Khối lượng các boson chuẩn trong mô hình 3 3 1 tối thiểu (LV01960)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ THỊ LỊCH

KHỐI LƢỢNG CÁC BOSON CHUẨN
TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 TỐI THIỂU

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Hà Thanh Hùng

HÀ NỘI, 2016


LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô Phòng sau Đại học, các thầy cô
giáo trong Khoa Vật lý – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã quan tâm
giúp đỡ em trong quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Đặc biệt, em xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đối với
TS. Hà Thanh Hùng – người thầy đã tận tâm hướng dẫn em hoàn thành luận
văn này.
Xin cảm ơn sở GD&ĐT Hà Nội, ban giám hiệu trường THPT Tiền
Phong, các thầy cô trong tổ Vật lý – CN – TB đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp
đỡ cho tôi rất nhiều trong suốt quá trình tôi học tập và thực hiện luận văn
Cuối cùng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thân, gia đình, bạn
bè – những người đã luôn động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và
nghiên cứu.

Hà Nội, ngày 10 tháng 07 năm 2016
Người thực hiện

Lê Thị Lịch


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này
là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan
rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các
thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Tác giả luận văn

Lê Thị Lịch


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU……………………………………………………………

1

1. Lý do chọn đề tài………………………………………………..

1

2. Mục đích nghiên cứu……………………………………………

4

3. Nhiệm vụ nghiên cứu…………………………………………...

4

4. Đối tượng nghiên cứu…………………………………………...

4

5. Những đóng góp mới của đề tài…………………………………

4

6. Phương pháp nghiên cứu………………………………………..

4

NỘI DUNG………………………………………………………….

6

Chương 1. Mô hình 3-3-1 tối thiểu………………………………….

6

1.1. Tại sao phải nghiên cứu mô hình 3-3-1 tối thiểu……………...

6

1.2. Sắp xếp các hạt trong mô hình…………………………….......

10

1.3. Lagrangian của mô hình……………………………………….

13

Chương 2. Khối lượng các boson chuẩn trong mô hình 3-3-1 tối
thiểu…………………………………………………………………

16

2.1. Quy luật biến đổi của các trường chuẩn………………………

16

2.1.1 . Trường chuẩn cho các đa tuyến dạng cột…………………

16

2.1.2. Trường chuẩn cho các biểu diễn chính quy/phó…………..

23

thththiểu
2.2. Đạo hàm hiệp biến và số hạng khối lượng……………………

25

thiểu………………………………………………………………….
2.3. Khối lượng của các boson chuẩn……………………………...

28

Chương 3. Đóng góp của các boson chuẩn trong mô hình 3-3-1 tối
thiểu…………………………………………………………………

31

KẾT LUẬN…………………………………………………………

42

TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………..

43


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hạt cơ bản được ví như những viên gạch vi mô cấu tạo nên vật chất.
Hạt cơ bản có vai trò gì trong cuộc tìm kiếm cội nguồn của con người trong
vũ trụ nối quá khứ với tương lai, chúng ta từ đâu đến, là gì, về đâu,… đó là
những câu hỏi muôn thủa mà con người vẫn luôn tìm kiếm câu trả lời.
Sự hiểu biết về hạt cơ bản hay vũ trụ không phải là duy nhất mà luôn
thay đổi theo sự phát triển của thời đại và các nền văn hiến. Từ xa xưa người
ta coi kim, mộc, thủy, hỏa, thổ là năm thành phần sơ cấp cốt lõi của vật chất.
Mới chỉ cách đây hàng trăm năm phân tử vẫn được coi là hạt cơ bản cấu tạo
nên vật chất. Nhưng ngày nay, chúng ta đều biết phân tử chỉ là tập hợp của

nhiều nguyên tử khác nhau, mà mỗi nguyên tử lại được cấu tạo bởi hạt nhân
của nó với các electron dao động xung quanh, rồi hạt nhân cũng do proton và
neutron kết hợp với nhau tạo thành. Và mới đây khoa học lại phát hiện ra
proton và neutron là do hai quark u, d gắn kết bởi gluon cấu tạo nên. Cứ như
thế chuỗi dài của những vi hạt đi từ phân tử đến quark là cả một quá trình
khám phá bền bỉ, lý thuyết cùng thực nghiệm đan xen chặt chẽ.
Cùng với sự thay đổi trong hiểu biết về các hạt cơ bản thì nhận thức về
vũ trụ cũng biến đổi từ thuyết địa tâm trước thời Copernic, Galileo cho tới
thuyết Big Bang hiện đại. Để nghiên cứu được vũ trụ bắt đầu từ đâu, cấu tạo
ra sao và hình thành như thế nào đều phải dựa vào việc nghiên cứu ở thời
điểm ban đầu của vũ trụ, lúc mà chỉ có các hạt cơ bản và chỉ có một lực duy
nhất thống nhất cả bốn loại tương tác trong vũ trụ (tương tác mạnh, tương tác
yếu, tương tác điện từ và tương tác hấp dẫn). Vì vậy cần phải xây dựng một lý
thuyết thống nhất được cả bốn loại tương tác để tìm hiểu về bản chất của vật
chất trong vũ trụ.


