Rèn luyện kỹ năng giải toán lượng giác cho học sinh lớp 10 THPT

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình hoàn thành khóa luận em luôn được sự hướng dẫn, chỉ
bảo tận tình của Giảng viên - Tiến sĩ Vũ Quốc Khánh, sự ủng hộ, động
viên và góp ý kiến của các giảng viên trong khoa Toán-Lý-Tin và các bạn
sinh viên lớp K52- ĐHSP Toán, các thầy cô cùng các em học sinh trường
THPT Cò Nòi - Sơn La. Đồng thời, để hoàn thành khóa luận em cũng đã
nhận được sự giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi về cơ sở vật chất, thời gian,
tài liệu tham khảo của phòng đào tạo, phòng Quản lý khoa học, phòng
Quan hệ quốc tế, thư viện và một số phòng, ban, khoa trực thuộc trường
Đại học Tây Bắc. Em chân thành bày tỏ lòng biết ơn sự ủng hộ giúp đỡ
quý báu của các thầy cô, các bạn sinh viên và các đơn vị nói trên.

Sơn La, tháng 05 năm 2015
Người thực hiện
Sinh viên: Vũ Thị Dương

1


MỤC LỤC
PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn khoá luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1. Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
4. Cấu trúc của khóa luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
PHẦN 2: NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1. Những lý luận chung về giải toán và kĩ năng giải toán. . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1. Phương pháp dạy học giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2. Các yêu cầu đối với lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3. Khái niệm kĩ năng giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.4. Đặc điểm của kĩ năng giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.5. Các kĩ năng giải bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2. Một số cách luyện tập để rèn luyện kĩ giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3. Chức năng của bài toán đối với việc rèn luyện kĩ năng
giải toán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4. Lượng giác trong đại số 10 THPT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
CHƯƠNG II: MỘT SỐ BIỆN PHÁP CƠ BẢN NHẰM RÈN LUYỆN KĨ
NĂNG GIẢI BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC LỚP 10 THPT . . . . . . . . . . . . . 19
2.1. Định hướng rèn luyện kĩ năng giải bài toán lượng giác
lớp 10 THPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
2.2. Biện pháp rèn luyện kĩ năng giải bài toán lượng giác cho học sinh lớp
10 THPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1. Biện pháp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2. Biện pháp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.3. Biện pháp 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2


CHƯƠNG III: THỬ NGHIỆM SƯ PHẠM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1. Mục đích thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2. Phương pháp thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3. Nội dung thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4. Tổ chức thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5. Kết quả thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.6. Kết luận rút ra từ thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.7. Kết quả rút ra từ thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3


PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn khoá luận
Toán học là một bộ môn quan trọng trong nhà trường phổ thông. Chúng
ta chỉ có thể học tốt được toán khi nắm vững kiến thức và thực hành thành
thạo các dạng bài tập có liên quan.
Nói đến giải toán thì đường lối giải và việc thực hiện bước giải đó như
thế nào là một vấn đề quan trọng đối với người giải toán. Cần thấy rõ từ
chỗ tìm được phương hướng giải toán tới việc hoàn chỉnh bài toán là cả
một quá trình bao gồm nhiều khâu. Từ việc nắm vững kiến thức cơ bản
về nội dung lý thuyết đến việc luyện tập thành thạo các quy trình và thao
tác có tính chất kĩ thuật. Điều này đòi hỏi tính nghiêm túc, tính kiên nhẫn
và phương pháp làm việc khoa học của người giải toán.
Thứ nhất: Dù đã nắm được lý thuyết, có kĩ thuật cao, có thành thạo
trong việc thực hiện các thao tác và các phép tính nhưng kết quả thực
hành giải không tốt thì không thể có lời giải chính xác cho bài toán.
Thứ hai: Khi đã định hướng được lời giải thì việc trình bày, sắp xếp các
dữ kiện của lời giải như thế nào đóng vai trò hết sức quan trọng vì rất dẫn
đến sai lầm trong các phép tính, suy luận, sử dụng công thức, quy tắc, kí
hiệu, ngôn ngữ, ... hoặc các thao tác thực hành sai trình tự lôgic.
Thứ ba: Khi rèn luyện được kĩ năng thực hành lời giải cho các bài tập
một cách thành thạo ta có thể phát huy kỹ năng làm việc độc lập sáng
tạo, một khả năng không thể thiếu được của người giải toán
Trong bộ môn toán học nói chung và bộ môn đại số lớp 10 nói riêng,
học sinh thường gặp khó khăn khi giải quyết các bài tập về lượng giác,
thường khó khăn trong việc biến đổi các công thức lượng giác. Đặc biệt
trong chương trình lớp 10 có những công thức lượng giác mới, số lượng

công thức nhiều, việc biến đổi công thức hay nhầm lẫn.
Khi giải một bài toán thì người giải cần định hướng được lời giải, xây
dựng được chương trình giải và thực hiện lời giải của bài toán đó. Việc
thực hành lời giải của bài toán nói lên kĩ năng cơ bản cần phải làm, trình
4


