Tương tác của higgs với các bonson chuẩn trong mô hình 3 3 1 tối thiểu (LV01996)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

LƢƠNG VĂN QUỲNH

TƢƠNG TÁC CỦA HIGGS VỚI CÁC
BOSON CHUẨN TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 TỐI THIỂU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

HÀ NỘI, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

LƢƠNG VĂN QUỲNH

TƢƠNG TÁC CỦA HIGGS VỚI CÁC
BOSON CHUẨN TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 TỐI THIỂU

Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết và vật lí toán
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Hà Thanh Hùng

HÀ NỘI, 2016

LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Khoa Vật lý, đặc biệt là
các thầy cô giáo Phòng sau Đại học – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã quan
tâm giúp đỡ em trong quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đối với TS. Hà Thanh Hùng
- người thầy đã tận tâm hướng dẫn em hoàn thành luận văn này.
Xin gửi tới người thân – gia đình, bè bạn – những người đã luôn động viên
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu lời cảm ơn sâu sắc.
Hà Nội, ngày 03 tháng 07 năm 2016
Ngƣời thực hiện

Lƣơng Văn Quỳnh


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là
trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi
sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích
dẫn trong luận văn đã được ghi rõ nguồn gốc.
Tác giả luận văn

Lương Văn Quỳnh


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1
1. Lý do chọn đề tài ................................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................... 3
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .......................................................................................... 4
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ....................................................................... 4

5. Phương pháp nghiên cứu ..................................................................................... 4
6.Đóng góp mới ....................................................................................................... 4
CHƢƠNG 1.TÌM HIỂU M

HÌNH 3-3-1 TỐI THIỂU.................................... 5

1.1.Sắp xếp các hạt trong mô hình .......................................................................... 5
1.2. Lagrangian c a mô hình ................................................................................... 7
1.3. Các ưu đi m c a mô hình 3-3-1 tối thi u......................................................... 7
Chƣơng 2.CÁC OSON CHUẨN TRONG M

HÌNH 3-3-1 TỐI THIỂU .. 10

2.1. Quy luật biến đổi c a các trường chuẩn ......................................................... 10
2.2. Đạo hàm hiệp biến.......................................................................................... 19
2.3. Các boson chuẩn............................................................................................. 20
Chƣơng 3. TƢƠNG TÁC CỦA CÁC HIGGS TRONG M

HÌNH 3-3-1 TỐI

THIỂU .................................................................................................................. 24
3.1. Khối lượng các Higgs..................................................................................... 24
3.2. Tương tác c a các Higgs với các boson chuẩn .............................................. 33
3.3. Vật lý mới từ các đóng góp c a Higgs và boson chuẩn.................................. 40
KẾT LUẬN .......................................................................................................... 41


TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 43

1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Mô hình chuẩn đã r t thành công, với các tiên đoán về lý thuyết đã
được thực nghiệm ki m chứng như: khối lượng W-boson và Z-boson,
góc trộn Weinberg, tham số Michel

Đặc biệt, sự hoạt động trở lại

c a máy gia tốc LHC đã cho nhiều dữ liệu thực nghiệm hữu ích, góp
phần kh ng đ nh sự tồn tại c a Higgs-boson và giải thích nguồn gốc
khối lượng c a các hạt trong tự nhiên [6 . Sự kiện này đã mang lại giải
Nobel về vật lý năm 2013 cho Francois Englert và Peter W.Higg. Tuy
nhiên, mô hình chuẩn vẫn còn tồn tại nhiều hạn chế, chưa giải tích
được các v n đề quan trọng sau: 1 tại sao thế hệ các fermions là 3, 2
sự dao động và khối lượng neutrino khác không, 3 nguồn gốc c a vật
ch t tối và năng lượng tối và tính b t đối xứng số baryon c a vũ trụ
quan sát được hiện nay.
Một trong các hướng phát tri n c a vật lý đ khắc phục các hạn
chế trên c a mô hình chuẩn là các mô hình 3-3-1. Các mô hình 3-3-1
dựa trên nhóm đối xứng chuẩn là





