tuyển tập đề thi tốt nghiệp thpt môn toán

Tuyn tp mt s thi ngh
Đề số 1
Câu 1. a) Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn điều kiện a 2 + b 2 = 1 và c d =3
9+6 2
Chứng minh rằng ac + bd cd
4
b) Tam giác ABC có các góc và các cạnh thỏa mãn hệ thức:
A
B
C
(b + c)cos A + (c + a)cos B + (a + b)cos C = 2asin + 2bsin + 2csin
2
2
2
Chứng minh rằng tam giác ABC đều.
Câu 2. a) Giải phơng trình:
log
sin x
log
cos x
( 1 + cos x ) cos x = ( 1 + sin x ) sin x
b) Tìm a để hệ phơng trình
ax 2 + 2cos y 2 = 0

1
1

x

=
y

x
y



có nghiệm duy nhất với x 0; ; y 0;
2
2
Câu 3. Cho số tự nhiên 3. Dãy (an) đợc xác định nh sau:
a 1 =


a n 1
a
=
a

n
n

1

2 + 1, (n = 2,3...)

([a] là kí hiệu số nguyên lớn nhất không vợt quá a)
an ?
Tìm lim
x

Câu 4. Cho hai đờng tròn có phơng trình
(O1 ) :x 2 + y 2 2x 4y + 1 = 0
(O 2 ) : x 2 + y 2 18x 20y + 81 = 0
Cắt nhau theo hai giao điểm A và B. Một đờng thẳng bất kì qua B, cắt (O1)
tại M và cắt (O2) tại N (B ở giữa M và N).
Xác định phơng trình đờng thẳng sao cho đờng tròn ngoại tiếp AMN có
bán kính lớn nhất.
Đề số 2.
g(t)
Câu 1. Cho hàm số g(t) = t 2 + 4t + 6 , đặt f (x) = [Max
x 4;x ]
(tức là giá trị lớn nhất của g(t) trên đoạn [x4; x])
a) Tìm GTNN của f(x) trên tập các số thực.

b) Cho dãy ( u n ) n =1 xác định nh sau: u n = { f (n)} ,n = 1,2,...
(trong đó {} là kí hiệu phần lẻ của số thức ). Tìm lim a n ?
x

Câu 2. a) Giải phơng trình 5 + 4 x + x 41 = 0
x

3

3


Tuyn tp mt s thi ngh
A
B
C

b) Cho ABC thỏa mãn 2tg + 3tg = tg
2
2
2
Chứng minh rằng 3 3 cos A + 3 1 cos B = 1 + 3 + 3 + 3 cos C .

(

)

(

)

(

)

Câu 3. Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn điều kiện:
1
P(x) + P(1) = [ P(x + 1) + P(x 1) ] , x
2
x 2 y2
Câu 4. a) Cho elíp (E): 2 + 2 = 1, (a > b > 0) với hai tiêu điểm F1 và F2. Gọi M là
a
b
điểm thuộc elíp (E), M không trùng với các đỉnh thuộc trục lớn.
ã F
ã F a c
MF

MF
2 1
Chứng minh rằng: tg 1 2 .tg
(với 2 = a 2 b 2 )
=
2
2
a+c
b) Cho hình chóp S.ABC, kí hiệu V là thể tích của khối chóp này. Chứng
minh rằng nếu tồn tại một điểm O sao cho ó = 1; OA = OB = OC = 4 thì
V9 3.
Đề số 3
1 + cos8x
Câu 1. a) Tìm GTLN và GTNN của hàm số f (x) =
6 + 2cos 4x
b) Cho dãy số xác định nh sau:
u1 = 0;u n +1 = 24u 2n + 1 + 5u n ,n = 1,2...
Chứng minh mọi số hạng của dãy đã cho là số nguyên.
Câu 2. a) Cho phơng trình
x 3 2x 2 9x + m + 1
2
2
3
2
2
lg (x + 1) lg x 2x 9x + m + 1 .lg x + 1 = 2lg
ữ
x2 + 1

Xác định m để phơng trình có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
b) Xác định dạng của tam giác ABC biết các góc của nó đều nhọn và thoả
mãn điều kiện:
A+B
tg 2 A + tg 2 B = 2tg 2
2
Câu 3. a) Tìm a để hàm số y = 2x + 2 + a x 2 4x + 5 có cực đại.
b) Xác định hàm số bậc ba y = f(x) biết:
f (1) = 1

