CASIO chuong 1 thu thuat CASIO co ban bui the viet

Khóa học : Ứng dụng Thủ Thuật CASIO 2017
GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia

CHƯƠNG 1 : THỦ THUẬT CASIO CƠ BẢN
Có lẽ trong mỗi chúng ta, ai cũng đã từng được sở hữu một chiếc máy tính cầm tay nhỏ
gọn nhưng mang trong mình khả năng tính toán vượt trội. Là một thiết bị được phép mang
vào phòng thi trong kỳ thi THPT Quốc Gia nên việc sử dụng triệt để các tính năng mà máy
tính cầm tay mang lại sẽ giúp ích được cho chúng ta rất nhiều.
CASIO hay những máy tính cầm tay khác không chỉ đơn thuần chỉ biết thực hiện phép
tính, tìm nghiệm phương trình, tính tích phân, nguyên hàm, … mà với những thủ thuật
CASIO cơ bản dưới đây, chúng ta có thể sử dụng nó để rút gọn biểu thức, chia biểu thức, phân
tích nhân tử một cách nhanh gọn và chính xác.

BÀI 1.1 : THỦ THUẬT RÚT GỌN BIỂU THỨC
A – GIỚI THIỆU
Trong quá trình làm bài toán, đôi khi chúng ta phải rút gọn một biểu thức khá
là lớn và cồng kềnh. Tuy nhiên, với CASIO, chúng ta sẽ không mất nhiều thời gian để
nháp mà vẫn có được kết quả chính xác. Ví dụ :

x

3

 
2

 x 2  8x  3  x 2  x  2

  x  7   17  x
2

6

 x 5  20x 4  5x 3  75x 2  16x  2

B – Ý TƯỞNG
Thông thường biểu thức một ẩn sau khi rút gọn sẽ có dạng sau :
f  x   a n x n  a n 1x n 1  a n  2 x n  2  ...  a 1x  a 0
Với a n ,a n 1 ,a n 2 ,...,a 1,a 0 là hệ số nguyên không quá lớn. Vậy thì khi đó :
f  1000   a n 1000 n  a n 1 1000 n 1  a n  2 1000 n  2  ...

Do 1000n

1000n 1

1000n  2

... nên ta được f  1000   a n 1000 n  a n 

Vậy ta có thể tìm hệ số của xn bằng cách lấy a n 

f  1000 

1000 n
Để tìm hệ số của xn 1 , ta sẽ làm tương tự với biểu thức :
f  x   a n x n  a n 1x n 1  a n  2 x n  2  ...  a1x  a 0

f  1000 
1000 n

.

 f  1000   a n 1000 n  a n 1 1000 n 1  a n  2 1000 n  2  ...  a n 1 1000 n 1

Khi đó a n 1 

f  1000   a n 1000 n
a n 1

là hệ số của xn 1 .

Dần dần, ta có thể tìm hệ số của xn  2 ,xn  3 ,... và dần dần, ta tìm được cả đến hệ số tự
do.

BÙI THẾ VIỆT

Trang 1


Khóa học : Ứng dụng Thủ Thuật CASIO 2017
GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia
Đó là ý tưởng của thuật toán RÚT GỌN BIỂU THỨC bằng CASIO. Để bạn đọc hình
dung rõ hơn, chúng ta thử sử dụng nó để rút gọn biểu thức sau :





f  x   x 2  2x  1   x  1  x 2  16x  7
2

3

Khi đó f  x   a 4 x 4  a 3 x 3  a 2 x 2  a1x  a 0 . Xét hàm số với x  1000 , ta được :
f  1000   9.94 998 017  1011  10  1011  1012  x 4  a 4  1

f  1000   a 4 x 4  5 001 982 993  5  109  5  x 3  a 3  5

f  1000   a 4 x 4  a 3 x 3  1 982 993  2  10 6  2  x 2  a 2  2

f  1000   a 4 x 4  a 3 x 3  a 2 x 2  17 007  17  10 3  17  x  a 1  17
f  1000   a 4 x 4  a 3 x 3  a 2 x 2  a 1x  7  a 0  7

Kết luận : f  x   x 4  5x 3  2x 2  17x  7 .

Nhận xét : Chỉ cần tính được f  1000  là chúng ta có thể sử dụng được thuật toán trên.
Tất nhiên là CASIO sẽ giúp chúng ta thực hiện việc này, nhưng để thực hiện nhanh
chóng và chính xác thì bạn đọc cần đến các phím chức năng ở dưới đây :
Phím r (CALC)
 Vị trí: Bên phải phím y (giáp với phím q, a)
 Chức năng : Gán giá trị cho ẩn số và sau đó tính giá trị biểu thức.
 Cách sử dụng :
 Viết biểu thức chứa ẩn (có thể là A, B, C, D, E, F, X, Y, M)
 Ấn r, máy hỏi giá trị cần gán vào ẩn
 Nhập hằng số cần gán, ấn p
 Máy sẽ lưu giá trị vào ẩn đó và in ra giá trị biểu thức


x
Ví dụ minh họa : Tính f  x, y  

2

 2y

xy







X
Nhập biểu thức

2

 2Y



3



2

x  5
tại 
y  1

2

X  Y3
Ấn CALC, máy hỏi X?
Ấn 5 rồi ấn p
Tiếp tục, máy hỏi Y?
Ấn 1 rồi ấn p

529
529
. Tức f  5;1 
.
6
6
Nhận xét : Ta có thể tính f  1000  bằng cách viết biểu thức chứa X, ấn CALC,

Máy hiện kết quả



nhập 1000 và ấn p, máy sẽ gán X  1000 và in ra giá trị biểu thức f  X  .


Lưu ý : Ta nói gán X  1000 có nghĩa là X có giá trị bằng 1000 và sau này sử
dụng X thì ta coi như sử dụng giá trị vừa gán là 1000 . Ví dụ sau khi CALC cho
X  1000 , bạn đọc ấn X  1 , máy sẽ hiển thị kết quả là 1001 .

BÙI THẾ VIỆT

Trang 2


Khóa học : Ứng dụng Thủ Thuật CASIO 2017
GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia
C – THỰC HIỆN
Ví dụ 1 : Rút gọn biểu thức :

x

2

 2x  4



2

 x 2  16x  8

Hướng dẫn :



Xét f  X   X 2  2 X  4



2

 X 2  16 X  8 .

