Bài tập Phương Pháp tính có giải chi tiết

ÔN TäP CU»I K› NãM H≈C: 2015–2016

ÔN TäP CU»I K›
NãM H≈C: 2015–2016

GV: PHÙNG TR≈NG TH‹C


ÔN TäP CU»I K› NãM H≈C: 2015–2016

Bài 1
Cho ph˜Ïng trình x3 3x + sin (x) + 1 = 0 trên kho£ng
cách ly nghiªm [1, 1.5] . Dùng ph˜Ïng pháp Newton, vÓi x0
theo i∑u kiªn Fourier, tìm nghiªm g¶n úng x2 và cho
bi∏t sai sË 4x2 .


ÔN TäP CU»I K› NãM H≈C: 2015–2016

Bài 1
Cho ph˜Ïng trình x3 3x + sin (x) + 1 = 0 trên kho£ng
cách ly nghiªm [1, 1.5] . Dùng ph˜Ïng pháp Newton, vÓi x0
theo i∑u kiªn Fourier, tìm nghiªm g¶n úng x2 và cho
bi∏t sai sË 4x2 .
Gi£i
f 0 (x) = 3x2
f ” (x) = 6x

3 + cos (x) > 0
sin (x) > 0

trên [1, 1.5]

trên [1, 1.5]

Theo i∑u kiªn Fourier x0 = 1.5. Dùng công th˘c sai sË
|x2

p| 

f (x2 )
.
m

Ta có m = min {|f 0 (1)| , |f 0 (1.5)|} = cos (1) 7 !STO M


ÔN TäP CU»I K› NãM H≈C: 2015–2016

Bài 1
Cho ph˜Ïng trình x3 3x + sin (x) + 1 = 0 trên kho£ng
cách ly nghiªm [1, 1.5] . Dùng ph˜Ïng pháp Newton, vÓi x0
theo i∑u kiªn Fourier, tìm nghiªm g¶n úng x2 và cho
bi∏t sai sË 4x2 .
Gi£i
X 3 3X + sin (X) + 1 X 3
F = F +1 : X = X
:
3X 2 3 + cos (X)

x2 ⇡ 1.1798, 4x2 ⇡ 0.0507

3X + sin (X) + 1
M


ÔN TäP CU»I K› NãM H≈C: 2015–2016

Bài 2
Cho hª ph˜Ïng trình
8
>
<4.51x1 1.12x2 + 0.75x3
1.23x1 + 6.75x2 2.31x3
>
:
1.43x1 4.23x2 + 7.89x3

= 8.79
= 9.32
= 10.32

Dùng ph˜Ïng pháp Jacobi, vÓi x(0) = (0.3, 1.3, 1.1)T . Tìm
vector l∞p x(3) .


ÔN TäP CU»I K› NãM H≈C: 2015–2016

Bài 2
Cho hª ph˜Ïng trình
8

>
<4.51x1 1.12x2 + 0.75x3
1.23x1 + 6.75x2 2.31x3
>
:
1.43x1 4.23x2 + 7.89x3

= 8.79
= 9.32
= 10.32

Dùng ph˜Ïng pháp Jacobi, vÓi x(0) = (0.3, 1.3, 1.1)T . Tìm
vector l∞p x(3) .
Gi£i
2
6
T =6
4

0
1.23
6.75
1.43
7.89

1.12
4.51

0

0.75
4.51
2.31
6.75

4.23
7.89

0

3

2

7
6
7,C = 6
5
4

X k = T Xk

1

8.79
4.51
9.32
6.75
10.32
7.89

+C

3

7
7 , X0 = (0.3, 1.3, 1.1) .
5


ÔN TäP CU»I K› NãM H≈C: 2015–2016

Bài 2
Cho hª ph˜Ïng trình
8
>
<4.51x1 1.12x2 + 0.75x3
1.23x1 + 6.75x2 2.31x3
>
:
1.43x1 4.23x2 + 7.89x3

