268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.

MAI TR NG M U

WWW.MATHVN.COM

PH N I:

BÀI

1. Ch ng minh 7 là s vô t .
2. a) Ch ng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
b) Ch ng minh b t d ng th c Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)
3. Cho x + y = 2. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : S = x2 + y2.
4. a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Ch ng minh b t đ ng th c Cauchy :
b) Cho a, b, c > 0. Ch ng minh r ng :

a+b
³ ab .
2

bc ca ab
+ +
³a+b+c
a
b
c

c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá tr l n nh t c a tích P = ab.
5. Cho a + b = 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : M = a3 + b3.
6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : N = a + b.
7. Cho a, b, c là các s d ng. Ch ng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
8. Tìm liên h gi a các s a và b bi t r ng : a + b > a - b

9. a) Ch ng minh b t đ ng th c (a + 1)2 ≥ 4a
b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Ch ng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8
10. Ch ng minh các b t đ ng th c :
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)
b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
11. Tìm các giá tr c a x sao cho :
a) | 2x – 3 | = | 1 – x | b) x2 – 4x ≤ 5
c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1.
12. Tìm các s a, b, c, d bi t r ng : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)
13. Cho bi u th c M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. V i giá tr nào c a a và b thì M đ t giá tr
nh nh t ? Tìm giá tr nh nh t đó.
14. Cho bi u th c P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. CMR giá tr nh nh t c a P b ng 0.
15. Ch ng minh r ng không có giá tr nào c a x, y, z th a mãn đ ng th c sau :
x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0
16. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : A =

1
x - 4x + 9
2

17. So sánh các s th c sau (không dùng máy tính) :
a) 7 + 15 và 7
b)
c)

23 - 2 19
và
3

27

18. Hãy vi t m t s h u t và m t s vô t l n h n

d)

17 + 5 + 1 và
3 2 và

45

2 3

2 nh ng nh h n

3

19. Gi i ph ng trình : 3x 2 + 6x + 7 + 5x 2 + 10x + 21 = 5 - 2x - x 2 .
20. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c A = x2y v i các đi u ki n x, y > 0 và 2x + xy = 4.

1
1
1
1
+
+ .... +
+ ... +
.
1.1998
2.1997
k(1998 - k + 1)

1998 - 1
1998
Hãy so sánh S và 2.
.
1999
22. Ch ng minh r ng : N u s t nhiên a không ph i là s chính ph ng thì a là s vô t .
21. Cho S =

23. Cho các s x và y cùng d u. Ch ng minh r ng :

1

www.MATHVN.com


MAI TR NG M U

WWW.MATHVN.COM

x y
+ ³2
y x
æ x 2 y2 ö æ x y ö
b) ç 2 + 2 ÷ - ç + ÷ ³ 0
x ø èy xø
èy
a)

æ x 4 y4 ö æ x 2 y2 ö æ x y ö
+ 4 ÷-ç 2 + 2 ÷+ç + ÷ ³ 2.

4
y
x ø èy
x ø èy xø
è

c) ç

24. Ch ng minh r ng các s sau là s vô t :
a)

1+ 2

b) m +

3
v i m, n là các s h u t , n ≠ 0.
n

25. Có hai s vô t d

ng nào mà t ng là s h u t không ?

æx yö
x 2 y2
26. Cho các s x và y khác 0. Ch ng minh r ng : 2 + 2 + 4 ³ 3 ç + ÷ .
y
x
èy xø
27. Cho các s x, y, z d

ng. Ch ng minh r ng :

x 2 y2 z2 x y z
+ +
³ + + .
y2 z2 x 2 y z x

28. Ch ng minh r ng t ng c a m t s h u t v i m t s vô t là m t s vô t .
29. Ch ng minh các b t đ ng th c :
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)
b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
c) (a1 + a2 + ….. + an)2 ≤ n(a12 + a22 + ….. + an2).
30. Cho a3 + b3 = 2. Ch ng minh r ng a + b ≤ 2.
31. Ch ng minh r ng : [ x ] + [ y ] £ [ x + y ] .

1
.
x - 6x + 17
x y z
33. Tìm giá tr nh nh t c a : A = + +
v i x, y, z > 0.
y z x
32. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : A =

2

34. Tìm giá tr nh nh t c a : A = x2 + y2 bi t x + y = 4.
35. Tìm giá tr l n nh t c a : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) v i x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1.
36. Xét xem các s a và b có th là s vô t không n u :

a
là s vô t .
b
a
b) a + b và
là s h u t (a + b ≠ 0)
b
a) ab và

c) a + b, a2 và b2 là s h u t (a + b ≠ 0)
37. Cho a, b, c > 0. Ch ng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)

a
b
c
d
+
+
+
³2
b+c c+d d+a a +b
39. Ch ng minh r ng [ 2x ] b ng 2 [ x ] ho c 2 [ x ] + 1
38. Cho a, b, c, d > 0. Ch ng minh :

40. Cho s nguyên d ng a. Xét các s có d ng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n.
Ch ng minh r ng trong các s đó, t n t i hai s mà hai ch s đ u tiên là 96.
41. Tìm các giá tr c a x đ các bi u th c sau có ngh a :

2

www.MATHVN.com


MAI TR NG M U

WWW.MATHVN.COM

A= x 2 - 3

B=

1
x 2 + 4x - 5

C=

1

D=

x - 2x - 1

1

E= x+

1- x2 - 3

2

+ -2x
x

G = 3x - 1 - 5x - 3 + x 2 + x + 1

42. a) Ch ng minh r ng : | A + B | ≤ | A | + | B | . D u “ = ” x y ra khi nào ?
b) Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c sau : M =
c) Gi i ph

ng trình :

x 2 + 4x + 4 + x 2 - 6x + 9 .

4x 2 + 20x + 25 + x 2 - 8x + 16 = x 2 + 18x + 81

43. Gi i ph ng trình : 2x 2 - 8x - 3 x 2 - 4x - 5 = 12 .
44. Tìm các giá tr c a x đ các bi u th c sau có ngh a :

A = x2 + x + 2

E=

B=

1

G=

2x + 1 + x

45. Gi i ph

ng trình :

1
1 - 3x

C = 2 - 1 - 9x 2

x
+ x-2
x -4

1

D=

x 2 - 5x + 6

H = x 2 - 2x - 3 + 3 1 - x 2

2

x 2 - 3x
=0
x -3

46. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : A =

x +x.

47. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : B = 3 - x + x
3 +1
48. So sánh : a) a = 2 + 3 và b=
b) 5 - 13 + 4 3 và
2
c) n + 2 - n + 1 và n+1 - n (n là s nguyên d ng)

3 -1

49. V i giá tr nào c a x, bi u th c sau đ t giá tr nh nh t : A = 1 - 1 - 6x + 9x 2 + (3x - 1) 2 .
50. Tính : a)

4-2 3

b)

11 + 6 2

d) A = m 2 + 8m + 16 + m 2 - 8m + 16

c)

27 - 10 2

e) B = n + 2 n - 1 + n - 2 n - 1 (n

≥ 1)
51. Rút g n bi u th c : M =

8 41

45 + 4 41 + 45 - 4 41

.

52. Tìm các s x, y, z th a mãn đ ng th c : (2x - y) 2 + (y - 2)2 + (x + y + z) 2 = 0
53. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : P = 25x 2 - 20x + 4 + 25x 2 - 30x + 9 .
54. Gi i các ph ng trình sau :

a) x 2 - x - 2 - x - 2 = 0
d) x - x 4 - 2x 2 + 1 = 1

b) x 2 - 1 + 1 = x 2
e) x 2 + 4x + 4 + x - 4 = 0

h) x 2 - 2x + 1 + x 2 - 6x + 9 = 1
k) x + 3 - 4 x - 1 + x + 8 - 6 x - 1 = 1

3

c) x 2 - x + x 2 + x - 2 = 0
g) x - 2 + x - 3 = -5

i) x + 5 + 2 - x = x 2 - 25
l) 8x + 1 + 3x - 5 = 7x + 4 + 2x - 2

www.MATHVN.com


MAI TR NG M U

WWW.MATHVN.COM

55. Cho hai s th c x và y th a mãn các đi u ki n : xy = 1 và x > y. CMR:

x 2 + y2
³2 2.
x-y

56. Rút g n các bi u th c :

a) 13 + 30 2 + 9 + 4 2

b) m + 2 m - 1 + m - 2 m - 1

c) 2 + 3. 2 + 2 + 3 . 2 + 2 + 2 + 3 . 2 - 2 + 2 + 3
57. Ch ng minh r ng

2+ 3 =

58. Rút g n các bi u th c :

a) C =

6+2

(

d) 227 - 30 2 + 123 + 22 2

6

2
+
.
2
2

)

6 + 3 + 2 - 6-2

(

6- 3+ 2

)

9-6 2 - 6
.
3

b) D =

2

59. So sánh :

a)

6 + 20 và 1+ 6

b)

17 + 12 2 và

2 +1

c)

28 - 16 3 và 3 - 2

60. Cho bi u th c : A = x - x 2 - 4x + 4
a) Tìm t p xác đ nh c a bi u th c A.
b) Rút g n bi u th c A.
61. Rút g n các bi u th c sau : a)

c)

11 - 2 10

b)

9 - 2 14

3 + 11 + 6 2 - 5 + 2 6
2 + 6 + 2 5 - 7 + 2 10

62. Cho a + b + c = 0 ; a, b, c ≠ 0. Ch ng minh đ ng th c :
63. Gi i b t ph

ng trình :

1 1 1
1 1 1
+ 2+ 2 = + +
2
a
b
c
a b c

x 2 - 16x + 60 < x - 6 .

