Tải bản đầy đủ (.pdf) (36 trang)

casio bai tap bai 5 + dap an THỦ THUẬT CASIO GIẢI PTVT NHIỀU căn THỨC cơ bản

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.13 MB, 36 trang )

Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Bùi Thế Việt – nthoangcute

Youtube.com/nthoangcute

THỦ THUẬT CASIO GIẢI PTVT NHIỀU CĂN THỨC CƠ BẢN
(Bùi Thế Việt – Vted.vn)
C – BÀI TẬP
Bài 1. Giải phương trình : 2 x  31  2 x 2  1  25 x  1  5 x  1  0
Bài 2. Giải phương trình : x  13  x 2  1  10 x  1
Bài 3. Giải phương trình :  2 x  31 x  2  2 x x  1  50  0
Bài 4. Giải phương trình : 6 x  1 x  2  10 x  50   9 x  5  x  2
Bài 5. Giải phương trình :  x  8  x  2   x  36  x  2  7 x 2  4  2 x  63
Bài 6. Giải phương trình : x 2   x  2  x  1  x  2   x  1 x  2 x  1
Bài 7. Giải phương trình : 2 x  15  9 x  1  12 1  x  6 1  x 2
Bài 8. Giải phương trình : 15 x  25  3 x  1 x  2  3 3 x  4  x  1  2 9 x  11 x  2
x3  1  6 x  1  x 2  x  3  0
39 x
 21  5 x3  2 x 2  16  5 x  2  0
Bài 10. Giải phương trình :
2

Bài 9. Giải phương trình :

Bài 11. Giải phương trình : 4 x 2  2 x  2  x 2  1  x  1  x  1  0
Bài 12. Giải phương trình :



x  2  x2  8x  3





2 x  1  4 x 2  32 x  17  0

Bài 13. Giải phương trình : 2 x3  6 x 2  5  x 2  3  4 x  1  0
Bài 14. Giải phương trình : x 4  4 x  11   x  1 x  2  4 3  x
Bài 15. Giải phương trình :  x  1 x 2  3  20 3  x  x 3  6 x 2  5 x  43  0
Bài 16. Giải phương trình : x3  3 x 2  67 x  1  16 x  2  x  3  13 3  x  2  x  0
Bài 17. Giải phương trình :  x  2  x  1   x  2  1  x  4 x  x 5  0

x2
 2 x  10   x  1 x  2  x  3 3 x  14
2
Bài 19. Giải phương trình : x  6  x  2  x 4  65 x  110  0
Bài 18. Giải phương trình :

Bài 20. Giải phương trình : x 3  6 x 2  11x  8  x  2  2 x  1  x  2 x  1  0

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

facebook.com/viet.alexander.7

1


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Bùi Thế Việt – nthoangcute


Youtube.com/nthoangcute

D – ĐÁP ÁN
Bài 1. Giải phương trình :
2x  31  2 x 2  1  25 x  1  5 x  1  0

Hướng dẫn
Bước 1 : Tìm nghiệm phương trình : 2x  31  2 x 2  1  25 x  1  5 x  1  0
629
100
5
 Nghiệm gần 1.5 nhất : Solve cho X  1.5 , ta được nghiệm X 2  1.25 
4
10  1.5
 Nghiệm gần
nhất : Solve cho X  5.75 , ta vẫn được nghiệm X1  6.29
2
 5 629 
Suy ra : Phương trình tồn tại 2 nghiệm hữu tỷ :  ;

 4 100 



Nghiệm gần 10 nhất : Solve cho X  10 , ta được nghiệm X1  6.29 

 5 629 
Bước 2 : Tìm nhân tử chứa 2 nghiệm :  ;

 4 100 




x 1 a x 1  b





Nhân tử có dạng :



2 nghiệm này phải thỏa mãn phương trình x  1  a x  1  b  0
 5
5

2
1 a
1  b  0
a


 4

4
3

Ta có hệ phương trình : 
 629  1  a 629  1  b  0

b   7

 100
6
100





Suy ra : Nhân tử của bài toán là : 6 x  1  4 x  1  7
Bước 3 : Chia biểu thức :



2x  31  25 x  1  5 x  1  2 x 2  1
6 x1 4 x1 7



Thương của phép chia có dạng : U x  1  V x  1  T x 2  1  W



Viết biểu thức



Lưu vào A bằng cách ấn Shift + STO + A, ta được : A = 60.2455452


2x  31  25 x  1  5 x  1  2 x 2  1
6 x 1  4 x 1 7

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

, CALC cho X  1000

facebook.com/viet.alexander.7

2


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Bùi Thế Việt – nthoangcute

Youtube.com/nthoangcute

2x  31  25 x  1  5 x  1  2 x 2  1



Đổi dấu trước



Lưu vào B bằng cách ấn Shift + STO + B, ta được : B =  3.03162278

x  1 , ta được


x  1 , ta được

6 x  1  4 x  1  7

2x  31  25 x  1  5 x  1  2 x 2  1



Đổi dấu trước



Lưu vào C bằng cách ấn Shift + STO + C, ta được : C =  2.96837721



Đổi dấu trước



Lưu vào D bằng cách ấn Shift + STO + D, ta được : D =  66.2455453
ABCD
U
1
4 x1
ABCD
V
1
4 x 1
ABCD

T
0
4 x2  1
ABCD
W
 3
4






Suy ra :

x  1 và

6 x 1  4 x 1 7

x  1 , ta được

2x  31  25 x  1  5 x  1  2 x 2  1
6 x 1  4 x 1 7

2x  31  25 x  1  5 x  1  2 x 2  1
6 x  1  4 x  1  7

 x 1  x 1  3

Lời giải

ĐKXĐ : x  1 .
Ta có :