bày những lập luận lôgic, thao tác cần thực hiện, cách sử dụng ngôn ngữ,
kí hiệu, ... đây là một khâu rất quan trọng trong khi giải toán.
Chính vì những lí do trên mà tôi chọn khoá luận nghiên cứu "Rèn luyện
kĩ năng giải bài toán lượng giác cho học sinh lớp 10 THPT"
2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Đề xuất một số biện pháp nhằm rèn luyện kỹ năng giải bài toán lượng
giác cho học sinh lớp 10 THPT
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn liên quan đến khoá luận.
+ Đề xuất một số biện pháp góp phần rèn luyện kĩ năng giải bài toán
lượng giác cho học sinh lớp 10 THPT.
+ Bước đầu thử nghiệm sư phạm về tính khả thi và hiệu quả của biện
pháp.
3. Phương pháp nghiên cứu
+ Nghiên cứu lý luận: Quan điểm, kết luận khoa học và kĩ năng của
giải toán của học sinh.
+ Nghiên cứu thực tiễn, đề xuất biện pháp rèn luyện cho từng dạng
toán cụ thể nhằm rèn luyện kĩ năng giải các bài tập về lượng giác cho học
sinh lớp 10.
+ Thử nghiệm sư phạm: Dạy cho học sinh lớp 10 và bước đầu kiểm tra
đánh giá tính khả thi, hiệu quả của biện pháp đưa ra.

5


4. Cấu trúc khoá luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, khoá luận
bao gồm 3 chương :
Chương 1: Cơ sở lý luận
Chương 2: Một số biện pháp cơ bản nhằm rèn luyện kĩ năng giải các bài
toán lượng giác cho học sinh lớp 10.
Chương 3: Thử nghiệm sư phạm
Kết luận
Tài liệu tham khảo
Phụ lục

6


PHẦN 2 : NỘI DUNG
CHƯƠNG I : CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Những lý luận chung về giải toán và kĩ năng giải toán.
Toán học là một bộ môn quan trọng trong nhà trường phổ thông. Giải
toán là quá trình suy luận nhằm khám phá ra quan hệ lôgic giữa cái đã
cho và cái phải tìm. Người học toán khi đứng trước một bài toán luôn
muốn mình giải được hoặc đáp ứng được các yêu cầu của bài toán đặt ra.
Để giải một bài toán thì người giải phải trải qua rất nhiều khâu. Từ việc
nắm vững các kiến thức cơ bản của nội dung lý thuyết đến việc luyện tập
thành thạo các quy trình xây dựng bước giải. Và thực hành có hiệu quả
các thao tác có tính chất kĩ thuật trong việc giải bài tập. Điều này đòi hỏi
tính nghiêm túc, tính kiên nhẫn và một phương pháp làm việc khoa học
của người giải toán.

Khi dạy giải bài tập cho học sinh cần rèn luyện cho học sinh xác định
hướng giải bài tập đó. Việc xác định hướng giải giúp cho lời giải đạt hiệu
quả. Nhờ định hướng giải khác nhau học sinh có thể giải bài toán bằng
nhiều cách khác nhau.
Trong thực hành giải các thao tác phải thực hiện tốt. Việc thực hiện lời
giải phải khoa học, lập luận chặt chẽ. Để làm tốt được điều này cần nghiên
cứu kĩ bài toán đã cho mà chủ yếu căn cứ vào yêu cầu mà bài toán đó đòi
hỏi để xác định đúng thể loại các bài toán đó, định hướng được lời giải.
Ngoài việc nắm các đường lối chung thì người giải toán cần phát hiện
những cái riêng, cái độc đáo của bài toán cụ thể để lựa chọn được phương
án thích hợp nhất và tối ưu nhất.
1.1.1. Phương pháp dạy học giải toán.
Các bước giải một bài toán
* Bước 1: Tìm hiểu đề toán
Để giải được một bài toán, trước hết phải hiểu đề bài. Vì thế cần giúp
học sinh tìm hiểu đề và cần chú ý gợi động cơ, khêu gợi trí tò mò, hứng
thú cho các em.
7


+ Để hiểu rõ đề bài toán trước hết cần phải nắm vững các yếu tố mà
bài toán đã cho, phải hiểu được mối liên hệ giữa các yếu tố đó.
+ Sau đó phải nắm được yêu cầu của bài toán. Phải biết được bài toán
cho cái gì, và yêu cầu của bài toán là gì?
+ Nếu cần thiết phải vẽ hình cho bài toán. Hình vẽ sẽ giúp chúng ta
hiểu được đề bài toán một cách cụ thể và rõ ràng hơn. Hình vẽ còn có tác
dụng gợi ý cho việc tìm ra cách giải và giúp phát triển trí tưởng tượng
không gian.
* Bước 2: Tìm tòi lời giải, đề ra một chương trình giải.
+ Hãy nghĩ đến những bài toán liên quan.

Những bài toán liên quan có thể là những bài toán tương tự với bài toán
đã cho, hoặc là trường hợp đặc biệt của những bài toán đã cho, thậm chí
là bài toán na ná bài toán đã cho, ... Nghĩ đến các bài toán liên quan là để
tìm cách sử dụng kết quả hay phương pháp giải của các bào toán đó.
+ Hãy tìm cách giải bài toán thông qua các ẩn phụ.
Nhiều bài toán khi đưa ra không thể giải được một cách trực tiếp mà
phải thông qua các ẩn phụ để tìm ra những mối liên hệ mới. Nhờ đó mà
giải được bài toán cần giải.
+ Tìm tòi lời giải qua xét một số trường hợp (đặc biệt, hay tương tự,...)
* Bước 3 : Thực hiện chương trình giải.
Trình bày lời giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành
một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện
các bước đó.
Để đưa ra một chương trình giải hợp lý cho bài toán không phải là dễ.
Muốn đạt được kết quả đó đòi hỏi phải có nhiều điều kiện: những kiến
thức có sẵn, những thói quen suy nghĩ, sự tập trung và cả sự may mắn
nữa. Thực hiện chương trình thì dễ dàng hơn nhiều, ở đây đòi hỏi chủ yếu
là sự kiên nhẫn. Chương trình chỉ vạch ra những nét tổng quát. Chúng ta
phải đảm bảo cho những chi tiết phù hợp với những nét tổng quát đó. Do
đó, phải kiên nhẫn khảo sát lần lượt từng chi tiết một cho tới khi rõ ràng,
8


