casio dap an + bai doc them so 4 THỦ THUẬT CASIO GIẢI PTVT một căn THỨC NÂNG CAO

Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
THỦ THUẬT CASIO GIẢI PTVT MỘT CĂN THỨC NÂNG CAO
(Bùi Thế Việt – Vted.vn)

C – BÀI TẬP

Bài 1. Giải phương trình : 6 x 2  11x  16   9 x  16  x 2  1
Bài 2. Giải phương trình : 2 x 2  7 x  11   2 x  7  x 2  1

Bài 3. Giải phương trình : x3  2 x 2  x  1   2 x  3 2 x 2  1

Bài 4. Giải phương trình : 24 x 3  69 x 2  42 x  54  33 x x 2  2 x  2  0
Bài 5. Giải phương trình : 5 x 2  26 x  19  15 x  17  x 2  x  1




Bài 6. Giải phương trình : x 3  54   x 2 

x

 48  x 2  x  3
2


Bài 7. Giải phương trình : x3  2 x 2  3 x  3   x  3 x 3  1
Bài 8. Giải phương trình : 8 x 2  2   7 x  4  x 2  3 x  1

Bài 9. Giải phương trình : 3 x3  6 x 2  5  6 x  x  2  x 2  x  1
Bài 10. Giải phương trình : 3 x3  6 x  1   8 x  1 x 2  1  0



Bài 11. Giải phương trình : x 4  x 2  10 x  19  x3  7 x  13



x2  x  1  0

Bài 12. Giải phương trình : x 3  6 x 2  13 x  16  8 x 2  3 x  3  0
Bài 13. Giải phương trình : 3 x 3  6 x 2  9 x  8  8 x 4  x  1
Bài 14. Giải phương trình : x 4  5 x  2  x 4  3  0

Bài 15. Giải phương trình : x 4  x 3  6 x  4  2 x 6  x  1  0

Bài 16. Giải phương trình : 16 x 4  40 x3  49 x 2  8 x  25  24 x x 2  1
Bài 17. Giải phương trình : x 4  18 x 2  x  82  4 4 x  2
Bài 18. Giải phương trình : 2 x 3  7 x 2  8  4 4 x 2  3

Bài 19. Giải phương trình : x3  2 x  3   x  1 x 2  x  2  0
Bài 20. Giải phương trình : x 5  x 4  4 x 2  8  8 x 2  1  0

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

facebook.com/viet.alexander.7

1


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán

Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
D – ĐÁP ÁN
Bài 1. Giải phương trình :

6 x 2  11x  16   9 x  16  x 2  1

Hướng dẫn :
Bước 1 : Tìm nghiệm :

 8 6  2 3 
0; ;

3

 15

Bước 2 : Tìm nhân tử :



Bước 3 : Chia biểu thức :

x 
 2
 8
 x  1   1 chứa nghiệm 0; 
4 

 15 
 6  2 3 

x 2  1  2 x  3 chứa nghiệm 

3







Kết luận :

6 x 2  11x  16   9 x  16  x 2  1

4 x2 1  x  4



6 x 2  11x  16   9 x  16  x 2  1



 4 x2  1  x  4

Đáp số : x  0 hoặc x 



1



x2  1  2x  3  0

2 x 2  7 x  11   2 x  7  x 2  1

Hướng dẫn :
Tương tự như bài trước ta có :

11

Bước 1 : Tìm nhân tử :

Kết luận :



8
6  2 3
hoặc x 
.
15
3

Bài 2. Giải phương trình :

Bước 2 : Chia biểu thức :

x2  1  2 x  3

x 2  1  13 x  7

2 x 2  7 x  11   2 x  7  x 2  1
11 x  1  13 x  7
2


 x  x2 1

2 x 2  7 x  11   2 x  7  x 2  1







 11 x 2  1  13 x  7 x  x 2  1  0

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

facebook.com/viet.alexander.7

2


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Đáp số : x  

5
17
hoặc x   .
3
8

Bài 3. Giải phương trình :

Hướng dẫn :
Tương tự như bài trước ta có :
Bước 1 : Tìm nhân tử :

Bước 2 : Chia biểu thức :

x 3  2 x 2  x  1   2 x  3 2 x 2  1





2 x2  1  3 ;

x 3  2 x 2  x  1   2 x  3 2 x 2  1



Kết luận :

2 x2  1  3







1
2x2 1  3
2
Đáp số : x   5 hoặc x  1  3 .
Bài 4. Giải phương trình :

Bước 2 : Chia biểu thức :

Kết luận :









x 2  2 x  2  3x  2 ;



x2  2 x  2  2 x  4

24 x3  69 x 2  42 x  54  33 x x 2  2 x  2
x  2 x  2  3x  2
2



Đáp số : x  

x 2  2 x  2  3x  2

x  2x  2  2 x  4
2

Hướng dẫn :







 5 x  5  x 2  2 x  2





x2  2 x  2  2 x  4 5x  5  x2  2 x  2  0

3

hoặc x  1 hoặc x  3  3 .
4

Bài 5. Giải phương trình :



24 x3  69 x 2  42 x  54  33 x x 2  2 x  2  0

24 x3  69 x 2  42 x  54  33 x x 2  2 x  2  0


2x 1  2x2 1

2

2 x2 1  x  1 2x  1  2 x2 1  0

Hướng dẫn :
Tương tự như bài trước ta có :
Bước 1 : Tìm nhân tử :



2 x2  1  x  1

x 3  2 x 2  x  1   2 x  3 2 x 2  1





2 x2 1  x  1

5 x 2  26 x  19  15 x  17  x 2  x  1

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

facebook.com/viet.alexander.7

3


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Bước 1 : Tìm nghiệm :

 3 8 3
 ;  ; 
 8 5 5






Bước 2 : Tìm nhân tử : Chọn 2 cặp bất kỳ để lấy nhân tử :




