Bài giảng vật lý 1 th s nguyễn minh châu

Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH - CHÂU

Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM
1.1 Các khái niệm cơ bản:
-

Chất điểm là 1 vật có khối lượng, có kích thước rất nhỏ so với khoảng cách và kích
thước của vật khác.
- Hệ chất điểm: là tập hợp nhiều chất điểm rời rạc.
- Vật rắn: là tập hợp nhiều chất điểm phân bố liên tục và có mối liên kết rắn
(khoảng cách giữa các chất điểm là không thay đổi).
Vd: Đống cát không phải là vật rắn do khoảng cách thay đổi.
Cục gạch: vật rắn.
- Chuyển động: là sự thay đổi vị trí của chất điểm trong suốt quá trình chuyển động.
- Hệ quy chiếu: là hệ vật quy ước đứng yên để khảo sát các vật khác chuyển động
đối với nó. Thường người ta gắn hệ trục tọa độ vào hệ quy chiếu.

1.2 Phương trình chuyển động của chất điểm:
-

Vectơ vị trí của chất điểm:
r
r
r
r
r = x.i + y. j + z.k
x, y, z là hàm theo thời gian t.

⎧x
⎪
Tọa độ điểm M: ⎨y

⎪z
⎩
-

-

-

Vd:

y

M

r
r

r
Phương trình chuyển động của chất điểm M: .
r
j
i
*vectơ vị trí
r
* tọa độ điểm M
k
Z
0
Quỹ đạo của chất điểm M: f (x,y,z) = 0: là tập hợp
các vị trí của chất điểm trong suốt quá trình

chuyển động.
Muốn tìm phương trình quỹ đạo của chất điểm, ta khử t ở phương trình chuyển
động chất điểm: 2 dạng
+ Dạng 1: phương pháp thế
+ Dạng 2: sin & cos theo t: áp dụng sin2 + cos2 = 1
r
r tr
r = i + (t 2 − 2 ) j
2
t
⎧
⎧t = 2 x ≥ 0
⎪x =
M⎨
⇒⎨
2
2
⎪y = t 2 − 2 ⎩y = (2x ) − 2
⎩

⇒ y = 4x 2 − 2 = 0
Giới hạn quỹ đạo: t > 0 → 2x > 0 → x > 0

x


Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH - CHÂU
r
r
r

r = ( A cos ωt ) i + ( A sin ωt ) j

x
⎧
cos ωt =
⎪
⎧ x = A cos ωt
⎪
A
⇒M⎨
⇔⎨
⎩ y = A sin ωt
⎪sin ωt = y
⎪⎩
A
2
2
y
x
sin 2 ωt + cos 2 ωt = 1 ⇔ 2 + 2 = 1
A
A
Trường hợp này không còn giới hạn quỹ đạo

r

ϑ

y

1.3 Vectơ vận tốc:

r
1/ Vectơ vận tốc trung bình: ϑ
r
t1 → M 1 → r1
r
t2 → M 2 → r2
r rr − rr Δrr
ϑ= 2 1=
t2 − t1 Δt

r
2/ Vectô vận tốc tức thời: ϑ
r
r
Δr
ϑ = lim
Δt → 0 Δt
r drr
ϑ=
dt
r r r v
r = xi + y j + zk
r drr dx r dy r dz r
ϑ=
=
i+
j+ k
dt dt

dt
dt
2
2
2
r
⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎛ dz ⎞
ϑ = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠

Vd:

r
r1

z

⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩

r
Δr

r
r2
x

0

Điểm đặt: điểm đang xét
Phương: tiếp tuyến với quỹ đạo tại M
Chiều: cùng chiều chuyển động
r
Độ lớn: ϑ = ϑ = ϑ 2x + ϑ 2y + ϑ 2z

r
r
r
r = (t + 1)i + t 2 j
r r
r
ϑ = i + 2tj
r
⇒ ϑ = 1 + 4t 2

1.4 Vectơ gia tốc:

2/ Vectơ gia tốc tức thời:

r
a

r

r
1/ Vectơ gia tốc trung bình: a

r
r
r
r
r ϑ 2 − ϑ1 Δϑ
t1 → M 1 → ϑ1
⇒ a=
=
r
t 2 − t1
Δt
t2 → M 2 → ϑ2
r
r
r
r
r Δϑ
Tịnh tiến ϑ 2 về ϑ1 => Δϑ → a =
Δt

ϑ1

y

r

ϑ2

r
a

z

0

r

ϑ2
r
Δϑ

x


Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH - CHÂU
r
Δϑ
r
a = lim
⎧ Điểm đặt: điểm đang xét M
Δt → 0 Δt
⎪ Phương: đường thẳng đi qua M
r
⎪ Chiều: hướng về bề lõm của quỹ đạo
r dϑ
a=
⎪
dt
⎪ Độ lớn:
r

r
r
r
r
⎨
a = ax .i + a y . j + az .k
a = a = a x2 + a y2 + a z2
⎪
r
⎪
2
r dϑ dϑx r dϑ y r dϑz r
2
2
⎪
k
a=
i+
j+
=
⎛ dϑ x ⎞ ⎛ dϑ y ⎞ ⎛ dϑ z ⎞
⎟ +⎜
⎟ +⎜
⎟
dt
dt
dt
dt
⎪ = ⎜
dt ⎠ ⎜⎝ dt ⎟⎠ ⎝ dt ⎠

⎝
⎩
2
2
2
⎛ d 2x ⎞ ⎛ d 2 y ⎞ ⎛ d 2z ⎞
r
a = ⎜ 2 ⎟ +⎜ 2 ⎟ +⎜ 2 ⎟
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
Vd:

r
r
r
r
r
r dϑ
r
ϑ = i + 2tj ⇒ a =
= 0i + 2 j ⇒ a = 02 + 22 = 2
dt
r

Vectô gia tốc tức thời được chiếu lên phương tiếp tuyến và pháp tuyến, ta có vectơ gia
r
r
tốc tiếp tuyến at và vectơ gia tốc pháp tuyến a n .
Vectơ gia tốc tiếp tuyến

r

at

⎧
⎪
⎪
⎪⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪⎩
M

Điểm đặt: điểm đang xét
r
Phương: tiếp tuyến với quỹ đạo tại M (cùng phương ϑ )

r

r
r
a
↑↓
ϑ
dϑ < 0 , ϑ2 < ϑ1 : chuyển động chậm dần => t

r
dϑ
Độ lớn: a t = at =
dt

r
Vectơ gia tốc tiếp tuyến at đặc trưng cho sự biến đổi về độ lớn của vectơ vận tốc. Chiều
đặc trưng: chậm dần, nhanh dần.

r
an

⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩

r

Chiều: dϑ > 0 , ϑ 2 > ϑ1 : chuyển động nhanh dần => at ↑↑ ϑ

Điểm đặt: điểm đang xét
Phương: đt ⊥ tiếp tuyến với quỹ đạo tại M
Chiều: hướng vào tâm của vòng tròn quỹ đạo tại M
Độ lớn: a n =

ϑ2
R

(R: bán kính quỹ đạo tại M)

r

r
Do đó để tìm bán kính cong: phải có độ lớn ϑ và a n .
r
Vectơ gia tốc pháp tuyến a n đặc trưng cho sự thay đổi về phương của vectơ vận tốc.
r
an nhỏ => R lớn


Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH - CHÂU

r

ϑ

r

ϑ1

r
an1

r

ϑ2

r
an2

r
an lớn => R nhỏ

Vectơ vận tốc tức thời:
r r r
a = at + a n
r
a = at2 + a n2
r
a đặc trưng cho sự thay đổi về độ lớn và phương của vectơ vận tốc.

