Phép đo sai số và đồ thị

BỘ MÔN VẬT LÝ Y SINH Giáo Trình Thực Tập Cho Sinh Viên Y Khoa Năm I

Lê Đỗ Ninh
Trang 1
Bài số 0. PHÉP ĐO, SAI SỐ VÀ ĐỒ THỊ
1. Phép đo và sai số
Trong thực nghiệm, khi dùng dụng cụ đo để xác định một đại lượng, ta
thường không thu được giá trị đúng tuyệt đối, do có nhiều hạn chế kỹ thuật gây ra sai
lệch. Thí dụ, dùng thước để đo độ dài, nếu kết hợp thêm cả kính hiển vi thì cũng khó
phân biệt giữa 1.3 và 1.4 µm. Thậm chí nếu có một lần đo nào đó ta ngẫu nhiên thu
được giá trị đúng của đại lượng cần đo thì ta cũng không biết, do đó, buộc phải coi
tất cả các phép đo chỉ cho giá trị gần đúng.
Người ta gọi độ lệch giữa kết quả đo (a’) và giá trị thực của đại lượng cần đo
(a) là sai số tuyệt đối của phép đo và ký hiệu là:
δ
a = a’ – a (1)
Sai số
δ
a có thể dương hoặc âm, nhưng xét về độ lớn (trị số tuyệt đối) thì
không được quá lớn, nếu khác đi thì coi như phép đo không thành công.
2. Các loại sai số
Sai số có thể phát sinh do người làm thực
nghiệm, của phương pháp, dụng cụ đo hoặc do chính
vật được khảo sát. Nếu phương pháp thực nghiệm sai
hoặc dụng cụ đo không được cân chỉnh tốt, thì sai số có
thể lớn nhưng khá ổn định, người ta xếp chúng vào loại
sai số hệ thống và có thể khắc phục được bằng cách
hiệu chỉnh kết quả đo. Thí dụ, nếu chúng ta biết chiếc
đồng hồ luôn chạy nhanh 0.5 phút mỗi giờ, thì kết quả
đo bằng 2 giờ phải được trừ bớt 1 phút. Một cái thước
dài 1 m, có kẻ các vạch cách nhau 1 mm, thì ta không

thể biết được phần lẻ nhỏ hơn 1 mm của giá trị đo, do
đó, sai số là 1 mm. Tuy nhiên, còn nhiều loại sai số
khác không có tính ổn định như vậy, là các sai số ngẫu
nhiên. Trong khuôn khổ tài liệu này, ta không cần nói
nhiều về sai số hệ thống, mà chú ý đến các sai số ngẫu nhiên.
Sai số ngẫu nhiên có các đặc tính
Tính giới hạn: Trong điều kiện đo cụ thể, trị số tuyệt đối của sai số ngẫu
nhiên không thể vượt quá một giới hạn nhất định.
Tính tập trung: Sai số ngẫu nhiên có trị số tuyệt đối càng nhỏ thì khả năng
xuất hiện càng nhiều.
Tính đối xứng: Sai số ngẫu nhiên
dương và âm với trị số tuyệ t đối không lớn
có số lần xuất hiện gần bằng nhau.
Tính bù trừ: Khi số lần đo tiến tới vô
cùng thì trung bình cộng của các sai số ngẫu
nhiên của cùng một đại lượng sẽ tiến tới 0.
Hình minh hoạ thống kê sai lệch của đồng
hồ máy tính tại trang http://vancouver-
webpages.com/time/ (trang cung cấp giờ
của đồng hồ nguyên tử).
BỘ MÔN VẬT LÝ Y SINH Giáo Trình Thực Tập Cho Sinh Viên Y Khoa Năm I

Lê Đỗ Ninh
Trang 2
Phương pháp chung để giảm bớt sai số của phép đo là phải lặp lại nhiều lần
việc đo để có kết quả là số trung bình cộng.
2.1. Sai số đọc

Không có thang đo nào có đủ các vạch cho mọi giá trị (thí dụ: thước kẻ chỉ
chia vạch đến mm, do đó các độ dài không phải số nguyên lần mm thì người đo phải

nhận định về phần lẻ là bao nhiêu phần trăm của 1 mm). Sai số loại này rất phổ biến
và do tính chủ quan của người đọc.
Khi dùng đồng hồ kim, kim của đồng hồ không nằm trong mặt phẳng chứa
các vạch chia độ. Khi đó vị trí đặt mắt không đúng sẽ làm tăng sai số đọc. Vị trí đúng
là vị trí mà mặt phẳng do con ngươi của mắt và kim của đồng hồ tạo thành một mặt
phẳng vuông góc với mặt chia độ. Do vậy, đôi khi người ta phải có gương phản xạ
trên mặt chia độ, và chỉ cần chọn vị trí của mắt sao cho ảnh của kim bị khuất sau
chính kim đó.
2.2. Sai số do dụng cụ đo kỹ thuật số

