BÀI tập và đáp án PTLG cơ bản

Phương

trình lượng giác cơ bản- chuẩn11
BÀI TẬP VÀ ĐÁP ÁN
Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

I. Phương trình sinx=m
m >1

+ Nếu

: Pt vô nghiệm
m ≤1

+ Nếu
- Nếu m biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:

sinx = m ⇔ sinx = sin α
 x = α + k 2π
⇔
k∈Ζ
x
=
π
−
α
+
k
2
π


- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng của những góc đặc biệt thì:

 x = arcsin m + k 2π
sinx = m ⇔ 
k ∈Ζ
x
=
π
−
arcsin
m
+
k
2
π

Các trường hợp đặc biệt:

π
sinx = −1 ⇔ x = − + k 2π , k ∈ Ζ
2
π
sinx = 0 ⇔ x = + kπ , k ∈ Ζ
2
sinx = 1 ⇔ x = k 2π , k ∈ Ζ
Ví dụ:
Bài 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản sau:

Nguyễn thị tâm

Page 1


Phương

trình lượng giác cơ bản- chuẩn11

a / s inx =

2
2

π

x=
+ k 2π

π
4
⇔ s inx = sin
⇔
4
 x = 3π + k 2π


4
2

 x = arcsin 3 + k 2π
⇔

k ∈Ζ
 x = π − arcsin 2 + k 2π

3

b/Sinx=2/3

π
3

c/ Sinx=sin( -x)

 π
π

 x = 3 − x + k 2π
2
x
=
+ k 2π
π
⇔
⇔
⇔ x = + kπ , k ∈ Ζ
3
6
 x = π − π + x + k 2π vn


3

π
d / 2sin(2 x − ) = −1
4
π −1
π
π
⇔ sin(2 x − ) = ⇔ sin(2 x − ) = sin(− )
4
2
4
6
π
π
1
1



2
x
−
=
−
+ k 2π  2 x = + k 2π
x = + kπ


4
6

12
24
⇔
⇔
⇔
,k ∈Ζ
17
π
17
π
 2 x − π = 7π + k 2π
2 x =
x =
+ k 2π
+ kπ
4 6

12

24


Nguyễn thị tâm

Page 2


Phương

trình lượng giác cơ bản- chuẩn11

e / 3sin 2 x = 1
1
1

 1
2
x
=
arcsin
+
k
2
π
x
=
arcsin
+ k 2π
 2
1 
3
3
⇔ sin 2 x = ⇔ 
⇔
k ∈Ζ
1
π
1
1
3 

 x = − arcsin + k 2π
2 x = π − arcsin + k 2π


3
2 2
3
II. Phương trình cosx=m
m >1

+ Nếu

: Pt vô nghiệm
m ≤1

+ Nếu
- Nếu m biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:

cosx = m ⇔ cosx = cosα
 x = α + k 2π
⇔
k ∈Ζ
 x = −α + k 2π
- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng của những góc đặc biệt thì:

 x = arc cosm + k 2π
cosx = m ⇔ 
k∈Ζ
x
=

−
arc
c
os
m
+
k
2
π

Các trường hợp đặc biệt:

cosx = −1 ⇔ x = π + k 2π , k ∈ Ζ
π
cosx = 0 ⇔ x = + kπ , k ∈ Ζ
2
cosx = 1 ⇔ x = k 2π , k ∈ Ζ
Ví dụ: Giải phương trình lượng giác sau:

Nguyễn thị tâm

Page 3


Phương

trình lượng giác cơ bản- chuẩn11

a / cos x =

1
2

⇔ cos x = cos
b / cos x = −

π
π
⇔ x = ± + k 2π , k ∈ Ζ
3
3

1
3

−1

 x = arccos( 3 ) + k 2π
⇔
k ∈Ζ
−
1
 x = − arccos( ) + k 2π

3

π
c / cos x = cos( − 2 x)
2
π

 π
 π

x
=
−
2
x
+
k
2
π
3
x
=
+
k
2
π
 x = 6 + kπ
 2

2
⇔
⇔
⇔
k ∈Ζ
 x = π − k 2π
 x = − π + 2 x + k 2π  x = π − k 2π
 2


 2
2
π
d / 2cos( x − ) − 2 = 0
4
 π π
x − = + k 2π
 π
x = + k 2π
π
2
π
π  4 4
⇔ cos( x − ) =
⇔ cos( x − ) = cos ⇔ 
⇔ 2
,k ∈Ζ

