Tài liệu tham khảo ôn thi vào lớp 10 – môn toán

Tài liệu tham khảo

ôn tập thi vào lớp 10
Phần 1: Các loại bài tập về biểu thức
Bài 1: Cho biểu thức : P = a + 2
a +3

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P<1


Bài 2: Cho biểu thức: P= 1


a) Rút gọn P
b)Tìm giá trị của a để P<0

1
5
+
a+ a 6 2 a

x x +3
x +2
x +2
:

+
+
x + 1 x 2 3 x x 5 x + 6

x 1
1
8 x 3 x 2
: 1


+


3 x 1 3 x + 1 9x 1 3 x + 1

Bài 3: Cho biểu thức: P=
a) Rút gọn P

6
5


a 1
2 a
:


Bài 4: Cho biểu thức P= 1 +



a + 1 a 1 a a + a a 1

b) Tìm các giá trị của x để P=

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P<1
c) Tìm giá trị của P nếu a = 19 8 3
a (1 a ) 2
1+ a

Bài 5: Cho biểu thức: P=

1 a 3
1 + a3



:
+ a .
a
1+ a

1 a



a) Rút gọn P
1
b) Xét dấu của biểu thức M=a.(P- )
2

x +1
2x + x
x +1
2x + x

+
1 : 1 +


2
x
+
1
2
x

1
2
x
+
1
2
x

1

Bài 6: Cho biểu thức: P =
a) Rút gọn P

(

1
b) Tính giá trị của P khi x = . 3 + 2 2
2


2 x

x x + x x 1

Bài 7: Cho biểu thức: P=
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P 0

)
1
x
: 1 +

x + 1
x 1


2a + 1

1 + a3
a


.

a
Bài 8: Cho biểu thức: P= 3



a
+
a
+
1
1
+
a
a



a) Rút gọn P
b) Xét dấu của biểu thức P. 1 a

1

x+2
x +1
x +1
.
+

Bài 9: Cho biểu thức P= 1 :

x x 1 x + x +1 x 1
a) Rút gọn P
b) So sánh P với 3

Bài 10: Cho biểu thức :

1 a a
1 + a a

+ a .
a
1 a
1+ a


P=

a) Rút gọn P
b) Tìm a để P< 7 4 3

2 x
x
3x + 3 2 x 2
:
+

1
Bài 11: Cho biểu thức: P=
x 3 x 9 x 3
x +3

a) Rút gọn P
b) Tìm x để P<

1
2

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 12: Cho biểu thức:

x3 x
9 x
x 3
1 :


x9
x+ x 6 2 x

P=

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P<1

x 2

x + 3

Bài 13: Cho biểu thức : P= 15 x 11 + 3 x 2 2 x + 3
x+2 x 3

a) Rút gọn P

b) Tìm các giá trị của x để P=
c) Chứng minh P

1 x

x +3

1
2

2
3

Bài 14: Cho biểu thức:

P= 2 x +

x +m

x
m2

2
x m 4 x 4m

với m>0

a) Rút gọn P
b) Tính x theo m để P=0.
c) Xác định các giá trị của m để x tìm đợc ở câu b thoả mãn điều kiện x>1
2
Bài 15: Cho biểu thức P= a + a 2a + a + 1

a)
b)
c)
d)

a a +1

Rút gọn P
Biết a>1 Hãy so sánh P với
Tìm a để P=2
Tìm giá trị nhỏ nhất của P


a +1

a

P

+
Bài 16: Cho biểu thức P=
ab + 1
a) Rút gọn P

a +1

ab + a
ab + a
1 :

+ 1
ab 1
ab 1
ab + 1


b) Tính giá trị của P nếu a= 2 3 và b= 3 1
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu
Bài 17: Cho biểu thức :

P=

1+ 3
a+ b=4

a a 1 a a +1
1 a + 1
a 1


+ a
+

a a
a+ a
a a 1
a + 1

a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của a thì P=7

2


c) Với giá trị nào của a thì P>6
Bài 18: Cho biểu thức:



P= a 1
2 a
2

a) Rút gọn P

b) Tìm các giá trị của a để P<0
c) Tìm các giá trị của a để P=-2
Bài 19: Cho biểu thức

P= (

)

2

a 1
a +1



a +1

a

1



2

a b + 4 ab a b b a
.
a+ b
ab

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Rút gọn P
c) Tính giá trị của P khi a= 2 3 và b= 3

x+2
x
1
:
+
+

x
x

1
x
+
x
+
1
1

x



a) Rút gọn P
b) Chứng minh rằng P>0

x 1

2 x + x

Bài 21: Cho biểu thức : P=
x
x

1


a) Rút gọn P
b) Tính P khi x= 5 + 2 3

Bài 22: Cho biểu thức

1
x +2
: 1

x 1 x + x + 1

3x


1

2
1
2

:

+

P= 1 :
2+ x 4 x 42 x 42 x





a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P=20
Bài 23: Cho biểu thức :
a) Rút gọn P
b) Chứng minh P 0

x 1
2

P=

Bài 20: Cho biểu thức :

x y
+
P=
x y

1

x3 y 3
yx

3 ab


:





(

)

2

x y + xy
x+ y

1

3 ab



a b

.
:
+

Bài 24: Cho biểu thức P=



a + b a a + b b a b a a b b a + ab + b
a) Rút gọn P
b) Tính P khi a=16 và b=4
2a + a 1 2a a a + a a a
.

2 a 1
1

a
1

a
a



P= 1 +

Bài 25: Cho biểu thức:
a) Rút gọn P
b) Cho P=

6
1+ 6

tìm giá trị của a

c) Chứng minh rằng P>

Bài 26: Cho biểu thức:

2
3
x5 x

25 x
1 :

x 25
x + 2 x 15

P=

a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của x thì P<1

x +3
+

x +5

x 5

x 3

3


(

)

( a 1). a b
3 a
3a
1
:

+
a b 2a + 2 ab + 2b
a + ab + b a a b b


P=

Bài 27: Cho biểu thức

a) Rút gọn P
b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên

1
1 a +1
a + 2



:
a a 2
a 1
a 1


Bài 28: Cho biểu thức

P=

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P>
Bài 29: Cho biểu thức:

1
6

1
1
2
1
.
+ +

P= +

y x+ y x
x

1
:
y

x3 + y x + x y + y 3
x 3 y + xy 3

a) Rút gọn P
b) Cho x.y=16. Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất
Bài 30: Cho biểu thức :