Cũng là loại sai số tương tự sai số đọc, nhưng không phải do mắt, mà do sự
hiển thị của các thiết bị đo kỹ thuật số. Các giá trị mà chúng có thể cho hiển thị trên
màn hình chỉ là các giá trị gián đoạn (thí dụ, card chuyển từ analog – “tín hiệu tương
tự” sang digital – “tín hiệu số”, nếu là loại 8 bits thì chỉ có thể hiển thị được 2
8
=256
mức khác nhau), nếu kết quả đo không trùng với các mức đó thì sẽ được làm tròn.
Ngoài ra, khi đại lượng cần đo có sự dao động lớn hơn khoảng cách giữa hai
mức tín hiệu số cạnh nhau, ta còn thấy các con số hiển thị thay đổi liên tục, việc chọn
giá trị nào là tuỳ người sử dụng.
2.3. Sai số do đối tượng được khảo sát.

Khi khảo sát một hiện tượng hay một vật không đồng nhất hoàn toàn theo một
phương diện nào đó, khó có thể tin tưởng vào phép đo với chỉ một lần đo. Thí dụ, đo
tốc độ gió hay ngay cả hướng gió. Thậm chí, khi đo đường kính một quả cầu có sẵn
trong tay, ta không dám chắc nó có dạng đúng hình cầu, mà thường là mỗi đường
kính lấy theo phương khác nhau lại có giá trị khác nhau.
3. Độ ngờ của kết quả
3.1. Sai số trong phép đo trực tiếp
Thường thì một phép đo trong phòng thí nghiệm phải được lặp lại từ 3 đến 5

lần, qua đó xác định được giá trị cần đo (x) là trị số trung bình nhằm mục đích khắc
phục sai số ngẫu nhiên:
5
54321
xxxxx
x
++++
=
hay
∑
=
=
5
1
5
1
i
i
xx
(2)
Trong Microsoft Excel dùng =AVERAGE(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,x
5

)
Mặc dù các sai số ngẫu nhiên của 5 lần đo có thể ngẫu nhiên bù trừ lẫn nhau
và ta đã có được giá trị lý tưởng x, nhưng về nguyên tắc ta không thể biết, phải chấp
nhận ước lượng sai số theo kiểu tối đa (sai số tuyệt đối trung bình) hay còn gọi là độ
ngờ của kết quả:
5
54321
xxxxxxxxxx
x
−+−+−+−+−
=∆
hay
∑
=
−=∆
5
1
5
1
i
xxx
i
(3)
BỘ MÔN VẬT LÝ Y SINH Giáo Trình Thực Tập Cho Sinh Viên Y Khoa Năm I

Lê Đỗ Ninh
Trang 3
Trong Microsoft Excel dùng =AVEDEV(x
1
,x

2
,x
3
,x
4
,x
5
)
Khi thí nghiệm được lặp lại nhiều lần (thường không phải là phép đo thủ
công, mà là trong các hệ đo tự động hoặc trong khảo sát khác, thí dụ, tìm độ tuổi
trung bình của sinh viên năm thứ nhất), người ta không xác định độ ngờ qua sai số
tuyệt đối trung bình mà là qua sai số toàn phương trung bình:
∑
=
−
−
=∆
n
i
i
xx
n
x
1
2
)(
1
1
với n là số lần đo. (4)
Cách tính này sẽ cho độ ngờ khác sai số tuyệt đối trung bình nếu các sai số ngẫu

nhiên không giống nhau. Nó sẽ “khuếch đại” các sai số lớn do được bình phương
trước khi cộng, nên có thể dùng để so sánh độ tin cậy của hai phép đo có cùng sai số
tuyệt đối trung bình.
Không nhất thiết là cứ có thêm một lần đo thì chắc chắn thu được kết quả tốt
hơn, mà còn tùy thuộc chất lượng của mỗi lần đo. Nếu trong các số liệu đo có một số
quá lớn hoặc quá nhỏ (rất khác thường) so với các số liệu còn lại thì người ta chấp
nhận bỏ nó đi (nhiều lần đo) hoặc đo lại (ít lần đo). Thực ra, trong những phép đo
quan trọng (thí dụ, chỉ có ít lần đo mà không còn điều kiện lặp lại thí nghiệm) thì
muốn bỏ bớt một số liệu phải có quy tắc cụ thể. Ta sẽ không đi sâu hơn trong khuôn
khổ tài liệu này.
Sau khi tìm được cả
x
và
x∆
, ta viết kết quả đo được dưới dạng:
x =
x
±
x∆
, và có một điều cần nhớ khi trình bày kết quả cụ thể nào đó, rằng các số
phía bên phải của đẳng thức trên phải cùng mức độ chính xác (số chữ số thập phân
sau dấu phẩy). Ví dụ:
x = 3.00 ± 0.07 đúng cách,
x = 3 ± 0.07 sai, vì “3” có độ chính xác tới 1 đơn vị, 0.07 chẳng còn ý nghĩa
x = 2000 ± 5 đúng cách,
x = 2E+3 ± 5 hoặc 2×10
3
± 5 hoặc 2 ngàn ± 5 đều sai vì
x
chính xác chỉ đến

