(1)350
++=
. Chng
minh d
1
v d
2
luụn ct nhau. Gi P = d
1
ầ d
2
. Tỡm m sao cho
PAPB
+
ln nht.
ã
Xột H PT:
mxmym
mxmym
(1)(2)2
(2)(1)35
ỡ
-+-=-
ớ
-+-=-+
ợ
.
Ta cú
mm
Dmm
mm
2
31
12
20,
21
22
ổử
==-+>"
ỗữ
ốứ
ị
dd
12
,
luụn ct nhau. Ta cú:
AdBddd
1212
(0;1),(2;1),
ẻ-ẻ^
ị
D
APB vuụng ti P
ị
P
nm trờn ng trũn ng kớnh AB. Ta cú: PAPBPAPBAB
2222
()2()216
+Ê+==
ị
PAPB
4
+Ê
. Du "=" xy ra
PA = PB
P l trung im ca cung
ằ
AB
P(2; 1) hoc P(0; 1)
m
1
=
hoc
m
2
=
. Vy
PAPB
+
ln nht
m
1
=
hoc
m
2
=
.
Cõu 22. Trong mt phng to Oxy, cho ng thng (D):
xy
220
=
v hai im
A
(1;2)
-
,
B
(3;4)
. Tỡm im M
ẻ
(D) sao cho
MA MB
22
2
+
cú giỏ tr nh nht.
ã
Gi s M MttAMttBMtt
(22;)(23;2),(21;4)
D
+ẻị=+-=
uuuruuur
Ta cú:
AMBMttft
222
215443()
+=++=
ị
ftf
2
min()
15
ổử
=-
ỗữ
ốứ
ị
M
262
;
1515
ổử
-
ỗữ
ốứ
Cõu 23. Trong mt phng to Oxy, cho ng thng
dxy
:230
-+=
v 2 im
AB
(1;0),(2;1)
.
Tỡm im M trờn d sao cho
MAMB
+
nh nht.
ã
Ta cú:
AABB
xyxy
(23).(23)300
-+-+=>
ị
A, B nm cựng phớa i vi d.
Gi A
Â
l im i xng ca A qua d
ị
A
(3;2)
Â
-
ị
Phng trỡnh
ABxy
:570
Â
+-=
.
Vi mi im M
ẻ
d, ta cú:
MAMBMAMBAB
ÂÂ
+=+
.
M
MAMB
Â
+
nh nht
A
Â
, M, B thng hng
M l giao im ca A
Â
B vi d.
Khi ú: M
817
;
1111
ổử
-
ỗữ
ốứ
.
Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 7
TP 02: NG TRềN
Cõu 1. Trong mt phng vi h to Oxy, gi A, B l cỏc giao im ca ng thng (d):
xy
250
=
v ng trũn (C): xyx
22
20500
+-+=
. Hóy vit phng trỡnh ng trũn
(C) i qua ba im A, B, C(1; 1).
ã
A(3; 1), B(5; 5)
ị
(C): xyxy
22
48100
+ +=
Cõu 2. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú din tớch bng
3
2
, A(2; 3),
B(3; 2), trng tõm ca DABC nm trờn ng thng
dxy
:380
=
. Vit phng trỡnh
ng trũn i qua 3 im A, B, C.
ã
Tỡm c C
(1;1)
1
-
, C
2
(2;10)
.
+ Vi C
1
(1;1)
-
ị
(C):
22
xyxy
111116
0
333
+-++=
+ Vi C
2
(2;10)
ị
(C):
22
xyxy
9191416
0
333
+-++=
Cõu 3. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ba ng thng: dxy
1
:230
+-=
,
dxy
2
:3450
++=
, dxy
3
:4320
++=
. Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm thuc d
1
v
tip xỳc vi d
2
v d
3
.
ã
Gi tõm ng trũn l
Itt
(;32)
-
ẻ
d
1
.
Khi ú:
dId
dId
23
)(,)
(,
=
tt
tt
34(32)5
5
43(32)2
5
+-+
=
+-+
t
t
2
4
ộ
ờ
ở
=
=
Vy cú 2 ng trũn tho món: xy
22
49
25
(2)(1) =-++ v xy
22
9
(4)(5)
25
-++=.
Cõu hi tng t:
a) Vi dxy
1
:6100
=
, dxy
2
:3450
++=
, dxy
3
:4350
=
.
S: xy
22
(10)49
-+=
hoc xy
222
10707
434343
ổửổửổử
-++=
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
.
Cõu 4. Trong mt phng vi h to Oxy, cho hai ng thng
D
:
xy
380
++=
,
xy
':34100
D
-+=
v im A(2; 1). Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm thuc ng
thng
D
, i qua im A v tip xỳc vi ng thng DÂ.
ã
Gi s tõm
Itt
(38;)
ẻ
D
Ta cú:
dIIA
(,)
D
Â
=
tt
tt
22
22
3(38)410
(382)(1)
34
+
= ++-
+
t
3
=-
ị
IR
(1;3),5
-=
PT ng trũn cn tỡm: x y
22
(1)(3)25
-++=
.
Cõu 5. Trong mt phng vi h to Oxy, cho hai ng thng
xy
:4330
D
-+=
v
xy
':34310
D
=
. Lp phng trỡnh ng trũn
C
()
tip xỳc vi ng thng
D
ti im
cú tung bng 9 v tip xỳc vi
'.
D
Tỡm ta tip im ca
C
()
v
'
D
.
ã
Gi
Iab
(;)
l tõm ca ng trũn (C).
C
()
tip xỳc vi
D
ti im
M
(6;9)
v
C
()
tip
xỳc vi
D
Â
nờn
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 8
a
abab
dIdI
aa
IMu
ab
ab
543
4333431
(,)(,')
433685
4
55
(3;4)
3(6)4(9)0
3454
D
DD
ỡ
ỡ
-
-+
ỡ
=
ùù
-+=-
=
ớớớ
^=
ợ
ùù
-+-=
+=
ợ
ợ
uuur
r
aa
ab
a
ab
b
251504685
10;6
543
190;156
4
ỡ
-=-
ù
ộ
==
-
ớ
ờ
=-=
=
ở
ù
ợ
Vy: Cxy
22
():(10)(6)25
-+-=
tip xỳc vi
'
D
ti
N
(13;2)
hoc Cxy
22
():(190)(156)60025
++-= tip xỳc vi
'
D
ti
N
(43;40)
Cõu 6. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng trũn i qua
A
(2;1)
-
v tip
xỳc vi cỏc trc to .
ã
Phng trỡnh ng trũn cú dng:
xayaaa
xayaab
222
222
()()()
()()()
ộ
-++=
ờ
-+-=
ờ
ở
a)
ị
aa
1;5
==
b)
ị
vụ nghim.
Kt lun: xy
22
(1)(1)1
-++=
v xy
22
(5)(5)25
-++=
.
Cõu 7. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng thng
dxy
():240
=
. Lp phng
trỡnh ng trũn tip xỳc vi cỏc trc ta v cú tõm trờn ng thng (d).
ã
Gi
Immd
(;24)()
-ẻ
l tõm ng trũn cn tỡm. Ta cú: mmmm
4
244,
3
=-==
.
ã
m
4
3
=
thỡ phng trỡnh ng trũn l: xy
22
4416
339
ổửổử
-++=
ỗữỗữ
ốứốứ
.
ã
m
4
=
thỡ phng trỡnh ng trũn l: xy
22
(4)(4)16
-+-=
.
Cõu 8. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im A(1;1) v B(3;3), ng thng (D):
xy
3480
+=
. Lp phng trỡnh ng trũn qua A, B v tip xỳc vi ng thng (D).