P=

x3
2x
1 x

.
xy 2 y x + x 2 xy 2 y 1 x

a) Rút gọn P
b) Tìm tất cả các số nguyên dơng x để y=625 và P<0,2

Bài tập rút gọn

Bài 31 :
1) Đơn giản biểu thức :
2) Cho biểu thức :

P=

Q=

14 + 6 5 + 14 6 5 .

x +2
x 2 x +1


ữ
ữ. x
x + 2 x +1 x 1

a) Rút gọn biểu thức Q.
b) Tìm x để Q > - Q.
c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên.
1. P = 6
2. a) ĐKXĐ : x > 0 ; x

Hớng dẫn :


1. Biểu thức rút gọn : Q =

b) Q > - Q x > 1.

c) x = { 2;3} thì Q Z
1

2
.
x 1

x

+
Bài 32 : Cho biểu thức P =
x +1
x x
a) Rút gọn biểu thức sau P.
1
b) Tính giá trị của biểu thức P khi x =
.
2

Hớng dẫn :
4


a) ĐKXĐ : x > 0 ; x
b) Với x =

1
2

1. Biểu thức rút gọn : P =

thì P = - 3 2

Bài 33 : Cho biểu thức : A =

x +1
.
1 x

2.
x x +1 x 1

x 1
x +1

a) Rút gọn biểu thức sau A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 1
4
c) Tìm x để A < 0.
d) Tìm x để A = A.
Hớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x



0, x

x
.
x 1

1. Biểu thức rút gọn : A =

b) Với x = 1 thì A = - 1.
4
c) Với 0 x < 1 thì A < 0.
d) Với x > 1 thì A = A.

Bài 34 : Cho biểu thức : A =

1
3
1
+

ữ 1
ữ
a + 3
a
a 3

a) Rút gọn biểu thức sau A.
b) Xác định a để biểu thức A >

1
.

2

Hớng dẫn :
a) ĐKXĐ : a > 0 và a 9. Biểu thức rút gọn : A =

2
a +3

.

1
.
2
x + 1 x 1 x 2 4x 1 x + 2003

+
A=
.
ữ.
x2 1
x
x 1 x +1

b) Với 0 < a < 1 thì biểu thức A >
Bài 35 : Cho biểu thức:

1) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa.
2) Rút gọn A.
3) Với x Z ? để A Z ?
Hớng dẫn :

a) ĐKXĐ : x 0 ; x 1.
b) Biểu thức rút gọn : A = x + 2003 với x 0 ; x
x

c) x = - 2003 ; 2003 thì A Z .
Bài 36 : Cho biểu thức:
a) Rút gọn A.

A=



1.

(

x x 1 x x +1 2 x 2 x +1


ữ:
x 1
x+ x ữ
x x


).
5


b) Tìm x để A < 0.

c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.
Hớng dẫn :
x +1

a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : A =
b) Với 0 < x < 1 thì A < 0.
c) x = { 4;9} thì A Z.
Bài 37 : Cho biểu thức:

A=

x 1

.

x+2
x
1 x 1
+
+
:

ữ
ữ
2
x
x

1
x

+
x
+
1
1

x



a) Rút gọn biểu thức A.
b) Chứng minh rằng: 0 < A < 2.

Hớng dẫn :
2

a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : A = x + x + 1
b) Ta xét hai trờng hợp :
2
+) A > 0
> 0 luôn đúng với x > 0 ; x 1 (1)
x + x +1
2

+) A < 2
< 2 2( x + x + 1 ) > 2
x + x +1
0. (2)
Từ (1) và (2) suy ra 0 < A < 2(đpcm).
Bài 38 : Cho biểu thức: P =

a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P với a = 9.

a +3
a 2



a 1
a +2

+

4 a 4
4a

Hớng dẫn :
a) ĐKXĐ : a 0, a 4. Biểu thức rút gọn : P =
b) Ta thấy a = 9 ĐKXĐ . Suy ra P = 4
Bài 39 : Cho biểu thức:

N=

1) Rút gọn biểu thức N.
2) Tìm giá trị của a để N = -2004.

> 0 đúng vì theo gt thì x >

x+ x

(a



0; a



4)

4
a 2

a + a a a
1 +
ữ 1
ữ
a + 1 ữ
a 1 ữ



Hớng dẫn :
a) ĐKXĐ : a 0, a 1. Biểu thức rút gọn : N = 1 a .
b) Ta thấy a = - 2004 ĐKXĐ . Suy ra N = 2005.
Bài 40 : Cho biểu thức

P=

x x + 26 x 19

2 x

+
x+2 x 3
x 1

x 3
x +3

a. Rút gọn P.
b. Tính giá trị của P khi x = 7 4 3
c. Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất
6


®ã.

Híng dÉn :

a ) §KX§ : x
b) Ta thÊy

≥

x =7−4 3 ∈

§KX§ . Suy ra

c) Pmin=4 khi x=4.
Bµi 41 : Cho biÓu thøc

 2 x
P = 
+
 x +3

a. Rót gän P.
cña P.
a. ) §KX§ : x

≥

x + 16
x +3
103 + 3 3
P=
22

0, x ≠ 1. BiÓu thøc rót gän :

x
x +3

b. T×m x ®Ó

−

P=

3x + 3   2 x − 2 

:
− 1
x − 9   x − 3


P<−

1
2

c. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt

Híng dÉn :

0, x ≠ 9. BiÓu thøc rót gän :

P=

−3
x +3

b. Víi 0 ≤ x < 9 th× P < − 1
2
c. Pmin= -1 khi x = 0
Bµi 42: Cho A=

 a +1

a −1
1 

−
+4 a÷
. a +

÷
÷
a +1
a
 a −1


a. Rót gän A
b. TÝnh A víi a =

( 4+

)(

15 .

)(

10 − 6 .

4 − 15

( KQ : A= 4a )
Bµi 43: Cho A=

víi x>0 ,x ≠ 1

)

 x −3 x   9− x
x −3
x −2
− 1÷
:
+
−


÷
÷  x+ x −6
x −2
x +3÷
 x−9
 


víi x ≥ 0 , x ≠ 9, x ≠ 4 .

a. Rót gän A.
b. x= ? Th× A < 1.
c. T×m x ∈ Z ®Ó A ∈ Z

(KQ : A=
Bµi 44: Cho A =

15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3

+
−
x + 2 x − 3 1− x
x +3

3
)
x −2

víi x ≥ 0 , x ≠ 1.

a. Rót gän A.
b. T×m GTLN cña A.
1
c. T×m x ®Ó A =
2

d.

CMR : A ≤ 2 .

Bµi 45: Cho A =
a . Rót gän A.