Bước 1 : Nhập biểu thức

X

2

 2X  4



2

 X 2  16 X  8

Bước 2 : Ấn CALC, máy hỏi X?

Bước 3 : Nhập 1000 và ấn p, máy hiển thị kết
quả

Vậy f  1000   9.96010968  1011  1012  X 4

Hệ số a 4  1

Bước 4 : Ấn ! sửa biểu thức thành

X

2

 2X  4



2

 X 2  16 X  8  X 4

Bước 5 : Ấn p, máy hiển thị kết quả

Hệ số a 3  4

Vậy

f  1000   X  3989031976  4  10  4X
4

9

3

Bước 6 : Ấn ! sửa biểu thức thành

X

2

 2X  4



2

 X 2  16 X  8  X 4  4X 3

Ấn p, máy hiển thị kết quả
Vậy
f  1000   X 4  4X 3  10968024  11  10 6  11X 2

BÙI THẾ VIỆT

Hệ số a 2  11

Trang 3


Khóa học : Ứng dụng Thủ Thuật CASIO 2017
GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia
Bước 6 : Ấn ! sửa biểu thức thành

X

2

 2X  4



2

 X 2  16 X  8  X 4  4X 3  11X 2

Ấn p, máy hiển thị kết quả
Vậy
Hệ số a 1  32
f  1000   X 4  4X 3  11X 2  31976  32  10 3  32X
Bước 7 : Ấn ! sửa biểu thức thành

X

2

 2X  4



2

 X 2  16 X  8  X 4  4X 3  11X 2  32X

Ấn p, máy hiển thị kết quả
Vậy hệ số tự do là 24



Kết luận : x 2  2x  4



2

Hệ số a 0  24

 x 2  16x  8  x 4  4x 3  11x 2  32x  24

Ví dụ 2 : Rút gọn biểu thức :

 2x  1   x  1 x  3    x  2 
4

3

2

 2x  4

Hướng dẫn : Ta sẽ làm tương tự như ví dụ trên.

Xét f  X    2 X  1   X  1 X  3    X  2   2 X  4 tại X  1000
4

3

2

Bước 1 : Nhập biểu thức của f  X  , tức là :

 2X  1   X  1 X  3    X  2 
4

3

2

 2X  4

Bước 2 : Ấn CALC, nhập 1000 và ấn p ta
được
1.695806094  1013  17  1012  17X4
Vậy hệ số a 4  17
Bước 3 : Ấn !, lấy biểu thức trừ đi 17X4 và
ấn p ta được
4.193906397  1010  42  109  42X 3
Vậy hệ số a 3  42

Bước 4 : Ấn !, lấy biểu thức cộng thêm 42X3
và ấn p ta được
60936028  61  106  61X2
Vậy hệ số a 2  61

BÙI THẾ VIỆT

Trang 4


Khóa học : Ứng dụng Thủ Thuật CASIO 2017
GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia
Bước 5 : Ấn !, lấy biểu thức trừ đi 61X 2 và
ấn p ta được

63972  64  103  64X
Vậy hệ số a 1  64

Bước 6 : Ấn !, lấy biểu thức cộng thêm 64X
và ấn p ta được hệ số tự do là 28
Vậy hệ số a 0  28
Bước 7 : Ấn !, lấy biểu thức trừ đi 28 . Sau
đó CALC cho X là một số bất kỳ từ 10 đến
10 thì giá trị biểu thức là 0.
Tức
f  X   17X 4  42X 3  61X 2  64X  28  0X .

Vậy đáp số của CASIO là đúng.
Kết luận :  2x  1   x  1 x  3    x  2   2x  4  17x 4  42x 3  61x 2  64x  28
4

3

2

Bài tập tương tự : Rút gọn các biểu thức sau :
a)

x

b)

 2x  1   3x  1   x  7  x

c)

 2x

d)

x



 x  1   x  1  2x  1

2

2

4

4

3

3



3

6x 3  7x 2  1



 3x  1  2 2x 3  4x 2  x  2

2

 3x  2

   3x  2   x
2

2

x

16x 4  6x 3  44x 2  3x  26

 2x  28

2





2

 8x 2  18

4x 5  2x 4  9x 3  x 2  17x  9
x6  3x 5  2x 4  3x 3  7x 2  12x  4

2

Nhận xét : Chúng ta gặp một chút rắc rối với câu d. Nếu bạn đọc sử dụng máy
VINACAL 570ES PLUS II thì sẽ được đáp số chính xác, còn đối với máy tính CASIO
570VN PLUS hoặc thấp hơn, nó sẽ tính sai mất hệ số tự do. Thật vậy :
Ví dụ 3 : Rút gọn biểu thức :

x
Hướng dẫn :



3
Xét f  X   X  3X  2

3





 3x  2   3x  2  x 2  x

   3X  2   X
2

2

2

X



2



2

tại X  1000 .

Bước 1 : Nhập biểu thức:

X

3





 3X  2   3X  2  X 2  X

BÙI THẾ VIỆT

2



2

Trang 5


Khóa học : Ứng dụng Thủ Thuật CASIO 2017
GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia
Bước 2 : CALC cho X  1000 ta được :
9.96997997  1017  1018  X6
Vậy hệ số a 6  1

Bước 3 : Lấy biểu thức trừ đi X6 ta được :
3.002002993  1015  3  1015  3X5
Vậy hệ số a 5  3
Bước 4 : Lấy biểu thức cộng thêm 3X5 ta được
:
2.002992988  1012  2  1012  2X 4
Vậy hệ số a 4  2

Từ bước 5 trở đi, ở 2 máy VINACAL 570ES PLUS II và CASIO 570VN PLUS có sự
khác biệt :
VINACAL 570ES PLUS II
CASIO 570VN PLUS
Bước 5 : Lấy biểu thức

2X4
Hệ số a 3  3
Bước 6 : Lấy biểu thức
3X3

Hệ số a 2  7
Bước 7 : Lấy biểu thức

7X2
Hệ số a 1  12
Bước 8 : Lấy biểu thức
12X
Hệ số tự do a 0  ?
Theo đáp án thì VINACAL 570ES PLUS II có kết quả chính xác. Lý do là bởi vì không
gian tính toán chính xác của VINACAL là 1018 trong khi của CASIO là 1015 . Để giải
quyết vấn đề của CASIO, đồng thời nâng cấp thuật toán lên tới tận bậc 8, chúng ta sẽ
chỉ CALC cho X  1000 khi tìm hệ số của X8 ,X7 ,X6 ,X5 ,X4 . Và để tìm hệ số của
X3 ,X2 ,X, hệ số tự do thì chúng ta CALC cho X  0.001 .
Ví dụ 4 : Rút gọn biểu thức :

 2x

Hướng dẫn :





2







4

 3x  1  x6 4x 2  15x  5





2
6
2
Xét f  X   2X  3X  1  X 4X  15X  5 tại X  1000 .

