De va loi giai Toan HSGQG12

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
LỚP 12 THPT N M 2008 – Môn TOÁNĂ
Câu 1:Hãy xác định số nghiệm của hệ phương trình (ẩn )
sau:
Câu 2:Cho tam giác ABC có góc là góc nhọn,trong ó E là đ
trung iđ ểm của AB.Trên tia EC lấy iđ ểm M sao cho
.Kí hiệu là số o cđ ủa góc ,hãy tính tỉ số theo
Câu 3:Đặt .Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên n mà
và chia hết cho m?
Câu 4:Cho dãy số thực được xác định như sau:
và với mọi
Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn khi .Hãy tìm
giới hạn óđ
Câu 5:Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi
số gồm tối a 2008 chđ ữ số và trong ó có ít nhđ ất 2 chữ số 9?
Câu 6:Cho x,y,z là các số thực không âm , ôi mđ ột khác
nhau.Chứng minh rằng
Hỏi dấu bằng xảy ra khi nào?
Câu 7:Cho tam giác ABC,trung tuyến AD.Cho đường thẳng d
vuông góc với đường thẳng AD.Xét iđ ểm M nằm trên d.Gọi E,F
lần lượt là trung iđ ểm của MB,MC.Đường thẳng i qua E và đ
vuông góc với d cắt đường thẳng AB ở P,đường thẳng i qua F đ
và vuông góc với d cắt đường thẳng AC ở Q.CMR đường thẳng
i qua M vuông góc vđ ới đường thẳng PQ luôn i qua 1 iđ đ ểm cố
định ,khi iđ ểm M di động trên đường thẳng d.
Lời giải của một số học sinh 11 chuyên toán trường Quốc Học Huế.
Bạn có thể trao đổi qua forum ở trang web:
/>Theo phân công lao động thì mình sẽ post giải bài 4,5,6 trình
(pi3.14) giải bài 1,2 và bạn Nhật sẽ giải bài 3,7. Phần việc của
mình
Bài 4

Bằng qui nạp ta có Với mọi n.
Xét với
Ta có
Mà do ó đ t ng , tă ương tự ta có giảm
Xét dãy bằng qui nạp ta có bị chặn trên bới 2,
theo trên nó là dãy t ng nên có giă ới hạn.
Đặt
Khi ó đ từ ó có đ
Tương tự dãy giảm, bị chặn dưới bởi 0 nên có giới hạn. Ta
cũng có giới hạn là 1.
Vậy
Bài 5
Gọi các số phải tìm có dạng
Do số này chia hết cho 9 nên tổng các chữ số chia hết cho 9.
Bước 1 Tìm t ấ t c ả các s ố chia h ế t cho 9
Có 10 cách chọn các chữ số , 10 cách chọn chữ số , ... , 10
cách chọn chữ số ứng với các
cách chọn này có 9 cách chọn chữ số để thoả mãn bài toán.
Vậy có số chia hết cho 9
Bước 2 Tìm s ố các s ố chia h ế t cho 9 không có ch ữ s ố 9 trong nó
Có 8 cách chọn các chữ số có 9 cách chọn do ó có đ
tất cả số
Bước 3 Tìm s ố các s ố chia h ế t cho 9 mà trong nó ch ỉ có duy
nh ấ t m ộ t ch ữ s ố 9
Có số có n-1 chữ số thoả bài toán, ta đưa chữ số 9 vào số
trên thì được 1 số thoả bài toán. Có (n-1) vị trí có thể đưa chữ số
9 vào
Như vậy có số
Cuối cùng số các số phải tìm là
Tính tổng ni thì dễ dùng cấp số nhân với đạo hàm là ok

n cĂ ơm cái ã, tí nđ ữa post tiếp
Bài 6
Giả sử
Ta có
Và
Từ ây ta suy ra:đ
Vậy ta sẽ chứng minh rằng:
Cái ni thì hiển nhiên úng theo Cauchyđ
Từ ó suy ra pcm.đ đ
Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi:
Bài 6
Cách ni của một anh bên TPHCM ý tưởng cũng tương tự, post lên xem thử
Cho là các số không âm khác nhau ôi mđ ột , tìm hằng số k tốt nhất của bất đẳng thức
Đặt :
Ta chung minh :
That vay , khong mat tinh tong quat gia su ta co :
Vay ta chi can chung minh bat dang thuc trong truong hop Dat va khac !
Ta co :
Cách 1 : biến đổi tưong đương chứng minh tươnng đương với
Hiển nhiên úng !đ
Cách 2 :
Tu do ta tim duoc gia tri nho nhat cua la va dat duoc tai 2 diem la va
vay hang so tot nhat can tim la va dau bang xay ra tai hai diem la
va
Bài 2
Lấy iđ ểm sao cho là hình bình hành
Ta có thẳng hàng.
Do ó: tam giác đ cân tại Suy ra
Trên tia lấy iđ ểm sao cho
Xét hai tam giác và có

Do óđ
Suy ra
Suy ra tam giác cân tại
Lấy là trung iđ ểm thì
Vậy