64. Tìm x sao cho : x 2 - 3 + 3 £ x 2 .
65. Tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a A = x2 + y2 , bi t r ng :
x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 (1)
66. Tìm x đ bi u th c có ngh a:

a) A =

1
x - 2x - 1

67. Cho bi u th c : A =

16 - x 2
b) B =
+ x 2 - 8x + 8 .
2x + 1

x + x 2 - 2x

x - x - 2x
2

-

x - x 2 - 2x
x + x - 2x
2

.

a) Tìm giá tr c a x đ bi u th c A có ngh a.
b) Rút g n bi u th c A. c) Tìm giá tr c a x đ A < 2.
68. Tìm 20 ch s th p phân đ u tiên c a s : 0,9999....9 (20 ch s 9)
69. Tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a : A = | x - 2 | + | y – 1 | v i | x | + | y | = 5
70. Tìm giá tr nh nh t c a A = x4 + y4 + z4 bi t r ng xy + yz + zx = 1
71. Trong hai s : n + n + 2 và 2 n+1 (n là s nguyên d ng), s nào l n h n ?

4

www.MATHVN.com


MAI TR NG M U

WWW.MATHVN.COM

72. Cho bi u th c A = 7 + 4 3 + 7 - 4 3 . Tính giá tr c a A theo hai cách.
73. Tính : ( 2 + 3 + 5)( 2 + 3 - 5)( 2 - 3 + 5)( - 2 + 3 + 5)
74. Ch ng minh các s sau là s vô t :

3+ 5 ;

3- 2 ; 2 2 +3

75. Hãy so sánh hai s : a = 3 3 - 3 và b=2 2 - 1 ;
76. So sánh

2 + 5 và

5 +1
2

4 + 7 - 4 - 7 - 2 và s 0.
2+ 3+ 6+ 8+4
.
2+ 3+ 4

77. Rút g n bi u th c : Q =

78. Cho P = 14 + 40 + 56 + 140 . Hãy bi u di n P d

i d ng t ng c a 3 c n th c b c hai

79. Tính giá tr c a bi u th c x2 + y2 bi t r ng : x 1 - y 2 + y 1 - x 2 = 1 .
80. Tìm giá tr nh nh t và l n nh t c a : A = 1 - x + 1 + x .
81. Tìm giá tr l n nh t c a : M =

(

a+ b

)

2

v i a, b > 0 và a + b ≤ 1.

82. CMR trong các s 2b + c - 2 ad ; 2c + d - 2 ab ; 2d + a - 2 bc ; 2a + b - 2 cd có ít
nh t hai s d ng (a, b, c, d > 0).
83. Rút g n bi u th c : N = 4 6 + 8 3 + 4 2 + 18 .
84. Cho x + y + z = xy + yz + zx , trong đó x, y, z > 0. Ch ng minh x = y = z.
85. Cho a1, a2, …, an > 0 và a1a2…an = 1. Ch ng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n.
86. Ch ng minh :

(

a+ b

)

2

³ 2 2(a + b) ab

(a, b ≥ 0).

87. Ch ng minh r ng n u các đo n th ng có đ dài a, b, c l p đ c thành m t tam giác thì các
đo n th ng có đ dài a , b , c c ng l p đ c thành m t tam giác.

(x + 2) 2 - 8x
.
2
xx
2
a +2
89. Ch ng minh r ng v i m i s th c a, ta đ u có :
³ 2 . Khi nào có đ ng th c ?
2
a +1
88. Rút g n : a) A =

ab - b 2
a
b
b

b) B =

90. Tính : A = 3 + 5 + 3 - 5 b ng hai cách.
91. So sánh : a)
92. Tính : P =
93. Gi i ph

3 7 +5 2
và 6,9
b)
5
2+ 3
2- 3

+
.
2 + 2+ 3
2 - 2- 3

13 - 12 và

7- 6

ng trình :

x + 2 + 3 2x - 5 + x - 2 - 2x - 5 = 2 2 .
1.3.5...(2n - 1)
1
94. Ch ng minh r ng ta luôn có : Pn =
<
; "n Î Z+
2.4.6...2n
2n + 1

5

www.MATHVN.com


MAI TR NG M U

WWW.MATHVN.COM

a2

b2
a+ b£
+
.
b
a

95. Ch ng minh r ng n u a, b > 0 thì
96. Rút g n bi u th c :

A=

x - 4(x - 1) + x + 4(x - 1) æ
1 ö
.ç1 ÷.
è x -1 ø
x 2 - 4(x - 1)

a b +b a
1
:
= a - b (a, b > 0 ; a ≠ b)
ab
a- b
æ 14 - 7
æ a + a öæ a - a ö
15 - 5 ö
1
b) ç
+

= -2
c) ç 1 +
÷:
÷ç 1 ÷ = 1 - a (a >
1- 3 ø 7 - 5
a + 1 øè
a -1 ø
è 1- 2
è

97. Ch ng minh các đ ng th c sau : a)

0).

5 - 3 - 29 - 6 20

98. Tính : a)

æ
c) ç
è

; b) 2 3 + 5 - 13 + 48 .

ö
28 - 16 3 ÷ . 7 + 48 .
ø
99. So sánh : a) 3 + 5 và 15
b) 2 + 15 và 12 + 7
16

c) 18 + 19 và 9
d)
và 5. 25
2
7 + 48 -

100. Cho h ng đ ng th c :

a± b =

a + a2 - b
a - a2 - b
±
(a, b > 0 và a2 – b > 0).
2
2

Áp d ng k t qu đ rút g n :

a)

c)

2+ 3
2 + 2+ 3

+

2- 3
2 - 2- 3

; b)

3- 2 2
17 - 12 2

-

3+ 2 2
17 + 12 2

2 10 + 30 - 2 2 - 6
2
:
2 10 - 2 2
3 -1

101. Xác đ nh giá tr các bi u th c sau :

a) A =

b) B =

xy - x 2 - 1. y 2 - 1
xy + x 2 - 1. y 2 - 1

a + bx + a - bx
a + bx - a - bx

v i x=

v i x=

1æ
1ö
ça + ÷ , y =
2è
aø

1æ
1ö
ç b + ÷ (a > 1 ; b > 1)
2è
bø

2am
, m < 1.
b (1 + m 2 )

2x - x 2 - 1
102. Cho bi u th c P(x) =
3x 2 - 4x + 1

a) Tìm t t c các giá tr c a x đ P(x) xác đ nh. Rút g n P(x).
b) Ch ng minh r ng n u x > 1 thì P(x).P(- x) < 0.
103. Cho bi u th c A =

6

x+2-4 x -2 + x +2+4 x -2
.

4 4
- +1
x2 x

www.MATHVN.com


MAI TR NG M U

WWW.MATHVN.COM

a) Rút g n bi u th c A.
b) Tìm các s nguyên x đ bi u th c A là m t s nguyên.
104. Tìm giá tr l n nh t (n u có) ho c giá tr nh nh t (n u có) c a các bi u th c sau:

a) 9 - x 2
e) 1 - 2 1 - 3x

b) x - x (x > 0)

c) 1 + 2 - x

g) 2x 2 - 2x + 5

105. Rút g n bi u th c : A =

h) 1 - - x 2 + 2x + 5

x + 2x - 1 - x - 2x - 1 , b ng ba cách ?

106. Rút g n các bi u th c sau : a)

b)

5 3 + 5 48 - 10 7 + 4 3

4 + 10 + 2 5 + 4 - 10 + 2 5

c)

107. Ch ng minh các h ng đ ng th c v i b ≥ 0 ; a ≥

(

a + b ± a - b = 2 a ± a2 - b

b)

a + a2 - b
a - a2 - b
a± b =
±
2
2

108. Rút g n bi u th c : A =

94 - 42 5 - 94 + 42 5 .

b

)

a)

109. Tìm x và y sao cho :

d) x - 5 - 4
1
i)
2x - x + 3

x + 2 2x - 4 + x - 2 2x - 4

x+y-2 = x + y - 2

110. Ch ng minh b t đ ng th c :

a 2 + b2 + c2 + d 2 ³

(a + c)

2

+ (b + d) .
2

a2
b2
c2

a+b+c
111. Cho a, b, c > 0. Ch ng minh :
+
+
³
.
b+c c+a a +b
2

112. Cho a, b, c > 0 ; a + b + c = 1. Ch ng minh :

a)

a + 1 + b + 1 + c + 1 < 3,5

113. CM :

(a

2

+ c 2 )( b 2 + c2 ) +

b)

(a

2

a +b + b+c + c+a £ 6 .

+ d 2 )( b 2 + d 2 ) ³ (a + b)(c + d) v i a, b, c, d > 0.

114. Tìm giá tr nh nh t c a : A = x + x .
115. Tìm giá tr nh nh t c a : A =

(x + a)(x + b)
.
x

116. Tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a A = 2x + 3y bi t 2x2 + 3y2 ≤ 5.
117. Tìm giá tr l n nh t c a A = x + 2 - x .
118. Gi i ph

ng trình :

x - 1 - 5x - 1 = 3x - 2

119. Gi i ph

ng trình :

x + 2 x -1 + x - 2 x -1 = 2

120. Gi i ph

ng trình : 3x 2 + 21x + 18 + 2 x 2 + 7x + 7 = 2

121. Gi i ph

ng trình :

3x 2 + 6x + 7 + 5x 2 + 10x + 14 = 4 - 2x - x 2
122. Ch ng minh các s sau là s vô t : 3 - 2
;
2 2+ 3
123. Ch ng minh x - 2 + 4 - x £ 2 .
124. Ch ng minh b t đ ng th c sau b ng ph

a 2 + b 2 . b 2 + c 2 ³ b(a + c)

7

ng pháp hình h c :
v i a, b, c > 0.

www.MATHVN.com


MAI TR NG M U

WWW.MATHVN.COM

125. Ch ng minh (a + b)(c + d) ³ ac + bd v i a, b, c, d > 0.
126. Ch ng minh r ng n u các đo n th ng có đ dài a, b, c l p đ c thành m t tam giác thì các
đo n th ng có đ dài a , b , c c ng l p đ c thành m t tam giác.

