Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử dành cho HSG

Chơng I: Các nội

dung lý thuyết cơ sở:

a/ Định lý về phép chia đa thức (phép chia hết và chia có d):
- Khi đó với hai đa thức bất kỳ f(x), g(x) và g(x) 0 tồn tại duy nhất hai đa
thức q(x) và r(x)sao cho:
f(x) = g(x).q(x) + r(x),
r(x) = 0, hoặc bậc r(x) < bậc g(x).
q(x) đợc gọi là thơng, r(x) đợc gọi là d.
Nếu r(x) = 0 thì ta nói f(x) chia hết cho g(x) và ký hiệu f(x)Mg(x)
Nếu r(x) 0 thì ta nói f(x) chia cho g(x) có d.
b/ Hệ quả: Ta có f(a) là d trong phép chia f(x) cho x- a.
c/ Định nghĩa nghiệm của một đa thức một ẩn:
Phần tử A đợc gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f() = 0.
d/ Định lý Bơdu về nghiệm của một đa thức:
Phần tử là nghiệm của đa thức f(x) khi và chỉ khi f(x)M x- .
e/ Các phơng pháp cơ bản để phân tích đa thức thành nhân tử:
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp đặt nhân tử chung.
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp dùng hằng đẳng thức.
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp nhóm nhiều hạng tử.
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phơng pháp.
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách một hạng tử thành nhiều
hạng tử.
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử.
Ví dụ1:
A(x) =10x2-7x+a (aQ) xác định a sao cho A(x) chia hết cho 2x-3.
Đặt phép chia đa thức:
10x2-7x+a
2x-3
2

10x -15x
5x+4
8x+a
-8x-12
a+12
Để A(x) M 2x-3 ta phải có: a+12=0 a= -12.
Vậy a=-12 thì A(x) chia hết cho 2x-3
Ví dụ 2: Cho đa thức: A(x) = a2x3+3ax2-6x-2a (a Q)
Xác định a sao cho A(x) chia hết cho (x+1)
+Đặt phép chia đa thức:
a2x3+3ax2-6x-2a
x+1
2 3
2 2
-a x +a x
ax2+(3a-a2)x+(a2-3a-6)
(3a-a2)x2-6x-2a
-(3a-a2)x2+(3a-a2)x
1


-a2+a+6
Để A(x) chia hết cho x+1 ta phải có: -a2+a+6=0 (a+2)(3-a)=0
a+2=0
a=-2
3-a=0
a=3
Vậy a=-2 hoặc a=3 thì A(x) chia hết cho x+1
Ví dụ 3: Phân tích đa thức 5x3-2x-3 thành nhân tử,
Dễ thấy x=1 là một nghiệm , theo định lý Bơdu thì đa thức 5x 3-2x-3

chia hết cho x-1.
Thực hiện phép chia ta đợc: 5x3-2x-3 =(x-1)(5x2+5x+3)
Ví dụ 4:
Phân tích đa thức f(x)=3x5- 6x4-2x3+4x2-x+2 thành nhân tử.
Dễ thấy x=1 là một nghiệm. Vì vậy đa thức đã cho chia hết cho x-1
Thức hiện phép chia ta đợc: f(x)=(x-1)(3x4- 3x3-5x2-x-2)
Dễ thấy 3x4- 3x3-5x2-x-2 có nghiệm là x= -1
Thực hiện phép chia ta đợc: 3x4- 3x3-5x2-x-2=(x+1)(3x3-6x2+x-2)
Dễ thấy rằng 3x3-6x2+x-2 có nghiệm x= 2
Vì thế 3x3-6x2+x-2=(x-2)(3x2+1)
Vậy 3x5- 6x4-2x3+4x2-x+2 =(x-1)(x+1)(x-2)(3x2+1).

Chơng II. .Một số bài tập vận dụng và cách giải:
I- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp tách hạng
tử.