không còn những chỗ mơ hồ, có thể che dấu một sự sai lầm. Nếu đã đề ra
chương trình đưa đến lời giải, ta không ngần ngại gì mà dùng một suy luận
tạm thời, có tính chất mò mẫm thông qua các yếu tố đã cho của bài toán
mà có thể đưa đến một ý đúng thì đó là điều chính đáng. Nhưng khi thực
hiện chương trình lời giải thì phải thay đổi quan điểm đó và chỉ thừa nhận
những lí do quyết định và chặt chẽ. Khi thực hiên lời giải phải nghiệm lại
mọi chi tiết, không phải mọi chi tiết của lời giải đưa ra đều đúng. Khi lập

chương trình giải có thể tự do mò mẫm bao nhiêu thì khi thực hiện lời giải
ta phải trải nghiệm lại cẩn thận bấy nhiêu.
Ta phải trình bày lời giải có thứ tự, phải chú trọng tới các chi tiết của
lời giải, không được quên một chi tiết nào, phải hiểu sự liên hệ của mỗi chi
tiết với toàn bộ và sự liên hệ giữa các giai đoạn quan trọng với nhau.
* Bước 4: Nhìn lại bài toán và lời giải
Sau khi giải xong, chúng ta nên thực hiện:
+ Kiểm tra lại kết quả và toàn bộ lời giải bài toán .
+ Suy nghĩ xem có lời giải khác hay không? Lời giải đã lựa chọn có phải
hay nhất không?
+ Từ những kết quả thu được tìm cách đề xuất những bài toán khác
nhờ tương tự, tổng quát hoá, ...
1.1.2. Các yêu cầu đối với lời giải
Để phát huy hết tác dụng của bài tập toán học, trước hết cần phải nắm
vững các yêu cầu của lời giải. Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng và
tốt. Nói như vậy là bao hàm đầy đủ các ý cần thiết nhưng cô đọng. Để
thuận lợi cho việc thực hiên các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy
học và đánh giá học sinh, có thể cụ thể hoá các yêu cầu chi tiết.
i) Kết quả đúng kể cả bước trung gian.
Kết quả cuối cùng phải là một phương án đúng, một biểu thức, một
hằng số, một hình vẽ, ... thoả mãn các yêu cầu đề ra. Kết quả của các bước
trung gian cũng phải đúng. Như vậy, lời giải không thể chứa những sai lầm
về tính toán, hình vẽ, biến đổi biểu thức.
9


2i) Lập luận chặt chẽ
Đặc biệt là lời giải phải tuân thủ các yêu cầu sau:
+ Lập luận nhất quán
+ Luận cứ phải đúng

+ Luận chứng phải hợp lôgic
3i) Lời giải phải đầy đủ
Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không được bỏ xót trường hợp nào, một
chi tiết cần thiết nào.
4i) Ngôn ngữ chính xác
Đây là yêu cầu giáo dục tiếng mẹ đẻ cho tất cả các bộ môn. Việc dạy
môn toán cũng phải tuân thủ yêu cầu này.
5i) Trình bày rõ ràng đảm bảo mĩ thuật.
Yêu cầu này đặt ra với các lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp các
yếu tố ( chữ, số , hình vẽ, kí hiệu ...) trong lời giải.
6i) Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất trong các
cách giải đã tìm được.
7i) Nghiên cứu giải các bài tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
Bốn yêu cầu từ i) đến 4i) là các yêu cầu cơ bản. Yêu cầu 5i) là yêu cầu về
mặt trình bày. Yêu cầu 6i) và 7i) là yêu cầu đề cao.
1.1.3. Khái niệm kĩ năng giải toán.
Trong lĩnh vực tâm lý học có nhiều công trình nghiên cứu đề cập đến
kĩ năng nhưng vẫn chưa có định nghĩa nào được sử dụng duy nhất. Có thể
tóm lược một số khái niệm kĩ năng được sử dụng như sau:
+ Theo P.A.Rudich cho rằng :" Kĩ năng là động tác mà cơ sở của nó là
sự vận dụng thực tế các kiến thức đã tiếp thu để đạt được kết quả trong
một hình thức hoạt động cụ thể." Ở đây các tác giả đã quan niệm kĩ năng
là hoạt động vật chất, hàm chỉ vận động vật chất cụ thể. Với quan niệm
như vậy thuận lợi cho việc hình thành những kĩ năng vận động, những
thao tác kĩ thuật.
+ Quan điểm thứ hai coi kĩ năng là khả năng thực hiện một công việc
10