= 8.79
= 9.32
= 10.32

Dùng ph˜Ïng pháp Jacobi, vÓi x(0) = (0.3, 1.3, 1.1)T . Tìm
vector l∞p x(3) .
Gi£i
2

6
T =6
4

0
1.23
6.75
1.43
7.89

1.12
4.51

0

0.75
4.51
2.31
6.75

4.23
7.89

0

3

2

7

6
7,C = 6
5
4

8.79
4.51
9.32
6.75
10.32
7.89

3

7
7 , X0 = (0.3, 1.3, 1.1) .
5

x(3) ⇡ (2.0568, 1.6381, 1.8310)


ÔN TäP CU»I K› NãM H≈C: 2015–2016

Bài 3

2

1.32 2.31 1.76
6 6.57 4.67 3.67
Cho A = 6

4 4.78 9.67 9.08
9.78 5.78 5.98
A = LU theo Doolittle xßp

3
3.67
0.76 7
7 . S˚ dˆng phân tích
1.67 5
3.56
xø l42 , u33 .


ÔN TäP CU»I K› NãM H≈C: 2015–2016

Bài 3

2

1.32 2.31 1.76
6 6.57 4.67 3.67
Cho A = 6
4 4.78 9.67 9.08
9.78 5.78 5.98
A = LU theo Doolittle xßp
Gi£i

3
3.67
0.76 7

7 . S˚ dˆng phân tích
1.67 5
3.56
xø l42 , u33 .

✓

◆

l42 =

B
⇡ 1.6602
A

6.57
+ 4.67 ! STO A
1.32
✓
◆
9.78
5.78 ! 2.31 ⇥
+ 5.78 ! STO B
1.32
4.67 ! 2.31 ⇥


ÔN TäP CU»I K› NãM H≈C: 2015–2016

Bài 3

2

1.32 2.31 1.76
6 6.57 4.67 3.67
Cho A = 6
4 4.78 9.67 9.08
9.78 5.78 5.98
A = LU theo Doolittle xßp

3

3.67
0.76 7
7 . S˚ dˆng phân tích
1.67 5
3.56
xø l42 , u33 .

Gi£i
u33 =

43
⇡ 1.7338
42


ÔN TäP CU»I K› NãM H≈C: 2015–2016

Bài 4

x 1.2 1.7 2.3
. S˚ dˆng Spline b™c ba
y 2.1 4.2 5.3
g (x) tho£ i∑u kiªn g 0 (1.2) = 0.5 và g 0 (2.3) = 0.9 nÎi suy
b£ng sË trên ∫ xßp xø giá tr‡ cıa hàm t§i x = 1.5 và
x = 2.0.
Cho b£ng sË


ÔN TäP CU»I K› NãM H≈C: 2015–2016

Bài 4
x 1.2 1.7 2.3
. S˚ dˆng Spline b™c ba
y 2.1 4.2 5.3
g (x) tho£ i∑u kiªn g 0 (1.2) = 0.5 và g 0 (2.3) = 0.9 nÎi suy
b£ng sË trên ∫ xßp xø giá tr‡ cıa hàm t§i x = 1.5 và
x = 2.0.
Cho b£ng sË

áp sË
g (1.5) ⇡ 3.1719, g (2.0) ⇡ 5.0084


ÔN TäP CU»I K› NãM H≈C: 2015–2016

Bài 5
x 1.3 1.5 1.9 2.2 2.4
. S˚ dˆng
y 2.3 4.2 0.4 9.2 2.4

ph˜Ïng pháp bình ph˜Ïng bé nhßt tìm hàm
p
f (x) = A x2 + 1.3 + B sin (x)
Cho b£ng sË

xßp xø tËt nhßt b£ng sË trên.