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3x2-8x+4
Nhận xét: Đa thức trên không chứa thừa số chung. Không có dạng một hằng
đẳng thức đáng nhớ, cũng không thể nhóm các số hạng. Ta biến đổi đa thức
này thành đa thức có nhiều số hạng hơn:
Cách 1: (tách số hạng thứ 2)
2
3x -8x+4 =3x2-6x-2x+4= (3x2-6x)-(2x-4) =3x(x-2)-2(x-2)
=(x-2)(3x-2)
Cách 2:(tách số hạng thứ nhất)
2
3x -8x+4 =4x2-8x+4-x2 = (2x-2)2 -x2
= (2x-2+x)(2x-2-x) = (3x-2)(x-2)
Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai ax 2+x+c thành thừa số ta tách số
hạng bx=b1x+b2x sao cho: b1b2= ac

Trong thực hành ta làm nh sau:
Bớc 1: Tìm tích ac
Bớc 2: Phân tích a.c ra thành tích của 2 thừa số nguyên bằng mọi
cách.
Bớc 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.
2


Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:
4x2-4x-3 (a=4,b=-4,c=-3). Ta có: ac= 4.(-3)=-12
-12=-6.2=-4.3=2.(-6)=4.(-3)=1.(-12)=-12.1
Vì -6+2= -4 =b nên ta có thể làm nh sau:
Cách 1: 4x2-4x-3 = 4x2-6x+2x-3
= (4x2-6x)+(2x-3)
= 2x(2x-3)+(2x-3) = (2x-3)(2x+1)
Cách 2: Tách số hạng thứ 3:
4x2-4x-3 =4x2-4x+1-4 = (4x2-4x+1)-4
= (2x-1)2-22 = (2x-1-2)(2x-1+2)
=(2x-3)(2x+1)
Qua hai ví dụ trên ta thấy việc tách một số hạng thành nhiếu số
hạng khác thờng nhằm mục đích:
+ Làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ nhờ đó mà xuất hiện thừa số chung
(cách 1).
+ Làm xuất hiện hiệu của hai bình phơng (cách 2)
Với các đa thức có bậc từ 3 trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ
ngời ta thờng dùng cách làm xuất hiện nghiệm của đa thức.
Ta nhắc lại khái niệm nghiệm của đa thức: Số a đợc gọi là nghiệm
của đa thức f(x) nếu f(a)=0.
Nh vậy nếu đa thức f(x) có nghiệm x-a thì nó chứa thừa số x-a.
Giả sử đa thức: a0xn+a1xn-1+...+an

với a0,a1,...,an-1,an Z có nghiệm x= a (a Z)
=> a0xn+a1xn-1+...+an =(x-a)(b0xn+b1xn-1+...+bn 1) trong đó b0,b1,...,bn-1,bn
Z.
Số hạng có bậc thấp nhất của tích ở vế phải bằng-abn-1.
Số hạng có bậc thấp nhất ở vế phải bằng an
-abn-1= an tức là a là ớc của an.
Vậy đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm đó là ớc của hạng tử tự do
an.
Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử. x3-x2-4.
Lần lợt kiểm tra với x=1,x=2,x=4 ta thấy f(2)=23-22-4=0
đa thức có nghiệm x= 2 do đó chứa thừa số (x-2)
Cách 1: x3-x2-4 =x3-2x2+x2-2x+2x-4
= (x3-2x2)+(x2-2x)+(2x-4)
=x2(x-2)+x(x-2)+2(x-2) = (x-2)(x2+x+2)
Cách 2: x3-x2-4 =x3-8-x2+4 = (x3-8)-(x2-4)
=(x-2)(x2+2x+4)-(x-2)(x+2) = (x-2)(x2+2x+4-x-2)
=(x-2)(x2+x+2)
Chú ý: Khi xét nghiệm nguyên của đa thức nên nhớ 2 định lý sau:
3


*ĐL1: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm
của đa thức, do đó đa thức chứa thừa số x-1.
Ví dụ; x3-5x2+8x-4
x-1
3 2
-x -x
x2-4x+4
- 4x2+8x-4
- 4x2+4x

4x-4
4x-4
0
3
2
Vậy x -5x +8x-4 = (x-1)(x2-4x+4) = (x-1)(x-2)2
*/ĐL2: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của các số hạng bậc
chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ thì -1 là nghiệm của
đa thức. đa thức chứa thừa số x+1
Ví dụ: x3-5x2+3x+9
Ta có 9-5=1+3
-1 là nghiệm của đa thức, đa thức chứa thừa số x+1
x3 5x2+3x+9
x+1
3
2
2
-x + x
x -6x+9
2
-6x +3x+ 9
--6 x2-6x
9x+9
-9x+9
0
3
2
Vậy x -5x +3x+9
=(x+1)(x2-6x+9)
=(x+1)(x-3)2