đã kế thừa

những kết quả đạt được c a mô hình chuẩn đồng thời đang tiếp tục giải

quyết các v n đề còn tồn tại c a mô hình chuẩn. Các công bố gần đây
c a các mô hình 3-3-1 đã ch ra: khối lượng neutrino s được giải thích
qua cơ chế seesaw TeV, vật ch t tối s xu t hiện như là hệ quả c a đối
xứng mới trong các mô hình [6 .. Các hạt mới với số lepton s cho rã vi
phạm CP dẫn đến cơ chế leptogenesis cho giải tích b t đối xứng số
baryon. Ngoài việc giải quyết các v n đề quan trọng trên, một số các
kết quả khác cũng xu t hiện một cách r t tự nhiên trong các mô hình 33-1 như là hệ quả t t yếu c a lý thuyết, đó là: số thế hệ các fermions


2

trong mô hình phải là 3, các điện tích được lượng tử hóa, khối lượng và
sự dao động c a các neutrinos...
Có hai phiên bản c a mô hình 3-3-1, việc phân chia này phụ thuộc
vào phần lepton được đưa vào trong mô hình. Phiên bản thứ nh t, gọi là
mô hình 3-3-1 tối thi u, được đề xu t bởi Pisano, Pleitez và Frampton
vào năm 1992 [1 , trong đó, ta đưa lepton mang điện phân cực phải
vào đáy c a ba tam tuyến lepton c a nhóm nhóm

. Phiên bản

này đòi hỏi ba tam tuyến và một lục tuyến vô hướng Higgs đ thực hiện
phá vỡ đối xứng tự phát, sinh khối lượng cho t t cả các fermions. Việc
đưa vào lục tuyến Higgs giúp cho việc giải thích nguồn gốc khối lượng
c a các hạt một cách rõ ràng. Tuy nhiên, do số lượng lớn các vô hướng
xu t hiện trong mô hình dẫn đến việc xác đ nh trạng thái vật lý c a các
hạt, cũng như các tính toán từ lý thuyết đ cung c p tín hiệu cho việc
tìm kiếm các hạt Higgs từ các máy gia tốc gặp khó khăn. Đây cũng
chính là v n đề hiện nay đang được các nhà khoa học quan tâm và tiếp
tục phát tri n. Trong [7 , tác giả M.D. Tonasse mới đưa ra các kết quả

cho phổ khối lượng các Higgs và khối lượng các fermions gần đúng ở
bậc cây tree level . Phiên bản thứ hai được các tác giả Foot, Long và
Tuan đề xu t năm 1994, trong đó thành phần thứ ba c a các tam tuyến
lepton c a nhóm

là các neutrinos phân cực phải [9 . So với

phiên bản thứ nh t phiên bản thứ hai có ưu đi m hơn là số lượng các vô
hướng đưa vào là ít hơn và giải thích nguồn gốc khối lượng các
neutrinos tốt hơn, tương tác c a các boson trung hòa có khối lượng
trùng hợp với mô hình chuẩn. Tuy nhiên, hạn chế c a phiên bản này là
giới hạn c a góc trộn Weinberg lớn hơn mô hình chuẩn. Hạn chế này
vẫn đang được các nhà khoa học phát tri n mô hình này đ khắc phục.


3

Đóng góp c a các Higgs-boson trong các mô hình 3-3-1 đem lại
nhiều hiện tượng vật lý mới. Nhiều công bố gần đây dựa vào đóng góp
này cho th y giá tr c a một số đại lượng tính toán từ lý thuyết r t phù
hợp với giá tr thực nghiệm đo được: mômen từ d thường c a muon g2 , khối lượng các neutrinos, hàm

trong lý thuyết tái chuẩn hóa

Ngoài ra, dựa vào tương tác c a Higgs-boson trong các mô hình 3-3-1
ở các bổ đính bậc cao đã tìm ra các ứng cử viên cho các đối tượng vật
lý mới như: vật ch t tối, năng lượng tối, radion, axion
Việc tính toán tìm ra các đặc tính mới đ cung c p tín hiệu phục
vụ cho việc tìm kiếm các Higgs-boson ở các máy gia tốc cũng đang
được hết sức quan tâm. Công trình tìm kiếm Higgs qua kênh rã ra hai

