Một số bài toán biên của phương trình vật lý toán

MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ TOÁN

Phương pháp tách biến giải các bài toán biên cho phương trình dao ñộng
§1. Bài toán dao ñộng của dây với hai mút x = 0 và x = ℓ cột chặt
1. Dao ñộng tự do của dây với hai mút x = 0 và x = ℓ cột chặt
Phương trình dao ñộng : utt = a 2uxx (0 < x < ℓ, t > 0) (1)
ðiều kiện biên :
u (0, t ) = u (ℓ, t ) = 0
(2)
ðiều kiện ñầu :
u ( x, 0) = ϕ( x) , ut ( x, 0) = ψ ( x) (3)
Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) dưới dạng : u ( x, t ) = X ( x)T (t ) . Thay biểu thức này vào
phương trình (1) ta ñược phương trình : X ( x)T ''(t ) = a 2 X ''( x)T (t ) ⇒

X ''( x) T ''(t )
=
= −λ 2 . Từ ñó ta
X ( x) a 2T (t )

tìm ñược các phương trình cho các hàm X ( x) và T (t ) như sau :
T ''(t ) + a 2 λ 2T (t ) = 0
(4)

2
(5)
 X ''( x) + λ X ( x) = 0
Từ ñiều kiện biên (2) ta có :
u (0, t ) = X (0)T (t ) = 0 ⇒ X (0) = 0
u (ℓ, t ) = X (ℓ)T (t ) = 0 ⇒ X (ℓ) = 0
Nghiệm tổng quát của phương trình (5) có dạng : X ( x) = C1 cos λx + C2 sin λx

Từ ñiều kiện X (0) = 0 ⇒ C1 = 0 ;
Từ ñiều kiện X (ℓ) = 0 ⇒ λC2 sin λℓ = 0 ⇒ λℓ = nπ (n = 1, 2,..) .
nπ
nπx
(6) ; chọn C2 = 1 , ta ñược : X n ( x) = sin
(7)
ℓ
ℓ
Khi λ = λ n , phương trình (4) trở thành : T ''(t ) + a 2λ n2T (t ) = 0 ; Nghiệm tổng quát của phương trình
nπat
nπat
này có dạng : Tn (t ) = an cos aλ nt + bn sin aλ nt = an cos
+ bn sin
(8).
ℓ
ℓ

Từ ñó ta nhận ñược : λ = λ n =

Như vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) có dạng :
∞
nπat
nπat 
nπx

(9)
sin
u ( x, t ) = ∑  an cos
+ bn sin


ℓ
ℓ 
ℓ
n =1 
Từ ñiều kiện ñầu (3) và biểu thức (9) cho u ( x, t ) ta có :
∞
nπx
(10)
u ( x, 0) = ∑ an sin
= ϕ ( x)
ℓ
n=1

∞

ut ( x,0) = ∑
n =0

nπa
nπx
= ψ ( x) (11)
bn sin
ℓ
ℓ
ℓ

Từ (10) và (11) ta tìm ñược :

2
nπx

an = ∫ ϕ( x)sin
dx
ℓ 0
ℓ
ℓ

2
nπx
bn =
ψ( x)sin
dx
∫
nπa 0
ℓ
Thay các biểu thức tìm ñược của an , bn vào (9) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm .
Các bài tập áp dụng :
1. Tìm các dao ñộng ngang của dây gắn chặt tại hai mút x = 0, x = ℓ , nếu vận tốc ban ñầu bằng
không và dạng ban ñầu của dây là một cung parabol ñối xứng với ñường vuông góc qua trung
ñiểm của dây.
32h ∞
1
(2k + 1)πat
(2k + 1)πx
ðS : u ( x, t ) = 3 ∑
cos
sin
3
π k =0 (2k + 1)
ℓ
ℓ

2. Một dây chiều dài ℓ ñược gắn chặt tại các mút x = 0, x = ℓ . ðiểm x = c xủa nó ñược kéo lên
1


khỏi vị trí cân bằng một ñoạn h nhỏ và lúc t = 0 dây ñược thả ra không vận tốc ñầu. Tìm dao
ñộng của dây ở thời ñiểm t > 0 .
∞
2hℓ 2
1
nπc
nπat
nπx
sin
cos
sin
ðS : u ( x, t ) = 2
∑
2
π c(ℓ − c) n=1 n
ℓ
ℓ
ℓ
3. Tìm các dao ñộng bé của dây chiều dài l ( 0 ≤ x ≤ ℓ ) với các mút gắn chặt nếu ở thời ñiểm ñầu
tiên dây ở trạng thái yên nghỉ và một ñoạn (a,b) của nó ( 0 < a < b < ℓ ) ñược truyền cho một vận
tốc ban ñầu không ñổi bằng v0
4. Tìm các dao ñộng bé của dây chiều dài l ( 0 ≤ x ≤ ℓ ) với các mút gắn chặt nếu ñộ lệch ban ñầu
của các ñiểm trên dây bằng không và ở thời ñiểm ñầu tiên dây ñược truyền cho một xung lực tập
trung với cường ñộ I tại x0 ( 0 < x0 < ℓ ).
ðS : u (x , t ) =