ã
Tõm I ca ng trũn nm trờn ng trung trc d ca on AB
d qua M(1; 2) cú VTPT l AB
(4;2)
=
uuur
ị
d: 2x + y 4 = 0
ị
Tõm I(a;4 2a)
Ta cú IA = d(I,D) aaa
2
118551010
-=-+
2a
2
37a + 93 = 0
a
a
3
31
2
ộ
=
ờ
=
ờ
ở
ã
Vi a = 3
ị
I(3;2), R = 5
ị
(C): (x 3)
2
+ (y + 2)
2
= 25
ã
Vi a =
31
2
ị
I
31
;27
2
ổử
-
ỗữ
ốứ
, R =
65
2
ị
(C): xy
2
2
314225
(27)
24
ổử
-++=
ỗữ
ốứ
Cõu 9. Trong h to
Oxy
cho hai ng thng
dxy
:230
+-=
v
xy
:350
D
+-=
. Lp
phng trỡnh ng trũn cú bỏn kớnh bng
210
5
, cú tõm thuc
d
v tip xỳc vi
D
.
ã
Tõm I
ẻ
d
ị
Iaa
(23;)
-+
. (C) tip xỳc vi
D
nờn:
dIR
(,)
D
=
a 2
210
5
10
-
=
a
a
6
2
ộ
=
ờ
=-
ở
Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 9
ị
(C): xy
22
8
(9)(6)
5
++-=
hoc (C): xy
22
8
(7)(2)
5
-++=
.
Cõu 10. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xyx
22
4340
++-=
. Tia Oy
ct (C) ti A. Lp phng trỡnh ng trũn (CÂ), bỏn kớnh RÂ = 2 v tip xỳc ngoi vi (C) ti
A.
ã
(C) cú tõm I
(23;0)
- , bỏn kớnh R= 4; A(0; 2). Gi I
Â
l tõm ca (C
Â
).
PT ng thng IA :
xt
yt
23
22
ỡ
=
ớ
=+
ợ
,
IIA
'
ẻ
ị
Itt
(23;22)
Â
+
.
AIIAtI
1
2'(3;3)
2
Â
==ị
uuruur
ị
(C
Â
): xy
22
(3)(3)4
-+-=
Cõu 11. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xyy
22
450
+=
. Hóy vit
phng trỡnh ng trũn (CÂ) i xng vi ng trũn (C) qua im M
42
;
55
ổử
ỗữ
ốứ
ã
(C) cú tõm I(0;2), bỏn kớnh R = 3. Gi I l im i xng ca I qua M
ị
I
Â
86
;
55
ổử
-
ỗữ
ốứ
ị
(C
Â
): xy
22
86
9
55
ổửổử
-++=
ỗữỗữ
ốứốứ
Cõu 12. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): xyxy
22
2420
+-++=
. Vit
phng trỡnh ng trũn (CÂ) tõm M(5; 1) bit (CÂ) ct (C) ti hai im A, B sao cho
AB
3
= .
ã
(C) cú tõm I(1; 2), bỏn kớnh R
3
= . PT ng thng IM:
xy
34110
=
. AB
3
= .
Gi
Hxy
(;)
l trung im ca AB. Ta cú:
HIM
IHRAH
22
3
2
ỡ
ẻ
ù
ớ
=-=
ù
ợ
xy
xy
22
34110
9
(1)(2)
4
ỡ
=
ù
ớ
-++=
ù
ợ
xy
xy
129
;
510
1111
;
510
ộ
=-=-
ờ
ờ
ờ
==-
ở
ị
H
129
;
510
ổử
ỗữ
ốứ
hoc H
1111
;
510
ổử
-
ỗữ
ốứ
.
ã
Vi H
129
;
510
ổử
ỗữ
ốứ
. Ta cú RMHAH
222
43
Â
=+=
ị
PT (C
Â
): xy
22
(5)(1)43
-+-=
.
ã
Vi H
1111
;
510
ổử
-
ỗữ
ốứ
. Ta cú RMHAH
222
13
Â
=+=
ị
PT (C
Â
): xy
22
(5)(1)13
-+-=
.
Cõu 13. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
(1)(2)4
-+-=
v im
K
(3;4)
. Lp phng trỡnh ng trũn (T) cú tõm K, ct ng trũn (C) ti hai im A, B sao
cho din tớch tam giỏc IAB ln nht, vi I l tõm ca ng trũn (C).
ã
(C) cú tõm
I
(1;2)
, bỏn kớnh
R
2
=
.
IAB
S
D
ln nht
D
IAB vuụng ti I
AB
22
= .
M IK
22
= nờn cú hai ng trũn tho YCBT.
+
T
1
()
cú bỏn kớnh RR
1
2
==
ị
Txy
22
1
():(3)(4)4
-+-=
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 10
+
T
2
()
cú bỏn kớnh R
22
2
(32)(2)25
=+=
ị
Txy
22
1
():(3)(4)20
-+-=
.
Cõu 14. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng trũn ni tip tam giỏc ABC
vi cỏc nh: A(2;3), BC
1
;0,(2;0)
4
ổử
ỗữ
ốứ
.
ã
im D(d;0) d
1
2
4
ổử
<<
ỗữ
ốứ
thuc on BC l chõn ng phõn giỏc trong ca gúc A
khi v ch khi
( )
( )
d
DBAB
ddd
DCACd
2
2
2
2
9
1
3
4
4
41631.
2
43
ổử
+-
ỗữ
-
ốứ
==ị-=-ị=
-
+-
Phng trỡnh AD:
xy
xy
23
10
33
+-
=+-=
-
; AC:
xy
xy
23
3460
43
+-
=+-=
-
Gi s tõm I ca ng trũn ni tip cú tung l b. Khi ú honh l
b
1
-
v bỏn kớnh
cng bng b. Vỡ khong cỏch t I ti AC cng phi bng b nờn ta cú:
(
)
bb
bbb
22
3146
35
34
-+-
=-=
+
ị
bbb
bbb
4
35
3
1
35
2
ộ
-=ị=-
ờ
ờ
ờ
-=-ị=
ở
Rừ rng ch cú giỏ tr b
1
2
=
l hp lý.
Vy, phng trỡnh ca ng trũn ni tip
D
ABC l: xy
22
111
224
ổửổử
-+-=
ỗữỗữ
ốứốứ
Cõu 15. Trong mt phng to Oxy, cho hai ng thng (d
1
):
xy
43120
=
v (d
2
):
xy
43120
+-=
. Tỡm to tõm v bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc cú 3 cnh nm trờn
(d
1
), (d
2
) v trc Oy.
ã
Gi
AddBdOyCdOy
1212
,,=ầ=ầ=ầ
ị
ABC
(3;0),(0;4),(0;4)
-
ị
D
ABC cõn nh A
v AO l phõn giỏc trong ca gúc A. Gi I, R l tõm v bỏn kớnh ng trũn ni tip
D
ABC
ị
IR
44
;0,
33
ổử
=
ỗữ
ốứ
.
Cõu 16. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng thng d:
xy
10
=
v hai ng trũn cú
phng trỡnh: (C
1
): xy
22
(3)(4)8
-++=
, (C
2
): xy
22
(5)(4)32
++-=
. Vit phng trỡnh
ng trũn (C) cú tõm I thuc d v tip xỳc ngoi vi (C
1
) v (C
2
).
ã
Gi I, I
1
, I
2
, R, R
1
, R
2
ln lt l tõm v bỏn kớnh ca (C), (C
1
), (C
2
). Gi s
Iaad
(;1)
ẻ
.
(C) tip xỳc ngoi vi (C
1
), (C
2
) nờn
IIRR IIRRIIRIIR
11221122
,
=+=+ị=
aaaa
2222
(3)(3)22(5)(5)42
-++-=-++-
a = 0
ị
I(0; 1), R =
2
ị
Phng trỡnh (C): xy
22
(1)2
++=
.
Cõu 17. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC vi A(3; 7), B(9; 5), C(5; 9),
M(2; 7). Vit phng trỡnh ng thng i qua M v tip xỳc vi ng trũn ngoi tip
DABC.
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng
Trang 11
·
y + 7 = 0; 4x + 3y + 27 = 0.
Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn
( )
Cxyx
22
:20
++=
. Viết phương trình tiếp
tuyến của
(
)
C
, biết góc giữa tiếp tuyến này và trục tung bằng
30
o
.
·
CxyIR
22
():(1)1(1;0);1
++=Þ-=
. Hệ số góc của tiếp tuyến (
D
) cần tìm là
3
±
.
