Lý thuyết mie về tương tác của điện từ trường với các cấu trúc nano (LV01994)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

HOÀNG VĂN TOÀN

LÝ THUYẾT MIE VỀ TƯƠNG TÁC
CỦA ĐIỆN TỪ TRƯỜNG VỚI CÁC CẤU TRÚC NANO

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

HÀ NỘI, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

HOÀNG VĂN TOÀN

LÝ THUYẾT MIE VỀ TƯƠNG TÁC
CỦA ĐIỆN TỪ TRƯỜNG VỚI CÁC CẤU TRÚC NANO

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Trí Lân

HÀ NỘI, 2016


Mục lục
LỜI CAM ĐOAN

3

LỜI CẢM ƠN

4

Mở đầu
Lý do chọn đề tài . . . . . . . . .
Mục đích nghiên cứu . . . . . . .
Nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . .
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Những đóng góp mới . . . . . . .
Phương pháp nghiên cứu . . . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

1 Tổng quan về lý thuyết Mie và cấu trúc nano
1.1 Hệ phương trình Maxwell vĩ mô . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Hệ phương trình Maxwell thứ nhất . . . . . . . .
1.1.2 Hệ phương trình Maxwell thứ hai . . . . . . . . .
1.2 Hệ số tán xạ, hấp thụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Lời giải vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Lời giải vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Tán xạ tia sáng trong trường điện môi . . . . . .
1.2.4 Sự tắt dần và tán xạ theo phương ngang . . . . .
1.3 Tổng quan về cấu trúc Nano . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Vật liệu nano là gì? . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Tại sao vật liệu nano lại có các tính chất thú vị?
1.3.3 Phân loại vật liệu nano . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Chế tạo vật liệu nano như thế nào? . . . . . . . .
1.3.5 Ứng dụng của Công nghệ Nano . . . . . . . . . .
1.4 Đặc tính của các cấu trúc nano dạng cầu, trụ, đĩa . . .
2 Sự tương tác của điện từ trường với cấu trúc nano
2.1 Điện từ trường và điều kiện biên . . . . . . . . .
2.1.1 Hệ số tán xạ . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 INFO - bức xạ đa cực của hình cầu . . . .
2.1.3 Hàm Bessel jn (x) và jn (x)/x . . . . . . .
2.1.4 Điện trường . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Sự tán xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

1
1
1
1
2
2
2

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

3
3
3
5
6
6
8
9
14
15
15
17
18
19
20
21

.
.
.
.
.
.

23
23
23
26

27
27
28


2.3

3 Lời
3.1
3.2
3.3

Sự phản xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Loạt mở rộng đa cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Nguồn gốc của sự cộng hưởng hình thái phụ thuộc . .
2.3.3 Ảnh hưởng của môi trường xung quanh và sự hấp thụ
giải của Lý thuyết Mie đối
Cấu trúc nano dạng cầu .
Cấu trúc nano dạng trụ .
Cấu trúc nano dạng đĩa .

với
. .
. .
. .

một
. . .
. . .
. . .

số cấu
. . . .
. . . .
. . . .

trúc
. . .
. . .
. . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

30
30
31
34

nano
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .

37
37
43
49

Kết luận

56

Tài liệu tham khảo

57


LỜI CAM ĐOAN
Trong quá trình nghiên cứu luận văn về đề tài: “Lý thuyết Mie về tương tác của điện từ
trường với các cấu trúc nano”, tôi đã thực sự cố gắng tìm hiểu, nghiên cứu đề tài để hoàn
thành khóa luận. Tôi xin cam đoan luận văn này được hoàn thành do sự nỗ lực của bản thân
cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình hiệu quả của TS. Nguyễn Trí Lân. Đây là đề tài
không trùng với các đề tài khác và kết quả đạt được không trùng với kết quả của các tác giả
khác.

Hà Nội, tháng 08 năm 2016
Tác giả

HOÀNG VĂN TOÀN


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên tôi xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Trí Lân, người đã hướng dẫn tôi thực hiện
luận văn này. Thầy đã cung cấp những tài liệu và truyền thụ cho tôi những kiến thức mang
tính khoa học và hơn nữa là phương pháp nghiên cứu khoa học. Sự quan tâm, bồi dưỡng của
thầy đã giúp tôi vượt qua những khó khăn trong qua trình hoàn thành luận văn cũng như
trong quá trình học tập và nghiên cứu. Đối với tôi, thầy luôn là tấm gương sáng về tinh thần
làm việc không mệt mỏi, lòng hăng say với khoa học, lòng nhiệt thành quan tâm bồi dưỡng
thế hệ trẻ. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Chủ Nhiệm Khoa Vật Lý trường Đại Học
Sư Phạm Hà Nội 2 và các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy, tạo mọi điều kiện giúp tôi hoàn
thành khóa học.

