Dáng điệu nghiệm của các phương trình vi phân và phương trình sai phân trong không gian Banach trên một khoảng vô hạn và một số mô hình ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRUỒNG ĐẠI HỘC KHOA HỌC TựNHIÊN
* * * * * * *
Tén đề tài:
DÁNG ĐIỆU CỦA N G H IỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ PHƯƠNG
TRÌNH SAI PH ÁN TR ONG KHÔNG GIAN BANACH TRÊN M Ộ T KHOẢNG VÔ
HẠN VÀ M ỘT SỐ MÔ HÌNH ÚNG DỤNG.
M Ã SỐ: Q T 0 3 .0 3
Chủ trì đề tà i: T.s ĐẶNG ĐÌNH CHÂU
OAI HỌC QUỐC ^ 1 '■
tru n g tâm th ò n g tin ỉm .
p r / 3 6 3
Hà nội 2004
REPORT ON PRỌJECT QT-03-03
I. T itle o f P jo ject :Behavior o f s o lu tio n s o f s y ste m s o f differen tial
Equations and difference equations in the Banach space on the inffinite
interval and some application models.
II. Pjoject ‘s code: QT 03-03
III. Head of Research Group: Dr. Dang Dinh Chau
IV. Participants: Dr. Hoang Quoc Toan, Dr. Nguyen Thi Hong Minh, MSc
Nguyen Minh Man, MSc Du Duc Thang, MSc Pham Thi To N g a .B S c M ai
N g o e D ieu
V . T arget and contents:
In recent years, thanks to the d evelop m e n t o f in ío r m ation te ch n o lo g y , the
stud y o f operator and the application in p ractice is im p roved and gets m u ch
ach iev em en t. A m o n g those stu dies, the th eo ry o f operator eq u atio n s has been
researched bv m anv scien tists.B esid es the qu a litative stu dv, so m e quan titative
stu d y as the supp lem entary also play an im p ortan t role in m eetin g th e d em and
o f solv in g the practicaỉ m athem atic issu e s su ch as:
-Stud y ing N euron netvvork and electro n ics netvvork.
-A p ply to study and so lv e E con om ic p rop lem s.

-A p p ly m athem atics in E nviron m ent p rob lem s.
T herefore, in this report, so m e m ain co n ten ts is b ein g referred through
fo llo w in g :
-On the asymptotic equivalence of different equations vvith time delay
in R n
sp a c e and in B anach sp ace.
-S om e properties o f d iscu r siven ess d y n a m ics system
-S om e application s.
VI. S om e m ain resu lts:
a. R esearch activitie s: 2 papers ha v e been pu blish ed 01' a cc e p ted for
pub lication in international m ath em atica l jou rn als and V ietn a m
Joumal of Mathematicas
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN
*******
Tên đề tài:
DÁNG ĐIỆU CÙA NGHIỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHẢN VÀ PHƯƠNG
TRÌNH SAI PHẢN TRONG KHÔNG GIAN BANACH TRÊN MỘT KHOẢNG VÔ
HẠN VÀ MỘT SỐ MÔ HÌNH ỨNG DỤNG.
M Ã SỐ: QT 03.03
CHỦ TRÌ ĐỂ TÀI :T.S ĐẶNG ĐÌNH CHÁU
Tên các cán bộ phối hợp :
T.s Hoàng Quốc Toàn
Thạc sỹ Nguyễn Minh Mẫn
T.s
Nguyễn Thị Hổng Minh
Thạc sỹ Dư Đức Thắng
Củ nhãn Mai Ngọc Diệu
Thạc sỹ Phạm Tô' 'Nga
Hà N ội 2004

BÁO CÁO TÓM TẮT
a.T ên đề tài : Dáng điệu của nghiệm của các phương trình vi phán và phương trình sai
phán trong không gian Banach trên một khoảng vó han và mội số mô hình ứng dụng .
Mã số: QT 03.03
b.Chủ trì đề tài : T.s Đặng Đình Cháu
c.Các cán bộ phối hợp:
T.s Hoàng Quốc Toàn
Thạc sỹ Nguyễn Minh Mẫn
T.s Nguyễn Thị Hồng Minh
Thạc sỹ Dư Đức Thắng
cửnhán Mai Ngọc Diệu
Thạc sỹ Phạm Thị T ố Nga.
d. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu:
Trong những năm gần đáy, nhờ sự phát triển nhảy vọt của cỏ n g nghệ thông tin ,nhiều
lĩnh vục lý thuyết toán học đặc biệt trong đó có nghành lý thuvết phương trình vi phán,
phương trình sai phán được nhiều nhà toán học quan tám nghiên cứu và áp dụng các kết quả
nhận được vào thực tế chẳng hạn như: Nghiên cứu Mạng Neuron thần kinh và trí tụé nhân
tạo, ứng dụng toán học vào việc nghiên cứu và giải các bài toán kinh tế, ứng dụng toán học
vào các bài toán m ôi sinh.
Trong báo cáo này chúng tôi sẽ trình bàv một sô' kết quả mới nhận được trong việc
nghiên cứu các bài toán sau đãv:
-Sự tương đươne tiệm cân của các phương trình vi phân với biến sỏ' châm trong khỏng gian
hữu hạn chiều và không gian Banach
-M ột số tính chất của Hệ động lực tổng quát trên nhóm được sắp đặc biệt
-ứng dụng của phương pháp sai phán đối với các bài toán : Xử lý tín hiệu số, nghiên cứu sự
hoạt động của m ạn s Neuron thần kinh, nghiên cứu m ô hình Trí tué nhàn tạo. ứng dụng của
phương trình sai phán trone việc nghiên cứu m ột số bài toán kinh tế và bài toán sinh hoc và
môi trường.
e.C ác két q u ả đạt được :
- Viết được hai bài báo khoa học.