2
f (x + 1) f (x) = 3 ( x + 3x ) , x.
Câu 4. a) Cho hai mặt ABC và ABD của tứ diện ABCD có diện tích bằng nhau.
Chứng minh rằng đờng vuông góc chung của AB và CD phải đi qua trung
điểm của CD.
b) Cho đờng thẳng và trên đó lấy một điểm A cho trớc, hai số dơng a, b
sao cho a>b. Xét tất cả các điểm P, Q sao cho AP = a, AQ = b và đờng thẳng
ã
là phân giác góc PAQ
. ứng với mỗi cặp điểm P, Q xét điểm M sao cho
uuuur uuur uuur
AM = AP + AQ . Tìm tập hợp điểm M.

(

) (

)

Tuyn tp mt s thi ngh
Đề số 4
Câu 1. y là hàm số của x, xác định bởi hệ thức y = x 1 (y + 2)(y + 2x 2)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại những điểm có tọa độ
nguyên.
Câu 2. Giải hệ bất phơng trình:
log 2 x + log 3 x < 1 + log 3 2

4
3
2
3x + 8x + 24x 96x 36 + 80 2 < 0
Câu 3. Tìm m để tồn tại cặp sô (x; y) không đồng thời bằng không và thỏa mãn phơng trình: ( 4m 3) x + ( 3m 4 ) y ( m 1) x 2 + y 2 = 0
Câu 4. Cho một hình cầu tâm O, bán kính R. Chứng minh rằng nếu lấy 1000 điểm
khách nhau trong hình cầu đó thì ít nhất có 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn
2R
.
9
3 3
Câu 5. Cho elíp 9x 2 + 16y 2 = 144 và điểm M 2;
ữ thuộc elíp. Một đờng thẳng
2


song song với tiếp tuyến của elíp tại M. Tìm phơng trình của sao cho
cắt elíp tại 2 điểm A, B mà diện tích MAB lớn nhất.

Đề số 5.
Câu 1. Cho hàm số f: Ă Ă thỏa mãn điều kiện:

f (x + y) f (x) + f (y), x Ă


f (x)
lim
x 0 x = 1, x Ă
a) Chứng minh rằng hàm số f(x) có đạo hàm trên Ă .
b) Tìm hàm số f(x).
Câu 2. a) Cho x, y, z>0 thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 = 1 . Chứng minh rằng:
x
y
z
3 3
+ 2
+ 2

2
2
2
y +z
z +x
x +y
2
b) Giải phơng trình 4x + 9 x = 10x 2 + x + 2
2
2
Câu 3. a) Chứng minh rằng a, b Ă , phơng trình ( x + a ) + ( y + b ) x 3 = 0
không thể có 3 nghiệm phân biệt.
ab
a ab

< ln <
b) Chứng minh rằng nếu 0 < b < a thì
.
a
b
b
Câu 4. Chứng minh rằng nếu ABC nhọn thì
cos(A B).cos(B C).cos(C A)
64
cos 2 A.cos 2 B.cos 2 C
ã
Câu 5. Cho góc AOB
= 900 , điểm M di động trên CA, điểm N di động trên OB sao
cho OM + ON = 2a (a là hằng số dơng).
2


Tuyn tp mt s thi ngh
a) Chứng minh rằng đờng trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định.
b) I là điểm chia đoạn MN theo tỉ số l. Tìm quỹ tích điểm I.
x 2 y2
Câu 6. Cho elíp (E): 2 + 2 = 1 . A và B là các điểm thuộc (E) sao cho OAOB
a
b
1
1
a 2 + b2
(A, B di động) và cho biết
+
= 2 2 . Trong tất cả các hình thoi

OA 2 OB2
a b
ABCD nội tiếp elíp (E), tìm hình thoi có diện tích lớn nhất, nhỏ nhất (Hình
thoi có tâm O).
Đề số 6.
Câu 1. Cho hàm số