1.5 Chuyển động thẳng:
Quỹ đạo là đường thẳng: → R = ∞ → a n = 0 (vì a n =

ϑ2

; R = ∞ → an = 0 )
R
Nên đưa chuyển động thẳng về 1 trục -> chỉ cần 1 thành phần để biểu diễn.
r
r
r = x.i → x
r
r
dx
ϑ = ϑ x i → ϑ ~ ϑx =
dt
r
dϑ
d 2x
r
a = ax i → a ~ ax = x = 2

dt
dt
r uuuuur
1/ Chuyển động thẳng đều: ϑ = const

(

)

x

t

dx
ϑ=
= const ⇒ dx = ϑdt ⇔ ∫ dx = ϑ ∫ dt ⇔ x = ϑt + x0
dt
x0
0
r
2/ Chuyển động thẳng thay đổi đều: (a = const )
r
r
r uuuuur
an = 0 ⇒ a = at = const
ϑ

dϑ
dx
→ ∫ dϑ = a ∫ dt ⇒ ϑ = at + ϑ0 =

dt
dt
0
ϑ0

a=
x

t

x0

0

t

⇒ ∫ dx = ∫ (at + ϑ0 )dt ⇔ x − x 0 =

1 2
at + ϑ0 t
2

Hay:
1 2
at + ϑ0 t + x0
2
ϑ 2 − ϑ 0 = 2a ( x − x 0 )
r
cùng chiều ϑ → chuyển động nhanh dần đều
r

ngược chiều ϑ → chuyển động chậm dần đều
x=

r
a
r
a


Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH - CHÂU

1.6 Chuyển động tròn: quỹ đạo là đường tròn ⇒ R = const
r
1/ Vectơ vận tốc góc ω :

r

ω

r

ω

r

ϑ

r
at

r
R

r
an

⎧
⎪
⎪⎪
⎨
⎪
⎪
⎪⎩

Điểm đặt: ∀ điểm ∈ trục vòng tròn quỹ đạo (vectơ trục)
Phương: trục của vòng tròn quỹ đạo
Chiều: theo quy tắc vặn nút chai

⎛S⎞
d⎜ ⎟
r
d
1 dS ϑ
R
=
= ⎝ ⎠= .
Độ lớn: ω = ω =
dt
R dt R
dt

r r r
Liên hệ giữa ϑ , ω , R :

r

β

r
2/ Vectơ gia tốc góc: β

r

β

R

=

ω 2 .R 2

⎛ϑ ⎞
d⎜ ⎟
dω
1 dϑ at
R
Độ lớn: β = β =
=
= ⎝ ⎠= .
dt

dt
R dt
R

r
r r r
r
at = β × R ( at cùng chiều ϑ : nhanh dần)

R

= ω 2 .R

a = a + a = R ω4 + β 2
2
t

2
n

3/ Chuyển động tròn đều:
r
ϑ = const ⎫⎪
⎬ ⇒ a n = const
R = const ⎪⎭
r
r r
at = 0 → a = a n
r
ω = const

θ

r

r

at = β .R

ϑ2

r

Điểm đặt: ∀ điểm ∈ trục vòng tròn quỹ đạo (vectơ trục).
Phương: trục của vòng tròn quỹ đạo .
r
r
Chiều: dω > 0 → β cùng chiều ω (chuyển động nhanh dần)
r
r
dω < 0 → β ngược chiều ω (chuyển động chậm dần)

⎧
⎪
⎪
⎪⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩⎪

r r r
Liên hệ giữa at , β , R :

an =

r

ϑ =ω×R

dθ
ω=
⇒ ∫ dθ = ω ∫ dt ⇒ θ = ωt + θ 0
dt
0
θ0
t

4/ Chuyển động tròn thay đổi đều:


Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH - CHÂU
r
β = const ⎫
⎬, a t = β .R ⇒ at = const
R = const ⎭

β=
Maø: ω =

ω

dω
⇒ ∫ dω = β ∫ dt ⇒ ω = βt + ω 0
dt
ω0
0
t

θ

1
dθ
⇒ ∫ dθ = ∫ (β t + ω 0 )dt ⇒ θ = βt 2 + ω 0 t + θ 0
2
dt
θ0
0
t

ω 2 − ω 02 = 2 β (θ − θ 0 )

r
g
1.7 Chuyển động trong gia tốc :(chuyển ñoäng parabol)
r
r r
a = g = − gj (1)
r
r

r
r dϑ
a=
⇒ dϑ = − gj .dt
dt
r
ϑ
r t r
⇔ ∫ dϑ = ∫ − gj .dt
r

ϑ0

r

0

r r
rt
r
=
−
gt
.
j
⇒
−
=
−
gt

.
j
ϑ
ϑ
0
0
ϑ0
r
r
r
Maø: ϑ0 = (ϑ0 cos α )i + (ϑ0 sin α ) j
r
r
r drr
⇒ ϑ = (ϑ0 cos α ) i + ⎡⎣( − gt ) + ϑ0 sin α ⎤⎦ j =
(2)
1424
3
144
42444
3
dt
⇔ϑ

r
ϑ
r

ϑx

ϑy

r
r

t
r
r
r
⇒ ∫ dr = ∫ ⎡⎣(ϑ0 cos α ) i + ( − gt + ϑ0 sin α ) j ⎤⎦dt
r
r0

0

r
maø: ϑ = ϑ x2 + ϑ y2

r ⎧ 1
r
r r
⎫r
r − r0 = (ϑ0 cos α t ) i + ⎨− gt 2 j + (ϑ0 sin α t ) ⎬ j
⎩ 2
⎭
r ⎡ 1
r r
⎤r
⇔ r − r0 = ϑ0 ( cos α ) ti + ⎢ − gt 2 + ϑ0 ( sin α ) t ⎥ j
⎣ 2

⎦

maø:

r
r
r0 = hj
r ⎡ 1
r
⎤ r
⇒ r = ⎡⎣ϑ0 ( cos α ) t ⎤⎦ .i + ⎢ − gt 2 + ϑ0 ( sin α ) t + h ⎥ . j
14
4244
3
2
⎣14444
244443⎦
x
y

=> phương trình quỹ đạo:
x
⎧
⎪⎪ x = (ϑ0 cos α ) t ⇒ t = ϑ cos α
0
M ⎨
⎪ y = − 1 gt 2 + ϑ sin α t + h
0
⎪⎩
2

=>

y=−

g
x 2 + ( tgα ) .x + h
2ϑ .cos 2 α
2
0

(3)

(4)


Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH - CHÂU

Các vấn đề thường gặp:
•

Ở độ cao cực đại: (B): tiếp tuyến nằm ngang → ϑ y = 0 ; anB = g
ϑ sin α
ϑ By = 0 ⇒ ϑ Bx = ϑ0 cos α = ϑ B =>
tB = 0
g

Ta có: a n =

ϑ2
R

=>

ϑ B2

RB =
=
r
r
an
(Vì a ↓↓ g ⇒ a tB = 0, anB = g )

•

⇒ yB =

•

r

ϑB

g
r

ϑ0

Độ cao max: thế tB vào (1)
1
⇒ y = − gt 2 + (ϑ0 sin α ) t + h

2
ϑ sin α
1 ϑ 2 sin 2 α
⇒ yB = − g. 0 2
+ ϑ0 sin α 0
+h
g
g
2
1 ϑ sin α
+h
g
2
2
0