 3 8
 8 5
 3 3
Cách 2 :  ;   13 x 2  x  1  7 x  14
 8 5
3 8
Cách 3 :  ;    5 x 2  x  1  7
5 5
Cách 1 :  ;    7 x 2  x  1  3 x  5




Bước 2 : Chia biểu thức :


Cách 1 :



Cách 2 :



Cách 3 :

5 x 2  26 x  19  15 x  17  x 2  x  1
7 x  x  1  3x  5
2

5 x 2  26 x  19  15 x  17  x 2  x  1
13 x 2  x  1  7 x  14



Cách 2 :

Cách 3 :

5 x  x 1  7
2



4 x  5  x 2  x  1
3
 3 x  2  x 2  x  1

5 x 2  26 x  19  15 x  17  x 2  x  1







 7 x2  x  1  3 x  5 2 x 2  x  1  3x  1  0

5 x 2  26 x  19  15 x  17  x 2  x  1





1
13 x 2  x  1  7 x  14
3



3
8
3
hoặc x   hoặc x  .
8
5
5

Bài 6. Giải phương trình :

Hướng dẫn :
Tương tự như bài trước ta có :
Bước 1 : Tìm nhân tử :







x2  x  1  4 x  5  0

5 x 2  26 x  19  15 x  17  x 2  x  1
 5 x2  x  1  7

Đáp số : x  

 3 x  1  2 x 2  x  1

5 x 2  26 x  19  15 x  17  x 2  x  1

Kết luận :
 Cách 1 :







x 2  x  1  3x  2  0

x


x3  54   x 2   48  x 2  x  3
2



BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

facebook.com/viet.alexander.7

4


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại

 60

Bước 2 : Chia biểu thức :

Kết luận :

 60



x 2  x  3  73 x  48 ;

x2  x  3  2 x  6

x


x3  54   x 2   48  x 2  x  3
2




x 2  x  3  73 x  48



x2  x  3  2 x  6







2x  1  2 x2  x  3
26

x


x3  54   x 2   48  x 2  x  3
2


1

60 x 2  x  3  73 x  48
x2  x  3  2 x  6 2 x2  x  3  2 x  1  0
26
84

12
23  61
Đáp số : x  
hoặc x  
hoặc x 
.
19
7
6





Bài 7. Giải phương trình :

Hướng dẫn :
Tương tự như bài trước ta có :



x3  2 x 2  3 x  3   x  3 x3  1



Bước 1 : Tìm nhân tử :

Bước 2 : Chia biểu thức :



x3  1  2 x  1

x 3  2 x 2  3 x  3   x  3 x3  1
x  1  2x  1
3

Kết luận :

Đáp số : x  2 .
Bài 8. Giải phương trình :

Hướng dẫn :
Tương tự như bài trước ta có :
Bước 1 : Tìm nhân tử :

Bước 2 : Chia biểu thức :

 x  2  x3  1

x3  2 x 2  3 x  3   x  3 x 3  1













x3  1  2 x  1



x3  1  x  2  0

8 x2  2   7 x  4 x2  3 x  1



x 2  3x  1  2 x  2 ; 2 x 2  3x  1  3x

8 x 2  2   7 x  4  x 2  3x  1



x  3 x  1  2 x  2 2 x  3x  1  3 x
2

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

2





1

facebook.com/viet.alexander.7

5


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Kết luận :

8 x2  2   7 x  4  x2  3x  1


Đáp số : x 





11  85
6  2 14
hoặc x 
.
6
5

Bài 9. Giải phương trình :

3 x3  6 x 2  5  6 x  x  2  x 2  x  1

Hướng dẫn :
Tương tự như bài trước ta có :

2

Bước 1 : Tìm nhân tử :

Bước 2 : Chia biểu thức :

Kết luận :



x2  x  1  x  1

3 x3  6 x 2  5  6 x  x  2  x 2  x  1

Bước 3 : Để ý rằng :



x 2  3 x  1  2 x  2 2 x2  3x  1  3x  0

2 x  x 1  x 1
2

 3 x 2  5 x  1  2 x 2  x  1

3 x 2  5 x  1  2 x 2  x  1  x 2  x  1  2  x  1  0
2

3 x3  6 x 2  5  6 x  x  2  x 2  x  1







 2 x 2  x  1  x  1 3x2  5x  1  2 x2  x  1  0

Đáp số : x 

32 6
32 6
hoặc x 
.
3
3

Bài 10. Giải phương trình :

Hướng dẫn :
Tương tự như bài trước ta có :

3 x3  6 x  1   8 x  1 x 2  1  0



Bước 1 : Tìm nhân tử :

Bước 2 : Chia biểu thức :

3 x3  6 x  1   8 x  1 x 2  1

Bước 3 : Để ý rằng :

x  1  2x  1
2

2x  x  3   x  4
2

Kết luận :

1
x 1 
2
2





x2  1  2 x  1

 2 x 2  x  3   x  4  x 2  1



1
1

x  1  x  2   x    2 x2  1   0
2
4

2

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

2

2

facebook.com/viet.alexander.7

6


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
3 x3  6 x  1   8 x  1 x 2  1  0


Đáp số : x  0 .







x2  1  2 x  1 2 x2  x  3   x  4 x2  1  0

Bài 11. Giải phương trình :



x 4  x 2  10 x  19  x3  7 x  13

Hướng dẫn :
Tương tự như bài trước ta có :
Bước 1 : Tìm nhân tử :

