Luận án tiến sĩ một số tính chất của nghiệm phương trình vi phân trong không gian banach (TT)

MỞ ĐẦU
1. Tổng quan về hướng nghiên cứu
Xét phương trình trung tính ôtônôm

 ∂ F ut = BF ut + Φut với t ≥ 0,
∂t
u (t) = ϕ(t) với t ∈ [−r, 0],

(0.1)

0

và dạng nửa tuyến tính
∂
F ut = B(t)F ut + Φ(t, ut ),
∂t

t ∈ I.

(0.2)

trong đó I = R+ hoặc I = R, B(t) là toán tử tuyến tính (có thể không
bị chặn) trên không gian Banach X với mỗi t ≥ 0 cố định. Với C :=
C([−r, 0], X); toán tử tuyến tính bị chặn F : C → X gọi là toán tử sai
phân, Φ : C → X là toán tử tuyến tính (hoặc Φ : R+ × C → X phi
tuyến liên tục) gọi là toán tử trễ, và ut là hàm lịch sử được xác định bởi
ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0]. Các phương trình vi phân trung tính đó
nẩy sinh từ các hệ thống tự nhiên, kỹ thuật đa dạng, như là hệ khuyếch
tán, hệ xử lý tín hiệu, hệ sinh thái quần thể,... Bằng cách chọn không gian
và toán tử thích hợp các phương trình đó có thể viết dưới dạng phương
trình vi phân trừu tượng trong không gian Banach thường gọi là phương

trình tiến hóa. Việc xét phương trình dưới dạng trừu tượng trong các không
gian hàm tổng quát cho phép sử dụng những phương pháp mới dựa trên
những phát triển gần đây của toán học để tìm hiểu những vấn đề mang
tính bản chất của nghiệm phương trình đó.
Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng liên quan đến dáng
điệu tiệm cận của nghiệm đối với phương trình trên là nghiên cứu và đánh
giá những tính chất định tính (ổn định, không ổn định, nhị phân,..) của
nghiệm các phương trình đạo hàm riêng mô tả các hệ thống kể trên khi
thời gian đủ lớn thông qua những phương pháp toán học hiện đại được ưa
chuộng trên thế giới như là lý thuyết phổ của toán tử đạo hàm riêng, lý
thuyết nửa nhóm liên tục mạnh, lý thuyết các không gian hàm chấp nhận
được, lý thuyết đa tạp bất biến, ...
1


Đối với phương trình trung tính tuyến tính (0.1) một số kết quả nền
móng ban đầu về sự tồn tại, ổn định mũ của nghiệm, đã đạt được bởi N.T.
Huy năm 2003 và một số tác giả khác. Chúng tôi sẽ phát triển và hoàn
thiện các kết quả về tính nhị phân, không ổn định, ổn định tuyến tính hóa
đối với các phương trình trên để nhận được các kết quả tổng quát hơn nữa.
Đối với phương trình trung tính nửa tuyến tính (0.2) chúng tôi nghiên
cứu về sự tồn tại đa tạp tích phân cho nghiệm của phương trình này. Đặc
biệt trong trường hợp nhiễu Φ(t, φ) phụ thuộc thời gian t nên ta không
thể hi vọng tính liên tục đều của Φ, do đó các phương pháp trước đây
không giải quyết được. Gần đây, đối với phương trình vi phân có trễ (tức
là, F ut = u(t)) N.T. Huy và T.V. Dược đã chỉ ra kết quả về sự tồn tại
đa tạp đối với các nghiệm của phương trình đang xét. Các tác giả đã sử
dụng phương pháp Lyapunov-Perron và đặc trưng của nhị phân mũ của
phương trình tiến hóa trong không gian chấp nhận được để xây dựng cấu
trúc của nghiệm theo nghĩa đủ tốt, thuộc lớp đã biết của không gian chấp

nhận được trên đó cho phép áp dụng một số nguyên lí cơ bản trong giải
tích toán học như nguyên lí ánh xạ co, định lý hàm ẩn, ...
2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Mục đích nghiên cứu của Luận án:
Nghiên cứu tính nhị phân mũ của nửa nhóm nghiệm các phương
trình trung tính trong không gian Banach, tính ổn định của phương
trình trung tính tuyến tính và phương trình trung tính với quá khứ
không ôtônôm, tính dương của nửa nhóm nghiệm.
Xây dựng đa tạp bất biến ổn định, đa tạp tâm, đa tạp không ổn
định đối với nghiệm của phương trình trung tính nửa tuyến tính.
• Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của Luận án:
Các phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính.
Tính chất nghiệm của phương trình nói trên khi thời gian đủ lớn.
3. Phương pháp nghiên cứu
2


Trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp lý thuyết nửa nhóm
để xây dựng các toán tử sinh và giải thức của chúng, và biểu diễn nghiệm
của phương trình vi phân thông qua nửa nhóm liên tục mạnh sinh ra bởi
các toán tử đó.
Dùng Định lý Ánh Xạ Phổ và tính chất phổ để nghiên cứu tính ổn
định, Định lý Cesaro để đặc trưng cho tính nhị phân mũ của nửa nhóm
nghiệm phương trình trung tính tuyến tính.
Sử dụng lý thuyết các không gian hàm chấp nhận được để xây dựng đa
tạp bất biến ổn định, đa tạp tâm, đa tạp không ổn định cho phương trình
trung tính nửa tuyến tính.
4. Ý nghĩa của các kết quả của luận án
Đề tài nhằm phát triển lý thuyết về sự ổn định, nhị phân mũ và một số
tính chất định tính của nghiệm các phương trình trung tính trong không

gian Banach vốn là mô hình của các quá trình tiến hóa trong kỹ thuật và
công nghệ.
Việc nghiên cứu sự tồn tại của các đa tạp tích phân mang lại bức tranh
hình học về dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân với nhiễu
phi tuyến xung quanh một điểm cân bằng hay xung quanh một quỹ đạo
xác định, và mặt khác nó còn cho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chất
nghiệm của những phương trình đạo hàm riêng phức tạp về những phương
trình đơn giản hơn trên các đa tạp đó do tính hút của các đa tạp này đối
với các nghiệm của phương trình đang xét.
Việc xét tính chất nghiệm của các phương trình trung tính trên mang
đến những hiểu biết sâu sắc hơn về bản chất của các quá trình biến đổi vật
chất có trễ theo thời gian xảy ra trong thực tế và trong các vấn đề của kỹ
thuật và công nghệ. Từ đó có thể đưa ra những nhận định và ước lượng về
quy mô và tính chất trong tương lai của các quá trình đó thông qua những
dữ liệu ban đầu và phổ của hệ thống vốn có thể tính được trong hiện tại
và quá khứ.
5. Cấu trúc và kết quả của luận án

