Tải bản đầy đủ (.doc) (6 trang)

Sai lầm thường gặp khi tính tích phân pptx

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (122.76 KB, 6 trang )

VÊn ®Ò1: Sai lÇm khi tÝnh tÝch ph©n
1. §æi biÕn sè nhng kh«ng ®æi cËn.
VD1: tÝnh tÝch ph©n
4
2
0
1I x dx
π
= −

Gi¶i:
Lêi gi¶i sai: ®Æt
sinx t=
suy ra dx=costdt
4 4 4
2 2
0 0 0
1 cos 2 1
1 sin .cos . cos .
2 8 4
t
I t t dt t dt dt
π π π
π
+
= − = = = +
∫ ∫ ∫
Lêi gi¶i ®óng:
ĐÆt x = sint suy ra dx=costdt

0 0


sin
4 4
x t
x t arc
π π
= ⇒ =



= ⇒ =



arcsin arcsin arcsin
4 4 4
2 2
0 0 0
1 cos 2
1 sin .cos . cos .
2
1 1
arcsin sin 2arcsin
2 4 4 4
t
I t t dt t dt dt
π π π
π π
+
= − = =
 

= +
 ÷
 
∫ ∫ ∫
2. Khi ®æi biÕn kh«ng tÝnh vi ph©n
VD2: tÝnh
1
5
0
(2 1)
dx
I
x
=
+

Gi¶i:
Lêi gi¶i sai:
®Æt t = 2x + 1

1 3
0 1
x t
x t
= ⇒ =



= ⇒ =



3
4
5 4
1
3
1 1 20
1
1
4 4 3 81
dt t
I
t

 
= = − = − − =
 ÷
 

Lêi gi¶i ®óng:
®Æt t= 2x+1 suy ra dt= 2dx

1 3
0 1
x t
x t
= ⇒ =




= ⇒ =


3
4
5 4
1
3
1 1 10
1
1
2 8 8 3 81
dt t
I
t

 
= = − = − − =
 ÷
 


3. Tính nguyên hàm sai, hiểu sai bản chất công thức
VD1: Tính
2
0
.
x
I x e dx=


Giải:
* lời giải sai:
đặt
' 1
'
x x
u x u
v e v e
= =



= =


( )
2
2
0
2
1
0
x x
I xe e dx e = = +

*Lời giải đúng:
đặt
x x
u x du dx
dv e v e

= =



= =


( )
2
2
0
2
1
0
x x
I xe e dx e = = +

Vấn đề 2: sai lầm khi chứng minh đẳng thức tích phân
ví dụ 1: cho
n N

; CMR
( )
2
0
sin sin 0I x nx dx

= + =

* Lời giải sai:

xét f(x)=sin(sinx+nx) trên
[ ]
0;2

ta có:
f(x) là hàm liên tục trên
[ ]
0;2


f(-x) = sin(sin(-x)-nx) = - f(x)
vậy f(x) là hàm lẻ

I=0
*Nguyên nhân sai lầm: Học sinh hiểu sai định lý. Nếu hàm số f(x) là hàm lẻ,liên tục trên
[-a;a] thì
( )
a
a
f x dx


=0
* Lời giải đúng: Đặt
x y

= +
( ) ( )
2
0

sin sin sin sinI x nx dx y ny n dx




= + = + +

=
( ) ( )
1 sin sin
n
ny y dx





Mặt khác ta có: g(y)=sin(ny-siny) xác định trên
[ ]
,


là hàm liên tục va
g(-y)=sin(-ny-sin(-y))=-sin(ny-siny)=-g(y)

g(y) là hàm lẻ.
Vậy thì I=0
Ví dụ 2: cho hàm số f liên tục trên
[ ]
0,


. Hãy so sánh
( )
0
sinI xf x dx

=


( )
0
sinJ f x dx

=

*Lời giải sai:
Tích phân từng phần:
( ) ( )
sin cos
u x du dx
dv f x dx v f x
= =




= =


( ) ( )

0
cos cos
0
I xf x f x dx


= +

Do f liên tục /[0;

]

( ) ( ) ( )
0
cos 0 0 cosf f I f x dx


= = =

(1)

( )
0
sin
2
J f x dx


=


(2)
Từ (1) và (2) ta có
I J
* Nguyên nhân sai lầm:
Học sinh không hiểu về hàm liên tục, tích phân và vi phân.
* Lời giải đúng:
Đặt
x t

=
ta có:
( ) ( ) ( )
( )
0
0
sin sinI xf x dx t f t dt



= =

( ) ( )
0 0
sin sinf x dx xf x dx


=

( ) ( )
0 0

2 sin sin
2
I f x dx I f x dx



= =

Vậy ta có I=J
ví dụ 3: Cho hàm số f liên tục trên [a,b]. CMR tồn tại ít nhất 1 điểm
[ ]
,C a b
sao cho:
( ) ( ) ( ) ( )
c b
a c
f x f c dx f c f x dx =


* Lời giải sai.
Do f liên tục trên [a,b]

f(x)-f(c)/ [a,c] bằng f(x)-f(c) trên [b,c] vậy ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
c c b
a b c
f x f c dx f x f c dx f c f x dx = =


* Nguyên nhân sai lầm:

Không hiểu về hàm liên tục lên tính tích phân sai.
* Lời giải đúng:
áp dụng định lí về giá trị trung bình của tích phân