Bước 2 : Chia biểu thức :



x 4  x 2  10 x  19  x3  7 x  13

Bước 3 : Để ý rằng :



x  x 1 1
2



x2  x  1  1

x2  x  1



Phương trình x 3  x 2  7 x  16  x 2  3
Phương trình x 3  x 2  7 x  16  x 2  3





x 2  x  1  0 có nhân tử là :



x 3  x 2  7 x  16  x 2  3



x  x 1  2
2

x  2 x  7   x  2






x2  x  1

1  21
2



 x2  2 x  7   x  2 x2  x  1
2

2





x2  x  1  1

Bài 12. Giải phương trình :

x2  x  1  2

x2  x  1

x 4  x 2  10 x  19  x 3  7 x  13

Đáp số : x  2 hoặc x  1 .

x2  x  1  2



1
5 1 2
35
x  x  1   x2  x  1  x   
x  x 1 
0
2
2 2
8

2



x 2  x  1  0 có nghiệm x 

x 2  x  1  0 có nhân tử là :

Bước 4 : Chia biểu thức :





x 2  x  1  0 vô nghiệm



Suy ra x 3  x 2  7 x  16  x 2  3

Kết luận :





 x 3  x 2  7 x  16  x 2  3



Suy ra x 3  x 2  7 x  16  x 2  3

Bước 5 : Để ý rằng :

x2  x  1  0











x2  x  1  0





x2  x  1  2 x2  2 x  7   x  2 x2  x  1  0

x3  6 x 2  13 x  16  8 x 2  3 x  3  0

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

facebook.com/viet.alexander.7

7


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Hướng dẫn :

Bước 1 : Tìm nghiệm x  1 . Đổi dấu trước căn cho nghiệm lẻ x  5.2179238...
Bước 2 : Kiểm tra nghiệm bội :

x 3  6 x 2  13 x  16  8 x 2  3 x  3
0
x 1
x 1

lim
lim
x 1

lim
x 1

x 3  6 x 2  13 x  16  8 x 2  3 x  3



2

 x  1

3

x 3  6 x 2  13 x  16  8 x 2  3 x  3

Vậy PT đã cho có nghiệm bội ba x  1 .

Bước 3 : Tìm nhân tử :

 x  1

0




5
2

x 2  3 x  3  ax 2  bx  c chứa nghiệm bội ba x  1 .




2x  3
3
a   1 d 
 
2
2 dx  2 x  3 x  3 
8


 x 1


d
5
Khi đó b  
x2  3x  3
 2a  . Vậy nhân tử của chúng ta là :
dx
4
x 1



15
c  1  a  b   8







8

Bước 4 : Để ý rằng :

x 2  3 x  3  3 x 2  10 x  15







x3  6 x 2  13 x  16  8 x 2  3 x  3   x  1  8 x 2  3 x  3  3 x 2  10 x  15



x  6 x  13x  16  8 x  3x  3  0 



5  20


3 x  10 x  15  3 x   
0
3
3




3

3

2

2

27



8
11
0 x
27
3

2

2

8 x  3x  3  3 x  10 x  15 

Kết luận :

 3 x  11  9 x 2  21x  40 



2

2

311  3 x  x  1

3

8 x 2  3 x  3  3 x 2  10 x  15



x3  6 x 2  13 x  16  8 x 2  3 x  3  0



  x  1  8 x 2  3 x  3  3 x 2  10 x  15  0
3

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

facebook.com/viet.alexander.7

8


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại



311  3 x 
3
0
  x  1 1 
 8 x 2  3 x  3  3 x 2  10 x  15 



Đáp số : x  1 .

Bài 13. Giải phương trình :

3 x3  6 x 2  9 x  8  8 x 4  x  1

Hướng dẫn :
Bước 1 : Tìm nghiệm :

5

1;0;  

3






Bước 2 : Tìm nhân tử :

5

x 4  x  1  ax 2  bx  c chứa nghiệm ba nghiệm 1;0;  
3

1

a




2
1  a  b  c  0


1

Khi đó 1  c  0
 b 
. Vậy nhân tử của chúng ta là :

2
 29 25

5
 
c  1
a bc0
9
3
9



2

Bước 3 : Để ý rằng :





x4  x  1  x2  x  2





3 x3  6 x 2  9 x  8  8 x 4  x  1  x  x  1 3 x  5   4 2 x 4  x  1  x 2  x  2

1 7


x  x2x   0
2 4

2

2

2 x  x 1  x  x  2 
4

Ta luôn có :

2

x 2  3 x  5  x  1

2 x4  x  1  x2  x  2

2 x4  x  1  x2  5x  2


4x

2





 8 x  3  x  1   3 x  1  x 2  5 x  2
2

2

 3x  1  x 2  5x  2  3x  1  x 2  5 x  2
  x  1  0
2

Kết luận :
Cách 1 :

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

facebook.com/viet.alexander.7

9


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại



3 x3  6 x 2  9 x  8  8 x 4  x  1

 x  x  1 3 x  5   4 2 x 4  x  1  x 2  x  2





4x
 x  x  1 3 x  5  1 
0
 2 x4  x  1  x2  x  2 







 x  x  1 3 x  5  2 x 4  x  1  x 2  5 x  2  0

Cách 2 :

3 x3  6 x 2  9 x  8  8 x 4  x  1



 3x3  6 x 2  9 x  8



2





 64 x 4  x  1

 9 x 6  36 x5  82 x 4  60 x3  177 x 2  80 x  0
 x  3x  16  3 x  5 x  1  0
3

5
Đáp số : x  1 hoặc x  0 hoặc x   .
3
Bài 14. Giải phương trình :

x4  5x  2  x4  3  0

Hướng dẫn :

Bước 1 : Tìm nghiệm : x  1 . Phương trình đổi dấu có nghiệm lẻ.
Bước 2 : Kiểm tra nghiệm bội :

x4  5x  2  x4  3
0
x 1
x 1

lim
lim
x 1

Vậy PT có nghiệm kép x  1
Bước 3 : Tìm nhân tử :





d

x4  3
a  
Khi đó : 
dx
b  2  a  1





 x  1

29
4





x 1

 1

. Vậy nhân tử của chúng ta là :







x 4  4 x  3  x 2  2 x  3  x  1  0
2



x4  3  x  1

x4  5x  2  x4  3  x4  4 x  3 



2

x 4  3  ax  b chứa nghiệm kép x  1

Bước 4 : Để ý rằng :


x4  5x  2  x4  3

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình



x4  3  x  1

facebook.com/viet.alexander.7

10


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại


x4  3 

Kết luận :

 x  1

2





 x 2  2 x  2  x  1  x  1  x  1
2


 4 x  3   x  2 x  3   x  1

 x  1

x4  5x  2  x4  3  x4  5x  2 

 x4  5x  2  x  1  x4

Đáp số : x  1 .