3


Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chia
làm bốn chương:
Chương 1: Trình bày kiến thức chuẩn bị về nửa nhóm, một số khái
niệm về ổn định mũ, nhị phân mũ của nửa nhóm. Nhắc lại về không gian
hàm chấp nhận được và đa tạp ổn định đối với nghiệm của phương trình
vi phân nửa tuyến tính.
Chương 2: Nghiên cứu tính nhị phân mũ của nửa nhóm nghiệm phương
trình trung tính tuyến tính.
Chương 3: Nghiên cứu tính nhị phân mũ, tính dương của nửa nhóm

nghiệm phương trình trung tính với quá khứ không ôtônôm
Chương 4: Nghiên cứu sự tồn tại đa tạp ổn định bất biến, đa tạp tâm,
đa tạp không ổn định và tính hút của đa tạp không ổn định của phương
trình trung tính nửa tuyến tính.
Nội dung chính của luận án dựa vào bốn công trình đã công bố, được
liệt kê ở "Danh mục công trình đã công bố của luận án", gồm bốn
bài báo (trong đó [1],[2],[3] thuộc tạp chí Quốc tế trong danh mục ISI) và
một công trình [4] đã được nhận đăng trên Acta Mathematica Vietnamica.
(Online First)

4


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1

Nửa nhóm liên tục mạnh

Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian Banach X, họ (T (t))t≥0 ⊂ L(X) gọi
là một nửa nhóm liên tục mạnh nếu:
(i) T (t + s) = T (t).T (s), ∀t, s ≥ 0.
(ii) T (0) = I toán tử đồng nhất.
(iii) lim+ T (t)x = T (0)x, ∀x ∈ X.
t→0

Định nghĩa 1.1.2 Toán tử A : D(A) ⊆ X → X xác định bởi
1
Ax := lim+ (T (h)x − x)

h→0 h
trên miền xác định D(A) = {x ∈ X : lim+ h1 (T (h)x − x) tồn tại} gọi là toán
h→0

tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trên không gian Banach X.
Định nghĩa 1.1.3 Cho (A, D(A)) là toán tử đóng trong không gian Banach X. Tập các giá trị chính quy của A: ρ(A) = {λ ∈ C : (λI − A) là song
ánh}. Khi đó
R(λ, A) := (λI − A)−1 , λ ∈ ρ(A) là giải thức của A.
σ(A) := C \ ρ(A) gọi là phổ của A.
Định lý 1.1.4 Cho (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian
Banach X, và lấy hằng số ω ∈ R, M ≥ 1 sao cho T (t) ≤ M eωt , ∀t ≥ 0.
Khi đó với toán tử sinh (A, D(A)) của nửa nhóm (T (t))t≥0 ta có các tính
chất sau:
(i) Nếu λ ∈ C sao cho R(λ)x :=

∞ −λs
T (t)xds
0 e

λ ∈ ρ(A) và R(λ, A) = R(λ).
5

tồn tại, ∀x ∈ X thì


(ii) Nếu Reλ > ω thì λ ∈ ρ(A) và R(λ, A) = R(λ).
(iii) ||R(λ, A)|| ≤

M
Reλ−ω , ∀Reλ

Lưu ý: Công thức R(λ, A)x =

> ω.
+∞ −λs
e T (s)xds
0

gọi là biểu diễn tích của

giải thức.
Tích phân ở đây là tích phân Riemann suy rộng
+∞

t
−λs

e

t→+∞

0

1.1.1

e−λs T (s)xds.

T (s)xds = lim

0

Ổn định mũ và nhị phân mũ của nửa nhóm

Định nghĩa 1.1.5 Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 với toán tử sinh
(A, D(A)) được gọi là ổn định mũ đều nếu tồn tại > 0 sao cho
lim e t T (t) = 0.

t→∞

Định nghĩa 1.1.6 Nửa nhóm (T (t))t≥0 trên không gian Banach X được
gọi là có nhị phân mũ (hoặc hyperbolic) nếu X có thể viết thành tổng
trực tiếp X = Xs ⊕ Xu , các không gian con đóng Xs , Xu bất biến đối với
(Ts (t))t≥0 sao cho hạn chế của (T (t))t≥0 trên Xs , và (Tu (t))t≥0 trên Xu thỏa
mãn điều kiện:
(i) Nửa nhóm (Ts (t))t≥0 là ổn định mũ đều trên Xs
(ii) Nửa nhóm (Tu (t))t≥0 có nghịch đảo và (Tu (−t))t≥0 ổn định mũ đều
trên Xu
Định lý 1.1.7 Cho (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian
Banach X với toán tử sinh A. Khi đó các khẳng định sau là tương đương.
(i) (T (t))t≥0 có nhị phân mũ.
(ii) iR ⊂ ρ(A) và
(C, 1)

N −1 n
1
R(iω
N →∞ N n=0 k=−n

R(iω + ik, A)x := lim
k∈Z

với mọi ω ∈ R và x ∈ X.
6

+ ik, A)x hội tụ


1.2

Không gian hàm Banach chấp nhận được
trên nửa đường thẳng

Định nghĩa 1.2.1 Không gian hàm Banach E được gọi là chấp nhận được
nếu nó thoả mãn
(i) Tồn tại hằng số M ≥ 1 sao cho mọi [a, b] ∈ R+ và mọi ϕ ∈ E ta có
b

|ϕ(t)|dt ≤
a

M (b − a)
ϕ
χ[a,b] E

E

(ii) E là bất biến với toán tử Λ1 , trong đó Λ1 ϕ(t) =

t+1
ϕ(τ )dτ ,

t

(iii) E là Tτ+ và Tτ− bất biến với mọi τ ∈ R+ , với
Tτ+ ϕ(t) =

ϕ(t − τ ) nếu t ≥ τ ≥ 0
nếu 0 ≤ t < τ

0

Tτ− ϕ(t) = ϕ(t + τ ) với mọi t ≥ 0.
Hơn nữa ∃N1 , N2 > 0 sao cho Tτ+ ≤ N1 , Tτ− ≤ N2 , ∀τ ∈ R+ .
Mệnh đề 1.2.2 Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được. Ta có
các khẳng định sau
(a) Cho ϕ ∈ L1, loc (R+ ) sao cho ϕ ≥ 0 và Λ1 ϕ ∈ E. Với mọi σ > 0 ta xác
định Λσ ϕ và Λσ ϕ như sau
t −σ(t−s)
ϕ(s)ds,
0 e