Þ
PT (
D
) có dạng xyb
1
:30
D
-+=
hoặc xyb
2
:30
D
++=
+ xyb
1
:30
D
-+=
tiếp xúc (C)
dIR
1
(,)
D
Û=
b
b
3
123
2
-
Û=Û=±+ .
Kết luận: xy
1
():3230
D
-±+=
+ xyb
2
():30
D
++=
tiếp xúc (C)
dIR
2
(,)
D
Û=
b
b
3
123
2
-
Û=Û=±+ .
Kết luận: xy
2
():3230
D
+±+=
.
Câu 19. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): xyxy
22
6250
+ +=
và
đường thẳng (d):
xy
330
+-=
. Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C), biết tiếp
tuyến không đi qua gốc toạ độ và hợp với đường thẳng (d) một góc
0
45
.
·
(C) có tâm I(3; 1), bán kính R =
5
. Giả sử (
D
):
axbycc
0(0)
++=¹
.
Từ:
dI
d
(,)5
2
cos(,)
2
D
D
ì
=
ï
í
=
ï
î
Þ
abc
abc
2,1,10
1,2,10
é
==-=-
ê
===-
ë
Þ
xy
xy
:2100
:2100
D
D
é
=
ê
+-=
ë
.
Câu 20. Trong hệ toạ độ
Oxy
, cho đường tròn Cxy
22
():(1)(1)10
-+-=
và đường thẳng
dxy
:220
=
. Lập phương trình các tiếp tuyến của đường tròn
C
()
, biết tiếp tuyến tạo với
đường thẳng
d
một góc
0
45
.
·
(C) có tâm
I
(1;1)
bán kính R
10
= . Gọi
nab
(;)
=
r
là VTPT của tiếp tuyến
D
ab
22
(0)
+¹
,
Vì
·
d
0
(,)45
D
= nên
ab
ab
22
2
1
2
.5
-
=
+
ab
ba
3
3
é
=
Û
ê
=-
ë
·
Với
ab
3
=
Þ
D
:
xyc
30
++=
. Mặt khác
dIR
(;)
D
=
c4
10
10
+
Û=
c
c
6
14
é
=
Û
ê
=-
ë
·
Với
ba
3
=-
Þ
D
:
xyc
30
-+=
. Mặt khác
dIR
(;)
D
=
c2
10
10
-+
Û=
c
c
8
12
é
=-
Û
ê
=
ë
Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm:
xy
360;
++=
xy
3140
+-=
;
xy
380;
=
xy
3120
-+=
.
Câu 21. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
(C
1
): xyxy
22
–2–2–20
+=
, (C
2
): xyxy
22
–8–2160
++=
.
·
(C
1
) có tâm I
1
(1;1)
, bán kính R
1
= 2; (C
2
) có tâm I
2
(4;1)
, bán kính R
2
= 1.
Ta có:
IIRR
1212
3
==+
Þ
(C
1
) và (C
2
) tiếp xúc ngoài nhau tại A(3; 1)
Þ
(C
1
) và (C
2
) có 3 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến chung trong tại A là x = 3 // Oy.
* Xét 2 tiếp tuyến chung ngoài:
yaxbaxyb
():():0
DD
=+Û-+=
ta có:
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 12
ab
aa
dIR
ab
hay
dIR
ab
bb
ab
22
11
22
22
1
22
2
(;)
44
(;)
41
472472
1
44
D
D
ỡ
+-
ỡỡ
=
ù
==-
ùù
ỡ
=
ùùù
+
ớớớớ
=
+-
-+
ợ
ùùù
==
=
ùùù
ợợ
+
ợ
Vy, cú 3 tip tuyn chung: xyxyx
123
24722472
():3,():,()
4444
DDD
+-
==-+=+
Cõu 22. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hai ng trũn (C): xy
22
(2)(3)2
-+-=
v
(C): xy
22
(1)(2)8
-+-=
. Vit phng trỡnh tip tuyn chung ca (C) v (C).
ã
(C) cú tõm I(2; 3) v bỏn kớnh R
2
= ; (C
Â
) cú tõm I
Â
(1; 2) v bỏn kớnh R
'22
= .
Ta cú:
IIRR
'2
Â
==-
ị
(C) v (C
Â
) tip xỳc trong
ị
Ta tip im M(3; 4).
Vỡ (C) v (C
Â
) tip xỳc trong nờn chỳng cú duy nht mt tip tuyn chung l ng thng qua
im M(3; 4), cú vộc t phỏp tuyn l II
(1;1)
Â
=
uur
ị
PTTT:
xy
70
+-=
Cõu 23. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hai ng trũn Cxyy
22
1
():230
+ =
v
Cxyxy
22
2
():88280
+ +=
. Vit phng trỡnh tip tuyn chung ca
C
1
()
v
C
2
()
.
ã
C
1
()
cú tõm I
1
(0;1)
, bỏn kớnh R
1
2
=
;
C
2
()
cú tõm I
2
(4;4)
, bỏn kớnh R
2
2
=
.
Ta cú:
IIRR
1212
54
=>=+
ị
CC
12
(),()
ngoi nhau. Xột hai trng hp:
+ Nu d // Oy thỡ phng trỡnh ca d cú dng:
xc
0
+=
.
Khi ú:
dIddIdcc
12
(,)(,)4
==+
c
2
=-
ị
dx
:20
-=
.
+ Nu d khụng song song vi Oy thỡ phng trỡnh ca d cú dng:
dyaxb
:
=+
.
Khi ú:
dId
dIddId
1
12
(,)2
(,)(,)
ỡ
=
ớ
=
ợ
b
a
bab
aa
2
22
1
2
1
144
11
ỡ
-+
=
ù
ù
+
ớ
-+-+
ù
=
ù
++
ợ
ab
ab
ab
37
;
42
33
;
42
737
;
2412
ộ
==
ờ
ờ
ờ
==-
ờ
ờ
=-=
ờ
ở
ị
dxy
:34140
-+=
hoc
dxy
:3460
=
hoc
dxy
:724740
+-=
.
Vy:
dx
:20
-=
;
dxy
:34140
-+=
;
dxy
:3460
=
;
dxy
:724740
+-=
.
Cõu 24. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hai ng trũn Cxyy
22
1
():450
+ =
v
Cxyxy
22
2
():68160
+-++=
. Vit phng trỡnh tip tuyn chung ca
C
1
()
v
C
2
()
.
ã
C
1
()
cú tõm I
1
(0;1)
, bỏn kớnh R
1
3
=
;
C
2
()
cú tõm I
2
(3;4)
-
, bỏn kớnh R
2
3
=
.
Gi s tip tuyn chung
D
ca
CC
12
(),()
cú phng trỡnh: axbycab
22
0(0)
++=+ạ
.
D
l tip tuyn chung ca
CC
12
(),()
dIR
dIR
11
22
(,)
(,)
D
D
ỡ
=
ớ
=
ợ
bcab
abcab
22
22
23(1)
343(2)
ỡ
ù
+=+
ớ
-+=+
ù
ợ
T (1) v (2) suy ra
ab
2
=
hoc
ab
c
32
2
-+
= .
+ TH1: Vi
ab
2
=
. Chn
b
1
=
ị
ac
2,235
==-
ị
xy
:22350
D
+-=
Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 13
+ TH2: Vi
ab
c
32
2
-+
= . Thay vo (1) ta c:
a
abab
ab
22
0
22
4
3
ộ
=
ờ
-=+
=-
ờ
ở
.
ị
y
:20
D
+=
hoc
xy
:4390
D
=
.
Cõu 25. Trong mt phng Oxy, cho ng trũn (C): xyx
22
4340
++-=
. Tia Oy ct (C) ti im
A. Lp phng trỡnh ng trũn (T) cú bỏn kớnh RÂ = 2 sao cho (T) tip xỳc ngoi vi (C) ti
A.
ã
(C) cú tõm I
(23;0)
- , bỏn kớnh
R
4
=
. Tia Oy ct (C) ti
A
(0;2)
. Gi J l tõm ca (T).
Phng trỡnh IA:
xt
yt
23
22
ỡ
=
ớ
=+
ợ
. Gi s
JttIA
(23;22)()
+ẻ .
