Bài tập và đáp án toán lớp 10 hay

NỘI DUNG BÀI TẬP VÀ ĐÁP ÁN MÔN TOÁN -LỚP 10
CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO –THPT(Học Kỳ2)
Câu1.( Mức độ: B; 1,0 điểm ; Thời gian: 10 phút. )
2
2 5 4 20 25x x x+ = − +
Đáp án Điểm
Tacó:
2
2 5 4 20 25x x x+ = − +
⇔
2 5 2 5x x
+ = +
2 5 2 5x x⇔ + = +
0.25
Áp dụng:
, ,a b a b a b+ ≥ + ∀ ∈¡
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
. 0a b
≥
0.25
Vậy :
2 5 2 5 2 .5 0 0x x x x+ = + ⇔ ≥ ⇔ ≥
.
0.25
Suy ra tập nghiệm PT là :
[
)
0;T = +∞
.
0.25

Câu 2 . ( Mức độ: C; 1,5 điểm ; Thời gian: 15 phút. ).Giải Bất phương trình :

2
2 4
1
3 10
x
x x
−
>
− −
Đáp Án Điểm
Ta có:
2
2 2 2
2 4 2 4 2 4 3 10
1 1 0 0
3 10 3 10 3 10
x x x x x
x x x x x x
− − − − − −
> ⇔ − > ⇔ >
− − − − − −
0.5
( )
2
2
2 2
2 2
2

2 4 3 10
2 4 3 10 0 2 4 3 10
2 4 0
3 10 0 3 10 0
3 10 0
x x x
x x x x x x
x
x x x x
x x

− > − −
 

− − − − > − > − −
  
⇔ ⇔ ⇔ − >
  
− − > − − >
 

 
− − >


0.5
2
3 13 26 0
2 5
2 5

x x
x x
x x

− + >

⇔ > ⇔ >


< − ∨ >

0.5
Câu 3. (Mức độ: B; 1điểm ; Thời gian: 10 phút.)
Giải phương trình :
3x 4 2 3x+ = −
.
Đáp án Điểm
*
3x 4 2 3x(1)
Pt
3x 4 3x 2(2)
+ = −

⇔

+ = −

*
1
x

3
Vn

=

⇔


. Vậy
1
3
x =
là nghiệm phương trình.
0.5
0.5
Câu 4. ( Mức độ: C; 2 điểm ; Thời gian: 15 phút. )
Cho phương trình :
2
mx 2(m - 2)x m 3 0 (1).+ + − =
THPT NGỌC HỒI
Tổ Toán
a/ Giải và biện luận phương trình (1) theo m.
b/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm
1 2
x ,x
sao cho :
1 2
2 1
x x
3

x x
+ =
.
Câu Đáp án Điểm
3a
* Khi m = 0 thì (1) trở thành :
3
4x 3 0 x
4
−
− − = ⇔ =
.
* Khi
m 0≠
thì (1) là phương trình bậc hai có
4 m∆ = −
.
+ Nếu m > 4 thì phương trình (1) vô nghiệm.
+ Nếu
m 4≤
thì phương trình (1) có hai nghiệm :
1 2
2 m 4 m
x
m
,
− ± −
=
.
Kết luận :

+ m = 0 :
3
S
4
−
=
.
+ m > 4 :
S
= ∅
.
+
m 4≤
và
m 0
≠
: Phương trình (1) có hai nghiệm :
1 2
2 m 4 m
x
m
,
− ± −
=
.
0.25



0.25

0.25
0.25
0.5
3b
* Khi
m 4≤
và
m 0
≠
thì phương trình (1) có hai nghiệm
1 2
x x,
.
*
( )
2
1 2
1 2 1 2
2 1
x x
3 x x 5x x 0
x x
+ = ⇔ + − =
.
* Thay vào và tính được
1 65
m
2
− ±
=

: thoả mãn điều kiện
m 4≤
và
m 0
≠
.





0.25
0.25
Câu 5 ( Mức độ: C; 2,5 điểm ; Thời gian: 15 phút. )
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ∆ABC với
A(1; 2),B(5; 2),C(3;2)− −
. Tìm toạ độ trọng
tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của ∆ABC.
Câu Đáp án Điểm
4
Toạ độ trọng tâm G :
9
G 1
2
;
 
−
 ÷
 
.