Λσ ϕ(t) =

Λσ ϕ(t) =

∞ −σ(s−t)
ϕ(s)ds
t e

Khi đó, Λσ ϕ và Λσ ϕ ∈ E. Hơn nữa, nếu ϕ ∈ M(R+ ) (điều này được
thoả mãn nếu ϕ ∈ E thì Λσ ϕ và Λσ ϕ bị chặn và ta có đánh giá

Λσ ϕ

∞

≤

N1
Λ1 T1+ ϕ
−σ
1−e

∞

và Λσ ϕ

∞

≤

N2
Λ1 ϕ
1 − e−σ

∞

trong đó Λ1 , T1+ và N1 , N2 được xác định trong định nghĩa 1.2.1.
(b) Với mọi α > 0, e−αt ∈ E.
(c) Với mọi b > 0, ebt ∈
/ E.
7

(1.1)


1.3

Nhị phân mũ của họ tiến hóa

Định nghĩa 1.3.1 Một họ các toán tử tuyến tính, bị chặn (U (t, s))t≥s≥0
trên không gian Banach X được gọi là họ tiến hoá (liên tục mạnh, bị chặn
mũ) nếu
(i) U (t, t) = Id và U (t, r)U (r, s) = U (t, s) với mọi t ≥ r ≥ s,
(ii) ánh xạ (t, s) → U (t, s)x là liên tục với mỗi x ∈ X,
(iii) tồn tại các hằng số K, c ≥ 0 sao cho U (t, s)x ≤ Kec(t−s) x với mọi
t ≥ s và x ∈ X.
Định nghĩa 1.3.2 Một họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 trên không gian Banach
X được gọi là nhị phân mũ trên [0, ∞) nếu tồn tại các toán tử chiếu tuyến
tính bị chặn P (t), t ≥ 0, trên X và các hằng số N, ν > 0 sao cho
(a) U (t, s)P (s) = P (t)U (t, s),

t ≥ s ≥ 0,

(b) ánh xạ hạn chế U (t, s)| : KerP (s) → KerP (t), t ≥ s ≥ 0, là đẳng cấu,
chúng ta biểu diễn ánh xạ ngược là U (s, t)| := (U (t, s)| )−1 , 0 ≤ s ≤ t,
(c) U (t, s)x ≤ N e−ν(t−s) x với x ∈ P (s)X, t ≥ s ≥ 0,
(d) U (s, t)| x ≤ N e−ν(t−s) x với x ∈ KerP (t), t ≥ s ≥ 0.
Các toán tử chiếu P (t), t ≥ 0, được gọi là toán tử chiếu nhị phân, và các
hằng số N, ν được gọi là hằng số nhị phân.

8

Chương 2
NHỊ PHÂN MŨ CỦA NỬA NHÓM NGHIỆM
PHƯƠNG TRÌNH TRUNG TÍNH
Trong chương này, chúng tôi trình bày kết quả về tính nhị phân mũ
của nửa nhóm nghiệm phương trình trung tính.

2.1

Phương trình trung tính tuyến tính

Trong chương này ta nghiên cứu tính nhị phân mũ của nghiệm phương
trình trung tính có dạng

 ∂ F ut
∂t
u (t)
0

= BF ut + Φut

với t ≥ 0,

(2.1)

= ϕ(t) với t ∈ [−r, 0].

Giả thiết 2.1.1 Trên không gian Banach X và C := C([−r, 0], X) ta xét
(i) (B, D(B)) là toán tử sinh của nửa nhóm liên lục mạnh (etB )t≥0 trên

X thỏa mãn etB ≤ M eω1 t với các hằng số M ≥ 1 và ω1 ∈ R.
(ii) Toán tử sai phân F : C → X và toán tử trễ Φ : C → X tuyến tính
và bị chặn.

Định lý 2.1.2 Giả sử toán tử sai phân F có dạng F f := f (0) − Ψf, f ∈ C
cao cho Ψ thỏa mãn điều kiện Ψ < 1. Ta có
(i) λ ∈ ρ(GB,F,Φ ) với mỗi λ > ω1 +

M Φ
1− Ψ

. Ta có

R(λ, GB,F,Φ )f = eλ [ΨR(λ, GB,F,Φ ) + R(λ, B)(ΦR(λ, GB,F,Φ ) − Ψ)]f
+R(λ, GB,0 )f

với f ∈ C. (2.2)

(ii) Toán tử GB,F,Φ sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh (TB,F,Φ (t))t≥0 trên
C.
9


(iii) Phương trình (2.1) là đặt chỉnh. Chính xác hơn, với mỗi ϕ ∈ D(GB,F,Φ )
tồn tại duy nhất một nghiệm cổ điển ut (·, ϕ) của (2.1) cho bởi ut (·, ϕ) =
TB,F,Φ (t)ϕ, và với mọi dãy (ϕn )n∈N ⊂ D(GB,F,Φ ) thỏa mãn limn→∞ ϕn =
0, ta có limn→∞ ut (·, ϕn ) = 0 đều trên mỗi đoạn compact.
Định lý 2.1.3 Cho nửa nhóm (TB,0 (t))t≥0 trên C với toán tử sinh GB,0 .
Kí hiệu (T0 (t))t≥0 là hạn chế của (TB,0 (t))t≥0 lên không gian con C0 và G0
là toán tử sinh của nó. Khi đó, khẳng định sau được thỏa mãn.

σ(TB,0 (t)) ⊆ σ(T0 (t)) ∪ σ(etB ), với t ≥ 0.