)
2
Tìm để trên đoạn [sin; cos] hàm số có cực tiểu và giá trị cực tiểu cũng
là GTNN của hàm số trên [sin; cos].
Câu 2. a) Giải phơng trình:
x

log 22 x + x log 7 ( x + 3) = log 2 x. + 2log 7 ( x + 3 )
2

P(1972) = 2001
b) Tìm đa thức P(x) thỏa mãn:
2
P(x) = P(x + 1) 33 + 32
Câu 3. Cho a = x 0 < x1 < x 2 < ... < x n = b . Chứng minh:
y = 3x 4 + 4x 3 ( cos sin ) 3x 2 sin 2 ( là tham số, 0

k

x1k x 0k + x 2k x1k + ... + x nk x nk 1 a + b

k

(Với k là số nguyên cho trớc)
Câu 4. Trong hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy.
x 2 y2
a) Cho elíp
+
= 1 . Gọi A1, A2 là các đỉnh trên trục lớn, M là điểm di
9
4
động trên elíp. Chứng minh rằng trực tâm H của MA1A2 luôn nằm trên
một elíp cố định.
b) Cho ABC có A(1; 0), B(2; 0), C(0; 3). Tìm điểm M nằm trong tam giác
để biểu thức MA.BC+MB.CA+MC.AB có giá trị nhỏ nhất.
Đề số 7.
sin x ( sin x + 1) = cos3 x + cos x

Câu 1. a) Giải phơng trình
b) Cho là tham số thực. Hãy tìm nghiệm của hệ phơng trình sau:
1
x < 1

x 4 + 4x + 1 ( sin 3cos 2 sin 3 + 11) > 0

2
Câu 2. a) Cho hàm số:
f (x) = a1 sin(b1x) + a 2 sin(b 2 x) + a 3 sin(b 3x) với f (x) sin x , x [ 1;1]


Tuyn tp mt s thi ngh
Chứng minh rằng: a1b1 + a 2 b 2 + a 3b3 1

b) Cho p, q, r là các số thực, q 0 và m là số tự nhiên thỏa mãn:
q
p
r
+
+
=0
m + 5 m + 4 m +1
Chứng minh rằng: 256q 3r 27p 4 .
Câu 3. a) Cho phơng trình

x 2 x3
x 2005
x 2 x3
x 2005
1
+ + ... +
+ ...
1 + x +
ữ1 x +
ữ=
2! 3!
2005!
2! 3!
2005! 2005

Chứng minh rằng phơng trình trên có và chỉ có 2 nghiệm trái dấu.
b) Mỗi điểm trong mặt phẳng đợc gắn với một trong hai màu xanh, trắng.
Chứng minh rằng trong mặt phẳng đó tồn tại một tam giác đều cạnh bằng 1
hoặc bằng 3 mà 3 đỉnh của nó cùng một màu.

Câu 4. a) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ABC có A(2; 5), trọng tâm
2 1
G ; ữ, đờng phân giác trong góc C có phơng trình x + 2y 2 = 0 .
3 3
Điểm D có tọa độ (0; 6). Tìm tọa độ điểm M thuộc cạnh BC sao cho
MA MD đạt giá trị lớn nhất.
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 parabol y 2 = 2px và y = ax 2 + bx + c .
Chứng minh rằng nếu 2 parabol này cắt nhau tại 4 điểm phân biệt thì 4 điểm
đó cùng thuộc một đờng tròn.
Đề số 8.
Câu 1. a) Tìm tất cả các hàm số f : Ă Ă thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
1) f (x) e x , x Ă
2) f (x + y) f (x).f (y), x, y Ă
b) Cho a, b là các số thực thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1
3
3
3
Chứng minh rằng: a + b + c 3abc 1 .
Câu 2. a) Tìm m để phơng trình sau có đúng 2 nghiệm:
3m x 2 4x +3
1


m2
2
9 .log 2 x 4x + 3 + 1 + 3
.log 2
=0
2 ữ
1 + 3m 2m

b) Cho biểu thức P = x 2 + (y + 1) 2 + x 2 + (y 3) 2
trong đó x, y thỏa mãn 2x y 2 = 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Câu 3. a) Cho ABC cân (AB = AC). Giả sử phân giác trong góc B cắt cạnh AC tại
ã
D và BC = BD + AD. Tính góc BAC
?
b) Cho tứ diện ABCD, với tam diện vuông đỉnh A. Xác định vị trí của điểm
M để 3MA + MB + MC + MD là nhỏ nhất.
Đề số 9.
Câu 1. a) Giả sử f(x) là một hàm số xác định với mọi x và thỏa mãn:

(

)