Toạ độ trực tâm H :
*
AH BC 0 2 x 1 4 y 2 0
2 x 5 4 y 2 0
BH AC 0
. ( ) ( )
( ) ( )
.
uuuur uuur
uuuur uuur

= − − + + =


⇔
 
− + + =
= 


.
* H (3 ; - 1 ).
Toạ độ tâm đường trong ngoại tiếp I :
*
2 2
2 2
AI BI 8x 24
4x 8y 8
AI CI


= =


⇔
 
+ =
=



.
*
1
I 3
2
;
 
 ÷
 
.
0.75
0.75
0.25
0.5
0.25
Câu 6. ( Mức độ: C; 3 điểm ; Thời gian: 15 phút. )
1. Cho hệ phương trình:
x 2 1
( 1)
m y

x m y m

+ =

+ − =

. Hãy xác định các tham số thực m để hệ
phương trình có nghiệm duy nhất.
2. Cho phương trình:
2 2
2 x+m -m=0x m−
. Tìm tham số thực m để phương trình có
hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn
1 2
2 1
3
x x
x x
+ =
.
Câ
u
Đáp án
Điểm
6.1
(1.5

đ)
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
* Điều kiện :
D 0≠
.
* Tính
2
D m m 2= − −
và giải được
m 1≠ −
và
m 2≠
.
Vậy với
m 1≠ −
và
m 2≠
thì hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất
(x ; y) với
1
x
m 2
−
=
−
và
m 1
y
m 2
−

=
−
.
0.75
0.25
0.5
6.2
(1.5
đ)
Phương trình:
2 2
2 x+m -m=0x m−
có hai ngiệm phân biệt khi
' 0∆ >

0m
⇔ >
TheoYCBT thì:
+
+ = ⇔ =
⇔ + − =
2 2
1 2 1 2
2 1 1 2
2
1 2 1 2
3 3
.x
( ) 5x x 0
x x x x

x x x
x x

2 2 2
(2 ) 5( ) 0 5 0
0( )
5
m m m m m
m L
m
⇔ − − = ⇔ − + =

=
⇔

=

Vậy với m=5 thì thỏa YCBT
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 7. ( Mức độ: B; 1điểm ; Thời gian: 10 phút. )
Chứng minh rằng nếu x,y,z là số dương thì
1 1 1
( )( ) 9x y z
x y z
+ + + + ≥

.
Câ
u
Đáp án
Điểm
7
(1.0
đ)
, , 0x y z∀ >
. Áp dụng BĐT Cô si cho ba số, ta được:

3
3 . .x y z x y z+ + ≥
(1)
1 1 1
, , 0 ; ; 0x y z
x y z
∀ > ⇒ >
. Áp dụng BĐT Cô si cho ba số, ta được:

3
1 1 1 1 1 1
3 . .
x y z x y z
+ + ≥
(2)
Nhân BĐT (1) & (2) vế theo vế, ta được:
1 1 1
( )( ) 9x y z
x y z

+ + + + ≥
. đpcm
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 8. (Mức độ: B; 2điểm ; Thời gian: 15 phút. )
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho các vectơ:
2 , 5 , 3 2 .OA i j OB i j OC i j= − = − = +
uuur r r uuur r r uuur r r
Tìm tọa
độ trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC.
2. Cho
4
sin (0 )
5 2
π
α α
= < <
. Tính giá trị biểu thức:
1 tan
1 tan
P
α
α
+
=
−
.
3.

Câu Đáp án Điểm
8.1
(1.0
đ)
Tọa độ các điểm A(1;-2), B(5;-1), C(3;2).
Toạ độ trọng tâm G :
1
G 3
3
 
−
 ÷
 
;
.
Toạ độ trực tâm H : Gọi (x;y) là tọa độ của H.
0.25
0.25
0.25
*
AH BC 0 2 x 1 3 y 2 0
2 x 5 4 y 1 0
BH AC 0

= − − + + =


⇔
 
− + + =

=



. ( ) ( )
( ) ( )
.
uuuur uuur
uuuur uuur
.
*
25 2
( ; )
7 7
H −
.
0.25
8.2
(1.0
đ)
Ta có:
4
sin
5
α
=
. Tìm được
3 4
cos ; tan
5 3

