Nghiên cứu về cấu trúc tinh thể

TIỂU LUẬN LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ

GVHD: GS. TRẦN CÔNG PHONG

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA VẬT LÝ
------

BÀI NHÓM
CHƯƠNG 1: CẤU TRÚC TINH THỂ

Giảng viên hướng dẫn : PGS.TS Trương Minh Đức
Nhóm học viên thực hiện:

1

Lớp

: Vật lí lý thuyết và Vật lí toán

Khóa

:

23

Huế, tháng 5 năm 2015


VẬT LÍ TINH THỂ

GVHD: PGS.TS TRƯƠNG MINH ĐỨC

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

NHÓM 1

1


VẬT LÍ TINH THỂ

GVHD: PGS.TS TRƯƠNG MINH ĐỨC

Chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến Thầy PGS. TS Trương Minh
Đức đã dành nhiều thời gian, tâm huyết giảng dạy, giúp đỡ chúng em hoàn thành tốt
học phần Vật Lí Tinh Thể, cũng như bài thuyết trình này.
Cảm ơn tất cả các bạn học viên cao học khóa 23 lớp Vật Lý Lý Thuyết Và Vật
Lý Toán, đã góp ý, giúp đỡ nhóm tôi trong quá trình học tập và hoàn thành phần này.
Xin chân thành cảm ơn!
Nhóm học viên:
Trần Như Bội Ngọc
Lê Thị Mai Phương
Trần Thị Hồng Lê
Phạm Thị Minh Hải
Võ Văn Toản
Nguyễn Văn Phong

A.MỞ ĐẦU
Hơn 400 năm kể từ những nghiên cứu đầu tiên về tinh thể, đến nay nhân loại
đã có những hiểu biết rất rõ ràng về cấu trúc tinh thể và phát triển nhiều công cụ
phân tích cho phép tính toán chính xác cấu trúc tinh thể của vật liệu từ thang kích
NHÓM 1

2


VẬT LÍ TINH THỂ

GVHD: PGS.TS TRƯƠNG MINH ĐỨC

thước lớn tới thang kích thước rất nhỏ (cấp nanomet). Những hiểu biết về cấu trúc
tinh thể giúp các nhà khoa học hiểu về cơ chế tạo thành tính chất của vật liệu từ mối
tương quan cấu trúc – tính chất vật liệu, do đó có thể tạo ra nhiều vật liệu với nhiều
tính chất như mong muốn.
Thực chất thì những đột phá về nghiên cứu tinh thể học chỉ đến trong thời
gian khoảng 175 năm trở lại đây, với những mô hình hình học không gian tinh thể
của Miller, những thống kê, phân nhóm tinh thể của Bravais. Đặc biệt là trong vòng
100 năm từ đầu thế kỷ 20, những phép phân tích về tinh thể học, mà điển hình là
những nghiên cứu tiên phong của Laue, Ewald, cha con Bragg,… đã tạo nên những
đột phá trong việc tìm hiểu cấu trúc tinh thể, tạo nên những phép phân tích vật liệu
chính xác và đặc biệt hữu ích, và đã có ít nhất 7 giải Nobel Vật lý, Hóa học, Sinh lý
học được trao cho các nhà nghiên cứu liên quan đến chủ đề phân tích cấu trúc.
Điều này cho thấy nghiên cứu tinh thể học, cấu trúc vật chất quan trọng và hấp dẫn
như thế nào trong vật lý, hóa học và vật liệu.

B.NỘI DUNG

CHƯƠNG 1: CẤU TRÚC TINH THỂ
1.1 Chất rắn vô định hình và chất rắn tinh thể
NHÓM 1

3


VẬT LÍ TINH THỂ

GVHD: PGS.TS TRƯƠNG MINH ĐỨC

Vật chất tồn tại dưới ba dạng cơ bản: Rắn , lỏng và khí. Ngoài ra, trạng thái thứ
tư là trạng thái Plasma, trong đó các chất bị ion hóa mạnh. Đại bộ phận nguyên tử hay
phân tử chỉ còn lại hạt nhân, các electron chuyển động tương đối tự do giữa các hạt
nhân. Plasma không phổ biến trên trái đất. Tuy nhiên, trên 99% vật chất trong vũ trụ
tồn tại dưới dạng Plasma. Vì thế, trong 4 trạng thái tồn tại của vật chất, Plasma được
xem là trạng thái đầu tiên trong vũ trụ. Người ta cũng gọi đây là 3 trạng thái ngưng tụ
của các hạt vật chất . Hạt ở đây có thể là những nguyên tử, ion, phân tử.