2x  31  2 x 2  1  25 x  1  5 x  1  0



 6 x1  4 x 1 7





x 1  x 1  3  0

6 x  1  4 x  1  7  36  x  1  16x  33  56 x  1


 2x  2 x  1 x  1  9
 x  1  x  1  3
2
 56 x  1  20x  3  3136  x  1   20x  3 


 4 x 2  1   9  2x 2
 2 x 2  1  9  2x







 4x  5  100x  629   0
5
629
85

x x
x
4
100
36
 36x  85  0

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

facebook.com/viet.alexander.7

3


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Bùi Thế Việt – nthoangcute

Youtube.com/nthoangcute

Thử lại thấy 3 nghiệm này thỏa mãn bài toán.
629
85

5
Kết luận : x  hoặc x 
hoặc x 
.
100
36
4
Nhận xét
Có vài vấn đề anh cần nói ở đây :

 5 629 85 
;  ???
1. Q : Tại sao chúng ta không tìm đủ bộ 3 nghiệm  ;
 4 100 36 
A : Như anh đã trình bày trong video bài giảng, chúng ta chỉ cần tìm 2 nghiệm
hữu tỷ là đủ để tìm được nhân tử của bài toán rồi.
2. Q : Có phương pháp nào tìm đủ 3 nghiệm này không ???
A : Có 2 cách để tìm 3 nghiệm này.
629
5
Cách 1 : Sau khi tìm được 2 nghiệm là

, ta có thể tìm nghiệm còn lại
100
4

2x  31  25 x  1  5 x  1  2 x 2  1
bằng cách giải phương trình :
0.
 5x  4 100x  629 

Cách 2 : Lập bảng giá trị (TABLE). Ta cũng có 2 cách để lập bảng.
 Sử dụng Mode TABLE trong máy tính CASIO, sau đó làm các bước sau :
- Vào Mode TABLE.
-



Nhập biểu thức 2x  31  25 x  1  5 x  1  2 x 2  1 . Ấn = .

- Máy hiện BEGIN, nhập 1. Ấn = .
- Máy hiện END, nhập 20. Ấn = .
- Máy hiện STEP, nhập 1. Ấn = .
Kết quả máy hiện 1 bảng dài với 1 cột là giá trị của X từ 1 đến 20, một cột
là giá trị của biểu thức tại X là hằng số đó.
Nhược điểm của phương pháp này là phải nhập lại biểu thức khi sử dụng
tác vụ khác và không được linh hoạt cho lắm. Anh khuyên cách em nên
dùng cách dưới đây :
Dùng CALC để gán giá trị :
-

Trong Mode 1, nhập biểu thức 2x  31  25 x  1  5 x  1  2 x 2  1

-

Ấn CALC, nhập 1, ấn = để tính giá trị biểu thức tại X = 1.
Ấn = tiếp, nhập 2, ấn = để tính giá trị biểu thức tại X = 2.
Tương tự, ấn liên tiếp để tính giá trị tại X = 3, 4, 5, 6, … Việc ấn máy
không tốn thời gian cho lắm.
Ta được bảng giá trị như sau :


BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

facebook.com/viet.alexander.7

4


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Bùi Thế Việt – nthoangcute

Youtube.com/nthoangcute
f  x   2x  31  25 x  1  5 x  1  2 x 2  1

x

f x

x

f x

1
2
3
4
5
6
7


- 2.355339
0.1628314
- 0.2720779
- 0.49547868
- 0.4392846
- 0.1312833
0.393177

8
9
10
11
12
13
14

1.1032644
1.9737379
2.9841289
4.1177502
5.3608635
6.7020361
8.1316528

Điều này chứng tỏ là gì ?
- f  x   0 có ít nhất 3 nghiệm thuộc từng khoảng  1; 2  ,  2; 3  và  6;7 
vì f  x  liên tục và ta có f  1 f  2   0 , f  2  f  3   0 và f  6  f  7   0 .
-

Khi x > 7 thì x càng tăng, f  x  càng tăng nên f  x   0 vô nghiệm trong

khoảng  7;   .

Vậy việc còn lại của ta rất đơn giản, cách tìm 3 nghiệm của bài toán sẽ như sau :
-

Quay lại hoặc nhập lại biểu thức 2x  31  25 x  1  5 x  1  2 x 2  1

-

Ấn Shift + SOLVE, nhập 1.5 , ấn = vào để tìm nghiệm gần

-

Ta được nghiệm X 1 

-

Ấn Shift + SOLVE, nhập 2.5 , ấn = vào để tìm nghiệm gần

-

Ta được nghiệm X 2 

-

Ấn Shift + SOLVE, nhập 6.5 , ấn = vào để tìm nghiệm gần

-

Ta được nghiệm X 3 


3
nhất.
2

5
.
4

5
nhất.
2

85
.
36

13
nhất.
2

629
.
100

 5 85 629 
Kết luận : Phương trình tồn tại ít nhất 3 nghiệm  ; ;
.
 4 36 100 
3. Q : Tìm nhân tử thì cần 2 nghiệm hữu tỷ, vậy ta sẽ có ít nhất 3 cách làm cho bài

toán ?

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

facebook.com/viet.alexander.7

5


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Bùi Thế Việt – nthoangcute

Youtube.com/nthoangcute

A : Chính xác là như vậy. Tương tự như hướng dẫn tìm nhân tử ở trên, ta cũng
 85 629 
 5 85 
sẽ có 2 cách làm nữa tương ứng với các cặp  ;  và  ;
.
 36 100 
 4 36 
-





 5 85 
Cặp  ;  là thuộc nhân tử 4 x  1  2 x  1  5

 4 36 
 85 629 
Cặp  ;
 là thuộc nhân tử 17 x  1  13 x  1  16
 36 100 





Tóm lại, đặt f  x   2x  31  25 x  1  5 x  1  2 x2  1 thì ta được :





 x  1  x  1  3 
Cách 2 : f  x    4 x  1  2 x  1  5  x  1  x  1  5 
1
Cách 3 : f  x    17 x  1  13 x  1  16  x  1  x  1  2 
2
Cách 1 : f  x   6 x  1  4 x  1  7