- Hoàn thành một luận vãn thạc sỹ (đã bảo vệ), sắp hoàn thành tiếp 2 luận vãn thạc SỸ và 2
luân vãn tốt n shiệp. một luận vãn tiến sỹ (sắp bảo vệ)
f.T ình h ình kin h phí của đề tài: Đã thanh toán và sử dụng theo đúng dự định
Xác nhản của B an C hủ nhiệm K hoa C h ủ trì đề tài
ÔS.TSKH.
BÁO CÁO TÓM TÁT
a.T ên đ ề t à i : Dáng điệu của nghiệm của các phương trình vi phân và phương trình sai
phản trong không gian Banach trén mộl khoảng vó hạn và mộĩ số mô hình ứng dụng .
M ã số: Q T 03.03
b.Chủ trì đề t à i: T.s Đặng Đình Châu
c.Các cán bộ phối hợp:
T.s Hoàng Quốc Toàn
Thạc sỹ Nguyễn Minh Mẫn
T.S Nguyễn Thị Hồng Minh
Thạc sỹ Dư Đức Thắng
Cử nhăn Mai Ngọc Diệu
Thạc sỹ Phạm Thị Tó'Nga.
d. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu:
Trong những nãm gần đây, nhờ sự phát triển nhảy vọt của cỏ n g nghệ thống tin ,nhiều
lĩnh vực lý thuyết toán học dặc biệt trong đó có nghành lý thuyết phương trình vi phân,
phương trình sai phán được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và áp dụng các kết quả
nhận được vào thực tế chẳng hạn như: N ghiên cứu M ạng Neuron thần kinh và trí tụê nhân
tạo, ứng dụng toán học vào việc nghiên cứu và giải các bài toán kinh tế, ứng dụng toán học
vào các bài toán m ôi sinh.
Trong báo cáo này chúng tôi sẽ trình bàv m ột số kết quả m ới nhận được trong việc
nghiên cứu các bài toán sau đãv:
-Sự tương đương tiệm cận của các phương trình vi phán với biến số chậm trong không gian
hữu hạn chiều và không gian Banach
-Một số tính chất của Hộ động lực tổng quát trên nhóm được sắp đặc biệt
-Úng dụng của phương pháp sai phân đối với các bài toán : Xử lý tín hiệu số, nghiên cứu sự

hoạt động của m ạne Neuron thần kinh, nghiên cứu m ô hĩnh Trí tuệ nhân tạo, ứng dụng của
phương trình sai phán trons việc nghiên cứu một số bài toán kinh tế và bài toán sinh học và
môi trường.
e.Các kết quả đạt được :
- Viết được hai bài báo khoa học.
- Hoàn thành một luận vãn thạc sỹ (đã bảo vệ), sấp hoàn thành tiếp 2 luận vãn thạc sv và 2
luận vãn tốt nghiệp, một luận văn tiến sỹ (sắp bảo vệ)
f.T ìn h hình k inh phí của đ ề tài: Đã thanh toán và sử dụng theo đúng dự định
Xác nhán của B an C hủ n hiệm K hoa Chủ trì đé tài
GS.TSKH.
REPORT ON PRỌJECT QT-03-03
I. T itle o f Pjoject :B ehavior o f so lu tio n s o f sy stem s o f d ifferen tia l
Equations and differen ce equations in th e B anach sp ace on the in ffin ite
interval and s o m e application m od els.
II. Pjoject ‘s code: QT 03-03
III. Head of Research Group: Dr. Dang Dinh Chau
IV . Participants: Dr. H o a n g Q u oc T o an, D r. N gu y en T hi H on g M in h , M Sc
N g u y e n M inh M an, M S c D u D uc T h ang, M S c Pham Thi T o N g a .B S c M a i
N g o e D ieu
V . Target and contents:
In recent years, tharxks to the d e v e lo p m en t o f inform ation te ch n o lo g y , the
stu dy o f operator and the application in p ractice is im p roved and g ets m uch
ach iev em en t. A m o n g those stu dies, the theo ry o f operator eq u a tion s has b een
researched by m any scien tists.B esid e s the q u alitative stu d y, so m e quantitative
stu d y as the su pplem entary also play an im portant role in m e e tin s the dem and
o f solv in g the practical m athem atic issu es su ch as:
-Stu d ying N euron n etw o rk and elec tro n ics n etw ork.
-A p p ly to study and so lv e E cono m ic p roplem s.
-A p p ly m ath em atics in E nvironm ent pro b le m s.
T h er eíore, in this report, som e m ain co n ten ts is being reíerred through

fo llow in g :
-O n the a sym p to tic eq u iv a len c e o f d ifferen t eq u a tio n s w ith tim e d e la y in R n
sp a c e and in B anach space.
-S o m e properties o f d iscu rsiven ess d y n a m ics sy stem
-S o m e applications.
V I. Som e m ain resu lts:
a. R esearch activities: 2 papers have b een p ub lish ed OI' a ccep ted for
pub lication in intern ational m ath em a tica l jo u rn als and V ie tn a m
Joum al o f M athem a ticas
MỤC LỤC
Lời mở đầu
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
1.1. Phổ của toán tử tu yến tính và lý th uyết nửa n h ó m

7
Chương 2. Sự tương đương tiệm cận của các hệ phương trinh vi phán với
đối s ố chậm
2.1 . Sự giớ i nội n g hiệm củ a phư ơ ng trình vi phân tu y ế n tính với
b iến số ch ậ m 13
2.2 . Đ ịn h lý L evin so n về sư tươn g đư ơ n g tiệm cận củ a các ph ư ơn g trình
vi phán với biến số c h ậ m 16
2.3. Sư tương đương tiệm cậ n trong k h ỏ n g gian B a n a ch