hay việc thực hiện một hành động nào đó một cách có chất lượng và hiệu

quả theo yêu cầu, theo mục đích xác định trong những điều kiện nhất định
( thời gian, phương tiện, môi trường hoạt động, nguồn lực,...). Hoặc kĩ
năng là khả năng của con người thực hiện một công việc một cách có hiệu
quả và chất lượng trong một khoảng thời gian thích hợp, trong những điều
kiện nhất định dựa vào tri thức và thói quen hình thành được.
Như vậy, quan niệm kĩ năng là quan niệm rộng hơn, không chỉ coi kĩ
năng đơn thuần là hành động vật chất hay là động tác cụ thể mà bao gồm
cả hành động trí óc. Vấn đề kĩ năng vẫn còn là vấn đề có nhiều ý kiến,
song về cơ bản các ý kiến cũng không có gì mâu thuẫn nhau. Các tác giả
tuỳ theo cách nhìn chủ quan của mình mà nhấn mạnh khía cạnh này hay
khía cạnh khác. Tuy nhiên, từ những ý kiến trên chúng ta có thể hiểu kĩ
năng một cách tổng quát như sau: Kĩ năng là khả năng thực hiện có kết
quả một hành động hay một hoạt động nào đó bằng cách lựa chọn và vận
dụng những tri thức, những kinh nghiệm đã có để hành động phù hợp với
những điều kiện thực tiễn cho phép. Kĩ năng thể hiện các thao tác tư duy,
năng lực hành động và mặt kĩ thuật của hành động.
Để trở thành một người có kĩ năng hành động nào đó phải:
+ Có tri thức về hành động bao gồm mục đích của hành động, các điều
kiện phương tiện để đạt được mục đích, các cách thức thực hiện hành động.
+ Tiến hành hành động cùng với yêu cầu của nó.
+ Đạt được kết quả với mục đích đề ra.
+ Có thể hành động có hiệu quả trong những điều kiện khác nhau.
Tuy nhiên, muốn có kĩ năng thì phải tính đến một quá trình hình thành
kĩ năng, và để đạt được kết quả hành động cũng cần phải có sự rèn luyện,
tập dượt nhất định để đạt được mục đích đề ra.
1.1.4. Đặc điểm của kĩ năng giải toán
Trong vận dụng, ta thường chú ý đến đặc điểm của kĩ năng:
- Bất cứ kĩ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết, đó là kiến thức,
bởi vì cấu trúc của kĩ năng bao gồm: hiểu mục đích - biết cách thức đi đến
11

kết quả - hiểu những điều kiện để triển khai cách thức đó.
- Kiến thức là cơ sở của kĩ năng khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các
thuộc tính, bản chất của đối tượng được thử nghiệm trong thực tiễn tồn
tại trong ý thức với tư cách của hành động.
- Kĩ năng của con người không phải là yếu tố bất biến trong suốt cuộc
đời mà phụ thuộc vào người học thông qua chính hoạt động của họ trong
mối quan hệ của họ với cộng đồng. Tuy nhiên thực tiễn giáo dục cho thấy,
học sinh gặp rất nhiều những khó khăn trong việc vận dụng những khái
niệm và kiến thức đã lĩnh hội được để giải quyết những nhiệm vụ cụ thể.
Cái khó nằm ở chỗ, học sinh không biết phát hiện những dấu hiệu bản
chất của đối tượng, từ đó phát hiện những mối liên hệ bản chất giữ tri thức
đã có với đối tượng đó. Trong trường hợp này, tri thức không biến thành
công cụ của hoạt động nhận thức và như vậy khối kiến thức mà họ có là
khô cứng không gắn với thực tiễn, không biến thành cơ sở của kĩ năng.
Tri thức về các sự vật là rất đa dạng và phong phú, nó phản ánh những
thuộc tính khác nhau và những thuộc tính bản chất của các sự vật. Như
vậy để tri thức trở thành cơ sở lựa chọn đúng đắn cho các hành động thì
cần biết lựa chọn tri thức một cách đúng đắn hợp lý. Nói cách khác cần
lựa chọn tri thức phản ánh thuộc tính bản chất phù hợp với mục tiêu của
hành động.
1.1.5. Các kĩ năng giải toán.
Trong toán học, " Kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện chứng
minh cũng như phân tích, có thể phê phán các lời giải và chứng minh chưa
nhận được." Kĩ năng giải toán được hiểu là kĩ năng vận dụng tri thức toán
học để giải các bài tập toán học (bằng suy luận, chứng minh)
+ Theo Polya: Trong toán học, kĩ năng là khả năng giải các bài toán,
thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và
chứng minh đã nhận được .

Như vậy, kĩ năng giải toán có cơ sở là các tri thức Toán học (bao gồm
kiến thức, kĩ năng, phương pháp). Sau khi nắm vững lí thuyết trong qua
12