Bài 2. Giải phương trình :
x  13  x 2  1  10 x  1

Hướng dẫn
Bước 1 : Tìm nghiệm phương trình : x  13  x 2  1  10 x  1  0



Nghiệm gần 10 nhất : Ta được nghiệm X 1  10.4230203  A



Nghiệm gần 1.5 nhất : Ta được nghiệm X 2  1.25 



5
4
Nghiệm gần 1 nhất : Ta vẫn được nghiệm X 3  1.01697969  B


286
AB


5


25
Suy ra : Phương trình tồn tại 3 nghiệm :  ; A; B . Dễ thấy 
4

AB  53 

5
Bước 2 : Tìm nhân tử chứa 2 nghiệm :  A;B



Nhân tử có dạng :



a





A1  B1

x 1 a x 1  b



2
3
A 1  B1
4
b   A 1 a A 1  
3


BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

facebook.com/viet.alexander.7

6



Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Bùi Thế Việt – nthoangcute

Youtube.com/nthoangcute



Suy ra : Nhân tử của bài toán là : 3 x  1  2 x  1  4



x  13  10 x  1  x 2  1

Bước 3 : Chia biểu thức :

3 x1 2 x1 4




Thương của phép chia có dạng : U x  1  V x  1  T x 2  1  W
Gán cho X  1000



Chưa đổi dấu :




Đổi dấu

x  13  10 x  1  x 2  1
3 x 1  2 x 1  4

x  13  10 x  1  x 2  1

x1 :

3 x  1  2 x  1  4
x  13  10 x  1  x 2  1



Đổi dấu

x1 :



Đổi dấu

x  1 và



U




V



T



ABCD
4 x1
ABCD
4 x 1
ABCD

 61.2455452  A

3 x 1  2 x 1  4
x1 :

 2.03162277  B
 1.96837722  C

x  13  10 x  1  x 2  1
3 x  1  2 x  1  4

 65.2455452  D

1
1


0
4 x2  1
ABCD
W
 2
4

Suy ra :

x  13  10 x  1  x 2  1
3 x 1  2 x 1  4

 x 1  x 1  2

Lời giải
ĐKXĐ : x  1 .
Ta có :

x  13  x 2  1  10 x  1








x 1  x 1  2 3 x 1  2 x 1  4  0


 2x  2 x 2  1  4
 x 1  x 1  2


 3 x  1  2 x  1  4 9  x  1  4x  12  16 x  1

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

facebook.com/viet.alexander.7

7


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Bùi Thế Việt – nthoangcute

Youtube.com/nthoangcute

 x 2  1   2  x 2
 x2  1  2  x


16 x  1  5x  3  256  x  1   5x  3 2

 4x  5  0
5
143  48 6

x x

2
4
25
 25x  286x  265  0
Thử lại thấy 3 nghiệm này thỏa mãn bài toán.
Kết luận : x 

143  48 6
143  48 6
5
hoặc x 
hoặc x 
.
25
25
4
Nhận xét

Trong video bài giảng, anh có nói một phương pháp chia căn sử dụng tính chẵn lẻ của
căn, nhưng anh chưa có nhiều ví dụ bởi vì nhiều lý do :
 Nhiều khi máy tính CASIO không hiển thị kết quả phép tính dưới dạng căn thức
được.


Phương pháp này chỉ áp dụng cho biểu thức có thương là a f  x   b g  x   c

với a,b là các hằng số chứ không phải các biểu thức.
 Phương pháp chia căn bằng U,V,T,W đúng với mọi bài toán.
Chúng ta cũng nên thử sử dụng phương pháp này xem.
Ví dụ : Tìm thương

-

x  13  10 x  1  x 2  1
3 x 1  2 x 1  4

Bước 1 : Ta thấy tử là bậc 1, mẫu là bậc 0.5 nên thương phải là bậc 0.5, tức thương có
dạng : a x  1  b x  1  c

x  13  10 x  1  x2  1

-

Bước 2 : Viết biểu thức

-

Bước 3 : Ta CALC cho X là một giá trị bé bé sao cho

3 x1 2 x14

CALC cho X  3 . Máy hiện :
-

Bước 4 : Khi X  3 thì

x  1 chẵn và

x  1 lẻ. Ta

2.


x  1  2 suy ra hệ số của

x  1 là 1 . Tức b  1 .

x  13  10 x  1  x  1
2

-

Bước 5 : Sửa biểu thức thành

-

Bước 6 : Ta CALC cho X là một giá trị bé bé sao cho

3 x 1  2 x 1  4

 x 1

x  1 lẻ. Ta CALC cho X  2 .

Máy hiện : 2  3 .
-

Bước 7 : Khi X  2 thì

x  1  3 suy ra hệ số của

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình


x  1 là 1 . Tức b  1 .

facebook.com/viet.alexander.7

8


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Bùi Thế Việt – nthoangcute

Youtube.com/nthoangcute

x  13  10 x  1  x 2  1

 x 1  x 1

-

Bước 8 : Sửa biểu thức thành

-

Bước 9 : CALC cho X  1000 , ta thấy máy hiện : 2 . Thử lại thấy thỏa mãn.

Kết luận :

x  13  10 x  1  x 2  1
3 x 1  2 x 1  4


3 x 1  2 x 1  4

 x 1  x 1  2

Một bài tập nhỏ cho các em : Tìm thương

2x  31  25 x  1  5 x  1  2 x 2  1
x 1  x 1  3

Đáp án xem tại Bài 1.
Em nào quan tâm có thể tham khảo tại : youtube.com/nthoangcute/
Một thắc mắc cần giải quyết nữa là việc tìm nghiệm gần 10 nhất, 1.5 nhất và 1 nhất.
Chi tiết sự ra đời của nó như sau :
- Anh tìm nghiệm gần 10 nhất, gần 1.5 nhất và gần 5.75 nhất chỉ ra 2 nghiệm
5
- Anh tạo TABLE bằng CALC, thấy f  1  0,f  2   0 mà lại có nghiệm .
4
- Ta có một bổ đề như sau :
Xét hàm số f  x  liên tục trên a, b  có f  a  f  b   0 mà f  c   0 với c   a,b  thì
f  x   0 có nghiệm kép x  c hoặc có thêm ít nhất 1 nghiệm nữa hoặc cả hai.