(a + b)2 a + b
127. Ch ng minh
+

³ a b + b a v i a, b ≥ 0.
2
4
a
b
c
128. Ch ng minh
+
+
> 2 v i a, b, c > 0.
b+c
a+c
a+b
129. Cho x 1 - y 2 + y 1 - x 2 = 1 . Ch ng minh r ng x2 + y2 = 1.
130. Tìm giá tr nh nh t c a A =

x - 2 x -1 + x + 2 x -1

131. Tìm GTNN, GTLN c a A = 1 - x + 1 + x .
132. Tìm giá tr nh nh t c a A =

x 2 + 1 + x 2 - 2x + 5

133. Tìm giá tr nh nh t c a A = - x 2 + 4x + 12 - - x 2 + 2x + 3 .
134. Tìm GTNN, GTLN c a : a) A = 2x + 5 - x 2

(

b) A = x 99 + 101 - x 2

135. Tìm GTNN c a A = x + y bi t x, y > 0 th a mãn

)

a b
+ = 1 (a và b là h ng s d ng).
x y

136. Tìm GTNN c a A = (x + y)(x + z) v i x, y, z > 0 , xyz(x + y + z) = 1.

xy yz zx
+ +
v i x, y, z > 0 , x + y + z = 1.
z
x
y
x2
y2
z2
138. Tìm GTNN c a A =
+
+
bi t x, y, z > 0 , xy + yz + zx = 1 .
x+y y+z z+x
137. Tìm GTNN c a A =

139. Tìm giá tr l n nh t c a : a) A =
b) B =

(

a+ b

) (
4

+

a+ c

) (
4

+

(

a+ b

a+ d

)

2

v i a, b > 0 , a + b ≤ 1

) (
4

+

b+ c

) (
4

+

b+ d

) (
4

+

c+ d

)

4

v i a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1.
140. Tìm giá tr nh nh t c a A = 3x + 3y v i x + y = 4.

b
c
+
v i b + c ≥ a + d ; b, c > 0 ; a, d ≥ 0.
c+d a+b

141. Tìm GTNN c a A =
142. Gi i các ph

ng trình sau :

a) x - 5x - 2 3x + 12 = 0
2

d) x - 1 - x + 1 = 2

b) x 2 - 4x = 8 x - 1

e) x - 2 x - 1 - x - 1 = 1

h) x + 2 - 4 x - 2 + x + 7 - 6 x - 2 = 1

k) 1 - x 2 - x = x - 1

m) x 2 + 6 = x - 2 x 2 - 1
o) x - 1 + x + 3 + 2

8

c) 4x + 1 - 3x + 4 = 1
g) x + 2x - 1 + x - 2x - 1 = 2
i) x + x + 1 - x = 1

l) 2x 2 + 8x + 6 + x 2 - 1 = 2x + 2

n) x + 1 + x + 10 = x + 2 + x + 5

( x - 1) ( x 2 - 3x + 5) = 4 - 2x

www.MATHVN.com


MAI TR NG M U

WWW.MATHVN.COM

p) 2x + 3 + x + 2 + 2x + 2 - x + 2 = 1 + 2 x + 2 .

q) 2x 2 - 9x + 4 + 3 2x - 1 = 2x 2 + 21x - 11

(

143. Rút g n bi u th c : A = 2 2 - 5 + 3 2

)(

144. Ch ng minh r ng, "n Î Z+ , ta luôn có : 1 +
145. Tr c c n th c

m u : a)

1
1+ 2 + 5

)

18 - 20 + 2 2 .

(

)

1
1
1
+
+ .... +
> 2 n +1 -1 .
2
3
n
1
b)
.
x + x +1

146. Tính :

5 - 3 - 29 - 6 20

a)

(

147. Cho a = 3 - 5 . 3 + 5

148. Cho b =

a)
c)

(

3- 2 2
17 - 12 2

149. Gi i các ph

)

-

b) 6 + 2 5 - 13 + 48

)(

(5 - x )

)

17 + 12 2

ng trình sau :

5 - x + ( x - 3) x - 3
5- x + x -3

b)
=2

5 - 3 - 29 - 12 5

10 - 2 . Ch ng minh r ng a là s t nhiên.

3+ 2 2

3 -1 x - x + 4 - 3 = 0

c)

(

. b có ph i là s t nhiên không ?

)

3 -1 x = 2

(

)

3 +1 x - 3 3

d) x + x - 5 = 5

150. Tính giá tr c a bi u th c :

M = 12 5 - 29 + 25 + 4 21 - 12 5 + 29 - 25 - 4 21
1
1
1
1
+
+
+ ... +
.
1+ 2
2+ 3
3+ 4
n -1 + n
1
1
1
1
152. Cho bi u th c : P =
+
- ... +
2- 3
3- 4
4- 5
2n - 2n + 1
151. Rút g n : A =

a) Rút g n P.

b) P có ph i là s h u t không ?

1
1
1
1
+
+
+ ... +
.
2 1 +1 2 3 2 + 2 3 4 3 + 3 4
100 99 + 99 100
1
1
1
154. Ch ng minh : 1 +
+
+ ... +
> n.
2
3
n
155. Cho a = 17 - 1 . Hãy tính giá tr c a bi u th c: A = (a5 + 2a4 – 17a3 – a2 + 18a – 17)2000.
156. Ch ng minh : a - a - 1 < a - 2 - a - 3 (a ≥ 3)
1
157. Ch ng minh : x 2 - x + > 0 (x ≥ 0)
2
158. Tìm giá tr l n nh t c a S = x - 1 + y - 2 , bi t x + y = 4.
153. Tính : A =

159. Tính giá tr c a bi u th c sau v i a =

9

3
1 + 2a
1 - 2a
: A=
+
.
4
1 + 1 + 2a 1 - 1 - 2a

www.MATHVN.com


MAI TR NG M U

WWW.MATHVN.COM

160. Ch ng minh các đ ng th c sau :

(

)( 10 - 6 ) 4 - 15 = 2
5 ( 3 + 5 )( 10 - 2 ) = 8 d)

a) 4 + 15

c) 3 -

b) 4 2 + 2 6 =

7 + 48 =

161. Ch ng minh các b t đ ng th c sau :

2
2

(

2

(

)

3 +1

)

3 + 1 e) 17 - 4 9 + 4 5 = 5 - 2

5+ 5 5- 5
+
- 10 < 0
5- 5 5+ 5
æ
ö

5 +1
5 - 1 öæ
1
c) ç
+
+ 2 ÷ 0, 2 - 1,01 > 0
֍ 3 - 4
3
è 1 + 5 + 3 1 + 3 - 5 øè
ø
2 + 3 -1
2- 3æ
3
3 ö 1
d)
+
+
+ 3- 2 > 0
ç
÷2+ 6
2 6 è 2- 6 2+ 6 ø
2
27 + 6 > 48

a)

2+2

e)
h)

(

3+

b)

2 -1 +
5+

2 -2

)

7 -

(

2 - 1 > 1,9

)

3+ 5+ 7 <3

g)
i)

17 + 12 2 - 2 > 3 - 1
2 + 2 + 3 2- 2
< 0,8

4

1
< 2 n - 2 n - 1 . T đó suy ra:
n
1
1
1
2004 < 1 +
+
+ ... +
< 2005
2
3
1006009
2+ 3+ 4
3
163. Tr c c n th c m u : a)
b)
.
2+ 3+ 6+ 8+4
2+ 3 2 + 3 4
3+ 2
3- 2
164. Cho x =
và y=
. Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2.
3- 2
3+ 2
2002

2003
165. Ch ng minh b t đ ng th c sau :
+
> 2002 + 2003 .
2003
2002
x 2 - 3xy + y 2
166. Tính giá tr c a bi u th c : A =
v i x = 3 + 5 và y = 3 - 5 .
x+y+2
6x - 3
167. Gi i ph ng trình :
= 3 + 2 x - x2 .
x - 1- x
162. Ch ng minh r ng : 2 n + 1 - 2 n <

168. Gi i b t các pt :

a) 3 3 + 5x ³ 72

b)

1
10x - 14 ³ 1 c) 2 + 2 2 + 2x ³ 4 .
4

169. Rút g n các bi u th c sau :

a) A = 5 - 3 - 29 - 12 5

c) C =

10

x + 3 + 2 x2 - 9
2x - 6 + x 2 - 9

b) B = 1 - a + a(a - 1) + a

d) D =

a -1
a

x 2 + 5x + 6 + x 9 - x 2
3x - x 2 + (x + 2) 9 - x 2

www.MATHVN.com


MAI TR NG M U

WWW.MATHVN.COM

1
1
1
1
+
- ... 1- 2

2- 3
3- 4
24 - 25
1
170. Tìm GTNN và GTLN c a bi u th c A =
.
2 - 3 - x2
2
1
171. Tìm giá tr nh nh t c a A =
+
v i 0 < x < 1.
1- x x
172. Tìm GTLN c a : a) A = x - 1 + y - 2 bi t x + y = 4 ;
E=

b) B =

y-2
x -1
+
x
y

173. Cho a = 1997 - 1996 ; b = 1998 - 1997 . So sánh a v i b, s nào l n h n ?
174. Tìm GTNN, GTLN c a :

a) A =

1

5+2 6-x

2

b) B = - x 2 + 2x + 4 .

175. Tìm giá tr l n nh t c
176. Tìm giá tr l n nh t c
177. Tìm GTNN, GTLN c
178. Tìm GTNN, GTLN c

a
a
a
a

179. Gi i ph

ng trình :

1 - x + x 2 - 3x + 2 + (x - 2)

180. Gi i ph

ng trình : x 2 + 2x - 9 = 6 + 4x + 2x 2 .

A = x 1- x2 .

A = | x – y | bi t x2 + 4y2 = 1.
A = x3 + y3 bi t x, y ≥ 0 ; x2 + y2 = 1.