photon c a William J. Marciano, Cen Zhang và Scott Winlenbrock
[11], hay qua kênh rã ra hai lepton [1 có th coi là khởi đầu cho việc
tìm kiếm Higgs-boson, qua đó đ nh hướng cho việc phát tri n các mô
hình lý thuyết.
Với hướng phát tri n c a khoa học như hiện nay, chúng tôi tập
trung vào việc nghiên cứu mô hình 3-3-1 tối thi u có lục tuyến vô
hướng, qua đó chúng tôi tìm ra các đặc tính c a Higgs-boson trong mô
hình cũng như những đóng góp c a nó. Trên cơ sở tìm ra tương tác c a
Higgs với các boson chuẩn, chúng tôi hy vọng s cung c p kết quả
quan trọng, tạo cơ sở cho việc nghiên cứu các hiện tượng vật lý mới
trong mô hình này cũng như việc tìm kiếm Higgs-boson ở các máy gia
tốc.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài cần đạt được các kết quả sau:
- Tìm hi u các nội dung cơ bản c a mô hình 3-3-1 tối thi u: nội dung sắp
xếp hạt, Lagrangian c a mô hình, thế Higgs c a mô hình


4

- Khối lượng các Higgs trong mô hình 3-3-1 tối thi u.
- Tương tác c a Higgs với các boson chuẩn trong mô hình 3-3-1
tối thi u.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm ra khối lượng các Higgs trung hòa và Higgs mang điện trong mô
hình 3-3-1 tối thi u.
- Xác đ nh tương tác c a Higgs với các boson chuẩn trong mô hình
3-3-1 tối thi u.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu là các Higgs và tương tác c a nó trong mô

hình 3-3-1 tối thi u.
- Phạm vi nghiên cứu là lý thuyết trường và vật lý năng lượng cao.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp Vật lý lý thuyết
- Sử dụng các phần mềm Matlab và Mathematical đ tính toán
6. Đóng góp mới
- Tương tác c a các Higgsvới các boson chuẩn trong mô hình 3-3-1
tối thi u. Các hiện tượng vật lý trong mô hình 3-3-1 tối thi u thông qua
đóng góp c a các Higgs.


5

NỘI DUNG
CHƢƠNG 1. TÌM HIỂU M

HÌNH 3-3-1 TỐI THIỂU

1.1.S p ếp các hạt t ong m h nh 3-3-1 tối thiểu.
Mô hình 3-3-1 nói chung là sự mở rộng c a mô hình chuẩn Standard


model , bằng cách mở rộng nhóm đối xứng chuẩn thành



, tùy theo việc đưa neutrino phân cực phải hay lepton mang điện vào
thành phần thứ ba c a tam tuyến lepton mà chúng ta có hai phiên bản tương
ứng c a mô hình 3-3-1.
Các lepton được sắp xếp theo ba thế hệ, các thành phần trái là các tam

tuyến c a

, còn các thành phần phải là các đơn tuyến c a

. Đặc

biệt, phần đáy c a tam tuyến không phải là neutrino mà là lepton mang điện
phân cực phải.
( )

,

,

(1.1)

Trong đó, a là ch số thế hệ, còn các giá tr trong ngoặc đơn bên phải
tương ứng là bi u di n các đa tuyến c a

và tích c a

,

.

Với các quark, ta cũng có cách sắp xếp tương tự. Tuy nhiên, đ đảm
bảo điều kiện khử d thường QCD thì thế hệ quark thứ nh t ta xếp vào tam
tuyến c a

, còn hai thế hệ sau ta xếp vào phản tam tuyến c a

( )

(

,

)

(

),

(

),

(

(

),

(

),

(

(

)

.

.