2

Vào những năm đầu của thế kỷ 19, Maxwell là người đầu tiên thống
nhất được tương tác điện và tương tác từ vào một tương tác gọi là tương tác
điện từ. Vào năm 1961, Glashow đã thống nhất tương tác điện từ và tương tác
yếu, tuy nhiên ông vẫn chưa giải quyết được vấn đề khối lượng cho các boson
chuẩn. Đến năm 1967, Weinberg và Salam đã hoàn chỉnh vấn đề phát sinh
khối lượng cho các hạt sao cho vẫn đảm bảo được tính bất biến của
Lagrangian. Lý thuyết này được gọi là lý thuyết điện yếu dựa trên nhóm đối
xứng SU (2) L  U (1)Y . Kết hợp lý thuyết màu của tương tác mạnh SU (3)C với
lý thuyết điện yếu đã đưa ra mô hình chuẩn (SM) của vật lý hạt dựa trên nhóm
đối xứng SU  3C  SU (2)L  U (1)Y .
Mô hình chuẩn là lý thuyết diễn tả toàn vẹn và giải thích nhất quán

những đặc trưng của các hạt cơ bản cấu tạo nên vật chất dưới tác động của ba
trong bốn lực cơ bản trong tự nhiên: lực điện từ, lực hạt nhân mạnh và lực hạt
nhân yếu. Việc đưa ra được mô hình chuẩn của hạt cơ bản là một thành công
rất lớn của vật lý hiện đại cuối thế kỷ 20 (với khoảng 30 giải Nobel Vật lý
trong ba mươi năm gần đây ). Mô hình chuẩn đã mang lại cả một kho tàng tri
thức khoa học đồ sộ, tiên đoán nhiều hiện tượng và hạt mới lạ cũng như
những tính chất độc đáo của chúng mà sau đó đều được thực nghiệm kiểm
chứng với độ chính xác đáng kinh ngạc. Mô hình chuẩn đã tiên đoán tồn tại
hạt boson Higgs, hạt có vai trò giải thích tại sao các hạt vật chất và một số các
boson chuẩn lại có khối lượng thông qua cơ chế phá vỡ đối xứng tự phát.
Ngày 4 tháng 7 năm 2012, cơ quan CERN, phòng thí nghiệm châu Âu về vật
lý hạt đã thông báo phát hiện một hạt có những tính chất giống với boson
Higgs đã được tiên đoán trong mô hình chuẩn, và dường như đây chính là hạt
mà bấy lâu nay các nhà vật lý hạt săn lùng.
Tuy nhiên, bên cạnh những thành công, mô hình chuẩn vẫn còn nhiều
hạn chế. Trong mô hình chuẩn các neutrino được xem là có khối lượng bằng


3

không, nhưng thực nghiệm đã xác nhận các neutrino có khối lượng và có sự
dao động giữa các thế hệ. Mô hình chuẩn cũng không thể giải thích được tại
sao lại có ba thế hệ fermion trong tự nhiên. Và còn rất nhiều câu hỏi khác vẫn
chưa được trả lời bởi mô hình chuẩn. Đó là động lực để các nhà vật lý nghiên
cứu cũng như tìm kiếm vật lý mới ngoài mô hình chuẩn.
Những vấn đề tồn tại trong mô hình chuẩn như vấn đề khối lượng của
neutrino, vấn đề thế hệ hạt có thể được xử lý bằng cách thay đổi cấu trúc hạt
hay thay đổi các nhóm đối xứng. Khi thay đổi như vậy, những mô hình cải
tiến này có thể đưa ra những dự đoán cho các hiện tượng vật lý mới ngoài
thang điện yếu.

Một trong những xu hướng mở rộng mô hình chuẩn là các mô hình dựa
trên nhóm SU (3)C  SU (3) L  U (1) X (gọi là mô hình 3-3-1). Các mô hình 33-1 đã thừa kế những kết quả đạt được của mô hình chuẩn đồng thời tiếp tục
giải quyết các vấn đề còn tồn tại của mô hình chuẩn như: vấn đề về khối
lượng và sự dao động của hạt neutrino, vấn đề về thế hệ hạt, nguồn gốc tự
nhiên của khối lượng các hạt, sự mất đối xứng của vật chất và phản vật chất
trong vũ trụ...
Mô hình 3-3-1 có nhiều phiên bản khác nhau. Phiên bản đầu tiên là mô
hình 3-3-1 tối thiểu được đề xuất bởi F.Pisano. V.Pleitez và P.H.Frampton
đưa ra vào các năm 1992 [6]. Trong mô hình này, ta đưa lepton mang điện
phân cực phải vào đáy của ba tam tuyến lepton của nhóm SU (3) L . Mô hình
này đòi hỏi phải có ba tam tuyến và một lục tuyến vô hướng Higgs để thực
hiện phá vỡ đối xứng tự phát, sinh khối lượng cho các hạt. Việc đưa vào lục
tuyến Higgs giúp cho việc giải thích nguồn gốc khối lượng của các hạt một
cách rõ ràng.