(2.3)

Hệ quả 2.1.4 Nếu (B, D(B)) sinh ra nửa nhóm có nhị phân mũ (etB )t≥0
thì nửa nhóm (TB,0 (t))t≥0 cũng có nhị phân mũ.
Bổ đề 2.1.5 Cho toán tử (B, D(B)) là toán tử sinh của nửa nhóm có nhị
phân mũ (etB )t≥0 . Khi đó, nếu Ψ < 1, và ||Φ|| là đủ nhỏ, tồn tại một dải
mở Σ chứa trục ảo và hàm Hλ là giải tích và bị chặn đều trên Σ sao cho
R(λ, GB,F,Φ ) = Hλ [R(λ, GB,0 ) − eλ R(λ, B)Ψ] với λ ∈ Σ.

(2.4)

Định lý 2.1.6 Giả sử các giả thiết của định lý 3.1.2 được thỏa mãn, và
cho toán tử (B, D(B)) là toán tử sinh của nửa nhóm có nhị phân mũ
(etB )t≥0 . Khi đó, nếu chuẩn của toán tử trễ Φ đủ nhỏ, nửa nhóm nghiệm
(TB,F,Φ (t))t≥0 có nhị phân mũ.

Kết luận Chương 2
Trong chương này, chúng tôi đã chứng minh được nửa nhóm nghiệm
(TB,F,Φ (t))t≥0 của phương trình trung tính có nhị phân mũ với điều kiện
toán tử (B, D(B)) là toán tử sinh của nửa nhóm có nhị phân mũ (etB )t≥0
và chuẩn của toán tử trễ Φ đủ nhỏ.
Nội dung của chương này dựa vào bài báo [1] trong Danh mục công
trình đã công bố của luận án.
10


Chương 3
NHỊ PHÂN MŨ CỦA NỬA NHÓM NGHIỆM

PHƯƠNG TRÌNH TRUNG TÍNH VỚI QÚA KHỨ
KHÔNG ÔTÔNÔM
Xét hệ phương trình trung tính tuyến tính với quá khứ không ôtônôm
∂
F (u(t, ·)) = BF u(t, ·) + Φu(t, ·), t ≥ 0,
∂t
∂
∂
(u(t, s)) =
(u(t, s)) + A(s)u(t, s), t ≥ 0 ≥ s.
∂t
∂s

(3.1)
(3.2)

Ở đây, hàm u(·, ·) lấy giá trị trong không gian Banach X và B là toán tử
đạo hàm riêng tuyến tính, toán tử sai phân F và toán tử trễ Φ là các toán
tử tuyến tính bị chặn từ không gian C0 (R− , X) vào X, A(s) là toán tử
(không bị chặn ) trên X của bài toán Cauchy lùi không ôtônôm

 dx(t) = −A(t)x(t), t ≤ s ≤ 0,
dt

(3.3)

x(s) = x ∈ X,
s
là đặt chỉnh với cận mũ. Trong trường hợp đặc biệt, tồn tại một họ tiến
hóa lùi bị chặn mũ U = (U (t, s))t≤s≤0 giải (3.3), tức là, nghiệm của (3.3)

cho bởi x(t) = U (t, s)x(s) với t ≤ s ≤ 0.

3.1

Các nửa nhóm tiến hóa với toán tử sai
phân và toán tử trễ

Giả thiết 3.1.1 Trên không gian Banach X và C0 := C0 (R− , X) ta xét
(i) (B, D(B)) là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (etB )t≥0 trên
X thỏa mãn etB ≤ M eω2 t với các hằng số M ≥ 1 và ω2 ∈ R.
(ii) Toán tử sai phân F : E → X và toán tử trễ Φ : E → X là tuyến tính
và bị chặn.
11


Định lý 3.1.2 Cho toán tử Ψ thỏa mãn Ψ <

1
H,

và xác định toán tử

eλ : X → E bởi
[eλ x](t) := eλt U (t, 0)x với t ≤ 0, x ∈ X và Reλ > ω(U).
Khi đó, ta có các khẳng định sau
K Φ
(i) λ ∈ ρ(GB,F,Φ ) với mọi λ > ω1 + 1−H
Ψ . Với λ như vậy giải thức của

GB,F,Φ thỏa mãn

R(λ, GB,F,Φ )f = eλ [ΨR(λ, GB,F,Φ ) + R(λ, B)(ΦR(λ, GB,F,Φ ) − Ψ)]f
+R(λ, GB,0 )f

với f ∈ E.

(3.4)

(ii) Toán tử GB,F,Φ sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh (TB,F,Φ (t))t≥0 on E.
(iii) Hệ phương trình. (3.1) và (3.2) là đặt chỉnh. Precisely, với mỗi ϕ ∈
D(GB,F,Φ ) tồn tại nghiệm cổ điển duy nhất u(t, ·, ϕ) của (3.1) cho
bởi
u(t, ·, ϕ) = TB,F,Φ (t)ϕ
thỏa mãn phương trình (3.2) theo nghĩa đủ tốt, tức là, nó thỏa mãn
τ

u(t, s, ϕ) = U (s, τ )u(t, τ, ϕ) +

U (s, ξ)
s

∂
u(t, ξ, ϕ)dξ
∂t

với mọi t ≥ 0 ≥ τ ≥ s
như đã biết công thức biến thiên hằng số của phương trình (3.2).
Hơn nữa, với mỗi dãy (ϕn )n∈N ⊂ D(GB,F,Φ ) thỏa mãn limn→∞ ϕn = 0,
có một
lim u(t, ·, ϕn ) = 0

n→∞

đều trên mỗi đoạn compact.

Bổ đề 3.1.3 Cho họ tiến hóa lùi U ổn định mũ và toán tử (B, D(B)) sinh
ra nửa nhóm có nhị phân mũ (etB )t≥0 . Khi đó, nếu Ψ < 1/K1 và ||Φ||
12


đủ nhỏ, thì tồn tại một giải mở Σ chứa trục ảo và hàm Hλ là giải tích và
bị chặn đều trên Σ sao cho
R(λ, GB,F,Φ ) = Hλ [R(λ, GB,0 ) − eλ R(λ, B)Ψ] với λ ∈ Σ.