Hà Nội, tháng 08 năm 2016
Tác giả
HOÀNG VĂN TOÀN


Mở đầu
Lý do chọn đề tài
Điện trường, từ trường luôn tồn tại trong không gian, luôn tương tác với môi trường vật chất.
Đi nghiên cứu sự lan truyền của điện từ trường trong chân không là nhà vật lý học Maxwell.
Phân tích những hiện tượng điện và từ và định luật chi phối chúng, Maxwell nhận thấy rằng
giữa từ trường và điện trường có mối quan hệ rất chặt chẽ. Trên cơ sở đó, Maxwell nêu lên
lý thuyết về điện từ trường. Theo thuyết này, giữa điện trường và từ trường có mối quan hệ
biện chứng, chúng có thể chuyển hoá lẫn nhau. Mọi sự biến đổi của điện trường đều làm xuất
hiện từ trường và ngược lại. Thuyết Maxwell giúp ta hiểu khái quát những hiện tượng điện
và từ đã biết trước đây và những hiện tượng điện từ mới. Trên cơ sở quan niệm về sự tồn tại
của điện từ trường, Maxwell đã đề ra những phương trình diễn tả điện từ trường trong những

trường hợp tổng quát của môi trường. Lý thuyết Maxwell chỉ dừng lại ở việc chỉ nghiên cứu
sự lan truyền của điện từ trường ở trong chân không. Còn khi điện từ trường truyền trong
môi trường vật chất thì sao? Người đi nghiên cứu nó là nhà vât lý học người Đức Gustav
Mie. Ông đã đưa ra một lý thuyết được đặt tên là lý thuyết Mie trên cơ sở mở rộng của các
phương trình Maxwell. Người đã đưa ra nghiệm giải tích cho tán xạ của một bức xạ với bước
sóng bất kỳ gây ra bởi một quả cầu có bán kính bất kỳ và chiết suất n nào đó. Vì vậy tán
xạ Mie không bị giới hạn bởi kích thước hạt tán xạ. Thuật ngữ tán xạ Mie thường dùng để
chỉ tán xạ bởi các hạt có kích thước tương đương hoặc lớn hơn với kích thước của bước sóng
kích thích. Với các hạt có kích thước 10−9 m khi điện trường từ trường tương tác thì quá
trình nó diễn ra như thế nào, các quá trình nào sẽ xảy ra theo. Xuất phát từ điều đó tôi lựa
chọn đề tài “Lý thuyết Mie về tương tác của điện từ trường với các cấu trúc nano” làm đề
tài nghiên cứu của mình.

Mục đích nghiên cứu
Sự tương tác của điện từ trường với cấu trúc nano.

Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu lý thuyết Mie.
Xây dựng các hệ số tán xạ, hấp thụ đối với một số cấu trúc nano cụ thể.

1


2

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Lý thuyết Mie.
Cấu trúc nano.

Những đóng góp mới

Nghiên cứu sự tương tác của điện từ trường với cấu trúc nano có những đóng góp quan trọng
trong vật lý lý thuyết nói riêng và ứng dụng trong thực tế.

Phương pháp nghiên cứu
Tính số và vẽ hình bằng phần mềm Mathematica.
Phương pháp vật lý lý thuyết.


1 Tổng quan về lý thuyết Mie và cấu trúc
nano
Để tính toán tương tác của ánh sáng với hạt nano đầu tiên là lý thuyết Mie được phát triển
bởi Gustav Mie vào năm 1908 và phương pháp phổ quang học. Trước đây sử dụng khái niệm
sóng điện từ và các hệ phương trình Maxwell để giải thích các vấn đề. Các biểu thức của các
vector sóng hình cầu vô hạn được mô tả và mở rộng, từ đó mặt cắt ngang, yếu tố hiệu suất
và phân bố cường độ trên một hạt có thể được đưa ra. Ngoài ra những ảnh hưởng của dạng
hình học hạt, sự phụ thuộc của hạt đối với môi trường xung quanh và góc của chùm tia tới
được nghiên cứu và đặc biệt là các tính năng của cộng hưởng cấu trúc hoặc hình thái phụ
thuộc (MDR), nơi cộng hưởng hạt được tạo ra bằng cách thay đổi các thông số kích thước.
χ=

2πaNm
,
λ

(1.1)

ở đây a bán kính của một hạt và λ/Nm tượng trưng cho bước sóng, với chỉ số môi trường
xung quanh Nm . Khi các tia sáng đi qua một hạt nano dẫn đến một loạt các phản xạ và
khúc xạ bên trong hạt xẩy ra từ đó ròng lực và năng lượng trên các hạt được xác định.
Nhiều nghiên cứu về sử dụng sóng phẳng để miêu tả tương tác của chùm tia tới với hạt nano,

nhiều lý thuyết đã được phát triển cũng như việc mở rộng lý thuyết Mie để nghiên cứu sự
tương tác đó. Thí nghiệm đầu tiên về sự tương tác của các hạt cực nhỏ với một trường điện
từ đã được thực hiện bởi Kawata, trong đó một nguồn 150 mW Nd: YAG đã được sử dụng
để tương tác với hạt polystyrene và hạt silica có kích thước µm trên bề mặt của một lăng
kính. Từ đó các kết quả thử nghiệm được so sánh với một lý thuyết dựa trên lý thuyết Mie
phát triển bởi Alamaas và Brevik . Gần đây Walz đã so sánh các kết quả Alamaas và Brevik
với kết quả từ phương pháp phổ quang học. Ông kết luận rằng sau này chỉ áp dụng trong
giới hạn mà a > 20λ. Vì thế lý thuyết Mie mặc dù rất phức tạp nhưng vẫn là mô hình hoàn
chỉnh nhất và đáng tin cậy với các ứng dụng của nó mở rộng trên phạm vi toàn bộ kích thước
hạt nano.