Bài 15. Giải phương trình :

2

2



 x 2  2 x  2  x  1
2

2

0

x 4  x3  6 x  4  2 x 6  x  1  0

Hướng dẫn :

Bước 1 : Tìm nghiệm : x  1 . Phương trình đổi dấu có nghiệm lẻ.
Bước 2 : Kiểm tra nghiệm bội :

x 4  x 3  6 x  4  2 x6  x  1
0
x 1
x 1

lim
lim
x 1

x 4  x 3  6 x  4  2 x6  x  1

 x  1

Vậy PT có nghiệm kép x  1



Bước 3 : Tìm nhân tử :





x 1





2

Bước 4 : Để ý rằng :




5
2



47
4

. Vậy nhân tử của chúng ta là :
x6  x  1  5 x  3





x 4  x3  6 x  4  2 x 6  x  1  x 4  x3  x  1  2 x 6  x  1  5 x  3





x 4  x3  x  1  x 2  x  1  x  1  0
2



x 4  x 3  6 x  4  2 x 6  x  1  0  x 4  x 3  6 x  36  40  0





Suy ra :  x  3 x  2  x 2  6  0  2  x  3




x 6  x  1  ax  b chứa nghiệm kép x  1

d

6
a   dx x  x  1
Khi đó : 
b  1  a  3

2



2

2 x6  x  1 

2x

3

 



 x  1  4 x 2  4 x  3  x  1  2 x 3  x  1  2 x3  x  1
2

2 x3  x  1  5 x  3  2 x  2  x  1  5 x  3
2

Kết luận :

2





Ta có : x 4  x 3  6 x  4  2 x 6  x  1  0   x  3 x  2  x 2  6  40  0  x  2
BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

facebook.com/viet.alexander.7

11

Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
x 4  x3  6 x  4  2 x6  x  1

 x 4  x3  6 x  4 



2x

3



 x 4  x 3  6 x  4  2 x3  x  1





 x 2  3 x  5  x  1  0

Đáp số : x  1 .

 



 x  1  4 x 2  4 x  3  x  1

2

2

2

Bài 16. Giải phương trình :

16 x 4  40 x3  49 x 2  8 x  25  24 x x 2  1

Hướng dẫn :
Bước 1 : Tìm nghiệm : x 

5
. Phương trình đổi dấu vô nghiệm.
4

Bước 2 : Kiểm tra nghiệm bội :

16 x 4  40 x 3  49 x 2  8 x  25  24 x x 2  1
0
x 1
4x  5

lim
lim
x 1

16 x 4  40 x 3  49 x 2  8 x  25  24 x x 2  1

Vậy PT có nghiệm kép x 



Bước 3 : Tìm nhân tử :

5
4

 4 x  5



x 2  1  ax  b chứa nghiệm kép x 

3

Bước 4 : Chia biểu thức :

x2  1  5x  4

16 x 4  40 x 3  49 x 2  8 x  25  24 x x 2  1
3 x  1  5x  4

Bước 5 : Chú ý rằng :




2

2



5
. Ta được nhân tử là :
4







 5 x 3  4 x 2  3 x  4  3 x 2  1



5 x 3  4 x 2  3 x  4   x  1 5 x 2  x  4  8



0

x2  1



5 x 3  4 x 2  3 x  4  3  x  1   x  1 2 x 2  15 x  9  8

Kết luận : Ta có :



3



16 x 4  40 x 3  49 x 2  8 x  25  24 x x 2  1





 3 x 2  1  5 x  4 5 x3  4 x 2  3 x  4  3 x 2  1





Nếu x  1 thì : 5 x 3  4 x 2  3 x  4   x  1 5 x 2  x  4  8  0 . Suy ra :





5 x3  4 x 2  3x  4  3 x2  1

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình



x2  1  0

x2  1  0

facebook.com/viet.alexander.7

12


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại





x2  1   x  1  3 x2  1

Nếu x  1 thì :



x 2  1  3  x  1 .
3



Lại có : 5 x 3  4 x 2  3 x  4  3  x  1   x  1 2 x 2  15 x  9  8  0x  1 . Vậy :
Đáp số : x 

3





5 x3  4 x 2  3x  4  3 x2  1

5
.
4

Bài 17. Giải phương trình :

x2  1  0

x 4  18 x 2  x  82  4 4 x  2

Hướng dẫn :

Bước 1 : Tìm nghiệm : x  3 . Phương trình đổi dấu vô nghiệm.
Bước 2 : Kiểm tra nghiệm bội :

x 4  18 x 2  x  82  4 4 x  2
lim
0
x 3

x3
lim
x 3

Vậy PT có nghiệm kép x  3



 x  3



Bước 3 : Tìm nhân tử :
4

x 4  18 x 2  x  82  4 4 x  2
2



291
8

x  2  ax  b chứa nghiệm kép x  3 . Ta được nhân tử là :

4

Bước 4 : Chú ý rằng :

4



x  2  x 1







x 4  18 x 2  x  82  4 4 x  2  x 4  18 x 2  81  4 4 x  2  x  1



44 x  2 



x 4  18 x 2  81   x  3   x  3

Kết luận : Ta có :

4

 x  1

4



2

2



 x 2  10 x  57  x  3  x  1  x  1 (vì x  2 )

x 4  18 x 2  x  82  4 4 x  2

2





 x 4  18 x 2  x  82  4  x  1  x 2  10 x  57  x  3 
4

 x 4  18 x 2  x  82  x  1  x 4  18 x 2  81
Đáp số : x  3 .

  x  3   x  3  0

Bài 18. Giải phương trình :

Hướng dẫn :

2

2

2

2 x3  7 x 2  8  4 4 x 2  3

Bước 1 : Tìm nghiệm : x  2 . Phương trình đổi dấu có nghiệm lẻ.