π
4
2
4
4  π
x − = − + k 2π  x = k 2π
 4
4

Nguyễn thị tâm

Page 4


Phương

trình lượng giác cơ bản- chuẩn11

e / cos( x − 450 ) + 1 = 0
 x − 450 = 1800 + k 3600
 x = 2250 + k 3600
⇔ cos( x − 45 ) = −1 ⇔ cos( x − 45 ) = cos180 ⇔ 
⇔
k ∈Ζ
0
0
0
0
0
x
−
45
=
−
180
+
k
360
x
=
−

135
=
360


π
f / 4cos( − x) + 3 = 0
3
−3
 π
x = − arc cos( ) − k 2π

π
−3 π
−3
3
4
⇔ cos( − x) = ⇔ − x = ± arccos( ) + k 2π ⇔ 
k ∈Ζ
3
4
3
4
 x = π + arc cos( −3 ) − k 2π
 3
4
0

0

0

III. Phương trình tanx=m
x≠

Điều kiện :

π
+ kπ , k ∈ Ζ
2

Nếu m biêu diễn được dưới dạng tan của cung đặc biệt thì
t anx = m ⇔ t anx = tan α ⇔ x = α + kπ , k ∈ Ζ

Nếu m không biểu diễn được dưới dạng tan của cung đặc biệt thì
t anx = m ⇔ c = arctan m + kπ , k ∈ Ζ

Chú ý: Phương trình

t anx = tan β 0 ⇔ x = β 0 + k1800 , k ∈ Ζ

Ví dụ: Giải phương trình sau:

a/

π
π
t anx = −1 ⇔ t anx = tan(− ) ⇔ x = − + kπ , k ∈ Ζ
4
4

t anx = 1 ⇔ t anx = tan

b/

π
π
⇔ x = + kπ , k ∈ Ζ
4
4

t anx = 0 ⇔ s inx = 0 ⇔ x = kπ , k ∈ Ζ
c/

Nguyễn thị tâm

Page 5


Phương

trình lượng giác cơ bản- chuẩn11

t anx = 3 ⇔ t anx = tan
d/

e/

π
π
⇔ x = + kπ , k ∈ Ζ

3
3

2
2
t anx = ⇔ x = arctan + kπ , k ∈ Ζ
3
3

f / tan(3 x − 300 ) = 3 ⇔ tan(3 x − 300 ) = tan 600
⇔ 3x − 300 = 600 + k1800 , k ∈ Ζ ⇔ x = 300 + k 60o, k ∈ Ζ
IV. Phương trình cotx=m
Điều kiện :

x ≠ kπ , k ∈ Ζ

Nếu m biêu diễn được dưới dạng tan của cung đặc biệt thì
cotx = m ⇔ cot x = cot α ⇔ x = α + kπ , k ∈ Ζ

Nếu m không biểu diễn được dưới dạng tan của cung đặc biệt thì
cotx = m ⇔ c = arc cot m + kπ , k ∈ Ζ