BÙI THẾ VIỆT

4

Trang 6


Khóa học : Ứng dụng Thủ Thuật CASIO 2017
GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia
CASIO 570VN PLUS
Bước 1 : Nhập biểu thức. CALC cho X  1000 .
Ta dễ dàng tính được hệ số
a 8  20,a 7  111,a 6  179,a 5  72,a 4  111 .
Để tìm hệ số bậc 3, 2, 1, 0 thì ta viết lại biểu thức
ban đầu.
Bước 2 : CALC cho X  0.001 ta được :

 2X

2





4

 3X  1  X 6 4X 2  15X  5



 0.9880459639  1
Hệ số a 0  1
Bước 3 : Lấy biểu thức trừ đi 1 ta được :
0.01195403611  11.954  10 3
 12  10 3  12X
Hệ số a 1  12

Bước 4 : Lấy biểu thức cộng thêm 12X ta được :
4.596388908  105  45.96  106  46  106  46X2
Hệ số a 2  46
Bước 5 : Lấy biểu thức trừ đi 46X2 ta được :
3.6110925  10 8  36.11  10 9
 36  10 9  36X 3
Hệ số a 3  36

Bước 6 : Lấy biểu thức cộng thêm 36X3 ta được :
1.10925  1010  110.925  1012  111  1012  111X4
Hệ số a 4  111
Kết luận :

 2x

2





4



 3x  1  x 6 4x 2  15x  5  20x 8  111x 7  179x 6  72x 5  111x 4  36x 3  46x 2  12x  1

Bài tập tương tự : Rút gọn các biểu thức sau :
a)
b)
c)
d)

 x  4x  2  x  3x  1  7x  4
 x  3x  4   x  4x  2   4 2x  3x  5x  2 
 4x  4x  5x  2x  1   2x  1  2x  3x  2x  2 
 x  7x  2   3x  11x  4
4

4

2

3

4

3

3

2

3

2

2

3

2

2

3

2

2

Gợi ý :

BÙI THẾ VIỆT

Trang 7


Khóa học : Ứng dụng Thủ Thuật CASIO 2017
GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia
a) x8  x 5  x 4  12x 2  17x  6
b) x8  4x7  8x 6  32x 5  9x 4  92x 3  50x 2  32x  16
c) 16x8  32x7  24x 6  56x 5  21x 4  32x 3  13x 2  6x  3
d) x9  21x7  6x6  147x 5  84x 4  331x 3  297x 2  95x  12
Nhận xét : Vậy là với sức mạnh của máy tính cầm tay, chúng ta có thể rút gọn một đa
thức bậc cao hệ số lớn một cách nhanh chóng và chính xác. Tuy nhiên, trong kỳ thi
THPT Quốc Gia, rất ít khi chúng ta phải rút gọn biểu thức lớn như vậy, cùng lắm là
bậc 6 với hệ số không quá lớn.
D – MỞ RỘNG
Bằng việc nhân thêm biểu thức với mẫu số để quy đồng, chúng ta có thể rút gọn biểu
thức có chứa phân thức một cách nhanh chóng và chính xác.
Ví dụ 5 : Rút gọn biểu thức :
2

 1
3 
1
 x  1  2x  3   x  3



Hướng dẫn : Ta sẽ quy đồng biểu thức trên bằng cách nhân biểu thức với

 x  1  2x  3   x  3  và sau đó sử dụng thủ thuật rút gọn biểu thức như bình
2

2

thường.
2
 1
2
2
3 
1 
  X  1  2X  3   X  3  tại X  1000 .


Xét f  X    

  X  1 2X  3  X  3 


Bước 1 : Nhập biểu thức:
2
 1
2
2
3 

1 

  X  1  2X  3   X  3 



  X  1 2X  3  X  3 



Bước 2 : CALC cho X  1000 ta được :
4.020914006  1012  4  1012  4X4
Hệ số a 4  4
Bước 3 : Lấy biểu thức trừ đi 4X4 ta được :
2.091400601  1010  21  109  21X 3
Hệ số a 3  21
Bước 4 : Lấy biểu thức trừ đi 21X3 ta được :
85993991  86  106  86X2
Hệ số a 3  21

BÙI THẾ VIỆT

Trang 8


Khóa học : Ứng dụng Thủ Thuật CASIO 2017
GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia
Bước 5 : Lấy biểu thức cộng thêm 86X 2 ta được :
6009  6X  9
Hệ số a 1  6 và a 0  9

2

4x 4  21x 3  86x 2  6x  9
 1
3 
1
Kết luận : 




2
2
 x  1 2x  3  x  3
 x  1  2x  3   x  3 

Bài tập tương tự : Rút gọn các biểu thức sau :
2

 x2  1 
5x 2  1
a) 
 x
2
 2 

x 4  8x 2  4x  3
4

x  1 2x  1 10x  8

b) 2


3
x  1 x2  2

10x 5  8x 4  33x 3  30x 2  20x  25

2

 1

1
25
c) 
  1   6x 
4
 x1 x

3



1
d)  2
 1   2x  1
 2x  x  2






3 x2  1 x2  2



24x5  27x 4  34x 3  29x 2  8x  4
4  x  1 x 2
2

16x7  24x6  36x5  34x4  48x3  9x2  25x  7

 2x

2

x2



3

Nhận xét : Ngoài mở rộng rút gọn biểu thức cho phân thức, thủ thuật này còn mở
rộng cho khai căn biểu thức và cho nhiều ẩn. Ví dụ :



x6  4x 4  4x 3  4x 2  8x  4  x 3  2x  2

x  m

3





 8m  x  1  16x  8m  x 3  5mx 2  3m 2  16m  16 x  m 3  16m
2

Bạn đọc có thể tự nghiên cứu và tìm hiểu.