Ở trạng thái khí , các chất có những khoảng cách lớn giữa các hạt và các lực
tương tác giữa chúng với nhau bé .Chúng có khả năng chiếm một thể tích bất kỳ mà ta
dành cho nó , và tính chất chủ yếu của chúng được xác định bởi tính chất của các hạt
riêng biệt.
Còn ở trạng thái lỏng , các hạt của chất nằm cách nhau những khoảng bằng kích
thước của chúng, lực tương tác giữa các hạt là đáng kể. Các hạt của chất thống nhất
thành những tập hợp lớn , trong đó phân bố tương hỗ theo một trật tự nhất định và
chuyển động có tính chất dao động (thứ tự gần) .Ở khoảng cách xa các trung tâm của
NHÓM 1

4

VẬT LÍ TINH THỂ

GVHD: PGS.TS TRƯƠNG MINH ĐỨC

tập hợp (thứ tự xa), trật tự này bịphá vỡ. Độ bền của các liên kết giữa các tập hợp hạt
trong chất lỏng không lớn, vì vậy ở trạng thái lỏng chất chiếm một thể tích xác định,
nhưng có khả năng thay đổi hình dạng dưới tác dụng của trọng lực. Tính chất của chất
ở trạng thái này được quyết định bởi tính chất của các hạt và các tập hợp hạt , cũng
như bởi các tương tác giữa chúng với nhau .
Ở trạng thái rắn , các chất chẳng những có khả năng bảo toàn một thể tích xác
định mà còn giữnguyên hình dạng dưới tác dụng của trọng lực. Tính chất của chất
được xác định bởi thành phần nguyên tố cũng như cấu trúc của nó. Cần phân biệt các
chất rắn gồm các vi tinh thể (chất rắn tinh thể) và các chất ở trạng thái thuỷ tinh (chất
rắn vô định hình).
Khi điều kiện tồn tại (nhiệt độ, áp suất) thay đổi, các chất có thể chuyển thể từ
rắn sang lỏng, hoặc từ lỏng sang khí và ngược lại. Nước có thể bay hơi hoặc đông lại
thành nước đá, các kim loại có thể chảy lỏng và bay hơi.

1.1.1 Chất rắn vô định hình
1.1.1.1. Khái quát về chất rắn vô định hình

NHÓM 1

5


VẬT LÍ TINH THỂ

GVHD: PGS.TS TRƯƠNG MINH ĐỨC

Chất rắn vô định hình là chất rắn không có cấu trúc tinh thể. Do đó không có
dạng hình học xác định. Cấu trúc có hình dạng đối xứng xác định này gọi là cấu
trúc tinh thể.

Về mặt cấu trúc có thể xếp chất rắn vô định hình vào trạng thái lỏng: Khi một
thể lỏng bị đông đặc hết sức đột ngột , tính linh động của các hạt bị giảm mạnh, độ
nhớt tăng vọt nhanh, các mầm kết tinh chưa kịp phát sinh và cấu trúc của thể lỏng như
bị “đông cứng lại”. Thể lỏng đã chuyển sang thể vô định hình. Trạng thái vô định hình
khác trạng thái lỏng ở một điểm nhỏ: Các hạt không dễ dàng di chuyển đối với nhau
hay độ cứng ( điều này là điểm giống duy nhất với vật rắn tinh thể). Tất cả các tính
chất khác nó giống như thể lỏng vì cấu trúc của nó làcấu trúc của thể lỏng, đặc trưng
bởi sự mất trật tự của các hạt . Có thể phân biệt dễ dàng vật thể vô định hình với vật
NHÓM 1