(T) tip xỳc ngoi vi (C) ti A nờn AIJAtJ
1
2(3;3)
2
=ị=ị
uuruur
.
Vy: Txy
22
():(3)(3)4
-+-=
.
Cõu 26. Trong mt phng Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
1
+=
v phng trỡnh:
xymxmy
22
2(1)450
+++=
(1). Chng minh rng phng trỡnh (1) l phng trỡnh ca
ng trũn vi mi m. Gi cỏc ng trũn tng ng l (C
m
). Tỡm m (C
m
) tip xỳc vi (C).
ã
(C
m
) cú tõm
Imm
(1;2)
+-
, bỏn kớnh Rmm
22
'(1)45
=+++
,
(C) cú tõm O(0; 0) bỏn kớnh R = 1, OI
mm
22
(1)4
=++ , ta cú OI < R
Â
Vy (C) v (C
m
) ch tip xỳc trong.
ị
R
Â
R = OI ( vỡ R > R)
ị
mm
3
1;
5
=-=
.
Cõu 27. Trong mt phng Oxy, cho cỏc ng trũn cú phng trỡnh Cxy
22
1
1
():(1)
2
-+=
v
Cxy
22
2
():(2)(2)4
-+-=
. Vit phng trỡnh ng thng d tip xỳc vi
C
1
()
v ct
C
2
()
ti hai im
MN
,
sao cho MN
22
= .
ã
C
1
()
cú tõm I
1
(1;0)
, bỏn kớnh R
1
1
2
= ;
C
2
()
cú tõm I
1
(2;2)
, bỏn kớnh R
2
2
=
. Gi H l
trung im ca MN
ị
MN
dIdIHR
2
2
222
(,)2
2
ổử
==-=
ỗữ
ốứ
Phng trỡnh ng thng d cú dng: axbycab
22
0(0)
++=+ạ
.
Ta cú:
dId
dId
1
2
1
(,)
2
(,)2
ỡ
=
ù
ớ
ù
=
ợ
acab
abcab
22
22
2
222
ỡ
ù
+=+
ớ
++=+
ù
ợ
. Gii h tỡm c a, b, c.
Vy:
dxydxy
:20;:760
+-=+-=
;
dxy
:20
=
;
dxy
:720
=
Cõu 28. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xyx
22
650
++=
. Tỡm im
M thuc trc tung sao cho qua M k c hai tip tuyn ca (C) m gúc gia hai tip tuyn ú
bng
0
60
.
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 14
ã
(C) cú tõm I(3;0) v bỏn kớnh R = 2. Gi M(0; m) ẻ Oy
Qua M k hai tip tuyn MA v MB ị
ã
ã
AMB
AMB
0
0
60(1)
120(2)
ộ
=
ờ
=
ờ
ở
Vỡ MI l phõn giỏc ca
ã
AMB
nờn:
(1)
ã
AMI
= 30
0
IA
MI
0
sin30
=
MI = 2R mm
2
947
+==
(2)
ã
AMI
= 60
0
IA
MI
0
sin60
=
MI =
23
3
R m
2
43
9
3
+= Vụ nghim Vy cú
hai im M
1
(0;
7
) v M
2
(0;
7
- )
Cõu 29. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C) v ng thng
D
nh bi:
Cxyxyxy
22
():420;:2120
D
+ =+-=
. Tỡm im M trờn D sao cho t M v c vi
(C) hai tip tuyn lp vi nhau mt gúc 60
0
.
ã
ng trũn (C) cú tõm I(2;1) v bỏn kớnh R
5
= .
Gi A, B l hai tip im. Nu hai tip tuyn ny lp vi nhau mt gúc 60
0
thỡ IAM l na tam
giỏc u suy ra
IMR=25
2= .
Nh th im M nm trờn ng trũn (T) cú phng trỡnh: xy
22
(2)(1)20
-+-=
.
Mt khỏc, im M nm trờn ng thng
D
, nờn ta ca M nghim ỳng h phng trỡnh:
xy
xy
22
(2)(1)20(1)
2120(2)
ỡ
-+-=
ớ
+-=
ợ
Kh x gia (1) v (2) ta c:
( ) ( )
y
yyyy
y
22
2
3
210120542810
27
5
ộ
=
ờ
-++-=-+=
=
ờ
ở
Vy cú hai im tha món bi l:
(
)
M
6;3
hoc M
627
;
55
ổử
ỗữ
ốứ
Cõu 30. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
(1)(2)9
-++=
v ng
thng
dxym
:0
++=
. Tỡm m trờn ng thng d cú duy nht mt im A m t ú k
c hai tip tuyn AB, AC ti ng trũn (C) (B, C l hai tip im) sao cho tam giỏc ABC
vuụng.
ã
(C) cú tõm I(1; 2), R = 3. ABIC l hỡnh vuụng cnh bng 3 IA
32
ị=
m
m
m
m
1
5
3216
7
2
-
ộ
=-
=-=
ờ
=
ở
Cõu hi tng t:
a) Cxydxym
22
():1,:0
+=-+=
S:
m
2
=
.
Cõu 31. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
(1)(2)9
-++=
v ng
thng
dxym
:340
-+=
. Tỡm m trờn d cú duy nht mt im P m t ú cú th k c
hai tip tuyn PA, PB ti ng trũn (C) (A, B l hai tip im) sao cho PAB l tam giỏc u.
ã
(C) cú tõm
I
(1;2)
-
, bỏn kớnh
R
3
=
.
D
PAB u
ị
PIAIR
226
===
ị
P nm trờn ng
trũn (T) cú tõm I, bỏn kớnh
r
6
=
. Do trờn d cú duy nht mt im P tho YCBT nờn d l tip
Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 15
tuyn ca (T)
ị
m
m
dId
m
11
19
(,)66
41
5
+
ộ
=
==
ờ
=-
ở
.
Cõu 32. Trong mt phng vi h to Oxy, cho hai ng trũn Cxyxy
22
():186650
+ +=
v Cxy
22
():9
Â
+=
. T im M thuc ng trũn (C) k hai tip tuyn vi ng trũn (CÂ),
gi A, B l cỏc tip im. Tỡm ta im M, bit di on AB bng
4,8
.
ã
(C) cú tõm
(
)
O
0;0
, bỏn kớnh
ROA
3
==
. Gi
HABOM
=ầ
ị
H l trung im ca AB
ị
AH
12
5
= . Suy ra: OHOAAH
22
9
5
=-=
v
OA
OM
OH
2
5
==
.
Gi s
Mxy
(;)
. Ta cú:
MCxyxy
OM
xy
22
22
()186650
5
25
ỡ
ù
ỡ
ẻ+ +=
ớớ
=
+=
ợ
ù
ợ
xx
yy
45
30
ỡỡ
==
ớớ
==
ợợ
Vy
M
(4;3)
hoc
M
(5;0)
.
Cõu 33. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
(1)(2)4
-++=
. M l im
di ng trờn ng thng
dyx
:1
=+
. Chng minh rng t M k c hai tip tuyn
MT
1
,
MT
2
ti (C) (T
1
, T
2
l tip im) v tỡm to im M, bit ng thng
TT
12
i qua im
A
(1;1)
-
.
ã
(C) cú tõm
I
(1;2)
-
, bỏn kớnh
R
2
=
. Gi s
Mxxd
00
(;1)
+ẻ
.
IMxxxR
222
000
(1)(3)2(1)82
=-++=++>=
ị
M nm ngoi (C)
ị
qua M k c
2 tip tuyn ti (C).
Gi J l trung im IM
ị
xx
J
00
11
;
22
ổử
+-
ỗữ
ốứ
. ng trũn (T) ng kớnh IM cú tõm J bỏn
kớnh
IM
R
1
2
= cú phng trỡnh
xxxx
Txy
22
22
0000
11(1)(3)
():
224
ổửổử
+ ++
-+-=
ỗữỗữ
ốứốứ
T M k c 2 tip tuyn MT
1
, MT
2
n (C)
ị
ã
ã
ITMITMTTT
0
1212
90,()
==ịẻ
TTCT
12
{,}()()
ị=ầ
ị
to
TT
12
,
tho món h:
xxxx
xy
xxxyx
xy
22
22
0000
000
22
11(1)(3)
()()
(1)(3)30(1)
224
(1)(2)4
ỡ
+ ++
ù
-+-=
ị + =
ớ
ù
-++=
ợ
To cỏc im
TT
12
,
tho món (1), m qua 2 im phõn bit xỏc nh duy nht 1 ng
thng nờn phng trỡnh
TT
12
l xxyxx
000
(1)(3)30
+ =
.