-

Sau đó, anh giải thử tìm nghiệm gần 1 nhất và nó ra đáp án.

Bài 4. Giải phương trình :

6 x  1  x  2  10x  50   9x  5  x  2


Hướng dẫn
Bước 1 : Tìm nghiệm phương trình : 6 x  1  x  2  10x  50   9x  5  x  2  0


Solve với X  10  X 1  13.1665631  A



Solve với X  2.5  X 2  2.43343685  B



Solve với X  6.25  X 2  2.43343685


78
A  B  5 
Suy ra : Phương trình tồn tại 2 nghiệm : A; B . Dễ thấy 
AB  801 

25

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

facebook.com/viet.alexander.7

9


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán

Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Bùi Thế Việt – nthoangcute

Youtube.com/nthoangcute

Bước 2 : Tìm nhân tử chứa 2 nghiệm :  A;B


Nhân tử có dạng :



a





x2 a x2 b

A2  B2



2
3
A2  B2
5
b   A 2 a A2  
3





Suy ra : Nhân tử của bài toán là : 3 x  2  2 x  2  5



6 x  1  x  2  10x  50   9x  5  x  2

Bước 3 : Chia biểu thức :

3 x2 2 x2 5




Thương của phép chia có dạng : U x  2  V x  2  T x 2  4  W
Gán cho X  1000



Chưa đổi dấu :



Đổi dấu

x2 :




Đổi dấu

x2 :



Đổi dấu

x  2 và



U



V



T



6 x  1 x  2  10x  50   9x  5  x  2

ABCD
4 x2

ABCD
4 x2
ABCD

3 x2 2 x2 5

 3151.94969  A

6 x  1 x  2  10x  50   9x  5  x  2
3 x  2  2 x  2  5
6 x  1 x  2  10x  50   9x  5  x  2
3 x2 2 x2 5

x2 :

 2848.03831  B

 3163.94969  C

6 x  1 x  2  10x  50   9x  5  x  2
3 x  2  2 x  2  5

D

0
 5

 3
4 x2  4
ABCD

W
6
4

Suy ra :

6 x  1 x  2  10x  50   9x  5  x  2
3 x2 2 x2 5

 5 x  2  3 x 2  4  6

Bước 4 : Tìm nghiệm phương trình : 5 x  2  3 x 2  4  6  0
 Ta được nghiệm duy nhất : A  2.28642165

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

facebook.com/viet.alexander.7

10


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Bùi Thế Việt – nthoangcute

Youtube.com/nthoangcute

Bước 5 : Đổi dấu trước căn để tìm nghiệm :



Đổi dấu
nghiệm.

x  2 ta được : 5 x  2  3 x 2  4  6  0 . Phương trình này vô



Đổi dấu
nghiệm.

x  2 ta được : 5 x  2  3 x 2  4  6  0 . Phương trình này vô



Đổi dấu 2 căn ta được : 5 x  2  3 x 2  4  6  0 . Phương trình này có nghiệm
duy nhất B  5.49135612 .

70
A  B  9
Suy ra : PT đổi dấu trước 2 căn có nghiệm B  5.49135612 và 
.
113
AB 

9
Bước 6 : Tìm nhân tử chứa nghiệm A và khi đổi dấu 2 căn chứa nghiệm B :



x2 a x2 b




Nhân tử có dạng :



a



b   A  2  a A  2  1

A2  B2
A2  B2

 2

Suy ra : Nhân tử của bài toán là :
Bước 7 : Chia biểu thức :


Tương tự, ta được :

Suy ra :






x  2  2 x  2 1



5 x  2  3 x2  4  6
x2 2 x2 1
5 x  2  3 x2  4  6
x  2  2 x  2 1

 2 x  2  x  2  2

6 x  1 x  2  10x  50   9x  5  x  2





  3 x  2  2 x  2  5 2 x  2  x  2  2



x  2  2 x  2 1



Lời giải
ĐKXĐ : x  2 .
Ta có :

6 x  1 x  2  10x  50   9x  5  x  2  0




 3 x2 2 x2 5







x  2  2 x  2 1 2 x  2  x  2  2  0

3 x  2  2 x  2  5

( vì 2 x  2  x  2  2  0x  2 )
 x  2  2 x  2  1

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

facebook.com/viet.alexander.7

11


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Bùi Thế Việt – nthoangcute

Youtube.com/nthoangcute






2

9
x

2

2
x

2

5


 20 x  2  5x  1




2
 4 x  2  9  3x
x  2  2 x  2  1

 400  x  2    5x  12

 25x 2  390x  801  0


 2
16  x  2    9  3x 2
9x  70x  113  0




x

39  12 5
35  4 13
x
5
9

Thử lại thấy chỉ có 3 nghiệm
Kết luận : x 



39  12 5 39  12 5 35  4 13
;
;
thỏa mãn bài toán.
5
5
9


39  12 5
39  12 5
35  4 13
hoặc x 
hoặc x 
.
9
5
5
Nhận xét

Cách giải trên có vẻ dài, nhưng sẽ ngắn hơn nếu các em biết trước được 3 nghiệm của

35  4 13
:
9
“… Xét hàm số f  x  liên tục trên a, b  có f  a  f  b   0 mà f  c   0 với c   a,b  thì
f  x   0 có nghiệm kép x  c hoặc có thêm ít nhất 1 nghiệm nữa hoặc cả hai …”
phương trình. Vẫn là bổ đề trước, chúng ta sẽ kiếm thêm nghiệm x 

