Bài tập lớn môn động lực học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.12 MB, 34 trang )
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
phần 1. Đề tài tiểu luận
Đề tài: Dao động của dầm chịu tải trọng di động. Các ví dụ.
Ngày nay, cùng với sự phát triển nhanh chóng của khoa học kỹ thuật nói chung, giá trị
của tải trọng di động cũng nh- vận tốc di động ngày càng lớn. Do đó việc nghiên cứu quá
trình phát triển biến dạng, chuyển vị, nội lực động trong kết cấu chịu tải trọng di động cần
đ-ợc quan tâm, ngiên cứu với các mô hình ngày càng hoàn thiện chặt chẽ hơn.
Theo sơ đồ khối l-ợng của tải trọng và của hệ ta có các mô hình tính cơ bản sau:
1) Tải trọng có khối l-ợng di động trên hệ
P
đ-ợc xem là không có khối l-ợng (hình 1a).
V
a)
Mp
2) Tải trọng không kể khối l-ợng di động trên
hệ có khối l-ợng (hình 1b).
P
3) Tải trọng có khối l-ợng di động trên hệ có
V
b)
m
khối l-ợng (hình 1c).
Ph-ơng trình vi phân biểu thị dao động của dầm
không có khối l-ợng chịu tải trọng di động có khối
P
l-ợng đ-ợc F.Willis thiết lập đầu tiên năm 1849.
V
c)
Mp
m
Sau đó Stockes đã nghiên cứu đề xuất cách giải.
Cách giải chính xác bài toán dao động của dầm
H ìn h 1
chịu tải trọng di động không có khối l-ợng đ-ợc
viện sỹ ng-ời Nga A.N. Kr-lôv công bố đầu tiên vào năm 1905. Tiếp đó là những nghiên
cứu của nhiều nha khoa học khác đã đề xuất các ph-ơng pháp khác nhau xung quanh vấn đề
lập và tích phân ph-ơng trình vi phân của dao động.
Với sự phát triển của máy tính điện tử việc áp dụng của ph-ơng pháp số giải ph-ơng trình
vi phân của bài toán trên mô hình tính càng sát với thực tế đang đ-ợc quan tâm hoàn thiện
nhằm đạt kết quả với độ chính xác cao hơn. Tuy nhiên do ảnh h-ởng của nhiều yếu tố thực
tế đến tính chất tác dụng của tải trọng nh-: vận tốc di chuyển của tải trọng thay đổi, độ
không bằng phẳng của tải trọng công trình, chất l-ợng của các thiết bị gây ra và truyền tải
trọng di động lên côg trình, ảnh h-ởng của các nguyên nhân gây cản, nên h-ớng nghiên
cứu kết hợp giữa nghiên cứu lí thuyết và nghiên cứu thực nghiệm là rất cần thiết và đ-ợc
nhiều nhà khoa học quan tâm vận dụng có hiệu quả.
Trong phần này chỉ nghiên cứu một vài ph-ơng pháp cơ bản để giải bài toán dao động
của dầm đơn giản chịu tải trọng di động.
I. Ph-ơng trình vi phân tổng quát của dao động khi tải trọng có khối l-ợng di
động với vận tốc xác định trên dầm có khối l-ợng phân bố.
Xét dầm có khối l-ợng phân bố m(z) và chịu tải trọng P(t) có khối l-ợng Mp di động
với vận tốc v (hình 2). áp lực tổng cộng của tải trọng di động tác dụng lên dầm bằng:
d 2 y z, t
R t P t M P
,
dt 2
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
(1)
Trang 1
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
P (t)
V
Mp
=V t
y ( , t)
m (z)
z
y (z, t)
z
l
H ìn h 2
Đặt: z v t , độ võng của dầm xác định bằng ph-ơng trình y(z, t), còn quỹ đạo di
động của tải trọng đ-ợc xác định bằng ph-ơng trình y z, t y , t y vt , t , do đó theo
qui tắc hàm hợp, gia tốc toàn phần của tải trọng di động bằng:
2
d 2 y z, t 2 y z, t
2 y z, t
2 y z, t
2
dt 2
t 2
tz
z 2
(2)
Thay tải trọng tập trung di động R(t) bằng tải trọng phân bố t-ơng đ-ơng q(z, t) và
bằng phân tích tải trọng theo dạng dao động riêng chính của dầm, ta có:
R t yk
(3)
q z , t m z yk z l
m z y z dz
k 1
2
k
0
Trong đó: yk z - dạng dao động riêng chính thứ k của dầm.
Nh- vậy ph-ơng trình vi phân biểu thị dao động của dầm lúc này có dạng:
2 y z, t
2 y z, t
EI
z
m
z
r z, t
2
2
z
t
R t yk
m z yk z l
k 1
2
m z yk z dz
2
z 2
(4)
0
Trong đó: r z, t - lực cản, với mô hình cản đàn nhớt, lực cản đ-ợc xem tỷ lệ với khối
l-ợng và vận tốc của dao động, ta có:
r z, t 2 m z
y z, t
, với là hệ số cản.
t
Tr-ờng hợp dầm đơn giản có 2 đầu khớp, tiết diện không đổi, mang khối l-ợng phân
bố m, các dạng chính của dao động riêng của dầm có dạng:
k z
yk z sin
, với k = 1, 2, 3,...
l
Lúc này tải trọng t-ơng đ-ơng q z, t theo (3) sẽ có dạng đơn giản hơn:
k
k z
l
q z , t m sin
l
l
k 1
2 k z
0 m sin l dz
Hay:
q z, t
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
R t sin
2R t
k
k z
sin
sin
l k 1
l
l
(5)
Trang 2
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
Trong tr-ờng hợp này ph-ơng trình vi phân của dao động có dạng:
4 y z, t
2 y z, t
y z , t
m
2 m
4
2
z
t
t
d 2 y z, t
2
k
k z
sin
P t M P
sin
2
l
dt
l
l
z vt k 1
EI
(6)
Giải ph-ơng trình (6) với tr-ờng hợp tải trọng di động có khối l-ợng trên dầm có khối
l-ợng là bài toán phức tạp, cần sử dụng các ph-ơng pháp số và thực hiện tính trên máy tính
điện tử.