n πx 0
2I ∞ 1
n πat
n πx
sin
sin
sin
∑
πaρ n =1 n
l
l
l

5. Một sợi dây ñàn hồi chiều dài ℓ ( 0 ≤ x ≤ ℓ ) với các mút gắn chặt. Trước lúc t = 0 dây ở trạng
thái cân bằng dưới tác dụng của lực F0 ñặt tại x0 trên dây và vuông góc với vị trí cân bằng của
dây.Lúc t = 0, tác dụng của lực F0 triệt tiêu. Tìm dao ñộng của dây lúc t >0
6. Một sợi dây ñàn hồi chiều dài ℓ(0 ≤ x ≤ ℓ) với các mút gắn chặt ñược kích thích dao ñộng bằng
cách truyền cho nó một vận tốc ban ñầu có dạng :
khi
0 ≤ x ≤ x0 − δ
0

 π( x − x0 ) 

ut ( x,0) = v0 cos 
khi
x0 − δ ≤ x ≤ x0 + δ

 2δ 


khi x0 −δ ≤ x ≤ ℓ
0
Tìm dao ñộng của dây lúc t > 0 nếu ñộ lệch ban ñầu của dây bằng 0
7. Xác ñịnh dao ñộng của dây hữu hạn gắn chặt tại các mút x = 0, x = ℓ biết rằng ñộ lệch ban
ñầu của dây bằng 0 còn vận tốc ban ñầu của dây cho bởi :

π
v0 cos( x − c) khi | x − c |<

2
ut ( x,0) = 

π
khi | x - c |>
0
2

ðS : u ( x, t ) =

4v0
πa

∞

∑
n =1

nπc
nπ
cos

l
2l sin nπat sin nπx
2 2
l
l
 nπ 
n 1 −

l 


sin

8. Xác ñịnh dao ñộng của dây gắn chặt tại mút x = 0 còn mút x = ℓ chuyển ñộng theo quy luật
A sin ωt . Biết rằng ñộ lệch ban ñầu và vận tốc ban ñầu của dây bằng 0.
ωx
sin ωt
2 Aωa ∞
(−1) n +1
nπat
nπx
a
+
sin
sin
∑
2
ωl
l n =1 2  nπa 
l

l
sin
ω
−


a
 l 

A sin

ðS : u ( x, t ) =

9. Giải phương trình :

utt = a 2 u xx + f ( x) (0 < x < ℓ, t > 0)

u (0, t ) = α, u (ℓ, t ) = β ; u ( x, 0) = 0 , ut ( x, 0) = 0
Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng u ( x, t ) = v( x, t ) + W ( x) , trong ñó : W ( x) thoả mãn phương
trình a 2W ''( x) + f ( x) = 0 với ñiều kiện : W (0) = α,W (ℓ) = β . Khi ñó , hàm v( x, t ) sẽ là nghiệm của
bài toán biên sau : vtt = a 2vxx (0 < x < ℓ, t > 0)
v(0, t ) = v(ℓ, t ) = 0;
v( x, 0) = −W ( x), vt ( x, 0) = 0

2


∞

ðS : u ( x, t ) = v( x, t ) + W ( x) , trong ñó : v( x, t ) = ∑ an cos

n =1

nπat
nπx
với :
sin
ℓ
l

ℓ y
x y


2
nπx
β−α
1 
x 
an = − ∫ W ( x) sin
dx và W ( x) =
x + α − 2 ∫  ∫ f (ξ)d ξ  dy + 2 ∫  ∫ f (ξ) d ξ  dy
ℓ0
ℓ
a 0 0
ℓ
ℓa 0  0


2. Dao ñộng cưỡng bức của dây với mút x = 0 và mút x = ℓ cột chặt
Phương trình dao ñộng : utt = a 2uxx + f ( x, t ) (0 < x < ℓ, t > 0) (1)

ðiều kiện biên :
u (0, t ) = u (ℓ, t ) = 0
(2)
ðiều kiện ñầu :
u ( x, 0) = ut ( x, 0) = 0 (3)
ℓ

Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) dưới dạng :
∞

u ( x, t ) = ∑ un (t )sin
n =1

nπx
(4).
ℓ

Thay biểu thức này vào phương trình (1) ta tìm ñược phương trình cho un (t ) dưới dạng :
2

 nπa 
u (t ) + 
 un (t ) = f n (t ) (5)
 ℓ 
''
n

ℓ

2

Trong ñó : f n (t ) = ∫ f ( x, t )sin λ n xdx . Từ ñiều kiện ñầu (3), ta tìm ñược ñiều kiện cho hàm un (t )
ℓ0

như sau : un (0) = un' (0) = 0 (6) . Nghiệm của (5) thoả mãn ñiều kiện ñầu (6) có dạng :
ℓ
 nπa

u n (t ) =
f n (t )sin 
(t − τ)  d τ (7)
∫
nπa 0
 ℓ

t

Thay (7) và0 (4) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm.
Chú ý : Nghiệm của (5) có thể ñược tìm bằng phương pháp hệ số bất ñịnh như sau :
+ Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng với (5) có dạng :
un(0) (t ) = an cos