-

Ta có f  2   0,f  3   0 (dựa vào TABLE) mà nó lại có nghiệm X 2  2.43343685 nên

-

rất có thể nó có thêm một nghiệm nữa thuộc khoảng này.
Thử SOLVE với X = 2 ta được nghiệm X 3  2.28642165 . Vậy ta chỉ việc đổi dấu là có
thể tìm được nhân tử


-



x  2  2 x  2 1



Bước tiếp theo đơn giản là chia biểu thức :



6 x  1 x  2  10x  50   9x  5  x  2

3 x2 2 x2 5



x  2  2 x  2 1



2 x2  x2 2

Còn một điều nữa không biết các em có để ý không, nó nằm ở đây :
2

 3 x  2  2 x  2  5 9  x  2   2 x  2  5
 20 x  2  5x  1





2
 x  2  2 x  2  1
 4 x  2  9  3x
x  2  2 x  2  1




BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình







facebook.com/viet.alexander.7

12


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Bùi Thế Việt – nthoangcute

Youtube.com/nthoangcute


Mặc dù rõ là 2 vế không âm, chúng ta có thể dùng dấu  để bình phương cho chính
xác. Tuy nhiên, anh chỉ dùng dấu  vì :
- Anh biết là rồi cũng sẽ phải bình phương lần nữa nên anh dùng dấu  cho chắc ăn.
- Khi bình phương 2 vế không âm, chúng ta nên chứng minh nó không âm. Việc này
cần thiết vì người chấm thi có thể bắt bẻ.
Hy vọng qua cách làm những bài toán trên, các em có thể nhớ lại những gì anh đã dạy
trong khóa học.
Các ví dụ sau anh sẽ làm vắn tắt hơn, ngắn gọn hơn. Mục tiêu là để các em có thể thực
hành và làm theo các bước anh định hướng sẵn. Tất nhiên là sẽ có nhiều cách làm cho
các bài toán nhưng các em thử làm bằng CASIO nhé.
Bài 5. Giải phương trình :

 x  8

x  2   x  36  x  2  7 x 2  4  2x  63

Hướng dẫn
Bước 1 : Tìm nghiệm :  x  8  x  2   x  36  x  2  7 x 2  4  2x  63  0


x1  4.25

Ta được 3 nghiệm là : A  2.2232324
 B  2.54321939


 17

Phương trình tồn tại 3 nghiệm :  ; A; B . Dễ thấy

4

Bước 2 : Tìm nghiệm đổi dấu :

A  B 

AB 



  x  8  x  2   x  36  x  2  7 x 2  4  2x  63  0 có nghiệm C  18.5678917



 x  8  x  2   x  36  x  2  7 x  4  2x  63  0 có nghiệm D  14.4434342
  x  8  x  2   x  36  x  2  7 x  4  2x  63  0 vô nghiệm



2

2


50
A  D  3 
Dễ thấy 
AD  289 

9

Bước 3 : Tìm nhân tử :



2 x  2 
 x2 2


190
 B  C  9 
và 
 BC  425 

9


x  2  5  chứa nghiệm B và đổi dấu

x  2  3 chứa nghiệm A và đổi dấu

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

x  2 chứa nghiệm D
x  2 chứa nghiệm C

facebook.com/viet.alexander.7

13



Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Bùi Thế Việt – nthoangcute

Youtube.com/nthoangcute

Bước 4 : Chia biểu thức :

x  8



x  2   x  36  x  2  7 x 2  4  2x  63

2 x2  x2 3



x2 2 x2 5



  x  2  x  2 1

Lời giải
Ta có :

 x  8




x  2   x  36  x  2  7 x 2  4  2x  63  0

 2 x2  x2 3



x2 2 x2 5





x2  x2 1  0

Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc
Kết luận : x 

95  20 13
25  4 21
17
hoặc x 
hoặc x 
.
4
9
3

Bài 6. Giải phương trình :


x2   x  2  x  1  x  2   x  1 

 x  2  x  1 

Hướng dẫn
Bước 1 : Tìm nghiệm : x 2   x  2  x  1  x  2   x  1 


 x  2  x  1   0

Ta được 1 nghiệm là : x1  2

Bước 2 : Tìm nghiệm đổi dấu :


x 2   x  2  x  1  x  2   x  1

vô nghiệm



x2   x  2  x  1 

có nghiệm x 2  2



x2   x  2  x  1 

 x  2  x  1  0

x  2   x  1  x  2  x  1  0
x  2   x  1  x  2  x  1  0

có nghiệm A  1.04777718

Bước 3 : Tìm nhân tử :






x  1  1 chứa nghiệm x1  2 và đổi dấu

x  2 chứa nghiệm x 2  2

Bước 4 : Chia biểu thức :

x 2   x  2  x  1  x  2   x  1



x 1 1

  x  1 x  1  x x  2 



 x  2  x  1


 x  2  x  1  1

Bước 5 : Để ý rằng :

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

facebook.com/viet.alexander.7

14


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Bùi Thế Việt – nthoangcute

Youtube.com/nthoangcute

 x  1 x  1  x x  2   x  2  x  1  1
  x  1 x  1  x x  1  3  x  1  1  1 

3



x 1 1 0

Lời giải
Ta có :

x 2   x  2  x  1  x  2   x  1





   x  1

x 1 1

x 1  x

 x  2  x  1
x  2   x  2  x  1  1  0

 x 1 1

Do :

 x  1 x  1  x x  2   x  2  x  1  1
  x  1 x  1  x x  1  3  x  1  1  1 

3



x 1 1 0

Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc
Kết luận : x  2 .
Bài 7. Giải phương trình :
2x  15  9 x  1  12 1  x  6 1  x 2


Hướng dẫn
Bước 1 : Tìm nghiệm : 2x  15  9 x  1  12 1  x  6 1  x 2  0

 x1  0
A  0.992156741

 Ta được 4 nghiệm là : 
24 ; 
x2   25  B  0.992156741

Bước 2 : Tìm nhân tử :
24
x  1  2 1  x  3 chứa nghiệm x1  0 , x 2  

25



2





x  1  2 1  x  3 chứa nghiệm A  0.992156741 , B  0.992156741

Bước 3 : Chia biểu thức :




