Đại số lớp 9 bài tập chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi đại số 9 phần 2

 
 

BI TẬP ẠI SỐ
CHUYN Ề BỒI DỠNG HỌC SINH GIỎI
V N THI VO LỚP 10
PHẦN II: HỚNG DẪN GIẢI
m2
m
1. Giả sử 7 l số hữu tỉ  7 
(tối giản). Suy ra 7  2 hay 7n2  m2
n
n
2
(1). ẳng thức ny chứng tỏ m  7 m 7 l số nguyn tố nn m  7. ặt m =

7k (k  Z), ta có m2 = 49k2 (2). Từ (1) v (2) suy ra 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2
(3). Từ (3) ta lại c n2  7 v v 7 l số nguyn tố nn n  7. m và n cùng chia
hết cho 7 nn phn số

m
khng tối giản, tri giả thiết. Vậy
n

7 khng phải l

số hữu tỉ; do  7 l số v tỉ.
2. Khai triển vế tri v ặt nhn tử chung, ta ợc vế ph
) vì (ad
2
bc) 0.

3. Cách 1 : Từ x + y = 2 ta c y = 2 - x. Do  : S = x2 + (2 - x)2 = 2(x - 1)2 +
2 2.
Vậy min S = 2  x = y = 1.
Cách 2 : p dụng bất ẳng thức Bunh
a = x, c = 1, b = y, d = 1,
2
2
2
Ta có :(x + y) (x + y )(1 + 1)  4
) = 2S  S.2  mim S = 2
khi x = y = 1
4. b) p dụng bất ẳng thức Cauchy
cc cặp số dng
bc
ca bc
ab ca
ab
và
;
và
;
và
a
b a
c b
bc ca
bc ca
 2
. 2
a

b
a b
c

từng vế ta
c) Với cc

lợt c:
2

bc ab
ca ab
ca ab
.  2b ;   2
.  2a cộng
a c
b
c
b c

ức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
g 3a v 5b , theo bất ẳng thức Cauchy ta c :

3a  5b
(3a + 5b)2  4.15P (vì P = a.b)  122  60P

2
12
12
P

 max P =
.
5
5

Dấu bằng xảy ra khi 3a = 5b = 12 : 2  a = 2 ; b = 6/5.
5. Ta có b = 1 - a, do  M = a3 + (1 - a)3 = -(3a2 + 3a) . Dấu = xảy ra khi a
= .
Vậy min M =  a = b = .
6. ặt a = 1 + x  b3 = 2 - a3 = 2 - (1 + x)3 = 1 - 3x - 3x2 -x3 = -(1 + 3x + 3x2
+x3 = -(1 + x)3.
Suy ra : b 1 x. Ta lại c a = 1 + x, nn : a + b 1 + x + 1 x = 2.
Với a = 1, b = 1 th a3 + b3 = 2 v a + b = 2. Vậy max N = 2 khi a = b = 1.
7. Hiệu của vế tri v vế phải bằng (a b)2(a + b).


 
 

8. Vì | a + b | 0 , | a b | 0 , nên : | a + b | > | a b |  a2 + 2ab + b2 a2 2ab
+ b2  4ab > 0  ab > 0. Vậy a v b l hai số cng dấu.
9. a) Xt hiệu : (a + 1)2 4a = a2 + 2a + 1 4a = a2 2a + 1 = (a 1)2 0.
b) Ta có : (a + 1)2 4a ; (b + 1)2 4b ; (c + 1)2 4c v cc bất ẳng thức ny c
hai vế ều dng, nn : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]2 64abc = 64.1 = 82. Vậy (a +
1)(b + 1)(c + 1) 8.
10. a) Ta có : (a + b)2 + (a b)2 = 2(a2 + b2). Do (a b)2 0, nên (a + b) 2
2(a2 + b2).
b) Xét : (a + b + c)2 + (a b)2 + (a c)2 + (b c)2. Khai triển v rt gọn, ta ợc :
3(a2 + b2 + c2). Vậy : (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2).
 2x  3  1  x