A = x x + y y bi t
x + y = 1.

x -1
= 3.
x-2

1
1
1
1
+
+
+ ... +
< 2.
2 3 2 4 3
(n + 1) n
1
1
1
1
182. Cho A =
+
+
+ ... +
. Hãy so sánh A và 1,999.
1.1999
2.1998
3.1997
1999.1

183. Cho 3 s x, y và x + y là s h u t . Ch ng minh r ng m i s
x ; y đ u là s
181. CMR, "n Î Z+ , ta có :

h ut

3+ 2
- 2 6 ; b = 3 + 2 2 + 6 - 4 2 . CMR : a, b là các s h u t .
3- 2
æ 2+ a
a - 2 ö a a + a - a -1
185. Rút g n bi u th c : P = ç
÷.
a
è a + 2 a +1 a -1 ø
184. Cho a =

(a >0 ; a ≠ 1)

æ a +1
öæ
a -1
1 ö
+ 4 a ÷ç a ÷ = 4a .
a +1
aø
è a -1
øè

186. Ch ng minh : ç

187. Rút g n :

11

( x + 2)

(a > 0 ; a ≠ 1)

2

- 8x
2
xx

(0 < x < 2)

www.MATHVN.com


MAI TR NG M U

WWW.MATHVN.COM

ổ

b - ab ử ổ
a
b
a+bử

+
ữ:ỗ
ữ
a + b ứ ố ab + b
ab - a
ab ứ

188. Rỳt g n : ỗ a +

ố

189. Gi i b t ph

(

ng trỡnh : 2 x + x + a
2

2

)Ê

5a 2

(a 0)

x2 + a2
ộổ 1 - a a
ửổ 1 + a a
ửự

190. Cho A = (1 - a 2 ) : ờỗ
+ a ữỗ
- a ữỳ + 1
ờởố 1 - a
ứố 1 + a
ứ ỳỷ
a) Rỳt g n bi u th c A.

b) Tớnh giỏ tr c a A v i a = 9.

c) V i giỏ tr no c a a thỡ | A | = A.
191. Cho bi u th c : B =

a + b -1
a- bổ
b
b ử
+
+
ỗ
ữ.
a + ab
2 ab ố a - ab a + ab ứ

a) Rỳt g n bi u th c B.
c) So sỏnh B v i -1.

ổ

192. Cho A = ỗ

b) Tớnh giỏ tr c a B n u a = 6 + 2 5 .

1

a+b ử
ử ổ
:
1
+
ỗ
ữ
ữ
a + a+b ứ ố
a-b ứ
1

+

ố a - a-b

a) Rỳt g n bi u th c A.
b) Tỡm b bi t | A | = -A.
c) Tớnh giỏ tr c a A khi a = 5 + 4 2 ; b = 2 + 6 2 .

ổ a +1
ửổ
a -1
1 ử
+ 4 a ữỗ a ữ

a +1
aứ
ố a -1
ứố

193. Cho bi u th c A = ỗ
a) Rỳt g n bi u th c A.

b) Tỡm giỏ tr c a A n u a =

6
2+ 6

c) Tỡm giỏ tr c a a

.

A > A.

ổ a
1 ửổ a - a a + a ử
ữỗ
ữ.
2
2
a
a
+
1
a

1
ố
ứố
ứ

194. Cho bi u th c A = ỗ
a) Rỳt g n bi u th c A.

b) Tỡm giỏ tr c a A A = - 4

ổ 1+ a
1- a
+
1+ a
ố 1- a

195. Th c hi n phộp tớnh : A = ỗ
196. Th c hi n phộp tớnh : B =

2+ 3
2 + 2+ 3

+

ử ổ 1+ a
1- a ử
ữ:ỗ
ữ
1+ a ứ
ứ ố 1- a

2- 3
2 - 2- 3

197. Rỳt g n cỏc bi u th c sau :

ộ
x - y ờổ 1 1 ử
1
a) A =
: ỗ + ữ.
+
ờ
xy xy
ố x y ứ x + y + 2 xy
ởờ

ự
ổ 1
1 ửỳ
.
+
ữ
3 ỗ
ỗ
y ữứ ỳ
x+ y ố x
ỷỳ
2

(

)

v i x = 2- 3 ; y = 2+ 3 .
b) B =

12

x + x 2 - y2 - x - x 2 - y2
2(x - y)

v i x>y>0

www.MATHVN.com


MAI TR NG M U

WWW.MATHVN.COM

c) C =

2a 1 + x 2

v i x=

1+ x2 - x

(a

`d) D = (a + b) e) E =

2

1 ổ 1- a
a ử
ỗ
ữ
2ố a
1- a ứ

+ 1)( b 2 + 1)

x + 2 x -1 + x - 2 x -1
x + 2x - 1 + x - 2x - 1
x+

0
v i a, b, c > 0 v ab + bc + ca = 1

c2 + 1

198. Ch ng minh :

;

. 2x - 1

x2 - 4

+
x

x-

x2 - 4
2x + 4
=
x
x

v i x 2.

-1 + 2
-1 - 2
,b=
. Tớnh a7 + b7.
2
2
200. Cho a = 2 - 1
a) Vi t a2 ; a3 d i d ng m - m - 1 , trong ú m l s t nhiờn.
199. Cho a =

`

b) Ch ng minh r ng v i m i s nguyờn d ng n, s an vi t c d i d ng trờn.
201. Cho bi t x = 2 l m t nghi m c a ph ng trỡnh x3 + ax2 + bx + c = 0 v i cỏc h s
h u t . Tỡm cỏc nghi m cũn l i.
202. Ch ng minh 2 n - 3 <
203. Tỡm ph n nguyờn c a s

1
1
1
+
+ ... +
< 2 n - 2 v i nẻ N ; n 2.
2
3
n

204. Cho a = 2 + 3. Tớnh a)
205. Cho 3 s x, y,

(cú 100 d u c n).

6 + 6 + ... + 6 + 6
ộởa 2 ựỷ

b)

ộởa 3 ựỷ .

x + y l s h u t . Ch ng minh r ng m i s

x , y u l s h u

t

1

1
1
1
+
+
+ ... +
<2
2 3 2 4 3
(n + 1) n
1
1
1
1
207. Cho 25 s t nhiờn a1 , a2 , a3 , a25 th a k :
+
+
+ ... +
=9.
a1
a2
a3
a 25

206. CMR, "n 1 , n ẻ N :

Ch ng minh r ng trong 25 s t nhiờn ú t n t i 2 s b ng nhau.
208. Gi i ph

ng trỡnh

2+ x
2 + 2+ x

209. Gi i v bi n lu n v i tham s a

+

2- x

= 2.

2 - 2- x
1+ x + 1- x
= a.
1+ x - 1- x

ỡ x (1 + y ) = 2y
ùù
210. Gi i h ph ng trỡnh ớ y (1 + z ) = 2z
ù
ùợ z (1 + x ) = 2x
211. Ch ng minh r ng :

13

www.MATHVN.com


MAI TR NG M U

WWW.MATHVN.COM

(8 + 3 7 ) cú 7 ch
( 7 + 4 3 ) cú m
7

a) S

10

b) S

s 9 li n sau d u ph y.
i ch s 9 li n sau d u ph y.

212. Kớ hi u an l s nguyờn g n

n nh t (n ẻ N*), vớ d :
1 = 1 ị a1 = 1 ;
2 ằ 1, 4 ị a 2 = 1 ;
3 ằ 1,7 ị a 3 = 2 ;
1 1 1
1
Tớnh :
+ + + ... +
.
a1 a 2 a 3
a1980
213. Tỡm ph n nguyờn c a cỏc s (cú n d u c n) :
b) a n = 4 + 4 + ... + 4 + 4

4 = 2 ị a4 = 2

a) a n = 2 + 2 + ... + 2 + 2

c) a n = 1996 + 1996 + ... + 1996 + 1996

214. Tỡm ph n nguyờn c a A v i n ẻ N : A = 4n 2 + 16n 2 + 8n + 3
215. Ch ng minh r ng khi vi t s
tr

x=

(

3+ 2

)

200

d

i d ng th p phõn, ta

c d u ph y l 1, ch s li n sau d u ph y l 9.

216. Tỡm ch s t n cựng c a ph n nguyờn c a

(

3+ 2

)

c ch s li n

250

.

217. Tớnh t ng A = ộ 1 ự + ộ 2 ự + ộ 3 ự + ... + ộ 24 ự

ở

ỷ ở

ỷ ở

ỷ

ở

218. Tỡm giỏ tr l n nh t c a A = x (3 x) v i x 0.
219. Gi i ph ng trỡnh : a) 3 x + 1 + 3 7 - x = 2

ỷ

2

x - 2 + x +1 = 3 .
220. Cú t n t i cỏc s h u t d ng a, b khụng n u : a) a + b = 2 b) a + b = 4 2 .
221. Ch ng minh cỏc s sau l s vụ t : a) 3 5
b) 3 2 + 3 4
a+b+c 3
222. Ch ng minh b t ng th c Cauchy v i 3 s khụng õm :
abc .
3
a
b
c
d
1
223. Cho a, b, c, d > 0. Bi t
+
+
+
Ê 1 . Ch ng minh r ng : abcd Ê .
1+ a 1+ b 1+ c 1+ d
81
2
2
2
x
y
z
x y z
224. Ch ng minh b t ng th c : 2 + 2 + 2 + +
v i x, y, z > 0
y

z
x
y z x
b)

3

225. Cho a = 3 3 + 3 3 + 3 3 - 3 3 ; b = 2 3 3 . Ch ng minh r ng : a < b.
n

ổ 1ử
226. a) Ch ng minh v i m i s nguyờn d ng n, ta cú : ỗ1 + ữ < 3 .
ố nứ
b) Ch ng minh r ng trong cỏc s cú d ng n n (n l s t nhiờn), s 3 3 cú giỏ tr l n nh t
227. Tỡm giỏ tr nh nh t c a A = x 2 + x + 1 + x 2 - x + 1 .
228. Tỡm giỏ tr nh nh t c a A = x2(2 x) bi t x 4.
229. Tỡm giỏ tr l n nh t c a A = x 2 9 - x 2 .
230. Tỡm giỏ tr nh nh t, giỏ tr l n nh t c a A = x(x2 6) bi t 0 x 3.
231. M t mi ng bỡa hỡnh vuụng cú c nh 3 dm. m i gúc c a hỡnh vuụng l n, ng i ta c t i
m t hỡnh vuụng nh r i g p bỡa c m t cỏi h p hỡnh h p ch nh t khụng n p. Tớnh c nh
hỡnh vuụng nh th tớch c a h p l l n nh t.