α α
= =
Thay vào biểu thức:
4
1
1 tan
3
7
4
1 tan
1
3
P
α
α
+
+
= = = −
−
−
.
0.5
0.5
Câu 9. (Mức độ: D ; 1điểm ; Thời gian: 10 phút. )
Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b,c. Chứng minh rằng:
c
C
b
B
a

A
abc
cba coscoscos
2
222
++=
++
.
Câu Đáp án Điểm
9
(1.0
đ)
Ta có

( )
CABCCAABBCABCABCAB
CABCAB
.2.2.2
222
2
+++++=
++
0.5
c
C
b
B
a
A
abc

cba
CabAcbBaccba
CABCCAABBCABcba
coscoscos
2
cos.2cos2cos.2
.2.2.2
222
222
222
++=
++
⇔
++=++⇔
++=++⇔
0.5
Câu 10. (Mức độ: C ; 1,5điểm ; Thời gian: 15 phút. )
Có 100 học sinh tham dự học sinh giỏi môn Toán ,( thang điểm là 20) kết quả được cho trong
bảng sau :
Điểm 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Tần số 1 1 3 5 8 13 19 24 14 10 2 N=100
a,Tính số trung bình và số trung vị.
b,Tính phương sai và độ lệch chuẩn.
Đáp án Điểm
a,Số trung bình:
11
1
1
. . 15,23
100

i i
i
x x n
=
= =
∑
.
0.25
Số trung vị:
15 16
=15,5
2
e
M
+
=
0.25
b,Phương sai:
2
11 11
2 2
2
1 1
1 1
3,96
100 100
i i i i
i i
S n x n x
= =

 
= − ≈
 ÷
 
∑ ∑
0.25
+
0.5
Độ lệch chuẩn :
1,99S ≈
0.25
Câu 11.(Mức độ: D ; 2điểm ; Thời gian: 15 phút. )
Tìm m để hệ phương trình :
2 2
2 ( 1) 1
2
x m y m
x m y m m
− + = − +


− = − −

có nghiệm duy nhất là nghiệm
nguyên.
Đáp án Điểm
Tìm m để hệ phương trình :
2 2
2 ( 1) 1
2

x m y m
x m y m m
− + = − +


− = − −

có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.
* D =
2
2
2 -m-1
2 1 ( 1)(2 1)
1 -m
m m m m= − + + = − − +
D
x
=
3 2 3 2
2 2
1 -m-1
3 2 2 (2 1)
2 -m
m
m m m m m m m
m m
− +
= − − − − = − +
− −
D

y
=
2
2
2 -m+1
2 4 1 ( 1)(2 1)
1 -m 2
m m m m m
m
= − − + − = + +
−
*D = -(m-1)(2m+1) ≠ 0⇔ m≠ 1 và m ≠ -
1
2
thì hệ pt có nghiệm (x;y) duy nhất:
x =
2 2
2
1 1
x
D
m
D m m
= = +
− −

y =
1 2
1
( 1) 1

y
D
m
D m m
+
= = − −
− − −
* Để x
∈¢
,y
∈¢
thì : m- 1 = ± 1, m- 1= ± 2.Suy ra : x∈ { 2;0;3;- 1}
0,5
0,25
0,25
0,5
0,5
Câu 12. (Mức độ: C ; 1điểm ; Thời gian: 10 phút. )
Bằng cách đặt ẩn phụ,giải phương trình sau: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 3
Đáp án Điểm
Bằng cách đặt ẩn phụ,giải phương trình sau: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 3
* Ta có: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 3⇔(x-1)(x – 4)(x-2)(x-3) – 3 = 0
⇔(x
2
- 4x +4)(x
2
- 4x +6) – 3 = 0 (1)
*Đặt t = x
2
- 4x +4.Pt (1)⇔ t(t+2) – 3 = 0 ⇔ t