),
)

(1.2)


6

Đ sinh khối lượng cho các fermion ta cần ba tam tuyến

và

một lục tuyến vô hướng S. Trong đó, lục tuyến vô hướng S đóng vai trò sinh
khối lượng cho t t cả các lepton [2 .
( +

√

+

(

,

)

√

√

(√

(

,

(1.3)

√

)

√

Với trung bình chân không
〈 〉

(√ ), 〈 〉

( +, 〈 〉
√

( +, 〈 〉

(

,

(1.4)

√

Đ phù hợp với các dữ liệu thực nghiệm, chúng ta cần điều kiện.
(1.5)
là VEV c a trường Higgs trong mô hình chuẩn.
Toán tử điện tích được đ nh nghĩa
√

(1.6)

Trong đó: λ3 và λ8 là ma trận Gell-Mann chéo. Chú ý rằng đối với phản tam
tuyến, chúng ta thay ma trận Gell-Mann bằng ̅ = -λ*.
Khung phá vỡ đối xứng tự phát như sau
〈 〉

〈

→

→

〉

,

(1.7)

Vì lepton và phản lepton được đặt trong cùng một tam tuyến, do đó
trong mô hình này số lepton không được bảo toàn. Do đó, chúng ta sử dụng
một toán tử mới là

mà giao hoán với đối xứng chuẩn [

số lepton thông thường như sau L =

√

] và quan hệ với


7

1.2. L g ngi n củ m h nh
Trong mô hình 3-3-1 tối thi u, Lagrangian tổng quát c a mô hình được
đưa ra
∑̅

∑

(

)
(1.8)

với:
√

∑

(

) tương tác c a các boson chuẩn với các vô hướng c a

mô hình
∑̅

tương tác c a các lepton với các boson chuẩn, với

là các ma

trận Dirac.
tương tác chuẩn c a các nhóm
tương tác chuẩn c a các nhóm
tương tác chuẩn c a các nhóm
tương tác Yukawa tương tác c a một trường vô hướng và hai trường
fermion)
thế Higgs tổng cộng c a mô hình
1.3.

-3-1 tố t
Một trong những thành công lớn nh t c a vật lý học trong thế kỷ XX là

sự ra đời c a mô hình chuẩn. Mô hình chuẩn thống nh t ba trong bốn tương

tác được biết đến, đó là tương tác điện từ, yếu và mạnh dựa trên mẫu chuẩn
SU  3C  SU  2 L U 1Y . Mô hình chuẩn mô tả r t thành công vật lý hạt cơ


8

bản ở thang năng lượng bé hơn 200GeV. Sự thành công c a mô hình chuẩn
được xác nhận vào năm 1973 nhờ sự khám phá ra các tương tác neutrino dòng
trung hòa trong thí nghiệm Gargamelle tại CERN, Fermilab và nhiều thí
nghiệm khác trong hơn 40 năm qua.
Tuy nhiên lý thuyết này cũng bộc lộ những hạn chế nh t đ nh sau:
 Chưa giải thích được vì sao lại có ba thế hệ fermion.
 Sự khác nhau về khối lượng c a các fermion.
 Mô hình chuẩn không giải thích được khối lượng và sự chuy n hóa
neutrino đã được thực nghiệm xác nhận, cũng như sự gián đoạn về điện
tích.
 Tại sao khối lượng neutrino khác không, không có vật ch t tối và năng
lượng tối nhưng thực tế phần lớn vật ch t trong vũ trụ hiện nay là vật
ch t tối và năng lượng tối.
 Tính b t đối xứng c a baryon c a vũ trụ.
 Mô hình chuẩn không giải thích được vì sao top quark có khối lượng
lớn đến cỡ 175GeV trong khi tiên đoán lý thuyết c a mô hình chuẩn ch
cỡ 10GeV, tại sao giữa các thế hệ fermion có sự phân bậc về khối
lượng.
Năm 2001 đã đo được độ lệch c a mô men từ d thường c a muon so
với tính toán lý thuyết c a mô hình chuẩn. Điều này có th là hiệu ứng vật lý
mới dựa trên các mô hình mở rộng. Vì vậy việc mở rộng mô hình chuẩn là sự
phát tri n tự nhiên c a c a lý thuyết một cách logic.
Trong các mô hình mở rộng s tồn tại các boson chuẩn mới có khối
lượng cỡ TeV ứng với sự vi phạm số lepton và baryon. Có r t nhiều hướng

mở rộng mô hình chuẩn nhưng một trong những mô hình được ch p nhận là
các mô hình 3-3-1. Mô hình 3-3-1 là lý thuyết chuẩn dựa trên mẫu chuẩn
SU  3C  SU  3L  U 1 X . Mô hình 3-3-1 được chú ý nhiều bởi vì chúng