II. Dao động của dầm không có khối l-ợng chịu tải trọng có khối l-ợng di khối
l-ợng di động.
Xét dầm không có khối l-ợng chịu tải trọng có giá trị không đổi P di động với vận tốc
đều v (hình 3).
P
V
Mp
z
y (z)
z= V t
l
H ìn h 3
áp lực tổng cộng của tải trọng di động tác dụng lên dầm bằng:
R t P M P
d 2 y z, t
d 2 y z, t
P
1
,
2
dt 2
gdt
(7)
Vì bỏ qua khối l-ợng của dầm tức là không xét đến lực quán tính phân bố của khối
l-ợng cho nên ta chỉ quan tâm đến vị trí tiết diện d-ới tải trọng có toạ độ z. Độ võng của
dầm tại tiết diện này là hàm phụ thuộc vị trí của tiết diện, nghĩa là phụ thuộc vị trí tải trọng
y y z và z vt . Do đó:
2
d2y
2 d y
v
dt 2
dz 2
Theo (7) áp lực của tải trọng tác dụng lên dầm lúc này bằng:
v2d 2 y
R t P 1
gdz 2
(8)
Độ võng của dầm tại tiết diện ứng d-ới tải trọng do tải trọng R(t) gây ra bằng:
R t z 2 l z
y z
3lEI
hay:
2
v2d 2 y z 2 l z
y z P 1
gdz 2 3lEI
(a)
2
Suy ra ph-ơng trình vi phân dao động trong tr-ờng hợp này có dạng:
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
Trang 3
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
d2y
3lEIg
g
2 2
y z 2
2
2
dz
v
Pv z l z
(9)
Đây là ph-ơng trình Stockes là ph-ơng trình vi phân cấp 2 có hệ số thay đổi, có thể
giải bằng cách đổi biến số để đ-a về ph-ơng trình vi phân có hệ số không đổi hoặc áp dụng
ph-ơng pháp tích phân số.
* Cách tìm nghiệm gần đúng của ph-ơng trình Stockes
Giả thiết khi lấy đạo hàm bậc hai của hàm y(z) theo biểu thức (a), ta xem áp lực động
là một hằng số R(t) = R = const, do đó:
d2 y z
R
2l 2 12lz 12 z 2
2
dz
3lEI
Thay vào (8) ta đ-ợc:
v2 R
R t P 1
2l 2 12lz 12 z 2
g 3lEI
(10)
Nh- vậy áp lực động là một đại l-ợng phụ thuộc z vt , tức là phụ thuộc thời gian t.
Giá trị lớn nhất của áp lực động xẩy ra khi tải trọng di động đến vị trí giữa dầm z l / 2 :
Rmax
v 2 Rl
P 1
3gEI
a) Nếu cho R = P, ta tìm đ-ợc giá trị gần đúng:
Rmax
v 2 Pl
P 1
3gEI
Lúc này hệ số động 1 đ-ợc xác định theo biểu thức:
1
Rmax
v 2 M Pl
v 2 Pl
1
1
P
3EI
3gEI
(11)
Do đó nghiệm gần đúng của ph-ơng trình (9) tại tiết diện giữa dầm z l / 2 bằng:
v 2 Pl
pl 3
yd l / 2 ytinh 1 ytinh 1
,
với
y
tinh
48EI
3gEI
(12)
b) Nếu giải ph-ơng trình (10) theo R, ta đ-ợc:
P
R
1
Pv
2l 2 12lz 12 z 2
3gEIl
2
Tại z l / 2 , ta có:
Rmax
P
P
2
Pv l
M v 2l
1
1 p
3gEI
3EI
Lúc này hệ số động 1 bằng:
1
1
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
1
M p v 2l
(13)
3EI
Trang 4
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
Giá trị thực tế của hệ số động th-ờng nằm trong khoảng giữa hai giá trị tính theo (11)
và (13).
Trong thực tế khối l-ợng không thể bỏ qua đ-ợc so với khối l-ợng của tải trọng, do đó
ý nghĩa thực tiễn của bài toán này cũng rất hạn chế.
III. Dao động của dầm có khối l-ợng phân bố đều chịu tải trọng di động không
có khối l-ợng.
Xét dầm có khối l-ợng phân bố m và chịu tải trọng có giá trị không đổi P di động với
vận tốc đều v. Khối l-ợng của tải trọng là nhỏ so với dầm, có thể bỏ qua (hình 4). Nếu không
kể đến lực cản theo (6) ph-ơng trình vi phân của dao động trong tr-ờng hợp này có dạng:
4 y z, t
2 y z, t 2P
k
k z
EI
m
sin
sin
4
2
z
t
l k 1
l
l
(14)
P
E I, m
z
y (z, t)
=V t
z
l
H ìn h 4
k v
Thay vt và đặt k
, ta có:
l
EI
4 y z, t
2 y z, t 2 P
k z
m
sin k sin
4
2
z
t
l k 1
l
(15)
Tìm nghiệm của (15) theo tổng các dạng chính của dao động riêng:
k z
y z, t Fk t yk z Fk t sin
k 1
k 1
l
(16)
Trong đó: Fk t - hàm ch-a biết phụ thuộc vào thời gian,
yk z - dạng chính thứ k của dao động riêng của dầm.