BÀI 1.2 : THỦ THUẬT CHIA BIỂU THỨC
A – GIỚI THIỆU
Có lẽ với một số bạn đọc vẫn quen với việc chia biểu thức thủ công bằng lược
đồ Horner hoặc nhóm các nhân tử trên nháp. Tuy nhiên, với sự trợ giúp của máy tính
CASIO, chúng ta có thể thực hiện phép chia hết một cách dễ dàng, nhanh chóng và
chính xác hơn rất nhiều. Ví dụ :
4x6  4x 5  7x 4  6x 3  4x 2  2x  1
 2x 3  3x 2  1
x

1
2x

1
x

1

 
 

B – Ý TƯỞNG

BÙI THẾ VIỆT

Trang 9


Khóa học : Ứng dụng Thủ Thuật CASIO 2017
GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia

Thương của một phép chia hết một ẩn

f x

g x

f x

g x

sẽ là một đa thức. Do đó coi như

chỉ là một biểu thức mà chúng ta cần rút gọn ở bài 1.1, chúng ta vẫn CALC cho

X  1000 để tìm thương. Ví dụ :

q x 

x6  7x 4  4x 3  7x 2  2x  2
x2  x  1

Xét với x  1000 thì khi đó :
q  1000   1.000995  1012  x4

q  1000   x 4  995000002  x3

q  1000   x 4  x 3  4999998  5x 2
q  1000   x 4  x 3  5x 2  2

x6  7x 4  4x 3  7x 2  2x  2
Tóm lại ta được q  x  
 x 4  x 3  5x 2  2 .
2
x  x 1
C – THỰC HIỆN
Ví dụ 1 : Tìm thương của phép chia :

27x6  45x 2  36x  20
3x 2  3x  2
Hướng dẫn :
Xét f  X  

27X 6  45X 2  36X  20
tại X  1000 . Khi đó :
3X 2  3X  2

Bước 1 : Nhập biểu thức:

27X 6  45X 2  36X  20
3X 2  3X  2
Bước 2 : CALC cho X  1000 ta được :
8.991003003  1012  9  1012  9X 4
Vậy hệ số a 4  9

Bước 3 : Lấy biểu thức trừ đi 9X4 ta được :
8996996990  9  109  9X3
Vậy hệ số a 3  9

BÙI THẾ VIỆT

Trang 10


Khóa học : Ứng dụng Thủ Thuật CASIO 2017
GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia
Bước 4 : Lấy biểu thức cộng thêm 9X3 ta được
:
3003010  3  106  3  103  10  3X 2  3X  10
Vậy hệ số a 2  3 , a 1  3 và a 0  10

Kết luận :

27x6  45x 2  36x  20
 9x 4  9x 3  3x 2  3x  10
3x 2  3x  2

Bài tập tương tự : Tìm thương của các phép chia sau :

x6  16x 3  9x 2  36x  28
a)
x 3  3x  14
b)

c)

x 3  3x  2

x7  14x 5  35x 4  35x 3  14x 2  1

 x  1

x2  5x  1

5

x8  5x6  8x 4  5x 2  1





x 2  2x  1 x 2  x  1

x 4  3x 3  2x 2  x  1



x8  21x  13

x 6  x 5  2x 4  3x 3  5x 2  8x  13
2
x  x 1
Nhận xét : Vậy bằng thủ thuật này, chúng ta có thể thực hiện phép chia hết với tử và
mẫu đều là các biểu thức cồng kềnh.
Ví dụ 2 : Tìm thương của phép chia :

d)

2

 2
1
3
 3x  4x  2   x  2


2
2x  2x  1

Hướng dẫn : Ta sẽ nhân thêm 4 để quy đồng biểu thức và sau đó thực hiện phép chia
như bình thường.
2

 2
1
3
 3X  4X  2   X  2

 4 tại X  1000 . Khi đó :

Xét f  X   
2
2X  2X  1

Bước 1 : Nhập biểu thức:
2

 2
1
3
 3X  4X  2   X  2


4
2X 2  2X  1

Bước 2 : CALC cho X  1000 ta được :
17970005  18  106  18X2
Hệ số a 2  18

BÙI THẾ VIỆT

Trang 11


Khóa học : Ứng dụng Thủ Thuật CASIO 2017
GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia
Bước 3 : Lấy biểu thức trừ đi 18X2 ta được :
29995  30  103  30X
Hệ số a 1  30

Bước 4 : Lấy biểu thức cộng thêm 30X ta được
:
Hệ số tự do a 0  5
2

 2
1
3
 3x  4x  2   x  2 18x 2  30x  5


Kết luận : 
2
4
2x  2x  1

Nhận xét : Thủ thuật này sẽ đúng với phép chia có dư ? Câu trả lời là không. Đôi khi
phép chia tưởng như đơn giản nhưng có dư và thương khá phức tạp, ví dụ như :
x4  x  1 1 3 1 2 1
28
53
 x  x 
x

3x  1
3
9
27
81 81 3x  1
Vậy làm thế nào để chắc chắn rằng phép chia đã cho là phép chia hết ? Rất đơn giản,

nếu CALC cho X  1000 mà máy tính cho ta kết quả không phải là số nguyên thì phép
chia này không phải phép chia hết.
Ví dụ 3 : Tìm thương và dư (nếu có) của phép chia :

x5  x4  2
x3  x  1
Hướng dẫn :
X5  X4  2
Xét f  X   3
tại X  1000 . Khi đó :
X  X 1
Bước 1 : Nhập biểu thức:
X5  X4  2
X3  X  1
Bước 2 : CALC cho X  1000 ta được :
998999  106  X2
Hệ số a 2  1
Bước 3 : Lấy biểu thức trừ đi X2 ta được :
1000.999998  103  X
Hệ số a 1  1 . Đây là phép chia có dư.