(3.5)

Định lý 3.1.4 Giả sử các giả thiết của Định lý 3.1.2 được thỏa mãn. Họ
tiến hóa lùi U ổn định mũ đều và (B, D(B)) là toán tử sinh của C0 - nửa
nhóm có nhị phân mũ (etB )t≥0 , và chuẩn của toán tử Ψ thỏa mãn Ψ <
1
K1 .

Khi đó, nếu chuẩn của toán tử trễ Φ là đủ nhỏ thì nửa nhóm nghiệm

(TB,F,Φ (t))t≥0 có nhị phân mũ.

3.2

Tính dương của nửa nhóm nghiệm

Trong phần này, ta giả sử X là dàn Banach. Khi đó C0 trở thành dàn

Banach. Hơn nữa, ta giả sử rằng nửa nhóm (etB )t≥0 sinh bởi B, toán tử
trễ Φ và toán tử sai phân F đều dương. Cuối cùng, ta giả sử rằng họ tiến
hóa lùi(U (t, s))t≤s≤0 gồm các toán tử dương. Khi đó ta có kết qủa về tính
dương của nửa nhóm nghiệm (TB,F,Φ (t))t≥0 .
Định lý 3.2.1 Cho B sinh ra nửa nhóm dương (etB )t≥0 trên X. Giả sử các
toán tử Φ, Ψ, F , và U (t, s), t ≤ s ≤ 0,đều dương với chuẩn Ψ < 1/H.
Khi đó, nửa nhóm (TB,F,Φ (t))t≥0 được sinh GB,F,Φ cũng dương.
Mệnh đề 3.2.2 Cho Ψ lấy giá trị trong D(B). Khi đó, với mỗi số phức λ
ta có

λ ∈ σ(GB,F,Φ ) nếu và chỉ nếu

λ ∈ σ(BF eλ + λΨeλ + Φeλ ).

Định lý 3.2.3 Cho (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh dương với toán
tử sinh (A, D(A)) trên dàn Banach X. Khi đó cận phổ s(A) thoả mãn
s(A) < 0 nếu và chỉ nếu (T (t))t≥0 ổn định mũ.
Mệnh đề 3.2.4 Theo giả thiết của định lý 3.2.1 và Mệnh đề 3.2.2, nếu
hàm giá trị toán tử S(λ) = λΨeλ với λ ∈ R giảm, thì hàm cận phổ s(·)
giảm và liên tục trái trên R.
13


Định lý 3.2.5 Với giả thiết của Mệnh đề 3.2.4 ta có, nếu s(BF eλ +λΨeλ +
Φeλ ) < λ, thì s(GB,F,Φ ) < λ.
Hệ quả 3.2.6 Giả sử giả thiết của Mệnh đề 3.2.4 được thỏa mãn. Khi đó
nửa nhóm (TB,F,Φ (t))t≥0 ổn định mũ nếu nếu cận phổ s(BF e0 + Φe0 ) nhỏ
hơn 0.

Kết luận Chương 3

Trong chương này, đối với phương trình trung tính với quá khứ không
ôtônôm chúng tôi đã chứng minh được

• Nửa nhóm nghiệm (TB,F,Φ (t))t≥0 có nhị phân mũ với điều kiện họ tiến
hóa lùi U ổn định mũ đều, (B, D(B)) là toán tử sinh của C0 - nửa
nhóm có nhị phân mũ (etB )t≥0 và chuẩn của các toán tử Ψ và Φ đủ
nhỏ.
• Kết qủa về tính dương của nửa nhóm nghiệm (TB,F,Φ (t))t≥0 .

Nội dung của chương này dựa vào bài báo [2] trong Danh mục công
trình đã công bố của luận án.

14


Chương 4
ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI
PHÂN TRUNG TÍNH
Trong chương này chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại đa tạp ổn định bất
biến, đa tạp không ổn định, đa tạp tâm mô tả định tính dáng điệu của
phương trình gần quỹ đạo nhất định.

4.1

Đa tạp ổn định bất biến của phương
trình vi phân trung tính trong không
gian chấp nhận được trên nửa đường
thẳng

Giả sử họ toán tử tuyến tính (B(t))t≥0 sinh ra họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 .

Để chứng minh sự tồn tại của đa tạp ổn định, thay cho (1.1) chúng ta xét
phương trình tích phân

F u(t) = U (t, s)F φ +
u
= φ ∈ C.
s

t
s U (t, ξ)f (ξ, uξ )dξ

với t ≥ s ≥ 0,

(4.1)

Chú ý rằng, nếu họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 nảy sinh từ bài toán Cauchy đặt
chỉnh
du
dt

= B(t)u(t),

t ≥ s ≥ 0,

u(s) = xs ∈ X
khi đó hàm u : [s − r, ∞) → X, thỏa mãn (4.1) được gọi là nghiệm đủ tốt
của phương trình (1.1).
Giả sử họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với họ toán tử chiếu
nhị phân P (t), t ≥ 0, và các hằng số nhị phân N, ν > 0 . Chúng ta xác
định họ toán tử (P (t))t≥0 trên C như sau.

P (t) : C → C
15


(P (t)φ)(θ) = U (t − θ, t)P (t)φ(0) với mọi θ ∈ [−r, 0].

(4.2)

Khi đó, chúng ta có (P (t))2 = P (t), do đó các toán tử P (t), t ≥ 0, là các
toán tử chiếu trên C. Hơn nữa, ta có
ImP (t) = {φ ∈ C : φ(θ) = U (t − θ, t)ν0 , ∀ θ ∈ [−r, 0], với ν0 ∈ ImP (t)}.
(4.3)
Bổ đề 4.1.1 Cho họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với họ toán
tử chiếu nhị phân P (t), t ≥ 0, và các hằng số nhị phân N, ν > 0. Giả sử
rằng ϕ là hàm không âm, thuộc không gian hàm Banach chấp nhận được
E. Cho F : C → X và Φ : R+ × C → X theo thứ tự là toán tử sai phân và
toán tử trễ. Giả sử F là toán tử tuyến tính bị chặn, Φ là ϕ-Lipschitz, và
u(t) là nghiệm của phương trình (4.1) sao cho supt≥s ut < ∞ với s ≥ 0
cố định. Khi đó, với t ≥ s, u(t) thỏa mãn

F ut = U (t, s)ν0 + ∞ G(t, τ )Φ(τ, uτ )dτ,
s
 u =φ∈C

(4.4)

s

trong đó ν0 ∈ X0 (s) = P (s)X, và G(t, τ ) là hàm Green
G(t, τ ) =

P (t)U (t, τ )

nếu t > τ ≥ 0,

−U (t, τ )| (I − P (τ ))

nếu 0 ≤ t < τ.