14

www.MATHVN.com


MAI TR NG M U

WWW.MATHVN.COM

232. Gi i các ph

ng trình sau :

a) 1 + x - 16 = x + 3
3

c)

3

3

b)

x + 1 + 3 x - 1 = 3 5x

3

2 - x + x -1 = 1

d) 2 3 2x - 1 = x 3 + 1

x 3 - 3x - ( x 2 - 1) x 2 - 4

h)

3

(x + 1) 2 + 3 (x - 1) 2 + 3 x 2 - 1 = 1

k)

4

1- x2 + 4 1+ x + 4 1- x = 3

2

7- x - 3 x -5
g) 3
= 6-x
7- x + 3 x -5
3

= 2- 3

e)

3

i)
l)

4

3

x +1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0

a - x + 4 b - x = 4 a + b - 2x (a, b là

tham s )
3

233. Rút g n A =

a 4 + 3 a 2 b2 + 3 b4
3

a 2 + 3 ab + 3 b 2

.

234. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : A = x 2 - x + 1 + x 2 + x + 1
235. Xác đ nh các s nguyên a, b sao cho m t trong các nghi m c a ph ng trình :
3x3 + ax2 + bx + 12 = 0 là 1 + 3 .
236. Ch ng minh

3

3 là s vô t .

237. Làm phép tính : a)

3

1 + 2 .6 3 - 2 2

b)

6

9 + 4 5. 3 2 - 5 .

238. Tính : a = 3 20 + 14 2 + 3 20 - 14 2 .
239. Ch ng minh :

3

240. Tính : A =

(

7 + 48 - 4 28 - 16 3 . 4 7 + 48 .

241. Hãy l p ph

ng trình f(x) = 0 v i h s nguyên có m t nghi m là : x = 3 3 + 3 9 .

4

7 + 5 2 + 3 7 - 2 5 = 2.

)

242. Tính giá tr c a bi u th c : M = x3 + 3x – 14 v i x = 3 7 + 5 2 243. Gi i các ph

b)

3

ng trình : a)

3

c)

(

x 2 + 32 - 2 4 x 2 + 32 = 3

)

Voi x > 0 , x ≠ 8

3
æ
x2
:ç2+
ç
2+ 3 x
è

ö æ3
2 3 x öæ 3 x2 - 4
÷+ç x + 3
÷ çç 3 2
÷

x
2
è
øè x + 2 x
ø

247. CMR : x = 3 5 - 17 + 3 5 + 17 là nghi m c a ph

15

)

(

x3 + 2 1 + x3 + 1 + x3 + 2 1 - x3 + 1 .

ng a, b, c, d. Ch ng minh : a + b + c + d ≥ 4 4 abcd .

8-x
246. Rút g n : P =
2- 3 x

1
3

7+5 2

.

x + 2 + 25 - x = 3 .

244. Tìm GTNN c a bi u th c : A =

248. Cho x =

3

3

x - 9 = (x - 3) 2 + 6

245. Cho các s d

1

4 - 15

ö
÷;
÷
ø

ng trình x3 – 6x – 10 = 0.

+ 3 4 - 15 . Tính giá tr bi u th c y = x3 – 3x + 1987.

www.MATHVN.com


MAI TR NG M U

WWW.MATHVN.COM

a + 2 + 5.

249. Ch ng minh đ ng th c :
3

9-4 5

= - 3 a -1.

2 - 5 .3 9 + 4 5 - 3 a 2 + 3 a
æ3
ö
9 + 4 5 + 3 2 + 5 ÷ . 3 5 - 2 - 2,1 < 0 .
è
ø

250. Ch ng minh b t đ ng th c : ç
251. Rút g n các bi u th c sau :

æ
ö ç 1+ 23 1
a + a b + b
4b
b
÷ .ç
a) A =
3

÷
3 2
1
3
a + 3 ab + 3 b 2
b + 2 ÷ ç 1 - 2.
3
ç
ø
b
è
æ a 3 a - 2a 3 b + 3 a 2 b 2 3 a 2 b - 3 ab 2 ö 1
c) C = ç
+ 3
÷. 2 .
3
3 2
3
ç
÷ 3a
a
b
a
ab
è
ø
3

4

252. Cho M =

3

2

2

3

4

æ
b
b) ç
ç b +8
ç
è

(

)

ö
÷ 24
÷÷ b +8
÷
ø

x 2 - 4a + 9 + x 2 - 4x + 8 . Tính giá tr c a bi u th c M bi t r ng:

x 2 - 4x + 9 - x 2 - 4x + 8 = 2 .

253. Tìm giá tr nh nh t c a : P = x 2 - 2ax + a 2 + x 2 - 2bx + b 2 (a < b)
254. Ch ng minh r ng, n u a, b, c là đ dài 3 c nh c a m t tam giác thì :
abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)
255. Tìm giá tr c a bi u th c | x – y | bi t x + y = 2 và xy = -1
256. Bi t a – b = 2 + 1 , b – c = 2 - 1, tìm giá tr c a bi u th c :
A = a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca.
257. Tìm x, y, z bi t r ng : x + y + z + 4 = 2 x - 2 + 4 y - 3 + 6 z - 5 .
258. Cho y =
s .

x + 2 x - 1 + x - 2 x - 1 . CMR, n u 1 ≤ x ≤ 2 thì giá tr c a y là m t h ng

259. Phân tích thành nhân t : M = 7 x - 1 - x 3 - x 2 + x - 1

(x ≥ 1).

260. Trong t t c các hình ch nh t có đ ng chéo b ng 8 2 , hãy tìm hình ch nh t có di n
tích l n nh t.
261. Cho tam giác vuông ABC có các c nh góc vuông là a, b và c nh huy n là c. Ch ng minh
r ng ta luôn có : c ³
262. Cho các s d
N u

a+b
.
2

ng a, b, c, a’, b’, c’. Ch ng minh r ng :

aa' + bb ' + cc ' = (a + b + c)(a '+ b '+ c ') thì

a b c
= =
.
a' b ' c '

263. Gi i ph ng trình : | x2 – 1 | + | x2 – 4 | = 3.
264. Ch ng minh r ng giá tr c a bi u th c C không ph thu c vào x, y :

C=

x+y
x+ y
x+y ö 2 x y
÷
x+y
x + y ÷ø
1

æ
çç
è

( x + y)
4xy

4

v i x > 0 ; y > 0.

265. Ch ng minh giá tr bi u th c D không ph thu c vào a:

16

www.MATHVN.com


MAI TR NG M U

WWW.MATHVN.COM

æ 2+ a
a - 2 ö a a + a - a -1
D=ç
v ia>0 ; a≠1
÷
a
è a + 2 a +1 a -1 ø
æ
c - ac ö
1
266. Cho bi u th c B = ç a +
.
÷a
c
a
+
c

a
+
c
è
ø
+
ac + c
ac - a
ac
a) Rút g n bi u th c B.
b) Tính giá tr c a bi u th c B khi c = 54 ; a = 24
c) V i giá tr nào c a a và c đ B > 0 ; B < 0.

æ

267. Cho bi u th c : A= ç m+

è

2mn
2mn ö
1
+ m1+ 2
2
2 ÷
1+n
1+ n ø
n

a) Rút g n bi u th c A.

c) Tìm giá tr nh nh t c a A.
268. Rút g n

v im≥0;n≥1

b) Tìm giá tr c a A v i m = 56 + 24 5 .

æ
öæ 1
1+ x
1- x
1- x ö
x
D=ç
-1 ֍
÷
2
x ø1- x + 1- x2
1 - x 2 - 1 + x øè x
è 1+ x - 1- x
æ 1
ö æ 2 xö
2 x
269. Cho P = ç
÷ : ç1 ÷ v i x ≥ 0 ; x ≠ 1.
è x -1 x x + x - x -1 ø è x +1 ø
a) Rút g n bi u th c P.

b) Tìm x sao cho P < 0.

x + x
2x + x
+1.
x - x +1
x
2

270. Xét bi u th c y =

a) Rút g n y. Tìm x đ y = 2.
b) Gi s x > 1. Ch ng minh r ng : y - | y | = 0
c) Tìm giá tr nh nh t c a y ?

PH N II: H

NG D N GI I

m
m2
1. Gi s
7 là s h u t Þ 7 =
(t i gi n). Suy ra 7 = 2 hay 7n 2 = m 2 (1). ng th c
n
n
2
này ch ng t m M 7 mà 7 là s nguyên t nên m M 7. t m = 7k (k Î Z), ta có m2 = 49k2 (2).
T (1) và (2) suy ra 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3). T (3) ta l i có n2 M 7 và vì 7 là s nguyên t
m
nên n M 7. m và n cùng chia h t cho 7 nên phân s
không t i gi n, trái gi thi t. V y 7

n
không ph i là s h u t ; do đó 7 là s vô t .
2. Khai tri n v trái và đ t nhân t chung, ta đ c v ph i. T a) Þ b) vì (ad – bc)2 ≥ 0.
3. Cách 1 : T x + y = 2 ta có y = 2 – x. Do đó : S = x2 + (2 – x)2 = 2(x – 1)2 + 2 ≥ 2.
V y min S = 2 Û x = y = 1.

17

www.MATHVN.com


MAI TR NG M U

WWW.MATHVN.COM

Cách 2 : Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopxki v i a = x, c = 1, b = y, d = 1, ta có :
(x + y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 1) Û 4 ≤ 2(x2 + y2) = 2S Û S ≥ 2. Þ mim S = 2 khi x = y = 1
4. b) Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho các c p s d
ta l n l

ng

t có:

bc
ca bc
ab ca
ab
và
;

và
;
và
,
a
b a
c b
c

bc ca
bc ca
bc ab
bc ab
ca ab
ca ab
+ ³2
. = 2c;
+
³2
. = 2b ; +
³2
. = 2a c ng t ng
a
b
a b
a
c
a c
b
c

b c

v ta đ

c b t đ ng th c c n ch ng minh. D u b ng x y ra khi a = b = c.