ÔN TäP CU»I K› NãM H≈C: 2015–2016

Bài 5
x 1.3 1.5 1.9 2.2 2.4
. S˚ dˆng
y 2.3 4.2 0.4 9.2 2.4
ph˜Ïng pháp bình ph˜Ïng bé nhßt tìm hàm
p
f (x) = A x2 + 1.3 + B sin (x)
Cho b£ng sË

xßp xø tËt nhßt b£ng sË trên.
áp sË

A ⇡ 1.9744, B ⇡

0.7116


ÔN TäP CU»I K› NãM H≈C: 2015–2016

Bài 6

x 1.2 2.1 2.3 3.1
. S˚ dˆng a th˘c
y 2.32 2.3 ↵ 3.4
nÎi suy Lagrange tìm ↵ ∫ a th˘c nÎi suy có giá tr‡
xßp xø cıa §o hàm y 0 (2.2) ⇡ 3.2.
Cho b£ng sË


ÔN TäP CU»I K› NãM H≈C: 2015–2016

Bài 6
x 1.2 2.1 2.3 3.1
. S˚ dˆng a th˘c
y 2.32 2.3 ↵ 3.4
nÎi suy Lagrange tìm ↵ ∫ a th˘c nÎi suy có giá tr‡
xßp xø cıa §o hàm y 0 (2.2) ⇡ 3.2.
Cho b£ng sË

áp sË
↵ ⇡ 2.9342


ÔN TäP CU»I K› NãM H≈C: 2015–2016

Bài 7
x
1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2
.
f (x) 1.3 3.2 2.1 5.6 4.2 5.4 2.1
S˚ dˆng công th˘c Simpson m rÎng tính xßp xø tích

phân
ˆ2.2
⇥
⇤
2
2
I=
2.1x f (x) + 0.5x dx.
Cho b£ng sË

1.0


ÔN TäP CU»I K› NãM H≈C: 2015–2016

Bài 7
x
1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2
.
f (x) 1.3 3.2 2.1 5.6 4.2 5.4 2.1
S˚ dˆng công th˘c Simpson m rÎng tính xßp xø tích
phân
ˆ2.2
⇥
⇤
2
2
I=
2.1x f (x) + 0.5x dx.
Cho b£ng sË

1.0

áp sË
I ⇡ 30.8803


ÔN TäP CU»I K› NãM H≈C: 2015–2016

Bài 8
Cho bài toán Cauchy
(
y0
= 1.2x + 1.3x2 sin (0.23x + 1.5y) , x
y (0.5) = 0.36

0.5

Dùng ph˜Ïng pháp Runge–Kutta b™c 4 xßp xø y (0.7) vÓi
b˜Óc nh£y h = 0.2.


ÔN TäP CU»I K› NãM H≈C: 2015–2016

Bài 8
Cho bài toán Cauchy
(
y0
= 1.2x + 1.3x2 sin (0.23x + 1.5y) , x
y (0.5) = 0.36

0.5

Dùng ph˜Ïng pháp Runge–Kutta b™c 4 xßp xø y (0.7) vÓi
b˜Óc nh£y h = 0.2.
áp sË
y (0.7) ⇡ 0.5742


ÔN TäP CU»I K› NãM H≈C: 2015–2016

Bài 9
Cho bài toán Cauchy
(
y 000 (x) = 1.3y” + 0.32xy 0 + xy + 1.23, 1  x  2
y (1)
= 0.23, y 0 (1) = 0.12, y” (1) = 1.23
˜a ph˜Ïng trình v∑ hª ph˜Ïng trình vi phân cßp 1. S˚
dˆng công th˘c Euler vÓi h = 0.1 tính g¶n úng y (1.3)
và y (1.8) .