Khi đó, chúng ta có đánh giá G(t, τ ) ≤ N (1 + H)e−ν|t−τ |

(4.5)
với t = τ ,

trong đó H = supt≥0 P (t) .
Định lý 4.1.2 Giả sử họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với họ
toán tử chiếu nhị phân P (t), t ≥ 0, và các hằng số nhị phân N, ν > 0. Xét
toán tử chiếu P (t) được xác định như trong (4.2). Cho toán tử sai phân
F : C → X có dạng F = δ0 − Ψ với Ψ ∈ L(C, X), Ψ < 1, and δ0 là
hàm Dirac tập trung tại 0. Giả sử rằng ϕ là hàm không âm, thuộc không
gian hàm Banach chấp nhận được E. Cho toán tử trễ Φ : R+ × C → X là
ϕ-Lipschitz, đặt
eνr (1 + H)N (N1 Λ1 T1+ ϕ
k :=
1 − e−ν
16

∞

+ N2 Λ 1 ϕ

∞)

.

(4.6)


Khi đó, nếu

k
1− Ψ

< 1, với mỗi hàm φ ∈ ImP (s) có duy nhất nghiệm

u(t) của phương trình (4.1) trên [s − r, ∞) thoả mãn P (s)us = φ và
supt≥s ut

C

< ∞ ở đây hàm u˜s được xác định u˜s (θ) = F us−θ với mọi

−r ≤ θ ≤ 0. Hơn nữa, với hai nghiệm u(t), v(t) ứng với hai hàm ban đầu
φ1 , φ2 ∈ ImP (s) ta có ước lượng sau:
ut − vt

C

≤ Cµ e−µ(t−s) φ1 (0) − φ2 (0)

với mọi t ≥ s ≥ 0

trong đó µ và Cµ là các hằng số dương phụ thuộc vào u, v, φ1 và φ2
Sau đây, chúng ta đưa ra định nghĩa đa tạp ổn định bất biến cho các
nghiệm của phương trình (4.1).
Định nghĩa 4.1.3 Tập S ⊂ R+ × C được gọi là đa tạp ổn định bất biến
đối với các nghiệm của phương trình (4.1) nếu với mỗi t ∈ R+ không gian
pha C được phân tích thành tổng trực tiếp C = X0 (t) ⊕ X1 (t) với các toán
tử chiếu P (t) (tức là, X0 (t) = ImP (t) và X1 (t) = KerP (t)) sao cho
sup P (t) < ∞,
t≥0

và tồn tại họ ánh xạ liên tục Lipschitz
gt : X0 (t) → X1 (t),

t ∈ R+

với hằng số Lipschitz đọc lập với t sao cho
(i) S = {(t, ψ + gt (ψ)) ∈ R+ × (X0 (t) ⊕ X1 (t)) | t ∈ R+ , ψ ∈ X0 (t)}, ta
ký hiệu
St := {ψ + gt (ψ) : (t, ψ + gt (ψ)) ∈ S},
(ii) St đồng phôi X0 (t) với mọi t ≥ 0,
(iii) mỗi φ ∈ Ss có tương ứng một và chỉ một nghiệm u(t) của phương trình
(4.1) trên [s − r, ∞) thỏa mãn các điều kiện u˜s = φ và supt≥s ut

C

<

∞, ở đây hàm u˜s được xác định như trong định lý 4.1.2. Hơn nữa,

hai nghiệm bất kỳ u(t) và v(t) của phương trình (4.1) tương ứng với
17


φ1 , φ2 ∈ Ss hút nhau cấp mũ, tức là tồn tại các hằng số dương µ và
Cµ độc lập với s ≥ 0 sao cho
ut − vt

C

≤ Cµ e−µ(t−s) P (s)φ1 − P (s)φ2

C

với t ≥ s,

(4.7)

(iv) S là F -bất biến đối với phương trình (4.1) tức là nếu u(t), t ≥ s − r,
là một nghiệm của phương trình (4.1) thỏa mãn điều kiện u˜s ∈ Ss và
supt≥s ut

C

< ∞, khi đó ta có u˜t ∈ St với mọi t ≥ s, ở đây hàm u˜t

được xác định bởi
u˜t (θ) = F ut−θ với mọi − r ≤ θ ≤ 0 và t ≥ 0.

(4.8)

Chú ý: Nếu chúng ta đồng nhất X0 (t) ⊕ X1 (t) với X0 (t) × X1 (t), thì chúng
ta có St = graph(gt ).
Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh sự tồn tại của đa tạp ổn định của
phương trình (4.1).
Định lý 4.1.4 Cho họ tiến hoá {U (t, s)}t≥s≥0 có nhị phân mũ với họ toán
tử chiếu nhị phân P (t), t ≥ 0, và các hằng số nhị phân N, ν > 0. Cho toán
tử sai phân F : C → X có dạng F = δ0 − Ψ với Ψ ∈ L(C, X), Ψ < 1,
và δ0 là hàm Dirac tập trung tại 0. Giả sử rằng ϕ là hàm không âm, thuộc
không gian hàm Banach chấp nhận được E. Toán tử trễ Φ : R+ × C → X là
ϕ-Lipschitz thỏa mãn k <

1− Ψ
1+N eνr (1+ Ψ )

trong đó k được xác định bởi (4.6).

Khi đó, tồn tại đa tạp ổn định bất biến S đối với các nghiệm của phương
trình (4.1).