A
(1;1)
-
nm trờn
TT
12
nờn xxx
000
1(3)30
-++ =
x
0
1
=
ị
M
(1;2)
.
Cõu 34. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
(1)(1)25
++=
v im
M(7; 3). Lp phng trỡnh ng thng (d) i qua M ct (C) ti hai im A, B phõn bit sao
cho MA = 3MB.
ã
MC
P
/()
270
=>ị
M nm ngoi (C). (C) cú tõm I(1;1) v R = 5.
Mt khỏc:
MC
PMAMBMBMBBH
2
/()
.333
==ị=ị=
uuuruuur
IHRBHdMd
22
4[,()]
ị=-==
PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng
Trang 16
Ta có: pt(d): a(x – 7) + b(y – 3) = 0 (a
2
+ b
2
> 0).
a
ab
dMd
ab
ab
22
0
64
[,()]44
12
5
é
=
ê
=Û=Û
=-
ê
+
ë
. Vậy (d): y – 3 = 0 hoặc (d): 12x – 5y – 69 = 0.
Câu 35. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2)
và cắt đường tròn (C) có phương trình xy
22
(2)(1)25
-++=
theo một dây cung có độ dài
bằng
l
8
=
.
·
d: a(x – 1)+ b(y –2) = 0
Û
ax + by – a – 2b = 0 ( a
2
+ b
2
> 0)
Vì d cắt (C) theo dây cung có độ dài
l
8
=
nên khoảng cách từ tâm I(2; –1) của (C) đến d
bằng 3.
( )
abab
dIdabab
ab
22
22
22
,333
==Û-=+
+
a
aab
ab
2
0
860
3
4
é
=
ê
Û+=Û
=-
ê
ë
·
a = 0: chọn b = 1
Þ
d: y – 2 = 0
·
a =
b
3
4
- : chọn a = 3, b = – 4
Þ
d: 3x – 4 y + 5 = 0.
Câu hỏi tương tự:
a) d đi qua O, Cxyxy
22
():26150
+-+-=
,
l
8
=
. ĐS:
dxy
:340
-=
;
dy
:0
=
.
b) d đi qua
Q
(5;2)
, Cxyxy
22
():4850
+ =
, l
52
= .
ĐS:
dxy
:30
=
;
dxy
:177710
=
.
c) d đi qua
A
(9;6)
, Cxyxy
22
():820
+ =
, l
43
= .
ĐS:
dyx
:212
=-
; dyx
121
:
22
=-+
Câu 36. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : xyxy
22
2880
++ =
. Viết
phương trình đường thẳng D song song với đường thẳng
dxy
:320
+-=
và cắt đường tròn
(C) theo một dây cung có độ dài
l
6
=
.
·
(C) có tâm I(–1; 4), bán kính R = 5. PT đường thẳng
D
có dạng:
xyc c
30,2
++=¹
.
Vì
D
cắt (C) theo một dây cung có độ dài bằng 6 nên:
( )
c
c
dI
c
2
34
4101
,4
4101
31
D
-++
é
=-
Þ==Û
ê
=
ë
+
.
Vậy phương trình
D
cần tìm là: xy
341010
++-=
hoặc xy
341010
+ =
.
Câu hỏi tương tự:
a) Cxy
22
():(3)(1)3
-+-=
,
dxy
:3420120
-+=
, l
25
= .
ĐS:
xy
:3450
D
-+=
;
xy
:34150
D
=
.
Câu 37. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn Cxy
22
():(4)(3)25
++-=
và
đường thẳng
xy
:34100
D
-+=
. Lập phương trình đường thẳng d biết
d
()
D
^
và d cắt (C)
tại A, B sao cho AB = 6.
·
(C) có tâm I(– 4; 3) và có bán kính R = 5. Gọi H là trung điểm AB, AH = 3. Do
d
D
^
nên
PT của d có dạng:
xym
430
++=
.
Ta có: dI
1
(,())
D
= IH = AIAH
2222
534
-=-=
Û
m
m
m
22
27
169
4
13
43
é
=
-++
=Û
ê
=-
ë
+
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng
Trang 17
Vậy PT các đường thẳng cần tìm là:
xy
43270
++=
và
xy
43130
+-=
.
Câu 38. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): xyxy
22
2230
+ =
và điểm
M(0; 2). Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB có
độ dài ngắn nhất.
·
(C) có tâm I(1; 1) và bán kính R =
5
. IM =
25
<
Þ
M nằm trong đường tròn (C).
Giả sử d là đường thẳng qua M và H là hình chiếu của I trên d.
Ta có: AB = 2AH = IAIHIHIM
2222
2252523
-=-³-=.
Dấu "=" xảy ra
Û
H
º
M hay d
^
IM. Vậy d là đường thẳng qua M và có VTPT MI
(1;1)
=-
uuur
Þ
Phương trình d:
xy
20
-+=
.
Câu hỏi tương tự:
a) Với (C): xyxy
22
84160
+ =
, M(–1; 0). ĐS:
dxy
:5250
++=
Câu 39. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm O, bán kính R = 5 và điểm
M(2; 6). Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho DOAB có
diện tích lớn nhất.
·
Tam giác OAB có diện tích lớn nhất
Û
D
OAB vuông cân tại O. Khi đó dOd
52
(,)
2
= .
Giả sử phương trình đường thẳng d: AxByAB
22
(2)(6)0(0)
-+-=+¹
dOd
52
(,)
2
=
Û
AB
AB
22
2652
2
=
+
Û
BABA
22
4748170
+-=
Û
BA
BA
24555
47
24555
47
é
=
ê
ê
-+
ê
=
ê
ë
+ Với
BA
24555
47
= : chọn A = 47
Þ
B =
24555
Þ
d:
(
)
xy
47(2)24555(6)0
+-=
+ Với
BA
24555
47
-+
= : chọn A = 47
Þ
B =
24555
-+
Þ
d:
(
)
xy
47(2)24555(6)0
-+-+-=
Câu hỏi tương tự:
a) Cxyxy
22
():4690
++-+=
,
M
(1;8)
-
. ĐS:
xyxy
710;177390
++=++=
.
Câu 40. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): xyxy
22
6260
+-+-=
và điểm
A
(3;3)
. Lập phương trình đường thẳng d qua A và cắt (C) tại hai điểm sao cho khoảng cách
giữa hai điểm đó bằng độ dài cạnh hình vuông nội tiếp đường tròn (C).
·
(C) có tâm I(3; –1), R = 4. Ta có: A(3 ;3)
Î
(C).
PT đường thẳng d có dạng: axbyab
22
(3)(3)0,0
-+-=+¹
Û
axbyab
330
+ =
.
Giả sử d qua A cắt (C) tại hai điểm A, B
Þ
AB = 4
2
. Gọi I là tâm hình vuông.
Ta có:
dIdADAB
11
(,)22()
22
===
abab
ab
22
333
22
Û=
+
PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng
Trang 18
bababab
2222
422
Û=+Û=Û=±
. Chọn b = 1 thì a = 1 hoặc a = –1.
Vậy phương trình các đường thẳng cần tìm là:
xy
60
+-=
hoặc
xy
0
-=
.
Câu 41. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn (C
1
): xy
22
13
+=
và (C
2
):
xy
22
(6)25
-+=
. Gọi A là một giao điểm của (C
1
) và (C
2
) với y
A
> 0. Viết phương trình
đường thẳng d đi qua A và cắt (C
1
), (C
2
) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.
·
(C
1
) có tâm O(0; 0), bán kính R
1
=
13
. (C
2
) có tâm I
2
(6; 0), bán kính R
2
= 5. Giao điểm
A(2; 3). Giả sử d: axbyab
22
(2)(3)0(0)
-+-=+¹
. Gọi
ddOdddId
122
(,),(,)
==.