ÔN TäP CU»I K› NãM H≈C: 2015–2016

Bài 9
Cho bài toán Cauchy
(
y 000 (x) = 1.3y” + 0.32xy 0 + xy + 1.23, 1  x  2
y (1)
= 0.23, y 0 (1) = 0.12, y” (1) = 1.23

˜a ph˜Ïng trình v∑ hª ph˜Ïng trình vi phân cßp 1. S˚
dˆng công th˘c Euler vÓi h = 0.1 tính g¶n úng y (1.3)
và y (1.8) .
áp sË
∞t z (x) := y 0 (x) , w (x) := y 00 (x) , ph˜Ïng trình tr thành
8
>
w0
= 1.3w + 0.32xz + xy + 1.23
>
>
>
=w
y (1.3) ⇡ 0.3060, y (1.8) ⇡ 0.8843
0
>
y
=z
>
>
>
:w (1) = 1.23, z (1) = 0.12, y (1) = 0.23


ÔN TäP CU»I K› NãM H≈C: 2015–2016

Bài 10
Cho bài toán biên tuy∏n tính cßp hai
(

(x + 0.23) y 00 (x) + x2 y 0 1.23y = 0.29x (x + 2) , 1  x  1.8
y (1)
= 0.27, y (1.8) = 1.67
Dùng ph˜Ïng pháp sai phân h˙u h§n vÓi b˜Óc nh£y h = 0.2
xßp xø giá tr‡ cıa y (1.2) , y (1.4) , y (1.6) .


ÔN TäP CU»I K› NãM H≈C: 2015–2016

Cho
( bài toán biên tuy∏n tính cßp hai
(x + 0.23) y 00 (x) + x2 y 0 1.23y = 0.29x (x + 2) , 1  x  1.8
y (1)
= 0.27, y (1.8) = 1.67
Dùng ph˜Ïng pháp sai phân h˙u h§n vÓi b˜Óc nh£y h = 0.2
xßp xø giá tr‡ cıa y (1.2) , y (1.4) , y (1.6) .
Gi£i
p (x) = x + 0.23, q (x) = x2 , r (x) = 1.23, f (x) = 0.29x (x + 2) ,
↵ = 0.27, = 1.67, h = 0.2,
x0 = 1, x1 = 1.2, x2 = 1.4, x3 = 1.6 , x4 = 1.8.
pk := p (xk ) , qk := q (xk ) , rk := r (xk ) , fk := f (xk ) .
Gi£i hª sau ∫ tìm y1 , y2 , y3 .
2
p1
q1
1
r1 2p
+ 2h
0
h2

h2
q2
4 p22
r2 2p22 p22 + q2
h

2h

0

p3
h2

h
q3
2h

h
r3

2h
2p3
h2

f1
f3

↵

p1

h2
f2
p3
h2

q1
2h

+

q3
2h

3
5


ÔN TäP CU»I K› NãM H≈C: 2015–2016

Cho
( bài toán biên tuy∏n tính cßp hai
(x + 0.23) y 00 (x) + x2 y 0 1.23y = 0.29x (x + 2) , 1  x  1.8
y (1)
= 0.27, y (1.8) = 1.67
Dùng ph˜Ïng pháp sai phân h˙u h§n vÓi b˜Óc nh£y h = 0.2
xßp xø giá tr‡ cıa y (1.2) , y (1.4) , y (1.6) .
Gi£i
p (x) = x + 0.23, q (x) = x2 , r (x) = 1.23, f (x) = 0.29x (x + 2) ,
↵ = 0.27, = 1.67, h = 0.2,
x0 = 1, x1 = 1.2, x2 = 1.4, x3 = 1.6 , x4 = 1.8.

pk := p (xk ) , qk := q (xk ) , rk := r (xk ) , fk := f (xk ) .
y (1.2) ⇡ 0.6504, y (1.4) ⇡ 1.0100, y (1.6) ⇡ 1.3498
2
3
p1
q1
p1
q1
1
r1 2p
+
0
f
↵
1
2h
h2
h2
2h
h2
p
q
2p
p
q
2
2
2
2
2

4 2
5
f2
r2
+ 2h
2h
h
h2
h2
p3
q3
p3
q3
2p3
f
+
0
r
3
2
3
2
2
2h
h
2h
h
h