Chú ý: Phương trình

a/

cotx = cot β 0 ⇔ x = β 0 + k1800 , k ∈ Ζ

π
π

cotx = −1 ⇔ cot x = cot(− ) ⇔ x = − + kπ , k ∈ Ζ
4
4
cotx = 1 ⇔ cot x = cot

b/

π
π
⇔ x = + kπ , k ∈ Ζ
4
4

cotx = 0 ⇔ cosx = 0 ⇔ x =
c/

Nguyễn thị tâm

π
+ kπ , k ∈ Ζ
2

Page 6


Phương

trình lượng giác cơ bản- chuẩn11

cotx = 3 ⇔ cot x = cot

d/

e/

π
π
⇔ x = + kπ , k ∈ Ζ
6
6

2
2
cotx = ⇔ x = arc cot + kπ , k ∈ Ζ
3
3

f / cot(3 x − 300 ) = 3 ⇔ cot(3 x − 300 ) = cot 300
⇔ 3x − 300 = 300 + k1800 , k ∈ Ζ ⇔ x = 200 + k 60o, k ∈ Ζ
BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: giải phương trình lượng giác sau:
sin(4 x −
⇔ 4x −
⇔x=

a/

π
3

π

3

π

12

= kπ
+k

π
4

,k ∈Ζ

b/

3π
π
) = sin( − x)
4
6
3π π

3x − 4 = 6 − x + k 2π
⇔
3x − 3π = π − π + x + k 2π

4
6

11π
π
11π


 x = 48 + k 2
 4 x = 12 + k 2π
⇔
⇔
k ∈Ζ
 2 x = 19π + k 2π
 x = 19π + kπ

12

24

sin(3 x −

2
2
0
⇔ sin(3 x − 30 ) = sin 450

sin(3 x − 300 ) =

3 x − 300 = 45o + k 360o
⇔
0
0

0
3 x − 30 = 135 + k 360

c/

 x = 250 + k120 0
⇔
k ∈Ζ
0
0
 x = 35 + k120

Nguyễn thị tâm

π
) =1
3
π
⇔ − x + = k 2π
3
π
⇔ x = − k 2π , k ∈ Ζ
3

cos(− x +

)=0

d/

Page 7


Phương

trình lượng giác cơ bản- chuẩn11

e / 2 cos(2 x + 250 ) + 2 = 0
− 2
⇔ cos(2 x + 250 ) = cos1350
2
 2 x + 250 = 1350 + k 3600
 x = 550 + k1800
⇔
⇔
k ∈Z
0
0
0
0
0
2
x
+
25
=
−
135
+
k

360
x
=
−
80
+
k
180


⇔ cos(2 x + 250 ) =

π
7π
f / cos(5 x − ) = sin(
− 2 x)
3
4
π
π
5π
π
−5π
⇔ cos(5 x − ) = sin[ − (−
+ 2 x)] ⇔ cos(5 x − ) = cos(
+ 2 x)
3
2
4
3

4
π −5π
−11π
2π


5 x − 3 = 4 + 2 x + k 2π
 x = 36 + k 3
⇔
⇔
k ∈Z
π
5
π
19
π
2
π
5 x − =
x =
− 2 x + k 2π
+k
3
4
84
7



Bài 2: Giải phương trình sau:

b / 2 cot 3 x = 3
a / tan(3 x − 100 ) = 3

⇔ cot 3 x =

⇔ tan(3 x − 100 ) = tan 600

3
2

700
⇔x=
+ k 600 , k ∈ Z
3

3
⇔ 3 x = arc cot + kπ
2
1
3
π
⇔ x = arc cot + k , k ∈ Z
3
2
3

π
c / 3 tan(3 x + ) = −1
6
π

−1
⇔ tan(3x − ) =
6
3
π
−1
⇔ 3x − = arctan( ) + kπ
6
3
π 1
−1
π
⇔ x = + arctan( ) + k , k ∈ Z
18 3
3
3

π
d / tan(2 x − 1) = tan(− x + )
3
π
⇔ 2 x − 1 = − x + + kπ
3
1 π
π
⇔ x = + + k ,k ∈Z
3 9
3

⇔ 3x − 10 = 60 + 180

0

0

Nguyễn thị tâm

0

Page 8


Phương

trình lượng giác cơ bản- chuẩn11
π
π
) = cot( −2 x − )
3
6
π
π
⇔ x + = −2 x − + kπ
3
6
π
⇔ 3 x = − + kπ
2
π
π
⇔ x = − + k ,k ∈Z