2x  15  9 x  1  12 1  x  6 1  x 2



x 1  2 1 x  3 2 x 1  2 1 x  3

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình



 1

facebook.com/viet.alexander.7

15


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Bùi Thế Việt – nthoangcute

Youtube.com/nthoangcute
Lời giải

Ta có :

2x  15  9 x  1  12 1  x  6 1  x 2









x 1  2 1 x  3 2 x 1  2 1 x  3  0

Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc
Kết luận : x  0 hoặc x  

3 7
3 7
24
hoặc x  
hoặc x 
.
25
8
8

Bài 8. Giải phương trình :

15x  25  3 x  1 x  2  3 3x  4  x  1  2 9x  11  x  2

Hướng dẫn
Bước 1 : Tìm nghiệm : 15x  25  3 x  1 x  2  3 3x  4  x  1  2 9x  11  x  2  0

x1  1


 Ta được 2 nghiệm là : 
7
x 2  9

Bước 2 : Tìm nhân tử :






x  1  2 x  2  2 chứa nghiệm x1  1 , x 2 

7
9

Bước 3 : Chia biểu thức :

15x  25  3 x  1 x  2  3 3x  4  x  1  2 9x  11 x  2
x1 2 x2 2

 23 x  1  19 x  2  12 x  1 x  2  15x  14

Bước 4 : Để ý rằng :
23 x  1  19 x  2  12 x  1 x  2  15x  14  0x  1



Lời giải
Ta có :


15x  25  3 x  1 x  2  3 3x  4  x  1  2 9x  11 x  2








x  1  2 x  2  2 23 x  1  19 x  2  12 x  1 x  2  15x  14  0

Lại có :
23 x  1  19 x  2  12 x  1 x  2  15x  14  19  15x  14  0x  1

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

facebook.com/viet.alexander.7

16


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Bùi Thế Việt – nthoangcute

Youtube.com/nthoangcute

Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc.
7

Kết luận : x  1 hoặc x  .
9
Bài 9. Giải phương trình :
x3  1  6 x  1  x2  x  3  0

Hướng dẫn
Bước 1 : Tìm nghiệm :

x3  1  6 x  1  x2  x  3  0

 Ta được 1 nghiệm là : A  2  2 2
Bước 2 : Tìm nhân tử :







x  1  x 2  x  1  2 chứa nghiệm A  2  2 2 .

Bước 3 : Chia biểu thức :

x3  1  6 x  1  x2  x  3
x  1  x2  x  1  2



Bước 4 : Để ý rằng :




2x 2  4   2x  4  x  1  x 2  2x  4

x2  x  1  4 x3  1



x2  x  1  4 x3  1  0

x2



2x 2  4   2x  4  x  1  2 x  4  3 x  1







x1 1



2

2



3 3
x43 x1  x1     0
2 4




Lời giải
Ta có : Nếu x  0 thì :

x3  1  6 x  1  x2  x  3  0
1
 2 x  1  x 2  x  1  2 2x 2  4   2x  4  x  1  x 2  2x  4
x





Lại có :





2x 2  4   2x  4  x  1  x 2  2x  4
2

3 3

 2  x  1    

2 4







 
2

x2  x  1  4 x3  1

x  1  1  x 2  2x  4

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình





x 2  x  1  4 x 3  1  0x  1

facebook.com/viet.alexander.7

17



Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Bùi Thế Việt – nthoangcute

Youtube.com/nthoangcute

Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc.
Kết luận : x  2  2 2 .
Nhận xét
Chắc hẳn sẽ có nhiều em thắc mắc tại sao :

x3  1  6 x  1  x2  x  3
x  1  x2  x  1  2





2x 2  4   2x  4  x  1  x 2  2x  4



x2  x  1

x2

Khi các em thực hiện phép chia, ta thấy thương là :
4  2x
 U  0.001996 
x2

x 2  2x  4
 V  1.002004 
x2
4
 T 2
x
2x 2  4
 W  2.000004 
x2
Các em nên linh hoạt trong chuyện này.
Ngoài ra, đề bài này anh “tự bịa” từ phương pháp đánh giá chứ không phải phân tích
thành nhân tử, do đó các em có thể tham khảo cách sau :





Cách 2 : Ta có : 8 x  1  x 2  4  x  4  2 x  1 x  2 x  1



 x  1  x 2  x  1  2
Nếu x  2  2 2  
 x 3  1  x  1  2 x  1 . Khi đó :
2
8 x  1  x  4
x3  1  6 x  1  x2  x  3  8 x  1  x2  4  0
2

 x1  x x1  2

Nếu 1  x  2  2 2  
 x 3  1  x  1  2 x  1 . Khi đó :
2

8 x  1  x  4

x3  1  6 x  1  x2  x  3  8 x  1  x2  4  0

Chứng minh dành cho bạn đọc.
Hoặc nếu em thêm các bài sau, chúng ta có cách sau :





Cách 3 : Ta có : 6 x  1  x 2  x  4  x  3  2 x  1 x  2 x  1



3

 x  1  2x  1  0
Nếu x  2  2 2  
. Khi đó :
2
6
x

1


x

x

4



x3  1  6 x  1  x2  x  3  6 x  1  x 2  x  4  0

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

facebook.com/viet.alexander.7

18


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Bùi Thế Việt – nthoangcute

Youtube.com/nthoangcute

3

 x  1  2x  1  0
Nếu x  2  2 2  
. Khi đó :
2
6

x

1

x

x

4



x3  1  6 x  1  x2  x  3  6 x  1  x 2  x  4  0

Cách 4 : Ta có :


3 
 2x  1   2 

x1
x1 

3





2


x 1 1  x 1  3  0

Xét hàm số f  x   x 3  1  6 x  1  x 2  x  3 .
Ta có : f '  x  

3x 2
2 x3  1



3
x1

 2x  1  0 .