B

ϑ02 cos 2 α

2

α

A

r
g

r

r0

M

r
r

r

r
g

ϑ

0

Tại điểm chạm đất (C):

1
* Th ời gian chạm đất; yc = − gtc 2 + ϑ0 sin α tc + h = 0 ⇒ tc > 0
2
g
* Điểm chạm đất cách chân điểm ném: yc = − 2
xc 2 + ( tgα ) .xc + h = 0 ⇒ xc > 0
2
2ϑ0 .cos α
•

Khi ném tại mặt đất (h=0)

tC =

2ϑ0 sin α
g

2ϑ0 2 sin α .cos α ϑ0 2 sin 2α
=
g
g
2
2
1 ϑ0 sin α
*Độ cao cực đại: yB =
2
g

*Tầm xa : xC =

⇒ Để xC max α = 45o

* Bán kính cong của quỹ đạo tại C: ( at=gsinα ; an=gcosα ; ϑc=ϑ0 )

RC =

ϑC2
an

=

ϑo2

g. cos α

@Hỏi góc α?: ϑ0 , xC cho trước

sin β =

xC .g

ϑo2

⎧α = β
⎧2α = β
⎪ 1
2
= sin 2α ⇒ ⎨
⇒⎨
⎩2α = π − β
⎪α 2 = π − β
2
2
⎩

C

x


Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH - CHÂU

1.8 Phép biến đổi vận tốc – gia tốc:

r r r
⎧r = r '+ ro
⎪r r r
⎨ϑ = ϑ '+ϑo
⎪ar = ar '+ ar
o
⎩

•

r

r

r

ϑ t = ϑ ' t +ϑ n
b

n

b

Quan niệm cơ học cổ điển:
Thời gian có tính tuyệt đối, không phụ thuộc vào hệ quy chiếu. Trong khi vị trí, không
gian có tính tương đối, phụ thuộc vào hệ quy chiếu.
Xét 2 hệ quy chiếu O, O’ ; và O’ chuyển động tịnh tiến so với O. khi đó chuyển động
điểm M đ/v O và O’:
r
r

r
O : r = xi + yj + zk
r
r
r
O ' : r ' = x 'i + y ' j + z ' k
uuuur uuuur uuuuur
y’
M
⇒ OM = OO ' + O ' M
y
hay:
r r r
r = r '+ ro
r
r r r
r
ϑ = ϑ '+ϑo
r
r'
r r r
a = a '+ a o

r
⎧ϑ :
⎪⎪ r
⎨ϑ ':
⎪r
⎪⎩ϑo :
r

⎧a :
⎪r
⎨a ' :
⎪ar :
⎩ o

r
r0

Vận tốc điểm M so với O
Vận tốc điểm M so với O’
Vận tốc của O’ so với O
Gia tốc điểm M so với O
Gia tốc điểm M so với O’
Gia tốc của O’ so với O

z

0

z’

0

x’
x


Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S: NGUYỄN – MINH – CHÂU

ChươngII: ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM
II.1 Khái niệm cơ bản
™ Lực: là 1 đại lượng vật lý (N) đặc trưng cho sự tương tác.
• Ngoại lực: là các lực từ phía bên ngồi tác động lên vật.
• Nội lực: là lực tương tác giữa các phần tử bên trong.
Khi vật không bị biến dạng: Σnội lực = 0.
™ Khối lượng m: là 1 đại lượng vật lý ( Kg ) đặc trưng cho tính ì (qn tính).
II.2 Ba định luật Newton
1/ Định luật 1: (Định luật quán tính)
a. Phát biểu: 1 vật cô lập (không chịu tác dụng của ngoại lực) nếu vật đang đứng yên sẽ
đứng yên mãi mãi, còn nếu đang chuyển động thì sẽ chuyển động thẳng đều.
r
r
⎧⎪ϑ = 0 ⇒ ϑ = 0
           ⎨ r
r
⎪⎩ϑ = hs ⇒ ϑ = hs
b. Hệ quy chiếu quán tính: là hệ quy chiếu nhìn vật cơ lập thấy nó đứng yên hay chuyển
động thẳng đều.
K là hệ quy chiếu quán tính thì
đứng n hay chuyển động thẳng đều so với K → K’:
là hệ quy chiếu quán tính.
Ví dụ: Mặt đất được coi là hệ quy chiếu quán tính (tương đối).
2/ Định luật 2: (Định luật cơ bản của vật chuyển động có gia tốc)
a. Phát biểu: Một vật có khối lượng m, dưới tác dụng của tổng ngoại lực thì vật đó chuyển
động có gia tốc:
r
r ∑F
a=
 

m
r
r
r
r
b. Phương trình động lực học cơ bản: ∑ Fi = mi ai
FA
FB  
3/ Định luật 3: (Định luật tương tác giữa 2 vật)
a. Phát biểu: 2 vật A và B tương tác với nhau:
r
Vật A tác dụng lên vật B một lực FB
r
r
thì vật B tác dụng lên vật A một lực FA = − FB
b. Các cặp lực liên kết:
r r
• r Trọng lực: Khi vật có khối lượng m chuyển động trong trái đất thì ta có: P, P '
p 
⎧ Điểm đặt: khối tâm G
r
⎪ Phương: đường thẳng đứng (coi mặt đất ngang)
p'  
⎨  Chiều: hướng xuống.
r
⎪
r
P = mg   ⎩ Độ lớn: P = mg
r
N 

• Phản lực: vng góc, khi 2 vật A, B tiếp xúc chồng:
Điểm đặt: tại điểm tiếp xúc.
Phương: vng góc mặt tiếp xúc.
Chiều: từ điểm tiếp xúc hướng đến vật đang xét.
r
Độ lớn: N =N’ (giải phương trình tìm N, N’)
N'  


Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S: NGUYỄN – MINH – CHÂU

r
r
Lực ma sát trượt: khi 2 vật A, B trượt lên nhau Fms , F ' ms .
+ cđ
r
⎧ Điểm đặt: tại điểm tiếp xúc.
Fms  
⎪ Phương: theo phương chuyển động.
 
⎨ Chiều:
ngược chiều chuyển động.
⎪
r
cđ + 
⎩ Độ lớn: Fms =
F ' ms  
• Sức căng dây: ,
Xuất hiện khi vật tiếp xúc treo với sợi dây:
r

B: là sợi dây treo vật A.
T 
: ngoại lực của A do sợi dây tác dụng.
r
⎧ Điểm đặt: tại điểm tiếp xúc.
⎪ Phương: phương sợi dây.
T' 
⎨   Chiều: từ điểm tiếp xúc hướng ra ngoài vật đang xét.
⎪ Độ lớn: T = T’ (giải phương trình tìm T, T’)
⎩
r
r
r
ϑ 
• Lực cản mơi trường: FC = − K C .ϑ
Kc: hệ số cản của môi trường.
r
r
r
r
Fc : cùng phương, ngược chiều ϑ .
FC = − K C ϑ
Điểm đặt: tại điểm tiếp xúc. 
r
 
⎧
ϑ
Phương:
cùng
phương

(phương tiếp tuyến).
⎪
r
 
⎨ Chiều:
ngược chiều ϑ .
⎪
⎩ Độ lớn: FC = K C .ϑ
r
r
r
• Lực đàn hồi lò xo: Fđh = − K .x
Fđh  
⎧ Điểm đặt: tại điểm tiếp xúc.
⎪ Phương: phương chuyển động.
r
cb 
⎨   Chiều: ngược chiều với li độ Ox.
Fđh  
⎪
⎩ Độ lớn: Fđh = K .x .
™ Giải bài toán bằng phương pháp động lực học:
™
Bước 1: Phân tích lực đối với các vật người ta cho khối lượng.
r
r
Bước 2: Viết phương trình lực: dùng định luật 2 Newton: ∑ Fi =mi .ai
™

•

™

™

Bước 3: Chiếu phương trình lực lên 2 phương:
• Phương vng góc chuyển động → tìm phản lực N → lực ma sát Fms = k.N.
r
• Phương chuyển động: chọn chiều dương là chiều chuyển động, gia tốc ai theo
chiều dương.
Bước 4: Giải hệ phương trình theo phương chuyển động → kết quả.


Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S: NGUYỄN – MINH – CHÂU

r
N1

VD:

r
Fms1  
r
a1  

r
T 

r
m1 g  

r
T 

r
a2  

r
T 

r
a1 + 

r
m1 g  

r
a1

r
T  r

a2

r
m2 g

r
m2 g  

+

r
N1  

+ 

r
T 

r
T 

r
Fms1  
r
m1 g

r
m2 g   +

Dây không giãn → vận tốc tại mọi điểm trên dây như nhau → a1 = a2 (độ lớn)
Trên mọi điểm của sợi dây khơng có vật gì có khối lương thì sức căng như nhau →
T1 =T2 = T
II.3 Hệ quy chiếu bất quán tính – Lực quán tính
1. Hệ quy chiếu bất quán tính
r
Là hệ quy chiếu chuyển động với gia tốc a 0 so với hệ quy chiếu quán tính.
K là hệ quy chiếu qn tính, thì
chuyển động có gia tốc đối với K đều là hệ quy chiếu

bất quán tính.
2. Lực quán tính: F qt = − m.a0
⎧ Điểm đặt: tại khối tâm G.
r
r ⎪⎪ Phương: cùng phương a 0 .
r
Fqt ⎨  
Chiều: Ngược chiều a 0 .
⎪
r
⎪⎩ Độ lớn: Fqt = m. ar o
.
Ghi chú: lực quán tính chỉ xuất hiện ở hệ quy chiếu bất quán tính.
VD1: Treo hệ rịng rọc trong thang máy:
r
• Chọn mặt đất là hệ quy chiếu qn tính K.
a0
Hệ phương trình lực tương ứng:
™
™

r r

r

r

r

         m1 : m1g + T = m1a1 = m1(a'1 +a0 )

⎧
  ⎨
r r
r
r r

+

⎩ m2 : m2 g + T = m2 a2 = m2 (a '1 + a0 )

r
a '1  

       

r
a'2

vì vật 1 đi lên cùng chiều 2 đi xuống ngược chiều .
r +
r
• Chọn sàn thang máy: hệ quy chiếu bất quán tính.
r
r
F
F
r
r
qt 2  
r qt1

m
:
m
g
+
T
+
F
=
m
a
'
 
m
g
1
1
qt
1
1
1
⎧                                                                                                                                      1
r
r
⎨
m2 g
r r
r

                                                                              

⎩ m 2 : m 1 g + T + F qt 2 = m 2 a' 2
  
   Fqt1 = m1.ao ; Fqt2= m2.ao

r
a '1 : gia tốc vật 1 đối với sàn thang máy ≠
a1’= a2’= a’

r
r r
đối với đất: a1 = a' 1 + ao

r
a2


Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S: NGUYỄN – MINH – CHÂU

a' =

⇒

Chú ý: chiều

( m2 − m1 ).( g + a0 ) ( m2 − m1 ).( g' )
=
m1 + m 2
m1 + m 2

r

a0 :

r
Thang máy đi xuống chậm dần: a 0 ↑
r
Thang máy đi lên chậm dần: a 0 ↓

VD2:
r
r
N1
Fqt1  
r
Fms1 r

r
T 

r
a '1
+

m1 g  

r
T
  r
r
a'2
F

 
r ms 2
r
Fqt 2
N2  
+
r
m2 g
r
a0

r
Mặt bàn đứng yên:m2 trượt trên cạnh bàn N 2 = 0 .
r
Mặt bàn chuyển động: m2 bị lực quán tính Fqt1 đè
r
r
vào bàn → N 2 ≠ 0 , có thêm lực ma sát Fms 2

II.4 Động lượng – Xung lượng
r
r
1/ Định nghĩa động lượng p : 1 vật có khối lượng m chuyển động với
vận
r tốc ϑ . Thì
r
r
r
p = mϑ  
r

p = mϑ .
ϑ 
2/ Định lý về động lượng:r
r
r
r
r
dp d (mϑ )
dϑ
=
=m
= ma = ∑ F                             
dt
dt
dt
Phát biểu: Đạo hàm véctơ động lượng theo thời gian = Σ ngoại lực tác dụng lên vật.
3/ Định luật bảo toàn động lượng:
a. Bảo toàn toàn phương:
r
r
r
r
F
=
0
⇒
p
=
m
ϑ

=
hs
⇒
ϑ
= hs → vật chuyển động thẳng đều.
∑
b. Bảo toàn 1 phương:
r
∑ F ≠ 0 Fx = 0 ⇒ p X = mϑ X = hs ⇒ ϑ X = hs → vật chuyển động theo phương x

đều.
Hình chiếu Σ ngoại lực theo 1 phương = 0 thì động lượng theo phương đó sẽ bảo toàn.
4/ Xung lượng:

r
p2

t
r 2 r
r
r
r
∫ dp = ∫ F .dt ⇒ p2 − p1 = Δp

r
p1

t1

Xung lượng hay là xung của 1 lực trong khoảng thời gian Δt = t 2 − t1 bằng độ biến

r r
r
thiên động lượng: Δp = p 2 − p1 .
r
r r
r
Nếu dùng lực trung bình F trong khoảng thời gian Δt : Δp = p 2 − p1 = F .Δt    


Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S: NGUYỄN – MINH – CHÂU

y

II.5 Cơ năng của chất điểm
r
1/ Công của lực F :
a. Công nguyên tố:
r r
dA = F .dl = F .dl. cos α
r
r
α : góc hợp bởi F và dl .

Nếu α nhọn:
α tù:

r
F 

A

α 
r
dl  
B
x

công phát động, lực làm cho vật di chuyển
công cản, lực làm cản vật chuyển động.

α = 90 0 :

: lực không tạo công.
B

r
b. Công của lực F khi vật di chuyển A → B : AFr ( AB ) = dA =

∫

A

r r
F
∫ .dl
B

A

r

Chúng ta sử dụng cơng thức này khi lực F khơng đổi, góc α không đổi.
™ Công của lực ma sát:
r
AFms ( AB ) = −kmg cos α . AB

r
N

Amgr ( AB ) = mg sin α . AB

r
Fms

r
r
ANr = 0 N ⊥ dl

r
mg

™ Công của trọng lực:
™ Công của phản lực:

2/ Động năng: là năng lượng thể hiện sự chuyển động của vật
1
Wđ = mϑ 2 ⇒ dAFr = dWđ
2
r r
CM: dA = F .dl
r

r
r
r
r
r
Mà F = Fx i + Fy j + Fz k = ma = ∑ F
r
r
r
r
dl = dxi + dyj + dzk
dϑ
⇒ ⇒ dA = Fx dx + F y dy + ... = ma x + ma y + ... mà a x = x
…và ϑ x = dx ….
dt
dt
2
2
2
2
1
1
=> ⇒ dA = mϑ x dv x + mϑ y dϑ y + mϑ z dϑ z = d [ 2 m(ϑ x + ϑ y + ϑ z )] = d ( 2 mϑ )
™ Tính công bằng động năng:
CHÚ Ý; là tổng các ngoại lực tác dụng Vd:  là tổng của 3 lực:
B

Khi đó:

AFr ( AB) = ∫ dA=

A

WñBđ

∫đdWđ
ñ

WñA

, ,

.