9

giải quyết được những v n đề ở thang năng lượng lớn hơn 200GeV và giải
thích được những v n đề vượt khỏi khả năng tiên đoán c a lý thuyết trường
chuẩn. Hơn nữa mô hình 3-3-1 cũng giải quyết tốt t t cả các v n đề mà mô
hình chuẩn đã thành công.
Đặc biệt với mô hình 3-3-1 tối thi u giải quyết được các v n đề trên
một cách trọn vẹn nh t, đồng thời giải quyết được v n đề về vật ch t và năng
lượng tối.
Trong chương này chúng ta đã trình bày về Mô hình 3-3-1 tối thi u,
qua đó ch ra được sự sắp xếp các hạt trong mô hình, Lagrangian c a mô hình
và các ưu đi m c a mô hình 3-3-1 tối thi u.


10

Chƣơng2
CÁC OSON CHUẨN TRONG M

HÌNH 3-3-1 TỐI THIỂU

2.1. Quy luật biến đổi củ các t ƣờng chuẩn
Trong phần này, chúng ta s nghiên cứu cách bi u di n các trường chuẩn
và quy luật biến đổi c a chúng. Giả sử, các trường biến đổi theo nhóm G với
n vi tử Ia, a = 1,2,....n. Tương ứng với các phép biến đổi đó, chúng ta có ρtuyến  i  1, 2,....n thực hiện bi u di n ρ- chiều. 1

 ig ata

a

  x 
Ta thực hiện phép biến đổi  i ( x)   ( x)  e



i
,
i

Trong đó ta là ma trận vuông c p p  p thỏa mãn các hệ thức như các vi tử
c a nhóm
 I a I b   if abc Ic
t at b   if abctc

Trong đó a là số thực b t kỳ. Giá tr c a a s quyết đ nh cách thức c a
phép biến đổi. Cụ th : nếu a không phụ thuộc vào tọa độ thì ta gọi là phép
biến đổi toàn cục global transformation . Ngược lại, nếu a  a  x  thì ta gọi
đó là phép biến đổi chuẩn đ nh xứ local gauge transformation



 ig
t
 i ( x)  i, ( x)  e    x 

Vì biến đổi umita, nên

a

a a



(2.1)

i

t


a

ta ,

và g,



a

là thực. Phép biến đổi chuẩn đ nh

xứ là hợp lý hơn vì tại mỗi đi m khác nhau, các pha s khác nhau. Ta xét vài
ví dụ, cụ th cho hai trường hợp đơn giản nh t là nhóm U 1 và tổng quát hơn

11

là nhóm SU(m). Với trường hợp nhóm U(1)Q, tương ứng với lý thuyết QED,
ta có:
  x i  i, ( x)i 

e

 ieq  x 



  x ,

(2.2)

Trong đó q là điện tích trong đơn v điện tích c a proton c a trường  , còn
e là hằng số tương tác điện từ).
Trường hợp nhóm M là nhóm SU m ta có số vi tử n = m2 -1, các vi tử là I1,
I2,........Im-1 .
Do trong Lagrangian tự do luôn chứa số hạng động năng, tức có đạo hàm, nên
nó s không b t biến với phép biến đổi đ nh xứ. Đ khôi phục lại tính b t biến
c a Lagrangian, nghĩa là tìm đại lượng mới b t biến dưới phép biến đổi chuẩn

  trong

đ nh xứ, ta làm từng bước như sau. Thay đạo hàm thường

Lagrangian tự do bởi đạo hàm hiệp biến và đại lượng thu được gọi là
Lagrangian tổng quát

D     igAa ,

(2.3)

D i  x     i  x   igAa  x  t a  x   ,

(2.4)