Từ đó, ta chứng minh được x  2  2 2 là nghiệm duy nhất của bài toán.
Bài 10. Giải phương trình :
39x
 21  5 x 3  2x 2  16  5 x  2  0
2
Hướng dẫn
Bước 1 : Tìm nghiệm :


39x
 21  5 x 3  2x 2  16  5 x  2  0
2

Ta được 1 nghiệm là : A 


49  5 105
8

Bước 2 : Tìm nhân tử :


3



x  2  2 x 2  4x  8  10 chứa nghiệm A 

49  5 105
.
8

39x
 21  5 x 3  2x 2  16  5 x  2
Bước 3 : Chia biểu thức : 2
3 x  2  2 x 2  4x  8  10


Biểu thức khá là lẻ nên ta không nên làm theo kiểu này mà làm tương tự như bài
trên
Bước 4 : Tìm nhân tử :


 3


49  5 105
7
2
.
 x  2x  16  2 x  3  chứa nghiệm A 
8






49  5 105
2
6
.
 x  2  5 x  5  chứa nghiệm A 
8



BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

facebook.com/viet.alexander.7

19


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại

Bùi Thế Việt – nthoangcute

Youtube.com/nthoangcute

Bước 5 : Để ý rằng :


Nếu x 

49  5 105
thì
8

x 3  2x 2  16 

7
x  3  0 và
2

x2 

2
6
x 0
5
5



Nếu x 


49  5 105
thì
8

x 3  2x 2  16 

7
x  3  0 và
2

x2 

2
6
x 0
5
5



39x
35
 21  5 x 3  2x 2  16  5 x  2  5 x 3  2x 2  16  x  15  5 x  2  2x  6
2
2

Lời giải
Ta có :


49  5 105
thì :
8

Nếu x 





65  5 105
49  5 105 
 2x  6  2  x 
  0

8
8



7
3  2 x  0
7x  6
7
x 3  2x 2  16  3  x  


2
2
 3

2

7 
2
 x  2  4x  49x  14  0
x

2x

16

3

x


2 



5 x  2  2x  6  5





(luôn đúng)








39x


7
 21  5 x 3  2x 2  16  5 x  2  5  x 3  2x 2  16  x  3   5 x  2  2x  6  0
2
2



Nếu x 




49  5 105
thì :
8


65  5 105
49  5 105 
 2x  6  2  x 
  0

8

8



7
3  2 x  0
7

2
x 3  2x 2  16  3  x  
2   x  2  4x  49x  14  0
2
x 3  2x 2  16   3  7 x 


2 


5 x  2  2x  6  5





(luôn đúng)






39x


7
 21  5 x 3  2x 2  16  5 x  2  5  x 3  2x 2  16  x  3   5 x  2  2x  6  0
2
2


Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc.


BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

facebook.com/viet.alexander.7

20


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Bùi Thế Việt – nthoangcute
Kết luận : x 

Youtube.com/nthoangcute

49  5 105
.
8


Bài 11. Giải phương trình :
4x 2  2x  2  x 2  1  x  1  x  1  0

Hướng dẫn
Bước 1 : Tìm nghiệm : 4x 2  2x  2  x 2  1  x  1  x  1  0




5
4
Đổi dấu trước căn cho các nghiệm lẻ không thỏa mãn.
Kiểm tra nghiệm bội :

Ta được 1 nghiệm là : x1 

4x 2  2x  2  x 2  1  x  1  x  1
7
5
5
x
x
4
4
Vậy ta không tìm thấy nhân tử, cũng không thấy có nghiệm bội. Chúng ta cần tư duy.
Bước 2 : Để ý rằng :
lim




4x 2  2x  2  x 2  1  x  1  x  1  4x 2  2x  3 



5
thì 4x 2  2x  2  x 2  1  x  1  x  1  0
4
5
 Nếu x  thì 4x 2  2x  2  x 2  1  x  1  x  1  0
4
Bước 3 : Đưa về một căn :
5
 Nếu x  thì x  1  3 x  1
4
5
 Nếu x  thì x  1  3 x  1
4
Bước 4 : Để ý rằng :



Nếu x 



4x 2  2x  3 










x 1 1





x 1 1

x  1  1 3 x  1  1  x  1 2 x  1  1 2x  x  1





Lời giải

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

facebook.com/viet.alexander.7

21


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại

Bùi Thế Việt – nthoangcute

Youtube.com/nthoangcute

Ta có : 4x 2  2x  2  x 2  1  x  1  x  1  4x 2  2x  3 
x  1  1 do x  1 . Vậy :
5
Nếu x  thì x  1  3 x  1 ta có :
4



x 1 1



x 1 1



Lại có :

4x 2  2x  3 



x 1 1

 4x 2  2x  3 








x 1 1





x 1 1 3 x 1 1







 x  1 2 x  1  1 2x  x  1  0
Nếu x 

5
thì
4

x  1  3 x  1 ta có :

4x 2  2x  3 




x 1 1

 4x 2  2x  3 







x 1 1





x 1 1 3 x 1 1







 x  1 2 x  1  1 2x  x  1  0
Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc.
5

Kết luận : x  .
4
Nhận xét
Ta nói 4x 2  2x  2  x 2  1  x  1  x  1 không thể phân tích nhân tử được thì
không đúng.
Thực ra thì trong trường hợp PTVT có một nghiệm hữu tỷ, ngoài việc đổi dấu để tìm
nghiệm hữu tỷ nữa hay kiểm tra nghiệm bội thì vẫn còn vài dạng của việc phân tích
thành nhân tử. Điển hình nhất là nhân tử khuyết hệ số bậc cao nhất.
4
Ví dụ nhé : x 2  1  x  3 có nghiệm duy nhất x  . Việc đổi dấu trước căn chính là
3
việc bình phương để khử căn, tuy nhiên đổi dấu trước căn nhân tử này lại không cho
5
nghiệm. Lý do là x 2  1  x  3  0  x 2  1  3  x  x 2  1  x 2  6x  9  x 
4
Nó bị khuyết hệ số bậc 2 (do triệt tiêu). Vì vậy, giả sử như bài toán :







x 3  4x 2  8x  5  x 2  x  1



x2  1  0

Bài toán này khi đổi dấu trước căn thì không cho nghiệm hữu tỷ nhưng vẫn phân tích

thành nhân tử được :