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

facebook.com/viet.alexander.7

13


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Bước 2 : Kiểm tra nghiệm bội :

2 x3  7 x 2  8  4 4 x 2  3
lim
0
x 2
x2
lim

x 2

lim

x 2

Vậy PT có nghiệm bội ba x  2



Bước 3 : Tìm nhân tử :
4







 x  2

2

2 x3  7 x 2  8  4 4 x 2  3


4

 x  2

3

0

 13

x 2  3  ax 2  bx  c chứa nghiệm bội ba x  2 . Ta được nhân tử là :

Bước 4 : Chú ý rằng :



2 x3  7 x 2  8  4 4 x 2  3

4

x 2  3  5 x 2  24 x  24





2 x3  7 x 2  8  4 4 x 2  3  2 x 3  12 x 2  24 x  16  4 4 x 2  3  5 x 2  24 x  24
2 x3  12 x 2  24 x  16  2 x  2 

3



f  x   4 4 x 2  3  5 x 2  24 x  24
f ' x  

4

f ''  x   



2x

x2  3



x2  6

x
3x  x
f '''  x  
2 x
4

2

2

2

4

 10 x  24

3

3



7

 18

3





 10

11

Kết luận :
ĐKXĐ : x  3 hoặc x   3

TH1 : x   3 . Xét hàm số f  x   4 4 x 2  3  5 x 2  24 x  24 với x   3 .
Khi đó : f '  x  

4

x

2x
2

3



3

 10 x  24  f ''  x   

x2  6

4

x

2

3



7

 10  f '''  x  

24

Vậy f '''  x   0  f ''  x   0 có tối đa một nghiệm. Chỉ ra nghiệm này là x  2 .
Vẽ BBT cho f ''  x  ta thấy nó đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x  2 .


x

3 x x 2  18
2

3





11

Lại thấy f  2   0  f  x  đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x  2 .
Vậy ta có 4 4 x 2  3  5 x 2  24 x  24 ngược dấu với  x  2  . Suy ra :
BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

facebook.com/viet.alexander.7

14


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
2 x3  7 x 2  8  4 4 x 2  3

 2 x3  12 x 2  24 x  16  4 4 x 2  3  5 x 2  24 x  24
 2  x  2   4 4 x 2  3  5 x 2  24 x  24
3

 x  2  0  x  2
TH2 : x  3 . Khi đó :

1  11

2x  7 x  8  4 x  3  2x  7 x  8  4 x   x2   
2
4

1
17
 2 x3  7 x 2  8  4 x   2 x  3 2 x 2  10 x  11 
0
2
2
Đáp số : x  2 .
3

4

2

Bài 19. Giải phương trình :

2

3



2

4

4

2



x3  2 x  3   x  1 x 2  x  2  0

Hướng dẫn :

Bước 1 : Tìm nghiệm : x  1 . Phương trình đổi dấu có nghiệm lẻ.
Bước 2 : Kiểm tra nghiệm bội :

x3  2 x  3   x  1 x 2  x  2 9

x 2
x2
2
Vậy PT không có nghiệm bội.
lim

x



Bước 3 : Chú ý rằng :



3

 2 x  3  x  1  0  2  x  1

x  2 x  3  1  x  x

2

Ta có : x  2 x  3  1  x  x

2



3

1  x 
x2 

x 2  x  2  x  3x  1
x3  2 x  3   x  1 x  3  x 2  x  1
Kết luận :



3

Khi đó, do

x2  x  2 

2

1  x 
x2 

 x  3

2

2

 x2  x  2
 x  1
2

 x2  x  2
 x  1 .
2

 7  x  1  x  3  x  3 , suy ra :

x3  2 x  3   x  1 x 2  x  2  x 3  2 x  3   x  1 x  3  x 2  x  1  0

Đáp số : x  1 .

Bài 20. Giải phương trình :

Hướng dẫn :

x5  x 4  4 x 2  8  8 x 2  1  0

Bước 1 : Tìm nghiệm : x  0 . Phương trình đổi dấu có nghiệm lẻ.

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

facebook.com/viet.alexander.7

15


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Bước 2 : Kiểm tra nghiệm bội :

x5  x 4  4 x2  8  8 x2  1
0
x 0
x

lim

x5  x 4  4 x2  8  8 x2  1
0
x 0
x2

lim

x5  x 4  4 x2  8  8 x2  1
0
x 0
x3

lim

x5  x 4  4 x2  8  8 x2  1
0
x 0
x4

lim

x5  x 4  4 x2  8  8 x2  1
1
x 0
x5
Vậy PT có nghiệm bội năm x  0 . (sợ chưa !!!)
lim

Bước 3 : Chú ý rằng :



x5 chứa nghiệm bội năm x  0



x  4x  8  8 x  1 



1  13

3 x 2  3x  4  3 x     0
2
4






x 4  4 x 2  8  8 x 2  1  0 phải chứa nghiệm bội năm x  0
4

2

2



x 1  3
2





x 1 1 
2

3

2

1  15

 x  x4x    0
2
4

Kết luận :
Ta có :
2



x2  1  3



x2  1  1

3



2

x5  x 4  4 x 2  8  8 x 2  1  0

 x5 



x2  1  3











   0







 x5 3x 2  3x  4  x 2  x  4

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình



x2  1  1  0


x x2  1  3

 x 1 
3

x2  1  1

5

Đáp số : x  0 .