1.1 Hệ phương trình Maxwell vĩ mô
1.1.1 Hệ phương trình Maxwell thứ nhất
Hệ phương trình Maxwell thứ nhất được thiết lập trên cơ sở phương trình Maxwell - Ampe:

3


4

Hình 1.1: Tương tác của ánh sáng với hạt

˛

ˆ
Hdl =

ˆ
jT p ds =

H

j+

∂D
∂t

dS.

(1.2)

S

Để diễn tả sự liên hệ giữa từ trường với dòng điện dẫn và điện trường biến thiên thì cần thêm
vào đó phương trình liên hệ giữa vector điện dịch D với các điện tích tự do, tức là phương
trình định lý Ostrogradski-Gauss.
ˆ
DdS = q,

(1.3)

S

q là điện tích tự do có trong mặt kín S.
Giữa vector điện dịch D và vector cường độ điện trường E liên hệ với nhau theo công thức:
D = εε0 E.

(1.4)

Nếu môi trường xét là dẫn điện, thì có tồn tại dòng điện dẫn J, liên hệ với cường độ điện

trường E bằng định luật Ohm:
J = σE.

(1.5)

Các phương trình (1.2)-(1.5) lập thành hệ các phương trình Maxwell thứ nhất dưới dạng tích
phân. Còn dạng vi phân của hệ phương trình Maxwell thứ nhất là:[1]


5


∂D



 rotH = J + ∂t hoặc ∇ × H = J + ∂D,
divD =
ρ
hoặc ∇ × D =
ρ,




D
= εε0 E.

(1.6)

1.1.2 Hệ phương trình Maxwell thứ hai
Hệ phương trình Maxwell thứ hai được thiết lập trên cơ sở phương trình Maxwell - Faraday
để diễn tả sự liên hệ giữa điện trường và từ trường biến thiên.
˛

˛
E∗ dl = −

L

∂S
∂t

ds.

(1.7)

S

Kết hợp với phương trình của định lý Ostrogradski-Gauss cho từ trường:
˛
BdS = 0,

(1.8)

S

và hệ thức liên hệ giữa cảm ứng từ và từ trường:
B = µµ0 H,

(1.9)

thì thu được hệ phương trình Maxwell thứ hai dưới dạng vi phân[1]


∂B

hoặc ∇ × E = ∇B,

 rotE = − ∂t
divB =
ρ
hoặc ∇B = ρ,


 B
= µµ0 H.

(1.10)

ε , µ, và σ tương ứng hàng số điện môi, độ từ thẩm và điện dẫn suất chúng đặc trưng cho
tính chất của môi trường điện từ trường.
Sử dụng các biểu diễn phức của điện trường E và từ trường H, hệ phương trình Maxwell
của sóng ánh sóng tương tác với một hạt cầu được viết dưới dạng:

∇H = 0,

(1.11)

∇E = 0,

(1.12)

∇ × E = iωµH,

(1.13)

∇ × H = −iωεE,

(1.14)

trong đó ω là tần số dao động của ánh sáng.


6
Từ (1.13), (1.14) thu được
∇ × (∇ × E) = ω 2 εµE,
2

⇔ ∇(∇E) − ∇(∇E) = ω εµE,

(1.15)
(1.16)

thay (1.12) vào (1.16) thu được
∇2 E + ω 2 εµE = 0.

(1.17)

∇2 H + ω 2 εµH = 0,

(1.18)

Biến đổi như trên thu được

2 = ω 2 εµ gọi là vector sóng trong môi trường xung quanh. Khi đó phương trình
ở đây đặt km
(1.17) và (1.18) viết dưới dạng
2 E = 0,
∇2 E + km
(1.19)
2 H = 0.
∇2 H + km

Bây giờ ta đi tìm lời giải vector của phương trình sóng.
Xét một hàm sóng ψl,m trong hệ tọa độ cầu với các tọa độ (r,θ,φ), và r vector không đổi.
Hàm sóng ψl,m thỏa mãn phương trình:
2
∇2 ψ + km
ψ = 0.

(1.20)

Khi đó các đại lượng vector Ml,m , Nl,m xác định bởi

L = ∇ψl,m ,
Ml,m = ∇ × rψl,m ,
1
Nl,m =
∇ × Ml,m ,

km

(1.21)
(1.22)
(1.23)

ở đây Ml,m , Nl,m chúng thỏa mãn phương trình (1.19) và có quan hệ với nhau như các đại
lượng E, H, còn L đặc trưng cho sóng theo phương dọc nên không xét đến.