Tuyn tp mt s thi ngh
x.f (x + 2) = (x 2 9).f (x) .
Chứng minh rằng phơng trình f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm.
1
b) Biết x, y, z, t là các số thực thuộc khoảng ;1ữ. Tìm giá trị nhỏ nhất của
4
1
1
1



hàm số: f (x, y,z, t) = log x y ữ+ log y z ữ+ log z x ữ

4
4
4



Câu 2. a) Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
4x + 4 y = 32y 32x + 48 (với x < y).
b) Tìm m để phơng trình sau đây có nghiệm:
x2 + x + 1 x2 x + 1 = m
Câu 3. Trong mặt phẳg kẻ ô vuông đơn vị. Hãy tìm đờng tròn có bán kính lớn nhất
chỉ đi qua các đỉnh ô vuông mà không cắt một cạnh hình vuông nào cả.
Câu 4. a) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K là trung điểm
của SC. Mặt phẳng () qua AK cắt SB, SD lần lợt tại M và N. Đặt V1 là thể
tích của hình chóp S.AKMN và V là thể tích hình chóp S.ABCD. Xác định vị
V
trí của mặt phẳng () để tỉ số 1 đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
V
b) Trong mặt phẳg tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 1) và đờng thẳng d có phơng
trình 4x + 3y = 12. Ma là điểm thay đổi trên đờng
uuuurthẳng
uuur d. Trên nửa đờng
thẳng đi qua 2 điểm A và M lấy điểm N sao cho AM.AN = 4 . Điểm N chạy
trên đờng cong nào? Viết phơng trình đờng cong đó?
Đề số 10.
Câu 1. Cho hàm số f (x) = ax + bx + c; a,b,c  . Chứng minh rằng tồn tại số
nguyên z để f(z) = f(2004).f(2005).
Câu 2. Giải phơng trình x 3 x sin x = 0 .
Câu 3. Cho hệ phơng trình (ẩn x, y, u, v)
x 2 + y2 = 3

2
2
u + v = 5

xv + yu 15
Tìm nghiệm của hệ sao cho tổng y + v là lớn nhất.
Câu 4. Giải phơng trình: 2x + 4 x = 2.3x
Câu 5. Cho EFI vuông ở I và điểm P (P I). Lấy 2 điểm A, B lần lợt thuộc các đã
ờng thẳng IE, IF sao cho góc APB
vuông. Gọi M là hình chiếu của P trên
AB. Tìm tập hợp các điểm M khi A, B thay đổi.
2

Đề số 11.


Tuyn tp mt s thi ngh
Câu 1. a) Với giá trị nào của x, y thì 3 số dơng sau đây đồng thời lập thành một cấp
số cộng và một cấp số nhân: a1 = 8x +log 2 y ;a 2 = 2 x log2 y ;a 3 = 5y .


cos cos x ữ
b) Tìm giới hạn lim
2

x 0
sin ( tgx )
Câu 2. Cho hệ phơng trình:
cos x = x 2

ytgy = 1
Chứng minh rằng hệ có cặp nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn: 0 < x < y < 1 .
Câu 3. Tìm a sao cho hàm số g(x) = 2x 3 + 3(a 1)x 2 + 6(a 1) 2(a + 1) có giá trị
cực đại, cực tiểu đều dơng và g(x) > 0, x 0.
Câu 4. Cho ABC thỏa mãn điều kiện:
3sin A
3sin B + 4sin A = 1 + 4sin B
sin A
3
+ 4sin B = 1 + 4sin C
3sin C
Xác định dạng của tam giác ABC?
Câu 5. a) Cho đờng thẳng : 3x +25 = 0 và điểm F(3; 0). Tìm quỹ tích ..
Đề số 12.
Câu 1. a) Cho hàm số y = f(x) là hàm số tuần hoàn và có đạo hàm xR. Chứng
minh rằng hàm số y = f(x) cũng là hàm số tiần hoàn.
b) Chứng minh rằng hàm số y = sin 2c .cos x không phải là hàm tuần hoàn

(

)

x1 = a

Câu 2. a) Cho dãy số (xn) xác định bởi
3
2
x

x

+
x
=
,n Ơ *
n
+
1
n
n

4
Tìm a sao cho x2004 = x2005.
b) Cho các số thực x, y thỏa mãn:
2
2x x

2
y 2x + 3x
Chứng minh rằng x 2 + y 2 2
Câu 3. a) Giải phơng trình 5x + 3x = 2 + 6x
b) Trong các hình nón ngoại tiếp hình cầu cho trớc. Hình nón nào có thể tích
nhỏ nhất.
Câu 4. Trong mặt phẳng cho hai đờng tròn:


Tuyn tp mt s thi ngh
(C1 ) : x 2 + y 2 = a 2
(C2 ) : x 2 + y 2 = b 2 (a > b > 0)
P và Q lần lợt là các điểm chuyển động theo thứ tự trên (C 1) và (C2) sao cho
ã

Ox là phân giác trong của góc POQ
. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn
uuuur uuur uuur
OM = OP + OQ .
Đề số 13
Câu 1. a) Cho hàm số f (x) = x ln ( 1 + x ) . Chứng minh rằng f '(x) =

x
.
1+ x

b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = 1 + 2cos x + 1 + 2sin x .
Câu 2. a) Chứng minh rằng phơng trình x 2 2y 2 = 5 không có nghiệm nguyên .
b) Tìn tất cả các giá trị của k sao cho phơng trình sau có không ít hơn 2
nghiệm dơng khác nhau: x 4 + kx 3 + x 2 + kx + 1 = 0
Câu 3. a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai hình vuông OABC và OABC.
Chứng minh rằng AA, BB, CC đồng quy.
b) Cho họ đờng tròn ( Cm ) :x 2 + y 2 2 ( m 1) x ( m + 6 ) y + m + 10 = 0 .
Chứng minh rằng các đờng tròn ( C m ) luôn tiếp xúc nhau tại một điểm cố
định khi m thay đổi.
Câu 4. Cho dãy số (xn) đợc xác định nh sau:
x 0 = 200

1
2004

x
=
x
+

n 2 n 1 x ữ,n = 1,2,3...

n 1

Chứng minh rằng dãy (xn) có giới hạn. Tìm giới hạn đó.
Đề số 14.
n
Câu 1. a) Tìm giới hạn của dãy số u n = n 2 ( 0,7 )
ln x
.
x
Câu 2. a) Cho hai số thức a, b, thỏa mãn điều kiện a 2 + b 2 + 21 6x + 8b . Chứng
minh rằng 5a + 12b 37.
x2 a
y = 1.
b) Cho hàm số y =
, a là tham số. Tìm a để Max
[ 0;1]
x +1
Câu 3. a) Cho các số thực a, x, y, z thỏa mãn:
sin x + sin y + sin z cos x + cos y + cos z
=
sin(x + y + z)
cos(x + y + z) = a
Chứng minh rằng cos(x + y) + cos(y + z) + cos(z + x) = a
b) Chứng minh rằng với mọi số thc a, b, c phơng trình:
a cos 7x + bcos 4x + ccos3x + sin 2x = 0
b) Tìm tất cả các tiệm cận của đồ thị hàm số y =

Tuyn tp mt s thi ngh
luôn có nghiệm thuộc khoảng ( 0; ) .
Câu 4. Cho hình chóp có đáy là hình thoi có diện tích bằng 8. Góc nhọn của đáy
bằng 300 , đờng cao của hình chóp bằng 2. Một mặt cầu tiếp xúc với các mặt
bên của hình chóp tại các điểm thuộc cạnh đáy.
Chứng minh rằng đờng thẳng nối tâm mặt cầu và đỉnh của hình chóp đi qua
giao điểm hai đờng chéo của đáy. Tính bán kính mặt cầu nói trên.
Đề số 15
Câu 1. a) Chứng minh rằng hàm số y = x không có đạo hàm tậi x = 0, hàm số
3

y = x có đạo hàm với mọi xR.
b) Cho x, y, z là các số thực dơng thỏa mãn x y z. Chứng minh rằng:
x 2 y y 2z z 2 x
+
+
x 2 + y2 + z2
z
x
y
Câu 2. a) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng phơng trình a cos x + 9bcos3x + 25ccos5x = 0 có ít nhất 4 nghiệm trên đoạn

2 ; 2
3
b) Cho a, b, c là các số thực dơng thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng
là
4
a3
b3
c3