Trong đó A a là trường vector thực có tên gọi là trường chuẩn gaugefield).
Từ 2.3 , nếu một trường là đơn tuyến có ta = 0 s không tương tác với
trường chuẩn và các trường khác, ngoại trừ có tương tác Yukawa. Từ
đ nh nghĩa 2.4 ta th y số trường chuẩn bằng số vi tử c a nhóm: A  a , a =
1,2,...n. Nếu đạo hàm hiệp biến biến đổi như toán tử trường thì Lagrangian
tổng quát s b t biến. Vì vậy ta đòi hỏi các trường chuẩn phải biến đổi thế nào
đó, sao cho đạo hàm hiệp biến c a trường biến đổi như trường, nghĩa là
,
 ig
 x t
D  x    D  x    e  a a a D  x  .

(2.5)


12

Từ đây ta có quy luật biến đổi c a trường chuẩn
A,  x   S  x  A  x  S 1  x  

i
S  x  D S 1  x  .

g

(2.6)

Trong đó
n

A  x    A a  x  t a ,
a 1

 ig
  x t
S  x   e n a a .

Thực vậy
 ,  x   S  x 

  x  S 
,

 i  S 







 igA, S   i 







 igA 

Cân bằng hai vế
A  S  A,  S 
A,  S  A S  

i 
S   S.
g
i
(  S )S .
g

Nếu biến đổi chuẩn là cực vi infinitesimal) ( a vô cùng bé ), ta có
A, a  A   a  x   gf abcb  x  Ac  x   Aa

(2.7)

Như vậy khi ta thay đạo hàm hiệp biến vào đạo hàm thường thì kết quả ta
thu được là Lagrangian b t biến với biến đổi chuẩn đ nh xứ đồng thời đ nh
nghĩa tensor (ten sor gaugefield strength) cường độ chuẩn thông qua công
thức 2.8 sau:
Fa  D Aa  D Aa    Aa  x    Aa  x   gf bca  x  A b  x  A c  x  .

Khi đó ta có công thức biến đổi cho
F   a Fa ta

như sau

(2.8)


13

F   Fa t a    A    A  ig  A A  A A 

(2.9)

a

Ta có th ki m tra th y rằng F,  SF S 1
Như vậy tổ hợp sau là b t biến chuẩn
F, Fa

Tr  F  x  F   x 

ivn.

Do vậy, Lagrangian cho trường chuẩn được chọn như sau
gauge

1
1
  F a  x  Fa  x    Tr  F  x  F   x  .

4
4

(2.10)

Chú ý rằng ch có vết trong (2.10 mới có tính b t biến.
Như vậy từ các kết quả trên ta có các nhận xét sau:
Ta th y số hạng khối lượng m2 A A không b t biến chuẩn nên các trường
chuẩn không có khối lượng. Hơn nữa vì các đại lượng vật lý đo được đều phụ
thuộc vào bình phương c a hằng số tương tác g2 nên ta có th tùy chọn d u
cua hằng số tương tác có nghĩa là có th thay g bằng –g. Đồng thời ta th y
Trường chuẩn là trường vector
Theo kết quả hai công thức 2.8) và (2.10) ta d dàng nhậnth y hằng số
c u trúc nhóm khác không, có các số hạng tự tương tác self-couplings bậc
ba và bốn. Trong các lý thuyết giao hoán như QED, không tồn tại các số hạng
này.
Trong phép biến đổi b t biến toàn cục global ta ch quan tâm đến kết quả
đầu và kết quả cuâi c a phép biến đổi không quan tâm đến quá trình di n ra
biến đổi còn phép biến đổi đ a phương thì ngược lại với phép biến đổi toàn
cục đó là quan tâm đến quá trình di n ra biến đổi.
Sau đây ta có th xét những ví dụ cụ th về lý thuyết trường chuẩn:
Điện động lực học lượng tử QED nhóm chuẩn G  U (1)Q . Còn trường vật
ch t là trường spinor điện động lực học lượng tử spinor spinor QED


14

 ,  x   S  x 
,

 ,  x  S  , S  e

 ieq  x 

,

Trong đó q là điện tích c a trường  , còn e là hằng số tương tác điện từ.
Đạo hàm hiệp biến
D  x      x   ieqA  x   x  .