 3x  4
11. a) 2x  3  1  x  
 

 2x  3  x  1
x  2

4

x  3

x  2

b) x2 4x 5  (x 2)2 33  | x 2 | 3  -3 x 2 3
1 x 5.
2
2
c) 2x(2x 1) 2x 1  (2x 1) 0. Nhng (2x 1) 0 
thể : 2x 1
=0
Vậy : x = .
12. Viết ẳng thức  cho dới dạng : a2 +
d2 ab ac ad = 0 (1).
Nhn hai vế của (1) với 4 rồi a về dạng : a
(a 2c)2 + (a 2d)2 = 0
(2). Do  ta c :
a = a 2b = a 2c = a 2d =
= b = c = d = 0.
2
2

2
13. 2M = (a + b 2) + (a 1) + (b 1)
8 2.1998  M 1998.
Dấu = xảy ra khi c ồng thời

a


1 0
10



14. Giải tng tự bi
15. a ẳng thức 
16. A 

Vậy min M =1998a = b= 1.

ạ g : (x 1)2 + 4(y 1)2 + (x 3)2 + 1 = 0.
1

1
1
 . max A=  x  2 .
5
 x 2  5 5
2

x

17. a)
9  16  3  4  7 . Vậy 7  15 < 7
b) 17  5  1  16  4  1  4  2  1  7  49  45 .
c)

23  2 19 23  2 16 23  2.4


 5  25  27 .
3
3
3

d) Giả sử
3 2 2 3 



2

3 2

 


2 3



2

Bất ẳng thức cuối cng ng, nn :
18. Cc số  c thể l 1,42 v

 3 2  2 3  18  12  18  12 .
3 2  2 3.

2 3
2

19.Viết lại phng trnh dới dạng :
3(x  1)2  4  5(x  1)2  16  6  (x  1)2 .


 
 

Vế tri của phng trnh khng nhỏ hn 6, cn vế phải khng lớn hn 6. Vậy
ẳng thức chỉ xảy ra khi cả hai vế ều bằng 6, suy ra x = -1.
20. Bất ẳng thức Cauchy

ab
ab
viết lại dới dạng ab  
ab 

2
 2 

2

(*)

(a, b 0).
p dụng bất dẳng thức Cauchy dới dạng (*) với hai số dng 2x v xy
Ta ợc :
2

 2x  xy 
2x.xy  
 4
 2 

Dấu = xảy ra khi : 2x = xy = 4 : 2 tức l khi x = 1, y = 2.  max A = 2 
x = 2, y = 2.
21. Bất ẳng thức Cauchy viết lại dới dạng :
p dụng ta c S > 2.

1
2
.

ab a  b

1998
.
1999

22. Chứng minh nh bài 1.

x y
x2  y2  2xy (x  y)2
23. a)   2 

0
y x
xy
xy
 x2 y2   x y   x2
b) Ta có : A   2  2      
 y x   y x


y
2
x
y  x y
   .
 y x  y x
2

2

 x2 y2   x y 
 y 
Theo câu a :A   2  2   2  
  1    1   0
y  x 
y x  y x
 x4 y

x2 y2 
x y
a) Từ cu b suy ra :
 2  2   0 . Vì   2 (câu a).
y x
y x 
 x4 y
  x y
b) Do  : 
 2     2.
y x   y x

24. a) G
tỉ (v l)
b) Giả sử m +

2 = m (m : số hữu tỉ) 
3
= a (a : số hữu tỉ) 
n

2
2 =m 1 

3
=a m
n

2 l số hữu

3 = n(a m) 

3 l số hữu tỉ, v l.

25. C, chẳng hạn

2  (5  2)  5
x y
x2 y2
x2 y2
26. ặt   a  2  2  2  a 2 . Dễ dng chứng minh 2  2  2 nên
y x
y x
y x

a2 4, do 
| a | 2 (1). Bất ẳng thức phải chứng minh tng ng với : a2 2 + 4 3a
 a2 3a + 2 0  (a 1)(a 2) 0 (2)
Từ (1) suy ra a 2 hoặc a -2. Nếu a 2 th (2) ng. Nếu a -2 thì (2)
cng ng. Bi ton ợc chứng minh.
27. Bất ẳng thức phải chứng minh tng ng với :


 
 

x4z2  y4 x2  z4 x2   x2 z  y2 x  z2 y xyz
x2 y2z2

 0.