Từ giả thiết
Þ
RdRd
2222
1122
-=-
Û
dd
22
21
12
-=
Û
aabab
abab
22
2222
(623)(23)
12
-=
++
Û
bab
2
30
+=
Û
b
ba
0
3
é
=
ê
=-
ë
.
·
Với b = 0: Chọn a = 1
Þ
Phương trình d:
x
20
-=
.
·
Với b = –3a: Chọn a = 1, b = –3
Þ
Phương trình d:
xy
370
-+=
.
Câu 42. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng D:
mxy
4 0
+=
, đường tròn (C):
xyxmym
222
22240
+ +-=
có tâm I. Tìm m để đường thẳng D cắt đường tròn (C) tại
hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 12.
·
(C) có tâm
Im
(1;)
, bán kính R = 5. Gọi H là trung điểm của dây cung AB.
mmm
IHdI
mm
22
45
(,)
1616
+
=D==
++
;
m
AHIAIH
m
m
2
22
2
2
(5)20
25
16
16
=-=-=
+
+
IAB
S
12
D
=
Û
m
dIAHmm
m
2
3
(,).12325480
16
3
é
=±
ê
D=Û-+=Û
=±
ê
ë
Câu 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn Cxy
22
():1
+=
, đường thẳng
dxym
():0
++=
. Tìm m để
C
()
cắt
d
()
tại A và B sao cho diện tích tam giác ABO lớn nhất.
·
(C) có tâm O(0; 0) , bán kính R = 1. (d) cắt (C) tại A, B
dOd
(;)1
Û<
Khi đó:
· ·
OAB
SOAOBAOBAOB
111
sin.sin
222
==£
. Dấu "=" xảy ra
Û
·
AOB
0
90
= .
Vậy
AOB
S lón nhất
Û
·
AOB
0
90
= . Khi đó dId
1
(;)
2
=
m
1
Û=±
.
Câu 44. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng
d
()
: xmy
2120
++-=
và
đường tròn có phương trình Cxyxy
22
():2440
+-+-=
. Gọi I là tâm đường tròn
C
()
. Tìm
m sao cho
d
()
cắt
C
()
tại hai điểm phân biệt A và B. Với giá trị nào của m thì diện tích tam
giác IAB lớn nhất và tính giá trị đó.
·
C
()
có tâm I (1; –2) và bán kính R = 3.
(d) cắt
C
()
tại 2 điểm phân biệt A, B
dIdR
(,)
Û<
mm
2
221232Û-+-<+
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng
Trang 19
mmmmmmR
222
14418954170
Û-+<+Û++>ÛÎ
Ta có:
·
SIAIBAIBIAIB
IAB
119
.sin.
222
=£=
Vậy: S
IAB
lớn nhất là
9
2
khi
·
AIB
0
90
=
Û
AB = R
232
=
Û
dId
32
(,)
2
=
Û
mm
32
2
122
2
-=+ mm
2
216320
Û++=
m
4
Û=-
Câu hỏi tương tự:
a) Với
dxmym
:–230
++=
, Cxyxy
22
():4460
++++=
. ĐS:
mm
8
0
15
=Ú=
Câu 45. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn Cxyxy
22
():4690
++-+=
và
điểm
M
(1;8)
-
. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M, cắt (C) tại hai điểm A, B phân
biệt sao cho tam giác ABI có diện tích lớn nhất, với I là tâm của đường tròn (C).
·
(C) có tâm
I
(2;3)
-
, bán kính
R
2
=
.
PT đường thẳng d qua
M
(1;8)
-
có dạng:
daxbyab
:80
+-+=
( ab
22
0
+¹
).
· ·
IAB
SIAIBAIBAIB
1
sin2sin
2
D
==.
Do đó:
IAB
S
D
lớn nhất
Û
·
AIB
0
90
=
Û
dIdIA
2
(,)2
2
==
Û
ba
ab
22
113
2
-
=
+
Û
aabb
22
7661180
-+=
Û
ab
ab
7
717
é
=
ê
=
ë
.
+ Với
ba
17
=Þ=
Þ
dxy
:710
++=
+ Với
ba
717
=Þ=
Þ
dxy
:177390
++=
Câu 46. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): xyxy
22
4460
++++=
và
đường thẳng D:
xmym
–230
++=
với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C).
Tìm m để D cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho diện tích DIAB lớn nhất.
·
(C) có tâm là I (–2; –2); R =
2
. Giả sử
D
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
Kẻ đường cao IH của
D
IAB, ta có: S
D
ABC
=
·
IAB
SIAIBAIB
1
sin
2
= =
·
AIB
sin
Do đó
IAB
S
lớn nhất
Û
sin
·
AIB
= 1
Û
D
AIB vuông tại I
Û
IH =
IA
1
2
=
(thỏa IH < R)
Û
m
m
2
14
1
1
-
=
+
Û
15m
2
– 8m = 0
Û
m = 0 hay m =
8
15
Câu hỏi tương tự:
a) Với Cxyxy
22
():2440
+-+-=
, xmy
:2120
D
++-=
. ĐS:
m
4
=-
.
b) Với Cxyxy
22
():2450
+ =
,
xmy
:20
D
+-=
. ĐS:
m
2
=-
Câu 47. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d:
xy
–5–20
=
và đường tròn (C):
xyxy
22
2480
++ =
. Xác định tọa độ các giao điểm A, B của đường tròn (C) và đường
thẳng d (cho biết điểm A có hoành độ dương). Tìm tọa độ C thuộc đường tròn (C) sao cho
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 20
tam giỏc ABC vuụng B.
ã
Ta giao im A, B l nghim ca h phng trỡnh
yx
xyxy
yx
xy
22
0;2
2480
1;3
520
ỡ
ỡ
==
++ =
ớớ
=-=-
=
ợ
ợ
. Vỡ
A
x
0
>
nờn ta c A(2;0), B(3;1).
Vỡ
ã
ABC
0
90
= nờn AC l ng kớnh ng trũn, tc im C i xng vi im A qua tõm I
ca ng trũn. Tõm I(1;2), suy ra C(4;4).
Cõu 48. Trong mt phng vi h ta Oxy , cho ng trũn (
C
): xyxy
22
2480
++ =
v
ng thng (
D
):
xy
2310
=
. Chng minh rng (
D
) luụn ct (
C
) ti hai im phõn bit
A, B . Tỡm to im
M
trờn ng trũn (
C
) sao cho din tớch tam giỏc
ABM
ln nht.
ã
(C) cú tõm I(1; 2), bỏn kớnh R =
13
.
dIR
9
(,)
13
D
=<
ị
ng thng (
D
) ct (C) ti
hai im A, B phõn bit. Gi M l im nm trờn (C), ta cú
ABM
SABdM
1
.(,)
2
D
D
= . Trong ú
AB khụng i nờn
ABM
S
D
ln nht
dM
(,)
D
ln nht.
Gi d l ng thng i qua tõm I v vuụng gúc vi (
D
). PT ng thng d l
xy
3210
+-=
.
Gi P, Q l giao im ca ng thng d vi ng trũn (C). To P, Q l nghim ca h
phng trỡnh:
xyxy
xy
22
2480
3210
ỡ
++ =
ớ
+-=
ợ
xy
xy
1,1
3,5
ộ
==-
ờ
=-=
ở
ị
P(1; 1); Q(3; 5)
Ta cú dP
4
(,)
13
D
= ; dQ
22
(,)
13
D
= . Nh vy
dM
(,)
D
ln nht
M trựng vi Q.
Vy ta im M(3; 5).
Cõu 49. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xyxy
22
2450
+ =
v A(0;
1) ẻ (C). Tỡm to cỏc im B, C thuc ng trũn (C) sao cho DABC u.
ã
(C) cú tõm I(1;2) v R=
10
. Gi H l trung im BC. Suy ra
AIIH
2.