3

(KQ:

x+2
x +1

1
+
+
x x −1 x + x + 1 1− x

A=

2−5 x
x +3

)

víi x ≥ 0 , x ≠ 1.

7


b. T×m GTLN cña A .

( KQ : A =

1

3
2
+
x +1 x − x +1

−
Bµi 46: Cho A =

x +1 x
a . Rót gän A.
b. CMR : 0 ≤ A ≤ 1

x
x + x +1

)

víi x ≥ 0 , x ≠ 1.

( KQ :

A=

x
)
x − x +1
 x −5 x  
25 − x
x +3
x −5
− 1÷
:
−
+

÷
÷  x + 2 x − 15
x +5

x −3÷
 x − 25
 


Bµi 47: Cho A = 

a. Rót gän A.
b. T×m x ∈ Z ®Ó

A∈ Z

( KQ :

A=

5
)
x +3
2 a −9
a + 3 2 a +1
−
−
a−5 a +6
a − 2 3− a

Bµi 48: Cho A =

víi a ≥ 0 , a ≠ 9 , a ≠ 4.

a. Rót gän A.
b. T×m a ®Ó A < 1
c. T×m
Bµi 49: Cho A=

a∈Z

a +1
)
a −3

( KQ : A =

A∈ Z

 x− x +7
1   x +2
x −2 2 x 
+
:
−
−

÷

÷

x −2÷
x +2 x−4÷
 x−4

  x −2


a. Rót gän A.
b. So s¸nh A víi
Bµi50: Cho

®Ó

1
A

víi x > 0 , x ≠ 4.

( KQ : A =

3
3
 x− y
x − y 
÷:
A =
+
 x− y
y−x ÷



(

x− y

)

2

+ xy

x+9
6 x

)

víi x ≥ 0 , y ≥ 0,

x+ y

x≠ y

a. Rót gän A.

b. CMR : A ≥ 0

( KQ : A =

xy
x − xy + y

x x −1 x x +1 
1   x +1

x −1 
−
+ x −
+
÷
÷. 
x− x
x+ x 
x   x −1
x +1÷


Bµi 51 : Cho A =

a. Rót gän A.

b. T×m x ®Ó A = 6
Bµi 52 : Cho A =

)

( KQ : A =

(

a. Rót gän A

)

)

2 x + x +1



x −4
3 ÷  x +2
x 

+
: 
−
÷
 x x −2
x −2÷ 
x
x −2÷




(

Víi x > 0 , x ≠ 1.

x

)

víi x > 0 , x ≠ 4.

8


b. TÝnh A víi x =

(KQ:

6−2 5

A = 1−

1   1
1 
1
 1
+
−

÷: 
÷+
 1− x 1+ x   1− x 1+ x  2 x

Bµi 53 : Cho A=

a. Rót gän A
b. TÝnh A víi x =
Bµi 54 : Cho A=

(KQ:

6−2 5

 2x +1
1  
x+4 
−
: 1 −
 3
÷
÷
x −1 ÷
 x −1
  x + x +1 

x)

víi x > 0 , x ≠ 1.
A=

3
2 x

)

víi x ≥ 0 , x ≠ 1.

a. Rót gän A.
b. T×m
Bµi 55: Cho A=

x∈Z

®Ó

(KQ:

A∈ Z

 1
  1
2 x −2
2 
−
:
−

÷
÷
÷
 x +1 x x − x + x −1   x −1 x −1 

a. Rót gän A.
b. T×m x ∈ Z ®Ó

.

víi x ≥ 0 , x ≠ 1.

A∈ Z

c. T×m x ®Ó A ®¹t GTNN .
Bµi 56 : Cho A =

x
)
x −3

A=

(KQ:

 2 x
x
3x + 3   2 x − 2 
+
−
− 1÷

÷: 
÷
x −3 x −9 ÷
 x +3
  x −3


A=

x −1
)
x +1

víi x ≥ 0 , x ≠ 9

a. Rót gän A.
b. T×m x ®Ó A < - 1

2

−3
)
a +3
x − x−3
1 
−
÷ víi
x −1
x −1 ÷


( KQ : A =
Bµi 57 : Cho A =

 x +1
x −1 8 x  
−
−

÷
÷: 
x

−
1
x
−
1
x
+
1

 

a. Rót gän A

b. TÝnh A víi x =

(KQ:

6−2 5

A=

c . CMR : A ≤ 1
Bµi 58 :

Cho A =

1 
x +1
 1
+


÷:
x −1  x − 2 x +1
 x− x

a. Rót gän A

Cho A =

4 x
)
x+4

víi x > 0 , x ≠ 1.

(KQ:

A=

b.So s¸nh A víi 1
Bµi 59 :

x ≥ 0 , x ≠ 1.

 x −1
1
8 x   3 x −2
−
+


÷
÷: 1 − 3 x + 1 ÷
÷
9
x
−
1
3
x
−
1
3
x
+
1

 


Víi

x −1
)
x

x ≥ 0, x ≠

1
9

a. Rót gän A.
b. T×m x ®Ó A = 6
5

9


c. Tìm x để A < 1.
( KQ : A =
Bài 60 : Cho A =

x 2
x + 2 x2 2x + 1


ữ
ữ.
2
x 1 x + 2 x +1

với x 0 , x 1.

a. Rút gọn A.
b. CMR nếu 0 < x < 1 thì A > 0
c. Tính A khi x =3+2 2
d. Tìm GTLN của A
(KQ:
Bài 61 : Cho A =

x+ x

)
3 x 1

A=

x+2
x
1 x 1
+
+

ữ
ữ: 2
x x 1 x + x +1 1 x

x (1 x )

)

với x 0 , x 1.

a. Rút gọn A.
b. CMR nếu x 0 , x 1 thì A > 0 , (KQ:
Bài 62 :

Cho A =

4
1 x2 x

+
1
ữ:
x +1 x 1 x 1


A=

2
)
x + x +1

với x > 0 , x 1, x 4.

a. Rút gọn
b. Tìm x để A =
Bài 63 : Cho A =





1
2
x +1 x 2 x 3 x + 3
2

:
+
ữ

ữ
x 1 ữ
x 1
x +1
x 1

với x 0 , x 1.

a. Rút gọn A.
b. Tính A khi x= 0,36
c. Tìm x Z để A Z
Bài 64 :

Cho A=

a. Rút gọn A.
b. Tìm x Z để
c. Tìm x để A < 0


x x +3
x +2
x +2
:
+
+
1
ữ

ữ
ữ
ữ
1+ x x 2 3 x x 5 x + 6

với x 0 , x 9 , x 4.