Thay (16) vào (15) ta đ-ợc:
k z
k z 2 P
k z
k
EI Fk t
sin
m
F
t
sin
sin k sin
k
l
l
l k 1
l
l
k 1
k 1
4
Đối chiều tong số hạng của đa thức đồng nhất không, ta sẽ đ-ợc ph-ơng trình vi phân
đối với số hạng thứ k:
Fk t k2 Fk t
k
Trong đó: k
l
2
2P
sin k , với k = 1,2,, ,
ml k 1
(17)
EI
- tần số dao động riêng ứng với dạng dao động chính thứ k
m
của dao động riêng.
Ph-ơng trình (17) có dạng giống nh- ph-ơng trình vi phân biểu thị dao động c-ỡng
bức của hệ có một bậc tự do chịu lực kích thích tuần hoàn P(t) = sint nh- đã biết, do đó
nghiệm của ph-ơng này có dạng:
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
Trang 5
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
Fk t Ak sin k t Bk cos k t
2 P sin k t
ml k2 k2
(18)
với Ak , Bk là các hằng số tích phân đ-ợc xác định từ điều kiện ban đầu của dao động ở
thời điểm t = 0:
y z,0 0 và y z,0 0
Fk 0 0 và Fk 0 0
Từ các điều kiện ban đầu ta tìm đ-ợc:
1
Bk 0 , Ak k 2 P
k
mlk2 1 k2 / k2
Thay Ak , Bk vào ph-ơng trình (18), ta đ-ợc:
Fk t
2P
sin k t k sin k t
2
2
k
ml 1 k / k
(19)
2
k
Đặt: k2 k 412 , với 12
4 EI
l 4m
, ta có: k2
k 4 4 EI
.
l 4m
Tần số cơ bản 1 có thể xác định gần đúng nh- đối với hệ có bậc tự do bằng một mang
khối l-ợng tập trung M ml / 2 đặt ở giữa dầm:
1
Do đó:
1
2
M 11
ml11
k2 k 4
2
ml11
Trong đó: 11 - chuyển vị tại giữa dầm do lực P = 1 đặt tại giữa dầm gây ra.
Ký hiệu:
k
k vl
k k
m
EI
Ph-ơng trình (19) sẽ có dạng:
P
Fk t 4 11 2 sin k t k2 sin k t
k 1 k
(20)
Thay (20) vào (16), nghiệm của ph-ơng trình (15) sẽ là:
P
k z
y z, t 4 11 2 sin k t k2 sin k t sin
l
k 1 k 1 k
(21)
Ph-ơng trình (21) cho phép xác định độ võng của dầm tại tiết diện có hoành độ z bất
kỳ ở thời điểm tải trọng di động đặt ở vi trí vt .
Tần số dao động riêng k tăng nhanh theo chỉ số k, nên chuỗi nghiệm (21) hội tụ
nhanh.
Nếu với giá trị k = n nào đó, giá trị n n thì n 1 , số hạng thứ n của nghiệm (21)
có dạng 0/0. Khử vô định bằng qui tắc LHospital, ta có:
P
n z
y z, t 114 nt cos nt sin nt sin
2n
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
l
Trang 6
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
Ta thấy độ võng của dầm tăng lên vô hạn theo thời gian t, trong dầm sẽ xẩy ra hiện
t-ợng cộng h-ởng. Từ điều kiện hình thành cộng h-ởng là k k hay k 1 , ta sẽ tìm
đ-ợc vận tốc tới hạn của tải trọng:
k
vth k l
k
vth
k
m
1
EI
k
l
EI
m
(22)
Vận tốc tới hạn nhỏ nhất của tải trọng t-ơng ứng với khi k = 1 bằng:
vth,min vth
1
EI
m
l
(23)
Nếu thay k k v / l và vt vào (21) thì ph-ơng trình độ võng của dầm sẽ có dạng:
k
l sin k sin k
y z, P11 4
k
2
l
kl
k 1 k 1 k
sin
(24)
Trong đó: - tọa độ của tải trọng di động,
z - tọa độ tiết diện của dầm.
Từ (24), ta thấy khi l , nghĩa là khi tải trọng đặt ở gối tựa bên phải dầm, độ võng
của dầm vẫn tồn tại vì số hạng k sin
khi tỷ số
k
k
k
k
th-ờng khác không. Số hạng này chỉ bằng không
là một số nguyên.
Thay z vào (24) ta đ-ợc ph-ơng trình xác định độ võng động tại tiết diện ứng d-ới
tải trọng:
k
l sin k sin k
y P11 4
k
2
l
kl
k 1 k 1 k
sin
(25)
Trong tr-ờng hợp này khi l độ võng tại tiết diện ứng d-ới tải trọng bằng không.
Khi tải trọng di động ra ngoài dầm l , dầm sẽ dao động tự do, ph-ơng trình dao động tự
do của dầm lúc này đ-ợc xác định với điều kiện ban đầu ở thời điểm t t1 l / v .