Để nhanh chóng loại trừ các ớc của hệ số tự do không là nghiệm của
đa thức, có thể dùng nhận xét sau:
Nếu a là nghiệm nguyên của đa thức f(x) và f(-1) 0 thì: f(1):(a-1)
và f(-1): (a+1) đều là số nguyên.
Ví dụ: f(x)=4x3-13x2+9x-18
Ư(18)=1,2,3,6,9,18
f(1)=4-13+9-18=-18 0
f(-1)=-4-13-9-18=-44 0
1 không phải là nghiệm của f(x)
Dễ thấy:
a
2
-2 3
-3 6
-6 9
-9 18 -18
-9
f(1) 18 -18 6
18
18 18 18 18 18 18
a 1

=

a 1

4

5
4

7

8

10

17

19


f(1)
44
=
a +1 a +1

Ta có:

:

44
3

-44 11

18
18
18
18

18
18
18
;
;
;
;
;
;
Z
3 1 6 1 6 1 9 1 9 1 18 1 18 1

Nên: -3;6;9;18 không là nghiệm của f(x)

44
Z 2 không phải là nghiệm của f(x)
2 +1

Nếu phơng trình có nghiệm nguyên chỉ có thể là 3 hoặc -2. NHẩm ta
thấy x= 3 là nghiệm của f(x).
4x3-13x2+9x-18 = 4x3-12x2-x2+3x+6x-18
= (4x3-12x2)-(x2-3x)+(6x-18)
= 4x2(x-3)-x(x-3)+6(x-3)
= (x-3)(4x2-x+6)
Các bài toán luyện Tập.

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a, x 2 5 x +6

d, x 2 13 x +36

b, 3x 2 8 x +4

e, x 2 +3 x 18

c, x 2 +8 x +7

f, x 2 5 x 24

g , 3x 2 16 x +5

h, 8x 2 +30 x +7

i, 2x 2 5 x 12

k, 6x 2 7 x 20

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1/ x 3 5 x 2 + 8 x 4

2/ x 3 + 2 x 3

3 / x3 + 5 x 2 + 8 x + 4

4/ x 3 7 x + 6

5/ x 3 9 x 2 + 6 x + 16

6/ 4x 3 13 x 2 + 9 x 18

7 / x3 4 x 2 8 x + 8

8/ x3 6 x 2 + 6 x + 1

9/ 6x 3 x 2 486 x + 81

10/ x 3 7 x 6

11/ x 3 3x + 2

12/ x 3 5 x 2 + 3x + 9

13 / x 3 + 8 x 2 + 17 x + 10

14/ x 3 + 3 x 2 + 6 x + 4

15/ x 3 2 x 4

16/ 2x3 12 x 2 + 17 x 2

17 / x 3 + x 2 + 4

18/ x 3 + 3 x 2 + 3 x + 2

19 / x 3 + 9 x 2 + 26 x + 24

20/ 2x 3 3 x 2 + 3 x 1

21/ 3x 3 14 x 2 + 4 x + 3

22/ x 4 + 2 x 3 + x 2 + x + 1

(Đa thức đã cho có nhiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỉ)
5


II/ phơng pháp thêm và bớt cùng một số hạng làm xuất hiện hai bình phơng hoặc
xuất hiện nhân tử chung.

Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4x4+81
4x4+81
=4x4+36x2+81-36x2 = (4x4+36x2+81)-(6x)2
=(2x2+9)2-(6x)2
= (2x2+9-6x)(2x2+9+6x)
Ví dụ2: Phân tích đa thức thành nhân tử: x7+x2+1
x7+x2+1 =x7-x+x2+x+1
=(x7-x)+(x2+x+1)
=x(x6-1)+(x2+x+1) =x(x3-1)(x3+1)+(x2+x+1)
=x(x-1)(x3+1)(x2+x+1)+(x2+x+1)
=(x2+x+1)[x(x-1)(x3+1)+1]
=(x2+x+1)(x5-x4+x2-x+1)
Chú ý: Các đa thức dạng: x3m+1+xm +1 đều chứa thừa số (x2+x+1)
Các bài toán
Bài 1: Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử:
1/ (1 + x 2 ) 2 4 x(1 x 2 )

2/ ( x 2 8 ) + 36
2

3/ x 4 + 4

4/ x 4 + 64

5 / 64x 4 + 1

6/ 81x 4 + 4

7/ 4x 4 + 81

8/ 64x 4 + y 4

9 / x4 + 4 y 4

10/ x 4 + x 2 + 1

Bài 2: Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử:
1/ x 7 + x 2 + 1
2/ x 7 + x5 + 1

phụ).