6


VẬT LÍ TINH THỂ

GVHD: PGS.TS TRƯƠNG MINH ĐỨC

thể kết tinh bằng những đăc điểm dễ quan sát của trạng thái lỏng mà vật thểvô định
hình mang theo :
+ Tính đẳng hướng : Các tính chất vật lý của nó như nhau theo các phương khác
nhau
+ Phân biệt bằng đường nóng chảy - đường cong chỉ sự thay đổi nhiệt độ của vật
thể theo thời gian khi vật thể được nung nóng cho tới điểm nóng chảy:

Ở hình (a): Vật thể vô định hình: Đồ thị là một đ ường cong biến thiên liên tục
không có điểm nóng chảy xác định - liên kết giữa các hạt khác nhau về lực
Ở hình (b): Vật thể kết tinh: Đồ thị biểu diễn đường nóng chảy của vật thể kết
tinh có những điểm gãy m, n tương ứng với sự bắt đầu và kết thúc của quá trình
chuyển từ cấu trúc tinh thể sang cấu trúc lỏng của vật chất (quá trình ngược lại là quá
trình kết tinh).
Trong giai đoạn được nung, nhiệt độ của tinh thể tăng dần (pm). Tới nhiệt độ
nóng chảy của vật chất ( tc) nhiệt độ của vật ngừng tăng trong một thời gian (mn). Thời
gian này dài hay ngắn còn tùy thuộc lò nung nóng ít hay nhiều và khối lượng tinh thể
lớn hay nhỏ. Suốt thời gian này (từ m đến n) nhiệt lượng cung cấp cho vật thể không
dùng để tăng nhiệt độ của vật thể mà dùng để tăng nội năng cho nó bằng những phần

NHÓM 1

7


VẬT LÍ TINH THỂ

GVHD: PGS.TS TRƯƠNG MINH ĐỨC

năng lượng cần thiết phải có để phá vỡ các mối liên kết giữa các hạt trong cấu trúc
mạng, đưa các hạt vào trạng thái dao động và di chuyển dễ dàng đối với nhau hơn trạng thái lỏng.
1.1.1.2. Một số tính chất của chất rắn vô định hình
Chất rắn vô định hình có tính đẳng hướng, không có nhiệt độ nóng chảy, đông
đặc xác định. Khi bị nung nóng thì chúng mềm dần và chuyển sang thể lỏng.
1.1.1.2. Đặc điểm của chất rắn vô định hình
Chất rắn vô định hình có nhiều đặc tính quý như dễ tạo hình, không bị gỉ, không
bị ăn mòn, giá thành rẻ… nên được dùng trong nhiều ngành công nghệ khác nhau.
Các chất rắn vô định hình thông thường được sản xuất khi một chất lỏng đủ độ

nhớt bị làm lạnh rất nhanh, vì thế không có đủ thời gian để các mắt lưới tinh thể thông
thường có thể tạo thành.
Ví dụ: Khi đường bị đun chảy và làm lạnh nhanh bằng cách đưa đường nóng chảy vào
bề mặt của một vật lạnh. Kết quả thu được là một chất rắn vô định hình, mà không
phải dạng tinh thể Như đường nguyên thủy. Theo những nghiên cứu gần đây, chất rắn
vô định hình cũng có dạng tinh thể, nhưng tinh thể này quá bé không thể quan sát được
kể cả dưới kính hiển vi.
Một số vật rắn như lưu huỳnh (S), thạch anh, đường,... có thể vừa là tinh thể, vừa
là vô định hình. Ví dụ: Khi đổ lưu huỳnh tinh thể đang nóng chảy (ở 350 oC) vào nước
lạnh thì do bị nguội nhanh nên lưu huỳnh không đông đặc ở dạng tinh thể mà chuyển
thành lưu huỳnh dẻo vô định hình.
1.1.1.2. Một số ứng dụng của chất rắn vô định hình
Các vật rắn vô định hình được dùng phổ biến trong nhiều ngành công nghệ khác
nhau. Thuỷ tinh dùng làm các dụng cụ quang học (gương, lăng kính, thấu kính....), các
sản phẩm thuỷ tinh mĩ nghệ và gia dụng,...

