Các dạng toán trong vectơ ( hình 10 )

DANAMATH
www.toanhocdanang.com
www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang

HÌNH HỌC
10

CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ

GV:Phan Nhật Nam


CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ

CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ
I. Các dạng toán thường gặp :
Dạng 1: Chứng minh các đẳng thức vectơ :(Sử dạng các quy tắc)
1. Quy tắc 3 điểm : Cho A, B, C tùy ý

AC = AB + BC (xen điểm B)
AC = AB – CB = BC – BA (phép trừ 2 vectơ chung ngọn hoặc gốc)
2. Quy tắc hình bình hành : Cho ABCD là hình bình hành.
AC = AB + AD

(Vectơ đ/chéo = tổng 2 vectơ của cạnh kề chung gốc đ/chéo)
3. Quy tắc trung điểm: Cho O là trung điểm của AB và M là điểm tùy ý:

OA + OB = 0 và

MO =

1
( MA + MB )
2

D

A

4. Quy tắc trọng tâm: Cho

B

O

∆ ABC có trọng tâm G và M là điểm tùy ý:
MA + MB + MC = 3.MG

GA + GB + GC = 0

 Chú ý :Sơ đồ giải bài toán chứng minh đẳng thức vectơ:
Phân

Đẳng

tíchcác
tính chất
hình học

Trung điểm, trọng tâm



 IA =
mIB ( I ng`oai AB)
 I ∈ AB
⇒  


 IA = mIB  IA = −mIB ( I trong AB)

Đẳng
thức
vectơ

thức
Sử dụng quy tắc 3 điểm
để làm xuất hiện các vectơ
có trong ycbt

Vectơ
cần

của giả

chứng

thiết

minh

Dạng 2: Biểu diễn vectơ qua các vectơ không cùng phương :
Hướng 1: Từ đẳng thức vectơ đề (nếu có) ,nếu không thì từ giả thiết ta
đi xây dựng một đẳng thức vectơ sau đó bằng cách xen điểm ta
thiết lập đẳng thức chứa vectơ cần biểu diễn và các vectơ biểu diễn.
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

2

www.toanhocdanang.com


CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ

(thường ta xen điểm chung của các vectơ có trong ycbt)
Hướng 2: Từ giả thiết ta dựng thêm hình và xác định các tính chất hình
học của nó từ đó ta đi thiết lập đẳng thức vectơ cần tìm
(thường sử dụng tính chất trọng tâm và trung điểm)
Chú ý : Đôi khi ta phải dùng nhiều đẳng thức vectơ trung gian rồi thực
hiện phép cộng hoặc trừ các đẳng thức đó với nhau vế theo vế
Dạng 3: Dựng điểm cố định thỏa đẳng thức vectơ cho trước :
Phương pháp chung:Dựng điểm I thỏa mãn đẳng thức vectơ cho trước
Bước 1: Chuyển các vectơ không chứa I về 1 vế và chứa I về vế khác
 







Tức là : MA1 + MA2 + ... + MAn =
a {với a cố định}
(cần sử dụng quy tắc cộng, trừ vectơ trước khi chuyển vế


 



 

 



 



0
MA + MC + 2 ( MA − MB ) =⇔
0
MA + MC =
2 AB )
VD: 3MA − 2.MB + MC =⇔
 





Bước 2:Chọn (dựng) điểm I sao cho: IA1 + IA2 + ... + IAn =
0 khi đó ta có:
 
   
 
MA1 + MA2 + ... + MA=
nMI + IA1 + IA2 + ... + IA=
nMI (quy vế trái về 1 vectơ chứa M)
n
n

Bước 3: Dựng điểm M như sau:




 Biến đổi đẳng thức đề về dạng: IM = b (I cố định, b không đổi )



 Lấy I làm gốc dựng IM bằng b khi đó M là ngọn của IM
Ví dụ minh họa: Cho tam giác ABC. Hãy dựng điểm M thỏa mãn đẳng thức :

  
3MA − 2.MB + MC =
0

Giải :

M


  
 
  
Ta có: 3MA − 2.MB + MC =⇔
0
MA + MC + 2 MA − MB =
0

(

)

A

 

⇔ MA + MC =
2 AB
  
Gọi I là trung điểm của AC, khi đó ta có : IA + IC =
0
 

  

Khi đó ta có: MA + MC = 2 AB ⇔ 2MI + IA + IC = 2 AB

(

 
 
MI = AB ⇔ IM = BA

I

)

B

Vậy M là đỉnh thứ tư của hình bình hành IBAM như hình vẽ
Dạng 4:Chứng minh 3 điểm thẳng hàng (đường thẳng đi qua điểm cố định)
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