1.2 Hệ số tán xạ, hấp thụ
1.2.1 Lời giải vô hướng
Phương trình (1.20) có nghiệm ψl,m viết trong hệ tọa độ cầu với các tọa độ (r,θ,ϕ) sẽ thỏa
mãn phương trình
1 ∂
r2 ∂r

r2

∂ψ
∂r

+

1
∂
∂ψ
1
∂2ψ
2
(sin

θ
)
+
+ km
ψ = 0.
r2 sin θ ∂θ
∂θ
r2 sin2 θ ∂ϕ2

(1.24)


7
Bằng phương pháp tách biến phân tích ψl,m dưới dạng
ψ(r, θ, ϕ) = R(r)Θ(θ)Φ(ϕ).

(1.25)

Phương trình đạo hàm riêng trở thành các phương trình vi phân một biến. Các thành phần
m, Q là các hằng số tách:
Thành phần Φ(ϕ) thỏa mãn phương trình:
d2 Φ
+ m2 Φ = 0,
d2 ϕ2

(1.26)

Φ = e±imϕ .

(1.27)

có nghiệm

Thành phần Θ(θ) thỏa mãn phương trình:
1 − cos2 θ

d2 Θ
dΘ
p2
−
2
cos
θ
+
Q
−
= 0,
d(cosθ)2
d(cos θ)
(1 − cos2 θ)

(1.28)

với Q = l(l + 1), khi đó nghiệm của nó viết dưới dạng:
Θ = Plm (η)
m

=

(1 − η 2 ) 2 dl+m (η 2 − 1)l

,
2l l!
d(η)l+m

(1.29)

ở đây η = cosθ và để đơn giản ta viết Plm = Plm (η).
Thành phần R(r) thỏa mãn phương trình:
r2

d2 R
dR
2 2
+ 2r
+ km
r − Q2 R = 0.
2
dr
dr

(1.30)

Nghiệm của phương trình xác định bởi:
R=

2
Zl (p),
π

(1.31)

ở đây p = km r, trong khi Zl (p) đại diện cho hình tròn hình cầu Bessel jl (p) và thứ tự đầu
tiên hàm Hankel hl (p). Sự lựa chọn của các hàm xuyên tâm bởi vì khi jl (p) thể hiện tính
hữu hạn ở tâm, nó đại diện cho sự mô tả chính xác cho cả các tương tác và truyền các tương
tác, trong khi là hl (p) là vô hạn trong trường xa, nó tương ứng một mô hình sóng hình cầu
truyền đi đến các trường nằm rải rác.
Từ các nghiệm ở phương trình (1.27), (1.29), (1.31) ta xác định được ψl,m
ψl,m (r, θ, ϕ) =

2
Zl (km r)Plm eimϕ .
π

(1.32)


8
Trong biểu thức trên chỉ nhận các giá trị lẻ của sin θ và chẵn của cos θ. Nên (1.32) được viết
dưới dạng:
2
cos
mϕ,
(1.33)
ψl,meo (r, θ, ϕ) =
Zl (km r)Plm
π
sin
các ký hiệu e, o biểu thị tính chẵn, lẻ của đại lượng tương ứng.
Phương trình (1.33) được sử dụng để mở rộng phương pháp vô hướng cho các biểu diễn của
các thành phần điện trường và từ trường.

1.2.2 Lời giải vector
1.2.2.1 Dao động tử cầu vector
Từ phương trình (1.22) và sử dụng biểu thức vô hướng (1.33) vector Ml,m viết dưới dạng:
Ml,meo = ∇ × rˆ(rψl,meo ),

(1.34)

ở đây r = rˆr. Lấy trung bình các kết quả chẵn và lẻ của Ml,m ta được:[5]
Ml,m (ˆ
r) = 0,

Ml,meo

1 d(rϕ) ˆ 1 d(rϕ)
θ−
ϕ
ˆ
r sin θ dϕ
r dθ
dP m cos
P m sin
mϕθˆ − Zl l
mϕϕ.
ˆ
= ∓Zl l
sin θ cos
dθ sin

(1.35)

=

(1.36)

Từ phương trình (1.36) và (1.22) ta thu được có:[5]
l(l + 1)
1 d(rMl,m,ϕ )
1 d(rMl,m,ϕ )
ψ ˆr +
θˆ +
ϕ
ˆ
e
km r
km r
dr
km r
dr
o
1 d(pZl ) Plm cos
l(l + 1)
1 d(pZl ) Plm sin
cos
=
Zl Plm
mϕˆ
r+
mϕθˆ ∓ m
mϕϕ.

