Cách tính tích phân nhanh

Một vài nét về kĩ thuật nhảy tầng lầu − Trần Phương

MỘT VÀI NÉT VỀ KĨ THUẬT NHẢY TÂNG LẦU
Những bài toán dưới đây được trích từ kĩ thuật nhảy tầng lầu của tích phân.
Kĩ thuật này là tách một tích phân có khoảng cách giữa bậc của tử và mẫu rất
lớn thành 2 tích phân có khoảng cách giữa 2 bậc nhỏ hơn được mô tả theo sơ đồ:

∫x

dx
n

+a

=

1
2b

∫

[ u ( x ) + b] − [ u ( x ) − b ]
x +a
n

dx =

1 ⎡ u ( x) + b
u ( x) − b ⎤
dx −
dx ⎥

⎢
n
2b ⎣ x + a
xn + a
⎦

∫

∫

Một số học sinh và giáo viên khi chưa hiểu biết đầy đủ thì cho rằng tên
gọi kĩ thuật "nhảy tầng lầu" chỉ là câu chữ để tạo cảm xúc khi giảng bài
nhưng họ chưa biết điều quan trọng nhất của kĩ thuật chính là nghệ thuật
chọn hàm u(x). Ví dụ về nguyên tắc chúng ta có thể tính

∫x

dx
bằng
+1

8

phương pháp hệ số bất định có lời giải khoảng 2 trang giấy, nhưng nếu giải nó
bởi 5 biến đổi dấu bằng với khoảng 3 dòng thì lại là một đẳng cấp khác…

∫

VD 1: I 1 =

dx
1
=
4
x +1 2

∫

( x 2 + 1) − ( x 2 − 1)
x4 + 1

⎡
1
⎛
⎞
1 + 12
1− 2
⎢
⎜
⎟
1
x dx −
x dx ⎟ = 1 ⎢
= ⎜
1
2 ⎜ x2 + 1
⎟ 2⎢
x2 + 2
2
⎜

⎟
⎢
x
x
⎝
⎠
⎣

∫

∫

∫

(

dx =

(

1 ⎛ x2 + 1
dx −
⎜
2 ⎝ x4 + 1

d x−1
x
x−1
x

)

2

x2 − 1 ⎞
dx ⎟
x4 + 1 ⎠

∫

∫

)

1⎞
⎛
d⎜x + ⎟
x⎠
⎝

+ ( 2)

2

−

∫⎛

2

1⎞
⎜x + ⎟ − (
x⎠
⎝

⎤
⎥
⎥
2 ⎥
2) ⎥
⎦

1⎛ 1
x2 − 1
1
x2 − x 2 + 1 ⎞
arctg
ln 2
= ⎜⎜
−
⎟+c
2⎝ 2
x 2 2 2 x + x 2 + 1 ⎟⎠
VD 2: I 2 =
=

∫ t (t

∫

dt

2

dx
dx
d ( x − 1)
=
=
( x − 1 ) ( x 2 + x + 1)
x -1
( x − 1) ⎡⎣( x − 1)2 + 3 ( x − 1) + 3 ⎤⎦

∫

3

+ 3t + 3)

=

1
3

∫

( t 2 + 3t + 3) − ( t 2 + 3t )
( t + 3) dt ⎞
1 ⎛ dt
∫ t ( t 2 + 3t + 3) dt = 3 ⎜⎝ ∫ t − ∫ t 2 + 3t + 3 ⎟⎠

⎞ 1 ⎛ dt 1 d ( t 2 + 3t + 3) 3
1 ⎛ dt 1 ( 2t + 3) dt 3
dt
= ⎜
−
−
−
−
⎟= ⎜
3 ⎝ t 2 t 2 + 3t + 3 2 t 2 + 3t + 3 ⎠ 3 ⎜ t 2 t 2 + 3t + 3
2
⎜
⎝

∫

∫

∫

∫

∫

∫

⎞
⎟
3

t + 3 + ⎟⎟
2
4⎠
dt

( )

2

1⎛ 1
t2
2t + 3 ⎞
1 x2 − 2x + 1
1
2x + 1
arctg
= ⎜ ln 2
− 3arctg
−
+c
⎟ + c = ln 2
3 ⎝ 2 t + 3t + 3
6 x + x +1 2 3
3 ⎠
3
11


Tuyển tập các chuyên đề và kĩ thuật tính tích phân − Trần Phương

VD 3: I 3 =

=

∫ t (t

∫

dx
dx
d ( x + 1)
=
=
( x + 1) ( x 2 − x + 1)
x3 + 1
( x + 1) ⎡⎣( x + 1)2 − 3 ( x + 1) + 3 ⎤⎦