Cần chứng minh tử khng m, tức l : x3z2(x y) + y3x2 (y z) + z3y2(z x) 0.
(1)
Biểu thức khng ổi khi hon vị vng x
y z x nn c thể giả sử x l
số lớn nhất. Xt hai trờng hợp :
a) x y z > 0. Tch z x ở (1) thnh (x y + y z), (1) tng ng với :
x3z2(x y) + y3x2(y z) z3y2(x y) z3y2(y z) 0
 z2(x y)(x3 y2z) + y2(y z)(yx2 z3) 0
Dễ thấy x y 0 , x3 y2z 0 , y z 0 , yx2 z3 0 nn bất ẳng thức trn ng.
b) x z y > 0. Tch x y ở (1) thnh x z + z y , (1) tng ng với :
x3z2(x z) + x3z2(z y) y3x2(z y) z3y2(x z) 0
 z2(x z)(x3 zy2) + x2(xz2 y3)(z y) 0
Dễ thấy bất ẳng thức trn dng.
Cch khc : Biến ổi bất ẳng thức phải chứng minh t
với :
2

2

2

x  y  z  x y
  1    1    1    
y  z  x  




.

28. Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tổ
ữu tỉ a với số v tỉ b
l số hữu tỉ c. Ta c : b = c a. Ta thấy, hiệu
ữu tỉ c v a l số hữu
tỉ, nn b l số hữu tỉ, tri với giả thiết.
 số v tỉ.
2
2
29. a) Ta có : (a + b) + (a b) = 2(a
 (a + b)2 2(a2 + b2).
b) Xét : (a + b + c)2 + (a b)2 + (a c 2
Khai triển v rt gọn ta ợc :
2
2
2
2
2
2
3(a + b + c ). Vậy : (a + b + c) 3
b +c)
c) Tng tự nh câu b
30. Giả sử a + b > 2 
8  a3 + b3 + 3ab(a + b) > 8  2 +
3ab(a + b) > 8
 ab(a + b) > 2 
b) a3 + b3. Chia hai vế cho số dng a + b : ab
> a2 ab +
 (a b)2
Vậy a + b 2.

31. Cách
 x x ;  y y nên x +  y x + y. Suy ra  x +  y là
số nguyn khng vợt qu x + y (1). Theo ịnh ngha phần nguyn,  x  y là
số nguyn lớn nhất khng vợt qu x + y (2). Từ (1) v (2) suy ra :  x +  y
 x  y .
Cách 2 : Theo ịnh ngha phần nguyn : 0 x -  x < 1 ; 0 y -  y < 1.
Suy ra : 0 (x + y) (  x +  y ) < 2. Xt hai trờng hợp :
- Nếu 0 (x + y) (  x +  y ) < 1 thì  x  y =  x +  y (1)
- Nếu 1 (x + y) (  x +  y ) < 2 thì 0 (x + y) (  x +  y + 1) < 1 nên
 x  y =  x +  y + 1 (2). Trong cả hai trờng hợp ta ều c :  x +

 y +  x  y


 
 

32. Ta có x2 6x + 17 = (x 3)2 + 8 8 nn tử v mẫu của A l cc số dng ,
suy ra A > 0 do  : A lớn nhất 
Vậy max A =

1
nhỏ nhất  x2 6x + 17 nhỏ nhất.
A

1
 x = 3.
8

33. Khng ợc dng php hon vị vng quanh x

y z x v giả sử x
y z.
Cách 1 : p dụng bất ẳng thức Cauchy cho 3 số dng x, y, z :
A
x

y

z

x y z
x y z
   33 . .  3
y z x
y z x
x

y

z

Do  min      3     x  y  z
y z x
 y z x
x y z  x y  y z y
x y
           . Ta  c
 2 (do x,
y z x  y x  z x x
x y z

y
y > 0) nn ể chứng minh    3 ta cần chứng m
   1 (1)
x x
y z x

Cách 2 : Ta có :

(1)  xy + z2 yz xz (nhn hai vế với số d
 xy + z2 yz xz 0  y(x z) z(x
(2) ng với giả thiết rằng z l số nhỏ nhất t
Từ  tm ợc gi trị nhỏ nhất của

z)(y z) 0 (2)
số x, y, z, do  (1) ng.

x

y

34. Ta có x + y = 4  x2 + 2xy +
6. Ta lại c (x y)2 0  x2 2xy + y2
0. Từ  suy ra 2(x2 + y2) 16 
+ y 8. min A = 8 khi chỉ khi x = y = 2.
35. p dụng bất ẳng t
ho ba số khng m :
+ z 3. 3 xyz
(1)
2 = (x + y
+ (z + x) 3. 3 (x  y)(y  z)(z  x) (2)