ˆ
km r
r dp dθ sin
p dθ sin θ cos
sin
(1.37)
Ns
Chú ý rằng hàm xuyên tâm của p được thay thế bởi Np =
để thể hiện các thông số của
Nm
môi trường xung quanh.
Nl,meo

=

1.2.2.2 Phương trình hồi quy và hệ thức liên hệ
Dựa vào các hệ thức xuyên tâm và liên kết hàm số Legendre. Mie đã phân tích chi tiết vùng
sóng rộng hình cầu và đưa ra được hệ số xuyên tâm cho bởi:


9

(2l + 1)
jl (p) − jl−1 (p),
p
l
1
jl−1 (p) − (2l + 1)jl (p) .
= [jl+1 (p)] =
l + 1 2l + 1

zl+1 (p) =
[jl+1 (p)]

(1.38)
(1.39)

Lấy đạo hàm với các đối số. Bên cạnh đó biểu thị θ theo hàm Legendre ta thu được.

m
Pl+1
=

mPlm
sin θ
dPlm
dθ

=
=

1
m
(2l + 1) cos θPlm − (l + m)Pl−1
l−m+1
1
P m+1 + (l(l + 1) − m(m − 1))Plm−1
2 cos θ l
1
(l − m + (l + m)Pll−m − Pll+m ,

2

(1.40)
(1.41)
(1.42)

thực hiện phép biến đổi:
d
d
= − 1 − η2
.
dθ
d(cos θ)

(1.43)

Ngoài ra, phần âm của m trong đa thức liên kết Legendre được biểu thị
Pl−m = (−1)m

(l − m)! m
P .
(l + m)! l

(1.44)

Trong lý thuyết Mie hai đại lượng góc phụ thuộc vào điều kiện biên theo hệ thức[5]
Πl,m = m

Tl,m =

Plm
,
sin θ

Plm
.
dθ

(1.45)

(1.46)

Ví dụ về mô tả tầm quan trọng của các hàm góc θ trong mô tả của trường và cường độ, các
giá trị bậc nhất (ví dụ: l = 1 tới l = 4) được so sánh với các giá trị bậc cao hơn (tức là:l = 15
tới l = 18) cho cả Πl,m và T l,m như ký hiệu P 1 và dP 2 tương ứng trong hình 1.2 và hình 1.5.
Ở đây đầu tiên xác định tính chất của các góc, thứ hai ký hiệu thứ tự cực l cho mỗi trường
hợp. Những đường đối cực đã thu được bằng cách xem xét θ từ 0◦ đến 360◦ và cho m = 1
như trong trường hợp sóng phẳng. Các tính chất của hàm góc sau đó sẽ quyết định sự biến
thiên của phân bố cường độ xung quanh một hạt trên phạm vi của θ.

1.2.3 Tán xạ tia sáng trong trường điện môi
1.2.3.1 Hệ số khai triển
Một hàm sóng tùy ý được xác định bằng thế véc tơ A được xác định tuyến tính bởi các hàm
véc tơ đặc trưng.


10

Hình 1.2: Góc θ phụ thuộc vào đại lượng bậc thấp l = 1 tới 4, m = 1

Hình 1.3: Góc θ phụ thuộc vào đại lượng bậc cao l = 15 tới l = 18 cho m = 1


11

Hình 1.4: Góc θ phụ thuộc vào đại lượng thứ tự thấp l = 1 tới 4, m = 1

Hình 1.5: Góc θ phụ thuộc vào đại lượng bậc cao l = 1 tới l = 18 cho m = 1


12

A=

i
ω

[Al,m Ml,m + Bl,m Nl,m ] .

(1.47)

l,m

Từ phương trình (1.12) và sử dụng véc tơ A từ trường được viết dưới dạng[5]
1
∇×A
iωµ
1
=−
[Al,m (∇ × Ml,m ) + Bl,m (∇ × Nl,m )]

ωµ
ikm
=−
[Al,m Nl,m + Bl,m Ml,m ] .
ωµ

Hinc =

(1.48)

Từ phương trình (1.13), (1.48) điện trường được viết dưới dạng:[5]
Einc =

km
ω2

[Al,m Ml,m + Bl,m Nl,m ] ,

mµ

(1.49)

ở đây Al,m và Bl,m là các hệ số mở rộng đặc trưng cho chùm tia tới được xác định:
ˆ
Al,m =
Bl,m =

ˆ

∗

Einc dΩ,
Ml,m

(1.50)
∗
Nl,m
Einc dΩ,

và Bl,1 = iAl,1 , với Ω = 4πr2 là diện tích bề mặt thay vào (1.50) thu được:

2l + 1 (l − m)!
Πl,m E0 ,
l(l + 1) (l + m)!
2l + 1 (l − m)!
= −il+2
Tl,m E0 .
l(l + 1) (l + m)!

Al,m = −il+1

(1.51)

Bl,m

(1.52)

E0 là biên độ.
Xét trường hợp: góc tới θ = 0 và các điều kiện biên đều mất trừ m = 1. Từ phương trình
(1.41), (1.42), Πl,1 = 1 và Tl,1 = 21 l(l + 1) thực hiện biến đổi khi đó (1.51), (1.52) trở thành
Al,1 = −il−1 E0

2l + 1
,
l(l + 1)2

Bl,1 = iAl,1 ,

(1.53)
(1.54)

và (1.36) trở thành

Ml,m = −i

4πl(l + 1) (l + m)!
Zl Xl,m .
2l + 1 (l − m)!