3

www.toanhocdanang.com

C


CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ

Cơ sở của phương pháp :A, B, C thẳng hàng

⇔ AB = k. AC (*) (k ∈ R )

Phương pháp chung:

Trường hợp 1: A, M, N thẳng hàng { cóA là một đỉnh của đa giác}








Đặt: a = AB và b = AC (với A, B, C là ba đỉnh của đa giác mà gt cho)






ˆ A...
xen diem
gt ⇒ đẳng thức vectơ (ĐTVT) →
AM =m1 AB + n1 AC ⇔ AM =m1 a + n1 b






ˆ A...
xen diem
gt ⇒ (ĐTVT) →
AN = m2 AB + n2 AC ⇔ AN = m2 a + n2 b








⇔ AN = m2 a + n2 b = k m1 a + n1 b ⇔ AN = k AM

(

)

m
m1

n2
)
n1

2
(với =
k =

 
⇔ AN và AM cùng phương ⇔ A, M, N thẳng hàng (đpcm)

Trường hợp 2: I, M, N thẳng hàng { không có điểm nào là đỉnh của đa giác}








Đặt: a = AB và b = AC (với A, B, C là ba đỉnh của đa giác mà gt cho)






ˆ A...
xen diem
gt ⇒ (ĐTVT) →
AI = m1 AB + n1 AC ⇔ AI = m1 a + n1 b






ˆ A...
xen diem
gt ⇒ (ĐTVT) →
AM = m2 AB + n2 AC ⇔ AM = m2 a + n2 b







ˆ A...
xen diem
gt ⇒ (ĐTVT) →
AN = m3 AB + n3 AC ⇔ AN = m3 a + n3 b

(1)
(2)
(3)

Khi đó:


 



 













Từ (1),(2) ta có: IM = AM − AI = ( m2 a + n2 b ) − ( m1 a + n1 b ) = (m2 − m1 )a + (n2 − n1 )b












Từ (1),(3) ta có: IN = AN − AI = ( m3 a + n3 b ) − ( m1 a + n1 b ) = (m3 − m1 )a + (n3 − n1 )b






m3 − m1 n3 − n1
)
=
k =
⇔ IN = (m2 − m1 )a + (n2 − n1 )b = k (m2 − m1 )a + (n2 − n1 )b  = k IN (với
m2 − m1 n2 − n1

Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1:Cho ∆ ABC. Gọi I,J là 2 điểm định bởi:
 
0
IA = 2.IB và 3 JA + 2.JC =

a. Tính IJ theo

AB, AC

b. Chứng minh rằng IJ luôn đi qua trọng tâm G của tam giác ABC

Giải :
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

4

www.toanhocdanang.com


a. Ta có:

CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ




 



IA = 2 IB ⇔ IA = 2 IA + AB ⇔ AI = 2 AB

(

)

  

  
 2 
3 JA + 2 JC =
0 ⇔ 3 JA + 2 JA + AC =
0 ⇔ AJ = AC
5

(

)

  
 
Do đó: IJ = AJ − AI = 2 AC − 2 AB
5





2 

5

−2 AB + AC
Vậy ta có phân tích là IJ =








b. Đặt: a = AB và b = AC



AI = 2a

Khi đó ta có:

(1)

 2 
AJ = b
5

(2)

  





1  1 
3
3

G là trọng tâm của ∆ABC ⇔ GA + GB + GC =0 ⇔ AG = AB + AC
 1  1 
⇔ AG = a + b (3)
3
3


 





2
Từ (1) và (2) ta có: IJ =
AJ − AI =
−2a + b
5



 

1 1



5 1



Từ (1) và (3) ta có: IG =
AG − AI =
− a+ b
 a + b  − ( 2a ) =
3
3
3
3





5  1  5   2   5   5 
⇔ IG =
− a + b = −2a + b  =IJ ⇔ IG =IJ
3
3
6
5  6
6



Do đó 2 vectơ IG và IJ cùng phương nhau ⇔ I , G, J thẳng hàng ⇔ G ∈ IJ (đpcm)

Ví dụ 2: Cho ∆ ABC. Gọi E, F là các điểm định bởi:
AE =

1
1
AB , AF =
AC ( k ≠ 0 và k ≠ −1)
k
k +1

Chứng minh rằng EF luôn đi qua điểm cố định khi k thay đổi
Giải:






Gọi I là điểm được xác định như sau:=
AI m AB + n AC (với m, n ∈ R )
    1
  
IE = AE − AI =  − m  AB − n AC
k


   1 
1 
FE = AE − AF = AB −
AC
k
k +1

EF đi qua điểm I ∀k ∈ R \{-1;0}
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