(2.11)

Lagrangian tự do c a trường Dirac có dạng
D
o

 i ( x)     x   m ( x)  x  .

(2.12)

Ta thay phép đạo hàm thường bằng đạo hàm hiệp biến trong 8.18 cho ta
Lagrangian toàn phần b t biến ta được
D
tot

 i ( x)  D  x   m ( x)  x 

 i ( x)     x   m  x   eq   x  A  x 


D
0



(2.13)

QED
int

Trong đó kí hiệu Lagrangian tương tác giữa photon với trường spinor
QED
int

 eq  x     x  A  x  .

Ta có tương tác thu được bằng cách thay đổi đạo

hàm thường bằng đạo hàm hiệp biến được gọi là tương tác tối thi u minimal
interaction).
Bây giờ ta xét trường vật ch t là trường vô hướng điện động lực học lượng tử
vô hướng scalar QED . Vì Ch có trường vô hướng phức mới tương tác với
photon nên ta có
 ,  x    ieq  x   x 

Trong đó q là điện tích c a trường φ. Ta có đạo hàm hiệp biến
D  x      x   ieqA  x    x 

(2.14)

15

Với phép thay đạo hàm thường bằng đạo hàm hiệp biến trong Lagrangian tự
do cho ta
S
tot

  D  x   D   x   m 2 *
*

   *  x     x   m 2 *

(2.15)

 ieqA  *     *   e2 q 2 A A *

Trong điện động lực học vô hướng có tương tác bậc ba và bốn. Tuy nhiên các
tương tác này đều có ch số đ nh bằng không. Các hiện tượng điện từ được
mô tả bằng Lagrangian(2.13) và (2.15 với độ chính xác r t cao.
Với sắc động lực học lượng tử (Quantum Chromodynamics (QCD)) nhóm
đối xứng là G = SU(3)C bây giờ bi u di n c a các trường chuẩn là các tam
tuyến
 r 

 p   b  , trong đó ch số màu colorindex  = r, b, g, ta  a là ma trận
2
 
 H

Gell-Mann. Tám trường chuẩn
G a  x       x   igsGa ta  x   , ,

ta 

a

(2.16)

2

Lagrangian tự do c a cac quard màu colored quark là

D
OQCD

 i





 x        x   m  x  .

(2.17)

Sau khi thay đạo hàm hiệp biến vào Lagrangian ta thu được tương tác c a
quark màu với gluon
QCD
int







gs r b g 
gs


 , , 
  x     a      x  Ga  x  ,  ,   rea,brow green =
2
2


16

 G3  G8 / 3

2G rb
2G rg
 
  r 
  b 
2G rb
G3  G 8 / 3
2G bg
x


  
rg
bg
8

2G
2G
 2G / 3   g 



(2.18)

Trong đó
G 
rb

G1  iG2
2

 

*

, G

rg



G4  iG5
2

,G



bg

G6  iG7
2

,

  , G  G 

G rb  G rb , G r g  G r g

*

bg

bg

*

Là các trường vật lý mang màu như kí hiệu chúng r b, ....... . Như vậy 8
gluon tách ra ba trường gluon với các liên hợp phức 6 trường và hai trường
hợp không mang màu là tổ hợp c a G3 và G8 . Ta nói không màu, nhưng thực

ra chúng mang màu rr , bb, gg .
Các đ nh trong QCD được mô tả bằng hình 2.1.

Hình 2.1. Các gluon màu


17

Đây là sự khác nhau cơ bản giữa QED và QCD. Trong QCD các gluon còn
tự tương tác với nhau theo tương tác bậc ba và bậc bốn. Hằng số tương
2
tác mạnh  S  g s ở năng lượng th p cỡ 0. Nhưng s giảm mạnh khi năng

4

lượng cao, và đó là tính tiệm cận tự do đã nói trước đây. Chính vì thế mà ở
năng lượng cao, người ta có th sử dụng lý thuyết nhi u loạn cho tương tác
mạnh.
Bây giờ ta xét trường hợp các  thực hiện bi u di n chính quy phó . Người
ta hay viết dưới dạng ma trận và kí hiệu là V. Như thường lệ Tr V V   ivn .
Ta có quy luật biến đổi.
V ,  x   eigat V  x  eiga  x t
a

a

(2.19)

Trong trường hợp này, đạo hàm hiệp biến được đ nh nghĩa như sau
D V   V  igAa t a ,V  .