NHÓM 1

8


VẬT LÍ TINH THỂ

GVHD: PGS.TS TRƯƠNG MINH ĐỨC

Hiện nay, nhiều vật rắn vô định hình có cấu tạo từ các chất polime hay cao phân
tử (ví dụ: các loại nhựa, thuỷ tinh hữu cơ, cao su,...), do có nhiều đặc tính rất quý (dễ
tạo hình, không bị gỉ hoặc bị án mòn, giá thành rẻ,...), nên chúng đã được dùng thay
thế một số lượng lớn các kim loại (nhôm, sắt....) để làm các đồ gia dụng, tấm lợp nhà,
ống dẫn nước, thùng chứa, các chi tiết máy, xuồng cứu hộ, nhà mái vòm,...

1.1.2 Tinh thể và các tính chất của tinh thể
1.1.2.1. Cấu trúc tinh thể
Quan sát các hạt muối ăn (NaCl) qua kính hiển vi, viên đá thạch anh, … , ta thấy
chúng đều được cấu tạo từ nhiều hạt nhỏ có dạng khối lập phương chồng khít lên nhau.
Cấu trúc có hình dạng đối xứng xác định này gọi là cấu trúc tinh thể. Tinh thể của mỗi
chất rắn có hình dạng riêng: tinh thể thạch anh (SIO 2) có dạng khối lăng trụ sáu mặt,
hai đầu là hai khối chóp; tinh thể canxit (canxi cacbônat) có dạng khối trụ xiên... Kích
thước tinh thể có thể lớn hay nhỏ phụ thuộc điều kiện hình thành nó.

NHÓM 1

9


VẬT LÍ TINH THỂ

GVHD: PGS.TS TRƯƠNG MINH ĐỨC

Tinh thể được cấu tạo từ các vi hạt (nguyên tử, phân tử, ion) liên kết chặt chẽ với
nhau và sắp xếp theo một trật tự tuần hoàn trong không gian. Mỗi vi hạt luôn dao động
nhiệt quanh vị trí cân bằng của nó. Chất rắn có cấu trúc tinh thể gọi là chất rắn kết tinh.

NHÓM 1

10


VẬT LÍ TINH THỂ

GVHD: PGS.TS TRƯƠNG MINH ĐỨC

Tính tuần hoàn trong không gian của tinh thể được biểu diễn bằng mạng tinh
thể. Ví dụ: Mạng tinh thể muối ăn có dạng hình lập phương gồm các iôn Cl - và Na+,
trong đó khoảng cách giữa hai ion Cl - hoặc hai iôn Na+ bằng a = 0,563nm (1nm =109

m). Mạng tinh thể kim cương và mạng tinh thể than chì chỉ gồm các nguyên tử

cacbon C.

NHÓM 1

11


VẬT LÍ TINH THỂ

GVHD: PGS.TS TRƯƠNG MINH ĐỨC

Để có khái niệm về mạng không gian ta hình dung có 1 hệ thống gồm vô hạn
những hình hộp giống hệt nhau , sắp xếp cùng chiều và khít với nhau sao cho mỗi đỉnh
trở thành đỉnh chung của 8 hộp , mỗi cạnh là cạnh chung của 4 hộp.

Hộp con này có tên là ô mạng cơ sở. (Ô mạng cơ sở là đơn vị tuần hoàn nhỏ bé nhất
của mạng, thể hiện được đầy đủ tính đối xứng của mạng, tức nó phải cùng hệvới hệ
của tinh thể). Tất cả các đỉnh đều là các nút mạng. Tập hợp của tất cả các nút là mạng
không gian. Các nút trên cùng 1 đường thẳng làm thành 1 hàng mạng (2 nút bất kỳ của
mạng xác định 1 hàng mạng). Khoảng cách giữa 2 nút mạng cạnh nhau trên cùng 1
hàng có trị số cố định và được gọi là thông sốcủa hàng mạng đó. Các hàng mạng song
song nhau có cùng thong số hang. Ba nút không cùng trên1 hàng mạng sẽ xác định một