trình luyện tập, củng cố kiến thức.
Trong toán học thì kĩ năng thực hành, phát triển đồng thời nó cũng góp
phần củng cố, cụ thể hoá kiến thức toán học, hoạt động học tập môn toán.
Kĩ năng toán học được hình thành và phát triển thông qua việc thực hiện
các bước giải của một bài tập toán học. Kĩ năng có thể được rút ngắn bổ
sung và thay đổi trong quá trình hoạt động.
Một yêu cầu quan trọng cần đạt được trong quá trình dạy học Toán học
là học sinh phải nắm vững kiến thức, có kĩ năng, kĩ xảo vận dụng trong
thực hành giải toán. Tuỳ theo từng nội dung, kiến thức truyền thụ cho học
sinh mà ta có những yêu cầu rèn luyện kĩ năng tương ứng. Trong chương
trình toán phổ thông, cụ thể là khi rèn luyện kĩ năng thực hành giải bài
tập về lượng giác ta có thể chỉ ra một số kĩ năng sau:
+ Kĩ năng liên kết, phân tích các dữ liệu mà bài toán đã cho với cái
phải tìm.
+ Kĩ năng tính toán: Bên cạnh việc rèn luyện tư duy, khả năng suy luận
độc lập, sáng tạo, ta không thể xem nhẹ việc rèn luyện kĩ năng tính toán
vì nó có vai trò quan trọng đối với học sinh trong việc thực hiện lời giải
một bài toán, rất dẫn đến sai lầm trong kết quả của bài toán và cuộc sống
sau này. Kĩ năng này đòi hỏi sự tỉ mỉ, cẩn thận tính đúng, tính nhanh và
tính hợp lí trong từng bước tính toán của một lời giải.
+ Kĩ năng vận dụng các quy tắc biến đổi công thức. Về mặt kĩ năng
này thì yêu cầu học sinh vận dụng linh hoạt máy móc.
+ Kĩ năng vận dụng cái đã có vào giải các bài toán cụ thể về lượng giác.
Học sinh phải rèn luyện kĩ năng này trong quá trình họ tìm tòi lời giải
bài toán. Nên hướng dẫn học sinh thực hiện giải bài toán theo quy trình 4

bước: Tìm hiểu nội dung bài toán, xây dựng chương trình giải, thực hiện
chượng trình giải , kiểm tra nghiên cứu lời giải.
+ Kĩ năng chứng minh toán học, cụ thể khi giải các bài tập về lượng
giác là việc chứng minh một đẳng thức dựa vào các công thức đã học. Theo
Hoàng Chúng, để có kĩ năng chứng minh toán học thì học sinh cần đạt
13


được: Hình thành động cơ chứng minh, rèn luyện những hoạt động thành
phần trong chứng minh, truyền thụ tri thức phương pháp về chứng minh,
các phép suy luận.
+ Kĩ năng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch, kĩ năng biến đổi
xuôi chiều và ngược chiều, là một điều kiện quan trọng để học sinh nắm
vững và vận dụng kiến thức, đồng thời nó cũng là một thành phần quan
trọng của tư duy toán học. Bên cạnh đó cần rèn luyện cho học sinh kĩ năng
biến đổi xuôi chiều và ngược chiều song song với nhau giúp cho việc hình
thành các liên tưởng ngược diễn ra đồng thời với việc hình thành các liên
tưởng thuận.
+ Kĩ năng đọc và vẽ hình đo đạc: Đây là kĩ năng cần thiết và phải rèn
luyện cho học sinh một cách cẩn thận. Đặc biệt, với kĩ năng vẽ hình, học
sinh phải hình thành và rèn luyện thói quen vẽ hình chính xác theo quy
ước, phù hợp với lí thuyết biểu diễn hình, vẽ cẩn thận, có thẩm mĩ.
+ Kĩ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn: Kĩ năng toán học hoá
các tình huống thực tiễn được cho trong bài toán hoặc nảy sinh từ thực
tế đời sống nhằm tạo điều kiện cho học sinh biết và vận dụng những kiến
thức toán học trong nhà trường gây hứng thú trong học tập, giúp học sinh
nắm được thực chất nội dung, vấn đề và tránh hiểu các sự kiện toán học
một cách hình thức.
+ Kĩ năng hoạt động tư duy hàm: Tư duy hàm là quá trình nhận thứ
liên quan đến sự tương ứng, những mối liên hệ phụ thuộc giữa các phần

tử của một hay nhiều tập hợp trong sự vận động của chúng. Tư duy hàm
đóng vai trò quan trọng và xuyên suốt trong chương trình toán phổ thông.
Những hoạt động tư duy hàm là: Hoạt động phát triển và thiết lập sự
tương ứng, hoạt động nghiên cứu tương ứng.
+ Kĩ năng tự kiểm tra, tự đánh giá trình bày lời giải và tránh sai lầm
khi giải toán:" Con người phải biết học ở những sai lầm và thiếu sót của
mình " (Polya). Trong học tập gải toán việc phát hiện sai lầm và sửa sai
lầm đó của lời giải là một thành công của người giải toán.
14


Trên thực tế, có nhiều học sinh kể cả học sinh khá, giỏi vẫn mắc sai lầm
khi giải toán. Do vậy mà giáo viên cần giúp học sinh có khả năng và thói
quen phát hiện những sai lầm nếu có sau mỗi bài tập, mỗi bài kiểm tra,
phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm đó. Qua đó học sinh cũng đã được
rèn luyện thêm về kĩ năng trình bày lời giải chẳng hạn như: Câu chữ, các
kí hiệu, hình vẽ chính xác , hình thức sạch đẹp ... Việc hình thành kĩ năng
tự kiểm tra, đánh giá và tự điều chỉnh góp phần nâng cao chất lượng dạy
và học.
Để hình thành kĩ năng giải bài tập toán học nói chung cho học sinh,
giáo viên cần thực hiện tốt các vấn đề sau:
+ Xác định từng kĩ năng cụ thể trong hình thành giải bài tập toán học
và mức độ ở mỗi lớp, mỗi cấp học tương ứng.
+ Xác định hình thức giải bài tập toán học tương ứng chủ yếu cho học
sinh rèn luyện kĩ năng giải các bài tập cơ bản, bài tập tổng hợp.
+ Xác định sơ đồ định hướng khái quát các Angorit giải mỗi bài tập cơ
bản điển hình và bài tập cơ sở để hướng dẫn học sinh giải bài tập.
+ Hướng dẫn học sinh hoạt động tìm kiếm lời gải bài tập giúp học sinh
nắm được sơ đồ hướng dẫn giải bài tập toán học nói chung và mỗi bài tập
cụ thể.