(1.55)

Từ những điều trên ta xác định được các thành phần tán xạ của điện từ trường như sau.[5]


13

Esca =

km
ω2

mµ

[Al,m al Ml,m + Bl,m bl Nl,m ] ,

ikm
[Al,m al Nl,m + Bl,m bl Ml,m ]
ωµ
= 2
,
N jl (Nχ ) [χh (χ)] − h(χ) [N χjl (N χ)]
km
= 2
[Al,m cl Ml,m + Bl,m dl Nl,m ] ,
ω mµ
ikm
=−
[Al,m cl Nl,m + Bl,m dl Ml,m ] ,
ωµ
−

Hsca
Eint
Hint

trong đó: al , bl là các hệ số tán xạ. cl , dl là các hệ số trường trong.
số điện môi của môi trường xung quanh và của vật.

m,

(1.56)

tương ứng là hằng

1.2.3.2 Xác định hệ số Mie từ điều kiện biên
Các hệ số khai triển Mie al , bl , cl và dl của sự tán xạ bên trong điện trường được xác định
rõ theo điều kiện biên.
Điện từ trường phải thỏa mãn các phương trình Maxwell’s với điều kiện các hằng số điện môi
và độ từ thẩm luôn đẳng hướng và không đổi. Tuy nhiên, khi truyền qua mặt phân cách của
một hạt và môi trường, các tính chất này thay đổi. Sự thay đổi này xảy ra trên một vùng
chuyển tiếp với độ dày của thứ tự của kích thước nguyên tử. Tại bề mặt phân cách đó các
thành phần tiếp tuyến của E và H là liên tục.
[Einc + Escat − Eint ] × r = 0,

(1.57)

[Hinc + Hscat − Hint ] × r = 0,

(1.58)

Einc,θ + Esca,θ = Eint,θ ; Hinc,θ + Hsca,θ = Hint,θ ,

(1.59)

Einc,ϕ + Esca,ϕ = Eint,ϕ ; Einc,ϕ + Esca,ϕ = Eint,ϕ .

(1.60)

do đó

Khi áp dụng các véc tơ sóng hình cầu kết quả thu được

jl (N χ) + hl (χ)bl = jl (χ),
[N χjl (Nχ )] cl + [χhl (χ)] bl = [χjl (χ)] ,
N jl (Nχ )dl + hl (χ)al = [χjl (χ)] ,

(1.61)

[N χjl (Nχ )] dl + N [χhl (χ)] al = N [χjl (χ)] .
Tại r = a giải phương trình (1.61) ta xác định được các hệ số tán xạ Mie al , bl , cl và dl [5]


14

al = N 2 jl (Nχ ) [χj (χ)] − jl (χ) [N χjl (N χ)] ,
bl =

N jl (χ) [χh (χ)] − N h(χ) [χjl (χ)]
,
l (Nχ ) [χh (χ)] − h(χ) [N χjl (N χ)]

N 2j

cl =

jl (χ) [χh (χ)] − h(χ) [χjl (χ)]
,
jl (Nχ ) [χh (χ)] − h(χ) [N χjl (N χ)]

dl =

N jl (χ) [χh (χ)] − N h(χ) [χjl (χ)]

.
N 2 jl (Nχ ) [χh (χ)] − h(χ) [N χjl (N χ)]

(1.62)

1.2.4 Sự tắt dần và tán xạ theo phương ngang
Áp dụng các định lý vecto Poynting, sự thay đổi của các mức năng lượng ánh sáng khi đi
qua một hạt xác định, khi đó tiết diện tán xạ và hấp thụ trong một đơn vị diện tích được
xác định.
σs =

Wsca
,
Iinc

(1.63)

σt =

Wext
,
Iinc

(1.64)

ở đây Iinc , Wsca , Wext tương ứng là cường độ trên bề mặt của hạt, năng lượng hấp thụ và
năng lượng tán xạ.
Năng lượng hấp thụ Wsca và năng lượng tán xạ Wext được xác định bởi:
Wsca =

1
Re
2

ˆ2π ˆπ
(Esca × H∗sca ) r2 sin θdϕdθ
0

=

1
Re
2

Esca, × H∗sca,ϕ − Esca, × H∗sca,θ r2 sin θdϕdθ,
0

Wext =

1
Re
2
1
Re
2

0

(Einc × H∗sca ) r2 sin θdϕdθ
0

ˆ2π ˆπ
Einc,θ × H∗sca,ϕ − Esca,ϕ × H∗sca,θ − Esca,θ × H∗inc,ϕ − Esca,θ × H∗inc,ϕ
0

2

(1.65)

ˆ2π ˆπ
0

=

0

ˆ2π ˆπ

0

r sin θdϕdθ.

(1.66)

Năng lượng phản xạ được xác định qua năng lượng tán xạ và hấp thụ: Wabs = Wext − Wscat .
Từ các biểu thức (1.63)-(1.66) ta xác định được tiết diện hấp thụ và tiết diện tán xạ tương
ứng:


15

σs =
σt =

2π
2
km

∞

(2l + 1)(al |Hl,m |2 + bl |Fl,m |2 ),

(1.67)

l=1

2π
Re
2
km

∞

(2l + 1)(al |Hl,m |2 + bl |Fl,m |2 ).

(1.68)

l=1

Các hàm góc Fl,m và Hl,m liên hệ với Πl,m và Tl,m qua hệ thức:

Hl,m =

Fl,m =

2
l(l + 1)

l
m=−l
l

2
l(l + 1)

m=−l

(l − m)!
|Tl,m |2 ,
(l + m)!