∫

dt

2

− 3t + 3)

=

1
3

∫

( t 2 − 3t + 3) − ( t 2 − 3t )
( t − 3) dt ⎞
1 ⎛ dt
∫ t ( t 2 − 3t + 3) dt = 3 ⎜⎝ ∫ t − ∫ t 2 − 3t + 3 ⎟⎠

⎞ 1 ⎛ dt 1 d ( t2 − 3t + 3) 3
1 ⎛ dt 1 ( 2t − 3) dt 3
dt
= ⎜
−
+
−
+
⎟= ⎜
3 ⎝ t 2 t2 − 3t + 3 2 t2 − 3t + 3 ⎠ 3 ⎜ t 2 t2 − 3t + 3
2
⎜
⎝

∫

∫

∫

∫

∫

∫

⎞
⎟
3
t − 3 + ⎟⎟
2
4⎠
dt

( )

2

1 x 2 + 2x + 1
1
2x − 1
1⎛1
t2
2t − 3 ⎞
+
+c
arctg
= ⎜ ln 2
+ 3arctg
⎟ + c = ln 2
6
3 ⎝ 2 t − 3t + 3
x − x +1

2 3
3
3 ⎠

VD 4: I 4 =

∫x

dx
=
-1

∫ (x

6

dx

3

− 1)( x 3 + 1)

=

1 ⎡ dx
dx ⎤ 1
− 3
= ( I2 − I3 )
⎢
3

2 ⎣ x −1
x + 1 ⎥⎦ 2

∫

∫

=

1 ⎡⎛ 1 x 2 − 2x + 1
1
2x + 1 ⎞ ⎛ 1 x 2 + 2x + 1
1
2x − 1 ⎞⎤
arctg
arctg
−
+
⎢⎜⎜ ln 2
⎟⎟ − ⎜⎜ ln 2
⎟⎟⎥
2 ⎢⎣⎝ 6
x + x +1 2 3
x − x +1 2 3
3 ⎠ ⎝6
3 ⎠⎥⎦

=

( x 2 − 2x + 1)( x 2 − x + 1) 1 ⎛

1
2x + 1
2x − 1 ⎞
ln
−
arctg
+ arctg
⎟+c
12 ( x 2 + 2x + 1)( x 2 + x + 1) 4 3 ⎜⎝
3
3 ⎠

VD 5:

I5

=

∫

dx
1
=
6
x +1 2

∫

( x4 + 1) − ( x4 − 1)
x6 + 1

dx =

1
2

( x4 − x2 + 1) + x2 − ( x2 + 1)( x2 − 1) dx
∫
( x2 + 1)( x4 − x2 + 1)

⎡
⎛1 − 1 ⎞ dx ⎤
⎜
⎟
2
2
3)
⎢
⎥
⎡
⎤
(
)
(
1
dx
x dx
x − 1 dx
1
dx

1 d x
⎝ x2 ⎠
= ⎢ 2
+ 6
− 4
=
+
−
⎢ 2
⎥=
⎥
2
6
2 ⎣ x +1
⎛ x 2 + 1 ⎞ − 1⎥
x +1
x − x + 1⎦ 2 ⎢ x + 1 3 x + 1
⎜
⎟
x 2 ⎠ ⎦⎥
⎝
⎣⎢

∫

∫

∫

⎡

1⎢
arctg ( x3 )
arctgx
+
−
2⎢
3
⎢
⎣

VD 6: I 6 =

dx

∫ cos

3

x

∫

∫

∫

∫

( )
( )

=

⎤
d x+ 1
3
1
x2 − x 3 + 1
⎥ 3arctgx + arctg ( x )
x
=
−
ln
+c
2
2
2⎥
6
4
3
x
+
x
3
+
1
1
(
)
x+

− 3 ⎥
x
⎦

∫

cos x dx
4

cos x
2

=

d ( sin x )

∫ (1 − sin

2

x)

2

=

d ( sin x )

∫ [(1 + sin x ) (1 − sin x )]

2

1 ⎡ (1 + sin x ) + (1 − sin x ) ⎤
1 ⎛
1
1
⎞ (
=
+
d ( sin x ) =
⎜
⎟ d sin x )
⎢
⎥
4 ⎣ (1 + sin x ) (1 − sin x ) ⎦
4 ⎝ 1 − sin x 1 + sin x ⎠

∫

=
12

∫

2

1 ⎡
1
1
2

sin x
1 1 + sin x
⎤ (
+
+
d sin x ) =
+ ln
+c
⎢
2
2
2 ⎥
2
4 ⎣ (1 − sin x )
(1 + sin x ) 1 − sin x ⎦
2 cos x 2 1 − sin x

∫