mặt mạng. Tất cả những mặt mạng song song nhau có cùng mật độ nút và hợp thành 1
họ mặt mạng. Khoảng cách giữa 2 mặt mạng cạnh nhau là 1 hằng số đối với cả họ mặt
và được gọi là thông số của họ mặt mạng hay gọi tắt là thông số mặt mạng. Cấu
trúccủa 1 tinh thể bao giờcũng thể hiện như 1 mạng không gian hay 1 số mạng không
gian cùng kíchthước lồng vào nhau. Các hạt vật chất giống nhau của tinh thể phân bố
trên những nút của 1 mạng không gian.
Khoảng cách giữa các hạt cạnh nhau trong đa số các tinh thể rất nhỏ , khoảng
một vài Angstron (1A0 = 10-8 cm). Nghĩa là trên chiều dài 1 cm của không gian tinh
thể có khoảng 108 hạt tương ứng với 108 nút . Do đó trong thực tế người ta thường coi
mạng như 1 hệ thống gồm vô hạn các nút.
NHÓM 1

12


VẬT LÍ TINH THỂ

GVHD: PGS.TS TRƯƠNG MINH ĐỨC
r r r

Để hiểu kỹ hơn về mạng không gian ta có thể dùng 3 vectơ tịnh tiến a , b , c

không đồng phẳng tác dụng lên 1 điểm - 1 nút gốc của mạng , một cách tuần hoàn theo
3 chiều không gian ta sẽ nhận được một hệ thống nút, chính là đỉnh của một hệ thống
vô hạn những ô mạng mà ta gọi là những ô mạng cơ sở ở trên v ới 3 cạnh là a, b , c .

Tất cả mọi nút của mạng đều suy được từ nút mạng gốc bằng những phép tịnh tiến:

r
r

r
r
T = n1a + n2b + n3c

Trong đó: n1 , n2 , n3 là các số nguyên.
Nói một cách khác, hai nút bất kỳ của mạng có thể di chuyển tới chỗ của nhau
r

bằng một phép tịnh tiến T . Khi chúng tới chỗ của nhau, các nút còn lại của mạng cũng
thế chỗ cho nhau. Vì mọi nút đều hoàn toàn tương đương nhau và vì mạng là một hình
vô hạn nên sau khi cho mạng tịnh tiến như vậy ta không thể phân biệt được vị trí cuối
cùng và vị trí đầu tiên của mạng. Nghĩa là toàn bộ mạng đã trở lại trùng với chính nó.
r

Các phép tịnh tiến T là các phép tịnh tiến bảo toàn mạng.
1.1.2.2. Tính chất cơ bản của tinh thể
Tinh thể có tính đồng nhất: Trên toàn bộ thể tích tại những điểm khác nhau có
những tính chất tương tự nhau. Nói rõ hơn, nếu nghiên cứu tinh thể theo những
phương song song với nhau qua các điểm khác nhau trong tinh thể ta thấy chúng có
cùng tính chất. Tính đồng nhất này là kết quả tất nhiên của tính tuần hoàn của mạng:
NHÓM 1