A Z

(KQ:

A=

x 2
)
x +1

Phần 2: Các bài tập về hệ phơng trình bậc 2:
Bài 1: Cho phơng trình : m 2 x ( 2 1) 2 = 2 x + m 2
a) Giải phơng trình khi m = 2 + 1
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x = 3 2
c) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng duy nhất
Bài 2: Cho phơng trình :
(x là ẩn )
( m 4) x 2 2mx + m 2 = 0
10


a) Tìm m để phơng trình có nghiệm x = 2 .Tìm nghiệm còn lại
b) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm phân biệt

c) Tính x12 + x22 theo m
Bài 3: Cho phơng trình :
(x là ẩn )
x 2 2( m + 1) x + m 4 = 0
a) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm trái dấu
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
c) Chứng minh biểu thức M= x1 (1 x2 ) + x2 (1 x1 ) không phụ thuộc vào m.
Bài 4: Tìm m để phơng trình :
a) x 2 x + 2( m 1) = 0 có hai nghiệm dơng phân biệt
b) 4 x 2 + 2 x + m 1 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt
c) ( m 2 + 1) x 2 2( m + 1) x + 2m 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu
Bài 5: Cho phơng trình : x 2 ( a 1) x a 2 + a 2 = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình trên có 2 nghiệm tráI dấu với mọi a
b) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2 .Tìm giá trị của a để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ
nhất
1
b

1
c

Bài 6: Cho b và c là hai số thoả mãn hệ thức: + =

1
2

CMR ít nhất một trong hai phơng trình sau phải có nghiệm

x 2 + bx + c = 0
x 2 + cx + b = 0

Bài 7:Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm số chung:
2 x 2 ( 3m + 2 ) x + 12 = 0(1)

4 x 2 ( 9m 2 ) x + 36 = 0(2)

Bài 8: Cho phơng trình :

2 x 2 2mx + m 2 2 = 0

a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt
b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dơng lớn nhất của phơng trình
Bài 9: Cho phơng trình bậc hai tham số m :
x2 + 4x + m + 1 = 0

a) Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm
b) Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm x1và x2 thoả mãn điều kiện
x12 + x22 = 10

Bài 10: Cho phơng trình

x 2 2( m 1) x + 2m 5 = 0

a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cung dấu . Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ?
Bài 11: Cho phơng trình
x 2 2( m + 1) x + 2m + 10 = 0 (với m là tham số )
a) Giải và biện luận về số nghiệm của phơng trình
b) Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt là x1; x2 ; hãy tìm một hệ thức liên
hệ giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m

c) Tìm giá trị của m để 10 x1 x2 + x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 12: Cho phơng trình
( m 1) x 2 2mx + m + 1 = 0 với m là tham số
a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt m 1
b) Xác định giá trị của m dể phơng trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai
nghiêm của phơng trình
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
d) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn hệ thức:
11


x1 x2 5
+ + =0
x2 x1 2

Bài 13: A) Cho phơng trình :

(m là tham số)
a) Chứng tỏ rằng phơnh trình có nghiệm x1; x2 với mọi m ; tính nghiệm kép ( nếu có) của
phơng trình và giá trị của m tơng ứng
b) Đặt A = x12 + x22 6 x1 x2
Chứng minh A = m 2 8m + 8
Tìm m để A=8
Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tơng ứng
c) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia
B) Cho phơng trình
x 2 mx + m 1 = 0

x 2 2mx + 2m 1 = 0

a) Chứng tỏ rằng phơnh trình có nghiệm x1; x2 với mọi m.
b) Đặt A= 2( x12 + x22 ) 5 x1 x2
CMR A= 8m 2 18m + 9
Tìm m sao cho A=27
c)Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm nay bằng hai nghiệm kia.
Bài 14: Giả sử phơng trình a.x 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 .Đặt Sn = x1n + x2n (n
nguyên dơng)
a) CMR a.S n + 2 + bS n +1 + cSn = 0
5




b) áp dụng Tính giá trị của : A= 1 + 5 + 1 5
2 2

5

Bài 15: Cho
f(x) = x2 - 2 (m+2).x + 6m+1
a) CMR phơng trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m
b) Đặt x=t+2 .Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình
nghiệm lớn hơn 2
Bài 16: Cho phơng trình :

f(x) = 0 có 2

x 2 2( m + 1) x + m 2 4m + 5 = 0

a) Xác định giá trị của m để phơng trình có nghiệm

b) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng
c) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái
dấu nhau
d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm nếu có của phơng trình . Tính x12 + x22 theo m
Bài 17: Cho phơng trình x 2 4 x 3 + 8 = 0 có hai nghiệm là x1; x2 . Không giải phơng trình , hãy
tính giá trị của biểu thức : M =
Bài 18: Cho phơng trình

6 x12 + 10 x1 x2 + 6 x22
5 x1 x23 + 5 x13 x2

x x 2( m + 2 ) x + m + 1 = 0
1
a) Giải phơng trình khi m=
2

b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình . Tìm giá trị của m để :
x1 (1 2 x2 ) + x2 (1 2 x1 ) = m 2

Bài 19: Cho phơng trình

x 2 + mx + n 3 = 0

(1)

(n , m là tham số)
12

Cho n=0 . CMR phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
Tìm m và n để hai nghiệm x1; x2 của phơng trình (1) thoả mãn hệ :
x1 x2 = 1
2
2
x1 x2 = 7

Bài 20: Cho phơng trình:

x 2 2( k 2) x 2k 5 = 0

( k là tham số)
a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình . Tìm giá trị của k sao cho
x12 + x22 = 18

Bài 21: Cho phơng trình

( 2m 1) x 2 4mx + 4 = 0

(1)

a) Giải phơng trình (1) khi m=1
b) Giải phơng trình (1) khi m bất kì
c) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có một nghiệm bằng m
Bài 22:Cho phơng trình :

x 2 ( 2m 3) x + m 2 3m = 0

a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 1 < x1 < x2 < 6 Bài tập về hàm số bậc
nhất
Bài 23:
1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4).
2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành.
Hớng dẫn :
1) Gọi pt đờng thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b.
2 = a + b
a = 3

4 = a + b
b = 1

Do đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) ta có hệ pt :

Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = 3x 1
2) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1 ; Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành
độ bằng

1
.
3

Bài 24 Cho hàm số y = (m 2)x + m + 3.
1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến.
2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x
1 đồng quy.
Hớng dẫn :
1) Hàm số y = (m 2)x + m + 3 m 2 < 0 m < 2.