3/ x5 + x 4 + 1

4/ x5 + x + 1

5 / x8 + x 7 + 1

6/ x5 x 4 1

7/ x 5 + x 1

8/ x10 + x5 + 1
III/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp đổi biến( đặt nhân tử

Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:x(x+4)(x+6)(x+10)+128
x(x+4)(x+6)(x+10)+128 = (x2+10x)(x2+10x+24)+128
Đặt x2+10x+12= y
Đa thức có dạng (y-12)(y+12)+128= y2-16 = (y+4)(y-4)
x(x+4)(x+6)(x+10)+128 = (x2+10x+16)(x2+10x+8)
=(x+2)(x+8)(x2+10x+8)
Nhận xét: Nhờ phơng pháp đổi biến ta đã đa đa thức bậc 4 đối với x
thành đa thức bậc 2 đối với y.
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: A= x4+6x3+7x2-6x+1
A= x4-6x3-2x2+9x2-6x+1 = x4+(6x3-2x2)+(9x2-6x+1)
A= x4+2x2(3x-1)+(3x-1)2 = (x2+3x-1)2.
6


Các bài toán

Bài 1:Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử
1/ x( x + 4)( x + 6)( x + 10) + 128

2/ (x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) 24

3/ ( x 2 + 4 x + 8) 2 + 3 x( x 2 + 4 x + 8) + 2 x 2

4/ ( x 2 + x) 2 + 4 x 2 + 4 x 12

5 / x 2 + 2 xy + y 2 + 2 x + 2 y 15

6/ (x + a)( x + 2 a)( x + 3a )( x + 4a ) + a 4

7 / 6 x 4 11x 2 + 3

8/ ( x 2 + x) 2 + 3( x 2 + x) + 2

9 / x 2 2 xy + y 2 + 3 x 3 y 10

10/ ( x 2 + 2 x) 2 + 9 x 2 + 18 x + 20

11/ x 2 4 xy + 4 y 2 2 x + 4 y 35

12/ (x + 2)( x + 4)( x + 6)( x + 8) + 16

Bài 2: Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử
1/ x 4 + 6 x 3 + 7 x 2 6 x +1
2 /( x 2 + y 2 + z 2 )( x + y + z ) 2 + ( xy + yz + zx) 2

IV/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp hệ số bất định:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4-6x3+12x2-14x+3
Thử: x= 1; 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có
nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ. Đa thức trên phân tích đợc
thành thừa số thì phải có dạng:
(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd
=x4 -6x3
+12x2
-14x+3
a + c = 6
ac + b + d = 12

ad + bc = 14
bd = 3

* bd=3 mà b,d Z => b { 1; 3}
a + c = 6
a = 2


- Với b=3 => d=1 ac = 8
a + 3c = 14 c = 4


a = 2
b = 3

Vậy:
=> x4-6x3+12x2-14x+3 = (x2-2x+3)(x2-4x+1)
c = 4
d = 1
Các bài toán

Bi 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) A = x 4 6 x3 + 12 x 2 14 x + 3

b) B = 4 x 4 + 4 x 3 + 5 x 2 + 2 x + 1
7


c)C = 3x 2 + 22 xy + 11x + 37 y + 7 y 2 + 10

d ) D = x 4 7 x 3 + 14 x 2 7 x + 1

e) E = x 4 8 x + 63

V/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp xét giá trị riêng:
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: P= x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)
Thay x= y => P = 0 nên x= y là nghiệm của đa thức P đối với biện x
nên P chia hết cho x - y hay P chứa thừa số x- y.
Tơng tự: P chứa thừa số y-z, z-x.
P có dạng K(x-y)(y-z)(z-x)
Nhận thấy K phải là hằng số (không chứa biến) vì P có bậc ba đối với
tập hợp các biến x,y,z còn (x-y)(y-z)(z-x) cũng có bậc ba đối với tập hợp
các biến x,y,z.
Ví đẳng thức x2(y-x)+y2(z-x)+z2(x-y)=K(x-y)(y-z)(z-x) nên ta gán cho
các biến x,y,z các giá trị riêng chẳng hạn x=2,y=1,z=0 ta đợc:
4.1+1.(-2)+0=K.1.1.(-2) -2K= 2 K= -1.
Vậy P=-(x-y)(y-z)(z-x) hay P=(x-y)(y-z)(x-z).
Các bài toán