2
+2t – 3 = 0
1
3
t
t
=

⇔

= −

*t = 1: x
2
- 4x +4 = 1 ⇔ x
2
– 4x + 3 = 0
5 13
2
x
±
⇔ =
*t = - 3: x
2
- 4x +4 = - 3 ⇔ x
2
– 4x + 7 = 0.Phương trình này vô nghiệm
Vậy nghiêm của pt (1):
5 13
2

x
±
=
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 13.(Mức độ: B ; 2điểm ; Thời gian: 15 phút. )
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho :A(2;6),B(-3;4),C(5;0)
a) Chứng minh A,B,C là ba đỉnh của một tam giác.
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho
2AD BC= −
uuur uuur
Câu Đáp án Điểm
18a
∆ABC có:A(2;6),B(-3;4),C(5;0)
Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác.
*
AB
uuur
= (-5;-2)
AC
uuur
= (3;-6)
* Vì
5 2
3 6
− −
≠
−

nên
AB
uuur
và
AC
uuur
không cùng phương nên A,B,C không thẳng hàng, hay A,B,C là ba
0,25
0,25
0,25
18b
đỉnh của một tam giác.
Tìm tọa độ điểm D sao cho
2AD BC= −
uuur uuur
Giả sử D(x;y)
*
AD
uuur
= (x-2;y-6)
(8;4)BC =
uuur
⇒ -2
BC
uuur
= (-16;-8)
*
2AD BC= −
uuur uuur
⇔

2 16
6 8
x
y
− = −


− = −

⇔
14
2
x
y
= −


= −

0,25
0,5đ
0,25
0,25
Câu14.(Mức độ: C ; 1điểm ; Thời gian: 10 phút. )
Cho f(x) = x
2
– 2x – 4m – 1
a).Tìm giá trị của m để f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt
b). Tìm giá trị m để f(x) > 0 với mọi x
∈

R
Đáp án Điểm
a,f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔
0∆ >
⇔ 4 + 16m + 4 > 0 ⇔
1
2
m > −
b,để f(x) > 0 với mọi x
∈
R ⇔
0∆ <
⇔ 4 + 16m + 4 < 0 ⇔
1
2
m < −
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 15.(Mức độ: C ; 2điểm ; Thời gian: 15 phút. )
Giải phương trình:
a)
4 7 2 3x x+ = −
(1)
b)
2 3 1x x+ = −
(2)
Câu Đáp án Điểm
20

a(1điểm)
Điều kiện
7
4
x ≥ −
Pt(1)
2
4 7 4 12 9x x x⇒ + = − +
⇒
4x
2
-16x+2=0.
⇒
x
1,2
=
4 14
2
±
Cả hai giá trị đều thoã mãn điều kiện nhưng khi thay vào phương trình thì x
2
=
4 14
2
−

không thoã mãn.
Vậy phương trình có một nghiệm là x=
4 14
2

+
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
20b
(1điểm)
+)Với x
≥

3
2
−
phương trình trở thành 2x+3=x-1 hay x=-4 (không thoã mãn đk x
≥

3
2
−
n ên
bị loại)
+) V ới x<
3
2
−
phương trình trở thành -2x-3=x-1 Hay x=
2
3
−

(lo ại)
0,5
V ậy : Phương trình vô nghiệm. 0,5
Câu 16.(Mức độ: C ; 2,5điểm ; Thời gian: 10 phút. ).Giải các bpt sau:
a,(1,0điểm) 3x-1>1+x
b,(2,5điểm)
12)1(3
2
−<−
xx
Đáp án Điểm
a,3x-x-1-1>0 0,5
x>1 0,5
b,





−<−
≥−
>−
22
2
)12()1(3
0)1(3
012
xx
x
x

(Mỗi câu đúng 0,25 điểm)
0,75
{ }







∈∀
≥−≤
>
2\
1,1
2
1
Rx
xx
x
(Mỗi câu đúng 0,25 điểm)
Vậy:
[
) { }
2\;1
+∞∈∀
x
là nghiệm
0,75
Câu 17.(1đ).(Mức độ: C ; 1điểm ; Thời gian: 10 phút. )