2) Do đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. Suy ra : x= 3 ; y = 0
Thay x= 3 ; y = 0 vào hàm số y = (m 2)x + m + 3, ta đợc m =

3
.
4
y = x + 2
y = 2x 1

3) Giao điểm của hai đồ thị y = -x + 2 ; y = 2x 1 là nghiệm của hệ pt :
(x;y) = (1;1).

Để 3 đồ thị y = (m 2)x + m + 3, y = -x + 2 và y = 2x 1 đồng quy cần :
(x;y) = (1;1) là nghiệm của pt : y = (m 2)x + m + 3.
Với (x;y) = (1;1) m =

1
2

B ài 25: Cho hàm số y = (m 1)x + m + 3.
13


1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.
Hớng dẫn :
1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần : m 1 = - 2 m = -1.
Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m 1)x + m + 3. Ta đợc : m = -3.

Vậy với m = -3 thì đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0). Ta có
x0 = 1
y0 = 2

y0 = (m 1)x0 + m + 3 (x0 1)m - x0 - y0 + 3 = 0
Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (1;2).

Bà26 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1).
1) Viết phơng trình đờng thẳng AB.
2) Tìm các giá trị của m để đờng thẳng y = (m2 3m)x + m2 2m + 2 song song
với đờng thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2).
Hớng dẫn :
1) Gọi pt đờng thẳng AB có dạng : y = ax + b.
1 = a + b
a = 2

1 = 2 a + b
b = 3

Do đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 1) và (2 ;-1) ta có hệ pt :

Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = - 2x + 3.
2) Để đờng thẳng y = (m2 3m)x + m2 2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng thời đi
qua điểm C(0 ; 2) ta cần :

m 2 3m = 2
m = 2.
2
m 2m + 2 = 2

Vậy m = 2 thì đờng thẳng y = (m2 3m)x + m2 2m + 2 song song với đờng thẳng AB
đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2)
Bài 27 : Cho hàm số y = (2m 1)x + m 3.
1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)
2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm
điểm cố định ấy.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2 1 .
Hớng dẫn :
1) m = 2.
2) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0). Ta có
1

x0 = 2
y0 = (2m 1)x0 + m - 3 (2x0 + 1)m - x0 - y0 - 3 = 0
y = 5
0
2
1 5
Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định ( ; ).
2 2

Baứi 28 : Tìm giá trị của k để các đờng thẳng sau :
y=

6x
4x 5
;y=
và y = kx + k + 1 cắt nhau tại một điểm.
4

3
14


Bài 29 : Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b. Xác định a, b để (d) đi qua hai
điểm A(1; 3) và B(-3; -1).
Bài 30 : Cho hàm số : y = x + m
(D).
Tìm các giá trị của m để đờng thẳng (D) :
1) Đi qua điểm A(1; 2003).
2) Song song với đờng thẳng x y + 3 = 0.

15


Chủ đề : Phơng trình bất phơng trình bậc nhất một ần
Hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn .
A. Kiến thức cần nhớ :
1. Phơng trình bậc nhất : ax + b = 0.
Phơng pháp giải :
+ Nếu a 0 phơng trình có nghiệm duy nhất : x =

a
.
b

+ Nếu a = 0 và b 0 phơng trình vô nghiệm.
+ Nếu a = 0 và b = 0 phơng trình có vô số nghiệm.
2. Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn :

ax + by = c

a' x + b' y = c'

Phơng pháp giải :
Sử dụng một trong các cách sau :
+) Phơng pháp thế : Từ một trong hai phơng trình rút ra một ẩn theo ẩn kia , thế vào phơng
trình thứ 2 ta đợc phơng trình bậc nhất 1 ẩn.
+) Phơng pháp cộng đại số :
- Quy đồng hệ số một ẩn nào đó (làm cho một ẩn nào đó của hệ có hệ số bằng nhau hoặc đối
nhau).
- Trừ hoặc cộng vế với vế để khử ẩn đó.
- Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai.
B. Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1 : Giải các phơng trình sau đây :
x
x
ĐS : ĐKXĐ : x 1 ; x - 2. S = { 4 } .
+
=2
x -1 x + 2
3
b) 32x - 1 = 2
x + x +1
Giải : ĐKXĐ : x 3 + x + 1 0. (*)
3
3
Khi đó : 32x - 1 = 2 2x = - 3 x =
2
x + x +1

3
3
3
Với x =
thay vào (* ) ta có ( )3 +
+10
2
2
2
3
Vậy x =
là nghiệm.
2

a)

Ví dụ 2 : Giải và biện luận phơng trình theo m :
(m 2)x + m2 4 = 0
(1)
+ Nếu m 2 thì (1) x = - (m + 2).
+ Nếu m = 2 thì (1) vô nghiệm.
Ví dụ 3 : Tìm m Z để phơng trình sau đây có nghiệm nguyên .
(2m 3)x + 2m2 + m - 2 = 0.
Giải :
Ta có : với m Z thì 2m 3 0 , vây phơng trình có nghiệm : x = - (m + 2) để pt có nghiệm nguyên thì 4 2m 3 .
Giải ra ta đợc m = 2, m = 1.
Ví dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình :
Giải :
a) Ta có : 7x + 4y = 23 y =
Vì y Z x 1 4.

Giải ra ta đợc x = 1 và y = 4

4
.
2m - 3

7x + 4y = 23.

23 - 7x
x 1
= 6 2x +
4
4

16


Bài tập phần hệ pt
Bài 1 : Giải hệ phơng trình:
2x 3y = 5
3x + 4y = 2

a)

2x + 4 = 0
4x + 2y = 3

e)

x + 4y = 6

4x 3y = 5
5
2
x + x + y = 2
f)
3 + 1 = 1, 7
x x + y

b)

2x y = 3
5 + y = 4x

x y = 1
x + y = 5

c)

d)

Bài 2 : Cho hệ phơng trình :
mx y = 2

x + my = 1

1) Giải hệ phơng trình theo tham số m.
2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = -1.
3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
Bài 3 : Cho hệ phơng trình:
x 2y = 3 m

2x + y = 3(m + 2)

1) Giải hệ phơng trình khi thay m = -1.
2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4 : Cho hệ phơng trình:

(a 1)x + y = a
có nghiệm duy nhất là (x; y).

x + (a 1)y = 2

1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a.
2) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x2 17y = 5.
3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức
Bài5 : Cho hệ phơng trình:

2x 5y
nhận giá trị nguyên.
x+y

x + ay = 1
(1)

ax + y = 2

1) Giải hệ (1) khi a = 2.
2) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất.
mx y = n
nx + my = 1

Bài 6 : Xác định các hệ số m và n, biết rằng hệ phơng trình
có nghiệm là ( 1; 3 ) .