4

Vì vậy, tôi lựa chọn nghiên cứu đề tài: “ Khối lượng các boson chuẩn
trong mô hình 3-3-1 tối thiểu” để có thể nghiên cứu rõ hơn về các boson
chuẩn, cũng như những đóng góp của chúng trong mô hình 3-3-1 tối thiểu.
2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu mô hình 3-3-1 tối thiểu.
- Tìm hiểu về khối lượng của các boson chuẩn trong mô hình 3-3-1 tối
thiểu.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tính được khối lượng của các boson chuẩn trong mô hình 3-3-1 tối
thiểu.
4. Đối tƣợng nghiên cứu
Các boson chuẩn trong mô hình 3-3-1 tối thiểu

5. Những đóng góp mới của đề tài
Đưa ra khối lượng của các boson chuẩn trong mô hình 3-3-1 tối thiểu
và các đóng góp của các boson chuẩn trong các quá trình rã Higgs.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp lý thuyết trường lượng tử.
- Phương pháp toán học sử dụng phần mềm Mathematica.


5

CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Nội dung luận văn được trình bày theo ba chương:
Chương 1: Mô hình 3-3-1 tối thiểu
Trong chương này tôi trình bày về vấn đề tại sao phải mở rộng mô hình
chuẩn, các đặc trưng của các mô hình 3-3-1 và đi sâu nghiên cứu về mô hình
3-3-1 tối thiểu. Tôi tìm hiểu sự sắp xếp hạt và Lagrangian của mô hình 3-3-1
tối thiểu.
Chương 1: Khối lượng các boson chuẩn trong mô hình 3-3-1 tối
thiểu.
Ở chương này, tôi trình bày về các quy luật biến đổi của các trường
chuẩn làm nền tảng lý thuyết để đi tìm đạo hàm hiệp biến của mô hình. Tính
đạo hàm hiệp biến và số hạng khối lượng. Từ số hạng khối lượng tính toán ra
khối lượng của các boson chuẩn trong mô hình.
Chương 3 C

ng g

n huẩn trong

ô hình 3-3-1 ối

hiểu
Trong chương này tôi tìm hiểu đóng góp của các boson chuẩn cho quá
trình rã Higgs thành hai photon. Tính bề rộng rã của quá trình rã H  


6

NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: MÔ HÌNH 3-3-1 TỐI THIỂU
1.1. Tại sao phải nghiên cứu mô hình 3-3-1 tối thiểu
Khám phá vĩ đại về tương tác yếu không bảo toàn chẵn lẻ đã dẫn đến
sự thiết lập lý thuyết V-A cho tương tác yếu mà ở đây bậc vi phạm đối xứng
chẵn lẻ lớn nhất. Chỉ các thành phần fermion trái nằm trong dòng mang điện,
vì vậy trong tương tác yếu cấu thành cơ bản là các trạng thái chiral không
khối lượng. Tiếp theo, Glashow đã đề xuất lý thuyết chuẩn thống nhất tương
tác điện từ và tương tác yếu với nhóm chuẩn SU  2L U 1Y trộn các trạng
thái chiral khác nhau không khối lượng này. Tuy nhiên, thực tế các hạt vật lý
có khối lượng hữu hạn và có vẻ vi phạm đối xứng chuẩn. Bế tắc đã được
Weinberg và Salam khắc phục bằng cách đưa vào phá vỡ đối xứng tự phát
(Lagrangian thì đối xứng với nhóm biến đổi chuẩn chỉ có các thành phần chân
không là không đối xứng), trong đó các hạt vật lý nhận khối lượng thông qua
tương tác với trường Higgs. Tiếp cận quan trọng đó đã không được ghi nhận
rộng rãi cho tới khi „t Hooft chứng tỏ được sự tái chuẩn hóa của các lý thuyết
chuẩn với phá vỡ đối xứng tự phát. Các vấn đề quan trọng và sự đúng đắn của
nó đã được thể hiện trong lý thuyết điện yếu mà ngày nay thường gọi là mẫu
Glashow-Weinberg-Salam (mô hình chuẩn).
Mô hình chuẩn thống nhất ba trong bốn tương tác được biết đến, đó là
tương tác điện từ, tương tác yếu và tương tác mạnh dựa trên mẫu chuẩn
SU  3C  SU  2 L U 1Y . Các dự đoán của mô hình chuẩn đã được kiểm

chứng trong các máy gia tốc với độ chính xác cao. Cho đến bây giờ, tất cả
những tiên đoán của mô hình chuẩn hoàn toàn phù hợp với thang năng lượng
nhỏ hơn 200GeV. Sự thành công của mô hình chuẩn đã được xác nhận vào


7

năm 1973 nhờ sự khám phá ra các tương tác neutrino dòng trung hòa trong thí
nghiệm Gargamelle tại CERN, Fermilab và nhiều thí nghiệm khác trong hơn
40 năm qua.
Tuy nhiên lý thuyết này cũng bộc lộ những hạn chế nhất định:


Trong mô hình chuẩn, hạt neutrino được cho là có khối lượng bằng

không. Tuy nhiên, tháng 6 năm 1998 vật lý neutrino trải qua cuộc thay đổi
cách mạng khi Super-Kamiokande công bố khám phá về dao động của
neutrino tia vũ trụ khi chúng di chuyển từ khí quyển Trái Đất đến máy thu đặt
trong mỏ Kamioka, Nhật Bản. Dấu hiệu về những dao động như vậy trong các
thực nghiệm về neutrino mặt trời và khí quyển nhanh chóng được ghi nhận.
Các kết quả thực nghiệm từ SNO cho ta một bức tranh rõ ràng về tính tự
nhiên của dao động neutrino phát ra từ mặt trời. Năm 2002, kết quả thực
nghiệm từ KamLAND và K2K xác nhận thêm về hiện tượng dao động của
neutrino với nguồn điều khiển. Khám phá về dao động của neutrino đã đặt các
neutrino khối lượng như một trong những cánh cửa của Vật lý nằm ngoài khả
năng dự đoán của mô hình chuẩn.


Sự lượng tử hóa điện tích: Một trong những bí ẩn cơ bản của tự nhiên là

điện tích quan sát được chỉ xuất hiện trong những đơn vị lượng tử bằng bội
nguyên lần điện tích nguyên tố. Nhiều lý thuyết đã được xây dựng để giải
thích sự lượng tử hóa điện tích. Lời giải đầu tiên là giả thuyết về đơn cực từ
của Dirac, tuy nhiên kể từ thời điểm đó các đơn cực từ vẫn chưa được tìm
thấy. Trong một thời gian dài người ta cho rằng sự xuất hiện của nhóm
Abelian U(1) như một phần của đối xứng mô hình chuẩn sẽ để các điện tích
của quark và lepton là bất kỳ. Phân tích gần đây trong mô hình chuẩn chỉ ra
rằng điều kiện khử dị thường và khối lượng fermion khác không dẫn tới lượng
tử hóa điện tích cho từng thế hệ. Tuy nhiên, sự lượng tử hóa điện tích không


8

xảy ra khi tính đến ba thế hệ fermion. Vậy là bài toán về sự lượng tử hóa điện
tích đã không thể được giải đáp trong mô hình chuẩn.


Tại sao lại có ba thế hệ fermion? Trong mô hình chuẩn, fermion được

sắp xếp theo từng thế hệ. Khi xây dựng lý thuyết ta chỉ cần làm với một thế
hệ, các thế hệ khác được thực hiện tương tự. Một câu hỏi tự nhiên: Tại sao
quark và lepton có cấu trúc lặp lại giữa các thế hệ? Bằng cách nào để hiểu về
mối liên hệ giữa các thế hệ? Thực nghiệm cho số thế hệ fermion xấp xỉ 3
( N gen  2,99  0,03 ), tại sao số thế hệ lại là 3? Những câu hỏi này là trung
tâm của vật lý tương tác yếu và gọi là bài toán thế hệ. Tiếp cận thú vị để giải
quyết bài toán là thông qua khử dị thường chiral, điều này sẽ đặt những ràng
buộc vào nội dung fermion. Tuy nhiên dị thường trong mô hình chuẩn được
khử trong mỗi thế hệ riêng biệt, không cần tính đến nhiều thế hệ. Vấn đề thế
hệ và các điều kiện khử dị thường không có bất kỳ liên hệ nào trong mô hình

chuẩn.


Mô hình chuẩn không giải thích được vì sao top quark có khối lượng

lớn đến cỡ 175GeV trong khi tiên đoán lý thuyết của mô hình chuẩn chỉ cỡ
10GeV, tại sao giữa các thế hệ fermion có sự phân bậc về khối lượng.
Năm 2001 đã đo được độ lệch của mô men từ dị thường của muon so
với tính toán lý thuyết của mô hình chuẩn. Điều này có thể là hiệu ứng vật lý
mới dựa trên các mô hình mở rộng. Vì vậy việc mở rộng mô hình chuẩn là sự
phát triển tự nhiên của lý thuyết một cách logic và mang tính thời sự cao.
Trong các mô hình mở rộng sẽ tồn tại các boson chuẩn mới có khối
lượng cỡ TeV ứng với sự vi phạm số lepton và baryon. Có nhiều hướng mở
rộng mô hình chuẩn:
 Mở rộng đối xứng chuẩn.
 Mở rộng đối xứng không, thời gian.
 Mở rộng phổ hạt.