(1.69)

(l − m)!
|Πl,m |2 .
(l + m)!

(1.70)

Với trường hợp m = 1 các phương trình (1.67), (1.68) trở thành:

σs =
σt =

2π
2
km

∞

(2l + 1)(|al |2 + |bl )|2 ),

(1.71)

l=1

2π
Re
2
km

∞

(2l + 1)(al + bl ).

(1.72)

l=1

Các hiệu suất hấp thụ và hiệu suất tán xạ được xác định bởi:[5]

σs
,
σg
σext
=
.
σg

Qsca =
Qext

(1.73)

Trong đó σg = πa2 là diện tích cắt ngang bề mặt, với a là bán kính mặt cầu.

1.3 Tổng quan về cấu trúc Nano
1.3.1 Vật liệu nano là gì?
Khi ta nói đến nano là nói đến một phần tỷ của cái gì đó, ví dụ, một nano giây là một khoảng
thời gian bằng một phần tỷ của một giây. Còn nano mà chúng ta dùng ở đây có nghĩa là
nano mét, một phần tỷ của một mét. Nói một cách rõ hơn là vật liệu chất rắn có kích thước
nm vì yếu tố quan trọng nhất mà chúng ta sẽ làm việc là vật liệu ở trạng thái rắn. Vật liệu
nano là một thuật ngữ rất phổ biến, tuy vậy không phải ai cũng có một khái niệm rõ ràng
về thuật ngữ đó. Để hiểu rõ khái niệm vật liệu nano, chúng ta cần biết hai khái niệm có liên
quan là khoa học nano và công nghệ nano.


16

Hình 1.6: Tiết diện tán xạ σt của quả cầu có chiết suất Ns = 1.59 đặt trong không khí và
λ = 1 µm.

Hình 1.7: Hiệu suất tán xạ Qext của quả cầu có chiết suất Ns = 1.59 đặt trong không khí và
λ = 1µm


17

Hình 1.8: Hiệu suất tán xạ Qext của quả cầu khi l = 1tới l = 5
Theo Viện hàn lâm hoàng gia Anh quốc thì: khoa học nano là ngành khoa học nghiên cứu về
các hiện tượng và sự can thiệp vào vật liệu tại các quy mô nguyên tử, phân tử và đại phân
tử. Tại các quy mô đó, tính chất của vật liệu khác hẳn với tính chất của chúng tại các quy
mô lớn hơn.
Công nghệ nano là việc thiết kế, phân tích đặc trưng, chế tạo và ứng dụng các cấu trúc, thiết
bị, và hệ thống bằng việc điều khiển hình dáng và kích thước trên quy mô nano mét.
Vật liệu nano là đối tượng của hai lĩnh vực là khoa học nano và công nghệ nano, nó liên kết
hai lĩnh vực trên với nhau. Kích thước của vật liệu nano trải một khoảng khá rộng, từ vài
nm đến vài trăm nm. Để có một con số dễ hình dung, nếu ta có một quả cầu có bán kính
bằng quả bóng bàn thì thể tích đó đủ để làm ra rất nhiều hạt nano có kích thước 10nm, nếu
ta xếp các hạt đó thành một hàng dài kế tiếp nhau thì độ dài của chúng bằng một ngàn lần
chu vi của trái đất.

1.3.2 Tại sao vật liệu nano lại có các tính chất thú vị?
Tính chất thú vị của vật liệu nano bắt nguồn từ kích thước rất nhỏ bé của chúng có thể so
sánh với các kích thước tới hạn của nhiều tính chất hóa lí của vật liệu. Chỉ là vấn đề kích
thước thôi thì không có gì đáng nói, điều đáng nói là kích thước của vật liệu nano đủ nhỏ để
có thể so sánh với các kích thước tới hạn của một số tính chất như ở bảng 1.1. Vật liệu nano
nằm giữa tính chất lượng tử của nguyên tử và tính chất khối của vật liệu.
Đối với vật liệu khối, độ dài tới hạn của các tính chất rất nhỏ so với độ lớn của vật liệu,
nhưng đối với vật liệu nano thì điều đó không đúng nên các tính chất khác lạ bắt đầu từ
nguyên nhân này.

Chúng ta hãy lấy một ví dụ trong bảng 1.1. Vật liệu sắt từ được hình thành từ những đô


18
Vật liệu
Xúc tác
Siêu phân tử
Miễn dịch
Điện
Từ
Quang
Siêu dẫn

Cơ

Tính chất
Hình học topo bề mặt
Độ dài Kuhn
Cấu trúc nhị cấp
Cấu trúc tam cấp
Nhận biết phân tử
Bước sóng điện tử
Quãng đường tự do trung bình
Hiệu ứng đường ngầm
Vách đô men
Quãng đường tán xạ spin
Hố lượng tử
Độ dài suy giảm
Độ sâu bề mặt kim loại
Độ dài liên kết cặp Cooper

Độ thẩm thấu Meisner
Tương tác bất định xứ
Biên hạt
Bán kính khởi động đứt vỡ
Sai hỏng mầm
Độ nhăn bề mặt