BÙI THẾ VIỆT

Trang 12


Khóa học : Ứng dụng Thủ Thuật CASIO 2017
GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia
Bước 4 : Lấy biểu thức cộng thêm X ta được :
0.999998001  1

Hệ số a 0  1
Vậy thương là x2  x  1 . Chúng ta tiếp tục tìm dư bằng cách lấy :





x5  x4  2  x2  x  1 x3  x  1

Bước 5 : Sửa biểu thức thành :





X5  X4  2  X2  X  1 X3  X  1





Bước 6 : CALC cho X  1000 ta được :
Hệ số a 1  2

1999  2  103  2X

Bước 7 : Lấy biểu thức trừ đi 2X ta được :
Hệ số tự do a 0  1

2x  1

x5  x4  2
 x2  x  1  3
hay thương là x2  x  1 và dư là 2x  1 .
3
x x1
x x1
D – MỞ RỘNG
Phép chia có dư được ứng dụng trong tính tích phân nguyên hàm, tìm phương trình
đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm bậc 3, …
Ví dụ 4 : Tính tích phân :
2 5
x  x 4  2x 2  3
I
dx
2
x

2x

2
0
Kết luận :

Hướng dẫn :
X 5  X 4  2X 2  3
Xét f  X  
tại X  1000 . Khi đó :
X 2  2X  2
Bước 1 : Nhập biểu thức :

X 5  X 4  2X 2  3
X 2  2X  2
Bước 2 : CALC cho X  1000 ta được :
Hệ số a 3  1

1000999996  109  X3

BÙI THẾ VIỆT

Trang 13


Khóa học : Ứng dụng Thủ Thuật CASIO 2017
GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia
Bước 3 : Lấy biểu thức trừ đi X3 ta được :
999995.992  106  X 2
Hệ số a 2  1
Bước 4 : Lấy biểu thức trừ đi X2 ta được :
4.008011006  4
Hệ số a 0  4
Vậy thương là x3  x2  4 . Ta sẽ tìm dư bằng cách lấy :





x 5  x 4  2x 2  3  x 3  x 2  4 x 2  2x  2

Bước 5 : Sửa biểu thức thành :





X 5  X 4  2X 2  3  X 3  X 2  4 X 2  2X  2





Bước 6 : CALC cho X  1000 ta được :
7995  8X  5
Vậy dư là 8x  5

x 5  x 4  2x 2  3
8x  5
 x3  x2  4  2
Kết luận :
2
x  2x  2
x  2x  2
Lời giải : Ta có :
2
 3
x 5  x 4  2x 2  3
8x  5 
2
dx

x


x

4


dx
2
2

x

2x

2
x

2x

2
0
0

2

I

2
2
2

8 x  1
 x4 x3

8x  5
4
3
 
 4x    2
dx    
dx

dx
2
2

3
3 0  x  1  1
 4
 0 0 x  2x  2
0  x  1  1
2

2

Tính I1  

8 x  1

2

dx  
2
0  x  1  1
0



  4ln  x  2x  2

4d  x  1  1

 x  1

2

2

1

2

2
0

0



x0t



4
dx . Đặt x  1  tan t  dx  tan 2 t  1 dt . Đổi cận 
Tính I 2  
2
0  x  1  1
x  2  t  

4
ta được :
2



3

2

I2  


4

3



4

BÙI THẾ VIỆT

dt 

3 tan 2 x  1

dx  
tan 2 x  1

0  x  1  1

2




4

 3dt 



4

3
2

Trang 14


Khóa học : Ứng dụng Thủ Thuật CASIO 2017

GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia
x5  x 4  2x 2  3
4 3
dx   
Kết luận : I  
.
2
3 2
x  2x  2
0
2

Ví dụ 5 : Cho hàm số y  x 3  3x 2  1 (C). Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực
trị của đồ thị hàm số (C) tiếp xúc với đường tròn () :  x  m    y  m  1  5
2

2

(Đề thi thử THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc – Lần 4 – Năm 2012)
Hướng dẫn : Ta có y'  3x 2  6x . Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của y có dạng
y  ax  b với ax  b là dư của phép chia

x 3  3x 2  1
3x 2  6x

X 3  3X 2  1
Xét f  X  
 3 tại X  1000 . Khi đó :
3X 2  6X
Bước 1 : Nhập biểu thức :

X 3  3X 2  1
3
3X 2  6X

Bước 2 : CALC cho X  1000 ta được :
998.997997  999  X  1
Ta tìm dư bằng cách lấy
X 1
X 3  3X 2  1 
3X 2  6X
3
Bước 3 : Sửa biểu thức thành :
X 1
X 3  3X 2  1 
3X 2  6X
3
Ta được 1999  2x  1 . Đây chính là dư cần
tìm.
x 3  3x 2  1 x  1
2x  1

 2
Kết luận :
2
3
3x  6x
3x  6x
2
Lời giải : Ta có : y'  3x  6x  3x  x  2  . Do đó y'  0 có 2 nghiệm phân biệt là 0 và 2







suy



ra

hàm
số
y
có
2
điểm
cực
trị.
Vì
x 1
x 1
x 3  3x 2  1 
3x 2  6x  2x  1  y 
y' 2x  1 nên tọa độ 2 điểm cực trị đều
3
3
thỏa mãn y  2x  1 . Vậy phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là (d) :
y  2x  1





Để (d) tiếp xúc với () khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm I  m,m  1 đến (d) bằng bán
kính R  5
 dI /(d)  R 

Kết luận : m 

2m  m  1  1
2 2  12

 5  3m  5  m  

5
3

5
5
hoặc m   .
3
3

BÙI THẾ VIỆT

Trang 15

Khóa học : Ứng dụng Thủ Thuật CASIO 2017
GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia

Nhận xét : Trong phép chia hết

f x

g x

thì g  x  là nhân tử của f  x  . Vậy nếu muốn

phân tích thành nhân tử f  x  thì chỉ cần biết g  x  là xong. Để tìm hiểu rõ hơn, bạn
đọc cùng đến với thủ thuật sau :

BÀI 1.3 : THỦ THUẬT TÌM NHÂN TỬ
A – GIỚI THIỆU
Nghiệm của nhân tử cũng chính là nghiệm của đa thức, do đó nếu chúng ta biết
được nghiệm của phương trình đa thức ban đầu, chúng ta sẽ tìm được nhân tử của nó.
B – Ý TƯỞNG
Xét phương trình f  x   0 với f  x  là đa thức hệ số hữu tỷ.
Nếu f  x   0 có nghiệm hữu tỷ x  k 

thì f  x  có nhân tử  x  k  .

Nếu f  x   0 có nghiệm vô tỷ x  k1  a  b c với a,b,c 

thì f  x   0 cũng sẽ có

nghiệm vô tỷ x  k 2  a  b c . Khi đó nhân tử chứa 2 nghiệm vô tỷ của bài toán sẽ là

x  k
2

1



 k 2  x  k 1k 2 .