= Wñđđ − Wñđđ = ΔWñđ

Kết luận: Cơng của tổng ngoại lực di chuyển vật thì bằng độ biến thiên động năng.


Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S: NGUYỄN – MINH – CHÂU

3/ Thế năng:Wt: là năng lượng thể hiện vị trí của vật.
B r r
r
r r
a. Lực thế: F là lực thế ⇔ ∫ Fdl = f ( rA , rB ) Công di chuyển chất điểm không phụ thuộc
A

vào đường đi mà chỉ phụ thuộc vào vị trí đầu và vị trí cuối.
r r
r

F là lực thế ⇔ ∫ F .dl = 0 : Cơng di chuyển trong đường cong kín = 0.
b. Trường lực thế:Là khoảng không gian chỉ chịu tác dụng của lực thế.
r
VD: Fhd : lực hấp dẩn → Trường hấp dẫn.
r
P Trọng lực → Trường trọng lực.
r
r
Fđh = −kx : lực đàn hồi →Trường đàn hồi.
r
c. Thế năng:  Wt = f (r ) = f ( x, y, z )
Trong trường lực thế luôn luôn tồn tại 1 hàm Wt phụ thuộc vào vị trí gọi là thế năng. sao
cho công nguyên tố bằng độ giàm thế năng nguyên tố.: dAFr = − dWt
 
B

WtB

A

WtA

AFr ( AB) = ∫ d AFr ( AB) = ∫ − dWt = WtA − WtB = −ΔWt
Công của lực thế khi di chuyển vật từ A → B = độ giảm thế năng.
uuuuuur
r
r
⎛ ∂ r ∂ r ∂ r⎞
d. Liên hệ giửa lực thế F và thế năng Wt:: F = − grad Wt = − ⎜ .i + . j + .k ⎟ Wt
∂y

∂z ⎠
⎝ ∂x
r
r
™ CM: P = mg lực thế → Wt = ?
r
r
r
r
r
r
P = − mg . j       dl = dxi + dyj + dzk            =>   dA = − mgdy  
y
A 
r
 
dl
 
  
yB
r
B
r r
B
mg
                                      
x

APr ( AB ) = ∫ P .dl = − mg ∫ dy = mgy A − mgy B = f ( y A , y B ) = WtA − WtB  
A

yA

r
r
⇒ P = mg là lực thế do cơng phụ thuộc
(vào vị trí A, B).
Tổng quát: Wt = mgy + C (C là hằng số thế năng, phụ thuộc gốc thế năng).
Chọn gốc thế năng tại O ⇒ Wt(y=0)=0 → .C=0 → Wt = mgy Wt = mgy
r
r
™ CM Lực đàn hồi: Fđh = −kx lực thế →
™ ⇒ Wt = ½ k x2 : gốc thế năng ở vị trí cân bằng.
4/ Định luật bảo toàn cơ năng:
r r r r
r
Giả sử: ∑ F = F + F ' ( F : lực thế, F ' : lực phi thế).

-

Công của tổng ngoại lực bằng độ biến thiên động năng.
A Fr = WđB − WđA = ΔWđ  
∑
Công của lực thế bằng độ giãm thế năng .
AFr = WtA − WtB = − ΔWt  


Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S: NGUYỄN – MINH – CHÂU

Cơng của lực phi thế bằng độ biến thiên cơ năng.

AFr ' = W B − W A = ΔW
Chỉ có lực thế (lực phi thế = 0).
r
F ' = 0 ⇒ ΔW = 0 ⇒ W B = W A = hs (cơ năng hệ bảo toàn)

-

VD1:
             

r
N 

 

Ar
F

A( Pr + Frms ) = ΔWñ = WñB − WñA

A( Pr ) = − ΔWt = WtA − WtB

r
Fms  

A( Frms ) = ΔW = WB − WA

r
P 

B

            

VD2:
y

 
r
FC

A( Pr ) = − ΔWt = WtA − WtB

A( Frc ) = ΔW = WB − WA

r

ϑ

A

h

A( Pr + Frc ) = ΔWñ = WñB − WñA

r
mg

B
0

x

II.6 Trường hấp dẫn:
   1. Lực hấp dẫn:Cho 2 chất điểm khối lượng

,

đặt cách nhau 1 khoảng r, thì hút nhau bởi lực:        

m1 m2
 
r2
G: hằng số hấp dẫn, G = 6,67.10 −11 Nm 2 / kg 2

F1 = F2 = G

KL: 2 chất điểm cách nhau 1 khoảng nào đó ln ln hút nhau bằng những lực tỉ lệ với
tích khối lượng của chúng và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách đó.

m1 F1  

F2   m2
r
r1  

r
m1 m2 r1
F2 = − F1 = −G 2
r1 r1

Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S: NGUYỄN – MINH – CHÂU

VD: Xác định g:
P=F =G

mM
mM
M
=G
= mg ⇒ g = G
2
2
r
(R + h )
( R + h )2

Nếu h=0 ⇒ g 0 = G

M 6,67.10 −11.6.10 24
=
≈ 9,81 m 2
6 2
s
R2
6,37.10

(

)

2

⎛ 2h ⎞
⎛ R ⎞
g = g0 ⎜
⎟ ≈ g 0 ⎜1 − ⎟ ( h<R⎠
⎝
⎝R+h⎠
2.Trường hấp dẫn:
Mỗi chất điểm tạo ra xung quanh nó một trường đặc biệt được gọi là trường hấp dẫn.
Trong trường này, các chất điểm sẽ bị tác dụng 1 lực gọi là lực hấp dẫn.
2
Chứng minh lực hấp dẫn là lực thế:
dr
r
6
47
4
8
dl
2 r
2
2
r
r.dl. cos α
Mm r
r2

=
A12 = F .dl = − G 3 r .dl = −GMm
3
r
r
r
1
1
1
F
r2
r2
r
⎛ 1
dr
r
= − GMm⎜⎜ −
        = −GMm
2
1
⎝ r r1
r1 r
r1

∫

∫

∫

∫

⎛ GMm ⎞ ⎛ GMm ⎞
⎟⎟ − ⎜⎜ −
⎟⎟
A12 = Wt1 − Wt 2 = ⎜⎜ −
r
r
1
2
⎝
⎠ ⎝
⎠

⇒ Công này chỉ phụ thuộc vào vị trí đầu và vị trí cuối ⇒ lực hấp dẫn là lực thế,
trường hấp dẫn là trường thế.Thế năng của trường hấp dẫn:

Mm
+C
r
Chọn gốc thế năng ở ∞ : r =∝ ⇒ Wt ( ∞ ) = 0 ⇒ C = 0

⇒ Wt = −G

Chọn gốc thế năng ở mặt đất: r =R ⇒ C = G

Wt ( h ) = −G

Mm
Mm

h
+G
= GMm
R+h
R
R ( R + h)