Tính chất Độ dài tới hạn (nm)
1 − 10
1 − 100
1 − 10
10 − 1000
1 − 10
10 − 1000
1 − 100
1 − 10
10 − 100
1 − 100
1 − 100
10 − 100
10 − 100
0.1 − 100
1 − 100
1 − 1000
1 − 10
1 − 100
0.1 − 10
1 − 10

Bảng 1.1: Độ dài tới hạn của một số tính chất của vật liệu[2]

men, trong lòng một đômen, các nguyên tử có từ tính sắp xếp song song với nhau nhưng lại
không nhất thiết phải song song với moment từ của nguyên tử ở một đômen khác. Giữa hai
đômen có một vùng chuyển tiếp được gọi là vách đômen. Độ dày của vách đô men phụ thuộc
vào bản chất của vật liệu mà có thể dày từ 10 − 100 nm. Nếu vật liệu tạo thành từ các hạt
chỉ có kích thước bằng độ dày vách đô men thì sẽ có các tính chất khác hẳn với tính chất
của vật liệu khối vì ảnh hưởng của các nguyên tử ở đô men này tác động lên nguyên tử ở đô
men khác.

1.3.3 Phân loại vật liệu nano
Có rất nhiều cách phân loại vật liệu nano, mỗi cách phân loại cho ra rất nhiều loại nhỏ nên
thường hay làm lẫn lộn các khái niệm. Sau đây là một vài cách phân loại thường dùng.
1.3.3.1 Phân loại theo hình dáng của vật liệu
Người ta đặt tên số chiều không bị giới hạn ở kích thước nano.
• Vật liệu nano không chiều (cả ba chiều đều có kích thước nano), ví dụ đám nano, hạt nano;
• Vật liệu nano một chiều là vật liệu trong đó một chiều có kích thước nano, ví dụ dây nano,
ống nano;
• Vật liệu nano hai chiều là vật liệu trong đó hai chiều có kích thước nano, ví dụ màng mỏng;


19
• Ngoài ra còn có vật liệu có cấu trúc nano hay nanocomposite trong đó chỉ có một phần của
vật liệu có kích thước nm, hoặc cấu trúc của nó có nano không chiều, một chiều, hai chiều
đan xen lẫn nhau.
Cũng theo cách phân loại theo hình dáng của vật liệu, một số người đặt tên số chiều bị giới
hạn ở kích thước nano. Nếu như thế thì hạt nano là vật liệu nano 3 chiều, dây nano là vật
liệu nano 2 chiều và màng mỏng là vật liệu nano 1 chiều. Cách này ít phổ biến hơn cách ban
đầu.
1.3.3.2 Phân loại theo tính chất vật liệu thể hiện sự khác biệt ở kích thước nano
• Vật liệu nano kim loại;
• Vật liệu nano bán dẫn;

• Vật liệu nano từ tính;
• Vật liệu nano sinh học.
Nhiều khi người ta phối hợp hai cách phân loại với nhau, hoặc phối hợp hai khái niệm nhỏ
để tạo ra các khái niệm mới. Ví dụ, đối tượng chính của chúng ta sau đây là “hạt nano kim
loại” trong đó “hạt” được phân loại theo hình dáng, “kim loại” được phân loại theo tính chất
hoặc “vật liệu nano từ tính sinh học” trong đó cả “từ tính” và “sinh học” đều là khái niệm có
được khi phân loại theo tính chất.

1.3.4 Chế tạo vật liệu nano như thế nào?
Các vật liệu nano có thể thu được bằng bốn phương pháp phổ biến, mỗi phương pháp đều
có những điểm mạnh và điểm yếu, một số phương pháp chỉ có thể được áp dụng với một số
vật liệu nhất định mà thôi.
1.3.4.1 Phương pháp hóa ướt
Bao gồm các phương pháp chế tạo vật liệu dùng trong hóa keo, phương pháp thủy nhiệt,
sol-gel, và kết tủa. Theo phương pháp này, các dung dịch chứa ion khác nhau được trộn với
nhau theo một tỷ phần thích hợp, dưới tác động của nhiệt độ, áp suất mà các vật liệu nano
được kết tủa từ dung dịch. Sau các quá trình lọc, sấy khô, ta thu được các vật liệu nano.
Ưu điểm của phương pháp hóa ướt là các vật liệu có thể chế tạo được rất đa dạng, chúng có
thể là vật liệu vô cơ, hữu cơ, kim loại. Đặc điểm của phương pháp này là rẻ tiền và có thể
chế tạo được một khối lượng lớn vật liệu. Nhưng nó cũng có nhược điểm là các hợp chất có
liên kết với phân tử nước có thể là một khó khăn, phương pháp sol-gel thì không có hiệu suất
cao.
1.3.4.2 Phương pháp cơ học
Bao gồm các phương pháp tán, nghiền, hợp kim cơ học. Theo phương pháp này, vật liệu ở
dạng bột được nghiền đến kích thước nhỏ hơn. Ngày nay, các máy nghiền thường dùng là
máy nghiền kiểu hành tinh hay máy nghiền quay.