22
Chưoìig 3. Hệ động lực được sáp đặc biệt
3.1. M ộ t số k hái n iệm trong nhóm được sấp đặc b iê t
25
3.2 . Đ in h nghĩa hộ đ ộn g lực được sấp đặc biệt và m ót vài khái n iệm
mỏ' đ ầ u 28
?.?. L ớp ch uvén đ õ n s tuần hoàn và lớp chu y ển đ ộ n g po a txo n g tro n 2

hé đ ó n s lưc đươc sắp đãc b iê t

3.4. Đ iểm du đ ô n s và k h ôn g du đổn g tá m 47
3.5. Tập cực đ iể m 55
3.6. Ó n định th eo L ya p u n o v 61
C h ư o n g 4. P h á n ứ n g d u n g
3. ]. Mạng N euron 64
• Dang D inh Chau and K ieu Thu Linh, On the asymptotic
equivalence of solutions of the linear evolution equations,
International jou m al o f ev o lu tio n equations.
• Nguyen Van Minh and Nguyen Minh Man, On the asymptotic
behavior o f solutions o f ne li trai de lay difference equations,
VNƯ. J ou m a l o f Science. M a th em atics - P h y sics. T .X IX , N„3 -
20 03.
b. Training activities: W e instru cted su ccessfu lly 1 m aster o f
m a th e m atic.l doctor and 2 m asters o f m a th em atic are g oin g instru cted .
VII. Finance
T he Prjoect was ĩm an cia lly supported by V N U H w ith a total grant o f
1 5 .0 0 0 .0 0 0 V N D for 2 years.
MỤC LỤC
Lời mở đáu
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
1.1. Ph ổ của toán tử tuv ến tính và lý thuyết nửa n h ó m
7
Chương 2. Sự tương đương tiệm cận của các hê phương trình vi phán với
đối s ố ch ậ m
2 .1 . Sự g iớ i nội n g h iệm củ a phương trình vi phán tu yến tính với
b iến s ố c h ậ m 13
2 .2. Đ ịn h lv L evin so n v ề sư tươ ng đ ương tiệm cận củ a các phương trình
vi phân với biến số c h ậ m 16

2.3. Sự tương đương tiệm cận trong khống gian Banach
22
Chưong 3. Hệ động lưc được sáp đặc biệt
3 .1 . M ột s ố khái niệm trong nhóm được sãp đãc b iệ t
25
3 .2 . Đ ịn h nghĩa hệ độn g lực được sắp đăc b iệt và m ô t vài khái niệm
mỏ' đ ầ u 28
3 .3 . Lớp ch u v ên đ ô n s tuần hoàn và lớp ch u yển đ ó n£ poa txon g tron2
hé đ ộ n s lưc đươc sắp đăc b iẻ t ' '
3 .4 . Đ iểm du đ ô n s và k h ỏ n g du đ ô n g tá m 47
3.5 . Táp cự c đ iể m 55
3.6. ó n địn h theo L y a p u n o v 61
C h u o ĩis 4. P h á n ứn g d u n g
3.1. M ạn2 Neuron 64
MỞ ĐẦU
N h ờ có các thành tựu mới trong khoa h ọc và kĩ thuật chúng ta càn g ngày càng có
thể khám phá được nhiều hơn và đi sâu hơn vào những bí m ật của th ế giới tự nhiên.
Trong thời gian gần đáy nhiều nhà khoa học đã nhận được nhiều thành tựu m ới trong
lý thuyết toán học hiện đại , trong công nghệ thôn g tin và áp dụne m ột cách c ó hiệu
quả vào v iệc n ghiên cứu nhiều vấn đề của thực tiễn. N h ờ đó đã thúc đẩy m ột cách
m ạnh m ẽ sự phát triển của nhiều nghành có n g nghệ m ới như cón g nghệ tin học và
cô n g nghệ sinh h ọ c
M ục đ ích chính của đề tài này là c ố gắng tiếp cận nhanh nhất với xu hướng phát
triển trên đáy của k hoa h ọc tự nhiên. Trên c ơ sở đó ch ú ng tói đã tiến hành giải quyết
m ột sổ' bài toán m ang tính chất định tính trong lĩnh vực phương trình vi phân
thường và hệ đ ộn g lực rời rạc . Cụ thể những bài toán được nghiên cứu trong đề tài là
*Sựtươrig đưcmg tiệm cận của các phương trình vi phán với biến số chậm
*Một số tính chấĩ cơ bản của hệ động lực tvén nhóm được sắp
N hững kêì quả n ghiên cứu của các bài toán này có khả nãng áp dụng vào m ột số
rình vực khoa h ọc kĩ thuật đang được nhiều nhà khoa học quan tâm ví dụ như M ạng

neuron thần kinh và m ỏ hình mạng trí tuệ nhán tạo. N ộ i dung chính của bản báo cáo
gồm có 3 phần :
1.Trong chươn g 1 và chương 2 trình bày các kết quả nghiên cứu về tính tương
đương tiệm cận của phương trình vi phân tuyến tính với biến số chậm trong không
cian R n và trong khóní: Banach. Đ ây là những kết quả m ới và có ý nghĩa khoa học
trong rình vực lí thuvếi định tính của phương trình vi phân.
2 .Ch ươn 2 3 dành cho việc n ghiến cứu hệ đ ộn s lực rời rạc( hệ đ ộng lực được sắp
đặc biệt) .Nhò' sự phát triển mạnh m ẽ của có ng nghệ thông tin và kĩ thuật điện tử
trong nhữnc nãm £ần đảv. một số nghành khoa học như giải tích số. xử lý tín hiệu số
và một số nshành khoa học liên quan đã nhãn được sư quan tám đặc biệt của các nhà
khoa học. Những ván để mà chúnc tôi đang quan tám nghiên cứu ở chươnc 3 như là
các tập bất biến cùa hệ động lưc. sự phân lớp của các chuyển động tuần hoàn, sư ổn
định của các hệ độns lưc rời rạc là những vấn đế manc tính thời sự cao và có nhiéu
khả nãnc áp dune vào thực tiễn .Thông qua việc đi sáu ùm hiểu và nghiên cún những
vấn đề này chúns tỏi dần dán đi đến mục đích cuối cùng là ứng dune các kết quả
nchiên cứu trone lí thuvết phươns trình vi phân và hệ động lực tổng quái vào các
lĩnh vực khác nhau cua khoa học kĩ thuật và đời sống hànc nsàv.
3. Ch ươn £ 4 dành cho những tìm hiểu đẩu tiên về cơ c h ế hoạt đ ộng của m ạna
thán kinh và sự mó hình hoá của nó thành các mỏ hình toán học.ĐổnE thòi chươns
này cũ nc có trình bàv một số kết quà ứng dung của lí thuyết ổn định của phương
trình vi phán với biến số chậm th eo xu hưótts nói trén. T uy nhiên n hũ ìis nchiên cứu
của phán nà y còn ó m ức khời thao và m ang tính m inh hoạ. nếu có điều kiện chơ
phép đi xa hơn nữa th eo xu hướnc này ch ú ns tỏi hy vọn g sẽ đạt được những kết quả
m ĩ m ãn m à ch ú n s tỏi đane kv v ọ ne.
CHƯƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 PHỔ CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH VÀ LÝ TH U Y ẾT NỬA NHÓM
1.1.1 Không gian Banach. Toán tử tuyến tính trong không gian Banach
Cho khổng gian tuyến tính X , chuẩn trong X được ký hiệu là một hàm số từ X —> R
sao cho chúng thòa mãn các tiên đề sau:

(i) ||x|| > 0, ||x[ = 0 khi và chỉ khi X = 0
(ii) ||Ax|| =1 A I 11 ' . VA € c , Va: € X
(iii) ||x + 2/|| ^ Ị x |: + ||y||, V x ,Ị /€ X
Không gian tuyến tính X được trang bị một chuẩn như trên được gọi là khống gian tuvến
tính đinh chuẩn.
Đ ịnh ngh ĩa 1. K hồns gian tuyến tính đinh chuẩn X được gọi là không gian Banach nếu
X là đầy đủ tức là m ọi dãv Cauchy trong X đều hội tụ đến m ột phần tử thuộc X .
Đ ịnh ngh ĩa 2. Cho X là không gian Banach phức, ánh xạ Ả từ D(A) c X vào X được
gọi là toán tử ruvén tính nếu D(A) là khóng gian con tuyến tính và A là ánh xạ tuyến
tính. M iền D(A) được gọi là miền xác định của toán tử tuvến tính A.
Định nghĩa 3. Toán từ tuvến tính A trên không gian Banach phức X được gọi là toán tử
tuyến tính giới nội nếu nó thỏa mãn nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau:
(!) D{A) - X
(ii) Tồn tại một số c > 0 sao cho |ỊAr|| 4 c|ịx ỊỊ,V x € X . Trong đó |ịx|Ị là chuẩn của phần
tử X trong không gian Banach X theo nghĩa thông thường.
7
Định nghĩa 4. Toán tử tuyến tính A từ D(Á) c X vào X được gọi là toán tử tuyến tính
đóng nếu đồ thị của nó là đóng, tức là tập hợp { (z , Ax) c X X X , Vx € D(A)} là tập hợp
đóng trong không gian tích X X X .
Đ ịnh n g h ĩa 5. Toán tử tuyến tính liên tục từ không gian Banach X vào không gian Banach
Y được gọi là toán tử compact nếu với mọi hình cầu S i trong X thì A(S\) là compact
tương đối trong Y .
Đ ịnh n g h ĩa 6. Cho X là không gian Banach phức và Ả : X —» X là toán tử tuyến tính
giới nội , khi đó tập p(A) := {A € C: sao cho tồn tại (XI - A)~l € £ ( X )} được gọi là
tập giải hay tập các điểm chính quy của toán tử A và R (A ,j4 ) := (A — A)~ 1 được gọi là
giải của toán từ A.
Còn ơ(A) := c \ p{Á)ă\iọc gọi là phổ của toán tử A
Giả sử A là toán tử tuyến tính giới nội trong không gian Banach X , khi đó ơ(A) có
các tính chất cơ bản sau :
(i) ơ{A) Ỷ 0

(ii) ơ(A) là một tập đóng
(iii) ơ(A) g iớ i n ộ i
(iv) R(\,A) luỏn giải tích trên táp p{A).
Trong luận vãn này chúng tôi thường sử dụng một số' kết quả sau:
Định lý 1.1. Già sử X là mội không gian Banach và A € I /(X ) là toán từ compact nếu
X Ỷ 0 thuộc phổ ơ(A) thì X là một giá trị riéng của A.
Chứng minh. X em [ 2]. trans 129 □
Đ ịnh lý 1.2. Già sử X là một không gian Banach, nếu A G L(X) là toán tủ compací thì
ơ(A) không có điém tụ khác không và tập phổ ơ(Á) có nhiếu nhất là đếm được phấn tủ.
Chửng minh. X em [2]. trang 131. □
Định lý 1.3. Sếu X là mộí không gian Banach, A G L (X ) là toán tử compaci và X là
một sô'khác không thì .Y(.4 —*A/) là mộ! khóng gian con hữu hạn chiểu của X . Trong đó
N (A — XI) là ki hiệu tập hạt nhân của (A — XI).
Chứng minh. X em [2] 129. □
8
Đ ịnh lý 1.4. ( Định lí bao hàm phổ)
Cho A là toán tử sinh của nửa nhóm lién tục mạnh (T(t))ị> 0 trên không gian Banach X
thì: e ^ {A) c ơ{T(t)) với t > 0.
Chứng minh. X em [6] trang 84. □
Định lý 1.5. (Định lí ánh xạ phổ cho phổ điểm)
Cho A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T(t))ị>0 thì:eta^ A) = ơp(T(t)) ỏ đáy
ơp(A) là phổ điểm của A.
Chứng minh. X em [6] trang 85. □
Định lý 1.6. ( Định lí ánh xạ phổ cho nửa nhóm liên tục đểu )
Mọi nửa nhóm liên tục đều {etA)t>0 và A là toán tủ sinh có:
ơ(etA) = := {etX : A G ơ(A)}.
Với mọi t > 0.
Chứng minh. Xem [14] ữang 19. □
1.1.3 Phép chiếu Riezs và phán rã phổ của một toán tử
Cho X là khóng gian Banach, i : X - t X liên tục. Giả sử rằng tập phổ ơ{A) = ơ\ ỊJ Ơ2