6
3

π
e / cot(2 x − ) = 1
3
π
π
⇔ cot(2 x − ) = cot
3
4
π π
⇔ 2 x − = + kπ
3 4
7π
π
⇔x=
+ k ,k ∈Z
24
2

f / cot( x +

(−

Bài 3: Tìm nghiệm của m thuộc khoảng

π
; 2π )
4

 2π 5π 
vây x= 
;

3 
 3

π
π
b / cos(2 x + ) = cos( x − )
3
3
π
π

 −2π
2
x
+
=
x
−
+
k
2
π

 x = 3 + k 2π
3

3
⇔
⇔
k ∈Z
π
π
2
π
 2 x + = − x + k 2π  x = k


3 3
3
π
mà - < x < 2π
4
 π −2π
 − 4 < 3 + k 2π < 2π
⇔
 − π < k 2π < 2π
 4
3
4
4π
5

<
k
<
k

=
1
→
x
=
 24

3
3
⇔
k ∈Z ⇒ 
 −3 < k < 3
 k = 0;1;2 → x = 0; 2π ; 4π
 8

3 3

Nguyễn thị tâm

Page 9

a / sin(

π

⇔ sin(
⇔

π
6

6

π
6

⇔−
⇔−

+ 2 x ) = sin( −

+ 2x = −

⇔ x=−
mà -

+ 2 x ) = −1

π
4

π
4

π

π
3

π

2

π
2

)

+ k 2π

+ kπ , k ∈ Z

< x < 2π
<−
+

π

π
3

+ kπ < 2π

< kπ < 2π +

4
3
−1
7
⇔

12
3
⇒ k = { 1; 2}

π
3


Phương

trình lượng giác cơ bản- chuẩn11

π
π
) = tan( x + )
4
6
π
π
5π
π
⇔ 3 x − = x + + kπ ⇔ x =
+ k ,k ∈ Z
4
6
24
2
π
vì - 4

π 5π
π
−1
43
⇔− <
+ k < 2π ⇔
4 24
2
12
12
⇒ k = { 0;1; 2;3}
c / tan(3 x −

 5π 17π 29π 41π 
vây x= 
;
;
;

 4 24 24 24 

Tìm nghiệm thuộc đoạn [
cot( − x +

a

/

−π ; π

3π
)=0
4

b/

1
sin 2 x = , 0 < x < 2π
2

c/

]

tan(− x) = tan(2 x + 1)

cos x =

c/

3
, −π < x < π
2

d/

π
2sin( x + ) = 2
6

cot 3 x = − 3, 0 < x < π

e/

Bài 4: Giải phương trình sau:

b / t anx = 3

a / sin 2 x = 1
sinx = 1
⇔
⇔ cos x = 0
sinx
=
−
1

π
⇔ x = + kπ , k ∈ Z
2

Nguyễn thị tâm

π
+ kπ , k ∈ Z
2
π

x

=
+ kπ

 t anx = 3
3
⇔
⇔
k∈Z
π
 x = − + kπ
 t anx = − 3

3
dk : x ≠

Page 10


Phương

trình lượng giác cơ bản- chuẩn11

t anx − 1
=0
s inx
π
dk : x ≠ k , k ∈ Z
2
⇔ t anx − 1 = 0 ⇔ t anx = 1

c/

⇔x=

π
+ kπ , k ∈ Z
4

d/

s inx − 1
=0
cos2 x + 1

π

+ k 2π , k ∈ Z
2
⇔ s inx − 1 = 0 ⇔ s inx = 1
dk : x ≠

⇔x=

π
2

+ k 2π (loai )

Bài 5: Giải phương trình sau:

π π
2π

 π
3
x
−
=
+
k
2
π
x
=
+
k
 6
π
3
π
π 

6 3
3
a / sin(3x − ) =
⇔ sin  3 x − ÷ = sin ⇔ 
⇔
k∈Z
π
2

π
5
π
2
π
6
2
6
3


3x − = + k 2π  x = + k

6 3
3
3

b / sin(3 x − 2) = 1

π
+ k 2π
2
2 π
2π
⇔ x= + +k
,k ∈ Z
3 6
3
⇔ 3x − 2 =

c / tan(2 x + 3) = tan

π
+ kπ
3
−3 π
π
⇔x=
+ + k ,k ∈Z
2 6
2
⇔ 2x + 3 =

π
) =1
5
π
2
π
π
⇔ cos(2 x − ) =
⇔ cos(2 x − ) = cos
5
2
5
4
π π
9π



2
x
−
=
+
k
2
π
x
=
+ kπ


5 4
40
⇔
⇔
k∈Z
π
π
π
 2 x − = − + k 2π
x = −
+ kπ


5
4
40
d / 2 cos(2 x −

Bài 6: Giải phương trình sau:

Nguyễn thị tâm

π
3

Page 11


Phương

trình lượng giác cơ bản- chuẩn11

a / sin 3 x − cos2 x = 0 ⇔ sin 3 x = cos2 x

π
b / sin 5 x = cos2 x ⇔ sin 5 x = sin( − 2 x)
2
π

5
x
=
− 2 x + k 2π

2
⇔
5 x = π − π + 2 x + k 2π


2
2π
 π
x
=
+
k
 14
7
⇔
k∈Z
 x = π + k 2π
 6
3

π
⇔ sin 3 x = sin( − 2 x)
2
π

3
x
=
− 2 x + k 2π

2
⇔
3 x = π − π + 2 x + k 2π


2
π
2π

 x = 10 + k 5
⇔
k ∈Z
π
 x = + k 2π

2
2π
2π
π
) = cos3x ⇔ sin( x + ) = sin( − 3 x)
3
3
2
−π
π
 2π π

 x + 3 = 2 − 3 x + k 2π
 x = 24 + k 2
⇔
⇔
k∈Z
2
π
π

π
x +
 x = − kπ
= π − + 3x + k 2π
 12
3
2


c / sin( x +

5π
π
π
5π
) + cos(3 x + ) ⇔ cos(3 x + ) = sin( − 3 x)
6
4
4
6
π
π
π
π
π
⇔ cos(3x + ) = sin( − (− + 3 x)) ⇔ cos(3 x + ) = cos(− + 3 x)
4
2
3
4

3
π
π

3
x
+
=
−
+ 3x + k 2π

π
π
4
3
⇔
⇔ x = + k ,k ∈Z
72
3
3 x + π = π + π − 3 x + k 2π

4
3
d / sin(3 x −

Bài tập tự luyện: Giải các phương trình sau:

Nguyễn thị tâm

Page 12

Phương

trình lượng giác cơ bản- chuẩn11

a / sin 2 x = sin
b / sin 5 x = −
c / sin(3 x +

π

6
3
d / sin 3 x =
4

i / cos 3 x = cos

π

d / sin 4 x − cos2 x = 0
e / sin 5 x + sin 3 x = 0

5

1
2
)=

f / sin 7 x + cos x = 0

π
4

5π
6
0
k / cos(60 − x) = cos220 0
j / cos(3 x − 1) = cos

l / cos4 x = −

3π
π
) + cos(2 x + ) = 0
4
3
π
h / cos2 x + cos(3 x + ) = 0
4

2
2

1
2

π
3

m / cos( x + ) =
3
2

g / sin(3 x −

n / cos(2 x + 300 ) = cos x
o / cos6 x = cos4 x

π
p / cos(x- ) = cos(π − x)
4
π
q / cos3x=cos(x+ )
3
r / cos(2 x − 600 ) = cos( x + 300 )

s / tan(2 x + 100 ) = tan 600
t / cot 4 x = 3
u / cot( x + 2) = 1
v / tan(4 x + 2) = 3
−1
w / tan 3 x =
3

Nguyễn thị tâm

Page 13