x6



3

.



x2  1  0

facebook.com/viet.alexander.7

16


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
E – BÀI ĐỌC THÊM.
PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔNG

 f i 
n

ia

Trên thực tế có rất nhiều phương pháp tính tổng, có thể kể đến như ứng dụng đạo hàm, tích
phân, hàm sinh, số phức, tổ hợp, sai phân từng phần, … Tuy nhiên, trong bài viết này không đi
quá sâu vào phần tính tổng mà chỉ xây dựng một vài phương pháp hay cho các em THPT.
n
Lưu ý :    Cni .
i 
1. Ứng dụng đạo hàm :
Ta luôn có :
n
n
n
 x  k    xi k n i   .
i 0

i 
Vậy thì đạo hàm 2 vế, ta được :
n
n
n 1
n  x  k    ix i 1k n  i  
i 0
i 
Cho x  1 ta được : n 1  k 
Ví dụ 1 : Tính tổng :
Lời giải :

n 1

n
n
  ik n i  
i 0
i 

  1 i  i    1   2  2   3 3   ...   1 n  n 
n

i

i 0

Ta có :  x  1    1
n

n

n i

i 0

Cho x  1 ta được :

  1

Nếu n chẵn thì  1

n

i 0
n i

n
 

 n
 

n
 

n
 

n

x i   . Đạo hàm 2 vế ta được :
i 
n  x  1

n
i   0
i 
i
  1 , suy ra :
n i

n 1

   1
n

i 0

n i

i

 n
 

n
ixi 1  
i 

n

n
n
n n
i n
i n
n i  n 
    2    3    ...   1 n      1 i      1 i    0
1 
2 3 
 n  i 0
 i  i 0
i 
n i
i
Nếu n lẻ thì  1    1 , suy ra :

n
n
n
n n
i n
i  n
n i  n 
    2    3    ...   1 n      1 i      1 i    0
i 0
1 
2 3 
 n  i 0
i 
i 

n
 n
n n
i n
i  n
Kết luận :   1 i        2    3    ...   1 n    0
i 0
i 
1 
 2 3 
 n
2. Ứng dụng tích phân :
Ta luôn có :
BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình
facebook.com/viet.alexander.7

17


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại

x  k

n

Tích phân 2 vế với cận từ a đến b ta được :

a  k 

Ví dụ 2 : Tính tổng :

 b  k 
n 1

n 1

n
n
  xi k n i   .
i 0
i 

n 1



a i 1  b i 1 n  i  n 
k  
i 1
i 0
i 
n

 i  1  i    0   2 1   3  2   4  3   ...  n  1  n 
1 n n

n

   

i 0

Lời giải :

1 n
 

1n
 

1 n

1 n

 

 

n
n
1
1 n
n
n
2 n 1
1
1  n
n
n

Ta có :  x  1   x i      x  1    xi   


 
0
0
n  1 n  1 i 0 i  1  i 
i 0
i 0
i 
i 
Kết luận :
n 1 n 1 n 1 n
1  n  2 n 1  1
            ... 
 
n 1 n
n 1
 0  2 1  3  2  4  3 
3. Ứng dụng số phức :
Bằng việc khai triển số phức, chúng ta có cách tính tổng những bài toán dạng :
n
n

n 
k n
 1 

 hoặc  


k 0
k 0  k  m 
k  m
Ví dụ 3 : Tính tổng :
n
 2 n   2n   2 n   2 n 
k  2n 
n  2n 
 1                ...   1  

k 0
 2k   0   2   4   6 
 2n 
Lời giải :
2n

2n
k  2n 
1  i    i  
2n
 2n 
k 0
2n
2n
k

k 
Ta luôn có : 
 1  i   1  i    1   1 i k   .
2n

k 0
k  2n 
k 
 1  i 2n 
i   





k 0
k 

Lại có :
2n
n
n
n

k
2k
2 k 1 2 k 1  2 n
k  2n 
k  2n 
2 k  2n 
1


1
i


1


1
i

1


1
i

2






 1  


  
  


k 0
k 0
 k  k 0

 2k  k 1
 2k  1 
 2k 
Vậy :
n
 1  i 2 n  1  i  2 n 
k  2n 

 1    Re 

2
k 0


 2k 









Nếu n chẵn thì :
Nếu n lẻ thì :
Kết luận :

1  i 

1  i 

2n

2n



 1  i 
2

 1  i 
2

2n

2n







n
n
n
n
k  2n 
  2 I    1 2  2n    1     1 2  2 n

k 0
 2k 

n
n
n
k  2n 
  2 I    1 2  2n I    1    0
k 0
 2k 

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

facebook.com/viet.alexander.7

18


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại



n
n
1   1
 2n 
n
  1 2  2n 1  1   1
 1     1 2  2n 


2
k 0
 2k 
Ví dụ 4 : Tính tổng :
n
 n  n n n  n n 

                 ...
k  0  3i 
 0   3   6   9   12 
n 
Với    0 nếu m  n .
m
Lời giải :
n

n
n
1  1    
k 0  k 


n
k
n 
3 
1
3  n
 1

Ta luôn có : 1  
i     
i    . Suy ra :
2
2
2
2
k

0



 k 


n
k
n 
3 
1
3  n
 1
1  2  2 i      2  2 i   k 
 k 0 
  

n

n

k



n
n
k
k
n 
1
 1
3  1
3 
3   1
3    n 

2  
i   
i   1   
i   
i  
 2 2   2 2  k  0   2 2   2 2    k 
n

 1
3   1
3 
Lưu ý rằng : Ta có   
i   

i   1 nên :
 2 2   2 2 
3

3

 1
3   1
3 
Nếu k  3t thì   
i   
i  2
 2 2   2 2 
k

k

 1
3   1
3 
Nếu k  3t  1 thì   
i   
i   1
 2 2   2 2 
k

k

 1
3   1

3 
Nếu k  3t  2 thì   
i  
i   1
 2 2   2 2 
k
k
n 
n
 1
  1
  n 
n 
3
3
Suy ra   1    
i   
i      3   hay :
2 2   2 2   k 
k 0 
k  0  3k 
 

k

k

n n n n n 
2n 1  1
3  1 1

3 
  
i   
i
              ... 
3 3 2 2  3 2 2 
 0   3   6   9  12 
Ví dụ 5 : Tính tổng :
n
 n  n n n   n  n 