=
uuruur
H
37
;
22
ổử
ỗữ
ốứ
ABC
D
u
ị
I l trng tõm. Phng trỡnh (BC):
xy
3120
+-=
Vỡ B, C
ẻ
(C) nờn ta ca B, C l cỏc nghim ca h phng trỡnh:
xyxyxyxy
xyxy
2222
24502450
3120123
ỡỡ
+ =+ =
ớớ
+-==-
ợợ
Gii h PT trờn ta c: BC
7333373333
;;;
2222
ổửổử
+ +
ỗữỗữ
ốứốứ
hoc ngc li.
Cõu 50. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
(3)(4)35
-+-=
v im
A(5; 5). Tỡm trờn (C) hai im B, C sao cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A.
ã
(C) cú tõm I(3; 4). Ta cú:
ABAC
IBIC
ỡ
=
ớ
=
ợ
ị
AI l ng trung trc ca BC.
D
ABC vuụng cõn
ti A nờn AI cng l phõn giỏc ca
ã
BAC
. Do ú AB v AC hp vi AI mt gúc
0
45
.
Gi d l ng thng qua A v hp vi AI mt gúc
0
45
. Khi ú B, C l giao im ca d vi
(C) v AB = AC. Vỡ IA
(2;1)
=
uur
ạ
(1; 1), (1; 1) nờn d khụng cựng phng vi cỏc trc to
ị
VTCP ca d cú hai thnh phn u khỏc 0. Gi
ua
(1;)
=
r
l VTCP ca d. Ta cú:
Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 21
( )
aa
IAu
aa
222
222
cos,
2
12151
++
===
+++
uur
r
aa
2
2251
+=+
a
a
3
1
3
ộ
=
ờ
=-
ờ
ở
+ Vi a = 3, thỡ
u
(1;3)
=
r
ị
Phng trỡnh ng thng d:
xt
yt
5
53
ỡ
=+
ớ
=+
ợ
.
Ta tỡm c cỏc giao im ca d v (C) l:
91373139137313
;,;
2222
ổửổử
++
ỗữỗữ
ốứốứ
+ Vi a =
1
3
-
, thỡ u
1
1;
3
ổử
=-
ỗữ
ốứ
r
ị
Phng trỡnh ng thng d:
xt
yt
5
1
5
3
ỡ
=+
ù
ớ
=-
ù
ợ
.
Ta tỡm c cỏc giao im ca d v (C) l:
7313111373131113
;,;
2222
ổửổử
+ +
ỗữỗữ
ốứốứ
+Vỡ AB = AC nờn ta cú hai cp im cn tỡm l:
731311139137313
;,;
2222
ổửổử
+-++
ỗữỗữ
ốứốứ
v
731311139137313
;,;
2222
ổửổử
-+
ỗữỗữ
ốứốứ
Cõu 51. Trong mt phng to
Oxy
,
cho ng trũn (C): xy
22
4
+=
v cỏc im A
8
1;
3
ổử
-
ỗữ
ốứ
,
B
(3;0)
. Tỡm to im M thuc (C) sao cho tam giỏc MAB cú din tớch bng
20
3
.
ã
ABABxy
6410
4;:43120
93
=+= =
. Gi M(x;y) v
hdMAB
(,)
=
.
Ta cú:
xy
xy
hABh
xy
4312
120
4380
.44
43320
235
ộ
-+=
===
ờ
=
ở
+
xy
MM
xy
22
4380
1448
(2;0);;
2575
4
ỡ
ổử
-+=
ị
ỗữ
ớ
+=
ốứ
ợ
+
xy
xy
22
43320
4
ỡ
=
ớ
+=
ợ
(vụ nghim)
Cõu 52. Trong mt phng to
Oxy
,
cho ng trũn Cxyxy
22
():2690
++-+=
v ng
thng
dxy
:3450
-+=
. Tỡm nhng im M ẻ (C) v N ẻ d sao cho MN cú di nh nht.
ã
(C) cú tõm
I
(1;3)
-
, bỏn kớnh
R
1
=
ị
dIdR
(,)2
=>
ị
dC
()
ầ=ặ
.
Gi
D
l ng thng qua I v vuụng gúc vi d
ị
xy
():4350
D
+-=
.
Gi NdN
00
17
;
55
D
ổử
=ầị
ỗữ
ốứ
.
Gi
MM
12
,
l cỏc giao im ca
D
v (C)
ị
MM
12
211819
;,;
5555
ổửổử
ỗữỗữ
ốứốứ
ị
MN ngn nht khi
MMNN
10
,.
Vy cỏc im cn tỡm:
MC
211
;()
55
ổử
-ẻ
ỗữ
ốứ
,
Nd
17
;
55
ổử
ẻ
ỗữ
ốứ
.
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 22
TP 03: CC NG CễNIC
Cõu 1. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E):
xy
22
1
2516
+=
. A, B l cỏc im trờn (E)
sao cho: AFBF
12
8
+=
, vi
FF
12
,
l cỏc tiờu im. Tớnh
AFBF
21
+ .
ã
1
AFAFa
2
2
+=v
BFBFa
12
2
+=
ị
12
AFAFBFBFa
12
420
+++==
M
1
AFBF
2
8
+=
ị
2
AFBF
1
12
+=
Cõu 2. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh elip vi cỏc tiờu im
FF
12
(1;1),(5;1)
- v tõm sai
e
0,6
=
.
ã
Gi s
Mxy
(;)
l im thuc elip. Vỡ na trc ln ca elip l
c
a
e
3
5
0,6
===
nờn ta cú:
MFMFxyxy
2222
12
10(1)(1)(5)(1)10
+=++-+-+-=
xy
22
(2)(1)
1
2516
+=
Cõu 3. Trong mt phng vi h to Oxy, cho im C(2; 0) v elip (E):
xy
22
1
41
+=
. Tỡm to
cỏc im A, B thuc (E), bit rng hai im A, B i xng vi nhau qua trc honh v tam
giỏc ABC l tam giỏc u.
ã
AB
243243
;,;
7777
ổửổử
-
ỗữỗữ
ốứốứ
Cõu 4. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E):
xy
22
1
10025
+=
. Tỡm cỏc im M ẻ (E) sao
cho
ã
FMF
0
12
120
= (F
1
, F
2
l hai tiờu im ca (E)).
ã
Ta cú:
ab
10,5
==
ị
c
53
= . Gi M(x; y)
ẻ
(E)
ị
MFxMFx
12
33
10,10
22
=-=+ .
ã
FFMFMFMFMFFMF
222
12121212
2 cos=+-
( )
xxxx
22
2
33331
103101021010
22222
ổửổửổửổử
ổử
=-++ +-
ỗữỗữỗữỗữ
ỗữ
ốứốứốứốứốứ
x = 0 (y=
5). Vy cú 2 im tho YCBT: M
1
(0; 5), M
2
(0; 5).
Cõu 5. Trong mt phng Oxy, cho elip (E) cú hai tiờu im FF
12
(3;0);(3;0)
- v i qua im
A
1
3;
2
ổử
ỗữ
ốứ
. Lp phng trỡnh chớnh tc ca (E) v vi mi im M trờn elip, hóy tớnh biu
thc:
PFMFMOMFMFM
222
1212
3.=+ .
ã
(E):
xy
abab
22
2222
31
11
4
+=ị+=
, ab
22
3
=+
ị
xy
22
1
41
+=
ị
MMMMM
Paexaexxyaex
2222222
()()2()() 1
=+++-=
Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 23
Cõu 6. Trong mt phng to Oxy, cho elip (E): xy
22
41664
+=
. Gi F
2
l tiờu im bờn phi
ca (E). M l im bt kỡ trờn (E). Chng t rng t s khong cỏch t M ti tiờu im F
2
v
ti ng thng x
8
:
3
D
= cú giỏ tr khụng i.
ã
Ta cú: F
2
(12;0)
. Gi
MxyE
00
(;)()
ẻ
ị
x
MFaex
0
20
83
2
-
=-= ,
x
dMx
0
0
83
8
(,)
33
D
-
=-= (vỡ x
0
44
-ÊÊ
)
ị
MF
dM
2
3
(,)2
D
= (khụng i).
Cõu 7. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E): xy
22
51680
+=
v hai im A(5; 1),
B(1; 1). Mt im M di ng trờn (E). Tỡm giỏ tr ln nht ca din tớch DMAB.