đơn vị là ngàn, phần độ ngờ mất ý nghĩa,
x = 18.12345 ± 0.01 sai vì khi độ ngờ là 0.01 thì việc viết
x
quá chính xác là
vô căn cứ.
Chú ý
:
- Làm tròn số đối với độ ngờ: không giảm ! Thí dụ 0.731 làm tròn là 0.74.
- Nhiều loại sai lệch: cộng chung. Thí dụ nếu thước đo có độ chính xác là
0.1 mm và kết quả đo có độ ngờ tính được là 0.333 mm thì độ ngờ của thí
nghiệm sẽ là 0.433 mm.
3.2. Sai số trong phép đo gián tiếp

Giả sử ta buộc phải đo đại lượng x rồi qua đó mới tính được đại lượng y, thì
phép đo y được gọi là phép đo gián tíếp.
Trường hợp đơn giản nhất là y và x có quan hàm bậc nhất (y = ax
1
+b). Ta
biết ngay
y
= a
x
+ b và
y∆
= |a|
x∆
vì y = a (
x
±
x∆

) +b. Sở dĩ nó đơn giản vì
trong quan hệ hàm bậc nhất (cũng gọi là quan hệ tuyến tính), y thay đổi “đều” theo x,
cứ x thay đổi một đơn vị thì y thay đổi a đơn vị.
BỘ MÔN VẬT LÝ Y SINH Giáo Trình Thực Tập Cho Sinh Viên Y Khoa Năm I

Lê Đỗ Ninh
Trang 4
Khi quan hệ y(x) phức tạp hơn quan hệ tuyến tính, nghĩa là y thay đổi không
“đều” theo x, thì dù đã biết
x∆
, ta còn phải biết tốc độ thay đổi của y theo x tại vị trí
x đó là bao nhiêu thì mới tính được, tốc độ đó chính là đạo hàm y’(x):
x
dx
dy
y
∆≈∆
hay |y’(x)|
x∆
(5)
Dấu xấp xỉ cho thấy chỉ dùng được khi
x∆
khá nhỏ, tới mức coi như y’ không
thay đổi trong cả đoạn này, trong trường hợp tổng quát thì phải dùng đến tích phân
xác định để tính
)(' xy
trung bình.
Trong thực nghiệm, nhiều khi y được tính qua hai hay nhiều đại lượng đo trực
tiếp, thí dụ y = y(x,t). Khi y là hàm bậc nhất, mọi chuyện vẫn đơn giản như trước,
nhưng phải chú ý dấu trong biểu thức độ ngờ: luôn dương (nếu y=2x-t thì

txy ∆+∆=∆ 2
). Tổng quát hơn, ta biết rằng dy =
dt
t
y
dx
x
y
∂
∂
+
∂
∂
= y’
x
dx + y’
t
dt (đạo
hàm riêng theo từng biến độc lập, tính bằng cách coi các biến còn lại không đổi), do
đó
t
t
y
x
x
y
y ∆
∂
∂
+∆

∂
∂
≈∆
hay |y’
x
|dx + |y’
t
|dt . (6)
Trong nhiều trường hợp, người ta tính độ ngờ qua sai số tương đối (δ=|∆y / y|)
dơn giản hơn tính trực tiếp, nhất là đối với các hàm số mũ. Khi đó ∆y = δ.
y
.
Tương tự như vậy đối với các trường hợp có nhiều biến độc lập.
Liệt kê vài trường hợp cụ thể (chữ đậm là giá trị trung bình):
• Y = aX + b → ∆Y = |a|∆X
• Y = aX
1
± bX
2
+ c → ∆Y = |a|∆X
1
+ |b|∆X
2

