Toan 10_Ha Nam Đề thi (đề xuất) kỳ thi HSG các trường THPT Chuyên khu vực DH&ĐBBB lần thứ VIII, năm 2015

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN
VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
TRƯỜNG THPT CHUYÊN BIÊN HÒA
TỈNH HÀ NAM
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT

ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 10
NĂM 2015
Thời gian làm bài 180 phút
( Đề này gồm có 01 trang, gồm 05 câu)

Câu 1: (4 điểm)
Giải hệ phương trình
( 12 x + 8 y ) ( 25 − 24 xy ) = 16 9 x 2 + 17 y 2 + 105

36 x 2 + 16 y 2 + 12 x − 8 y = 7.

(

)

Câu 2: (4 điểm)
Cho hình thang ABCD với 2 đáy là AB = 16, CD = 12 đồng thời BC < AD. Biết
rằng hình thang ngoại tiếp đường tròn đường kính 12. Tính độ dài cạnh BC.
Câu 3: (4 điểm)
Cho hàm số f : ¢ → ¢ thỏa mãn f ( 0 ) ≠ 0 và đồng thời 2 điều kiện sau:
i ) f ( xy ) + f ( x ) f ( y ) = f ( x ) + f ( y )
∀x, y ∈ ¢ .
ii ) ( f ( x − y ) − f ( 0 ) ) f ( x ) f ( y ) = 0
Giả sử f ( 2 ) = 0 và f ( 10 ) ≠ 0 . Tìm tất cả các số nguyên n để f ( n ) ≠ 0 .
Câu 4: (4 điểm)

Cho các số thực a, b, c, d > 0 thỏa mãn abcd = 1. Chứng minh rằng
( a − 1) ( c + 1) + ( b − 1) ( d + 1) + ( c − 1) ( a + 1) + ( d − 1) ( b + 1) ≥ 0
1 + bc + c
1 + cd + d
1 + da + a
1 + ab + b
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 5: (4 điểm) Cho số nguyên dương n
a) Chứng minh rằng tồn tại tập S gồm 6n phần tử là các số nguyên dương phân biệt
sao cho bội chung nhỏ nhất của 2 số bất kì trong S không vượt quá 32n2 .
b) Chứng minh rằng với mọi tập T gồm 6n phần tử là các số nguyên dương phân
biệt, bao giờ cũng tồn tại 2 phần tử của T có bội chung nhỏ nhất lớn hơn 9n2 .
…………Hết…………
Người ra đề

Đào Quốc Huy