là hợp rời rạc của các tập compact, là một chu tuyến Jordan bao lất cả các điểm trong
tập ƠI
Xét toán tử:
p' = ^ í ix i- A)~'ăX
Nhận tháy toán tử Pi là m ột toán tử chiếu giới nội: Pj2 = Pj. Toàn bộ không gian X được
phán tích thành tổng trực tiếp của hai khóng gian con: X = X i © x 2 ở đây X j = P ]X
và X o = ( / — P i)X . K h ỏns gian con X ] nằm hoàn toàn trong m iền xác định D(A) của
toán từ A. Phần phổ của toán tử A\ (phần thu hep của toán tử A trên khống gian con X j)
trùns với táp ơ\. Phần thu hep A2 của toán từ A trên táp hợp ( / — Pỵ)D(A) — DịA?) là
một toán tử tuyến tính đóng xác định trong x 2 m à phổ của nó trùng với táp ơ 2. Bởi vậy
việc nshiẽn cứu toán từ A được đưa về việc nghiên cứu toán tử giới nội Aj trong không
gian X i và toán tử A 2 trong không gian x 2. Theo định nghĩa ta có:
PlA = í A { \Ị - A ^ d X = APị
Hay phép chiếu Riezs giao hoán với A
10
1.1.2 Nửa nhóm giới nội đều và nửa nhóm liên tục mạnh
Định nghĩa 7. Cho X là m ột không gian Banach với chuẩn tương ứng. M ột họ toán tử
(tuyến tính hoặc phi tuyến) {T(t))t> 0 phụ thuộc tham sô' trong không gian X được gọi là
một nửa nhóm các toán tử trong X (hay có cấu trúc nửa nhóm) nếu thỏa mãn phương trình
hàm:
Định nghĩa 8. Nếu T(t) là các toán tử tuyến tính bị chận từ X vào X thì nửa nhóm các
toán tử tuyến tính (T{t))t> 0 trên không gian X được gọi là một nửa nhóm của các toán tử
tuyến tính bị chặn.
Đ ịnh nghĩa 9. Nửa nhóm toán tử (T(t))i>0 gọi là liên tục manh nếu với m ọi X € X ,
lim T(t)x = X, khi đó toán tử A được gọi là toán tử sinh của (T(t))t> nếu nó thoả mãn:
Định n ghĩa 10. M ột nửa nhóm liên tuc mạnh (T(t))t>0 được gọi là compact với t > to
nếu với m ọi t > t0 . T{t) là toán tử com pact, đặc biệt nếu t0 = 0 thì (T(t))t> 0 được gọi
là nữa nhóm compact.
Định nghĩa 11. M ột nửa Khóm toán tử tuyến tính bị chăn (T(t))t>ũ đươc gọi là là liên
tục đều nếu lim ||T (f) — /|ị = 0.

Nếu {T(t))ị> 0 là một nừa nhóm liên tục đều của các toán tử tuvến tính bị chăn thì:
(a) Tồn lại m ột hằng số UI > 0 sao cho ||r ( í)|| <c eut
(b) Tổn tại duy nhất m ột toán từ tuyến tính bị chận A sao cho T(t) = eM .
(c) Toán tử A ờ phần b) là toán tử sinh của T{t).
(d) t -4 Tự) là khả vi và thoả mãn phưcmg trình:
( 1.1)
T ( x ) — X
D{Á) — { x £ X : giới hạn li m

-

tồn tai hữu han}
Ax = lim -— - , x € D{A)
t ị 0 t v ’
no
đT{t)
- 1 = m t) = T(t)A
9
Đ ịn h lý 1.4. ( Định lí bao hàm phổ)
Cho A là toán tủ sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T(t))ị> 0 trên không gian Banach X
thì: e c ơ(T(t)) với t > 0.
Chứng minh. X em [6] trang 84. □
Đ ịn h ]ý 1.5. (Định lí ánh xạ phổ cho phổ điểm)
Cho A ỉà toán tủ sinh của nửa nhóm liên tục mạnh {T(t))ị> 0 thỉ:eu’ĩ’(A) = ơp(T(t)) ỏ đáy
ơp(A) là phổ điểm của A.
Chứng minh. X em [6] trang 85. □
Đ ịnh lv 1.6. ( Định lí ánh xạ phổ cho nửa nhóm liên tục đểu )
Mọi nửa nhóm liên tục đều {etA)t> 0 và A là toán tử sinh có:
ơ(etA) = e*™ : = {etX : A e a{A)}.
Với mọi t > 0.

Chứng minh. X em [14] ưang 19. □
1.1.3 Phép chiêu Riezs và phán rã phổ của một toán tử
Cho X là không gian Banach. A : X —* X liên tục. Giả sử rằng tập phổ ơ{A) = ƠI u ơ 2
là hợp rời rạc của các tập com pact, 7 ! là một chu tuyến Jordan bao lất cả các điểm trong
tập
Xét toán tử:
Pi = ^~. í (AI - A ) - ldX
2ĩĩĩ
Nhận thấy toán tử P] là một toán tử chiếu giới nội: PỊ = Pj. Toàn bộ không gian X được
phán tích thành tổng trực tiếp của hai khống gian con: X = X ; 0 x 2 ờ đáy X ] = P ]X
và x 2 = (I — P ])X . Khống gian con X ] nằm hoàn toàn trong m iền xác định D(A) của
toán từ A. Phần phổ của toán tử A\ (phần thu hep cùa toán tử A trên khống gian con X i)
trùns với tập ơ\. Phần thu hẹp .4 2 cùa toán từ A trẽn táp hợp (I - Pi)D(A) = D{A2) là
một toán tử tuyến tính đóng xác định trong x 2 mà phổ của nó trùng với tập ơ2. Bởi vậy
việc nsh iẻn cứu toán từ A được đưa về việc nghiên cứu toán tử giới nội A\ trong không
gian X ] và loán tử .42 trong không gian x 2. Theo định nghĩa ta có:
P\A = r ị - / A(XI - A)~ld\ = APÌ
Hay phép chiếu Riezs sia o hoán với A
10
CHƯƠNG 2
S ự TƯƠNG ĐƯƠNG TIỆM CẬN CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI
PHÂN VỚI ĐỐI SỐ CHẬM
Trong phần đầu của chương này chúng tôi xin nhắc lại m ột số kết quả đã biết đối vói
phương trình vi phân với biến số chậm trong không gian Banach.
Trong không gian Banach X xét phương trình vi phân:
= A(t)x(t) + f(t,x(t + 0 )),-h < 8 ẻ 0 (2.1)
at
ở đáy x(t) là hàm phải tìm với t > 0; X € X ; + 6)) là hàm vectơ, nhận giá trị
trong không gian X. Giả sử rằng / ( í , x(t 4- 9)) liên tục theo t, xác định đối với các hàm
liên tục x(t), với t > 0 thực hiện điều kiện:

| | / ( í , 0 ) H m (2.2)
\\f(t.y{t + 6 ) )-fự ìz{t + e))\\^L sup \\y{t + 6) - z(t + 0)11 (2.3)
- h < è < 0
Kí hiệu N(t,r) là toán tử giải của phương trình vi phán:
^ = A(t)x(t) (2.4)
Giả sử rằng .Y(f. r) thực hiện điều kiện:
||Ar( í,r ) || 6 cex p {A (f - r ) } , (c > l ; í > r ) (2.5)
Trong đó A là một số hữu hạn.
Đ ể nghiệm cùa phương trình (1.1) là duy nhất thì chúng ta cần xác định điều kiện ban
đầu:
x(t) = ộ(t); —/ỉ Ẩ: í 4 0 (2.6)
ỏ đáy ộ(t) là hàm giới nội, liên tục hoặc liên tục từng khúc cho trước.
Đ ịnh lý 2.7. Già sử các điêu kiện (2.2), (2.3), (2 .5 ), (2.6) được thực hiện, khi đó phương
trình vi phân (2 .1) có nghiệm duy nhất với t > 0, và nghiệm này liên rục với t > 0.
Chứng minh. Xem [35] trang 355. □
11
2.1 Sự giới nội nghiệm của phương trình vi phản tuyến tính với biến sỏ
chậm
Trong không gian Banach X xét phương trình vi phân tuvến tính
dx(t)
<?
= Ax(t) + /i T Tk) (2.7)
dt
k= 1
Trong đó x,y € X ; -h ^ T é: 0, (k = 1 ,2 , > 0; A e L (X )
Bk(t) : [0;+ o o ) —> L(X),(k=l,2 , ,q ); liên tục, thoả mẵn điều kiện
[ IIB(t)\\dx < +OC (2.8)
fc=i
Kí hiệu X{t) là toán từ Cauchy của (2.7) với /i = 0.
Giả sử ộ(t) là hàm liên tục trên ị—h] 0]. Xét bài toán:

dx(t)
= Ax(t) + Bk{t)x(t + Tk ), {t > 0) (2.9)
k=l
x(t) = <Ị>(t),{t e
Ị-/i; 0])
Với ụ Ỷ 0.
Sử dụng cách chứng minh của định lí 2.21 ta có các kết quả sau:
Đ ịnh lý 2.8. V 'ới mỗĩ hàm lién tục d>{t) cho trước, phương trình (2.7) lổn tại duy nhất
nghiệm xác định ĩrén Ị—/i;+ o o ].
Chứng minh. V ì A € L(X) nên X(t) thoả mãn đánh giá Ịl^íT(t) II (M,u> > 0)
Phương trình (2 .9) có thể viết dưới dạng phương trình tích phân.
q
x{t) — X(t)o(0) + ụ. / X(t - s) Bk(s)x(s + Tk)ds. (t > 0) (2.10)
Jũ /0=1
x(t) = ệ(t),t € [—h: 0]
Xét dãy f sồm các hàm liên tục được xác đinh:
x0{t) =
ộ(t), (-h < t < 0)
X (t)ợ >(0 ),(t > 0)
12
í <Ị>(t),(-h £ t < 0)
i „ + i ( t ) = < rt 9 _ . n = 0 ,1 ,2
1 X(t)ệ(0) + / i / 0 X(t - s) £ Bk{s)xn{s + Tfc)cỉs, (í > 0)
l fc=i
(2.11)
Đật |||x (í)||| = su p ||x(OH
-hzịzt
Ta có:
|||ín+1(t) - I„(í)||| é M í ; lll*(t - s)Hlè ||S(s)|||IM s) - *n-l(5)|||d5
Jũ Jt=l

£ M M r é * * - ) V |Ị B (s ) |||||x n(s) - s „ - i ( s ) |||ds
Jo k=i
Xuất phát từ đánh giá đầu tiên:
| | M t ) - x o ( í ) l l l * |/ i | [ l M e ^ T \ \ B ( S)\\\\X(s)\\\\m \\ds
Jo fc=i
é |/i|M 2ewt||ự)(0)|| íj2\\B(s)\\ds
k= 1
Xét trong khoảng [0:T] với T > 0 hữu han tuỳ ý, để ý rằng Bk(t) là các hàm lién tục với
(k= 1.2
__
q). nén trone đoạn [0;T] ta có Yl ỉl-Sfc(0ll ~
Khi đó la có:
I I M O - s o M I I £ \ụ.\M2M ^ H
đánh giá Uén tiếp ta có:
, , , ^ IM ,, (ImIM M ìtr^M e*
|Ị |l n^ l( í) - xn{t) III ér

—

(n + 1)!
(\n\M M iT )n+1 M e^7
(n + 1)!
Ta đặt: Gn{t) — - xn(t) với n=1.2 Khi đó:
|G , ( 0 | í K ^
(n + 1)!
Mà chuỗi _
£
13
hội tụ. ta suy ra chuỗi Yi Gn(t) hội tụ tuyệt đối đều trên đoạn [0; T]. Từ đáy ta
71= 1

oo
suy ra dãy tổng riêng của chuỗi Xũ(t) + G „ (t) là hội tụ tức là xn(t) hội tụ đều đến
k=0
hàm liên tục x(t) trong khoảng [0; TỊ, và x(t) chính là nghiệm của phương ưình vi phân
(2.1 0), nghiệm này là duy nhất và thoả mãn điều kiện x(t) = ộ(t) với t e [—/i;0]. D o T
là sỏ' dương tuỳ ý nên ta suy ra rằng nghiệm của (2.10) tồn tại với m ọi t € [0; oo).
Định b' được chứng minh. □
Gọi N(t, r) là toán tử giải của phương trình (2.7) với /i Ỷ 0 (xem [35] trang 364) Khi đó
ta có kết quả sau:
Định lý 2.9. (xem [35] ĩrang 365)
Già sử điều kiện (2.8) ĩhoả mãn, khi đó nếu ||X ( í)|| < M thì N(t,T) là toán tử giới nội.
Chứng minh. Xét phương trình:
N(t,r) = X(t) + n X(t - t ) ^ Bk(s)N(s - Tk,r)ds,t > T (2.12)
Jt k= 1
Đật Ịiì-V(í, t )||| = sup |ỊAt( £ ,t )|| khi đó ta có:
|ị|AT(t r)||Ị ^ |!|X(Í)||| + |/i| r |||X(Í - s ) \ \ \ ị , ||5fc(s)|||||N(s,T)|||d5
Jt k= 1
rt 9
i M + \ụt\M / £ | | B t (s )|||||A T(s ,T )|||d S
l' T k=ĩ
áp duns bổ đề Gromvall-Bellm an ta có:
Im ỊAÍ fj ì ; |:£*(s)|ịtỉs
Ị!!-V (/,r)||| □ M e *=! < K < +OC
Vậv bổ đề được chứng minh. □
00
14
2.2 Định lí Levinson về sự tương đương tiệm cận của các phương trình
vi phán với biến số chậm
Trong ỈT xét hai hệ phương trình vi phân tuyến tính:
(2.13)