Từ (25), nếu cho z l / 2 và chỉ giữ lại số hạng đầu của chuỗi, ta có công thức xác định
độ võng ở giữa dầm:
P11
(26)
y l / 2, t
sin t sin t
1 k2 1 1 1
Từ ph-ơng trình độ võng của dầm (21) hay (24), suy ra các biểu thức tính nội l-c động
trong dầm khi l :
k z
l sin k sin k
M z, 2 2
k
k 1 k 1 k2
l
kl
2 Pl
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
sin
(27)
Trang 7
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
k z
2P
l sin k sin k
Q z,
k
k 1 k 1 k2
l
kl
cos
(28)
Cách giải bài toán trên đ-ợc xem là cách giải chính xác.
* Công thức hệ số động theo độ võng, theo mômen uốn và theo lực cắt.
Để tìm độ võng tĩnh và nội lực tĩnh trong dầm, ta có thể sử dụng biểu thức (21), (27),
(28) và xem tải trọng di động từ từ, ở mọi thời điểm với vận tốc bằng không. Khi v 0 , ta
có k 0 và k 0 , suy ra:
1
k z
k
sin
sin
4
l
l
k 1 k
yt z, P11
M t z,
2 Pl
Qt z,
2P
2
(29)
1
k z
k
sin
sin
2
l
l
k
k 1
1
k cos
k 1
(30)
k z
k
sin
l
l
(31)
Lần l-ợt so sánh các biểu thức độ võng động, nội lực động với độ võng tĩnh, nội lực
tĩnh ta sẽ tìm đ-ợc các hệ số động t-ơng ứng:
a) Hệ số động theo độ võng:
k z
sin
l sin k sin k
k
4
2
l
kl
k 1 k 1 k
(32)
1
1
k z
k
k
k 1
4
sin
sin
l
l
b) Hệ số động theo mômen uốn:
k z
1
sin
k
k
sin
k
2
2
l
kl
k
1
k z
k
sin
sin
2
l
l
k 1 k
k 1 l sin
k 1
(33)
c) Hệ số động theo lực cắt:
k z
l sin k sin k
k
2
l
kl
k 1 k 1 k
1
1
k z
k
sin
cos
l
l
k 1 k
cos
(34)
Ta thấy hệ số động phụ thuọcc vị trí tải trọng, vị trí tiết diện khảo sát và đại l-ợng
nghiên cứu.
Nếu chỉ giữ lại số hạng đầu tiên của chuỗi trong các công thức hệ số động theo độ
võng và theo nội lực sẽ nh- nhau và bằng:
1 y 1 M 1 Q
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
1
1
1
sin
2
1 1 sin
1l
l
Trang 8
(35)
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
Lúc này hệ số động chỉ phụ thuọcc vị trí tải trọng di động. Khi tải trọng di động đến
giữa nhịp l / 2 , ta có:
1
1
1 1 sin
2
1 1
2 1
Giá trị lớn nhất của hệ số động xẩy ra khi sin
1 max
(36)
1 :
2 1
1
1 1
(37)
IV. Dao động của dầm chịu tải trọng phân bố di động.
Xét đoàn tải trọng phân bố đều với c-ờng độ q, khối l-ợng q/g có chiều dài vô hạn di
động trên dầm với vận tốc không đổi. Kết quả nghiên cứu cho thấy, khi đoàn tải trọng bắt
đầu di động trên dầm thì độ võng của dầm tăng dần lên, khi đoàn tải trọng chất đầy trên toàn
nhịp dầm thì dao động giảm dần và sau một khoảng thời gian thì dao động sẽ bình ổn. Lúc
này ta thấy đ-ờng đàn hồi của dầm không thay đổi thời gian. Qỹ đạo chuyển động của tải
trọng chính là trục võng của dầm. Ph-ơng trình vi phân của trục dầm có dạng:
EI
d 4 y z, t
P t
dz 4
(38)
Trong đó: y z - độ võng của dầm phụ truộc vào tọa độ z của tiết diện,
P t - c-ờng độ tải trọng động tác dụng lên dầm bao gồm c-ờng độ của tải
trọng phân bố q và lực quán tính của tải trọng, ta có:
q d2y
P t q
g dt 2
q 2 d2y
P
t
q
v
Vì z = vt, nên:
g
dz 2
Thay P t vào (38), ta đ-ợc:
d4 y z
q
q
, với v
2 y z
4
gEI
dz
EI
(39)
Giải ph-ơng trình (39) với điều kiện biên: y 0 y l 0 , y " 0 y " l 0 , ta đ-ợc:
y z
EIg 2
qv 4
l
2z
cos
z
tg
sin
z
l z 1
2
2
Độ võng cực đại ở giữa nhịp:
ymax
EIg 2
y l / 2
qv 4
1
2l 2
1
l
8
cos
2
Biểu thức mômen uốn:
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
Trang 9
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
M z EIy " z
EIg
l
cos z tg sin z 1
2
v
2
Khi l ,3 ,5 ,... , độ võng tăng lên vô cùng, lúc này dầm ở trạng thái tới hạn. Vận
tốc tới hạn nhỏ nhỏ nhất của đoàn tải trọng đ-ợc xác định từ điều kiện l :
vth ,min
EIg
q
l
Ví dụ:
Xác định hệ số động của tải trọng di động trên dầm đơn giản có nhịp l = 10m, mang
khối l-ợng phân bố đều m. Tần số dao động riêng của dầm = 40 1/s, vận tốc di động của
tải trọng v = 80 km/h = 22.2 m/s.