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

facebook.com/viet.alexander.7

22


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Bùi Thế Việt – nthoangcute

Youtube.com/nthoangcute



x 3  4x 2  8x  5  x 2  x  1



x2  1 



x2  1  x  3



x 2  1  x 2  2x  2




Điều đặc biệt là những bài toán khuyết hệ số bậc cao nhất sẽ có luôn nhân tử ngược lại,

1
miễn là khuyết được hệ số bậc cao nhất. Ví dụ  x 2  1  x   , ta có :
3




x3  4x 2  8x  5  x 2  x  1







x2  1



  3 x 2  1  3x  1 x 3  x 2  2x  1  x 2  x  2



x2  1




Hơi lan man rồi. Trở lại vấn đề chính là việc 4x 2  2x  2  x 2  1  x  1  x  1  0
phân tích như nào ? Anh sẽ nói rõ trong bài học sau.
Đáp số :


f x 





f x 

1
2



x  1  x  1  1 2x 2   2x  1 x 2  1  x x  1   3x  2  x  1







x  1  x  1  2 2x 2  2x  2   3x  1 x  1   x  1 x  1  2 x  1 x 2  1


Bài 12. Giải phương trình :



x  2  x 2  8x  3



2x  1  4x 2  32x  17  0

Hướng dẫn
Bước 1 : Tìm nghiệm :



x  2  x 2  8x  3



2x  1  4x 2  32x  17  0

 Ta được 1 nghiệm là : A  4  2 5
Bước 2 : Tìm nhân tử :






x  2  2x  1  1 chứa nghiệm A  4  2 5


Bước 3 : Chia biểu thức :





x  2  x 2  8x  3



2x  1  4x 2  32x  17

x  2  2x  1  1
   8x  2  x  2   7x  6  2x  1   x  8  x  2 2x  1  2x 2  9x  7

Bước 4 : Ta thấy rằng :


x  8

 63x 47 
x  2 2x  1  

 x2 
16 
 8

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình




x  2 8 2x  1  1
16



2x  1  4

 0
2

facebook.com/viet.alexander.7

23




Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Bùi Thế Việt – nthoangcute

 2x  15 

x2

Youtube.com/nthoangcute
2


227 35x 5x



96
32
48



10x  73  48 x  2







 2x  1  7x  6  



 91x  439  2x  1  672x  576  0x   21
  8x  2  x  2   7x  6  2x  1   x  8  x  2



16








96

x2 3



2

0

91x2 323x 445 6  2x  1  91x  439  2x  1  672x  576



48
32
96
96



2x  1  2x 2  9x  7 là tổng của

ba biểu thức đầu tiên của bước 4.
1

Bước 5 : Chứng minh  91x  439  2x  1  672x  576  0x   :
2
 Đặt t  2x  1  0 ta được :

 91x  439 



2x  1  672x  576 

91t 3
787t
 336t 2 
 912  f  t 
2
2

273t 2
787
672  236733
f 't 
 672t 
 f 't  0  x 
2
2
273
 672  236733 
f t  f 
  0


273


Lời giải

Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc.
Kết luận : x  4  2 5 .
Nhận xét
Khoai quá !!! CASIO giúp anh tìm được các biểu thức trên, tức giúp anh tư duy được
các bước cần làm để giải quyết bài toán này. Giúp tìm biểu thức là một chuyện, nhưng
chứng minh lại là một chuyện khác. Nó giống như việc tìm biểu thức ở Bài 10 đó !
Bài 13. Giải phương trình :
2x 3  6x 2  5  x 2  3  4 x  1  0

Hướng dẫn
Bước 1 : Tìm nghiệm : 2x 3  6x 2  5  x 2  3  4 x  1  0

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

facebook.com/viet.alexander.7

24


Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Bùi Thế Việt – nthoangcute

Youtube.com/nthoangcute




Ta được 1 nghiệm là : x1  2




Đổi dấu được nghiệm lẻ
Kiểm tra nghiệm bội :

lim
x2

lim

2x 3  6x 2  5  x 2  3  4 x  1
0
x2

2x 3  6x 2  5  x 2  3  4 x  1

x  2

x2

2

7

Vậy phương trình có nghiệm bội kép x1  2

Bước 2 : Tìm nhân tử :






x 2  3  4 x  1  3 chứa nghiệm bội kép x1  2

Bước 3 : Chia biểu thức :


2x 3  6x 2  5  x 2  3  4 x  1
x2  3  4 x  1  3

 U, V, T, W của chúng ta rất lẻ
Bước 4 : Tìm nhân tử từng căn thức :







x 2  3  2x  3 chứa nghiệm bội kép x1  2

2




x  1  x chứa nghiệm bội kép x1  2

Bước 5 : Để ý rằng :
 Đề bài có nghiệm kép nên nghĩ ngay tới BĐT



Thử bằng CALC ta được : 2x 3  6x 2  5  x 2  3  4 x  1  0
x 2  3  2x  3  0 với mọi x  3



2 x  1  x  0 với mọi x  3



Ta sẽ làm mất căn



2x 3  6x 2  5   2x  3   4 x  1  2 x 2  x  1  2  x  1 x  1

x 2  3 vì nó cùng dấu với bài toán








2

x 1 1  0

Lời giải
ĐKXĐ : x  3 .





 x 2  x  1  2  x  1 x  1  x 2  1  x  2  x  1  x  1  0

2
Do x  3 nên : 
3  x  2 
2
 x  3  2x  3 
0

x 2  3  2x  3
Lại có :

BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình

facebook.com/viet.alexander.7

25



×