4.2

Tam phân mũ và đa tạp tâm ổn định
của phương trình trung tính

Trong phần này, chúng ta tổng quát Định lý 4.1.4 cho trường hợp họ
tiến hoá {U (t, s)}t≥s≥0 có tam phân mũ trên R+ và hàm phi tuyến Φ là
18

ϕ-Lipschitz. Trong trường hợp này, với điều kiện như trên chúng ta chứng
minh sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định cho các nghiệm của phương trình
(4.1).
Định lý 4.2.1 Xét họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ với các họ
toán tử chiếu tam phân (Pj (t))t≥0 , j = 1, 2, 3, và các hằng số tam phân
N, α, β > 0. Giả sử rằng f : R+ × C → X là ϕ-Lipschitz, trong đó ϕ là
hàm không âm và thuộc không gian hàm Banach chấp nhận được E. Đặt
q := sup{ Pj (t) : t ≥ 0, j = 1, 3}, N0 := max{N, 2N q}, ν :=
k :=

(1 + H)eνr N0
(N1 Λ1 T1+ ϕ
−ν
1−e
1− Ψ
1+N0 eνr (1+ Ψ ) ,

Khi đó, nếu k <

∞

+ N2 Λ 1 ϕ

δ−α
2

và

∞ ).

(4.9)

thì với mỗi δ > α tồn tại đa tạp tâm ổn

định S = {(t, St )}t≥0 ⊂ R+ × C đối với các nghiệm của phương trình (4.1),
được biểu diễn bởi họ các ánh xạ liên tục Lipschitz
Φt : Im(P1 (t) + P3 (t)) → ImP2 (t)
với hằng số Lipschitz độc lập t, và St = graph(Φt ) có các tính chất sau:
(i) St đồng phôi với Im(P1 (t) + P3 (t)) với mọi t ≥ 0.
(ii) Mỗi φ ∈ Ss có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (4.1) xác định
trên [s − r, ∞), thoả mãn các điều kiện sau: e−γ(s+θ) F us−θ = φ(θ)
với θ ∈ [−r, 0] và supt≥s e−γ(t+·) ut (·)

C

< ∞, trong đó γ =

δ+α
2 .

Hơn

nữa, giả sử u(t), v(t) là hai nghiệm của phương trình (4.1) tương ứng
với hai hàm ban đầu φ1 , φ2 ∈ Ss thì chúng ta có ước lượng
ut − vt

C

≤ Cµ e(γ−µ)(t−s) (P (s)φ1 )(0) − (P (s)φ2 )(0) với t ≥ s
(4.10)

trong đó µ và Cµ là các hằng số dương độc lập với s, u(·), và v(·).
(iii) S là F - bất biến đối với phương trình (4.1), tức là, nếu u(t), t ≥
s − r, là nghiệm của phương trình (4.1) thoả mãn các điều kiện
sau: hàm e−γ(s+·) u˜s (·) ∈ Ss và supt≥s e−γ(t+·) ut (·)
19

C

< ∞, thì hàm


e−γ(t+·) u˜t (·) ∈ St với mọi t ≥ s, trong đó u˜t được xác định như trong
(4.8).

4.3

Đa tạp không ổn định của phương trình
trung tính

Trong phần này, chúng ta xét phương trình (4.1) trên toàn đường thẳng,
giả sử các toán tử B(t), t ∈ R, sinh ra họ tiến hoá (U (t, s))t≥s có nhị phân
mũ trên R. Khi đó, chúng ta chỉ ra sự tồn tại của đa tạp không ổn định
và tính hút của đa tạp này đối với các quỹ đạo nghiệm bất kỳ của phương
trình

F ut
u
s

= U (t, s)F φ +

t
s U (t, ξ)Φ(ξ, uξ )dξ

for t ≥ s,

(4.11)

= φ ∈ C.

Nghiệm của phương trình (4.11) được gọi là nghiệm đủ tốt của phương
trình (4.1) trên R.
Bổ đề 4.3.1 Cho họ tiến hoá {U (t, s)}t≥s có nhị phân mũ với các toán tử
chiếu nhị phân P (t), t ∈ R, và các hằng số nhị phân N, ν > 0. Giả sử ϕ
là hàm không âm, thuộc không gian hàm Banach chấp nhận được E. Cho
F : C → X và Φ : R+ × C → X lần lượt là các toán tử sai phân và trễ.
Giả sử Φ là ϕ-Lipschitz và u(t) là nghiệm của phương trình (4.11) sao cho
supt≤t0 ut

C

< ∞ với t0 cố định. Khi đó, với t ≤ t0 hàm u(t) thỏa mãn
t0

G(t, τ )Φ(τ, uτ )dτ

F ut = U (t, t0 )| ν1 +

(4.12)

−∞

trong đó ν1 ∈ X1 (t0 ) = (I − P (t0 ))X và G(t, τ ) là hàm Green.
Định lý sau đây, cho chúng ta kết quả về sự tồn tại nghiệm duy nhất và
tính ổn định mũ của các nghiệm của phương trình (4.12) ứng với hàm ban
đầu thuộc ImP (t).
20


Định lý 4.3.2 Cho họ tiến hoá {U (t, s)}t≥s có nhị phân mũ với các toán
tử chiếu nhị phân P (t), t ∈ R, và các hằng số nhị nhân N, ν > 0. Xét
các toán tử chiếu P (t) được xác định trong (??). Cho toán tử sai phân
F : C → X có dạng F = δ0 − Ψ và Ψ ∈ L(C, X) với Ψ < 1, δ0 là hàm
phân phối Dirac tập trung tại 0. Giả sử ϕ là hàm không âm, thuộc không
gian hàm Banach chấp nhận được E. Cho Φ : R × C → X là ϕ-Lipschitz,
và đặt
k :=
Khi đó, nếu k <

1
1− Ψ

eνr (1 + H)N (N1 + N2 ) Λ1 ϕ
1 − e−ν

∞

.

(4.13)

, thì với mỗi φ ∈ ImP (t0 ) có duy nhất nghiệm

u(·) của phương trình (4.12) trên (−∞, t0 ] thoả mãn P (t0 )ut0 = φ và
supt≤t0 ut

C

< ∞ trong đó hàm u˜t0 được xác định bởi u˜t0 (θ) = F ut0 +θ

với mọi −r ≤ θ ≤ 0. Hơn nữa, gọi u(·), v(·) là hai nghiệm của phương
trình (4.12) ứng với hai hàm ban đầu φ1 , φ2 ∈ ImP (t0 ) thì chúng ta có ước
lượng sau:
ut − vt

C

≤ Cµ e−µ(t0 −t) φ1 (0) − φ2 (0)

với mọi t ≤ t0

trong đó µ là hằng số dương thoả mãn
N (1 + H)eνr (N1 + N2 ) Λ1 ϕ
0 < µ < ν + ln 1 −
1− Ψ
νr
Ne
Cµ :=
.