Sử dụng hình thức bài tập sau mỗi bài, mỗi chương giúp học sinh luyện
tập theo mẫu, không theo mẫu , thường xuyên và theo hình thức khác nhau.

15


1.2. Một số cách luyện tập để rèn luyện kĩ năng giải toán.
Cho học sinh giải bài tập toán học tương tự bài tập mẫu, việc luyện
tập này có tiến hành ngay ở một bài học, cũng có thể rải rác ở một số bài
cũng như bài tập ở nhà.
* Luyện tập không theo mẫu: Học sinh luyện tập khi những yêu cầu của
bài tập được thay đổi từ đơn giản đến phức tạp. Hệ thống bài tập phải
được sắp xếp từ dễ tới khó giúp học sinh phát triển các kĩ năng từ thấp
đến cao khác nhau.
* Luyện tập thường xuyên: Mỗi khái niệm được hình thành phải được
học sinh thực hiện thành thạo vì thế cần tạo điều kiện để học sinh rèn
luyện kĩ năng trong triết học, trong hoạt động học ở nhà.
* Luyện tập theo nhiều hình thức giải các bài tập khác nhau: ngoài việc
sử dụng đa dạng các bài tập toán học cần phối hợp nhiều loại bài tập để
có nhiều hình thức rèn luyện kĩ năng thực hành giải như.
- Giải bằng lời
- Giải dưới dạng viết
- Giải bằng thực nghiệm.
1.3. Chức năng của bài toán đối với việc rèn luyện kĩ năng giải
toán.
Ở trường phổ thông, giải toán là một hoạt động toán học. Đối với học
sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động học. Trong
dạy học toán, mỗi bài tập toán học được sử dụng với những dụ ý khác
nhau, có thể dùng để đào tạo tiền đề xuất phát, gợi động cơ, để làm việc
với những nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra, liên hệ thực tiễn ...

Ở thời điểm cụ thể nào đó mỗi bài tập toán chứa đựng tường minh hay
ẩn tàng những chức năng khác nhau (chức năng dạy học, chức năng giáo
dục, chức năng phát triển, chức năng kiểm tra) những chức năng này đều
hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học.
Tuy nhiên trên thực tế các chức năng này không bộc lộ một cách riêng
lẻ và tách rời nhau, khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của
16


một bài tập cụ thể tức là có ý nói chức năng ấy được thể hiện ở một cách
tường minh, công khai.
Hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào
việc khai thác và thực hiên một cách đầy đủ các chức năng có thể có của
một bài toán mà người viết sách giáo khao đã có dụng ý chuẩn bị. Người
giáo viên chỉ có thể khám phá thực hiện những dụng ý đó bằng năng lực
sư phạm của mình.
1.4. Lượng giác trong chương trình đại số lớp 10 THPT
Trong chương trình môn toán lớp 10 THPT, học sinh được làm quen
với các công thức lượng giác cơ bản, tuy nhiên ở lớp 9 các em đã được làm
quen với một số công thức lượng giác như sin, cos, tan, cot. Nhưng lên lớp
10 thì số lượng công thức nhiều hơn và việc biến đổi phức tạp hơn so với
ở lớp 9.
Qua điều tra khảo sát và trao đổi với các thầy cô giáo dạy toán lớp
10 và các em học sinh tôi nhận thấy rằng: Số lượng bài tập và nội dung
kiến thức tương đối nhiều, đây cũng là lượng kiến thức mới tương đối khó.
Ngoài thời gian học tập trên lớp các em không có thời gian nghiên cứu
sâu, mở rộng, khai thác ứng dụng của nhiều công thức. Điều này hạn chế
không nhỏ đến việc huy động vốn kiến thức của học sinh , việc phát huy
tính tích cực, độc lập suy nghĩ của học sinh trong quá trình học tập.
Hệ thống bài tập sau mỗi phần nhằm khắc sâu ứng dụng khái niệm,

công thức còn ít. Khi vận dụng những kiến thức đó vào việc giải toán còn
nhiều lúng túng, chưa rèn luyện đầy đủ, thành thạo về kĩ năng thực hiện
lời giải bài toán lượng giác, chưa kích thích được sự ham mê tìm tòi khám
phá tri thức cho học sinh nên có thể dẫn tới tình trạng hời hợt, không hiểu
sâu vấn đề.
Trong thực trạng khi giải các bài tập về lương giác, học sinh còn mắc
nhiều sai lầm khi tính toán, biến đổi các công thức như biến đổi các công
thức tổng thành tích, tích thành tổng... Để khắc phục phần nào tình trạng
đó chúng tôi thấy rằng: Các giáo viên cần phải vận dụng tối đa giờ lên lớp,
17