Nhn từng
2) (do hai vế ều khng m) : 2 9. 3 A

 A =
9

3

1
2
ax A =   khi v chỉ khi x = y = z = .
3
9

36. a) C thể. b, c) Khng thể.
37. Hiệu của vế tri v vế phải bằng (a b)2(a + b).
1
4

với x, y > 0 :
xy (x  y)2
a
c
a 2  ad  bc  c2 4(a 2  ad  bc  c2 )



bc da
(b  c)(a  d)
(a  b  c  d)2

b
d
4(b2  ab  cd  d 2 )
Tng tự


cd a b
(a  b  c  d)2

38. p dụng bất ẳng thức

(1)
(2)

Cộng (1) với (2)
a
b
c
d
4(a 2  b2  c2  d 2  ad  bc  ab  cd)
= 4B




bc cd d a a b
(a  b  c  d)2


 

 

Cần chứng minh B

1
, bất ẳng thức ny tng ng với :
2

2B 1  2(a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) (a + b + c + d)2
 a2 + b2 + c2 + d2 2ac 2bd 0  (a c)2 + (b d)2 0 : ng.
39. - Nếu 0 x -  x < thì 0 2x - 2  x < 1 nên  2x = 2  x .
x -  x < 1 thì 1 2x - 2  x < 2  0 2x (2  x + 1) < 1   2x = 2

- Nếu

 x + 1
40. Ta sẽ chứng minh tồn tại cc số tự nhin m, p sao cho :
96000...00


 a + 15p < 97000...00



m chöõsoá0

Tức l 96
< 10k

a

15p
 m < 97
m
10
10

m chöõsoá0

(1). Gọi a + 15 l số c k chữ số : 10 k

1

a + 15

1
a
15
a 15p
 k  k  1 (2). ặt x n  k  k . Theo (2)
10 10 10
10 10
15
Ta có x1 < 1 và k < 1.
10



Cho n nhận lần lợt cc gi trị 2, 3, 4, …, cc
tng khng qu 1 n vị, khi   x n  sẽ trải

tng dần, mỗi lần
trị 1, 2, 3, ến một
n

a

15p

lc no  ta c  x p  = 96. Khi  96
tức l 96
< 97. Bất

10k 10k
ẳng thức (1) ợc chứng minh.
42. a) Do hai vế của bất ẳng hứ
g m nn ta c :
|A+ B|= |A|+ |B| 
+ B |2 = ( | A | + | B | )2

A2 + B2 + 2AB
+ 2| AB |  AB = | AB | (bất ẳng thức
ng). Dấu = xảy ra
b) Ta có : M = | x
3 | = | x + 2 | + | 3 x | | x + 2 + 3 x | = 5.
Dấu = xả
hi (x + 2)(3 x) 0  -2 x 3 (lập bảng xt dấu)
Vậy min
-2 x 3.
c) Phng
ho  | 2x + 5 | + | x 4 | = | x + 9 | = | 2x + 5 + 4 x |

 (2x + 5)(4 x) 0  -5/2 x 4
 x  1

43. iều kiện tồn tại của phng trnh : x2 4x 5 0  
x  5

ặt ẩn phụ x2  4x  5  y  0 , ta ợc : 2y2 3y 2 = 0  (y 2)(2y + 1) = 0.
45. Vô nghiệm
46. iều kiện tồn tại của x l x 0. Do  : A = x + x 0  min A = 0
 x = 0.
47. iều kiện : x 3. ặt 3  x = y 0, ta có : y2 = 3 x  x = 3 y2.
B = 3 y2 + y = - (y )2 +

13
4

13
13
11
. max B =
 y=  x=
.
4
4
4

48. a) Xét a2 và b2. Từ  suy ra a = b.


 

 

b) 5  13  4 3  5  (2 3  1)  4  2 3  3  1. Vậy hai số ny bằng
nhau.
c) Ta có :
n  2  n 1
n  2  n  1  1 và
n+1  n
n 1  n  1.