+
+
giá trị nhỏ nhất của biểu thức S =
.
(1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a) (1 + a)(1 + b)
Câu 3. a) Giải hệ phơng trình:
y3 9x 2 + 27x 27 = 0
3
2
z 9y + 27y 27 = 0
x 3 9z 2 + 27z 27 = 0

b) Cho hàm số f(x) có đạo hàm f(x) đồng biến trên đoạn [a; b] và:
1
1
f (a) = (a b);f (b) = (b a)
2
2
Chứng minh rằng tồn tại các ố , , phân biệt trong đoạn [a; b] sao cho:
f '().f '().f '( ) = 1 .
Câu 4. a) Trong hệ tọa độ Oxy cho elíp có phơng trình (E):
x 2 y2
+
= 1, (a > b > 0) . Gọi A1, A2 là các đỉnh trên trục lớn; B1, B2 là các
a 2 b2
đỉnh trên trục bé của (E), M là điểm bất kì trên (E). Chứng minh rằng trục
đẳng phơng của hai đờng tròn ngoại tiếp MA1A2 và MB1B2 tiếp xúc với
elíp (E).
r
b) Trong mặt phẳng cho n điểm A 1, A2,,An và vectơ a cố định. Viết phơng

r
trình đờng thẳng d nhận vectơ a làm vectơ chỉ phơng sao cho tổng bình phơng các khoảng cách từ Ai, i = 1,,n đến d là nhỏ nhất.


Tuyn tp mt s thi ngh
Đề số 16.
Câu 1. a) Giải phơng trình sin x + 4cos3 x = 3cos x .
b) Giải hệ phơng trình:
2x 2 +1 216 y2 +1 = 3 2 y x


2
3
7
x+y =
2(x + y) +

2
2
Câu 2. a) Cho hàm số f(x) xác định trên R và không đồng nhất bằng 0, thỏa mãn
điều kiện:
1) f(x+y) = f(x).f(y), x,yR
2) f(x) có đạo hàm tại điểm x = 0.
n
Chứng minh rằng f(x) có đạo hàm mọi cấp tại xR. Tính f (x)?
b) Cho e x1 x 2 ... x n < y1 y 2 ... y k và
x1 + x 2 + ... + x n > y1 + y 2 + ... + y k
Chứng minh rằng x1.x 2 ...x n > y1.y 2 ...y k
Câu 3. a) Trong tất cả các tứ diện OABC đỉnh O có 3 mặt vuông, hãy tìm tứ diện
có: T = tg 2 + tg 2 + tg 2 + cot g 2 + cot g 2 + cot g 2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Trong đó , , lần lợt là góc giữa các mặt OBC, OCA, OAB với mặt phẳng
(ABC).
b) Cho a, b, là các số thỏa mãn a 2 + b 2 + 16 = 8a + 6b . Chứng minh rằng:
1) 10 4a + 3b 40
2) 7a 24b .
Đề số 17.
2
2
1
Câu 1. a) Tính giá trị của biểu thức S = 32x ( x 2 1) ( 2x 2 1) + với x = cos
9
x
*
*
b) Cho hàm số f : Ơ Ơ thỏa mãn các điều kiện:
f (1) = 5;f ( f (n) ) = 4n + 9 và f (2n ) = 2n +1 + 3 với mọi n Ơ * .
Tính f(1789)?
Câu 2. a) Giải phơng trình 3x = 1 + x + log 3 (1 + 2x) .
n(n + 2)
b) Cho các dãy số u n =
2 và x n = u1.u 2 ...u n
( n + 1)
1) Chứng minh rằng un là dãy tăng còn xn là dãy giảm.
n+2
2) Chứng minh rằng x n =
2(n + 1)
3

(

)

t
Câu 3. a) Chứng minh rằng 3 4t + 2 > t + 3 t , t [ 0;3]
2 +1
b) Cho ABC, gọi M là trung điểm BC và G là trọng tâm ABC. Tính độ dài
AM từ đó suy ra độ dài AG và cosin góc nhọn tạo bởi AG và BC.
Câu 4. Cho hai điểm F và F cố định. Một đờng thẳng chuyển động sao cho và
F, F cùng ở trên một mặt phẳng cố định và F, F luôn ở về một phía đối với


