Sai lầm thường gặp khi tính tích phân pptx

VÊn ®Ò1: Sai lÇm khi tÝnh tÝch ph©n
1. §æi biÕn sè nhng kh«ng ®æi cËn.
VD1: tÝnh tÝch ph©n
4
2
0
1I x dx
π
= −
∫
Gi¶i:
Lêi gi¶i sai: ®Æt
sinx t=
suy ra dx=costdt
4 4 4
2 2
0 0 0
1 cos 2 1
1 sin .cos . cos .
2 8 4
t
I t t dt t dt dt
π π π
π
+
= − = = = +
∫ ∫ ∫
Lêi gi¶i ®óng:
ĐÆt x = sint suy ra dx=costdt

0 0

sin
4 4
x t
x t arc
π π
= ⇒ =



= ⇒ =



arcsin arcsin arcsin
4 4 4
2 2
0 0 0
1 cos 2
1 sin .cos . cos .
2
1 1
arcsin sin 2arcsin
2 4 4 4
t
I t t dt t dt dt
π π π
π π
+
= − = =
 

= +
 ÷
 
∫ ∫ ∫
2. Khi ®æi biÕn kh«ng tÝnh vi ph©n
VD2: tÝnh
1
5
0
(2 1)
dx
I
x
=
+
∫
Gi¶i:
Lêi gi¶i sai:
®Æt t = 2x + 1

1 3
0 1
x t
x t
= ⇒ =

⇒

= ⇒ =


3
4
5 4
1
3
1 1 20
1
1
4 4 3 81
dt t
I
t
−
 
= = − = − − =
 ÷
 
∫
Lêi gi¶i ®óng:
®Æt t= 2x+1 suy ra dt= 2dx

1 3
0 1
x t
x t
= ⇒ =

⇒


= ⇒ =


3
4
5 4
1
3
1 1 10
1
1
2 8 8 3 81
dt t
I
t
−
 
= = − = − − =
 ÷
 
∫

3. Tính nguyên hàm sai, hiểu sai bản chất công thức
VD1: Tính
2
0
.
x
I x e dx=

Giải:
* lời giải sai:
đặt
' 1
'
x x
u x u
v e v e
= =



= =


( )
2
2
0
2
1
0
x x
I xe e dx e = = +

*Lời giải đúng:
đặt
x x
u x du dx
dv e v e

= =



= =


( )
2
2
0
2
1
0
x x
I xe e dx e = = +

Vấn đề 2: sai lầm khi chứng minh đẳng thức tích phân
ví dụ 1: cho
n N

; CMR
( )
2
0
sin sin 0I x nx dx

= + =

* Lời giải sai:

xét f(x)=sin(sinx+nx) trên
[ ]
0;2

ta có:
f(x) là hàm liên tục trên
[ ]
0;2

và
f(-x) = sin(sin(-x)-nx) = - f(x)
vậy f(x) là hàm lẻ

I=0
*Nguyên nhân sai lầm: Học sinh hiểu sai định lý. Nếu hàm số f(x) là hàm lẻ,liên tục trên
[-a;a] thì
( )
a
a
f x dx


=0
* Lời giải đúng: Đặt
x y

= +
( ) ( )
2
0

sin sin sin sinI x nx dx y ny n dx




= + = + +

=
( ) ( )
1 sin sin
n
ny y dx





Mặt khác ta có: g(y)=sin(ny-siny) xác định trên
[ ]
,


là hàm liên tục va
g(-y)=sin(-ny-sin(-y))=-sin(ny-siny)=-g(y)

g(y) là hàm lẻ.
Vậy thì I=0
Ví dụ 2: cho hàm số f liên tục trên
[ ]
0,

. Hãy so sánh
( )
0
sinI xf x dx

=

và
( )
0
sinJ f x dx

=

*Lời giải sai:
Tích phân từng phần:
( ) ( )
sin cos
u x du dx
dv f x dx v f x
= =




= =


( ) ( )

0
cos cos
0
I xf x f x dx


= +

Do f liên tục /[0;

]

( ) ( ) ( )
0
cos 0 0 cosf f I f x dx


= = =

(1)
Mà
( )
0
sin
2
J f x dx


=

(2)
Từ (1) và (2) ta có
I J
* Nguyên nhân sai lầm:
Học sinh không hiểu về hàm liên tục, tích phân và vi phân.
* Lời giải đúng:
Đặt
x t

=
ta có:
( ) ( ) ( )
( )
0
0
sin sinI xf x dx t f t dt



= =

( ) ( )
0 0
sin sinf x dx xf x dx


=

( ) ( )
0 0

2 sin sin
2
I f x dx I f x dx



= =

Vậy ta có I=J
ví dụ 3: Cho hàm số f liên tục trên [a,b]. CMR tồn tại ít nhất 1 điểm
[ ]
,C a b
sao cho:
( ) ( ) ( ) ( )
c b
a c
f x f c dx f c f x dx =


* Lời giải sai.
Do f liên tục trên [a,b]

f(x)-f(c)/ [a,c] bằng f(x)-f(c) trên [b,c] vậy ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
c c b
a b c
f x f c dx f x f c dx f c f x dx = =


* Nguyên nhân sai lầm:

Không hiểu về hàm liên tục lên tính tích phân sai.
* Lời giải đúng:
áp dụng định lí về giá trị trung bình của tích phân