Giải:
Nếu xem khối l-ợng của tải trọng di động là không đáng kể, hệ số động xác định theo
công thức (37):
1
vl
1
, với 1
1 1
1
1
vl m
1
EI
2
l
2
1
m
EI
EI
m
1
1
1.21
v
22.2 3.14
1
1
l
40
10
Nếu tải trọng di động có khối l-ợng đáng kể so với khối l-ợng của dầm thì hệ số động
tính theo công thức trên không phù hợp. Lúc này hệ số động cần đ-ợc xác định theo vận tốc
giới hạn của tải trọng theo (23), khi trong dầm xẩy ra hiện t-ợng cộng h-ởng:
vth
l
EI l
10
40 127m / s 455km / h
m
3.14
Nếu khối l-ợng của dầm xem là không đáng kể so với khối l-ợng của tải trọng di động
M, hệ số động sẽ thay đổi và đạt giá trị lớn nhất khi tải trọng di động đến tiết diện giữa dầm.
Theo (11), ta có:
v 2 Ml
4v
4 22.2
1 1
1 1
1.05
3EI
l
40 10
2
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
2
Trang 10
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
phần 2. Bài tập
q (t) = q (0 )sin t
m2 = m
m1 = m
Bài 1: Cho hệ có sơ đồ nh- hình vẽ:
0.61
2EI
l
Với 1 là tần số cơ bản
a) Xác định tần số dao động riêng
b) Vẽ biểu đồ mômen uốn động ( MđP)
c) Xác định hệ số Kđ
m3 = m
EI
EI
l
l
q (t) = q (0 ) sin t
Giải:
m2 = m
m 1 = m /2
l
a) Xác định tần số dao động riêng :
Đây là hệ đối xứng mang các khối l-ợng đ-ợc bố trí
2EI
đối xứng nên hệ sẽ dao động riêng theo 2 dạng: dạng dao
động riêng đối xứng và dạng dao động riêng phản xứng.
1. Dạng dao động riêng đối xứng:
EI
- Sơ đồ tính nửa hệ nh- hình vẽ:
- Hệ có n = 1 là chuyển vị thẳng đứng của khối
l-ợng m1 = m/2
- Tần số dao động riêng đối xứng:
l
1
dx
m111
Trong đó: m1 = m/2
11 là chuyển vị tại điểm đặt khối l-ợng m1 do lực quán tính J =1 đặt tại m1
gây ra:
11 M J . M K0
- Biểu đồ mômen M J và M K0
J = 1
0 .3 l
l
PK = 1
0 .7 l
M
J
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
M
0
K
Trang 11
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
11 M J . M K0
dx
1
m111
1 1
2 1
1
0.3l l l 0.7l l l
2 EI 2
3 2
3
1 1
2 11l 3
0.3
l
l
l
EI 2
3 120 EI
1
240 EI
EI
4.671
, 1/s
3
3
m 11l
11ml
ml 3
2 120 EI
q (t) = q (0 )sin t
2. Dạng dao động riêng phản xứng:
- Sơ đồ tính nửa hệ nh- hình vẽ:
- Hệ có n = 1 là chuyển vị ngang của các khối l-ợng
m1 = m/2 và m2 = m.
- Khối l-ợng khái quát:
M KQ m1 m2 1.5m
- Tần số dao động riêng phản xứng:
1
px
M KQ KQ
m2 = m
l
2EI
EI
Trong đó: KQ - là chuyển vị tại tiết diện đặt khối
l-ợng khái quát do lực quán tính J =1 đặt theo ph-ơng
chuyển động gây ra:
KQ M J 1 . M J 1
- Biểu đồ mômen M J 1 :
m 1 = m /2
l
J= 1
l
11 M J 1 . M J 1
1 1
2
1
1
2
l l l
l l l
EI 2
3
2 EI 2
3
3
l
2 EI
M
Vậy:
px
J1
1
M KQ KQ
1
3
1.155
l
2 EI
b) Vẽ biểu đồ mômen uốn động ( MđP)
Ta có:
M Pd Kd M Pt
1.5m
EI
, 1/s
ml 3
Trong đó: Kđ - hệ số động
1
Kd
2
1 2
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
Trang 12
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
0.61 0.6 px 0.6 1.155
Với:
EI
EI
0.693
3
ml
ml 3
1. Dạng dao động đối xứng:
1
K ddx
1.022
0.6932
1
4.6712
- Biểu đồ mômen M Pt do q = q0 đặt tĩnh trên hệ gây ra:
q = q0
0 .2 q 0 l
0 .2 0 4 4 q 0 l
2
0 .3 q 0 l
2
2
0 .3 0 6 6 q 0 l
M
M
t
P
d
P
- Biểu đồ mômen động M Pd trên toàn hệ:
0 .2 0 4 4 q 0 l
2
0 .2 0 4 4 q 0 l
2
0 .3 0 6 6 q 0 l 2
M
d
P
2. Dạng dao động đối xứng:
1
K dpx
1.5625
0.6932
1
1.1552
- Biểu đồ mômen M Pt do q = q0 đặt tĩnh trên hệ gây ra:
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
Trang 13
2
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
q = q0
0 .1 2 5 q 0 l
0 .1 9 5 q 0 l
2
2
M
M
d
P
t
P
- Biểu đồ mômen động M Pd trên toàn hệ:
0 .1 9 5 q 0 l
0 .1 9 5 q 0 l
2
2
M
d
P
c) Xác định hệ số Kđ
Kddx 1.022
Kdpx 1.5625
2 P (t)
m 0 = m /l
Với 1 là tần số cơ bản
a) Xác định []
b) Vẽ biểu đồ mômen uốn động
(MđP)
EI
m1 = m
m 2 = 2m
2 P (t)
2EI
EI
l
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
m1 = m
l
Bài 2: Cho hệ kết cấu chịu lực kích
thích P(t) = P0sint nh- hình vẽ:
0.61
l
EI =
l
Trang 14
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
l
m 3 = m 0l = m
EI
m 2 = 2 m /2
m1 = m
2EI
l
Giải:
a) Xác định []
Đây là hệ đối xứng mang các khối l-ợng đ-ợc bố trí
đối xứng nên hệ sẽ dao động riêng theo 2 dạng: dạng dao
động riêng đối xứng và dạng dao động riêng phản xứng.