dạy thêm nội dung này trong các giờ tự chọn, chuẩn bị một cách hệ thống
bài tập mới bổ sung cho sách giáo khoa, phải huy động mọi biện pháp để
tạo ra môi trường hoạt động tích cực giúp học sinh nắm vững kiến thức
một cách cơ bản, vững chắc.
Trong quá trình giảng dạy và nghiên cứ nội dung này, chúng tôi nhận
thấy có một số thuận lợi và khó khăn sau:
- Những thuận lợi:
+ Cách trình bày diễn đạt kiến thức của sách giáo khoa mới là tương
đối dễ hiểu, phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh.
+ Số lượng bài toán là vừa phải không gây tình trạng quá tải với đa số
mà vẫn đảm bảo việc rèn luyện kĩ năng thực hành giải bài tập.
- Những khó khăn:
+ Đối với học sinh trung học phổ thông thì lượng giác là một kiến thức
mới và khó, học sinh thường gặp khó khăn trong việc nhớ các công thức
lượng giác, vì thế không tránh khỏi những bỡ ngỡ khi học nội dung này.
Số tiết dành cho chương trình còn hạn chế, nó bất cập với lượng kiến
thức mới và khó mà học sinh phải lĩnh hội nên dễ gây ra tâm lý ngại khó.
Đặc biệt là khi giải bài tập ở nội dung này, học sinh thường biến đổi sai

công thức, khi tính toán hay nhầm lẫn.

18


CHƯƠNG II: MỘT SỐ BIỆN PHÁP CƠ BẢN
NHẰM RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI
BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 10 THPT
Từ những nghiên cứu ở chương I, nội dung chương II nghiên cứu các biện
pháp áp dụng cho từng dạng bài toán nhằm rèn luyện kĩ năng giải bài tập
lượng giác cho học sinh lớp 10.
2.1. Định hướng rèn luyện kĩ năng giải bài toán lượng giác lớp 10
THPT
Một số kiến thức cơ bản về lượng giác.
Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
* Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị (bán kính bằng 1), định
hướng, trên đó có một điểm A được chọn làm gốc.
* Cho đường tròn lượng giác trong hệ trục toạ độ vuông góc gắn với nó.
Với mỗi góc lượng giác (Ou,Ov) có số đo α, lấy điểm M(xM ; yM ) trên đường
tròn lượng giác sao cho sđ (OA,OM) = α. ta có :
sin(Ou, Ov) = sin α = yM
cos(Ou, Ov) = cos α = xM
sin α
π
tan(Ou, Ov) = tan α =
, với α = + kπ, k ∈ Z
cos α
2
cos α
cot(Ou, Ov) = cot α =

, với α = kπ, k ∈ Z
sin α
*Các tính chất : Với k ∈ Z
sin(α + k2π) = sin α ; cos(α + k2π) = cos α;
tan(α + kπ) = tan α ; cot(α + kπ) = cot α.
1) Quan hệ giữa độ và rađian
π
1 =
rad và 1 rad =
180
0

19

180
π

0


Bảng chuyển đổi thông dụng
300 450 600 900 1200 1350 1500 1800
π
π
π
π
2π
3π
5π
rađian

π
6
4
3
2
3
4
6
Độ

Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
π

α

0

sin α

0

cos α

1

tan α

0

cot α

không xác định

6
1

π

π

√4 √3
2
3

√2 √2
3
2
2
1
√
3
√
3

2
1
1

2
1

2
√
3
1
√
3

π
2
1
0
không xác định
0

II) Quan hệ giữa các giá trị lượng giác
1) Công thức lượng giác cơ bản (hay hằng đẳng thức lượng giác)

sin α
cos α
cos α
cot α =
sin α
sin2 α + cos2 α = 1
π
1
,
α
=
+ kπ, k ∈ Z
1 + tan2 α =

cos2 α
2
1
1 + cos2 α =
, α = kπ + kπ, k ∈ Z
sin2 α
kπ
+ kπ, k ∈ Z
tan α. cot α = 1, α =
2
tan α =

20


2) Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
2.1. Hai góc đối nhau
sin(−α) = − sin α,

tan(−α) = − tan α

cos(−α) = cos α,

cot(−α) = −cotα

2.2. Hai góc bù nhau
sin(π − α) = sin α,

tan(π − α) = − tan α

cos(π − α) = − cos α,

cot(π − α) = − cot α

2.3. Hai góc phụ nhau
π
− α = cos α, tan
2
π
cos
− α = sin α, cot
2
2.4. Hai góc hơn nhau π
sin

sin(π + α) = − sin α,

π
− α = cot α
2
π
− α = tan α
2

tan(π + α) = tan α

cos(π + α) = − cos α, cot(π + α) = cot α
π
2.5 Hai cung hơn nhau
2

π
π
sin
+ α = cos α,
tan
+ α = − cot α
2
2
π
+ α = − sin α,
2
3) Công thức cộng cung
cos

cot

π
+ α = tan α
2

cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b;
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b;
sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a;
sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a;

21


tan a + tan b
;

1 − tan a tan b
tan a − tan b
tan(a − b) =
;
1 + tan a tan b
cot a cot b − 1
cot(a + b) =
cot a + cot b
−(cot a cot b + 1)
;
cot(a − b) =
cot a − cot b
tan(a + b) =