νr
1 +N2 ) Λ1 ϕ ∞
1 − Ψ − N (1+H)e1−e(N−(ν−µ)

∞

, và

Định nghĩa 4.3.3 Tập U ⊂ R × C được gọi là đa tạp không ổn định đối
với các nghiệm của phương trình (4.11) nếu mỗi t ∈ R không gian pha C
được phân tích thành tổng trực tiếp, C = X0 (t) ⊕ X1 (t) tương ứng với các
toán tử chiếu P (t), t ∈ R, (tức là, X0 (t) = ImP (t) và X1 (t) = KerP (t))
sao cho supt∈R P (t) < ∞, và tồn tại họ các ánh xạ liên tục Lipschitz
gt : X0 (t) → X1 (t),

t∈R

với hằng số Lipschitz độc lập với t sao cho
(i) U = {(t, ψ + gt (ψ)) ∈ R × (X0 (t) ⊕ X1 (t)) | t ∈ R, ψ ∈ X0 (t)}, chúng
21


ta ký hiệu
Ut := {ψ + gt (ψ) : (t, ψ + gt (ψ)) ∈ U},
(ii) Ut đồng phôi với X0 (t) với mọi t ∈ R,
(iii) mỗi t0 ∈ R và φ ∈ Ut0 có duy nhất nghiệm u(·) của phương trình
(4.11) trên (−∞, t0 ] thoả mãn ut0 = φ và supt≤t0 ut

C

< ∞, trong

đó hàm u˜t0 được xác định như trong định lý 4.3.2. Hơn nữa, gọi u(·),
v(·) là hai nghiệm của phương trình (4.11) tương ứng với các hàm
ban đầu φ1 , φ2 ∈ Ut0 thì các nghiệm này hút nhau cấp mũ, tức là tồn
tại các hằng số µ và Cµ độc lập với t0 sao cho
ut − vt

C

≤ Cµ e−µ(t0 −t) (P (t0 )φ1 )(0) − (P (t0 )φ2 )(0) với t ≤ t0 ,
(4.14)

(iv) U là F -bất biến với phương trình (4.11), tức là, nếu u(t), t ∈ R, là
nghiệm của phương trình (4.11) thoả mãn ut0 ∈ Ut0 và supt≤t0 ut

C

<

∞ với t0 ∈ R, thì ut ∈ Ut với mọi t ∈ R, trong đó hàm u˜t được xác
định trong Định lý 4.3.2 với t0 được thay bằng t, tức là,
u˜t (θ) = F ut+θ với mọi − r ≤ θ ≤ 0 và t ∈ R.

(4.15)

Chú ý, nếu chúng ta đồng nhất X0 (t) ⊕ X1 (t) với X0 (t) × X1 (t), thì Ut =
graph(gt ) với t ∈ R.
Sau đây, chúng ta chỉ ra sự tồn tại của đa tạp không ổn định cho các
nghiệm của phương trình (4.11).

Định lý 4.3.4 Cho họ tiến hoá {U (t, s)}t≥s có nhị phân mũ với các toán
tử chiếu nhị phân P (t), t ∈ R,, và các hằng số nhị nhân N, ν > 0. Toán
tử sai phân F : C → X có dạng F = δ0 − Ψ với Ψ ∈ L(C, X) và Ψ < 1,
δ0 là hàm phân phối Dirac tập trung tại 0. Giả sử ϕ là hàm không âm,
thuộc không gian hàm Banach chấp nhận được E. Cho Φ : R × C → X là
ϕ-Lipschitz thỏa mãn k <

1− Ψ
1+N eνr

trong đó, k được xác định bởi (4.13). Khi
22


đó, tồn tại đa tạp không ổn định bất biến U cho các nghiệm của phương
trình (4.11).
Cuối cùng, chúng ta chứng minh đa tạp không ổn định U = {(t, Ut )}t∈R
F -hút cấp mũ tất cả các nghiệm của phương trình (4.11) theo nghĩa, gọi
u(·) là nghiệm bất kỳ của phương trình (4.11) , khi đó u(·) bị hút cấp mũ
tới một quỹ đạo nghiệm F cảm sinh u∗ (·) (tức là u∗t ∈ Ut với mọi t ∈ R).
Cụ thể, chúng ta chứng minh định lý sau.
Định lý 4.3.5 Giả sử rằng các điều kiện của Định lý 4.1.4 được thoả mãn
và
l :=

k
eνr
1− Ψ

N 3 eνr (1 + H)

+1
1− Ψ −k

<1

trong đó k được xác định trong (4.13). Khi đó đa tạp không ổn định U =
{(t, Ut )}t∈R F -hút cấp mũ các nghiệm của phương trình (4.11) theo nghĩa
sau, gọi u(·) là nghiệm của phương trình (4.11) với điều kiện ban đầu uξ
tồn tại nghiệm u∗ (·) sao cho u∗t ∈ Ut với mọi t ∈ R và hằng số α > 0 sao
cho
ut − u∗t

C

≤ Ce−α(t−ξ) uξ − u∗ξ

C

,

với mọi t ≥ ξ

trong đó u∗t được xác định trong (4.15).

Kết luận Chương 4
Trong chương này chúng tôi đã thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại
của đa tạp ổn định bất biến, đa tạp tâm, đa tạp không ổn định và tính
hút của đa tạp không ổn định.
Nội dung của chương này dựa vào bài báo [3] và [4] trong Danh mục
công trình đã công bố của luận án.

23


KẾT LUẬN
Các kết quả chính của luận án là:
• Thiết lập điều kiện đủ để nửa nhóm nghiệm phương trình trung
tính tuyến tính ôtônôm và phương trình trung tính với quá khứ
không ôtônôm có nhị phân mũ, chứng minh tính dương của nửa
nhóm nghiệm.
• Thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại của đa tạp ổn định, đa tạp tâm,
đa tạp không ổn định của phương trình trung tính. Chứng minh được
tính hút của đa tạp không ổn định đối với mọi quỹ đạo nghiệm của
phương trình trung tính.

24