3a + 5b
³ 3a.5b .
2
12
12
Û (3a + 5b)2 ≥ 4.15P (vì P = a.b) Û 122 ≥ 60P Û P ≤
Þ max P =
.
5
5
c) V i các s d

ng 3a và 5b , theo b t đ ng th c Cauchy ta có :

D u b ng x y ra khi 3a = 5b = 12 : 2 Û a = 2 ; b = 6/5.
5. Ta có b = 1 – a, do đó M = a3 + (1 – a)3 = 3(a – ½)2 + ¼ ≥ ¼ . D u “=” x y ra khi a = ½ .
V y min M = ¼ Û a = b = ½ .
6. t a = 1 + x Þ b3 = 2 – a3 = 2 – (1 + x)3 = 1 – 3x – 3x2 – x3 ≤ 1 – 3x + 3x2 – x3 = (1 – x)3.
Suy ra : b ≤ 1 – x. Ta l i có a = 1 + x, nên : a + b ≤ 1 + x + 1 – x = 2.
V i a = 1, b = 1 thì a3 + b3 = 2 và a + b = 2. V y max N = 2 khi a = b = 1.
7. Hi u c a v trái và v ph i b ng (a – b)2(a + b).
8. Vì | a + b | ≥ 0 , | a – b | ≥ 0 , nên : | a + b | > | a – b | Û a2 + 2ab + b2 ≥ a2 – 2ab + b2
Û 4ab > 0 Û ab > 0. V y a và b là hai s cùng d u.
9. a) Xét hi u : (a + 1)2 – 4a = a2 + 2a + 1 – 4a = a2 – 2a + 1 = (a – 1)2 ≥ 0.

b) Ta có : (a + 1)2 ≥ 4a ; (b + 1)2 ≥ 4b ; (c + 1)2 ≥ 4c và các b t đ ng th c này có hai v đ u
d ng, nên : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]2 ≥ 64abc = 64.1 = 82. V y (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8.
10. a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2). Do (a – b)2 ≥ 0, nên (a + b) 2 ≤ 2(a2 + b2).
b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2. Khai tri n và rút g n, ta đ c :
3(a2 + b2 + c2). V y : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2).

é 2x - 3 = 1 - x
11. a) 2x - 3 = 1 - x Û ê
Û
ë 2x - 3 = x - 1

é3x = 4
êx = 2 Û
ë

4
é
êx = 3
ê
ëx = 2

b) x2 – 4x ≤ 5 Û (x – 2)2 ≤ 33 Û | x – 2 | ≤ 3 Û -3 ≤ x – 2 ≤ 3 Û -1 ≤ x ≤ 5.
c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1 Û (2x – 1)2 ≤ 0. Nh ng (2x – 1)2 ≥ 0, nên ch có th : 2x – 1 = 0
V y: x=½.
12. Vi t đ ng th c đã cho d i d ng : a2 + b2 + c2 + d2 – ab – ac – ad = 0 (1). Nhân hai v c a
(1) v i 4 r i đ a v d ng : a2 + (a – 2b)2 + (a – 2c)2 + (a – 2d)2 = 0 (2). Do đó ta có :
a = a – 2b = a – 2c = a – 2d = 0 . Suy ra : a = b = c = d = 0.
13. 2M = (a + b – 2)2 + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2.1998 ≥ 2.1998 Þ M ≥ 1998.

ìa + b - 2 = 0

ï
D u “ = “ x y ra khi có đ ng th i : ía - 1 = 0
V y min M = 1998 Û a = b = 1.
ïb - 1 = 0
î
14. Gi i t ng t bài 13.
15.
a đ ng th c đã cho v d ng : (x – 1)2 + 4(y – 1)2 + (x – 3)2 + 1 = 0.
16. A =

18

1
1
1
1
=
£ . max A= Û x = 2 .
2
x - 4x + 9 ( x - 2 ) + 5 5
5
2

www.MATHVN.com


MAI TR NG M U

WWW.MATHVN.COM

7 + 15 < 9 + 16 = 3 + 4 = 7 . V y 7 + 15 < 7
b) 17 + 5 + 1 > 16 + 4 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7 = 49 > 45 .
23 - 2 19 23 - 2 16 23 - 2.4
c)
<
=
= 5 = 25 < 27 .
3
3
3
17. a)

d) Gi s

3 2> 2 3 Û

(

) (
2

3 2

>

2 3

B t đ ng th c cu i cùng đúng, nên :
18. Các s đó có th là 1,42 và

)

2

Û 3 2 > 2 3 Û 18 > 12 Û 18 > 12 .

3 2 > 2 3.

2+ 3
2

19. Vi t l i ph ng trình d i d ng : 3(x + 1) 2 + 4 + 5(x + 1)2 + 16 = 6 - (x + 1) 2 .
V trái c a ph ng trình không nh h n 6, còn v ph i không l n h n 6. V y đ ng th c ch x y
ra khi c hai v đ u b ng 6, suy ra x = -1.
2

20. B t đ ng th c Cauchy

a+b
æa+bö
ab £
vi t l i d i d ng ab £ ç
÷ (*) (a, b ≥ 0).
2
è 2 ø

Áp d ng b t d ng th c Cauchy d

i d ng (*) v i hai s d

ng 2x và xy ta đ

c:

2

æ 2x + xy ö
2x.xy £ ç
÷ =4
è 2 ø
D u “ = “ x y ra khi : 2x = xy = 4 : 2 t c là khi x = 1, y = 2. Þ max A = 2 Û x = 2, y = 2.
21. B t đ ng th c Cauchy vi t l i d

i d ng :

22. Ch ng minh nh bài 1.

1
2
1998
>
. Áp d ng ta có S > 2.
.
1999
ab a + b

x y
x 2 + y 2 - 2xy (x - y) 2
x y
+ -2=

=
³ 0. V y + ³ 2
y x
xy
xy
y x
2
2
2
2
æx
y ö æx yö æx
y ö æx yö æx yö
b) Ta có : A = ç 2 + 2 ÷ - ç + ÷ = ç 2 + 2 ÷ - 2 ç + ÷ + ç + ÷ . Theo câu a :
x ø èy xø èy
x ø èy xø èy xø
èy
23. a)

2

2

æ x 2 y2 ö æ x y ö
æx ö æy ö
A ³ ç 2 + 2 ÷ - 2 ç + ÷ + 2 = ç - 1÷ + ç - 1÷ ³ 0
x ø èy xø
èy ø èx ø
èy
æ x 4 y4 ö æ x 2 y2 ö

x y
c) T câu b suy ra : ç 4 + 4 ÷ - ç 2 + 2 ÷ ³ 0 . Vì
+ ³ 2 (câu a). Do đó :
y
x
y
x
y
x
è
ø è
ø
æ x 4 y4 ö æ x 2 y2 ö æ x y ö
ç 4 + 4 ÷-ç 2 + 2 ÷+ç + ÷ ³ 2.
x ø èy
x ø èy xø
èy
24. a) Gi s

1 + 2 = m (m : s h u t ) Þ

b) Gi s

3
= a (a : s h u t ) Þ
n

t , vô lí.

m+

25. Có, ch ng h n

19

2 = m2 – 1 Þ

3
=a–m Þ
n

2 là s h u t (vô lí)

3 = n(a – m) Þ

3 là s h u

2 + (5 - 2) = 5

www.MATHVN.com


MAI TR NG M U

WWW.MATHVN.COM

t

26.

x y
x 2 y2
x 2 y2
+ = a Þ 2 + 2 + 2 = a 2 . D dàng ch ng minh 2 + 2 ³ 2 nên a2 ≥ 4, do đó
y x
y
x
y
x

| a | ≥ 2 (1). B t đ ng th c ph i ch ng minh t ng đ ng v i : a2 – 2 + 4 ≥ 3a
Û a2 – 3a + 2 ≥ 0 Û (a – 1)(a – 2) ≥0 (2)
T (1) suy ra a ≥ 2 ho c a ≤ -2. N u a ≥ 2 thì (2) đúng. N u a ≤ -2 thì (2) c ng đúng. Bài
toán đ c ch ng minh.
27. B t đ ng th c ph i ch ng minh t ng đ ng v i :

x 4 z 2 + y 4 x 2 + z 4 x 2 - ( x 2 z + y 2 x + z 2 y ) xyz
x 2 y2 z2

³ 0.

C n ch ng minh t không âm, t c là : x3z2(x – y) + y3x2(y – z) + z3y2(z – x) ≥ 0. (1)
Bi u th c không đ i khi hoán v vòng x à y à z à x nên có th gi s x là s l n nh t. Xét hai
tr ng h p :
a) x ≥ y ≥ z > 0. Tách z – x (1) thành – (x – y + y – z), (1) t ng đ ng v i :
x3z2(x – y) + y3x2(y – z) – z3y2(x – y) – z3y2(y – z) ≥ 0
Û z2(x – y)(x3 – y2z) + y2(y – z)(yx2 – z3) ≥ 0
D th y x – y ≥ 0 , x3 – y2z ≥ 0 , y – z ≥ 0 , yx2 – z3 ≥ 0 nên b t đ ng th c trên đúng.
b) x ≥ z ≥ y > 0. Tách x – y (1) thành x – z + z – y , (1) t ng đ ng v i :
x3z2(x – z) + x3z2(z – y) – y3x2(z – y) – z3y2(x – z) ≥ 0

Û z2(x – z)(x3 – zy2) + x2(xz2 – y3)(z – y) ≥ 0
D th y b t đ ng th c trên dúng.
Cách khác : Bi n đ i b t đ ng th c ph i ch ng minh t ng đ ng v i :
2

2

2

æx ö æy ö æz ö æx y zö
ç - 1÷ + ç - 1÷ + ç - 1÷ + ç + + ÷ ³ 3 .
èy ø èz ø èx ø èy z xø

28. Ch ng minh b ng ph n ch ng. Gi s t ng c a s h u t a v i s vô t b là s h u t c. Ta có
: b = c – a. Ta th y, hi u c a hai s h u t c và a là s h u t , nên b là s h u t , trái v i gi thi t.
V y c ph i là s vô t .
29. a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) Þ (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2).
b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2. Khai tri n và rút g n ta đ c :
3(a2 + b2 + c2). V y : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
c) T ng t nh câu b
30. Gi s a + b > 2 Þ (a + b)3 > 8 Û a3 + b3 + 3ab(a + b) > 8 Û 2 + 3ab(a + b) > 8
Þ ab(a + b) > 2 Þ ab(a + b) > a3 + b3. Chia hai v cho s d ng a + b : ab > a2 – ab + b2
Þ (a – b)2 < 0, vô lí. V y a + b ≤ 2.
31. Cách 1: Ta có : [ x ] ≤ x ; [ y] ≤ y nên [ x ] + [ y] ≤ x + y. Suy ra [ x ] + [ y] là s nguyên
không v
v

t quá x + y (1). Theo đ nh ngh a ph n nguyên, [ x + y ] là s nguyên l n nh t không

t quá x + y (2). T (1) và (2) suy ra :

Cách 2 : Theo đ nh ngh a ph n nguyên :

[ x ] + [ y] ≤ [ x + y ] .
0 ≤ x - [ x ] < 1 ; 0 ≤ y - [ y] < 1.