5

I

A

www.toanhocdanang.com


CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ



⇔ IE cùng phương FE , ∀k ∈ R \{-1;0}
1
−m
k
⇔ =
1
k

−n
, ∀k ∈ R \{-1;0}
1
−
k +1

m + n =0 m =−1
⇔ 1 − km = nk + n , ∀k ∈ R \{-1;0} ⇔ (m + n)k + n − 1 = 0 , ∀k ∈ R \{-1;0} ⇔ 
⇔
=
n − 1 0 =
n 1

Khi đó ta có :

 
 
AI =
− AB + AC ⇔ CI =
BA ⇔ I là đỉnh của hình bình hànhACBI (như hình vẽ)

⇒ I cố định

Với điểm I vừa xác định ở trên ta có:
    1    k + 1  
1  
 1 
IE =AE − AI = + 1 AB − AC =
AB − AC =(k + 1)  AB −

AC 
k
k +1
k 
k

 


⇔ IE =(k + 1) FE ⇔ IE , FE cùng phương ⇔ I , E , F thẳng hàng

⇔ đường thẳng EF đi qua điểm cố định I (đpcm)

Chú ý: Để chứng minh đường thẳng d đi qua A cố định ta chỉ cần chứng minh trên
đường thẳng d có 2 điểm phân biệt thay đổi luôn thẳng hàng với A
 Bổ đề liên quan :
 A,B,C thẳng hàng ⇔ MC = α MA + (1 − α ) MB

(M_tùy ý; α ∈ R)

ĐB : Nếu 0 ≤ α ≤ 1 thì C thuộc đoạn AB.
 Cho 2 điểm A, B và α , β ∈ R thỏa α + β ≠ 0.
Nếu: MN = α MA + β MB thì MN cắt AB tại I thỏa α IA + β IB = 0
ĐB : Nếu α = β ≠ 0 thì I là trung điểm của AB.
 Cho 3 điểm A, B, Cvà α , β , γ ∈ R thỏa α + β + γ ≠ 0.
Nếu: MN = α MA + β MB + γ MC thì MN đi qua I thỏa α IA + β IB + γ IC = 0
ĐB : Nếu α = β = γ ≠ 0 thì I là trọng tâm của tam giác ABC.
Dạng 5: Tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ, đẳng thức môđun
Phương pháp chung:Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức:
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

6

www.toanhocdanang.com


CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ

 
  

MA1 + MA2 + ... + MAn= MB1 + MB2 + ... + MBn

Bước 1:Rút gọn đẳng thức để mỗi vế chỉ chứa đúng một vectơ
 



TH1 : Nếu MA1 + MA2 + ... + MAn có thể khử được hết M(tức là số vectơ có










dạng + M ... bằng số vectơ có dạng − M ... VD: MA + 2MB − 3MC )

thì ta phải dựng được vec tơ tổng của chúng
 



TH2 : Nếu ta không khử được M trong MA1 + MA2 + ... + MAn thì ta cần đi
 





dựng điểm I thỏa mãn IA1 + IA2 + ... + IAn =
0 khi đó.
 

  


MA1 + MA2 + ... + MA=
nMI
+
IA
+
IA
+
...
+
IA
=

nMI
n
1
2
n

Bước 2:Sử dụng các mệnh đề sau để suy ra quỹ tích của điểm cần tìm.
 AM = k .u với k ∈ R và A cố định, u không đổi

⇒

{M} là đường thẳng qua A và cùng phương với u

ĐB : + Nếu k > 0 thì {M} là tia Ax cùng hướng u
+ Nếu k < 0 thì {M} là tia Ax ngược hướng u
+ Nếu AM = k . AB (k ∈ R ) thì {M} là đường thẳng AB
 MA = MB với A, B cố định cho trước thì {M} là trung trực AB
 MA = k . BC Với A, B, C cho trước thì {M} là đường tròn (A, k.AB)
Ví dụ minh họa : Cho ∆ ABC . Tìm tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn điều kiện:
A

4 MA + MB + MC = 2 MA − MB − MC

M

Giải:

I

  

Gọi E là trung điểm của BC ⇒ EB + EC =
0

Khi đó:

  
2MA − MB − MC =

 

(

) (

)

Gọi G là trọng tâm của ∆ABC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

7

1
R = AB
3

G

 

( MA − MB ) + ( MA − MC )

 
  

=
− AB + AC =
− 2 AB + EB + EC =
2 BA

.