ít nhất một điểm
[ ]
,C a b
sao cho:
( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
f x dx f c b a f c dx= =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
b c b
a a c
f x f c dx f x f c dx f x f c dx = + =


Hay ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
c b
a c
f x f c dx f c f x dx =


(ĐPCM).
Vấn đề: Sai lầm khi tính diện tích hình phẳng bằng tích

phân
I. Kiến thức chung
- Cho hàm số
( )
y f x=
khả tích trên
[ ]
;a b
. Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi: ox,
y = f(x) , x = a, x = b là :
( )
b
a
S f x dx=

II. Những sai lầm thờng gặp
1. Sử dụng sai công thức
VD1: tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
9
0; 1; 4
y x
y x x

=

= = =

Lời giải sai:
Diện tích hình phẳng là:

4
2 3
1
4
1
(9 ) 9 7
1
3
S x dx x x

= = =
ữ


Sai lầm: áp dụng sai công thứctính diện tích y
Lời giải đúng:
Diện tích hình phẳng là: 9

3
2
1
9S x dx=


( )
3 4
2 2
1 3
3 3

(9 ) 9
3 4
1 1 65 38
9 9 9
1 3
3 3 2 3
x dx x dx
x x x x
= +

= + = =
ữ ữ


o 1 3 4 x
2. Xác định không chính xác hình cần tính giới hạn
VD: tính diện tích hình giới hạn bởi:
2
0; 1
1; 0
y y
y x x
= =


= =

Lời giải sai:
2
1 1y x y x= =

0 1
1 2
y x
y x
= =
= =
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là:

( )
2
3
2
1
2
2 2
1 1
1
3 3
S x dx x= = =

Sai lầm: xác định sai hình cần tính diện tích do không vẽ đờng giới hạn
Lời giải đúng:
Vẽ hình giới hạn:
Vậy diện tích hình giới hạn là:

1 2
S S S= +
với :

2
1
1 1S = =

( )
( )
2
3
2
2
1
2
2 1
1 1 1
1
3 3
4
3
S x dx x x
S

= = =


=

3. Xác định sai hình cần tính giới hạn.
VD: Tìm diện tích hình giới hạn bởi:

( )

( )
2
1
2
2
2 1
6 9
3 5
;
2 2
y x x C
y x x C
x x

= + +


= + +



= =

y
Lời giải sai:
( )
1 2
2;1C C =I
1 2 3 x
Vậy diện tích của hình giới hạn là:

( ) ( )
( ) ( )
5
2
2
2 2
3
2
2
3 3
1 3
2 5
1 1
2
1 3
3
3 3
2
2
1 1 1 1 7
3 24 24 3 12
S x dx x dx
x x
= +
= +

= + + =
ữ ữ

Sai lầm: Xác định sai hình cần tính giới hạn y=(x-1)
2
y=(x-3)
2
Lời giải đúng:
( )
1 2
2;1C C =
Diện tích hình giới hạn là:

1 2
S S S= +
1 3 x

( ) ( )
( )
( )
2
2 2
1
3
2
2
2
3
2
3 1
2
1

4 8 2 8
3
2
2
S x x dx
x dx x x

=

= + = + =



( ) ( )
( )
5
2
2 2
2
2
5
2
2
2
1 3
5
1
2
4 8 (2 8 )
2

2
S x x dx
x dx x x

=

= = =


Vậy S =
1 1
1
2 2
+ =
Vấn đề: Dự kiến sai lầm khi tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân.
I, công thức:
1
2
Cho hình phẳng giới hạn bởi
( )
( )
( )
2
0
0
0
2
b
b
y f x

Vox f x dx
y
x a
Voy xf x dx
x b



=
=


=



=

=

=




Nếu hình phẳng giới hạn bởi
( )
( )
( ) ( )
1

2
2 2
1 2
. 0
d
c
x f y x
x g y x
Voy x x dx
c y d
f y g y

= =

= =

=




>


II, Một số sai lầm thờng gặp:
1. Sử dụng công thức bỏ giá trị tuyệt đối:
ví dụ 1: Tính thể tích hình xuyến gây bởi hình tròn
( ) ( )
2
2 2

0x y b a a b+ < <
quay
quanh trục 0x.
* Lời giải sai: y
Phơng trình đờng tròn (C):
( )
2
2 2
x y b a+ =
có thể viết
( )
( )
( )
( )
2 2
2
1
2 2
2 2
2
y b a x C
y b a x x a
y b a x C

= +

=

=

Vậy thể tích của hình xuyến là: x
(
)
(
)
2 2
2 2 2 2
a
a
Vox b a x b a x dx



= +
ữ


2
2 a b

=
* Sai lầm: mặc dù kết quả đúng nhng sai công thức thể tích:
( )
2 2
1 2
b
a
Vox y y dx

mà
2 2
1 2
b
a
Vox y y dx

=

.
* Lời giải đúng:
(
)
(
)
2 2
2 2 2 2 2
2
a
a
Vox b a x b a x dx a b


= + =

2. Sử dụng nhầm Voy
ví dụ: Tính Voy của hình
2
1

2
y x
x
x

=

=


=

* Lời giải sai:
2
5
4
1
2
31
1
5 5
x
Voy x dx


= = =

* Sai lầm: Đã sử dụng công thức
2
b

a
Voy y dx

=

đây là công thức tính diện tích Vox. Vởy
lời giải bị sai.
* Lời giải đúng.
2
2
1
15
2 .
2
Voy x x dx


= =