ã
Phng trỡnh ng thng (AB):
xy
230
-+=
v AB
25
=
Gi MxyExy
22
0000
(;)()51680.
ẻị+= Ta cú:
xyxy
dMAB
0000
2323
(;)
145
-+-+
==
+
Din tớch
D
MAB: SABdMABxy
00
1
(;)23
2
==
p dng bt ng thc Bunhiacpxki cho 2 cp s
xy
00
11
;,(5;4)
2
5
ổử
-
ỗữ
ốứ
cú:
( )
xyxy
2
22
0000
11119
.5.4516.8036
25420
5
ổử
ổử
-Ê++==
ỗữ
ỗữ
ốứ
ốứ
xyxyxyxy
00000000
266263239239
-Ê-Ê-Ê-Ê-+Êị-+Ê
xy
xy
xy
xy
xy
00
00
00
00
54
58
11
max239
26
2
5
239
ỡ
=
ù
ỡ
=-
ù
ị-+=
-
ớớ
-=
ợ
ù
ù
-+=
ợ
x
y
0
0
8
3
5
3
ỡ
=
ù
ớ
ù
=-
ợ
Vy,
MAB
SkhiM
85
max9;
33
ổử
=-
ỗữ
ốứ
.
Cõu 8. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elớp
xy
E
22
():1
94
+=
v hai im A(3;2), B(3;
2) . Tỡm trờn (E) im C cú honh v tung dng sao cho tam giỏc ABC cú din tớch
ln nht.
ã
PT ng thng AB:
xy
230
+=
. Gi C(x; y)
ẻ
(E), vi
xy
0,0
>>
ị
xy
22
1
94
+=
.
ABC
xy
SABdCABxy
18585
.(,)233.
21332
213
==+=+
xy
22
85170
323
139413
ổử
Ê+=
ỗữ
ỗữ
ốứ
Du "=" xy ra
xy
x
xy
y
22
2
1
3
94
2
2
32
ỡ
ỡ
+=
ù
ùù
=
ớớ
ùù
=
=
ợ
ù
ợ
. Vy C
32
;2
2
ổử
ỗữ
ốứ
.
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 24
Cõu 9. Trong mt phng ta
Oxy
, cho elip
xy
E
22
():1
259
+=
v im
M
(1;1)
. Vit phng
trỡnh ng thng i qua
M
v ct elip ti hai im
AB
,
sao cho
M
l trung im ca
AB
.
ã
Nhn xột rng
MOx
ẽ
nờn ng thng
x
1
=
khụng ct elip ti hai im tha YCBT.
Xột ng thng
D
qua M(1; 1) cú PT:
ykx
(1)1
=-+
. To cỏc giao im
AB
,
ca
D
v
E
()
l nghim ca h:
xy
ykx
22
1(1)
259
(1)1(2)
ỡ
ù
+=
ớ
ù
=-+
ợ
ị
kxkkxkk
222
(259)50(1)25(29)0
+ + =
(3)
PT (3) luụn cú 2 nghim phõn bit
xx
12
,
vi mi
k
. Theo Viet:
kk
xx
k
12
2
50(1)
259
-
+=
+
.
Do ú
M
l trung im ca
AB
M
kk
xxxk
k
12
2
50(1)9
22
25
259
-
+===-
+
.
Vy PT ng thng
D
:
xy
925340
+-=
.
Cõu hi tng t:
a) Vi
xy
E
22
():1
94
+=
,
M
(1;1)
S:
xy
:49130
D
+-=
Cõu 10. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E):
xy
22
1
82
+=
. Tỡm im M ẻ (E) sao cho
M cú to nguyờn.
ã
Trc ht ta cú nhn xột: Nu im
xyE
(;)()
ẻ
thỡ cỏc im
xyxyxy
(;),(;),(;)
cng
thuc (E). Do ú ta ch cn xột im
MxyE
00
(;)()
ẻ vi
xyxyZ
0000
,0;,
ẻ
.
Ta cú:
xy
22
00
1
82
+=
ị
y
2
0
2
Ê
ị
y
0
02
ÊÊ
ị
yxloaùi
yx
00
00
022()
12
ộ
=ị=
ờ
=ị=
ờ
ở
ị
M
(2;1)
.
Vy cỏc im tho YCBT l:
(2;1),(2;1),(2;1),(2;1)
.
Cõu 11. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E):
xy
22
1
82
+=
. Tỡm im M ẻ (E) sao cho
tng hai to ca M cú giỏ tr ln nht (nh nht).
ã
Gi s
MxyE
(;)()
ẻ
ị
xy
22
1
82
+=
. p dng BT Bunhiacpxki, ta cú:
xy
xy
22
2
()(82)10
82
ổử
+Ê++=
ỗữ
ốứ
ị
xy
1010
-Ê+Ê .
+ xy
10
+Ê . Du "=" xy ra
xy
xy
82
10
ỡ
=
ù
ớ
ù
+=
ợ
M
41010
;
55
ổử
ỗữ
ốứ
.
+ xy
10
+- . Du "=" xy ra
xy
xy
82
10
ỡ
=
ù
ớ
ù
+=-
ợ
M
41010
;
55
ổử
ỗữ
ốứ
Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 25
Cõu 12. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E):
xy
22
1
93
+=
v im
A
(3;0)
. Tỡm trờn
(E) cỏc im B, C sao cho B, C i xng qua trc Ox v DABC l tam giỏc u.
ã
Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s
BxyCxy
0000
(;),(;)
- vi y
0
0
>
.
Ta cú:
xy
xy
22
22
00
00
139
93
+=+=
.
BCy
0
2
= v
BCxx
0
():
=
ị
dABCx
0
(,())3=-
Do
AOx
ẻ
, B v C i xng qua Ox nờn
D
ABC cõn tõ A
Suy ra:
D
ABC u
dABCBC
3
(,())
2
=
xy
00
33
-=
yx
22
00
3(3)
=-
ị
x
xx
x
22
0
00
0
0
(3)9
3
ộ
=
+-=
ờ
=
ở
.
+ Vi x
0
0
=
ị
y
0
3
=
ị
BC
(0;3),(0;3)
- . + Vi x
0
3
=
ị
y
0
0
=
(loi).
Vy: BC
(0;3),(0;3)
- .
Cõu 13. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E):
xy
22
1
94
+=
v cỏc ng thng
dmxny
1
:0
-=
, dnx+my
2
:0
=
, vi mn
22
0
+ạ
. Gi M, N l cỏc giao im ca
d
1
vi (E),
P, Q l cỏc giao im ca
d
2
vi (E). Tỡm iu kin i vi
mn
,
din tớch t giỏc MPNQ
t giỏ tr nh nht.
ã
PTTS ca
dd
12
,
l:
xnt
d
ymt
1
1
1
:
ỡ
=
ớ
=
ợ
,
xmt
d
ynt
2
2
2
:
ỡ
=-
ớ
=
ợ
.
+ M, N l cỏc giao im ca
d
1
v (E)
ị
nmnm
MN
mnmnmnmn
22222222
6666
;,;
94949494
ổửổử
ỗữỗữ
ỗữỗữ
++++
ốứốứ
+ P, Q l cỏc giao im ca
d
2
v (E)
ị
mnmn
PQ
mnmnmnmn
22222222
6666
;,;
49494949
ổửổử
ỗữỗữ
ỗữỗữ
++++
ốứốứ
+ Ta cú: MN
^
PQ ti trung im O ca mi ng nờn MPNQ l hỡnh thoi.
MPNQ
SSMNPQOMOP
1
.2.
2
====
MMPP
mn
xyxy
mnmn
22
2222
2222
72()
2.
(94)(49)
+
++=
++
p dng BT Cụ-si:
mnmn
mnmnmn
2222
222222
(94)(49)13
(94)(49)()
22
+++
++Ê=+
ị
mn
S
mn
22
22
72()144
13
13
()
2
+
=
+
. Du "=" xy ra
mnmnmn
2222
9449
+=+=
Vy: S
144
min
13
= khi
mn
=
.
Cõu 14. Trong mt phng vi h trc to Oxy, cho Hypebol (H) cú phng trỡnh:
xy
22
1
169
-=
.