B

E

   
GA + GB + GC =
0
và I là trung điểm của GA ⇒    
0
 IA + IG =
www.toanhocdanang.com

C






CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ













Khi đó: 4MA + MB + MC= 6MI + 3IA + IA + IB + IC


 
  

= 6 MI + 3 IA + IG + GA + GB + GC = 6 MI

(

Do đó ta có:

  
4 MA + MB + MC =

) (

)

  

2 MA − MB − MC ⇔ 6 MI =


2 BA ⇔ IM =

1
AB
3

1
3

Vậy tập hợp tất cả các điểm M là đường tròn tâm I và bán hình R = AB
Dạng 6: Bất đẳng thức vectơ {BĐT tam giác}
Cho các vectơ a , b , c khi đó ta luôn có.
 a + b ≥ a + b từ đó nếu : a + b = c thì a + b ≥ c
 a − b ≤ a −b

từ đó nếu : a – b = c thì a − b ≤ c

II. Bài tập áp dụng:
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức vectơ
Bài 1: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ EH và FG bằng AD ,
Chứng minh rằng CDEF là hình bình hành.
Bài 2: Cho bốn điểm A, B, C, D tùy ý. Tính các vectơ sau :

a. v = AB + DC + BD + CA
b. u = AB + CD + BC + DA
Bài 3: Cho hai vectơ a và b ( ≠ 0 ).
Hãy tìm mối quan hệ giữa a và b nếu thỏa điều kiện.
a. a + b = a + b
b. a + b = a − b
Bài 4: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh : AD + BE + CF = AE + BF + CD
Bài 5: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O,
I là tâm đường tròn đi qua trung điểm của các cạnh, M là một điểm tùy ý
chứng minh rằng :
a. GA + GB + GC = 0
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

8

www.toanhocdanang.com


CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ

b. MA + MB + MC = 3.MG

c. OA + OB + OC = 3.OG = OH
d. HA + HB + HC = 3.HG = 2.HO
e. OH = 2.OI
Bài 6: Cho 4 điểm A, B, C, D tùy ý chứng minh rằng :
AB + CD = AD + CB

Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng :
OA + OB + OC + OD = 0

Bài 8: Cho tứ giác ABCD tùy ý và M, N lần lượt là trung điểm của 2 đường
chéo AC và BD. Chứng minh rằng : AB + CD = 2.MN
Bài 9: Cho tứ giác ABCD tùy ý và M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC.
Chứng minh rằng : AB + DC = 2.MN
Bài 10: Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có trọng tâm G và G’.
a. AA' + BB' + CC ' = 3GG ' suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác
có cùng trọng tâm là AA' + BB' + CC ' = 0
b. Gọi G1, G2 , G3 là trọng tâm của các tam giác ∆BCA' , ∆CAB' , ∆ABC ' .
Chứng minh rằng G là trọng tâm ∆G1G2 G3 . Biết G ≡ G '
Bài 11: Cho hình bình hành ABCD.
a. Cho AB = a, AD = b , I là trung điểm CD, G là trọng tâm tam giác BCD. Chứng
1
minh rằng : BI = b − a , tính AG theo a, b
2
5
2
b. G’ là trọng tâm của tam giác BCI. Chứng minh rằng : AG ' = a + b
6
3

c. Trên ∆ABC ,gọi A1, B1, C1 là các điểm xác định bởi 2 A1 B + 3 A1C = 0 ,
2 B1C + 3B1 A = 0 , 2C1 A + 3C1 B = 0 . Chứng minh rằng hai tam giác ∆ABC , ∆A1 B1C1

có cùng trọng tâm.

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

9

www.toanhocdanang.com


CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ

d. Gọi B’, C’ là hai trung điểm của AC, AB. Đặt BB' = u , CC ' = v Tính
BC , CA , AB theo u, v

Bài 12: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F tùy ý. Chứng minh rằng:
a.

AB − CD = AC + DB

b.

AD + BE + CF = AE + BF + CD

Bài 13: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh
BC, CA, AB. Chứng minh rằng : AM + BN + CP = 0
Bài 14: Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ∆ ABC và ∆ A’B’C’.
Chứng minh rằng : AA' + BB'+CC ' = 3.GG '
Bài 15: Cho ∆ ABC. Gọi M là một điểm trên đoạn BC, sao cho MB = 2.MC
Chứng minh rằng :
AM =

1
2
AB + AC
3
3

Bài 16: Cho ∆ ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh
AC, sao cho NC = 2.NA. Gọi K là trunh điểm của MN.
a. Chứng minh rằng : AK = 1 AB + 1 AC
4

6

b. Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng :
KD =

1
1
AB +
AC
4
3

Bài 17: Cho ∆ ABC đều cạnh a.
Xác định vectơ AB + AC và tính môđun của vectơ này.
Bài 18: Cho hình vuông ABCD cạnh a.
Xác định vectơ

(

)