4
3
2
Ví dụ minh họa : Xét phương trình 8x  12x  2x  7x  2  0 .

x1  0.5

Phương trình này có 3 nghiệm là x 2  1.280776406 .
x  0.780776406
 3

1
1
 Vì x1    nhân tử là  x     2x  1
2
2


x  x 3  0.5
 nhân tử là
Vì  2

x 2 x 3  1
Điều này là chính xác vì ta luôn có :


 2 x

2
 x  2  1   2x  x  2









8x 4  12x 3  2x 2  7x  2   2x  1 2x 2  x  2
2



Vậy quan trọng nhất của thuật toán này là tìm các nghiệm (nếu có) của phương trình
f x  0 .

Phím SOLVE
 Vị trí: Nằm dưới phím r (giáp với phím q, a)
 Chức năng : Nhập hằng số ban đầu và tìm nghiệm gần nhất giá trị đó
 Cách sử dụng :
 Viết phương trình ẩn X, có thể không cần viết  0 ở cuối

 Ấn q + r, máy hỏi hằng số ban đầu
 Nhập hằng số, ấn p

BÙI THẾ VIỆT

Trang 16


Khóa học : Ứng dụng Thủ Thuật CASIO 2017
GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia


Máy sẽ in ra kết quả nghiệm gần với giá trị ban đầu nhất và gán nó vào
X.



Ví dụ minh họa : Tìm nghiệm gần 0 nhất của phương trình x 4  33x  10  0



 Nhập biểu thức X 4  33X  10
 Vào SOLVE (ấn SHIFT + CALC), máy hỏi Solve for X
 Ấn 0 rồi ấn p
Máy hiện kết quả X  0.302775637 ,
đồng thời gán luôn cho X.
Nhận xét : Mỗi lần SOLVE, chúng ta chỉ
tìm được một nghiệm duy nhất của
phương trình. Tuy nhiên, như trong thuật toán thì chúng ta cần biết ít nhất một
k  k 2 

nghiệm hữu tỷ hoặc ít nhất 2 nghiệm vô tỷ k1 ,k 2  \ sao cho  1
.
 k1k 2 
Thông thường phương trình chỉ có nghiệm tầm cỡ  10;10  nên chúng ta tìm



nghiệm gần 10 , gần 0 và gần 10 nhất và lưu nghiệm đó vào các biến A, B, C,
D, … và xem xem 2 nghiệm nào có tổng, tích là số hữu tỷ.
Lưu ý : Để lưu nghiệm từ X và A (hoặc B, C, D, …) thì chúng ta cần biết tới
phím STO
Phím STO

 Vị trí: Nằm dưới phím J (giáp với phím b, z)
 Chức năng : Gán giá trị cho một biến nào đó.
 Cách sử dụng :
 Viết giá trị cần gán
 Ấn q + J
 Ấn một biến cần gán (A, B, C, D, E, F, X, Y, M)
4
Ví dụ minh họa : Tìm nghiệm gần 0 nhất của phương trình x  33x  10  0 và
lưu vào A.
 Chúng ta tìm nghiệm tương tự
như trên.
 Ấn X, vào STO (q + J)
 Ấn A.
Máy hiện kết quả X  A , tức A
được gán giá trị mà X đang có.
 Nhận xét : Vậy mỗi lần tìm được nghiệm vô tỷ xong, chúng ta lưu vào A, B, C,
… để kiểm tra.

C – THỰC HIỆN
Ví dụ 1 : Giải phương trình :



x 4  3x 3  2x 2  9x  5  0
Hướng dẫn :

BÙI THẾ VIỆT

Trang 17


Khóa học : Ứng dụng Thủ Thuật CASIO 2017
GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia
Bước 1 : Nhập biểu thức:

X 4  3X 3  2X 2  9X  5
Ấn p để lưu biểu thức (sử dụng lại biểu thức
bằng cách ấn E. Lưu ý ấn ON sẽ xóa biểu
thức đã lưu)
Bước 2 : Ấn Shift + SOLVE, máy hỏi Solve for
X.
Đầu tiên ta sẽ tìm nghiệm gần 10 nhất.
Bước 3 : Nhập 10 và ấn p.
Máy hiển thị nghiệm :
X  1.791287847
Bước 4 : Ấn Shift + STO + A, máy lưu nghiệm
vào A.
Vậy A  1.791287847

Bước 5 : Ấn E để quay lại biểu thức.
Ấn Shift + SOLVE, máy hỏi Solve for X.
Nhập 0 và ấn p. Máy hiển thị nghiệm X  1 .
Nghiệm này là nghiệm hữu tỷ nên không cần
lưu nữa.
Bước 6 : Ấn p, máy hỏi Solve for X. Nhập 10
và ấn p.
Máy hiển thị nghiệm :
X  2.791287847 .
Bước 7 : Ấn Shift + STO + B, máy lưu nghiệm
vào B.
Vậy B  2.791287847 .
Phương trình có nghiệm hữu tỷ là x  1 nên có nhân tử  x  1 .
Phương trình có thêm 2 nghiệm vô tỷ là A  1.791287847 và B  2.791287847 .
Bước 7 : Thành thử lấy A  B ta được :
AB1

BÙI THẾ VIỆT

Trang 18


Khóa học : Ứng dụng Thủ Thuật CASIO 2017
GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia
Bước 8 : Thành thử lấy AB ta được :
AB  5



 

Vậy phương trình có nhân tử x 2   A  B  x  AB  x 2  x  5



Bước 9 : Chia biểu thức

X 4  3X 3  2X 2  9X  5

X

2



 X  5  X  1

Ta được 999  X  1





Kết luận : x 4  3x 3  2x 2  9x  5  x 2  x  5  x  1

2

Lời giải : Ta có :

x  1

 x  12  0
x  3x  2x  9x  5  0  x  x  5  x  1  0  

 x  1  21
2
 x  x  5  0

2
4

3



2



2

2

1  21
.
2
Nhận xét : Có một mẹo biến đổi A, B từ một số thập phân vô hạn thành số vô tỷ bằng
CASIO như sau
Kết luận : x  1 hoặc x 

Nếu A  B thì A 

AB

 A  B

2

và B 

2
AB

 A  B

2

AB

 A  B

2

2
AB

 A  B

2

và B 

2
2
Bạn đọc có thể thực hành ngay trên chiếc máy tính của mình.
Nếu A  B thì A 

Bài tập tương tự : Giải các phương trình sau :
4
3
2
a) x  2x  2x  3x  2  0
4
3
2
b) 4x  8x  7x  11x  3  0
4
3
2
c) 2x  x  29x  34x  24  0