4) Công thức nhân cung
sin 2a = 2 sin a cos a :
cos 2a = cos2 a − sin2 a = 1 − 2 sin2 a = 2 cos2 a − 1;
2 tan a
tan 2a =
;
1 − tan2 a
sin 3a = 3 sin a − 4 sin3 a;
cos 3a = 4 cos3 a − 3 cos a;
3 tan a − tan3 a
tan 3a =
;
1 − 3 tan2 a
5) công thức hạ bậc
1 + cos 2a
;

2
1 − cos 2a
sin2 a =
;
2
1
cos3 a = (cos 3a + 3 cos a);
4
1
sin3 a = (3 sin a − sin 3a);
4
1 − cos 2a
2
tan a =
1 + cos 2a

cos2 a =

22


6) Công thức tính theo tan
2t
;
sin x =
1 + t2

x
=t
2

1 − t2
cos x =
;
1 + t2

tan x =

2t
1 − t2

7) Công thức biến đổi tổng thành tích
sin a + sin b = 2 sin

a+b
a−b
cos
;
2
2

a+b
a−b
sin
;
2
2
a+b
a−b
cos a + cos b = 2 cos

cos
;
2
2
a−b
a+b
sin
;
cos a − cos b = −2 sin
2
2
sin(a + b)
tan a + tan b =
;
cos a cos b
sin(a − b)
tan a − tan b =
;
cos a cos b
sin a − sin b = 2 cos

8) Công thức biến đổi tích thành tổng
1
cos a cos b = [cos(a − b) + cos(a + b)];
2
1
sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)];
2
1
sin a cos b = [sin(a − b) + sin(a + b)];

2

23


2.2. Biện pháp rèn luyện kĩ năng giải bài toán lượng giác cho
học sinh lớp 10 THPT.
2.2.1. Biện pháp 1: Tăng cường rèn luyện kĩ năng tính giá trị của
một biểu thức lượng giác.
a) Cơ sở lý luận.
Nắm vững định nghĩa chính là nắm bản chất kiến thức. Hệ thống kiến
thức được xây dựng xuất phát từ định nghĩa. Kiến thức chủ yếu của lượng
giác là hệ thống các công thức lượng giác. Để hiểu, nắm vững và khắc sâu
được hệ thống các công thức lượng giác thì việc vận dụng các công thức
đó để giải bài toán cụ thể là một khâu cơ bản bậc nhất.
Các kiến thức lượng giác là hoàn toàn mới đối với học sinh nên học sinh
hay gặp khó khăn khi giải bài tập đặc biệt là khi áp dụng lý thuyết vào
thực hành. Khi hướng dẫn học sinh thực hành giải bài tập lượng giác cần
rèn cho học sinh kĩ năng gộp nghiệm bởi các cung lượng giác có cùng chu
kì sẽ có cùng một giá trị lượng giác, kĩ năng ghi nhớ bảng giá trị lượng
giác của các cung đặc biệt, kĩ năng vận dụng các công thức lượng giác cơ
bản, kĩ năng tính toán một cách chính xác.
Dự kiến các sai lầm đối với dạng bài tập này:
- Học sinh thường mắc phải sai lầm trong việc xác định chu kì của các
cung lượng giác, không nhớ được bảng giá trị lượng giác của các cung đặc
biệt dẫn đến sai lầm trong việc tính toán.
- Kiến thức không chắc, việc biến đổi công thức chưa thành thạo nên
thường sai lầm khi tính giá trị lượng giác của các cung không đặc biệt.
- Sai lầm trong việc xác định dấu của các giái trị lượng giác.
b) Mục đích, ý nghĩa của biện pháp.

Biện pháp đưa ra nhằm tăng cường khả năng nhận thức, xử lý tình
huống, khắc sâu kiến thức từ việc luyện tập thành thạo các bài tập mang
tính chất củng cố lý thuyết.
Như vậy kĩ năng thực hành có thể rèn luyện cho học sinh khi áp dụng
biện pháp này là:
24


+ Xác định được dấu của các giá trị lượng giác của cung lượng giác α.
Việc xác định giá trị lượng giác của các cung có cùng chu kì.
+ Kĩ năng phân tích: Kĩ năng phân tích các cung lượng giác không đặc
biệt về các cung lượng giác đặc biệt có cùng chu kì để tính toán.
+ Kĩ năng chuyển hoá quan hệ tương đương.
+ Kĩ năng tính toán
c) Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1:
Tính sin 10200 ; cos 4950 ; tan

23π
23π
; cot
4
6

Thực hành giải
+)Trước tiên cần hướng dẫn cho học sinh phân tích số đo các cung thành
một số nguyên lần 3600 hoặc một số nguyên lần π tuỳ vào từng trường
hợp. Sau đó sử dụng giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
và bảng giá trị lượng giác của cung đặc biệt để tính
+) sin 10200 = sin(3000 + 2.3600 )√= sin 3000 = sin(−600 + 3600 )

3
= sin(−600 ) = − sin 600 = −
2
0
0
0
0
0
0
+) cos 495 = cos(135
√ + 360 ) = cos 135 = cos(45 + 90 )
2
= − sin 450 = −
2
3π
3π
π π
23π
+) tan
= tan
+ 5π = tan
= tan
+
4
4
4
4 2
= − cot
+) cot

π
= −1
4

23π
6

= − tan

= cot

5π
+ 3π
6

= cot

√
π
=− 3
3

25

5π
π π
= cot
+
6
3 2