1
AB + AC + AD và tính môđun
2

Bài 19: Cho đoạn thẳng AB và hai số m, n không đồng thời bằng 0.
Chứng minh rằng :
a. Nếu m + n ≠ 0 thì tồn tại duy nhất điểm M sao cho m MA + n MB = 0
b. Nếu m + n = 0 thì không tồn tại duy nhất điểm M sao cho m MA + n MB = 0
c. Nếu m + n = 0 thì v = m MA + n MB không đổi (không phụ thuộc vào vị trí M)
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

10

www.toanhocdanang.com


CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ

d. Nếu m + n ≠ 0 thì với mọi điểm M ta có m MA + n MB = (m + n) MI , trong đó I là điểm
xác định bởi m IA + n IB = 0
e. Nếu m + n ≠ 0 thì với mọi điểm M và N được xác định MN = m MA + n MB Chứng
minh rằng đường thẳng MN đi qua điểm cố định.
Bài 20: Cho hai vectơ a, b(≠ 0) không cùng phương. Gọi u, v là hai vectơ được xác
định : u = α 1 a + β1 b , v = α 2 a + β 2 b . Chứng minh rằng :
α 1 = α 2
a. u = v ⇔ 
β 1 = β 2

b. u, v cùng phương ⇔ α 1 β 2 − α 2 β1 = 0 .
Bài 21: Cho hình thang ABCD có đáy AB, CD và AB = 2CD. Từ C kẻ CI = DA .
Chứng tỏ I là trung điểm AB và DI = CB
Bài 22: Cho hình thang ABCD, AC cắt BD tại O. Qua O vẽ đường thẳng MN song
song 2 đáy AD và BC. Đặt

Chứng minh rằng : MN =

a = AB

, b = CD .

b AB + a DC
a+b

Bài 23: Cho hình bình hành ABCD. M, N là các điểm thỏa mãn AM =

DN =

1
AB ,
3

1
DC .G là trọng tâm tam giác MNB, AG cắt BC tại I. Tính tỷ số AG , BI
2
GI IC

Bài 24: Cho đoạn thẳng AB. Người ta xét 2n điểm sao cho chúng là n cặp
điểm đối xứng nhau qua trung điểm O của AB. Tiếp đó người ta đánh dấu
đỏ n điểm bất kỳ và xanh cho n điểm còn lại. Chứng minh rằng tổng khoảng
cách từ các điểm đỏ đến A bằng tổng khoảng cách từ các điểm xanh đến B
Dạng 2: Biểu diễn một vectơ thông qua các vectơ cho trước :
Bài 1: Cho ∆ ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh
BC, CA, AB. Đặt AA' = u , CC ' = v . Tính BC , CA, CB theo u, v
( ĐS : BC =

( )

2
u−v,
3

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

AB = −
11

(

)

2
2.u + v ,
3

CA =

(

)

2
u + 2.v )
3

www.toanhocdanang.com


Bài 2: Cho ∆ ABC. Gọi I

CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ

∈ BC sao cho 2CI = 3BI và J là điểm trên BC kéo

dài sao cho 5JB = 2JC
a. Tính AI, AJ theo AB, AC
b. Gọi G là trọng tâm của ∆ ABC. Tính AG theo AI, AJ
(ĐS : AI = 3 AB + 2 AC , AJ = 5 AB − 2 AC , AG = 35 AI − 1 AJ )
5

5

3

3

48

16

Bài 3: Cho ∆ ABC. Gọi G là trọng tâm và H đối xứng với B qua G.
a. Chứng minh rằng : AH = 2 AC − 1 AB
3

3

và

1
CH = − ( AB + AC )
3

b. Gọi M là trung điểm BC chứng minh rằng :
MH =

1
5
AC − AB
6
6

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD, Đặt AB = u ,

AD = v .

Tính các vectơ sau theo u, v
a. BI với I là trung điểm của CD.
b. AG với G là trọng tâm của ∆ BCI.
1
2

( ĐS : BI = u − v,

5
1

AG = u + v,
6
3

)

Bài 5: Cho ∆ ABC. Gọi G là trọng tâm và H đối xứng với B qua G.

a. Chứng minh rằng : HA − 5 HB + HC = 0
b. Đặt AG = u ,
1
2

AH = v , tính AB, AC theo u, v
5
2

1
2

( ĐS : BI = (u + v), AC = u − v,

)

Bài 6: Cho ba điểm A, B, C phân biệt và

α , β , γ ∈ R. Chứng minh rằng

a. Nếu α + β + γ = 0 thì v = α .MA + β .MB + γ .MC không phụ thuộc
vào vị trí của M

b. Nếu

α+ β+γ ≠

0 thì tồn tại duy nhất điểm I thỏa : 0 = α .IA + β .IB + γ .IC

c. v = α .MA + β .MB + γ .MC = (α + β + γ ) MI
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

12

(Với

α+ β+γ ≠

www.toanhocdanang.com

0)


CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ

d. Điểm N xác định bởi MN = α .MA + β .MB + γ .MC
(Với

α+ β+ γ ≠

0). Chứng minh MN luôn đi qua điểm cố định

Bài 7: Cho tứ giác ABCD, trên AB và CD lần lượt lấy các điểm M,N sao cho

AM = k .AB, DN = k .DC (k ≠ 1)

a. Hãy phân tích MN theo AD, BC
b. Gọi P, Q, I là các điểm thuộc AD, BC, MN sao cho AP = l.AD, BQ = m.BC
, MI = m.BC . Chứng minh rằng P, Q, I thẳng hàng
Bài 8: Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I
Chứng minh rằng :
a. 0 = a.IA + b.IB + c.IC (a, b, c là số đo cạnh của tam giác)
b. 0 = tan( A).HA + tan( B ).HB + tan(C ).HC
c. 0 = S a .MA + S b .MB + S c .MC với M là điểm bất kỳ trong tam giác.
Sa , Sb , Sc lần lượt là diện tích các tam giác: MBC, MCA, MAB
Dạng 3: Dựng điểm cố định thỏa đẳng thức vectơ cho trước :
Bài 1: Cho ∆ ABC. Hãy dựng các điểm I, J, K, L, M biết rằng :
a. 2 IA − IB = 0
b. 3 JA + 2.JB = 0
c.

2.KA + KB − KC = AB

d.

LA + LB + LC = BC

e.

3MA − 2.MB + MC = 0

Bài 2: Cho các điểm A, B, C, D, E. Xác định các điểm O, I, K sao cho
a. OA + 2.OB + 3.OC = 0

b. IA + IB + IC + ID = 0
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

13

www.toanhocdanang.com


CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ

c. KA + KB + KC + 3( KD + KE ) = 0

Bài 3:Cho hình bình hành ABCD tâm O. Hãy dựng các điểm I, J, K sao cho
a. IA + IB + IC = 4.ID
b. 2.JA + 2.JB = 3.JC − JD
c. 4 KA + 3KB + 2 KC + KD = 0
Bài 4: Cho ∆ ABC. Gọi I là điểm định bởi 5 IA − 7.IB − IC = 0
a. Chứng minh rằng : GI = 2. AB (G là trọng tâm của ∆ ABC )
b. AI cắt BG tại O. tính OA: OI
c. Xác định điểm M thuộc đường thẳng d cho trước sao cho 5MA − 3MB nhỏ nhất.
Bài 5: Cho ∆ ABC có G là trọng tâm.
1. Xác định vị trí M sao cho.
a. MA + MB + 2MC = 0
b. MA − MB + 2 MC = 0
c. MA + 2 MB = 0
d. MA + 2 MB = CB = 0
2. Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua B, B’ là điểm đối xứng của B qua C và C’ là
điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh ∆ ABC và ∆ A’B’C’ có cùng trọng tâm
Bài 6: Cho ∆ ABC. Hãy dựng các điểm I, J, K, L biết rằng :
a. 2.IA − 3.IB = 3.BC

b. JA + .JB + 2 JC = 0
c. KA + KB + KC = AB + AC
d. 2 LA + LB = 2CB + CA
Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a, M là điểm bất kỳ. Chứng minh rằng
các vectơ sau không đổi. Tính môđun của chúng.
a. v = 3MA − MB − MC − MD
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

14

www.toanhocdanang.com


CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ

b. u = 4 MA − 3MB + MC − 2 MD

Bài 8: Cho hình bình hành ABCD, M là điểm tùy ý. Trong mổi trường hợp
hãy tìm số k và điểm cố định I sao cho các đẳng thức vectơ sau thỏa
mãn với mọi M.
a. MA + MB + MC + 3.MD = K .MI
b. 2.MA + MB − MC = k .MI
c. 4 MA + MB + .MD = K .MI
Bài 9: Cho tứ giác ABCD. Trong mổi trường hợp hãy tìm số k và điểm cố
định I sao cho các tổng vectơ đều bằng

K.MI

với mọi điểm M.

a. MA + MB + 2 MC
b. MA − MB − 2 MC
c. MA + MB + MC + MD
d. 2 MA + 2 MB + MC + 3MD
Bài 10: Cho tứ giác ABCD.
1. Tìm điểm cố định I và hệ số k để đẳng thức sau đúng với mọi M.
a. MA + MB + 2 MC = k .MI
b. 2MA + 3MB − MD = k .MI
c. MA − MB − 2MC = k .MI
d. MA + 2MB + 3MC − 4MD = k .MI
2. OA + OB + OC + OD = 0 . Chứng minh O xác định duy nhất
3. Với ABCD là hình bình hành. Vói mọi M, Hãy tìm k và điểm I cố định thỏa :
a. MA + MB + MC + 3MD = k .MI
b. MA + 2MB = k .MI
c. 2MA + MB − MC = k .MI
Dạng 4: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng (đ/thẳng đi qua điểm cố định)
Bài 1: Cho ∆ ABC. Gọi I,J là 2 điểm định bởi:

IA = 2.IB và 3 JA + 2.JB = 0
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

15

www.toanhocdanang.com


CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ

c. Tính IJ theo AB, AC

d. Chứng minh rằng IJ luôn đi qua trọng tâm G của tam giác ABC
Bài 2: Cho ∆ ABC. M là 1 điểm lưu động. Dựng MN = 2 MA + 3MB − MC
a. Chứng minh MN luôn đi qua điểm cố định khi M thay đổi.
b. Gọi P là trung điểm CN, Chứng minh MP luôn đi qua điểm cố định khi M thay
đổi
Bài 3: Cho tam giác ABC, M và N thay đổi sao cho MN = 2 MA + 3MB − MC
1. Tìm điểm I thỏa mãn 2 IA + 3IB − IC = 0
2. Chứng minh rằng khi M, N thay đổi thì đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố
định .
Bài 4: Cho ∆ ABC. Gọi M là trung điểm của BC, I và J là 2 điểm được xác
định AI = α . AB và AJ =

β . AC .Xác định hệ thức của α , β

Để AM cặt IJ tại trung điểm của AM
Bài 5: Cho ∆ ABC có trọng tâm G. Các điểm M,N thỏa mãn hệ thức

3MA + 34MB = 0 , MC =

1
BC . Chứng minh MN đi qua trọng tâm G của
2

Bài 6: Cho ∆ ABC. I là 1 điểm định bởi 3IA − IB − 2 IC = 0 .
Xác định giao điểm cuarIA và BC, IB và CA, IC và AB.
Bài 7: Cho ∆ ABC. Gọi I, J là 2 điểm xác định bởi : IA = 2.IB , 3 JA + 2.JC = 0
a. Tính IJ theo AB và AC
b. Chứng minh rằng IJ đi qua trọng tâm G của ∆ ABC
Bài 8: Cho tứ giác ABCD. Gọi các điểm I, J, K định bởi AI = α . AB ,

AJ = β . AC và AK = γ . AD . Chứng minh rằng Điều kiện cần
và đủ để I, J, K thẳng hàng là

1

α

+

1

γ

=

1

β

(α , β , γ ≠ 0)

Bài 9: Cho ∆ ABC. Gọi I,J là 2 điểm định bởi:
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

16

www.toanhocdanang.com


CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ

IA + 3.IC = 0 và JA + 2.JB + 3 JC = 0

Chứng minh rằng I,J,B thẳng hàng .
Bài 10: Cho ∆ ABC. Gọi M, N, P là các điểm định bởi:
MB = 3MC , NA + 3 NC = 0 và PA + PB = 0

a. Tính PM , PN theo AB và AC
b. Chứng minh M, N, P thẳng hàng
Bài 11: Cho ∆ ABC. Gọi M, N là các điểm định bởi:
3MA + 4 MB = 0 , CN =

1
BC .G là trọng tâm ∆ ABC
2

a. Chứng minh M, G, N thẳng hàng.
b. Tính

AC theo AG và AN . AC cắt GN tại P. tính

PA
PC

Bài 12:Cho hình tứ giác lồi ABCD, điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn :

MN = MA + 2MB − 3MC + 4 MD
a. Chứng mịnh MN luôn đi qua điểm cố định khi M thay đổi.
b. Gọi P là trọng tâm của tam giác ABN. Chứng minh rằng MP luôn đi qua điểm cố
định khi M thay đổi.

Bài 13: Cho hình bình hành ABCD, trên AB, CD lần lượt lấy 2 điểm M,N
sao cho : AB = 3AM ; CD =2CN
a. Tính AN theo AB và AC
b. Gọi G là trọng tâm của tam giác BMN. Tính AG theo AB
c. Gọi I là điểm định bởi

BI = k BC

và AC

.Tính AI theo AB và AC

và theo k. Định k để AI đi qua G.
Bài 14: Cho tam giác ABC.
1. Gọi I là trung điểm BC, D và E là hai điểm sao cho BD = DE = EC
i. Chứng minh rằng : AB + AC = AD + AE
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

17

www.toanhocdanang.com


CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ

ii. Tính AS = AB + AC + AD + AE theo

AI suy ra A, I, S thẳng

hàng

2. Gọi M là điểm xác định bởi BM = BC − 2 AB , N xác định bởi

CN = x AC − BC
i. Xác định x để A, M, N thẳng hàng.
ii. Xác định x để MN đi qua trung điểm I của BC. Khi đó tính