13


VẬT LÍ TINH THỂ

GVHD: PGS.TS TRƯƠNG MINH ĐỨC

Những nút tương đương nhau lặp lại 1 cách tuần hoàn trong khắp không gian của

mạng.
Tinh thể có tính dị hướng: Xét theo những phương khác nhau tinh thể có tính
chất khác nhau. Tính dị hướng là hậu quả tất nhiên của việc phân bố các hạt theo qui
luật mạng không gian. Theo những phương khác nhau khoảng cách và lực liên kết giữa
các hạt thông thường khác nhau. Ngược với tính dị hướng trong tinh thể, chất lỏng và
rắn vô định hình có tính đẳng hướng, vì trong chúng số lượng nguyên tử (phân tử)
trung bình trên một đơn vị chiều dài và lực liên kết giữa chúng như nhau theo mọi
hướng.
1.1.2.3. Đặc điểm của chất rắn của tinh thể
Các chất rắn kết tinh được cấu tạo từ cùng một loại hạt nhưng cấu trúc tinh
thể không giống nhau thì những tính chất vật lý của chúng rất khác nhau.
Ví dụ: Kim cương và than chì đều được cấu lạo từ các nguyên tử cacbon, nhưng
chúng có cấu trúc tinh thể không giống nhau nên chúng có tính chất rất khác nhau:
Kim cương rất cứng và không dẫn điện, than chì khá mềm, dễ tách lớp và dẫn điện...

Mỗi chất rắn kết tinh ứng với mỗi cấu trúc tinh thể có một nhiệt độ nóng
chảy xác định không đổi ở mỗi áp suất cho trước.
Ví dụ: Ở áp suất khí quyển, nước đá nóng chảy ở 0o C, thiếc nóng chảy ở 232oC,
sắt nóng chảy ở 1520oC...
Các chất rắn kết tinh có thể là chất đơn tinh thể hoặc chất đa tinh thể.
NHÓM 1

14


VẬT LÍ TINH THỂ

GVHD: PGS.TS TRƯƠNG MINH ĐỨC

Vật rắn đơn tinh thể là vật được cấu tạo từ một tinh thể hoặc nhiều tinh thể nhỏ

liên kết theo một trật tự xác định. Hạt muối, miếng thạch anh, viên kim cương,... là vật
rắn đơn tinh thể. Vật rắn đa tinh thể là vật được cấu tạo từ nhiều tinh thể nhỏ liên kết
hỗn độn. Hầu hết các kim loại (sắt, nhôm, đồng,...) là vật rắn đa tinh thể. Các vật rắn
đơn tinh thể có tính dị hướng, tức là các tính chất vật lí của chúng (độ bền, độ nở dài,
độ dẫn nhiệt,...) thay đổi theo các hướng khác nhau. Còn các vật rắn đa tinh thể có tính
đẳng hướng, tức là các tính chất vật lí của chúng theo mọi hướng đều giống nhau.
Trong tinh thể thực thường có những khuyết tật (tức là các sai hỏng so với
cấu trúc lí tưởng) nên tính chất của các vật rắn tinh thể bị thay đổi rất nhiều.
Ví dụ: Độ bền của kim loại giảm hàng nghìn lần khi mạng tinh thể có những sai
hỏng. Độ dẫn diện của gecmani (Ge) hoặc silic (Si) thay đổi hàng nghìn lần khi cho
thêm khoảng 0,1% tạp chất vào mạng tinh thể của chúng.
1.1.2.3. Một số ứng dụng chất rắn của tinh thể
Các đơn tinh thể Si, Ge: Dùng làm các linh kiện ban dẫn. Kim cương dùng làm
các mũi khoang, dao cắt kính , đá mài...

Các kim loại và hợp kim dùng trong công nghiệp, đồ gia dụng…

NHÓM 1

15


VẬT LÍ TINH THỂ

GVHD: PGS.TS TRƯƠNG MINH ĐỨC

Một số chất rắn kết tinh được dùng làm vật liệu nanô trong CN nanô. Vật liệu
nanô thể hiện ưu điểm vượt trội: các tính chất cơ, điện, từ, quang, tính siêu dẫn…đều
có kích thước tới hạn từ 1 – 1000 nm được ứng dụng rộng rãi trong các nghành điện tử,
cơ khí, y sinh học, quân sự, đồ gia dụng.

NHÓM 1

16


VẬT LÍ TINH THỂ

GVHD: PGS.TS TRƯƠNG MINH ĐỨC

1.1.2.4. Sự khác nhau giữa chất rắn kết tinh và chất rắn vô định hình

NHÓM 1

17


VẬT LÍ TINH THỂ

GVHD: PGS.TS TRƯƠNG MINH ĐỨC

1.2. Kí hiệu mạng tinh thể
r r r

Nếu lấy một nút mạng làm gốc, chọn các trục chứa các vectơ a , b , c làm các trục
tọa độ X, Y , Z ; chọn các độ dài a , b , c làm các đơn vị trục , ta có qui ước về ký hiệu
của 1 nút , 1 hàng mạng , 1 mặt mạng.