= Ay(t) + ị i B k{t)y{t + Tfc)
(2.14)
Với x,y e FT\ —h £ Tk í 0; t > 0; /i ^ 0, A £ Mn(R); Bk : R+ -» Mn(R) với k = l,2 ,q
Trong đó Mn(R) là tập hợp các ma trận vuông cấp n liên tục trên R
Trong phần nàv ta luôn giả thiết
Đ ịnh n ghĩa 12. Các hệ phương trình (2.13) và (2.14) được gọi là tương đương tiệm cân nếu
mỗi nghiệm x(t) của (2.13 ) có một nghiệm y(t) của (2.1 4) sao cho: lim ||rr(í) — y (í)|| = 0
t—»+oc
và ngược lại.
BC{X: y ) là tập hợp tất cả các toán tử liên tục, giới nội từX vàoY
X(t) là toán tử Cauchy của(2.13)
AT(í.r ) là toán tử giải củ aí2.1 4)
Ta có các kết quả sau:
Bổ đề 2.10 . Giả sử X{t) € BC{[0: +OC))]Mn(R)) khi đó X(t) luôn có thể viết được dưới
dang X(t) = U(t) 4- V(t) trong đó
| | Ư ( í ) | |
Me~^ với t >
0 ; | | V ( í ) | Ị
ế
777
với
V í 6
R,
ở đáy M.m.u.' ỉ à các hằng số dương.
(2.15)
Kí hiệu:
15
Chứng minh. V ì theo giả thiết X(t) e -BC([0; + 0 0 ); Mn(R)) nên ta có ||X (í) || < + 0 0 , áp
dụng hệ quả 2.11 trang 13 [15] ta suy tất cả các giá trị riêng của A thoả mãn Re\j(A) ế 0
và các giá trị riêng Aj có phần thực bằng không đều là các giá trị riéne đơn ( tức là các ố

Jordan tương ứng vói A có cỡ bằng 1), Hơn nữa X{t) là nửa nhóm liên tục đều, áp dụng
định lí ánh xạ phổ ta suv ra:
cr{eA) c {A € c :| A I 4 1}-
Giả sử ơ(eA) = ƠI (J ơ 2 ưong đó
ƠI c {A € c :| A |< 1}
Ơ2 c {A € c :| A
1
= 1}
Gọi r là chu tuyến đơn bao quanh ơ\ và r p |ơ 2 = 0 .
Xét phép chiếu :
p = ầ I ỵ - ^ - ' ê>
U(t) = PX{t)]V(t) = ự - P)X(t)
Ta suy ra ơ(ư{\)) = ơ\. la suy ra ra(U(l)) < 1.
Theo định nghĩa
rơ(U(l)) = lim do đó với n 0 € N đủ lớn thì n{/\\u (n 0)ỊỊ èr q < 1
Như vậy ||ỉ/(n o )|i I g"5 = e _tJT10. {—U! — Inq)
Với # > 0 ta có :
L ■ (f) = U(kno + s), /í 6 A :, 0 4 s < 77-0
suy ra
|jtT(f)|: - |Ịt'(n0)||fe||^(s)|| < e~kn°.Meas i .el'a~“)s
- . ^ e V ^ 0 '710
Theo cách xây dựng phép chiếu p và giả thiết về tính giới nội của A '(í) ta có: /?eAj[(7 -
P ).4] = 0 và các Aj là các giá trị riéng đơn. Mặt khác ta luỏn có V(t) = ( / - P ) e M =
eụi-P)A_ tỳ (3(3 ta suv ra ||V (í)|| - ĨĨI với Ví € /?. bổ đề được chứng minh. □
Định lý 2.11. Giã sử 1’A ' ) II € 5 C ([0 ; + 0 0 ); Mn(R)) và điểu kiện (2.15) được thoá mãn
khi đó hai hệ (2.13) và (2.14) là tương đương tiệm cận
16
Chứng minh. Theo định lí 2.21, với m ỗi hàm liên tục ệ(t) xác định trên [-h;0] phương
trình (2.1 4 ) có duy nhất nghiệm biểu diễn dưới dạng
y(t) = X{t)ộ{ 0) + n X ( t - s ) Y Bk(s)y(s + rk)ds, (t > 0) (2.16)

Jũ k=i
y(t) = ậ(t)với — h C t í 0
Theo bổ đề 2.23 toán tử giải N(t,r) của (2.14) thoả mãn đánh giá: ||JV(ỉ,t)|| D K < +OC
Với t0 > 0 giả sử y(t0) = Vo khi đó nghiệm của (2.14) có dạng:
y(t) = X(t - t0)y0 + ụ. / X(t - s)'Y^Bk{s)y{s + Tk)ds
•'‘o fc=i
Mặt khác theo bổ đề 2 .24 ta có: X(t) = U(t) + V(t) và theo cách xác định của V(t) ta
chỉ ra được V (í — s) = X(t — t0)V (t0 — s )
Thật vậy:
V{t - s ) = PX(t -s) = PX{t - to)X(to - s)
= X (t — to)PX(to — s) = X(t — to)V{to ~ s)
Do đó với t > t0 chúng ta có:
fí 9
y(t) = X { t- t0)y0 + /i / U(t — s) Ỵ ' Bk(s)y(s + Tk)ds
^0 k= 1
+ w V(t - s ) Ỵ ^ B k(s)y(s + rk)ds
^ío Jt=i
=X(t - to)yữ + ỊJL Ị X ( t - t 0)V(t0- s ) ỵ / Bk(s)y{s + rk)ds
Jịữ fe=i
rt 9
+ /i / u(t — s) ỵ . B k{s)y(s + Tk)ds
Jtũ k=\
- ụ ị V{t - s ) ^ 2 Bk{s)y(s + Tk)ds
Jt k=i
Q ion to sao cho t0 > m ax (\rk\) = tj.
1 c k ũq
Đãt
/
+00 9
V(t0 - s) Bk{s)y{s + Tk)ds