                 ...
k  0  6i 
 0   6  12   18   24 
n

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

n

facebook.com/viet.alexander.7

19


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
n 
Với    0 nếu m  n .
m

Lời giải :
n

n
k n
1

1


   1  
k 0

k

n
n 
3 
1
 1
Ta luôn có : 1  
i    
 2 2  k  0  2

n
n 
3 
1
 1
1



i



 


 2 2  k  0  2

3  n
i    . Suy ra :
2  k
k

3  n
i  
2  k 
k

k
k
k
k
n 
3
1
 1
  n 

3  3
3 
3
3
k
i   
i      1   
i   
i   
 

2
2
2
2
2
2
2
2

 
 k 0 

 
   k 

 1
3   1
3 
Lưu ý rằng : Ta có   

i   
i   1 nên :
 2 2   2 2 
3

3

1
3  1
3 
k
Nếu k  3t thì  1   
i   
i   3  1
2 2  2 2 
k

k

k

1
3  1
3 
Nếu k  3t  1 thì  1   
i   
i  0
2 2  2 2 
k

k

k

1
3  1
3 
Nếu k  3t  2 thì  1   
i   
i  0
2
2
2
2

 

k
k
n 
n
1
3  1
3    n 
k
k n 
Suy ra    1   
i   
i     3  1   hay :
k 0 

k 0
 3k 
 2 2   2 2    k 

k

k

k

n n n n n 
1 3
3  1 3
3 
i   
i
              ...   
3 2 2  3 2 2 
 0   3   6   9  12 
Lại có, theo bài trước ta có :
n

n n n n n 
2n 1  1
3  1 1
3 





...

  
i   
i
         
3 3 2 2  3 2 2 
 0   3   6   9  12 
n

Kết luận :

n

n

n n n  n  n 
2n 1  1
3  11
3  1 3
3  13
3 




...

  
i   

i   
i   
i
         
6 6 2 2  6 2 2  6 2 2  6 2 2 
 0   6  12  18   24 
n

n

n

4. Ứng dụng sai phân từng phần :
Một ứng dụng mang tên Abel's lemma. Đơn giản là áp dụng công thức sau :
BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

facebook.com/viet.alexander.7

20

n


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại

 f  k  g  k   f  k  g  k 
n

  g  k  1 f  k 

k m
n

n 1

với f  x   f  x  1  f  x 
Có vẻ khó hiểu đúng không ? Thực chất áp dụng nó khá hay :
Ví dụ 6 : Tính tổng :
k m

1.

2.

i
n

i 0
n

i

 f  k   k
1. Áp dụng với 
ta được
g  k   1
Sn   k 2  k 3
n

n 1

k 0

2

 12  22  32  ...  n 2

a

 1a  2a  3a  ...  n a

f  k   2k  1
. Suy ra :

 g  k   k

i 0

2

k m

   k  1 2k  1   n  1  2 k 2  3 k  n  1
n

n

3

n

n  n  1 2n  1
3
3
S n   n  1  2 S n  n  n  1  n  1  S n 
2
6
a
a
a
f  k    k  1  k
 f  k   k
2. Áp dụng với 
ta được 
. Suy ra :
g  k   1
 g  k   k
k 0

S n   k a  k a 1

k 0

k 0





n a 1

a
   k  1 k i  
0
k 0
k 0
k 0 i 0
i 
n a 2
a
a 1
n

1

k  1 k i  




n a2
a
a 1
k 0 i 0
i 
  n  1    k  1 k i    aS n  S n 
a 1
k 0 i 0
i 
Bằng quy nạp, ta chứng minh được :
a k 1

k
a  n  a  k  1  a  1 
S n    1  k  i  


a  1  i 
k 1 i  0

Ví dụ 7 : Tính tổng :
n

n 1

   k  1  k  1  k a   n  1

k 0

n

  1 i
n

i 2

i 0

a

a 1

 12  22  32  42...   1 n 2
n

Có một bạn đã hỏi anh bài này, và khi áp dụng sai phân từng phần, nó sẽ trở lên rất đơn giản :
f  k   2k  1
 f  k   k 2

k 1
Áp dụng với 
ta được 
k
1 . Suy ra :


g
k


1





g k  

2
S n    1 k
n

Tương tự, ta có :

k 0

k

2

 1


k 1

2

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

k2

n 1

0


n

k 0

 1
2

k 2

 2k  1

facebook.com/viet.alexander.7

21


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại


n

Kết luận :

k 0

 1

k 2

2

Sn

Ví dụ 8 : Chứng minh :

 2k  1

 1

4

 1  n  1

n

k

 2k  1

n 1

0


n

k 0

 1

k

2



 1  n  1
n

2

 1  n  1   1 n  n  1


2

n

2

 1

n

2

2

  2n  1   0

2 n 1
k 0


 k

k




Lời giải :
f  k   0
 f k   1


1
1
k 1
Với 

1  2n  2  k   2n  1 . Ta được :

k  2n  1
g  k    1 
g k  



 2n  3
 k 
 k 



 1  2n  2  k   2n  1




 2n  3
k  0  2n  1 
 k 

2 n 1

 1

k

k 1

1 2 n  2

0

k 0


 k 
Ví dụ 9 : Cho n  * và a1 , a2 , a3 ,..., an là các số nguyên dương phân biệt. Chứng minh rằng :
a1 a2 a3
a 1 1 1
1
 2  2  ...  n2     ... 