BÙI THẾ VIỆT

 x  1 x  2   x  x  1  0
 2x  1  x  x  3   0
 x  2  2x  1 x  4  x  3   0
2

2

2

Trang 19


Khóa học : Ứng dụng Thủ Thuật CASIO 2017
GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia

x  2 x
2

d) x 4  3x 3  x 2  4  0

2



x1  0

Nhận xét : Vậy nếu A  B  thì sao ? Chúng ta sẽ tìm các nghiệm khác như ví dụ
dưới đây :
Ví dụ 2 : Giải phương trình :
2x 4  x 3  11x 2  2x  8  0
Hướng dẫn :
Bước 1 : Nhập biểu thức:

2X 4  X 3  11X 2  2X  8
Ấn p để lưu biểu thức.
Bước 2 : Ấn Shift + SOLVE, tìm nghiệm gần
10 ta được :
X  1.791287847
Ấn Shift + STO + A để lưu nghiệm này vào A.

Bước 3 : Quay lại biểu thức, tìm nghiệm gần 0
ta được :
X  0.780776406
Ấn Shift + STO + B để lưu nghiệm này vào B.
Bước 4 : Quay lại biểu thức, tìm nghiệm gần
10 ta được :
X  2.561552813
Ấn Shift + STO + C để lưu nghiệm này vào C.
Bước 5 : Thành thử thấy trong 3 tổng A  B ,
B  C , C  A chỉ có C  A  1  . Khi đó
CA  4 



Vậy nhân tử của phương trình là x 2  x  4



Bước 6 : Thực hiện phép chia
2X 4  X 3  11X 2  2X  8
ta được thương là
X2  X  4
2X2  X  2







Kết luận : 2x 4  x 3  11x 2  2x  8  2x 2  x  2 x 2  x  4 .
Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc.

1  17
1  17
hoặc x 
.
4
2
Bài tập tương tự : Giải các phương trình sau :
Kết luận : x 

BÙI THẾ VIỆT

Trang 20


Khóa học : Ứng dụng Thủ Thuật CASIO 2017
GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia
a) x 4  9x 2  6x  7  0

c)

 2x  9x  5   3x  2  0
 x  2   10x  12x  7  0

d)



b)

2

2

2

3

2



4

x 2  2x  2  7x 2  14x  2  0

x
x
x
x

2

2

2

2



 5x  3  4x  16x  9   0
 x  1 x  3x  3  x  4x  5   0
 x  3  x  3x  1 x  4x  x  6x  6   0

 x  1 x2  x  7  0
2

2

2

2

4

3

2

Nhận xét : Vậy là từ nghiệm của phương trình, chúng ta dễ dàng phân tích nhân tử
được chúng.
Không biết bạn đọc có để ý, tất cả các ví dụ, các bài tập tự luyện trong chương này đều
lấy từ đề thi và chúng có thể phân tích nhân tử được. Giả dụ như trong Ví dụ 4, bài 1.1
– rút gọn biểu thức, ta có :

 2x

2





4

 3x  1  x6 4x 2  15x  5



 20x  111x  179x  72x  111x 4  36x 3  46x 2  12x  1
8

7

6



5



  x  1 4x  1 x 2  3x  1 5x 4  9x 3  6x 2  6x  1



Kết hợp thủ thuật rút gọn biểu thức và phân tích nhân tử, chúng ta có phương pháp

giải phương trình vô tỷ đầu tiên trong cuốn sách này, đó là phương pháp : Khử căn
thức.

BÀI 1.4 : THỦ THUẬT KHỬ CĂN THỨC
A – GIỚI THIỆU
Là một phương pháp cơ bản để giải Phương Trình Vô Tỷ (PTVT), chúng được
gắn liền với cái tên “bình phương hai vế”, “lập phương hai vế”, “chuyển vế bình
phương”, … Tuy nhiên, sau những bước khử căn thức đó, chúng ta phải làm gì tiếp
theo ? Chuyên đề này sẽ hướng dẫn chi tiết cho bạn đọc phương pháp khử căn thức
bằng CASIO.
B – Ý TƯỞNG
Để khử căn thức, chúng ta cần chuyển căn thức sang một vế rồi bình phương,
lập phương, … để mất hết căn thức. Ví dụ như :


f x  g x  f x  g x



f x  3 g x  f x  g x



f x  4 g x  f x  g x



2

3

4

f  x   g  x   h  x   f  x   g  x   2 f  x  g  x   h  x  sau đó đưa về dạng

đầu tiên
Sau khi đưa về phương trình đa thức, chúng ta sẽ đi giải nó bằng cách phân tích thành
nhân tử.

BÙI THẾ VIỆT

Trang 21


Khóa học : Ứng dụng Thủ Thuật CASIO 2017
GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia
Lưu ý : Trong quá trình khử căn thức, chúng ta sử dụng dấu “suy ra” thì đến bước
cuối, chúng ta phải kiểm tra lại nghiệm. Ví dụ sau sẽ giúp bạn đọc dễ hình dung hơn :
Giải phương trình :

x 2  x  1  2x 2  4x  1  0


Khử căn thức :

x 2  x  1  2x 2  4x  1  0  x 2  x  1  2x 2  4x  1





2

 x 2  x  1  2x 2  4x  1  4x 4  16x 3  19x 2  7x  0







Phân tích thành nhân tử : 4x 4  16x 3  19x 2  7x  0  x  x  1 4x 2  12x  7  0



Giải nghiệm : x  0 hoặc x  1 hoặc x 



Kiểm tra lại nghiệm : Chỉ có x  1 hoặc x 



Kết luận x  1 hoặc x 

3 2
2
3 2
thỏa mãn bài toán
2

3 2
2

C – THỰC HIỆN
Ví dụ 1 : Giải phương trình :

3x  1   x  3  2x 2  1

Hướng dẫn :
Bước 1 : Khử căn thức :





3x  1   x  3  2x 2  1   3x  1   x  3  2x 2  1  0
2

2

Bước 2 : Sử dụng thủ thuật Rút gọn biểu thức :

 3x  1   x  3   2x
2

2

2

1



 2x4  12x3  8x2  12x  10

Bước 3 : Sử dụng thủ thuật Phân tích thành
nhân tử :
2x 4  12x 3  8x 2  12x  10
 2 x  1 x  5  x  1