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/ M = a (b + c a ) 2 + b(c + a b) 2 + c(a + b c ) 2 + (a + b c)(b + c a )(c + a b)
b/ N = a (m a ) 2 + b(m b) 2 + c (m c) 2 abc , với 2m = a+ b + c.
c ) A = (a + b + c )(ab + bc + ca ) abc.

d ) B = a (a + 2b)3 b(2a + b)3 .
e)C = ab(a + b) bc(b + c ) + ac(a c ).
f ) D = (a + b)(a 2 b 2 ) + (b + c)(b 2 c 2 ) + (c + a )(c 2 a 2 )
g ) E = a 3 (c b 2 ) + b3 (a c 2 ) + c 3 (b a 2 ) + abc (abc 1).
h) f = a (b c)3 + b(c a)3 + c (a b)3 .

k )G = a 2b 2 ( a b) + b 2 c 2 (b c ) + a 2c 2 (c a ).
m) H = a 4 (b c) + b 4 (c a ) + c 4 (a b).

VI/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp giảm dần số mũ của luỹ
thừa:

(
=(a

Phơng pháp này chỉ sử dụng đợc cho một số đa thức đặc biêt.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: A = a 5 + a 4 + 1.
Ta có: A = a 5 + a 4 + a 3 a 3 a 2 + a 2 + a a + 1

) (

) (

= a5 + a 4 + a3 a3 + a 2 + a + a 2 + a + 1
3

)(

a + 1 a2 + a + 1

)

)

Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: A = a10 + a 8 + 1.
Ta có: A = a10 + a 8 + a 4 a 4 + a 2 a 2 + a a + 1

8


(

) (

) (

) (

= a10 a 4 a 8 a 2 + a 4 a + a 2 + a + 1

Ta có:

(

)

(

)(

a10 a 4 = a 4 a 6 1 = a 4 a 3 1 a 3 + 1

(
=(a

)(

)

(

)(

)

= a 3 1 a 7 + a 4 = ( a 1) a 2 + a + 1 a 7 + a 4
2

)(
(a

)

+ a + 1 a8 a 7 + a5 a 4

3

6

)(

1 = a 2 a3 1 a3 + 1

5

2

2

4

(

)

)
= ( a 1) ( a + a ) = ( a 1) ( a + a + 1 ) ( a + a )
= ( a + a + 1) ( a a + a a )
a a = a ( a 1) = ( a a ) ( a + a + 1 )
Nên suy ra: A = ( a + a + 1) ( a a + a a + a a + 1)
a8 a2 = a2

)

)

6

3

2

5

3

2

2

2

2

5

2

8

7

6

4

3

Chơng III. Các bài tập về tìm nghiệm của đa thức:

Ví dụ 1: Tìm các nghiệm nguyên của đa thức: f(x)=2x4+7x3-2x2-13x+
6 rồi phân tích đa thức thành nhân tử.
Hạng tử tự do bằng 6; Ư(6)=+ 1; 2; 3; 6.
Có:f(-1)=2-7-2+13+6=12 0 nên -1 không phải là nghiệm của đa thức này.
f(-2)=32-56-8+26+6=0 => -2 là nghiệm của đa thức này.
f(-3)=162-189-18+39+6=0 nên -3 là nghiệm của đa thức này.
f(1)=2+7-2-13+6=0 nên 1 là nghiệm của đa thức này.

f(2)=32+56-8-26+6=60 0 nên 2 không phải là nghiệm của đa thức này.
f(3)=162+189-18-39+6=300 0 nên 3 không phải là nghiệm của đa thức
này.
Đa thức có một nghiệm hữu tỷ nữa thì mẫu số của nó phải là ớc của 2,
Do đó có thể 1,2,-1,-2 sẽ là mẫu số của nghiệm này. Nên
có thể là nghiệm của đa thức này.
1
1
1
1
1
f( ) = 2. + 7. 2 13 + 6 = 0
2
16
8
2
2

Suy ra

1 3
;
;
2 2

1 3
;
2
2

1
là nghiệm của đa thức này.
2

Vì đa thức f(x) có bậc 4 nên nó có tối đa 4 nghiệm, suy ra các nghiệm
1
2

của nó lần lợt là: 1;-2;-3; .
1
2

*Theo định lý Bơdu ta có: f(x) chia hết cho x-2;x+2;x+3;x- .
9


1
2

=> f(x)= 2(x-1)(x+2)(x+3)(x- )
Ví dụ 2: Tìm nghiệm của đa thức rồi phân tích đa thức thành nhân
tử: f(x)=x3-6x2+11x-6
Hạng tử tự do:6 Ư(6)= 1; 2 ;+-3 ; 6.
f(1)=1-6+11-6=0 => 1 là nghiệm của f(x)
f(2)=8-24+22-6=0 => 2 là nghiệm của f(x)
f(3)=27-54+33-6=0 => 3 là nghiệm của f(x)
Vì đa thức f(x) có bậc là 3 nên nó có tối đa 3 nghiệm, suy ra các
nghiệm của nó là 1,2,3.
Theo định lý Bơdu ta có: f(x) chia hết cho x-1;x-2;x-3.
f(x)=x3-6x2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3).