J fc=l
1 jr>lG ĨÃM ĨH j)NG tin thự
17
/
*f oc 9
V(t0 - s)Ỵ"' Bk(s)N(s + Tk,to)yods
J fc=i
Khi đó chúng ta có:
ĩ1 9
Ị/(f) = X ( Ỉ - í 0)x 0 + M / U(t — s) y , Bk(s)y{s + Tk^ds
^0 k=i
- ịx Ị V(t-s)£ Bk(s)y(s + Tk)ds
Jt k=i
Và lúc này nghiệm z(í) của phương trình (2.13) với điều kiện x(í0) = £o có dạng x{t) =
X(t - to)x0.
Xét hiệu:
/■< 9
y(t)-x{t)=ịỉ / C7(í - s ) ^ 5 f c ( s ) y ( s + Tk)ds
J to k =1
- í V(t - s)^2 B k(s)y(s + Tk)ds
^ k=\
Ta có đánh giá sau:
I M í l - 1(011 ÍM / ' ' l |Ư ( í - s ) | | T ' | |B » ( s ) || | |y ( s + Tl )||<is
Jt° k= 1
+ l/j| [ l | y ( t - s ) | | $ 2 l | . B fc(5 )||||y (s + Tfc)||d s
■/í fc=i
‘' ‘ó fc=i
+ \n\mK\\yo\\ f ||Bfc(s)||ds
^ k= 1
18

V ớ i t > 2 í 0 ta có:
c
ll» (t) - x (t)ll t \ụ.\MK\\ya\\ [ V | | S t ( s ) ||d s
i= i
+ ImIM/CIIsdII / ' x ; l|B*(s)ll^
2 k=l
+ \fi\mK\\y0\\ í ||5 * (s )||đ s
^ k=i
\ n ị M K ị ị y „ ị \ Ị e - " i ^ | | B t ( s ) | M s
Jt° k= 1
+ WMA-Ịiv„|| / ' Ê i i a m i *
2 fc=l
+ l/xịm^llyoll [ J2||B fc(s)||ds
^ fc=i
^ Di + D 2 + D3
Hơn nữa với mọi e > 0. tồn tại số T đủ lớn sao cho với m ọi t > T ta có:
rị 9
ử , = MMKịịy,II / e - “ ỉ V ỊỊB i(s)||cis < I
•'‘ó fc=: Ổ
Í q
D 7 = \ụ.\MK\\y0\\ / 5 2 | | S fc(s )||d í
2 t /c=l
£ 3 = \n\mK\\y0\\ Ị 5 I | | B fc(5)||d.
Jt k= 1
te< 3
€
s < 3
Vậy với V/ > T ta đều có ||?/(£) - x ( í)|| < e hay lim ||y (t) — x ( í)|| — 0. Ngược lại nếu
í-*OC
chúng ta đật:

z
— ụ. V(to — s) ]T Bk{s)N(s 4- Tk,t0)ds Thì :
/c= 1
/■ -foc <7
z 4 ÌAíl / |! F ( í ũ - S ) | | ^ | | 5 fc(s ) ||||A ' ( s + T ,,í o ) ||d 5
•/<0 t=1
/
+ OC 9
II ^ ||Bfc(s)||ds
J Jt=i
Chon #2 > #1 sao cho / * £ ||£ * ( s )||d s < 1 —
2 k= 1 ' l/iịm A
Khi đó với mọi f0 > Í2 ta đều có ||Z || < 1, điều này có nghĩa là toán tử (I+Z) là khả
19
ngược với to đủ lớn. V ậy với m ỗi nghiệm x(t) của (2.13) thoả mãn x(t0) - Xũ Và chọn
được hàm ộ(t) liên rục với — h 4 t < to sao cho ộ{tữ) = [I + Z}~1 Xo khi đó nghiệm y(t)
của (2.14) với điều kiện đầu y(t) =
ậ(t)
với -h £ t 'Ạ t0 thoả mãn y(t0) = [7 +
z)~lx
0
và bằng cách đánh giá tương tự như ở trên ta cũng có: lim ||ị/(í) — xịt)II = 0. Hay (2.13)
t—► oc
_
và (2.14) là tương đương tiệm cận. □
Từ chứng minh của định lí ta suy ra:
H ệ quả 2.12. Nếu ReXj(A) 4 0, các giá trị riéng Xj có phần thực bằng không là đơn và
điểu kiện (2.15) được thực hiện thì hai hệ phương trình vi phán (2.13 ) và (2.14) là tương
đương Tiệm cận.
V í dụ 1. Nghiên cứu sự tương đương tiệm cận của hai phương trình vi phân cấp 2

X"(t) + a2x(t) = 0 (2.17)
y"{t) + a7y(t) + — r) — 0 (2.18)
Với —h □ r _ 0
để nghiên cứu sự tương đương tiệm cận của hai phương trình nàv ta đưa về nghiên cứu hai
hệ phương trình sau:
* ỉơ ) = *2Ơ)
x'2{t) = -a2Xi(t)
y[{t) = V
2
ÌỈ)
y'2(t) = -a 2yi(t) - ỵ ị^ yi(t - r ).v ớ i - h é* T
(2.19)
(2.20)
Dễ dàng thấy rằng ma trận hẻ số A. B(t) tương ứng trong các hê phương trinh (2.19) và
DC
(2.20) thoả mãn các điều kiện ReX(A) — 0 và f I\B(t)\\dt = f < +OC- N ên áp dụng hệ
0
quả 2.26 ta có kết luận các hệ phương trình (2.19Ì và (2.20) là tương đương tiệm cận. váy
ta suy ra các phương trình (2 .17) và (2.18) là tương đương tiém cán.
20