9

Một trong những mô hình mở rộng được quan tâm nhiều nhất là các mô
hình 3-3-1. Mô hình 3-3-1 là lý thuyết chuẩn dựa trên mẫu chuẩn
SU  3C  SU  3 L  U 1 X . Mô hình 3-3-1 được chú ý nhiều bởi vì chúng

giải quyết được những vấn đề ở thang năng lượng lớn hơn 200GeV và giải
thích được những vấn đề vượt khỏi khả năng tiên đoán của lý thuyết trường
chuẩn. Một điều thú vị là trong mô hình 3-3-1 sự khử dị thường chỉ xảy ra
giữa các thế hệ và không giống như mô hình chuẩn cho từng thế hệ. Mỗi thế
hệ riêng biệt có các dị thường  3L  ,  3L  X , X 3 và

3

 gravion 

2

2

X không triệt

tiêu. Chỉ khi số thế hệ bằng số màu thì dị thường toàn phần bị triệt tiêu. Trong
trường hợp tổng quát ta có thể chứng tỏ rằng để khử các dị thường thì số thế
hệ phải bằng bội nguyên lần số màu. Mặt khác nguyên lý tiệm cận tự do yêu
cầu số thế hệ phải nhỏ hơn hoặc bằng 5. Vậy số thế hệ fermion phải bằng 3.
Như vậy các mô hình 3-3-1 đã cung cấp một bước cơ bản trong việc đi
tìm lời giải cho bài toán thế hệ fermion. Một kết quả thú vị khác là sự lượng
tử hóa điện tích trong mô hình 3-3-1 như là một hệ quả tự động của nội dung
fermion. Đặt một thế hệ quark biến đổi khác so với các thế hệ còn lại phá vỡ
cấu trúc lặp lại trong mô hình chuẩn. Điều này giải thích tại sao top-quark rất
nặng so với dự đoán của mô hình chuẩn.
Bằng việc mở rộng nhóm đối xứng chuẩn, các mô hình 3-3-1 đã giải
thích tốt được các vấn đề còn tồn đọng trong mô hình chuẩn. Hơn nữa mô
hình 3-3-1 cũng giải quyết tốt tất cả các vấn đề mà mô hình chuẩn đã thành
công.
Có nhiều phiên bản của mô hình 3-3-1. Phiên bản đầu tiên là mô hình
3-3-1 tối thiểu (M331) được F.Pisano, V.Pleitez, P.H.Frampton đưa ra năm
1992. Ở mô hình này lưỡng tuyến neutrino-lepton  vi , li  L được thống nhất
T

với đơn tuyến lepton liLC thành một tam tuyến

v ,l ,l 
i

i

C
i

T
L

của nhóm SU  3 L .


10

Đặc trưng của mô hình này là không có các lepton ngoại lai và để phá vỡ đối
xứng tự phát cần đến ba tam tuyến và một lục tuyến vô hướng Higgs. Phiên
bản thứ hai là mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải được H.N.Long,
R.Foot, Tuan A.Tran đề xuất năm 1994 [11]. Mô hình này thêm vào lưỡng
tuyến neutrino-lepton  vi , li  L một neutrino phân cực phải viC . Vì vậy lưỡng
T

tuyến của nhóm SU  2  L trở thành tam tuyến  vi , li , viC  L .
T

Ngoài ra còn nhiều phiên bản của mô hình 3-3-1 khác nữa như: mô
hình 3-3-1 với lepton ngoại lai, mô hình 3-3-1 tiết kiệm với hai tam tuyến
Higgs, mô hình 3-3-1 tiết kiệm siêu đối xứng. Gần đây nhất, vào tháng 9 năm

2011, J. G. Ferreira Jr, P. R. D. Pinheiro, C. A. de S.Pires, P. S. Rodrigues da
Silva đã cải tiến mô hình 3-3-1 tối thiểu thành mô hình 3-3-1 tối thiểu rút gọn
(RM331) chỉ với hai tam tuyến Higgs.
Đặc biệt với mô hình 3-3-1 tối thiểu đã kế thừa được những thành công
của mô hình chuẩn và giải quyết được các vấn đề còn tồn đọng trong mô hình
chuẩn một cách trọn vẹn nhất, đồng thời cũng giải quyết tốt được vấn đề về
vật chất tối.
1.2. Sắp xếp các hạt trong mô hình 3-3-1 tối thiểu
Mô hình 3-3-1 là lý thuyết chuẩn dựa trên mẫu chuẩn
SU  3C  SU  3L  U 1 X . Toán tử điện tích được định nghĩa trong mô hình

3-3-1 như sau:

1.1

Q  T3  T8  XI

ở đây, T3 và T8 là hai vi tử có dạng ch o trong tổng số tám vi tử của nhóm
SU (3) , thỏa mãn hệ thức:

Ti ,Tj   ifi , j ,kTk

I là ma trận đơn vị cấp 3

i, j, k  1..8


11

X là ký hiệu tích của nhóm U 1 trước khi phá vỡ đối xứng.