⎛ GM ⎞
.h = mg 0 h
2 ⎟
⎝ R ⎠

  Wt ( h ) = m⎜

Mm
R


Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S: NGUYỄN – MINH – CHÂU

™ Vận tốc vũ trụ cấp 1 và cấp 2.
ĐN: Vận tốc vũ trụ cấp 1 là vận tốc tối thiểu cần cấp cho 1 vật để nó trở thành vệ tinh của
trái đất, nghĩa là quỹ đạo của nó là hình trịn bao quanh trái đất. Hay nói cách khác đó là vận tốc
tối thiểu để thắng được lực hút của trái đất để bay vào vũ trụ.
Xác định :
ϑ2
an = g 0 =
⇒ ϑ I = g 0 R ≈ 7,9km / s
R

Xác định ϑII: Trường lực thế: W=hs (cơ năng bảo toàn).
-

Khi vật xuất phát từ mặt đất với vận tốc ϑ và bay xa vô cùng:

mϑ∞2
mϑ 2 ⎛
Mm ⎞ mϑ∞2
≥ 0 . 
+ ⎜− G
+ 0 mà
⎟=
R ⎠
2
2
2
⎝
ϑ 2 ≥ 2G

M
= 2g0 R
R

với ϑ II = 2 g 0 R = 11,2km / s ⇒ ϑ ≥ ϑ II

KL:
ϑ p ϑ I : Vật rơi trở lại mặt đất.
ϑ = ϑ I : Vật chuyển động với quỹ đạo là đường tròn.
ϑ I p ϑ p ϑ II : Vật chuyển động với quỹ đạo là elip.
ϑ ≥ ϑ II : Vật chuyển động với quỹ đạo là parabol thoát khỏi trái đất.

 
  

r

ϑ 


Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU

Chương III: ĐỘNG LỰC HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM – VẬT RẮN
III.1 Khối tâm.
1. Vị trí khối tâm G của hệ 2 chất điểm:2 chất điểm M1 và M2 có khối lượng lần lượt m1 và m2
được nối với nhau bằng một thanh rắn khơng khối lượng thì vị trí khối tâm G là điểm khi đặt con
niêm tại đó thanh cân bằng nằm ngang.Khi đó:
M1
G
M2
m M G+m M G =0
1

1

2

2

2. Vị trí khối tâm G của hệ nhiều chất điểm:

m1

n

∑m M G = 0
i =1

i

m2

i

Đặt hệ chất điểm vào hệ trục tọa độ Descartes: => 0G = 0 M i + M i G
=> mi 0G = mi 0 M i + mi M i G =>

∑ m 0G = ∑ m 0M + ∑ m M G
i

i

i

i

i

⎧
∑ mi x i
⎪ xG =

M
⎪
r
⎪
r
∑ mi ri => ⎪⎨ y = ∑ mi yi
⇒ rG =
G
M
M
⎪
⎪
∑ mi z i
⎪zG =
M
⎪⎩
Với M= ∑ mi : Khối lượng hệ chất điểm

Vd: Cho 4 chất điểm m1=1kg, m2=2kg, m3=3kg, m4=4kg
đặt tại 4 đỉnh hình chử nhựt cạnh 2cm, 4cm như hình vẻ.
1
xG =
(0 + 0 + 9 + 12) = 2,1cm
1+ 2 + 3 + 4
yG =

r
r
=> rG ∑ mi = ∑ mi ri

y

M2
M1

x

0
y
m2

m3

1
(0 + 4 + 6 + 0) = 1cm => G ( 2,1 ; 1 )
10

3. Vị trí khối tâm G của vật rắn:

r
1
rG =
M

r

∫ dm.r

VR

1
⎧
⎪ xG = M ∫ x.dm
⎪
1
⎪
y.dm
⇒ ⎨ yG =
M∫
⎪
1
⎪
⎪ z G = M ∫ z.dm
⎩

Mn

xG

xG
m1

m4

y

x

dm

r
r

Với M: Khối lượng vật rắn

0
dm
⇒ dm = λ .dl
dl
z
dm
- Mật độ khối lượng mặt: σ (kg / m 2 ) σ =
⇒ dm = σ .dS
dS
dm
- Mật độ khối lượng mặt: ρ (kg / m 3 ) ρ =
⇒ dm = ρ .dV
dV
m
m
m
+ Nếu 1 vật rắn có khối lượng phân bố đều thì:
λ = ; σ = ; ρ = là hằng số
l
S
V
+ Nếu vật rắn là sợi dây thẳng trên trục x thì: dl = dx
+ Nếu vật rắn là sợi dây cung trịn, bán kính R thì
dy
ta dùng tọa độ cực (R,ϕ) thì dl = R.dϕ

x

- Mật độ khối lượng dài: λ ( kg / m) λ =

dx


Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU

r = x2 + y2
Tọa độ cực:

⎧ x = r cos ϕ
Với ⎨
⎩ y = r sin ϕ

y
ϕ = arctg
x

r dϕ d

ϕ

+ Nếu vật rắn là mặt phẳng giới hạn bởi 2 đường thẳng: dS = dx.dy
+ Nếu vật rắn là mặt phẳng giới hạn bởi cung tròn: dS = r.dr .dϕ .
+ Nếu vật rắn là mặt cầu bán kính R thì: dS = R 2 sin θ .dθ .dϕ

z

⎧ x = r sin θ cos ϕ
⎪
Tọa độ cầu: M (r , θ , ϕ ) với ⎨ y = r sin θ sin ϕ
⎪ z = r cos θ
⎩
Khi tính biết mặt cầu: S = R

2

π

2π

0

0

θ

∫ sin θ .dθ ∫ dϕ

+ Nếu vật rắn dạng khối lăng trụ hay lập phương: dV = dx.dy.dz
x
+ Nếu vật rắn là khối cầu: dV = r 2 dr. sin θ .dθ .dϕ
R

π

R

M
r

ϕ

2π

R3
4
.2.2π = πR 3
V = ∫ r dr ∫ sin V = ∫ r .dr ∫ sin θ .dθ ∫ dϕ =
3
3
0
0
0
0
0
Vd1: Cho vật tam giác vuông OBC ( OB=a và BC=b) khối lượng m phân bố đều. Tìm G?
m
y
b
y= x
1 ab a
a
a
2
1
C

xG = ∫ σ .dx.dy = 2 ∫ xdx.. ∫ dy = ∫ x.dx. y
ab 0
m VR
m 0
0
1
• Tương tự y G = b :
dy
3
x
B
0
dx
Vd2: Cho vật rắn khối lượng m là ¼ vịng trịn (O,R). Xác định G?
1
xG =
ϕ
y
∫ σ .r1.dr2.d3ϕ.r1cos
23
M VR
dS
x
2