1. Dạng dao động riêng đối xứng:
- Sơ đồ tính nửa hệ nh- hình vẽ:
- Hệ có n = 1 là chuyển vị thẳng đứng của khối
l-ợng m2 = 2m/2 = m
- Tần số dao động riêng đối xứng:
1
dx
M KQ KQ
Trong đó: MKQ = m2 = m
KQ là chuyển vị tại điểm đặt khối l-ợng
MKQ do lực quán tính J =1 đặt tại m2 gây ra:
l
* Xác định KQ:
Dùng ph-ơng pháp chuyển vị để xác định nội lực trong hệ, ta có ph-ơng trình chính
tắc nh- sau:
EI
Z1 = 1
J = 1
3EI
l
3EI
l
2EI
2EI
l
EI
M
H ệ cơ b ản
1
r11Z1 R1P 0
Với:
3EI 2 EI 8EI
r11 2
l
l
l
l
R1P
2
2
l
Z1
16 EI
- Biểu đồ mômen M J 1 :
M Z . M M
J1
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
1
1
0
P
J= 1
l
2
l
2
M
0
P
Trang 15
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
KQ M J 1 . M k0
dx
1
M KQ KQ
1
1 3l
2 l
2 l
EI
2 16
3 2
1 1 3l
2 1 5l
1
7l 3
l
l
l
l
2 EI 2 8
3 2 8
3 96 EI
1
96 EI
EI
3.703
, 1/s
3
3
7l
7ml
ml 3
m
96 EI
m 3 = m 0l = m
- Sơ đồ tính nửa hệ nh- hình vẽ:
- Hệ có bậc tự do n = 2, là chuyển vị ngang của khối
l-ợng m3 và chuyển vị ngang của các khối l-ợng m1, m2.
- Ph-ơng trình tần số có dạng:
1 11
ui
m1 21
m212
m2 22 ui
EI
m 2 = 2 m /2
m1 = m
2EI
0
EI
l
m
l
2. Dạng dao động riêng phản xứng:
Trong đó: ki - là chuyển vị của khối l-ợng mk do lực
quán tính Zi = 1tác dụng tĩnh tại vị trí khối l-ợng mi gây ra.
l
3
1 1
2
1 1
2
4l
11 M1 . M1
2 l l l
2l l 2l
EI
2
3 2 EI 2
3
3EI
1 1
2
1 1
2
l3
22 M 2 . M 2
l l l
l l l
EI 2
3 2 EI 2
3 2 EI
1 1
2
1 1
2 2l 3
12 21 M1 . M 2
l l l
2l l l
EI 2
3 2 EI 2
3 3EI
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
Trang 16
Tiểu Luận
Chọn:
Ta có:
Động Lực Học Công Trình
4l 3
0
3EI
m0 m
Z1 = 1
11
1
0
12 12 0.5
0
22 22 0.375
0
11
m3
1
m0
m m2
m2 1
2
m0
Ph-ơng trình tần số:
1
1 ui
l
l
l
2l
M
M
m1
0.5
Z2 = 1
l
2
1
0.75 ui
0
Khai triển định thức, ta đ-ợc:
ui2 1.75ui 0.25 0
u1 1.593 , u2 0.157
- Tần số dao động riêng phản xứng:
1
1
EI
1px
0.686
, 1/s
3
4l
m0 0u1
ml 3
m
1.593
3EI
2px
1
m0 0u2
1
3
m
4l
0.157
3EI
2.186
EI
, 1/s
ml 3
b) Vẽ biểu đồ mômen uốn động (MđP)
- Tần số dao động c-ỡng bức:
EI
, 1/s
ml 3
- Hệ ph-ơng trình chính tắc để xác định các biên độ của các lực quán tính:
u
11 Z1 12 Z 2 1P 0
m1
Z u Z 0
2P
12 1 22 m 2
2
Với:
0.61 0.61px 0.4116
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
Trang 17
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
4l 3 2l 3
P0
3
EI
3EI
1P P011 P012
1P
1.5P0
4l 3
0
0
3EI
2l 3
l3
P0
3EI 2 EI
2 P P0 21 P0 22
2P
0.875P0
4l 3
0
0
3EI
1
1
u
4.427
2
2
m0 0
4l 3
EI
m
0.4116
3EI
ml 3
Thay vào hệ ph-ơng trình trên, ta đ-ợc:
1 4.427 Z1 0.5Z 2 1.5P0 0
4.427
0.5Z1 0.375 2 Z 2 0.875P0 0
3.427 Z1 0.5Z 2 1.5P0 0
0.5Z1 1.8385Z 2 0.875P0 0
P
Z1 0.5282 P0
Z 2 0.6202 P0
- Biểu đồ mômen động đ-ợc vẽ theo biểu thức:
M Pd M1 Z1 M 2 Z2 M Pt
P0
P 0l
2 P 0l
0
3 P 0l
M
t
P
1 .5 2 8 2 P 0 l
3 .1 4 8 4 P 0 l
4 .6 7 6 6 P 0 l
M
d
P
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
Trang 18
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
m 2 = 2m
l
Bài 3: Cho hệ kết cấu chịu lực kích thích
P(t)=P0sint nh- hình vẽ:
0.81
Với 1 là tần số cơ bản
- Xác định []
- Xác định [yi]
- Vẽ biểu đồ mômen uốn động (MđP)
P (t)
Giải:
Đây là hệ đối xứng mang các khối l-ợng
đ-ợc bố trí đối xứng nên hệ sẽ dao động riêng theo
2 dạng: dạng dao động riêng đối xứng và dạng dao
động riêng phản xứng.