Suy ra : 0 ≤ (x + y) – ( [ x ] + [ y] ) < 2. Xét hai tr
-

20

ng h p :

N u 0 ≤ (x + y) – ( [ x ] + [ y] ) < 1 thì

[ x + y] = [ x ] + [ y] (1)
N u 1 ≤ (x + y) – ( [ x ] + [ y] ) < 2 thì 0 ≤ (x + y) – ( [ x ] + [ y] + 1) < 1 nên
[ x + y] = [ x ] + [ y] + 1 (2). Trong c hai tr ng h p ta đ u có : [ x ] + [ y] ≤ [ x + y]

www.MATHVN.com


MAI TR NG M U

WWW.MATHVN.COM

32. Ta có x2 – 6x + 17 = (x – 3)2 + 8 ≥ 8 nên t và m u c a A là các s d
đó : A l n nh t Û
V y max A =

ng , suy ra A > 0 do

1
nh nh t Û x2 – 6x + 17 nh nh t.
A

1
Û x = 3.
8

33. Không đ c dùng phép hoán v vòng quanh x à y à z à x và gi s
Cách 1 : Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho 3 s d ng x, y, z :

A=

x ≥ y ≥ z.

x y z
x y z
+ + ³ 33 . . = 3
y z x
y z x

æx y zö
x y z
+ + ÷=3 Û = = Ûx = y=z
y z x
èy z xø
x y z æx yö æy z yö
x y

Cách 2 : Ta có : + + = ç + ÷ + ç + - ÷ . Ta đã có + ³ 2 (do x, y > 0) nên
y z x èy xø èz x xø
y x
x y z
y z y
đ ch ng minh + + ³ 3 ta ch c n ch ng minh : + - ³ 1 (1)
y z x
z x x
Do đó min ç

(1) Û xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai v v i s d ng xz)
Û xy + z – yz – xz ≥ 0 Û y(x – z) – z(x – z) ≥ 0 Û (x – z)(y – z) ≥ 0 (2)
(2) đúng v i gi thi t r ng z là s nh nh t trong 3 s x, y, z, do đó (1) đúng. T đó tìm đ
2

tr nh nh t c a

c giá

x y z
+ + .
y z x

34. Ta có x + y = 4 Þ x2 + 2xy + y2 = 16. Ta l i có (x – y)2 ≥ 0 Þ x2 – 2xy + y2 ≥ 0. T đó suy
ra 2(x2 + y2) ≥ 16 Þ x2 + y2 ≥ 8. min A = 8 khi và ch khi x = y = 2.
35. Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho ba s không âm :
1 = x + y + z ≥ 3. 3 xyz
(1)
2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3. 3 (x + y)(y + z)(z + x)

(2)

æ2ö
Nhân t ng v c a (1) v i (2) (do hai v đ u không âm) : 2 ≥ 9. A Þ A ≤ ç ÷
è9ø
3
1
æ2ö
max A = ç ÷ khi và ch khi x = y = z = .
3
è9ø

3

3

36. a) Có th . b, c) Không th .
37. Hi u c a v trái và v ph i b ng (a – b)2(a + b).

1
4
³
v i x, y > 0 :
xy (x + y) 2
a
c
a 2 + ad + bc + c 2 4(a 2 + ad + bc + c 2 )
+
=
³

(1)
b+c d+a
(b + c)(a + d)
(a + b + c + d) 2
b
d
4(b 2 + ab + cd + d 2 )
T ng t
+
³
(2)
c+d a+b
(a + b + c + d) 2
a
b
c
d
4(a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + ad + bc + ab + cd)
C ng (1) v i (2)
+
+
+
³
= 4B
b+c c+d d+a a +b
(a + b + c + d)2

38. Áp d ng b t đ ng th c

21

www.MATHVN.com


MAI TR NG M U

WWW.MATHVN.COM

C n ch ng minh B ≥

1
, b t đ ng th c này t ng đ ng v i :
2

2B ≥ 1 Û 2(a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) ≥ (a + b + c + d)2
Û a2 + b2 + c2 + d2 – 2ac – 2bd ≥ 0 Û (a – c)2 + (b – d)2 ≥ 0 : đúng.
39. - N u 0 ≤ x - [ x ] < ½ thì 0 ≤ 2x - 2 [ x ] < 1 nên [ 2x ] = 2 [ x ] .
- N u ½ ≤ x - [ x ] < 1 thì 1 ≤ 2x - 2 [ x ] < 2 Þ 0 ≤ 2x – (2 [ x ] + 1) < 1 Þ [ 2x ] = 2 [ x ] + 1
40. Ta s ch ng minh t n t i các s t nhiên m, p sao cho :
96 000...00
1
424
3 ≤ a + 15p < 97000...00
1
424
3
m chöõ soá 0

m chöõ soá 0

a
15p
+ m < 97 (1). G i a + 15 là s có k ch s : 10k – 1 ≤ a + 15 < 10k
m
10
10
1
a
15
a 15p
15
Þ
£ k + k < 1 (2).
t x n = k + k . Theo (2) ta có x1 < 1 và
< 1.
10 10 10
10 10
10 k
T c là 96 ≤

Cho n nh n l n l t các giá tr 2, 3, 4, …, các giá tr c a xn t ng d n, m i l n t ng không quá 1
đ n v , khi đó [ x n ] s tr i qua các giá tr 1, 2, 3, … n m t lúc nào đó ta có éë x p ùû = 96. Khi đó
96 ≤ xp < 97 t c là 96 ≤

a 15p
+
< 97. B t đ ng th c (1) đ c ch ng minh.
10 k 10 k

42. a) Do hai v c a b t đ ng th c không âm nên ta có :

| A + B | ≤ | A | + | B | Û | A + B |2 ≤ ( | A | + | B | )2
Û
A2 + B2 + 2AB ≤ A2 + B2 + 2| AB | Û AB ≤ | AB | (b t đ ng th c đúng)
D u “ = “ x y ra khi AB ≥ 0.
b) Ta có : M = | x + 2 | + | x – 3 | = | x + 2 | + | 3 – x | ≥ | x + 2 + 3 – x | = 5.
D u “ = “ x y ra khi và ch khi (x + 2)(3 – x) ≥ 0 Û -2 ≤ x ≤ 3 (l p b ng xét d u)
V y min M = 5 Û -2 ≤ x ≤ 3.
c) Ph ng trình đã cho Û | 2x + 5 | + | x – 4 | = | x + 9 | = | 2x + 5 + 4 – x |
Û (2x + 5)(4 – x) ≥ 0 Û -5/2 ≤ x ≤ 4
43.

i u ki n t n t i c a ph

é x £ -1

ng trình : x2 – 4x – 5 ≥ 0 Û ê
ëx ³ 5

t n ph
x 2 - 4x - 5 = y ³ 0 , ta đ c : 2y2 – 3y – 2 = 0 Û (y – 2)(2y + 1) = 0.
45. Vô nghi m
46. i u ki n t n t i c a x là x ≥ 0. Do đó : A = x + x ≥ 0 Þ min A = 0 Û x = 0.
47.

i u ki n : x ≤ 3.

t

3 - x = y ≥ 0, ta có : y2 = 3 – x Þ x = 3 – y2.
13

13
13
11
B = 3 – y2 + y = - (y – ½ )2 +
≤
. max B =
Û y=½ Û x=
.
4
4
4
4

48. a) Xét a2 và b2. T đó suy ra a = b.
b)

5 - 13 + 4 3 = 5 - (2 3 + 1) = 4 - 2 3 = 3 - 1 . V y hai s này b ng nhau.

c) Ta có :

(

n + 2 - n +1

)(

)

n + 2 + n + 1 = 1 và

(

n+1 - n

)(

)

n + 1 + n = 1.

Mà n + 2 + n + 1 > n + 1 + n nên n+2 - n + 1 < n + 1 - n .
49. A = 1 - | 1 – 3x | + | 3x – 1 |2 = ( | 3x – 1| - ½ )2 + ¾ ≥ ¾ .
T đó suy ra : min A = ¾ Û x = ½ ho c x = 1/6
51. M = 4

22

www.MATHVN.com


MAI TR NG M U

WWW.MATHVN.COM

52. x = 1 ; y = 2 ; z = -3.
53. P = | 5x – 2 | + | 3 – 5x | ≥ | 5x – 2 + 3 – 5x | = 1. min P = 1 Û
54. C n nh cách gi i m t s ph

ng trình d ng sau :

ìA ³ 0 (B ³ 0)
a) A = B Û í
îA = B
ìB ³ 0
ï
d) A = B Û í é A = B
ïêA = -B
îë
a ph

b)

ìB ³ 0
A = BÛ í
2
îA = B

2
3
£x£ .
5
5

ìA = 0
c) A + B = 0 Û í
îB = 0

ìA = 0
e) A + B = 0 Û í
.