1.2.1. Ký hiệu nút mạng
Ta biết một nút bất kỳ của một mạng liên hệ với gốc bằng 1 vectơ tịnh tiến:

r
r
r
r
T = n1a + n2b + n3c

Nó có tọa độ trên 3 trục lần lượt là n1a, n2b, n3c . Nếu a , b , c là độ dài đơn vị của 3
trục thì tọa độ của nút trở thành n1 , n2 , n3 . Ký hiệu của nút sẽ là

{ [ n n n ]} . Trường hợp
1 2 3

nút có tọa độ rơi vào phần âm của trục tọa độ , chỉ số n tương ứng phải mang dấu âm
trên đầu. Ví dụ: Nút mạng có tọa đồ lần lượt là 0, -1, 0 thì được ký hiệu là { 0 10 } .
1.2.2. Ký hiệu hàng mạng
Ký hiệu hàng mạng : Qua gốc kẻ 1 đường thẳng song song với hàng mạng cần
xác định. Ngoài gốc ra, nút gần với nút gốc nhất nằm trên đường thẳng này có ký hiệu

{ [ n n n ] } , thì ký hiệu của hàng mạng sẽ là [ n n n ]
1 2 3

NHÓM 1

1 2 3

18


VẬT LÍ TINH THỂ

GVHD: PGS.TS TRƯƠNG MINH ĐỨC

Các hàng mạng song song nhau có cùng ký hiệu.

1.2.3. Ký hiệu mặt mạng – chỉ số Miller
Ký hiệu mặt mạng hoặc 1 họ mặt mạng (dãy mặt mạng song song nhau trong
mạng): Chọn mặt mạng nào (nằm trong họ mặt này) gần gốc nhất. Ví dụ: Mặt này cắt 3
trục tọa độ theo 3 thống số n1a, n2b, n3c .
Ta lập tỉ số kép:

Hệ mặt phẳng tinh thể. Ký hiệu (h, k, l) là những mặt song song, có tính chất
giống nhau, vì vậy muốn xác định chỉ số của một mặt bất kỳ chỉ cần xác định chỉ số
của mặt phẳng song song với nó, nằm ở ô cơ sở chứa trục độ.
Các mặt phẳng tuy không song song nhưng có tính chất giống nhau tạo một họ
mặt phẳng.

NHÓM 1

19


VẬT LÍ TINH THỂ

GVHD: PGS.TS TRƯƠNG MINH ĐỨC

Như vậy, ký hiệu của mặt mạng cần xác định sẽ là (h k l) . Nó cũng là ký hiệu
chung cho cả họ mặt mạng . Các chỉ số h, k, l của 1 mặt mạng này còn gọi là chỉ số
Miller.
Ví dụ: Chỉ số Miller của một số mặt phẳng.

Chỉ số Miller của các mặt phẳng trong họ được ký hiệu dưới dạng {hkl}. Giá trị
tuyệt đối h, k, l của chúng là như nhau, chỉ đổi vị trí cho nhau. Ví dụ: Họ mặt phẳng

{ 100} trong mạng tinh thể có ô sơ cấp là hình lập phương gồm 6 mặt: {100}, {010},
{001}, { 100} , { 0 10} , { 00 1} (đó là các mặt bên và đáy ô cơ sở).
NHÓM 1

20


VẬT LÍ TINH THỂ

GVHD: PGS.TS TRƯƠNG MINH ĐỨC

1.2.4. Chỉ số Miller - Bravais trong hệ lục phương:
Để biểu diễn phương hoặc cạnh (hàng mạng), mặt (mặt mạng) tinh thể trong hệ
lục phương phải dùng chỉ số Miller - Bravais, tương ứng với hệ tọa độ gồm 4 trục là
0X , 0Y , 0Z và 0U.
Ba trục OX , OY , OU nằm trên cùng mặt phẳng đáy của ô cơ sở , từng cặp hợp
với nhau một góc 1200 và vuông góc với trục OZ . Gốc tọa độ O là tâm của mặt đáy .
Ký hiệu mặt với các chỉ số (hkil) trong đó i = - (h + k) . Cách xác định chỉ số
Miller -Bravais hoàn toàn giống như trường hợp chỉ số Miller.
Ví dụ: Xác định mặt phẳng có chỉ số Miller trên hình vẽ sau.