Toán tử điện tích xác định điện tích các trường được sắp xếp trong mỗi biểu
diễn, tương ứng các đa tuyến và phụ thuộc vào  . Nếu chọn    3 tương
ứng với mô hình 3-3-1 tối thiểu [6].
Trong mô hình 3-3-1 tối thiểu có thêm năm boson chuẩn ngoài các
boson chuẩn của mô hình chuẩn. Đó là: một boson trung hòa Z’ và bốn
bilepton nặng tích điện đôi Y  ,V  với số lepton L  2 . Các lepton được sắp
xếp theo ba thế hệ, các thành phần trái là các tam tuyến của SU  3 L , còn các
thành phần phải là các đơn tuyến của SU  3 L . Phần đáy của tam tuyến là
lepton mang điện phân cực phải.

 aL   a la lac L

1,3,0

T

laR

1,1, 1 ,

laRc

(1.2)

1,1,1

1.3

ở đây: a  1,2,3 là chỉ số thế hệ lepton, la là liên hợp điện tích của trường la ,
c

la :  e,  ,  .
Hai trong số ba thế hệ của quark biến đổi như các phản tam tuyến của
nhóm SU  3 L còn thế hệ quark thứ 3 được xếp vào tam tuyến của nhóm
SU  3 L :

QmL   d m um jm  L
T

Q3 L   d3 u3 J  L
T

 * 1
 3,3 ,   ,
3

2

 3,3, 
3


trong đó m = 1,2
u R

2

 3,1,  ,
3


d R

1

 3,1,  
3


1.4 


12

JR

5

 3,1,  ,
3


jmR

4

 3,1,  
3


1.5

ở đây   1,2,3 ; j1 , j2 và J là các quark ngoại lai với điện tích tương ứng là
4
4 5
 ,  , theo thang của đơn vị điện tích dương.
3
3 3

Trong mô hình này, để phá vỡ đối xứng tự phát và sinh khối cho các
hạt người ta cần đến ba tam tuyến Higgs và một lục tuyến Higgs:

1,3,0 ,

  ( 0 1 2 )T
      0   

T

        0 

T

  10

S   h2
 h
 1

h2

H1

 20

1,3,1 ,

1,3, 1.



 20 
H 2  

h1

(1.6)

1,6 ,0 .
*

ở đây trong dấu ngoặc đơn tương ứng lần lượt là các số lượng tử của biểu diễn
SU  3C và SU  3 L và điện tích U 1 X .

Chúng ta có các giá trị trung bình chân không (VEV):


13





 




u 
2

0 ,
0 





 







 






0 

0 ,
 

2


0

S   0

0



0 
v 
2
0 

0 

k 
2

0 


0

0
k
2

Để phù hợp với các dữ liệu thực nghiệm, chúng ta cần điều kiện [6].

u 2  v 2  k 2  vW2
với vW là giá trị trung bình chân không của trường Higgs trong mô hình
chuẩn.
Phá vỡ đối xứng tự phát xảy ra theo sơ đồ sau [1]:
SU C  3  SU L  3  U X 1
 
SU C  3  SU L  2   U Y 1
  ,
SU C  3  U em 1

Sau khi phá vỡ đối xứng, kết quả thu được một tập hợp các boson
chuẩn: tương ứng với mô hình chuẩn A, Z và W  và các boson chuẩn mới
Z , V  và Y . Chúng được biểu diễn như là một sự kết hợp tuyến tính của

các trường chuẩn W a  a  1..8 và B như sau [5]:
W 


W1 iW2
2

, V 


W4  iW5
2

, Y 


W6  iW7
2

,


14

A  h  t 

1/2

Z

h  t 

Z 

f t 

Với t 





 W3  3W8 t  B  ,



1/2

1/2

 f  t 1/2 W3  f  t 1/2






3t 2W8  tB  ,


W8  3tB  ,



g
, ta đặt h  t   1  4t 2 và f  t   1  3t 2 .
g

1.3. Lag angian của

h nh

Trong mô hình 3-3-1 tối thiểu, Lagrangian tổng quát của mô hình được
đưa ra như sau:

1
Ltot   Fi  D F    D  S   D S   Gi Gi
4
1
1
 Ai Ai  B B   LY  V
4
4

1.7 

với:
D     ig stiGi  igTi Ai  ig x

X
B
6

Gi    Gi   Gi  g s f ijk G j Gk
Ai    Ai   Ai  gf ijk Aj Ak
B    B   B

 Fi  D F

là tương tác của các lepton với các boson chuẩn, với   là các

ma trận Dirac.

  D  S   D S 


là tương tác của các boson chuẩn với các vô hướng của mô

hình.
Gi Gi là tự tương tác của các trường chuẩn của nhóm SU  3C
Ai Ai là tự tương tác của các trường chuẩn của nhóm SU  3 L
B B  là tự tương tác của các trường chuẩn của nhóm U 1 X


15

LY là tương tác Yukawa
V là thế Higgs tổng cộng của mô hình được cho bởi công thức sau:
2
V  ,  ,  , S   VT   42Tr  S  S   10Tr 2  S  S   11Tr  S  S  



 12     13       14       Tr  S  S 


1
f 2 i  j S ij  H .c 

2

ở đây VT được cho bởi công thức sau:
VT  ,  ,    12    22     32     1     2       3     
2

2

2

    4       5        6           7       
f

 8         9            1  ijki  j  k  H .c. 
2


Với các i , i , f1 , f 2 là các hệ số tương tác
Trong chương này, chúng tôi đã trình bày những hạn chế của mô hình
chuẩn và sự cần thiết phải mở rộng mô hình chuẩn. Trong các mô hình mở
rộng chúng tôi đã đi sâu vào tìm hiểu mô hình 3-3-1 tối thiểu, qua đó chỉ ra
sự sắp xếp các hạt trong mô hình, Lagrangian tổng quát của mô hình.