2
1
2
3
n 1 2 3
n


n

Lời giải : Áp dụng công thức

k m

f  k  g  k   f  k  g  k  k  m   g  k  1 f  k 
n

n 1

k m

2k  1

1

2
 f  k    2
 f k   2
k  k  1
k 

Với : 
. Ta được :
g  k   ak
 g k  a  a  ...  a

2
k 1
   1

n
ak
ak a1 g  k 
a1 n g  k  1 2k  1 g  n  1 3a1 n g  k  1 2k  1










2
2
2
12
k 2 k  2 12 k  2 k 2  k  12
4 k  2 k 2  k  12
k 1 k

k 2 k
 n  1
n 1

n

.Lại có : g  k   a1  a2  ...  ak 1  1  2  3  ...   k  1 

k
n

ak



g  n  1



3a1

4 k 2
n

g  k  1 2k  1

 k  1 k . Ta được :
2

k 2  k  1

 n  1
n  n  1 3 n k  k  1 2k  1
n
3 n 2k  1

 

 
2
4 k  2 2k 2  k  12
2  n  1 4 k  2 2k  k  1
2  n  1
k 1

2

2

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

2

facebook.com/viet.alexander.7

22


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại




n
3 1 n 1
1 
n
3 1 n 1 1 n 1
   
    

2  n  1 4 2 k  2  k k  1  2  n  1 4 2 k  2 k 2 k  2 k  1
n
3 1 n 1 1 1 n 1 1 1
1
        
2  n  1 4 2 k 1 k 2 2 k 1 k 2 4 2  n  1



1
k 1 k
n

Vậy :

a1 a2 a3
a 1 1 1
1
 2  2  ...  n2     ... 
2

1
2
3
n 1 2 3
n
*
Ví dụ 10 : Cho n   , x  0 và an   nx  , tức là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng nx .
Chứng minh rằng :
a1 a2 a3
a
   ...  n  an
1 2 3
n
Lời giải :
1

1

 f k  
f  k    k  k  1
k 
Với 
. Ta được :
g  k   ak
 g  k   a  a  ...  a

1
2
k 1


n
ak
ak a1 g  k 
a1 n g  k  1 g  n  1 a1 n g  k  1






 


1
k k  2 1 k  2 k  k  1
n 1
2 k  2 k  k  1
k 1 k
k 2 k
n 1

n

Ta có :  a   b   a  b  a1  an 1   nx   an . Tương tự ta chứng minh được :
a2  an  2  an ; a3  an  3  an ;...

 g  n  1  a1  a2  a3  ...  an 1  an 

Suy ra :

 n  1 an
2

ak g  n  1 a1 n g  k  1 an a1 n ak  k  1

 

 

n 1
2 k  2 k  k  1 2 2 k  2 2k  k  1
k 1 k
n

n
an a1 1 n ak a1 an 1 n ak
a
    
    k  an
2 2 2 k 1 k
2
2 2 k 1 k
k 1 k
Bài toán được giải quyết.
Bài tập tự luyện :
n
n
1.  i 2    2 n  2 n  n  1
i 0
i 



2.
3.

 
 2  i  1  i   3  2n  3
n

i 0

i
n

i 0

i

4

n

 

n 1



n

n4
2
   2 n  n  1 n  5n  2
i
 



BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

facebook.com/viet.alexander.7

23


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
4.

n
2n  3  n  4


 
2  n  2  n  3
i  0  i  1 i  3   i 
1

n



 n  1  2i
5.   2    
k 0
 2k 
n

k

  1  2i 
n

2

n

n
 n  2  1  i   1  i 
6.    
4
k  0  4k 
n
1 1
k
n
7.   1 k 3    1  2n  1 2n 2  2n  1
8 8
k 0
n

n

8.

k
n

k 0

2





n

n



 1 2 k  2 n 1 n 2  2 n  2  5

k2  k 1
n 1


k!
n!

k 0
n
4n  3n  4  n 8
1
10.  i

 2
2
3
n

1
i 1
i 1 i


j
9.





j 1

1
n  1 n  2k 


 

2n k  0  k  1 
k 0  n 
 
k 
n 1
n
n
2
k
2k
12. [Tự chế]

1



n  n  1 k  0  n 
k 0 k  1
 
k 
a1  a2  a3  ...  an  0

k
13. Cho  k
. Chứng minh :
a

b

k


1,
n




i
i

i 1
 i 1
a12  a22  a32  ...  an2  b12  b22  b32  ...  bn2

11. [Moa Apagodu]

n

b1  b2  b3  ...  bn

k
14. Cho  k
. Chứng minh rằng :
a

b

k

1,

n




i
i

i 1
 i 1
a1  a2  a3  ...  an  b1  b2  b3  ...  bn

0  x1  x2  ...  xn

15. Cho  n 1
với n  2 . Chứng minh rằng :
 1  x  1
k
 k 1


n

k 1

xk   n  1 

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

n

k 1

1
xk

facebook.com/viet.alexander.7

24


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Vậy là kết thúc bài đọc thêm số 4, khá kinh dị ! Sang bài đọc thêm số 5, anh sẽ giới thiệu một
thủ thuật CASIO khá hay theo yêu cầu của một số em, đó là thủ thuật tính nguyên hàm, tích
phân bằng CASIO.
Ví dụ :
13 x3  2 x 2  97
43
1
59
95 x  13




2
 x  1 x  2  x  3 x  1 2 x  1 5  x  2  5 x  3 10 x 2  1
OK nhé !





BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình





facebook.com/viet.alexander.7

25