Tuyn tp mt s thi ngh
. Chứng minh rằng nếu tích các khoảng cách từ F và F tới bằng k2 không
đổi thì đờng thẳng luôn tiếp xúc với một elíp cố định.
Đề số 18.
Câu 1. a) Cho hàm số f : Ă Ă thỏa mãn:
f (x) + f (y) = f (x + y) xy 1, x, y Ă
Nếu f(1) = 1, hãy tìm các số nguyên n sao cho f(n) = n.
b) Xác định số dơng a sao cho a cos 2x 2cos 2 x, a Ă .
Câu 2. a) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
a 2 b(a b) + b 2c(b c) + c 2a(c a) 0
b) Giải phơng trình x log 2 9 = x 2 .3log 2 x x log 2 3
Câu 3. Trên một tờ giấy trắng kẻ ô carô vô hạn có n ô đợc tô đen, vào các thời
điểm t = 1, 2, xảy ra sự biến đổi màu đồng thời của tất cả các ô trên tờ
giấy theo qui tắc sau: Mỗi ô k có đợc màu mà thời điểm trớc đó phần lớn
trong 3 ô sau có: Chính ô k và các ô kề phải và kề trên nó (2 trong 3 ô này là
đợc). Chứng minh rằng:
a) Sau một thời gian hữu hạn, trên tờ giấy không còn ô màu đen.
b) Các ô đen bị loại trừ không muộn hơn tại thời điểm t = n.
Câu 4. Trong không gian cho 4 đờng thẳng d1, d2, d3, d4 song song với nhau, trong

đó không có 3 đờng thẳng nào cùng nằm trong một mặt phẳng. Mặt phẳng
(P) cắt 4 đờng thẳng trên theo thứ tự tại A, B, C, D; một mặt phẳng (Q) khác
(P) cắt 4 đờng thẳng ấy theo thứ tự taịi A, B, C, D. Chứng tỏ rằng các tứ
diện DABC và DABC có thể tích bằng nhau.
Đề số 19.
Câu 1. a) Cho hàm số f xác dịnh trên Ơ * và thỏa mãn các điều kiện:
f (1) = 2005

n +1
f (n + 1) = n.(1) 2f (n)
Tính S = f (1) + f (2) + ... + f (2004)?
b) Tồn tại hay không các số thực a, b để phơng trình sau có 4 nghiệm thực
5
1
phân biệt: x + = a.e3x + b.e 2x + c.e x e x
6
4
2
3sin + 2sin 2 = 1


Câu 2. a) Cho 0 < < ;0 < < và
2
2
3sin 2 2sin 2 = 0

Chứng minh rằng + =
2
b) Giải hệ phơng trình:

Tuyn tp mt s thi ngh

1
1
x1 = x 2 + ữ
2
x2




x 2 = 1 x 3 + 1 ữ
2
x3

....


1
1
x 2005 = x1 + ữ
2
x1


Câu 3. a) Cho dãy vô hạn đợc xác định nh sau:
u1 = 1 và un+1 = 1+u1.u2un, n =1, 2
1 1
1

+ ... + . Tìm limSn ?
Đặt Sn = +
u1 u 2
un

3
2
4
sao cho miền trong của hai hình tứ diện đó không có điểm chung nào hay
không?
x 2 y2
Câu 4. Hình chữ nhật (Q) ngoại tiếp elíp (E): 2 + 2 = 1 nếu mỗi cạnh hình chữ
a
b
nhật tiếp xúc với elíp (E). Hãy xác định:
a) Hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
b) Hình chữ nhật có diện tích nhỏ nhất.
b) Hỏi có thể xếp vào hình lập phơng cạnh 1 hai hình tứ diện đều cạnh

Đề số 20.
Câu 1. a) Cho 01
y
x
ln
ln
>4

y x 1 y
1 x ữ

b) Hàm số f(x) xác định trên Ă và thỏa mãn điều kiện:
2
3
( f (x) f (y) ) x y , x, y Ă
Câu 2. a) Cho hàm số y = 2x + 1 mx 2 + 2x + 4 . Chứng minh rằng với mọi m,
các đồ thị của hàm số trên đều tiếp xúc nhau.
b) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hệ phơng trình:
ax + by = c

bx + cy = a
cx + ay = b

3
3
3
có nghiệm là a + b + c = 3abc .
Câu 3. Cho dãy số xác định bởi:
u1 = u 2 = 1

u n 2u n 1 + u n 2 = 2, n 3,n Ơ
a) Xác định công thức truy hồi?


Tuyn tp mt s thi ngh
b) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số đã cho?
Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(2; 4), B(3; 1), C(1; 4) và đờng thẳng
d: x y 1 =0.
a) Tìm trên đờng thẳng d một điểm M sao cho AM +BM nhỏ nhất.
b) Tìm điểm N trên d sao cho AN +CN nhỏ nhất.