( a + 1) x + y = 4
(a là tham số).
ax + y = 2a

Bài 7 : Cho hệ phơng trình

1) Giải hệ khi a = 1.
2) Chứng minh rằng với mọi a hệ luôn có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x + y 2.
x - (m + 3)y = 0
(m là tham số).
(m - 2)x + 4y = m - 1

Bài 8 (trang 22): Cho hệ phơng trình :
a) Giải hệ khi m = -1.

17


b) Gi¶i vµ biƯn ln pt theo m.
x - m y = 0
(m lµ tham sè).
mx − 4y = m + 1

Bµi 9 : (trang 24): Cho hƯ ph¬ng tr×nh : 

a) Gi¶i hƯ khi m = -1.

b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cđa m ®Ĩ hƯ cã hai nghiƯm nguyªn.
c) Xác đònh mọi hệ có nghiệm x > 0, y > 0.
Bµi 10 (trang 23): Một ôtô và một xe đạp chuyển động đi từ 2 đa àu một đoạn
đường sau 3 giờ thì gặp nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một điểm
thì sau 1 giờ hai xe cách nhau 28 km. Tính vận tốc của mỗi xe.
HD : Vận tốc xe đạp : 12 km/h . Vận tốc ôtô : 40 km/h.
Bµi 11 : (trang 24): Một ôtô đi từ A dự đònh đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy
với vận tốc 35 km/h thì sẽ đến B lúc 2 giờ chie àu. Nếu xe chạy với vận tốc
50 km/h thì sẽ đến B lúc 11 giờ trưa. Tính độ quảng đường AB và thời diểm
xuất phát tại A.
Đáp số : AB = 350 km, xuất phát tại A lúc 4giờ sáng.
Bµi 12 : (trang 24): Hai vòi nước cùng chảy vào một cài bể nước cạn, sau 4

4
5

giờ thì đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất, sau 9 giờ mở vòi thứ hai
thì sau

6
giờ nữa mới nay bể . Nếu một mình vòi thứ hai chảy bao lâu sẽ nay
5

bể.
Đáp số : 8 giờ.
Bµi 13 : (trang 24): Biết rằng m gam kg nước giảm t0C thì tỏa nhiệt lượng Q = mt
(kcal). Hỏi phải dùng bao nhiêu lít 1000C và bao nhiêu lít 200C để được hỗn
hợp 10 lít 400C.
Hường dãn :
x + y = 10

100x + 20y = 400

Ta có hệ pt : 

x = 2,5
⇔ 
 y = 7,5

Vậy cần 2,5 lít nước sôi và 75 lít nước 200C.
Bµi 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dòch axít thì dung dòch mới có no àng độ
50%. Lại thêm 300g nước vào dung dòch mới được dung dòch axít có no àng độ
40%. Tính nồng độ axít trong dung dòch ban đầu.
Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y là khối lượng dung dòch ban đầu.
Theo bài ra ta có hệ pt :

 ( x + 200)
 y + 200 .100% = 50%


 ( x + 200) .100% = 40%
 y + 500

x = 400
⇔ 
 y = 1000

Vậy nồng độ phần trăm của dung dòch axít ban đầu là 40%.
Ph¬ng tr×nh bËc hai ®Þnh lý Viet vµ øng dơng
A.Kiến thức cần ghi nhớ
1. Để biện luận sự có nghiệm của phương trình : ax2 + bx + c = 0 (1) trong đó a,b ,c phụ

thuộc tham số m,ta xét 2 trường hợp
a)Nếu a= 0 khi đó ta tìm được một vài giá trị nào đó của m ,thay giá trị đó vào (1).Phương
trình (1) trở thành phương trình bậc nhất nên có thể : - Có một nghiệm duy nhất
- hoặc vơ nghiệm
- hoặc vơ số nghiệm
b)Nếu a ≠ 0
Lập biệt số ∆ = b2 – 4ac hoặc ∆ / = b/2 – ac
* ∆ < 0 ( ∆ / < 0 ) thì phương trình (1) vơ nghiệm
18


* = 0 ( / = 0 ) : phng trỡnh (1) cú nghim kộp x1,2 = (hoc x1,2 = -

b
2a

b/
)
a

* > 0 ( / > 0 ) : phng trỡnh (1) cú 2 nghim phõn bit:
x1 = b

2a
b / /
(hoc x1 =
a

; x2 = b +

2a
b / + /
; x2 =
)
a

2. nh lý Viột.
Nu x1 , x2 l nghim ca phng trỡnh ax2 + bx + c = 0 (a 0) thỡ
S = x1 + x2 = p = x 1 x2 =

b
a

c
a

o lại: Nu cú hai s x1,x2 m x1 + x2 = S v x1x2 = p thỡ hai s ú l nghim (nu có )
của phơng trình bậc 2:
x2 S x + p = 0
3.Dấu của nghiệm số của phơng trình bậc hai.
Cho phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) . Gọi x1 ,x2 là các nghiệm của phơng
trình .Ta có các kết quả sau:
x1 và x2 trái dấu( x1 < 0 < x2 ) p < 0
0
Hai nghiệm cùng dơng( x1 > 0 và x2 > 0 ) p > 0
S > 0

0
Hai nghiệm cùng âm (x1 < 0 và x2 < 0) p > 0
S < 0

> 0

Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dơng( x2 > x1 = 0) p = 0
S > 0

> 0

Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm (x1 < x2 = 0) p = 0
S < 0


4.Vài bài toán ứng dụng định lý Viét
a)Tính nhẩm nghiệm.
Xét phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0)
Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2 =

c
a

Nếu a b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = -

c
a

Nếu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn và 0 thì phơng trình có nghiệm
x1 = m , x2 = n hoặc x1 = n , x2 = m
19

b) Lập phơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 ,x2 của nó
Cách làm : - Lập tổng S = x1 + x2
- Lập tích p = x1x2
- Phơng trình cần tìm là : x2 S x + p = 0
c)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc 2 có nghệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện
cho trớc.(Các điều kiện cho trớc thờng gặp và cách biến đổi):
*) x12+ x22 = (x1+ x2)2 2x1x2 = S2 2p
*) (x1 x2)2 = (x1 + x2)2 4x1x2 = S2 4p
3
3
3
*) x1 + x2 = (x1 + x2) 3x1x2(x1 + x2) = S3 3Sp
*) x14 + x24 = (x12 + x22)2 2x12x22
*)

x + x2
1
1
S
+
= 1
=
x1 x 2
x1 x 2
p

*)

x1 x 2 x1 + x 2
S2 2p

=
+
=
x 2 x1
x1 x 2
p

2

2

*) (x1 a)( x2 a) = x1x2 a(x1 + x2) + a2 = p aS + a2
*)

x1 + x 2 2a
1
1
S 2a
+
=
=
x1 a x 2 a ( x1 a )( x 2 a ) p aS + a 2

(Chú ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trớc phải thoả mãn điều kiện 0 )
d)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc hai có một nghiệm x = x1 cho trớc .Tìm
nghiệm thứ 2
Cách giải:
Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách làm
+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm:
0 (hoặc / 0 ) (*)