IM
IN

Bài 15: Cho tam giác ABC.
1. Gọi M là trung điểm BC, I và J là các điểm xác định bởi AI = m. AB , AJ = n. AC .
Tìm hệ thức liên hệ giữa m,n để AM, IJ cắt nhau tại trung điểm AM.
2. Gọi P là điểm lưu động. Dựng PQ = 2 PA + 3PB − PC . Chứng minh rằng PQ đi
qua một điểm cố định khi P thay đổi. H là trung điểm CQ. Chứng minh rằng PH đi
qua điểm cố định khi P thay đổi.
Bài 16: Cho ∆ ABC. Gọi E, F là các điểm định bởi:
AE =

1
1
AB , AF =
AC
k
k +1

(k ≠ 0 và k ≠ −1)

Chứng minh rằng EF luôn đi qua điểm cố định khi k thay đổi
Bài 17: Cho ∆ ABC.
1. MN = v = 2 MA + 3MB + k .MC .

a. Khi k ≠ 5 . Chứng minh rằng giá của MN luôn đi qua điểm cố định.
b. Tìm k để MN là một vectơ không đổi.
2. Lấy E, F trên ∆ ABC sao cho AE =

1
1
AC
AB , AF =
k +1
k

(k ≠ 0,−1) .

Chứng minh rằng EF luôn đi qua điểm cố định.
Dạng 5: Tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ, đẳng thức môđun
Bài 1: Cho ∆ ABC và số thực k thay đổi. Tìm tập hợp điểm M sao cho
a. MA + k MB = k MC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

18

www.toanhocdanang.com


CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ

b. MA + (1 − k ) MB + (1 + k ) MC = 0
c. MA + (1 − k ) MB − k MC = 0

Bài 2: Cho ∆ ABC. Tìm tập hợp điểm M sao cho

a. MA + MB = MB − MC
b. 2MA + MB = MA + MB + MC
c. MA + MB − MC = 2MA − MB − MC
Bài 3: Cho ∆ ABC và số thực k thay đổi. Tìm tập hợp điểm M sao cho
a. MA + k MB + k MC = 0
b. k MA + (1 − k ) MB = 0
c. 2 MA + (3 − k ) MB + k MC = 0
d. Vectơ

v = MA + MB + 2 MC

cùng phương với vectơ BC

e. 2 MA − (1 + k ) MB − 3k MC = 0
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD tâm O, M và N lưu động và xác định bởi:

MN = 3MA − 2 MB − 2 MC + MD
a. Chứng minh rằng MN không đổi.
Tìm tập hợp tất cả các điểm M biết giá của chúng qua O
b. Tìm tập hợp tất cả các điểm M biết N luôn chuyển động trên AC.
Bài 5: Cho 2 điểm A,B cố định. Xác định tập hợp tất cả các điểm M sao cho
a. MA + MB = MA − MB
b. 2 MA + MB = MA + 2 MB
c. MA + MB = MA + MB
d. 2 MA + MB = 2 MA + MB
Bài 6: Cho ∆ ABC. Tìm tập hợp điểm M sao cho
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

19

www.toanhocdanang.com


a.

CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ

MA + MB + MC =

3
MB + MC
2

b. MA + BC = MA − MB
c. 2 MA + MB = 4 MB − MC
d. 4 MA + MB + MC = 2 MA − MB − MC
Bài 7: Cho hai hình bình hành tùy ý ABCD, A’B’C’D’ và các điểm M,N,P,Q
là các điểm được xác định bởi :
MA + k MA' = 0 , NB + k NB ' = 0 , PC + k PC ' = 0 , QD + k QD' = 0

a. Chứng minh MNPQ là hình bình hành.
b. Xác định quỷ tích tâm của MNPQ khi M chạy trên AA’
Dạng 6: Bất đẳng thức vectơ {BĐT tam giác}
Bài 1: Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Xác định M trên đường thẳng d
sao cho :

MA + MB + MC

có giá trị nhỏ nhất.

Bài 2: Trên đường tròn tâm O bán kính bằng 1 lấy 2n+1 điểm Pi, i = 1,2n + 1
2 n +1

Ở cùng phía đối với đường kính nào đó. Chứng minh rằng

∑ OP
i =1

i

≥1

Bài 3: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng với điểm I bất kỳ trên cạnh AB
(với I khác A, B) ta luôn có : IC.AB < IA.BC + IB.AC
Bài 4: Cho ba vectơ có độ dài không vượt quá 1. Chứng minh rằng có thể
tìm được 2 vectơ trong chúng sao cho tổng hoặc hiệu của 2 vectơ đó có
độ dài không vượt quá 1

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

20

www.toanhocdanang.com