Chơng IV:

Các bài tập về phép chia hết và phép chia có d của đa

thức:

Ví dụ 1: Xác định số a sao cho x3-3x+a chia hết cho (x-1)2
Cách 1: Đặt phép chia, cho số d bằng 0.
x3 -3x+a x2-2x+1
x3-2x2+x
x+2
2
2x - 4x+a
2x2-4x+ 2
a-2
Vì phép chia là phép chia hết nên a-2=0 a=2.
Cách 2: Dùng phơng pháp hệ số bất định:
Nếu đa thức x3-3x+a chia hết cho đa thức x2-2x+1 thì thơng là nhị thức
bậc nhất có hạng tử bậc cao nhất là x3:x2= x
Hạng tử bậc thấp nhất là a:1= a
Nh vậy x3-3x+a đồng nhất với ( x2-2x+1)(x+a) tức là đồng nhất với
x3+(a-2)x2+(1-2a)x+a.
a 2 = 0
a=2
1

2a
=

3


Do đó các hệ số tơng ứng phải bằng nhau tức là:

Cách 3: Phơng pháp giá trị riêng:
Gọi thơng của phép chia là Q(x) ta có: x3-3x+a=(x-1)2.Q(x) với R.
Với x=1 thì 1-3.1+a=0.Q(1) hay 2+ a= 0 tức là a= 2.
Thử lại (x3-3x+2): (x2-2x+1)=x+2
Ví dụ 2: Tìm các giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức
2
2n +3n+3 chia hết cho giá trị của biểu thức (2n-1).
Đặt phép chia:
10


2n2+3n+3
2n+1
2
2n -n
n+2
4n+3
4n-2
5
2
Đa thức 2n +3n+3 không chia hết cho đa thức(2n-1) nhng có những
giá trị nguyên của n để giá trị của 2n2+3n+3 chia hết cho giá trị của 2n-1.
Vậy (2n-1) phải là Ư(5)= 1; 5.
2n-1=1
2n-1=-1

2n-1=5
2n-1=-5
n=1
n=0
n=3
n= -2
2
Vậy với n=-2;0;1;3 thì giá trị của biểu thức 2n +3n+3 chia hết cho giá
trị của biểu thức (2n-1).
Chơng V: bài tập tự luyện.
1/ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a/ x5 + x 4 + 1
p/
2
b/ x 10x + 16
q/
c/ a 4 + 64b 4
r/
d/ ( x 2 + x ) ( x 2 + x + 1) 2

e/
f/
g/
h/
k/
m/
n/

( a b)

3

3

x + x +1
x 3 + 9x 2 + 26x + 24
a 3 + b 3 + c3 3abc
5x 2 + 8x 13
4x 2 17xy + 13y 2
10

8

2
2

+ x ) + 4 ( x 2 + x ) 12
2

+ x + 1) ( x 2 + x + 2 ) 12

( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 4 ) 24

(x
v/ 4 ( x
u/

+ ( b c) + ( c a ) f
3

(x
(x

2
2

+ 4x + 8 ) + 3x ( x 2 + 4x + 8 ) + 2x 2
2

+ 15x + 50 ) ( x 2 + 18x + 72 ) 3x 2

s/ x10 + x5 + 1
z/ x5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1
2
l/ 4b 2 c2 ( b 2 + c2 a 2 )
j/ 1/2(x2+y2)-2x2y2
x 3 + 4x 2 31x 70
i/ (2x-3)2-(x+5)2
o/ x2+5x+6
2/ Tìm điều kiện của hệ số để đa thức A chia hết cho đa thức B.
3
2
a/ A = ax + bx 3x 2;B = ( x 1) ( x + 2 )
b/ A = x 3 5bx + 2a;B = ( x + 2 )
c/ A = x 4 + 2x 2 7x + 3a + 5;B = x 2 + 3x + 2
2

11