• Y = aX
1
X
2
+ b → ∆Y = |a|(|X
2

|∆X
1
+ |X
1
|∆X
2
)
• Y = aX1 / X2 + b → ∆Y = |a|(|X
2
|∆X
1
+ |X
1
|∆X
2
) / X
2
2

4. Đồ thị biểu diễn kết quả
Số liệu thực nghiệm được trình bày dưới dạng bảng, biểu đồ hoặc đồ thị, chọn
loại nào thì tùy hoàn cảnh và yêu cầu, nhưng ở đây ta tập trung vào hình thức thứ ba,
vì đối với hàm số thì đây là hình thức phù hợp nhất (Chú ý, có tài liệu dùng từ “sai
số” thay cho từ “độ ngờ”, nhưng theo tác giả bài soạn này, chữ độ ngờ chuẩn hơn.
Trước hết, nó bao hàm nhiều lĩnh vực, chứ không chỉ là số của toán học, thí dụ
không thể nói sai số là 0.2 mét, tuy cũng có thể nói sai lệch 0.2 m. Và, điều thứ hai
quan trọng hơn, đây chỉ là độ thiếu tin cậy của phép đo chứ không phải độ lệch thật
sự của nó, như đã nói ở phần đầu).
Nguyên tắc đầu tiên là phải thể hiện đủ giá trị trung bình và độ ngờ tại các vị
trí đo.

Biến t Hàm đo được x
1
2
3
0.921 ± 0.015
0.852 ± 0.013
0.996 ± 0.017

Biến t đo được Hàm y(t)
13 ± 1
15 ± 2
19 ± 4
0.912 ± 0.010
0.930 ± 0.013
0.996 ± 0.014

BỘ MÔN VẬT LÝ Y SINH Giáo Trình Thực Tập Cho Sinh Viên Y Khoa Năm I

Lê Đỗ Ninh
Trang 5
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.84
0.86
0.88
0.90
0.92
0.94
0.96
0.98
1.00

x
t
Nguyên tắc thứ hai là
tận dụng tối đa diện tích dành
cho đồ thị (thí dụ, trong phần
đóng khung bên phải đây), bao
gồm hai chi tiết: các trục toạ độ
trải dài gần hết cả hai chiều (chỉ
trừ chỗ chú thích), đồng thời các
giá trị biến hoặc hàm rải suốt
gần hết chiều dài các trục.

Nguyên tắc thứ ba là
khi nối các điểm thực nghiệm
thành đường, phải chú ý:
- Đường vẽ phải đi qua
các vạch biểu diễn độ ngờ (hoặc ô chữ nhật biểu diễn độ ngờ hai chiều),
nhưng không nhất thiết phải đi qua vị trí tâm của vạch (hình chữ nhật) đó.
- Hình dạng đường này phải gần giống với hình dạng theo lý thuyết, chẳng
hạn, nếu quan hệ tuyến tính thì phải vẽ đoạn thẳng, quan hệ là hàm bậc 2 thì
phải vẽ một đoạn parabol, vv... Trong trường hợp chưa biết quy luật quan hệ
lý thuyết thì cố gắng vẽ một đường trơn tru ít uốn khúc nhất có thể.


BÀI I. KHẢO SÁT CÁC HIỆN TƯỢNG MẶT NGOÀI CỦA CHẤT LỎNG
1. Mục đích thí nghiệm
- Khảo sát hiện tượng dính ướt và không dính ướt của chất lỏng,
- Đo lực căng mặt ngoài và tính hệ số căng mặt ngoài.
2. Cơ sở lý thuyết

Quan sát sự tiếp xúc của chất
lỏng với thành của bình chứa, có thể
thấy hiện tượng dính ướt (mép nước
dâng cao, hình bên trái) hoặc không
dính ướt (ngược lại, hình bên phải). Khi
quan sát một giọt chất lỏng trên bề mặt
không dính ướt, ta sẽ thấy nó không bị
vỡ ra, đó là do có lực căng mặt ngoài.
Để khẳng định sự tồn tại của lực căng mặt ngoài, có thể làm thí nghiệm nâng
một vật dính ướt ra khỏi chất lỏng và đo lực kéo khi vật đi lên phía trên mặt chất
lỏng.
Giả sử vật thí nghiệm là một vành dạng
trụ, dính ướt đối với nước (H
2
O), với đường
kính trong là d và đường kính ngoài là D. Hệ số
căng mặt ngoài của nước là σ. Khi bứt khỏi mặt nước, mặt trong của vành chịu một
lực kéo F
1
= σπd, còn mặt ngoài chịu F
2
= σπD.
Tổng hợp lực tác dụng lên vành là F
c
= F
1
+F
2
= σπ(d+D).