l
m1 = 2 m
E I = con st
l
l
m2 = m
l
l
m2 = m
P (t)
2
P (t)
2
m1 = m
l
l
m1 = m
l
l
Dao động đối xứng
Dao động phản xứng
1. Dạng dao động riêng phản xứng:
- Sơ đồ tính nửa hệ nh- hình vẽ:
- Từ sơ đồ nửa hệ nh- trên ta thấy rằng các khối m1, m2 và lực kích thích P(t) đều đ-ợc
đặt trên gối tựa nên không xuất hiện nội lực trong hệ. Hay nói cách khác là không gây ra
dạng dao động riêng phản xứng. Ta chỉ cần xét dạng dao động riêng đối xứng.
2. Dạng dao động riêng đối xứng:
- Sơ đồ tính nửa hệ nh- hình vẽ:
- Hệ có n = 2 là chuyển vị thẳng đứng của khối l-ợng m1 = m và chuyển vị thẳng đứng
của khối l-ợng m2 = m.
- Ph-ơng trình tần số có dạng:
m
1 11
ui
m1 21
m212
m2 22 ui
0
- Bằng ph-ơng pháp chuyển vị ta vẽ đ-ợc biểu đồ M 1 và M 2 nh- hình vẽ:
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
Trang 19
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
Z2 = 1
16l
41
l
41
25l
41
Z1 = 1
5l
41
18l
41
10l
41
8l
41
4l
41
23l
41
2l
41
M
5l
41
l
41
1
M
2
- Để xác định các chuyển vị ki ta tạo các trạng thái khả dĩ và vẽ các biểu đồ mô men
uốn đơn vị M k01 và M k02 nh- sau:
P k2= 1
l
P k1 = 1
l
M
0
k1
M
0
k2
Vậy, ta có:
1 1 18l 2 1 23l 1 1 10l 5l 14l 3
l
l l
l l
l
EI 2
41 3 2
41 3 2 41 41 123EI
1 1 16l 2 1 25l 1 1 16l 5l 4l 2l
22 M 2 . M k02
l
l l
l l
l
EI 2
41 3 2
41 3 2 41 41 41 41
11 M1 . M k01
17l 3
123EI
12 21 M 2 . M k01
Chọn:
1 1
l 1 2l 4l
l3
l
l
l
l
EI 2
41 2 41 41
82 EI
14l 3
0
, m0 m
123EI
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
Trang 20
Tiểu Luận
Ta có:
Động Lực Học Công Trình
11
11
3
17
0.1071 , 22 22
1.2143
1 , 12 12
0
28
0 14
0
m1
m
1 , m2 2 1
m0
m0
Ph-ơng trình tần số:
0.1071
1 ui
0
0.1071 1.2143 ui
m1
Khai triển định thức, ta đ-ợc:
ui2 2.2143ui 1.2028 0
u1 1.2587 , u2 0.9556
- Tần số dao động riêng đối xứng:
1
1
1dx
2.642
3
14l
m0 0u1
m
1.2587
123EI
1
1
2dx
3.0321
3
14l
m0 0u2
m
0.9556
123EI
EI
, 1/s
ml 3
EI
, 1/s
ml 3
* Xác định các dạng chínhcủa dao động riêng đối xứng:
- T-ơng ứng với 1dx ta có u1 1.2587 và ph-ơng trình:
m
1 11
u1 y11 m212 y21 0
Chọn y11 1 , ta có: 1 1.2587 0.1071y12 0
y21 2.4155
- T-ơng ứng với 2dx ta có u2 0.9556 và ph-ơng trình:
m
1 11
u2 y12 m212 y22 0
Chọn y12 1 , ta có: 1 0.9556 0.1071y22 0
y22 0.4146
m 2 = 2m
y 2 1= 2 .4 1 5 5
y 22 = 0.4146
m 2 = 2m
y1 1= 1
m1 = 2 m
1dx
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
y12 = 1
m 1 = 2m
2dx
Trang 21
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
* Vẽ biểu đồ mômen uốn động (MđP):
- Tần số dao động c-ỡng bức:
EI
, 1/s
ml 3
- Hệ ph-ơng trình chính tắc để xác định các biên độ của các lực quán tính:
u
11 Z1 12 Z 2 1P 0
m1
Z u Z 0
2P
12 1 22 m 2
2
Với:
P0 14l 3
P0
11
1P
2
123EI 0.5P
2
1P
0
14l 3
0
0
123EI
P0
l3
P0
21 2 82 EI
2P
2
2P
3 0.0536 P0
14l
0
0
123EI
1
1
u
1.9667
2
2
3
m0 0
14l
EI
m
2.1136
123EI
ml 3
Thay vào hệ ph-ơng trình trên, ta đ-ợc:
1 1.9667 Z1 0.1071Z 2 0.5P0 0
0.1071Z1 1.2143 1.9667 Z 2 0.0536 P0 0
0.9667 Z1 0.1071Z 2 0.5P0 0
0.1071Z1 0.7524Z 2 0.0536 P0 0
P 0 l /8 2
Z1 0.5335P0
Z 2 0.1472 P0
- Biểu đồ mômen động đ-ợc vẽ theo biểu thức:
M Pd M1 Z1 M 2 Z2 M Pt
0.81 0.81dx 2.1136
P 0 /2
9 P 0 l /4 1
5 P 0 l /4 1
4 P 0 l /4 1
2 3 P 0 l /8 2
5 P 0 l /8 2
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
Trang 22
M
t
P
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
0 .1 1 5 P 0 l
0 .0 3 2 P 0 l
0 .0 3 2 P 0 l
0 .4 5 P 0 l
0 .4 5 P 0 l
0 .5 8 3 P 0 l
0 .1 8 4 P 0 l
0 .2 6 6 P 0 l
0 .1 3 3 P 0 l
0 .1 8 4 P 0 l
M
d
P
0 .2 6 6 P 0 l
0 .1 3 3 P 0 l
bd hd 0.22 0.6 m
+ Chiều dày sàn:
hs 0.1m
h
Ptc 200 daN / m2
h
+ Hoạt tải:
h
+ Kích th-ớc dầm:
h
Bài 4: Cho hệ kết cấu có sơ đồ nh- hình vẽ:
l 6m
+ Nhịp khung:
+ Chiều cao tầng: h 3.6m
+ B-ớc khung:
B 4.2m
+ Kích th-ớc cột: bc hc 0.22 0.45 m
+
g = 9.81 m/s2
+ Bêtông cấp độ bền B20:
E 27 108 daN / m2
l
Yêu cầu:
+ Xác định các tần số dao động riêng, các dạng dao động riêng t-ơng ứng.
+ Xác định lực động đất cấp 7, 8; Đất d-ới đế móng: loại 1
+ Tỉnh tải của sàn:
g s g0 b hs n
150 2500 0.11.1 425 daN / m2
+ Tỉnh tải của dầm:
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
m4
m3
m3
m2
m2
m1
m1
h
h
h
m4
h
Giải:
1. Sơ đồ tính:
- Ta đ-a về hệ khung mang các khối l-ợng tập trung nhhình vẽ.
- Xác định các khối l-ợng m1, m2, m3, m4:
+ Lấy gần đúng tải trọng phân bố của các lớp trát và
gạch lát nền:
g0 150 daN / m2 .
l
Trang 23
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
gd 2500 0.22 0.6 1.1 363 daN / m
+ Tỉnh tải của cột:
gc 2500 0.22 0.45 1.1 272 daN / m
+ Hoạt tải:
p 200 1.2 240 daN / m2
Vậy:
m1 m2 m3
1
1
gs
g
2
l
l
p B gd gc h
2
2
1
1
6
6
425 240 4.1 363 272 3.6
9.81
2
2
2
daN s 2
894
m
1
1 l
l
m4 g s p B g d
g
2 2
2
daN s 2
1
1
6
6
425
240
4.1
363
795
9.81
2
2
m
2
m1
Dao động đối xứng
m2
m1
3.6m
3.6m
m3
3.6m
3.6m
3m
m4
3.6m
m2
3.6m
m3
3.6m
m4
3.6m
2. Tính toán các tần số dao động riêng và các dạng dao động chính:
- Đây là hệ đối xứng mang các khối l-ợng đ-ợc bố trí đối xứng nên hệ sẽ dao động
riêng theo 2 dạng: dạng dao động riêng đối xứng và dạng dao động riêng phản xứng.
3m
Dao động phản xứng
* Dạng dao động riêng đối xứng:
- Sơ đồ tính nửa hệ nh- hình vẽ:
- Bỏ qua biến dạng dọc trục nên ta chỉ cần xét dạng dao động riêng phản xứng.
* Dạng dao động riêng phản xứng:
- Sơ đồ tính nửa hệ nh- hình vẽ:
- Hệ có n = 4 là chuyển vị ngang của khối l-ợng m1, m2 , m3, m4.
- Ph-ơng trình tần số có dạng:
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
Trang 24
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
11m 1 u i
21m 1
31m 1
12 m 2
22 m 2 u i
32 m 2
13m 3
23m 3
33m3 u i
14 m 4
24 m 4
34 m 4
41m 1
42 m 2
43m 3
44 m 4 u i
0
- Bằng ph-ơng pháp lực ta vẽ đ-ợc biểu đồ M 1 , M 2 , M 3 và M 4 nh- hình vẽ:
0 .0 7
0 .0 1
0 .3 2
0 .0 4 3
0 .0 5 3
0 .3 9
Z2 = 1
0 .2 2
2 .0 6
1 .6 7
0 .2 8
Z1 = 1
1 .5 4
1 .4 5
1 .1 7
1 .0 3
2 .5 7
2 .1 5
M daN .m
2 .5 7
1
M daN .m
2
2 .1 3
4
2 .1 3
0 .4
Z3 = 1
1 .4 7
2 .1 8
3 .2 9
1 .7 8
1 .4 2
1 .7 8
1 .7
3 .1 2
1 .9
1 .8 2
1 .6 2
3 .4
1 .9 8
0 .9 4
2 .8 4
0 .9 1
2 .8 9
2 .6 6
M daN .m
3
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
2 .6 9
M daN .m
4
Trang 25