Mà n  2  n  1  n  1  n nên n+2  n  1  n  1  n .
49. A = 1 - | 1 3x | + | 3x 1 |2 = ( | 3x 1| - )2 +
.
Từ  suy ra : min A =  x = hoặc x = 1/6
51. M = 4
52. x = 1 ; y = 2 ; z = -3.
53. P = | 5x 2 | + | 3 5x | | 5x 2 + 3 5x | = 1. min P = 1 

2
3
 x .
5
5

54. Cần nhớ cch giải một số phng trnh dạng sau :
A  0 (B  0)
a) A  B  
A  B
B  0

d) A  B   A  B
 A  B


b)

B  0
A  B 
2
A  B

e) A  B  0

c

A  0
B  0
B  0

A 0

a) a phng trnh về dạng : A 
b) a phng trnh về dạng : A  B
c) Phng trnh c dạng : A  B
d) a phng trnh về dạng : A
e) a phng trnh về dạng : |
|B|=0
g, h, i) Phng trnh 
k) ặt x  1 = y 0,
rnh về dạng : | y 2 | + | y 3 | = 1 . Xt dấu
vế tri.
l) ặt :
3x  5  v  0 ; 7x  4  z  0 ; 2x  2  t  0 .
 z t
. Từ  suy ra : u = z tức l :
 2
2
2
2
u  v  z  t
8x  1  7x  4  x  3 .

Ta ợc hệ

55. Cách 1 : Xét
x2  y2  2 2(x  y)  x2  y2  2 2(x  y)  2  2xy  (x  y  2)2  0 .
2

x2  y2 

x2  y2
2 2
8
Cách 2 : Biến ổi tng ng
2
x y
x

y



 (x2 + y2)2 -8(x- y)2  0 (x2 + y2)2 - 8(x2 + y2 )  0 
(x2 + y2)2 - 8(x2 + y2) + 16  0  (x2 + y2+ 4)2  0.
Cách 3 : Sử dụng bất ẳng thức Cauchy :


 
 
x2  y2 x2  y2  2xy  2xy (x  y)2  2.1
2
1


 (x  y) 
 2 (x  y).
x y
xy

xy
xy
x y

(x > y).
Dấu ẳng thức xảy ra khi x 

6 2
6 2
; y
hoặc
2
2

 6 2
 6 2
; y
2
2
2
1 1 1
 1 1 1
 1 1 1  1 1 1 2(c b a
62.      2  2  2  2     2  2  2 
=
a b c
abc
 a b c
 ab bc ca a b c
1 1 1

= 2  2  2 . Suy ra iều phải chứng minh.
a b c
 x  6
 x2  16x  60  0
(x  6)(x  10)  0

63. iều kiện : 

 
 x  10 .
x

6
x

6

0


x

Bình phng hai vế : x2 16x + 60 < x2 12x + 36 
Nghiệm của bất phng trnh  cho : x 10.
64. iều kiện x2 3. Chuyển vế : x2  3 x
ặt thừa chung :

x 2  3 .(1 -

x2  3

x   3

 x  2

1  x 2  3  0
 x  2

3  0

Vậy nghiệm của bất phng tr h
 3 ; x 2 ; x -2.
2 2
2
2
65. Ta có x (x + 2y 3) + (y
1  (x2 + y2)2 4(x2 + y2) + 3 = - x2 0.
Do  : A2 4A + 3 0
A 3) 0  1 A 3.
min A = 1  x = 0,
. max A = 3  x = 0, khi  y = 3 .
66. a) x 1
b) B c n

4  x  4

x  4  2 2
1
   x  42 2 .


2
  x  4  2 2

x   1

2
2

x(x  2)  0
x  2
x  2x  0
67. a) A c ngha  
 2

2
2
x  0
x  x  2x

x   x  2x

2
 4  x  4
16  x  0


 (x  4)2  8 
2x  1  0
x 2  8x  8  0


1

x  

2

b) A = 2 x2  2x với iều kiện trn.
c) A < 2 
2  kq

x 2  2x < 1  x2 2x < 1  (x 1)2 < 2  - 2 < x 1 <


 
 