2

M

y

=

G
x

x

=

π R2
4
M

π

R

2

∫ r dr ∫ cos ϕ.dϕ
2

0

0

3

π

4 R
. sin ϕ
πR 2 3

2
0

=

4
R ≡ 0,424 R
3π

Hình đối xứng => xG = yG = 0,424R.
r
∑ Fi

III.2. Chuyển động khối tâm G
r
r
1
rG =
mi ri
∑
M
r
r
r
drG

r
1
1
ϑG =
=
miϑi =
pi
∑
∑
dt
M
M
r
r
dϑ
r
r
1
1
mi a i =
Fi
aG = G =
∑
∑
dt
M
M

G

r
aG
r

ϑG
r

∑P
i

y


Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU

III.3. Động lựơng
của hệ chất
điểm
và vật rắn.
r
r
r
r

a/ Định nghĩa: P = ∑ pi = ∑ miϑi = M ϑG
r
r
r
r
dP d ( M .ϑG )

b/ Định lý:
=
= Ma G = ∑ F
dt
dt
c/ Định luật bảo toàn động lượng:
r
r
- Bảo toàn toàn phương:
∑ Fr = 0 ⇔ P = hs
- Bảo toàn 1 phương:
∑ F ≠ 0, ∑ Fx = 0 ⇒ Px = hs
Vd1:

r
N1

m1

r

r
N1

ϑ1

r
N2

r

ϑ2

r

m2

1

Vd2:

r r
+ m2 g + N 2 = 0

r
r
PTB = PSB

m
M

1

PTVC = PSVC
r
r
r
r
m1 .ϑ1 + m 2 .ϑ 2 = m1 .ϑ '1 + m 2 .ϑ ' 2

r
m2 g

r
m1g

r

r

∑ F r= m g r+ N

r
V

r
r
r
( m + M )V = mϑ '+ MV '

r

Vd3:

ϑ

r
r
P1 = P2
r

r
0 = mϑ + MV

r
V

Vd4: Bảo toàn 1 phương:

r

ϑ'

r

ϑ

M

r
V'

V=0

r
r
F
∑ = mrg ⇒ ∑r FX =r 0
( m + M )V ≠ mϑ '+ MV '

P

X

TVC

= P

=> mϑ = MV '

X

SVC

III.4. Vật rắn chuyển động tịnh tiến.
1/ Định nghĩa: Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến thì mọi chất điểm của vật rắn chuyển động cùng
quãng đường, cùng vận tốc và cùng gia tốc với khối tâm.
A1
B1
G
C1

A2
B2
G
C2

A1 A2 = B1 B2 = ... = G1G2

ϑ A = ϑ B = ... = ϑG
a A = a B = ... = aG

2/ Động năng của vật rắn chuyển động tịnh tiến:

1
1
Wđ tt = ∑ Wđ i = ∑ .mi .ϑi2 = M .ϑG2
2
2
3/ Phương trình động lực học của vật rắn chuyển động tịnh tiến:

r
r
F
∑ i = M .aG

III.5. Vật rắn chuyển động quay quanh 1 trục U.


Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU

Δ

1/ Định nghĩa:
θ A = θ B = ... = θ v

ω A = ω B = ... = ω
β A = β B = ... = β
Khi vật rắn quay quanh 1 trục thì mọi chất điểm có cùng 1
góc quay, cùng vận tốc góc và cùng gia tốc góc.

A1

θA

A2

2/ Động năng của vật rắn quay quanh 1 trục U:
1
1
1
Wđ q / Δ = ∑ Wđ i = ∑ mi .ϑi2 = ∑ mi .ω i2 .ri 2 = ω 2 .∑ mi ri 2
2
2
2
Với ri : khoảng cách từ chất điểm thứ i đến trục U.

Đặt I Δ =

∑m r

2

i i

B2

θB
B1

: moment quán tính của hệ chất điểm đối với trục U

1
I Δ .ω 2
2
3/ Moment quán tính của hệ chất điểm đối với trục quayU:
=> Wđ q / Δ =

I Δ = ∑ mi ri2

4/ Moment quán tính của vật rắn đối với trục quayU:

I Δ = ∫ dm.r 2
VR

Vd1: Cho 1 thanh thẳng khối lượng M, dài L, khối lượng phân bố đều. Tính moment đối với trục
quayU vng góc với thanh và đi qua điểm giữa.
L
2

Δ

Δ

3
I = λ .dx.x 2 = M . x
Δ ∫L
L 3

Δ

−

r

α
O

dx
O

x

x

2

L
2
−

L
2

=

M ⎛ L3 ⎛ L3 ⎞ ⎞ ML2
⎜ − ⎜ − ⎟⎟ =
L ⎜⎝ 24 ⎜⎝ 24 ⎟⎠ ⎟⎠
12

=

1
ML2
3

d

Δ
+ Nếu chọn gốc O đối với trục U’:
I

M x3
= .
Δ' L 3

L

0

+ Nếu chọn trục U2 lệch góc α với thanh:

I
+ Nếu chọn trục U3 song song với thanh:

I

L

Δ2

Δ3

=

M
M
L3 ML2
2
2
2
dx
.
x
sin
α
=
sin
α
.
=
sin 2 α
∫
L 0
3
3
L

= ∫ dm.d 2 = d 2 ∫ dm = M .d 2

Δ

VR

Vd2: Cho 1 vành khối lượng M, bán kính R, U vng góc vành qua O
I

Δ

= ∫ dm.R = R
2

2

Vd3: Đĩa đặc phân bố đều

∫ dm = M .R

VR

2

d
O

R


Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU

Δ

= σ .r.dr.dϕ .r 2
Δ ∫
2π
R
M
3
r
dr
=
.
∫0 dϕ
πR 2 ∫0
I

r

dr

R

M r4
M .R 2
2π
=
.
.ϕ =
2
πR 2 4 0 0
R

Vd4: Đĩa rổng bán kính R1,R2

Δ

2π

2
M
IΔ =
r 3 .dr ∫ dϕ
2
2 ∫
π ( R2 − R1 ) R1
0

⎡ R24 R14 ⎤
M
−
⎢
⎥.2π
4 ⎦
π ( R22 − R12 ) ⎣ 4
M 2
(
=
R2 + R12 )
2

=

1
ML2
12

- Thanh dài:

IΔ =

- Vành, trụ rỗng:

I Δ = MR 2

- Đĩa đặc, trụ đặc:

IΔ =

1
MR 2
2

- Cầu rỗng:

IΔ =

2
MR 2
3

O

IΔ =

- Cầu đặc:

3.5 Định lý Steiner-Huyghen:

Trục U đi qua G
Trục U’//U và cách U 1 đoạn d

I Δ ' = I Δ + Md 2
Vd: Thanh rắn:

Δ’

Δ

Δ

2

1
1
⎛L⎞
I Δ ' = ML2 + M ⎜ ⎟ = ML2
12
3
⎝2⎠

R

I Δ ' = MR 2 + MR 2 = 2MR 2

L/2
Lưu y: Moment quán tính có mang tính chất cộng

I (m + M )

Δ'

=

Im

Δ

+

IM

Δ

Vd: Hệ 1 niềng M, 6 căm M:

I Δ = I M / Δ + 6I m / Δ
⎛1
⎞
= MR 2 + 6⎜ mR 2 ⎟ = (M + 2m )R 2
⎝3
⎠

R2
R1

2
MR 2
5


Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU

+ Nếu khoét đi 1 lỗ sẽ trừ đi:( M:k/l đĩa chưa khoét; M’:k/l đĩa đã khoét; m: k/l lổ khoét)