- Thay x = x1 vào phơng trình đã cho ,tìm đợc giá trị của
tham số
- Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc của tham số với điều kiện(*)
để kết luận
+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện 0 (hoặc / 0 ) mà ta thay luôn
x = x1 vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số
- Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và
giải phơng trình
Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình đã cho mà phơng trình bậc hai
này có < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phơng trình có nghiệm x1 cho
trớc.
Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm
+) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình (nh cách
2 trình bầy ở trên)
+) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm đợc
nghiệm thứ 2
+) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm đợc
nghiệm thứ 2
B . Bài tập áp dụng
Bài 1: Giải và biện luận phơng trình : x2 2(m + 1) +2m+10 = 0
Giải.
2
2
/
Ta có = (m + 1) 2m + 10 = m 9
+ Nếu / > 0 m2 9 > 0 m < - 3 hoặc m > 3 .Phơng trình đã cho có 2 nghiệm
phân biệt:
x1 = m + 1 - m 2 9 x2 = m + 1 + m 2 9
+ Nếu / = 0 m = 3
- Với m =3 thì phơng trình có nghiệm là x1.2 = 4

20


- Với m = -3 thì phơng trình có nghiệm là x1.2 = -2
+ Nếu / < 0 -3 < m < 3 thì phơng trình vô nghiệm
Kết kuận:
Với m = 3 thì phơng trình có nghiệm x = 4
Với m = - 3 thì phơng trình có nghiệm x = -2
Với m < - 3 hoặc m > 3 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
x1 = m + 1 - m 2 9 x2 = m + 1 + m 2 9
Với -3< m < 3 thì phơng trình vô nghiệm
Bài 2: Giải và biện luận phơng trình: (m- 3) x2 2mx + m 6 = 0
Hớng dẫn
Nếu m 3 = 0 m = 3 thì phơng trình đã cho có dạng
- 6x 3 = 0

x=-

1
2

* Nếu m 3 0 m 3 .Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số / = m2
(m 3)(m 6) = 9m 18
- Nếu / = 0 9m 18 = 0 m = 2 .phơng trình có nghiệm kép
/
x1 = x 2 = - b = 2

a

23

=-2

- Nếu / > 0 m >2 .Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x1,2 = m 3 m 2
m3

- Nếu < 0 m < 2 .Phơng trình vô nghiệm
Kết luận:
/

Với m = 3 phơng trình có nghiệm x = -

1
2

Với m = 2 phơng trình có nghiệm x1 = x2 = -2
Với m > 2 và m 3 phơng trình có nghiệm x1,2 = m 3 m 2
m3

Với m < 2 phơng trình vô nghiệm

Bài 3: Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất
a) 2x2 + 2007x 2009 = 0
b) 17x2 + 221x + 204 = 0
c) x2 + ( 3 5 )x - 15 = 0
d) x2 (3 - 2 7 )x - 6 7 = 0
Giải
a) 2x2 + 2007x 2009 = 0 có a + b + c = 2 + 2007 +(-2009) = 0
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = 1 , x2 =

c 2009
=
a
2

b) 17x2 + 221x + 204 = 0 có a b + c = 17 221 + 204 = 0
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1 ,
x2 = -

c
204
= - 12
=
a
17

c) x2 + ( 3 5 )x - 15 = 0 có: ac = - 15 < 0 .
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .áp dụng hệ thức Viet ta có :
x1 + x2 = -( 3 5 ) = - 3 + 5
21


x1x2 = - 15 = (- 3 ) 5
Vậy phơng trình có 2 nghiệm là x1 = - 3 , x2= 5
(hoặc x1 = 5 , x2 = - 3 )
d ) x2 (3 - 2 7 )x - 6 7 = 0 có : ac = - 6 7 < 0
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .áp dụng hệ thức Viét ,ta có
x 1 + x 2 = 3 - 2 7

x 1 x 2 = - 6 7 = 3(-2 7 )

Vậy phơng trình có 2 nghiệm x1 = 3 , x2 = - 2 7
Bài 4 : Giải các phơng trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhất (m là tham số)
a) x2 + (3m 5)x 3m + 4 = 0
b) (m 3)x2 (m + 1)x 2m + 2 = 0
Hớng dẫn :
a) x2 + (3m 5)x 3m + 4 = 0 có a + b + c = 1 + 3m 5 3m + 4 = 0
Suy ra :
x1 = 2
Hoặc x2 =

m +1
3

b) (m 3)x2 (m + 1)x 2m + 2 = 0 (*)
* m- 3 = 0 m = 3 (*) trở thành 4x 4 = 0 x = - 1
x1 = 1
* m 3 0 m 3 (*)
x 2 = 2m 2
m3


Bài 5: Gọi x1 , x2 là các nghịêm của phơng trình : x2 3x 7 = 0
a) Tính:
A = x12 + x22
B = x1 x2
C=

1

1
+
x1 1 x 2 1

D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)

b) lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là

1
1
và
x1 1
x2 1

Giải ;
Phơng trình bâc hai x 3x 7 = 0 có tích ac = - 7 < 0 , suy ra phơng trình có hai
nghiệm phân biệt x1 , x2 .
Theo hệ thức Viét ,ta có : S = x1 + x2 = 3 và p = x1x2 = -7
a)Ta có
+ A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 2x1x2 = S2 2p = 9 2(-7) = 23
+ (x1 x2)2 = S2 4p => B = x1 x2 = S 2 4 p = 37
2

+C=

1
1
(x + x ) 2
S 2
1

+
=
=
= 1 2
x1 1 x 2 1
( x1 1)( x 2 1) p S + 1
9

+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2
= 10x1x2 + 3 (x12 + x22)
= 10p + 3(S2 2p) = 3S2 + 4p = - 1
b)Ta có :
S=