(2.20)


ở đây t a là ma trận cơ sở c a nhóm. Ví dụ, đối với SU 3 thì t a  a , (a=
2

1,2,3,......8 . Công thức (2.20 viết cho từng yếu tố
D V ji   V ji  igA a  t aV   igA a Vt a 
i

i

j

j

(2.21)

Ta đạo hàm hiệp biến phải biến đổi như toán tử trường

 D V  x   e
,



 iga  x t a

DV  x  eiga  xt .
a

(2.22)

xét vế trái 2.21 và kí hiệu A  Aat a )
LHS    eigat Veigat  igA, eigat Veigat  igeigat Veigat A,
a

a

a

a

a

 eigat  ig   bt bVeigct  eigat  Veigct
a

c

a

eigat Veigct ig   bt b  igA, b e igat t Ve
a

c

a b

igc c

t

a

c

 igA, b e igat Veigct t
a

Vế phải c a 2.21)
RHS  eigat   V  igAbt bV  igAbVt b  eigct
a

c

c b


18

So sánh hai vế ta có hai phương trình giống nhau, và
ig  a  igA, a  igA a
 A, a  x   A a  x     a  x  .

Ta viết lại 2.21 cho kí hiệu A  Aa t a
DV  x    V  x   igAa  x    a  x  .

(2.23)

Chú ý rằng phần động năng trong Lagrangian tự do cho bi u di n chính quy /
phó có dạng ch vết mới b t biến
0


  V j i  Vi j  Tr   V   V  .



Nên khi thay đạo hàm thường bằng đạo hàm hiệp biến 2.23) ta có

Tr  DV  D V    V ji  Vi j  g 2 A a AbTr V  , t a  t b ,V   ...... ....



Đ minh họa cho trường hợp trên ta xét trường hợp dạng ma trận – lục tuyến
sextet trong mô hình thống nh t điện yếu mở rộng
SU  3C SU  3L U 1 x (3  3  1)

Thường gọi ở dạng ngắn gọn là sextet trong mô hình 3-3-1
Lục tuyến này có c u trúc hạt như sau
 0
 1

 h
S  2
 2
 h
 1
 2

h1 

2 
 20 

2 

H 2 


h2
2
H1

 20
2

Liên hợp hermitic c a nó s là
 0*
 1

 h
S   2
 2
 h
 1
 2

h2

2
H1

 20*
2

h1 

2
 20* 

2

H 2 


(2.24)


19

Tr  D S    S     10*  10    20*  20    H1   H1
  H 2   H 2    h2   h2    h1   h1  L0

(2.25)

Vì các số hạng động năng c a trường vô hướng phức 2.25 đều có hệ số là 1,
cho nên hệ số trong 2.24 là đúng. Với việc thay đạo hàm thường bằng đạo
hàm hiệp biến ta thu được


Tr  DV  D  S   L0  g 2Tr  S  , b   b  ,S  ......



2.2. Đạo hàm hiệp biến
Trong mô hình 3-3-1 tối thi u, Lagrangian tổng quát c a mô hình được
đưa ra
∑̅

∑

(

)

Với phép biến đổi chuẩn đ nh xứ, các trường trong mô hình biến đổi theo
công thức tổng quát sau:

 ig   xt  ig x X 
  x    e
e
  x 


8

a

a

a1

trong đó: ta 

a
2

, a

 2.26

là các ma trận Gell-Mann (a = 1,2,…8) g , g  là các

hằng số tương tác c a SU  3L và U 1 X .
Đạo hàm hiệp biến có dạng tổng quát:

D     igAa

a
2

 ig X

9
2

B     iP

 2.27 