I dk/Δ = I 01 / Δ − I 02 / Δ
I dk/Δ
I dk/Δ

1
3
= MR 2 − mr 2
2
2
13
M '.R 2
=
24

M σ .πR 2
=
⇒ M = 4m

m σ .π .r 2
R ⎞⎤
1 ⎡ ⎛
1
xG =
0 + ⎜ − m ⎟⎥ = −
⎢
3m ⎣ ⎝
2 ⎠⎦
6

O1

•

O2

Moment qn tính là giá trị vơ hướng dương, (là giá trị số học)
r

Δ

III.6 Moment lực.
M
r

1. Moment lực F đối với điểm O

r
M

r
F / 0

r
r
= r × F

⎧ -Điểm đặt: tại 0.
r r
⎪
⎪ -Phương: đt ⊥với mp tạo bởi ( r , F ).
⎨
r r r
⎪ -Chiều: r , F , M tạo thành tam diện thuận.
⎪⎩ -Độ lớn: M = r.F sin α
r
2. Moment lực F đối với trục U

r
r
M Fr / Δ = hcM Fr / 0

O

uur r
M F /Δ

Δ

r r r
r
F = Ft + Fn + Fz

r
r
Fz : làm vật trượt trên U, không làm vật rắn quay => M Frz / Δ =
r
r
r
M
Fn : kéo vật trượt trên U, không làm vật rắn quay =>
Fn / Δ

r
M Fr / Δ

r
r r
r
M Ft / Δ = r × Ft

r
⎧F = 0
⎪⎪ r
= 0 ⇔ ⎨F I Δ ≠ φ
⎪r
⎪⎩ F // Δ

3.6.4 Moment tổng ngọai lực của vật rắn đối với U:

uur r
r r
r
r
M ΣF / Δ = ∑ ri × Fit = ∑ ri × mi .ait
uur r
r r r
rr r
r r r
M ΣF / Δ = ∑ mi ⎡⎣ ri × ( β i × ri ) ⎤⎦ = ∑ mi ⎡⎣ (ri .ri ).β i − (ri .β i ).ri ⎤⎦
uur
r
r
M ΣFr / Δ = ∑ mi .ri 2 .β = I Δ .β

uur r
M F /0

r
Fz

Δ

r
ri

r
3. Moment lực F của vật rắn đối với trục U
r
Tác dụng lên vật rắn 1 lực F để vật rắn quay quanh U.

r
Lực F được phân thành 3 thành phần:

r
Ft : làm vật rắn quay quanh U =>

r
F

r
r

0

M r
Fn

=0

( r: khoảng cách từ M đến U )

r
F

r
Ft

r
F'

Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU
3.6.5 Phương trình động lực học cơ bản của vật rắn quay quanh U:
r
r
ΣF / Δ = I Δ .β
r
III.7. Moment động lượng.
L
r
3.7.1 Moment động lượng L đối với O
r
r r
r
Li / O = ri × Pi
( ri : vectơ vị trí)

uur
M

⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩

Điểm đặt: tại O
r r
Phương: vng góc mặt phẳng tạo bởi ri , Pi

r r r
Chiều: ri , Pi , L/ O tạo thành U diện thuận
r
Độ lớn: Li / O = ri . pi .sin α

(

)

3.7.2 Moment động lượng đối với U:

r
r
L/ Δ = hình chiếu L/ O

Δ

3.7.3 Moment động lượng của vật rắn đối với U:

r
LΔ =

=
=

∑
∑

∑

r
L

i

Δ

=

∑

r
r
ri × p i =

r
r
r
m i [ r i × ( ω i × r i )] =
r
r
m i . r i 2 .ω i = I Δ ω

Ghi chú:

∑

∑

r

r
ri × m i ϑ i

r r r
r r
r
m i [( r i . r i ) ω i − ( r i .ω i ). r i ]

uur r
r
M ΣF / Δ của vật rắn đối với trục U thì cùng phương, chiều với β
r
r
L/ Δ của vật rắn đối với trục U thì cùng phương, chiều với ω

3.7.4 Định lý moment động lượng:
r
r
r
dL / Δ
dω
= I/Δ.
= I / Δ .β =
dt
dt
3.7.5 Định luật bảo tịan moment động lượng:
r
thì L/ Δ = const

2

Vd: Ghế Giucopxki (người đi từ mép đĩa đến R/2)
r
r
LΔ1 = LΔ 2 ⇒ ( I1 + I 2 )ω1 = ( I1 + I 2' )ω2
⎛1
R2
⎞
⎛1
⇒ ⎜ MR 2 + mR 2 ⎟ω1 = ⎜⎜ MR 2 + m
4
⎝2
⎠
⎝2

M

⎞
⎟⎟ω 2
⎠

G

Vd: Viên đạn chạm thanh M, L:
M ∑ Fr

Δ

r
= 0 ⇔ LΔ = hs

r
r
LTVC = LSVC

1
ϑ 1
ML2 .0 + mL2 . = ML2 .Ω'+ mL2 .ω '
3
L 3

III.8. Vật rắn chuyển động lăn không trượt.

m

r

ϑ

1


Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU
3.8.1 Định nghĩa1: khi vật rắn lot là vừa chuyển động tịnh tiến theo khối tâm G và vùa chuyển
động quay quanh G
r
r
⎧ϑG
⎧ω
Tịnh tiến ⎨ r
Quay quanh G ⎨ r

⎩β
⎩a G

A

AB = G1G2 = cungAB = Rθ

θ
G

G
A

ϑG = R

⇒ aG = βR

B

•
-

Vectơ vận tốc của chuyển động lot tại G, A, B, C
r
r
r
r
Xét chuyển động tịnh tiến: ϑG = ϑ A = ϑ B = ϑC

-

Xét chuyển động quay quanh G:
ϑGtt=ϑAq=ϑBq=ϑCq . ϑGq=0

-

dθ
= ωR
dt

A

r

r

G

r

r

r

Vậy: ϑAlot = 2ϑGtt ; ϑGlot = ϑGtt ; ϑBlot = 2. ϑGtt ; ϑClot = 0;

r
=ϑ ICq β

Định nghĩa 2: Lot là quay quanh tâm quay tức thời (ϑlot = 0) : ω =

B

r

ϑ Gq

r

r

ϑ Gtt

r

r

r

ϑ Alot

r

ϑlot = ϑttG + ϑqG
r

r

r

ϑ Aq

Xét chuyển động lot:

r

r

ϑ Att

ϑ Glot

r

r

C

ϑ Bq

r

r

ϑ Ctt

ϑ Clot

ϑG
R

3.8.2 Động năng của vật rắn Lot:
1
1
Wñ / lot = WñttG + WñqG = MϑG2 + I G ω 2
2
2
3.8.3 Phương trình cơ bản ĐLH của Lot:

r

F
∑
uur

i

r
= M .a G

r
M ΣFr / Δ = I Δ .β

• Chú ý;
ur
*Trong cđ Lot có lực ma sát lăn: là dạng lực ma sát tỉnh: F msl
-

Điểm đặt: điểm tiếp xúc.
Phương: phương chuyển động tịnh tiến.

ur
ur
Chiều: * F đi qua G: F msl ngược chiều tịnh tiến
ur
ur
* F 0 đi qua G: F msl cùng chiều tịnh tiến
Độ lớn:Phải tìm và 0 ≤ Fmsl ≤ kN.

* Công của
lực ma sát lăn bằng khơng (dl=0).
r
aG

+

r
N

r
Fmsl

Hình 1

G

r
Mg

r
F

r
r r r
r
⎧Mg + N + Fmsl + F = MaG
⎪r
r
⎨M
=
I
β
r
G
⎪⎩ ∑ F G

r
aG

+r

r
N

G
r

Hình 2 M g

F

r
Fmsl

ϑ Btt

ϑ Blot