ít nhất một điểm
[ ]
,C a b
sao cho:
( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
f x dx f c b a f c dx= =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
b c b
a a c
f x f c dx f x f c dx f x f c dx = + =


Hay ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
c b
a c
f x f c dx f c f x dx =


(ĐPCM).
Vấn đề: Sai lầm khi tính diện tích hình phẳng bằng tích

phân
I. Kiến thức chung
- Cho hàm số
( )
y f x=
khả tích trên
[ ]
;a b
. Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi: ox,
y = f(x) , x = a, x = b là :
( )
b
a
S f x dx=

II. Những sai lầm thờng gặp
1. Sử dụng sai công thức
VD1: tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
9
0; 1; 4
y x
y x x

=

= = =

Lời giải sai:
Diện tích hình phẳng là:


4
2 3
1
4
1
(9 ) 9 7
1
3
S x dx x x

= = =



Sai lầm: áp dụng sai công thứctính diện tích y
Lời giải đúng:
Diện tích hình phẳng là: 9

3
2
1
9S x dx=


( )
3 4
2 2
1 3
3 3

(9 ) 9
3 4
1 1 65 38
9 9 9
1 3
3 3 2 3
x dx x dx
x x x x
= +

= + = =
ữ ữ


o 1 3 4 x
2. Xác định không chính xác hình cần tính giới hạn
VD: tính diện tích hình giới hạn bởi:
2
0; 1
1; 0
y y
y x x
= =


= =

Lời giải sai:
2
1 1y x y x= =


0 1
1 2
y x
y x
= =
= =
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là:

( )
2
3
2
1
2
2 2
1 1
1
3 3
S x dx x= = =

Sai lầm: xác định sai hình cần tính diện tích do không vẽ đờng giới hạn
Lời giải đúng:
Vẽ hình giới hạn:
Vậy diện tích hình giới hạn là:

1 2
S S S= +
với :


2
1
1 1S = =

( )
( )
2
3
2
2
1
2
2 1
1 1 1
1
3 3
4
3
S x dx x x
S

= = =


=

3. Xác định sai hình cần tính giới hạn.
VD: Tìm diện tích hình giới hạn bởi:

( )

( )
2
1
2
2
2 1
6 9
3 5
;
2 2
y x x C
y x x C
x x

= + +


= + +



= =

y
Lời giải sai:
( )
1 2
2;1C C =I
1 2 3 x
Vậy diện tích của hình giới hạn là:


( ) ( )
( ) ( )
5
2
2
2 2
3
2
2
3 3
1 3
2 5
1 1
2
1 3
3
3 3
2
2
1 1 1 1 7
3 24 24 3 12
S x dx x dx
x x
= +
= +

= + + =
ữ ữ



Sai lầm: Xác định sai hình cần tính giới hạn y=(x-1)
2
y=(x-3)
2
Lời giải đúng:
( )
1 2
2;1C C =
Diện tích hình giới hạn là:

1 2
S S S= +
1 3 x

( ) ( )
( )
( )
2
2 2
1
3
2
2
2
3
2
3 1
2
1

4 8 2 8
3
2
2
S x x dx
x dx x x

=

= + = + =



( ) ( )
( )
5
2
2 2
2
2
5
2
2
2
1 3
5
1
2
4 8 (2 8 )
2

2
S x x dx
x dx x x

=

= = =


Vậy S =
1 1
1
2 2
+ =
Vấn đề: Dự kiến sai lầm khi tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân.
I, công thức:
1
2
Cho hình phẳng giới hạn bởi
( )
( )
( )
2
0
0
0
2
b
b
y f x

Vox f x dx
y
x a
Voy xf x dx
x b



=
=


=



=

=

=




Nếu hình phẳng giới hạn bởi
( )
( )
( ) ( )
1

2
2 2
1 2
. 0
d
c
x f y x
x g y x
Voy x x dx
c y d
f y g y

= =

= =

=




>


II, Một số sai lầm thờng gặp:
1. Sử dụng công thức bỏ giá trị tuyệt đối:
ví dụ 1: Tính thể tích hình xuyến gây bởi hình tròn
( ) ( )
2
2 2

0x y b a a b+ < <
quay
quanh trục 0x.
* Lời giải sai: y
Phơng trình đờng tròn (C):
( )
2
2 2
x y b a+ =
có thể viết
( )
( )
( )
( )
2 2
2
1
2 2
2 2
2
y b a x C
y b a x x a
y b a x C

= +

=

=


Vậy thể tích của hình xuyến là: x
(
)
(
)
2 2
2 2 2 2
a
a
Vox b a x b a x dx



= +



2
2 a b

=
* Sai lầm: mặc dù kết quả đúng nhng sai công thức thể tích:
( )
2 2
1 2
b
a
Vox y y dx





2 2
1 2
b
a
Vox y y dx

=

.
* Lời giải đúng:
(
)
(
)
2 2
2 2 2 2 2
2
a
a
Vox b a x b a x dx a b


= + =

2. Sử dụng nhầm Voy
ví dụ: Tính Voy của hình
2
1

2
y x
x
x

=

=


=

* Lời giải sai:
2
5
4
1
2
31
1
5 5
x
Voy x dx


= = =

* Sai lầm: Đã sử dụng công thức
2
b

a
Voy y dx

=

đây là công thức tính diện tích Vox. Vởy
lời giải bị sai.
* Lời giải đúng.
2
2
1
15
2 .
2
Voy x x dx


= =


×