Chỉ số Miller và chỉ số Miller – Bravais của một số mặt trong hệ lục giác.
NHÓM 1

21

VẬT LÍ TINH THỂ

GVHD: PGS.TS TRƯƠNG MINH ĐỨC

1.2.5. Một số bài tập chỉ số Miller và chỉ số Miller – Bravais
Bài 1: Xác định chỉ số chiều của đường thẳng đi qua hai nút {[100]} và {[001]} của
mạng lập phương.

B1: Ta xác định tọa độ hai nút {[100]} và {[001]} trên hình vẽ là điểm A và D’,
như vậy đường thẳng đi qua hai nút này là AD’.

NHÓM 1

22


VẬT LÍ TINH THỂ

GVHD: PGS.TS TRƯƠNG MINH ĐỨC

B2: Từ O kẻ đường thẳng song song với AD’, ngoài nút gốc O ra thì nút nằm
trên đường thẳng này gần O nhất là E {  111} do đó chỉ số chiều của đường thẳng đi
qua hai nút O và E là  111 . Mà AD’ // OE nên chỉ số phương của AD’ cũng là  111
Bài 2: Xác định chỉ số miller của mặt đi qua các nút {[200]}, {[010]}, {[001]} của
mạng lập phương P.
Mặt phẳng mạng cắt 3 trục tọa đồ tại 3 nút {[200]}, {[010]}, {[001]} nên ta có
n1 = 2, n2 = 1, n3 = 1 = > h : k : l =

1 1 1

: : =2:1:1
2 1 1

Vậy, chỉ số Miller của mặt phẳng này là (211).
Bài 3 : Vẽ các mặt (212), (110), (001), và (120) của tinh thể lập phương.
+ Mặt (212):

h : k : l = 2 :1: 2 =

1 1 1
1
1
: : ⇒ n1 = , n2 = 1, n3 =
1 1 1
2
2
2
2

1 1 1
⇒ n1 = 1, n2 = 1, n3 = ∞
1 1 ∞

+ Mặt (110): h : k : l = 1:1: 0 = : :

Bài 4: Xác định chỉ số Miller – Bravais của mặt MNPQ và NKHQ trong hình vẽ.

NHÓM 1

23

VẬT LÍ TINH THỂ

GVHD: PGS.TS TRƯƠNG MINH ĐỨC

Mặt phẳng MNPQ cắt 2 trục OX, OY tại hai nút P, Q có tọa độ là 1 và song song với
trục OZ nên xem như mặt phẳng này cắt OZ tại ∞

.

Như vậy ta có n1 = 1, n2 = 1, n3 = ∞ .
Suy ra: h : k: l = 1/1 : 1/1 : 1/ ∞ = 1 : 1: 0
Từ đó ta suy ra i = - (h + k) = -2
( cách xác định h, k, l giống với chỉ số Miller ).
Vậy, mặt MNPQ trong hệ lục giác có chỉ số
Miller – Bravais là ( 1120 )
Tương tự như vậy đối với mặt phẳng NKHQ có chỉ số Miller – Bravais là ( 01 10 )
Bài 5. Xác định chỉ số Miller của các mặt phẳng trong các hình dưới đây:

a) Mặt phẳng (ABCD) cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm:

Ta có:

1
n = ; m = ∞; p = 1
2

1 1 1
1 1 1

: : =
: : = 2 : 0 :1
1 ∞ 1
n m p
Suy ra chỉ số Miller của mặt phẳng (ABCD) là (201)
2

NHÓM 1

h:k:l=

24