68. ặt 0,999...99


 = a. Ta sẽ chứng minh 20 chữ số thập phn ầu tin của
20chöõsoá9

a l cc chữ số 9. Muốn vậy chỉ cần chứng minh a <
2

a < 1. Thật vậy ta

2

có : 0 < a < 1  a(a 1) < 0  a a < 0  a < a. Từ a2 < a < 1 suy ra a <

a < 1.
Vậy 0,999...99


  0,999...99


.
20 chöõsoá9

20chöõsoá9

69. a) Tm gi trị lớn nhất. p dụng | a + b | | a | + | b |.
A | x | + 2 + | y | + 1 = 6 + 2  max A = 6 + 2 (khi chẳng hạn x = 2, y = - 3)
b) Tm gi trị nhỏ nhất. p dụng | a b | | a | - | b .
A | x | - 2 | y | - 1 = 4 - 2  min A = 4 - 2 (khi chẳng hạn x = 2, y =
3)
70. Ta có : x4 + y4 2x2y2 ; y4 + z4 2y2z2 ; z4 + x4 2
uy ra :
4
4
4
2 2
2 2
2 2
x +y +z xy +yz +zx
Mặt khc, dễ dng chứng minh ợc : Nếu a + b +

1 th a2 + b2 + c2

1
.
3

Do  từ giả thiết suy ra : x2y2 + y2z2 + z2x2
Từ (1) , (2) : min A =

1
 x= y=
3

71. Làm nh bài 8c ( 2). Thay vì so s
n  2  n  1 và n  1  n
n  2  n 1  n  1

3
3
n  n  2 và 2 n+1 ta so sánh

:
 n  2  2 n 1 .

72. Cách 1 : Viết cc
ới dấu cn thnh bnh phng của một tổng
hoặc một hiệu
Cách 2 : T
a A.
73. p dụ
b)(a b) = a2 b2.
74. Ta ch g

bằng phản chứng.
a) Giả sử tồn tại số hữu tỉ r mà 3  5 = r  3 + 2 15 + 5 = r2 
r2  8
15 
. Vế tri l số v tỉ, vế phải l số hữu tỉ, v l. Vậy
2

3  5 l số

v tỉ.
b), c) Giải tng tự.
75. a) Giả sử a > b rồi biến ổi tng ng :
3 3  3  2 2 1  3 3  2 2  2
2

  



2

 3 3  2 2  2  27  8  4  8 2  15  8 2  225  128 . Vậy a > b
l ng.
b) Bình phng hai vế ln rồi so snh.
76. Cách 1 : ặt A =

4  7  4  7 , rõ ràng A > 0 và A2 = 2  A =

2

 
 

Cách 2 : ặt B =
 B =0.
77
Q

4  7  4  7  2  2.B  8  2 7  8  2 7  2  0

2  3  2.3  2.4  2 4

2 3 4

.
78. Viết





2 3 4  2



2 3 4

2 3 4

40  2 2.5 ; 56  2 2.7 ; 140  2 5.7 . Vậy P =

  1

2

2 5 7.

79. Từ giả thiết ta c : x 1  y2  1  y 1  x2 . Bình phng hai vế của ẳng
thức ny ta ợc : y  1  x2 . Từ  : x2 + y2 = 1.
80. Xét A2 ể suy ra : 2 A2 4. Vậy : min A = 2  x = 1 ; max A = 2 
x = 0.
81. Ta có : M 



2

a b

 


2

a b

 


2

a b



 2a 


 a b
maxM  2  
ab
2

a  b  1

82. Xt tổng của hai số :

2a  b  2 cd    2c  d  2 ab   a  b  2
=  a  c   a  b    c  d   a
2

2

83. N  4 6  8 3  4 2  18  1
=

2



2





32 2 2 2 32 

84. Từ x  y  z  xy



 

z

x



2

 2 3  2  2.



x
2

y

4 6 4 2 2 =
2 3 2 2

2

x y 



2 cd  a  c =



0.

Vậy x = y
85. p dụ
ng thức Cauchy cho 1 v ai ( i = 1, 2, 3, n ).
86. p dụ g bất ẳng thức Cauchy với hai số a + b 0 v 2 ab 0, ta có :
a  b  2 ab  2 2(a  b) ab hay



a b



2

 2 2(a  b) ab .

Dấu = xảy ra khi a = b.
87. Giả sử a b c > 0. Ta c b + c > a nn b + c + 2 bc > a hay



b c

2

  a

2

Do  : b  c  a . Vậy ba oạn thẳng a , b , c lập ợc thnh một
tam giác.
88. a) iều kiện : ab 0 ; b 0. Xt hai trờng hợp :
* Trờng hợp 1 : a 0 ; b > 0 : A 

b.( a  b)
a
a b
a



 1 .
b

b
b. b
b