1
1
1
+
= (theo câu a)
x1 1 x 2 1
9
22


1
1
1
=
=
( x1 1)( x 2 1) p S + 1

9
1
1
Vậy
và
là nghiệm của hơng trình :
x1 1
x2 1
1
1
X2 SX + p = 0 X2 + X - = 0 9X2 + X - 1 = 0
9
9

p=

Bài 6 : Cho phơng trình :
x2 ( k 1)x - k2 + k 2 = 0 (1) (k là tham số)
1. Chứng minh phơng trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
2. Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
3. Gọi x1 , x2 là nghệm của phơng trình (1) .Tìm k để : x13 + x23 > 0
Giải.
1. Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai có:
= (k -1)2 4(- k2 + k 2) = 5k2 6k + 9 = 5(k2 3
5

= 5(k2 2. k +

6
9

k+ )
5
5

9
36
3
36
+
) = 5(k - ) +
> 0 với mọi giá trị của k. Vậy phơng
25
25
5
5

trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
2. Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p < 0
- k2 + k 2 < 0 - ( k2 2.
-(k -

1
1
7
k+ + )<0
2
4
4

1 2 7

) - < 0 luôn đúng với mọi k.Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái
2
4

dấu với mọi k
3. Ta có x13 + x23 = (x1 + x2)3 3x1x2(x1 + x2)
Vì phơng trình có nghiệm với mọi k .Theo hệ thức viét ta có
x1 + x2 = k 1 và x1x2 = - k2 + k 2
x13 + x23 = (k 1)3 3(- k2 + k 2)( k 1)
= (k 1) [(k 1)2 - 3(- k2 + k 2)]
= (k 1) (4k2 5k + 7)

5 2 87
) + ]
4
16
5
87
Do đó x13 + x23 > 0 (k 1)[(2k - )2 + ] > 0
4
16
5
87
k 1 > 0 ( vì (2k - )2 +
> 0 với mọi k)
4
16
k>1

= (k 1)[(2k -

Vậy k > 1 là giá trị cần tìm
Bài 7:
Cho phơng trình : x2 2( m + 1) x + m 4 = 0 (1) (m là tham số)
1. Giải phơng trình (1) với m = -5
2. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi m
3. Tìm m để x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hao nghiệm của phơng trình (1) nói
trong phần 2.)
Giải
1. Với m = - 5 phơng trình (1) trở thành x2 + 8x 9 = 0 và có 2 nghiệm là x1 = 1 , x2 =
-9
2. Có / = (m + 1)2 (m 4) = m2 + 2m + 1 m + 4 = m2 + m + 5
23


= m2 + 2.m.

1
1
19
1
19
+ +
= (m + )2 +
> 0 với mọi m
2
4
4
2
4

Vậy phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2
3. Vì phơng trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có:
x1 + x2 = 2( m + 1) và x1x2 = m 4
Ta có (x1 x2)2 = (x1 + x2)2 4x1x2 = 4( m + 1)2 4 (m 4)

1 2 19
) + ]
2
4
1
1
=> x1 x2 = 2 (m + 1 ) 2 + 19 2 19 = 19 khi m + = 0 m = 2
2
2
4
4
1
Vậy x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 19 khi m = 2

= 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m +

Bài 8 : Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 2m)x + m 3 = 0 (m là tham số)
1) Giải phơng trình khi m = -

9
2

2) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m
3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và

nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia.
Giải:
1) Thay m = -

9
vào phơng trình đã cho và thu gọn ta đợc
2

5x2 - 20 x + 15 = 0
phơng trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2= 3
2) + Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phơng trình đã cho trở thành;
5x 5 = 0 x = 1
+ Nếu : m + 2 0 => m - 2 .Khi đó phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có
biệt số :
= (1 2m)2 - 4(m + 2)( m 3) = 1 4m + 4m2 4(m2- m 6) = 25 > 0
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x1 =

2m 1 + 5 2m + 4
=
=1
2(m + 2)
2m + 4

x2 =

2m 1 5 2(m 3) m 3
=
=
2(m + 2) 2( m + 2) m + 2

Tóm lại phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m
3)Theo câu 2 ta có m - 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này
gấp 3 lần nghiệm kia ta sét 2 trờng hợp
m3
9
giải ra ta đợc m = - (đã giải ở câu 1)
m+2
2
m3
11
1= 3.
m + 2 = 3m 9 m =
(thoả mãn điều
m+2
2

Trờng hợp 1 : 3x1 = x2 3 =
Trờng hợp 2: x1 = 3x2
kiện m - 2)
Kiểm tra lại: Thay m =

11
vào phơng trình đã cho ta đợc phơng trình :
2

15x2 20x + 5 = 0 phơng trình này có hai nghiệm
x1 = 1 , x 2 =

5

1
= (thoả mãn đầu bài)
15
3

Bài 9: Cho phơng trình : mx2 2(m-2)x + m 3 = 0 (1) với m là tham số .
1. Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình (1)
2. Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu.
3. Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai.
Giải
24


1.+ Nếu m = 0 thay vào (1) ta có : 4x 3 = 0 x =

3
4

+ Nếu m 0 .Lập biệt số / = (m 2)2 m(m-3)
= m2- 4m + 4 m2 + 3m
=-m+4
/ < 0 - m + 4 < 0 m > 4 : (1) vô nghiệm

/ = 0 - m + 4 = 0 m = 4 : (1) có nghiệm kép

/
x1 = x 2 = - b = m 2 = 4 2 = 1

a

m

2

2

> 0 - m + 4 > 0 m < 4: (1) có 2 nghiệm phân biệt
/

x1 = m 2 m + 4
m

x2 = m 2 + m + 4

;

m

Vậy : m > 4 : phơng trình (1) vô nghiệm

m = 4 : phơng trình (1) Có nghiệm kép x =

1
2

0 m < 4 : phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
x1 = m 2 m + 4
m

;

x2 = m 2 + m + 4
m

3
m = 0 : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x =
4
c
m3
2. (1) có nghiệm trái dấu
<0
<0
a
m
m 3 > 0
m > 3


m < 0
m < 0



m 3 < 0
m < 3


m > 0
m > 0
m > 3

Trờng hợp
không thoả mãn
m < 0
m < 3
m > 0

Trờng hợp

0
3. *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm
/ 0 0 m 4 (*) (ở câu a đã có)

- Thay x = 3 vào phơng trình (1) ta có :

9m 6(m 2) + m -3 = 0 4m = -9 m = - Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = -

9
4

9
thoả mãn
4
9
4

*) Cách 2: Không cần lập điều kiện / 0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm đợc m = - .Sau
9
vào phơng trình (1) :
4

9
9
9
- x2 2(- - 2)x - - 3 = 0 -9x2 +34x 21 = 0
4
4
4

đó thay m = -

25