16

CHƢƠNG 2: KHỐI LƢỢNG CÁC BOSON CHUẨN TRONG
MÔ HÌNH 3-3-1 TỐI THIỂU
2.1. Quy luật biến đổi của các t ƣờng chuẩn
2.1.1. Trường chuẩn h

uyến dạng cột

Giả sử ta có nhóm G với n vi tử I a , a  1,2,...n. Giả sử ta có p-tuyến

 i , i  1,2,... p thực hiện biểu diễn p-chiều. Nếu ta thực hiện phép biến đổi:



 ig
t
 i  x   i  x   e    x 
a

a a



 2.1

i

trong đó t a là ma trận p  p thỏa mãn các hệ thức như các vi tử của nhóm

 I , I   if
t , t   if
a

a

b

b

I,

abc c

t

abc c

trong đó a là số thực bất kỳ không phụ thuộc vào tọa độ thì ta gọi là phép
biến đổi toàn cục. Ngược lại, nếu a phụ thuộc vào tọa độ a  a  x  thì ta
gọi là phép biến đổi chuẩn định xứ.



 ig
  x t
 i  x   i  x   e 
  x
a

a

a



i

 2.2

Vì biến đổi unita, nên ta  ta , và g , a thực. Phép biến đổi chuẩn định xứ
(2.2) là hợp lý hơn vì tại mỗi điểm khác nhau, các pha sẽ khác nhau.
Để cụ thể, ta xét một số trường hợp điển hình sau, trường hợp điện
động lực học lượng tử (QED) và trường hợp với nhóm đối xứng là SU(m).
Trong trường hợp thứ nhất, nhóm G là nhóm U 1Q u

 i  x   i x   eigq x  x 

 2.3

trong đó q là điện tích (trong đơn vị điện tích của proton) của trường  , còn g
là hằng số tương tác điện từ.


17

Ở trường hợp thứ hai, nhóm G là nhóm SU(m) ta có số vi tử là n  m2  1, các
vi tử là I1 , I 2 ,...I m 1 . Do trong Lagrangian tự do luôn chứa số hạng động năng,
2

tức là có đạo hàm, nên nó sẽ không bất biến với phép biến đổi chuẩn định xứ.
Để khôi phục lại tính bất biến của Lagrangian, nghĩa là tìm đại lượng mới bất
biến dưới phép biến đổi chuẩn định xứ, ta làm từng bước như sau. Thay đạo
hàm thường   trong Lagrangian tự do bởi đạo hàm hiệp biến và đại lượng
thu được gọi là Lagrangian tổng quát.

 2.4

D     igta Aa

D i  x     i  x   igAa  x   ta  x  i

 2.5

trong đó A a là trường vector thực có tên gọi là trường chuẩn.
Theo công thức (2.4), nếu một trường là đơn tuyến (có ta  0 ) sẽ không tương
tác với trường chuẩn và các trường khác, ngoại trừ có tương tác Yukawa. Từ
công thức (2.5), ta thấy số trường chuẩn bằng số vi tử của nhóm:

Aa , a  1,2,...n . Nếu đạo hàm hiệp biến biến đổi như toán tử trường thì
Lagrangian tổng quát sẽ bất biến. Vì vậy ta đòi hỏi các trường chuẩn phải
biến đổi thế nào đó sao cho đạo hàm hiệp biến của trường biến đổi như
trường, nghĩa là:
 ig
  x t
D  x    D  x    e 
D  x 
a

a

a

 2.6

Từ đây ta có quy luật biến đổi của trường chuẩn

A  x   S  x  A  x  S 1  x  
trong đó:
n

A  x    A a  x  ta ,
a 1

  x t
S  x  e 
 ig

a

a

a

i
S  x    S 1  x 
g

 2.7 


18

Thực vậy

   x   S  x 
  x   S 

 i  S      igA  S   i      igA 
Cân bằng hai vế ta có:
i 
S  S,
g
i
A  SA S      S  S 
g

A  S  A S 

Nếu biến đổi chuẩn là cực vi ( a vô cùng bé), ta có:
A a  Aa   a  x   gf abcb  x  Ac  x   Aa

 2.8

Tóm lại: với việc thay đạo hàm thông thường bằng đạo hàm hiệp biến,
Lagrangian thu được sẽ bất biến với phép biến đổi chuẩn định xứ.
Ta định nghĩa tensor cường độ trường chuẩn
Fa  D Aa  D Aa
   Aa  x    Aa  x   gfbca Ab  x  A c  x 

 2.9 

Khi đó ta có công thức biến đổi cho F   a Fa ta như sau:

F  a Fa ta    A   A  ig  A A  A A 

 2.10

Dễ dàng kiểm tra thấy rằng
F  SF S 1

Như vậy tổ hợp sau là bất biến chuẩn

F a Fa

Tr  F  x  F   x  in

Do vậy, Lagrangian cho trường chuẩn được chọn như sau

1
1
Lgauge   F a  x  Fa  x    Tr  F  x  F   x 
4
4
Lưu ý rằng chỉ có vết trong (2.11) mới có tính bất biến.