îB = 0

ng trình v d ng :

A = B.
b)
a ph ng trình v d ng : A = B .
c) Ph ng trình có d ng : A + B = 0 .
d)
a ph ng trình v d ng : A = B .
a)

e)
a ph ng trình v d ng : | A | + | B | = 0
g, h, i) Ph ng trình vô nghi m.
k)
t x - 1 = y ≥ 0, đ a ph ng trình v d ng : | y – 2 | + | y – 3 | = 1 . Xét d u v trái.
t:

l)
Ta đ

8x + 1 = u ³ 0 ; 3x - 5 = v ³ 0 ; 7x + 4 = z ³ 0 ; 2x - 2 = t ³ 0 .

ìu + v = z + t

ch : í

2
2

2
2
îu - v = z - t

. T đó suy ra : u = z t c là :

8x + 1 = 7x + 4 Û x = 3 .

55. Cách 1 : Xét

x 2 + y 2 - 2 2(x - y) = x 2 + y 2 - 2 2(x - y) + 2 - 2xy = (x - y - 2)2 ³ 0 .
x 2 + y2 )
(
x 2 + y2
Cách 2 : Bi n đ i t ng đ ng
³2 2Û
³ 8 Û (x2 + y2)2 – 8(x – y)2 ≥ 0
2
x-y
( x - y)
2

Û (x2 + y2)2 – 8(x2 + y2 – 2) ≥ 0 Û (x2 + y2)2 – 8(x2 + y2) + 16 ≥ 0 Û (x2 + y2 – 4)2 ≥ 0.
Cách 3 : S d ng b t đ ng th c Cauchy :

x 2 + y 2 x 2 + y 2 - 2xy + 2xy (x - y) 2 + 2.1
2
1
=
=

= (x - y) +
³ 2 (x - y).
x-y
x-y
x-y
x-y
x-y

(x >

y).

6+ 2
6- 2
- 6+ 2
- 6- 2
;y=
ho c x =
;y=
2
2
2
2
2
1 1 1
1
1 ö 1 1 1 2(c + b + a
æ1 1 1ö
æ 1
62. ç + + ÷ = 2 + 2 + 2 + 2 ç

+ + ÷= 2 + 2 + 2 +
=
a
b c
b
c
abc
èa b cø
è ab bc ca ø a
1 1 1
= 2 + 2 + 2 . Suy ra đi u ph i ch ng minh.
a
b
c
ìéx £ 6
ì x 2 - 16x + 60 ³ 0
ì(x - 6)(x - 10) ³ 0
ï
63. i u ki n : í
Ûí
Û í êë x ³ 10 Û x ³ 10 .
îx ³ 6
îx - 6 ³ 0
ïx ³ 6
î
D u đ ng th c x y ra khi x =

23

www.MATHVN.com

MAI TR NG M U

WWW.MATHVN.COM

Bình ph ng hai v : x2 – 16x + 60 < x2 – 12x + 36 Û x > 6.
Nghi m c a b t ph ng trình đã cho : x ≥ 10.
64.

x 2 - 3 ≤ x2 – 3 (1)

i u ki n x2 ≥ 3. Chuy n v :

t th a chung :

2

x - 3 .(1 -

éx2 - 3 = 0
x -3) ≤ 0 Û ê
Û
êë1 - x 2 - 3 £ 0
2

éx = ± 3
ê
êx ³ 2
ê

ë x £ -2

V y nghi m c a b t ph ng trình : x = ± 3 ; x ≥ 2 ; x ≤ -2.
65. Ta có x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 Û (x2 + y2)2 – 4(x2 + y2) + 3 = - x2 ≤ 0.
Do đó : A2 – 4A + 3 ≤ 0 Û (A – 1)(A – 3) ≤ 0 Û 1 ≤ A ≤ 3.
min A = 1 Û x = 0, khi đó y = ± 1. max A = 3 Û x = 0, khi đó y = ± 3 .
66. a) ½ ≤ x ≠ 1.
b) B có ngh a Û

ì
ï -4 £ x £ 4
ï
ïéx £ 4 - 2 2
1
Û - < x £ 4-2 2 .
íê
2
ï êë x ³ 4 + 2 2
ï
ïx > - 1
î
2
2
ìï x - 2x ³ 0
ìx(x - 2) ³ 0
éx ³ 2
67. a) A có ngh a Û í
Ûí 2
Û
êx < 0

2
2
ë
îx ¹ x - 2x
ïî x ¹ ± x - 2x
ì
2
ï -4 £ x £ 4
ì16 - x ³ 0
ï
ï
Û í(x - 4)2 ³ 8 Û
í2x + 1 > 0
ï x 2 - 8x + 8 ³ 0
ï
1
î
ïx > î
2

b) A = 2 x 2 - 2x v i đi u ki n trên.

x 2 - 2x < 1 Û x2 – 2x < 1 Û (x – 1)2 < 2 Û - 2 < x – 1 < 2 Þ kq
t 0,999...99
1
424
3 = a. Ta s ch ng minh 20 ch s th p phân đ u tiên c a a là các ch s

c) A < 2 Û
68.

20 chöõ soá 9

a < 1. Th t v y ta có : 0 < a < 1 Þ a(a – 1) < 0 Þ a2
– a < 0 Þ a2 < a. T a2 < a < 1 suy ra a < a < 1.
V y 0,999...99
1
424
3 = 0,999...99
1
424
3.
9. Mu n v y ch c n ch ng minh a <

20 chöõ soá 9

20 chöõ soá 9

69. a) Tìm giá tr l n nh t. Áp d ng | a + b | ≥ | a | + | b |.
A ≤ | x | + 2 + | y | + 1 = 6 + 2 Þ max A = 6 + 2 (khi ch ng h n x = - 2, y = - 3)
b) Tìm giá tr nh nh t. Áp d ng | a – b | ≥ | a | - | b .
A ≥ | x | - 2 | y | - 1 = 4 - 2 Þ min A = 4 - 2 (khi ch ng h n x = 2, y = 3)
70. Ta có : x4 + y4 ≥ 2x2y2 ; y4 + z4 ≥ 2y2z2 ; z4 + x4 ≥ 2z2x2. Suy ra :
x4 + y4 + z4 ≥ x2y2 + y2z2 + z2x2 (1)
M t khác, d dàng ch ng minh đ

c : N u a + b + c = 1 thì a2 + b2 + c2 ≥

Do đó t gi thi t suy ra : x2y2 + y2z2 + z2x2 ≥

24

1
3

1
.
3

(2).

www.MATHVN.com


MAI TR NG M U

WWW.MATHVN.COM

1
3
Û x=y=z= ±
3
3
71. Làm nh bài 8c (§ 2). Thay vì so sánh n + n + 2 và 2 n+1 ta so sánh
(1) , (2) : min A =

T

n + 2 - n + 1 và n + 1 - n . Ta có :
n + 2 - n +1 < n +1 - n Þ n + n + 2 < 2 n +1 .

72. Cách 1 : Vi t các bi u th c d i d u c n thành bình ph
Cách 2 : Tính A2 r i suy ra A.
73. Áp d ng : (a + b)(a – b) = a2 – b2.
74. Ta ch ng minh b ng ph n ch ng.
a) Gi s t n t i s h u t r mà

ng c a m t t ng ho c m t hi u.

15 =

3 + 5 = r Þ 3 + 2 15 + 5 = r2 Þ

r2 - 8
. V trái
2

là s vô t , v ph i là s h u t , vô lí. V y 3 + 5 là s vô t .
b), c) Gi i t ng t .
75. a) Gi s a > b r i bi n đ i t ng đ ng : 3 3 = 3 > 2 2 - 1 Û 3 3 > 2 2 + 2
Û

( ) (
2

3 3

> 2 2+2

76. Cách 1 :

77. Q =
78. Vi t

Û 27 > 8 + 4 + 8 2 Û 15 > 8 2 Û 225 > 128 . V y a > b là đúng.

ng hai v lên r i so sánh.

b) Bình ph
Cách 2 :
0.

)

2

tA=

tB=

4 + 7 - 4 - 7 , rõ ràng A > 0 và A2 = 2 Þ A =

4 + 7 - 4 - 7 - 2 Þ 2.B = 8 + 2 7 - 8 - 2 7 - 2 = 0 Þ B =

(

)

(

)

2+ 3+ 4 + 2 2+ 3+ 4
2 + 3 + 2.3 + 2.4 + 2 4
=
= 1+ 2 .
2+ 3+ 4
2+ 3+ 4
40 = 2 2.5 ; 56 = 2 2.7 ; 140 = 2 5.7 . V y P = 2 + 5 + 7 .

79. T gi thi t ta có : x 1 - y 2 = 1 - y 1 - x 2 . Bình ph
đ

2

ng hai v c a đ ng th c này ta

c : y = 1 - x 2 . T đó : x2 + y2 = 1.

80. Xét A2 đ suy ra : 2 ≤ A2 ≤ 4. V y : min A =
81. Ta có : M =

(

a+ b

82. Xét t ng c a hai s :

) (
2

£

a+ b

) (
2

+

2 Û x = ± 1 ; max A = 2 Û x = 0.

a- b

)

2

= 2a + 2b £ 2 .

ìï a = b
1
max M = 2 Û í
Ûa=b= .
2
ïîa + b = 1

( 2a + b - 2 cd ) + ( 2c + d - 2 ab ) = ( a + b - 2 ab ) + ( c + d - 2 cd ) + a + c =
= (a + c) + ( a - b ) + ( c - d ) ³ a + c > 0 .
2

2

83. N = 4 6 + 8 3 + 4 2 + 18 = 12 + 8 3 + 4 + 4 6 + 4 2 + 2 =
=

(2

)

2

84. T x + y + z =

25

(

)

3+2 +2 2 2 3+2 +2 =

(2

xy + yz + zx Þ

3 +2+ 2

(

x- y

)

2

= 2 3 + 2 + 2.

) (
2

+

y- z

) (
2

+

z- x

)

2

= 0.

www.MATHVN.com