Lời giải : ĐKXĐ : x 

1
2

2

hoặc x  

1
2

. Ta có :





3x  1   x  3  2x 2  1   3x  1   x  3  2x 2  1  0  2x 4  12x 3  8x 2  12x  10  0

2

2

 x  1

 2 x  1 x  5  x  1  0   x  5 (thỏa mãn ĐKXĐ)
 x  1
2

BÙI THẾ VIỆT

Trang 22


Khóa học : Ứng dụng Thủ Thuật CASIO 2017
GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia
Thử lại chỉ thấy x  1 hoặc x  5 thỏa mãn bài toán.
Kết luận : x  1 hoặc x  5
Bài tập tương tự : Giải các phương trình sau :

5 5
4

a) 2x 2  4x  3   3x  4  2x  1  0

x  1 hoặc x 

b) x 2  4x  6   x  4  x 2  2x  2  0

x

3  3
1
hoặc x 
3
3

x

3  5
hoặc
2

x

5  33
4

c) 2x 3  x 2  15x  4  3x 2  7x

d) 2x 3  x 2  6x  2  x 5  5x 2  11x  6  0
Ví dụ 2 : Giải phương trình :

x  2 hoặc x 

1 5
2

2 x  1 3 x  1  3x  4

Hướng dẫn :
Bước 1 : Khử căn thức :
2 x  1 3 x  1  3x  4  8  x  1   3x  4   0
4

3

Bước 2 : Sử dụng thủ thuật Rút gọn biểu thức :
8  x  1   3x  4 
4

3

 8x4  5x 3  60x2  112x  56

Bước 3 : Sử dụng thủ thuật Phân tích thành
nhân tử :
8x 4  5x 3  60x 2  112x  56





 8x 2  21x  14 x 2  2x  4



Lời giải : Ta có :
2 x  1 3 x  1  3x  4  8  x  1   3x  4   0  8x 4  5x 3  60x 2  112x  56  0

4



3





 8x 2  21x  14 x 2  2x  4  0  x 2  2x  4  0  x  1  5
2


21 
7
(vì 8x  21x  14  8 x   
 0x 
16  32

Kết luận : x  1  5
Bài tập tương tự : Giải các phương trình sau :
2

a)

x  2

3

2x  1  3x  1

BÙI THẾ VIỆT

)

x

1 5
65 2
hoặc x 
2
2
Trang 23


Khóa học : Ứng dụng Thủ Thuật CASIO 2017
GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia
b) x 2  4x  6   x  4  x 2  2x  2  0

x

3  5
5  33
hoặc x 
2
4
x  0 hoặc x  3 hoặc

c) 2x 3  x 2  15x  4  3x 2  7x

d) 9 3

3  3
1
hoặc x 
3
3

x

x3
 x  1  x 2  3x  9  0
9

x  3  3 3

Ví dụ 3 : Giải phương trình :
x  3  6  x  2x  3

Hướng dẫn :
Bước 1 : Khử căn thức :
x  3  6  x  2x  3 



x3  6x



2

  2x  3 



2

 2 6  x x  3  4x 2  12x   6  x  x  3   2x 2  6x



2

Bước 2 : Sử dụng thủ thuật Rút gọn biểu thức :

 6  x  x  3    2x

2

 6x



2

 4x4  24x3  37x 2  3x  18

Bước 3 : Sử dụng thủ thuật Phân tích thành
nhân tử :
4x 4  24x 3  37x 2  3x  18





  x2  3x  2  2x  3 

2

Lời giải : ĐKXĐ : 3  x  6 . Ta có :

x  3  6  x  2x  3 



x3  6x



2

  2x  3 

2



 3x  18  0   x  3x  2   2x  3   0

 2 6  x x  3  4x 2  12x   6  x  x  3   2x 2  6x

 4x 4  24x 3  37x 2

2

2

2


3  17
x 
 x  3x  2  0
2


(thỏa mãn ĐKXĐ)
3

 2x  3  0
 x  2
2

Thử lại chỉ thấy x 

3  17
thỏa mãn bài toán.
2

3  17
2

Bài tập tương tự : Giải các phương trình sau :
Kết luận : x 

BÙI THẾ VIỆT

Trang 24


Khóa học : Ứng dụng Thủ Thuật CASIO 2017
GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia

a)

x  1  3 1  x  4x  1  0

x

b)

x  1  2 x  1  3x  5

x

c) 2 x 2  2x  4  2x  3  3

3
2

20  4 7
9

x2

x

d) 5 x  1  6 x  1  4 x 2  1  2x  5

5
hoặc
4

20  4 7
9
Nhận xét : Thủ thuật này khá đơn giản và cơ bản để giải PTVT. Bây giờ chúng ta sẽ
thử áp dụng nó vào những bài toán khó hơn trong đề thi THPT Quốc Gia.
Ví dụ 4 : Giải phương trình :
x

3log

2
3





2  x  2  x  2log 1
3



2



2  x  2  x log 3 9x   1  log 1 x   0


3


(Đề thi THPT Quốc Gia – 2016)



 
2

Hướng dẫn :
Quan trọng nhất khi nhìn vào phương trình logarit này là đưa về cùng một cơ số. Ở
đây, chúng ta sẽ đưa về logarit cơ số 3 :
PT  3log 23



2  x  2  x  2 log 3



2  x  2  x  4log 3

 





2  x  2  x log 3 9x 2  1  log 3 x   0





2  x  2  x log 3  3x   log 32  3x   0



 

2

Để ý rằng : log 3 9x 2  2 log 3  3x   2 1  log 3 x  (vì x  0 ). Do đó ta có :

PT  3log 23







a  log
2 x  2 x

3
Vậy nếu ta đặt 
thì
b

log
3x


3

PT  3a 2  4ab  b 2  0   a  b  3a  b   0





log
 2  x  2  x  3x
2  x  2  x  log 3  3x 
3



3


 2  x  2  x  3x
3log
2

x

2

x

log
3x


3
3


Vậy vấn đề của chúng ta là giải quyết phương trình 2  x  2  x  3x và



2x  2x





3







 3x .

a) Phương trình 2  x  2  x  3x
Bước 1 : Khử căn thức :
2  x  2  x  3x 



2x  2x



 



2

 9x 2

 2 4  x 2  9x 2  4  4 4  x 2  9x 2  4

BÙI THẾ VIỆT



2

Trang 25