 2.11


19

Tóm lại, với các quy luật biến đổi của trường chúng ta thu được các kết
quả quan trọng sau:
Do số hạng khối lượng m2 A A không bất biến chuẩn nên các trường
chuẩn không có khối lượng.
Vì các đại lượng vật lý đo được đều phụ thuộc vào bình phương của
hằng số tương tác ( g 2 ) nên ta có thể thay g bởi -g

Trường chuẩn là trường vector, và cách ta đưa vào đạo hàm hiệp biến
như trong (2.5) là đơn giản nhất. Trước đây cũng có những phương án xây
dựng lý thuyết có đối xứng chuẩn mà không chứa trường chuẩn. Tuy nhiên
các phương án đó đều mâu thuẫn.
Từ công thức (2.9) và (2.11) ta thấy: Trong các lý thuyết giao hoán như
QED không tồn tại các số hạng tương tác bậc ba, bậc bốn hoặc cao hơn. Các
số hạng tương tác bậc cao chỉ có trong các lý thuyết chuẩn không giao hoán
với hằng số cấu trúc nhóm khác không.
Bất biến toàn cục chỉ cần quan tâm đến kết quả đầu và kết quả cuối của
phép biến đổi mà không cần quan tâm đến cách thức biến đổi. Còn bất biến
chuẩn đòi hỏi phải quan tâm đến cách thức biến đổi.
Cụ thể ta xét quy luật biến đổi của lý thuyết QED và lý thuyết QCD:
Trong lý thuyết điện động lực học lượng tử (QED), nhóm chuẩn G là
nhóm U 1Q .
Nếu trường vật chất là trường spinor (điện động lực học lượng tử spinor)

   x   eigq x   x   B  x 
với

B  eigq x 

   x     x  B
trong đó q là điện tích của trường  , còn g là hằng số tương tác điện từ.
Đạo hàm hiệp biến


20

D  x      x   igqA  x   x 

 2.12

Lagrangian tự do của trường Dirac có dạng
LD0  i  x       x   m  x   x 

 2.13

Ph p thay đạo hàm thường bằng đạo hàm hiệp biến trong (2.12) cho ta
Lagrangian toàn phần bất biến
LDtot  i  x    D  x   m  x   x 
 i  x       x   m  x   x   gq  x     x  A  x 

 2.14 

 LD0  LQED
int

trong đó ta ký hiệu Lagrangian tương tác giữa photon với trường spinor
LQED
 gq  x     x  A  x 
int

 2.15

Tương tác thu được bằng cách thay đạo hàm thường bằng đạo hiệp biến được
gọi là tương tác tối thiểu.
Nếu trường vật chất là trường vô hướng (điện động lực học lượng tử vô
hướng).
Chỉ có trường vô hướng phức mới tương tác với photon

   x   eigq x   x  ,
trong đó q là điện tích của trường  . Đạo hàm hiệp biến
D  x      x   igqA  x   x 

 2.16

Ph p thay đạo hàm thường bằng đạo hàm hiệp biến trong Lagrangian tự do
cho ta:
LStot   D  x   D   x   m 2 *
*

   *  x     x   m2 *
 igqA  *     *   g 2 q 2 A A *

 2.17 


21

Trong điện động lực học vô hướng có tương tác bậc ba và bậc bốn. Tuy nhiên
các tương tác này đều có chỉ số đỉnh bằng không. Các hiện tượng điện từ
được mô tả bởi hai Lagrangian (2.14) và (2.17) với độ chính xác rất cao.
Với lý thuyết sắc động lực học lượng tử (QCD), nhóm chuẩn G là
nhóm SU  3C .
 r 
 
    b  ,
 
 g

trong đó: chỉ số màu   r , b, g
Đạo hàm hiệp biến có dạng:

D   x       x   ig S Ga ta  x   , ta 

a
2

a là ma trận Gell-Mann. Tám trường chuẩn Ga  x  ,

 2.18
 a  1,2,...8

là các

gluon.
Lagrangian tự do của các quark màu là
LD0QCD  i   x        x   m   x    x 

 2.19

Sau khi thay đạo hàm hiệp biến và Lagrangian ta thu được tương tác của các
quark mà với gluon
gS


  x     a      x  Ga  x 
2
g
 S  r , b , g   

2
 G3  G 8 / 3
2G r b
2G r g   r 

 

2G rb
G3  G 8 / 3
2G b g   b 

  
rg
bg
8

 g 
2
G
2
G

2
G
/
3



LQCD


int

trong đó:  ,   red , brown, green

 2.20 