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=(-2x+3)(x-1), với
3
1
2
x≤ ≤
Đáp án Điểm
Ta c ó y=(-2x+3)(x-1)=
1
2
(-2x+3)(2x-2),
Với
3
1
2
x≤ ≤
. Ta có 2x-2>0 và -2x+3>0. Áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dương là 2x-2>0 và
-2x+3>0. ta được:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
(2x-2)+(-2x+3) 2 2 2 2 3
1
( ) 2 2 2 3
2
1 1
2 2 2 3
2 8
x x
x x

x x
≥ − − +
⇔ ≥ − − +
⇔ − − + ≤
Hay y
≤

1
8
.Vậy giá trị lớn nhất của y là
1
8
, đạt tại x=
5
2
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 18.(Mức độ: C ; 3điểm ; Thời gian: 15 phút. )
Cho A(-4;2);B(2;6);C(0;-2)
a).Hãy tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
b) Xác định toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC
c) Xác định toạ độ tr ực tâm H của tam giác ABC
Câu Đáp án Điểm
Câu 18a
Tứ giác ABCD là hình bình hành nên
AB DC=
uuur uuur
(1)

Mà
(6;4)AB =
uuur
;
( ;2 )DC x y= − −
uuur
Từ (1) ta có
6 6
2 4 2
x x
y y
− = = −
 
⇔
 
− = = −
 
Vậy D(-6;-2)
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 18b Gọi G là trọng tâm của tam giác.Khi đó
;
3 3
A B C A B C
x x x y y y
G
+ + + +
 

 ÷
 
hay
2
( ;2)
3
G −
0,25
0,25
Câu 18c Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.Khi đó:
( ) ( ) ( ) ( )
4; 2 ; 2; 6 ; 2; 8 ; 4; 4AH x y BH x y BC AC= + − = − − = − − = −
uuur uuur uuur uuur
Ta có
( ) ( )
( ) ( )
2 4 8 2 0
. 0
4 2 4 6 0
. 0
4 4 0
4 0
12
12 8
5
; ( ; )
8
5 5
5
x y

AH BC AH BC
BH AC
x y
BH AC
x y
x y
x
H
y

− + − − =
⊥ =

 
⇔ ⇔
  
⊥
− − − =
=





− − + =

⇔

− + =



= −

−

⇔


=


uuuruuur
uuuruuur
0,25
0,75
0,25
0,25
Câu19. (Mức độ: C ; 2điểm ; Thời gian: 15 phút. )
Giải các phương trình sau :
a) ( 1 điểm)
1243 −=− xx
b) ( 1 điểm)
1262
2
−=+− xxx
Câu Đáp án Điểm
19a
19b
Tùy theo cách cách giải khác nhau để cho điểm sau đây là một cách cụ thể
Đặt đk:

2
1
012 ≥⇔≥− xx
Pt
0,25
1x
3x
0,25
2143
1243



=
=
⇔



−=−
−=−
⇔
xx
xx
So sánh điều kiện kết luận pt có nghiệm x = 3 và x =1
Đặt đk:
0,25
012
062
2




≥−
≥+−
x
xx
{ Không nhất thiết phải giải điềm
kiện}
Pt
0,25
3
5
x
1x
0,25 14462
22




=
−=
⇔+−=+−⇔ xxxx
So sánh điềm kiện kết luận: Pt có nghiệm x =
3
5

0,5
0,5

0,5
0,5
Câu20.(Mức độ: C ; 2,5điểm ; Thời gian: 15 phút. )
Cho tam giác ABC có A(1;2), B(-1;1), C (1;1)
a). Viết phương trình tổng quát của trung tuyến AM
b). Viết phương trình tổng quát của đường cao AH
c).Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Đáp án Điểm
a M(0;1) 0,25
AM: x-y+1=0 0,25
b
→
BC
=(2;0)
0,25
VTPT
→
AH
=(2;0)
0,25
AH: 2x-2=0 0,5
c Phương trình đường tròn có dạng (C):x
2
+y
2
+2ax+2by+c=0
(C) qua A(1;2)
⇔
1
2

+2
2
+2a1+2b2+c=0 0,25
(C)qua B(-1;1)
⇔
(-1)
2
+1
2
+2a(-1)+2b1+c=0 0,25
(C) qua C(1;1)
⇔
1
2
+1
2
+2a1+2b1+c=0 0,25
a= 0 , b=
2
3
−
, c=1
phương trình đường tròn cần tìm: (C): x
2
+y
2
-3y+1=0
0,25

Hết.

GV.Đặng Ngọc Liên