nπat
nπat
+ bn sin
ℓ
ℓ

+ Giả sử un (t ) là một nghiệm riêng của (5), thì nghiệm tổng quát của (5) có dạng :
un (t ) = un(0) (t ) + un (t ) = an cos

nπat
nπat
+ bn sin
+ un (t )
ℓ
ℓ

+ Từ các ñiều kiện ñầu (6), ta có thể xác ñịnh các hệ số an , bn .
Các bài tập áp dụng :
πx
(0 < x < ℓ, t > 0)
ℓ
u (0, t ) = u (ℓ, t ) = 0 ; u ( x, 0) = 0 , ut ( x, 0) = 0

utt = a 2 u xx + Ae− t sin

1. Giải phương trình :

aπt ℓ
aπt 
πx
 −t
+ sin
 e − cos
 sin
ℓ
aπ
ℓ 
ℓ
 aπ  

1+  
 ℓ 
2. Giải phương trình :
utt = a 2 u xx + Axe− t (0 < x < ℓ, t > 0)
A

ðS : u ( x, t ) =

2

u (0, t ) = u (ℓ, t ) = 0 ; u ( x, 0) = 0 , ut ( x, 0) = 0

ðS : u ( x, t ) =

2ℓA ∞
∑
π n =1

3. Giải phương trình :
4. Giải phương trình :

(−1)n +1

nπat
ℓ
nπat 
nπx
 −t
+
sin

 e − cos
 sin
ℓ
nπa
ℓ 
ℓ
 nπa  
1+ 

 ℓ 
2

utt = u xx + sin tsin2πx (0 < x < 1, t > 0)
u (0, t ) = u (1, t ) = 0; u ( x,0) = ut ( x,0) = 0
utt = u xx + 1 (0 < x < 1, t > 0)
u (0, t ) = u (1, t ) = 0; u ( x,0) = ut ( x,0) = 0
3


utt = a 2u xx + b sh x (0 < x < ℓ, t > 0)
u (0, t ) = u (ℓ, t ) = 0; u ( x,0) = ut ( x,0) = 0
utt = u xx + bx(ℓ − x) (0 < x < ℓ, t > 0)
u (0, t ) = u (ℓ, t ) = 0; u ( x,0) = ut ( x,0) = 0

5. Giải phương trình :
6. Giải phương trình :

utt = u xx (0 < x < π, t > 0)

7. Giải phương trình :

u (0, t ) = t 2 , u (π, t ) = t 3 ; u ( x, 0) = sin x , ut ( x, 0) = 0

Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng : u ( x, t ) = v( x, t ) + W ( x, t ) , trong ñó W ( x, t ) chọn dưới dạng
W ( x, t ) = t 2 +

x 3 2  x 2 x 3
(t − t ) = 1 −  t + t . Khi ñó v( x, t ) là nghiệm của bài toán biên sau :
π
π
 π
2
vtt = a vxx + f ( x, t ) (0 < x < π, t > 0)
v(0, t ) = v(π, t ) = 0
 x  6 xt
v( x, 0) = sin x, vt ( x, 0) = 0
với f ( x, t ) = −Wtt = −2 1 −  −
 π π



x

x

4

1 

∞

ðS : u ( x, t ) = 1 −  t 2 + t 3 + cos t sin x + ∑ 3 ( −1) n 3t − 1 + cos nt −
π
π
π n



utt = u xx (0 < x < π, t > 0)
n =1

8. Giải phương trình :


(−1) n 3
sin nt  sin nx
n


u (0, t ) = e− t , u (π, t ) = t ; u ( x, 0) = sin x cos x , ut ( x, 0) = 1

Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng : u ( x, t ) = v( x, t ) + W ( x, t ) , trong ñó W ( x, t ) chọn dưới dạng
W ( x, t ) = e − t +

x
xt
 x
(t − e −t ) = 1 −  e− t + . Khi ñó v( x, t ) là nghiệm của bài toán biên sau :
π
π

 π
2
vtt = a vxx + f ( x, t ) (0 < x < π, t > 0)
v(0, t ) = v(π, t ) = 0
 x
v( x, 0) = sin x, vt ( x, 0) = 0
với f ( x, t ) = −Wtt = − 1 −  e −t
 π


x

xt

1

2

∞

1





1



ðS : u ( x, t ) = 1 −  e−t + + cos 2t sin 2 x − ∑
e − t + n 2 cos nt −  2n +  sin nt  sin nx

2
π 2
π n =1 n(n + 1) 
n
 π


9. Xác ñịnh dao ñộng của dây gắn chặt tại hai mút x = 0, x = ℓ trong môi trường có lực cản tỷ lệ
với vận tốc, biết các ñiều kiện ñầu u ( x, 0) = ϕ ( x ) , ut ( x,0) = ψ( x ) .
§2. Bài toán dao ñộng của dây với mút x = 0 cột chặt còn mút x = l ñể tự do
1. Dao ñộng tự do của dây với mút x = 0 cột chặt còn mút x = l ñể tự do.
Phương trình dao ñộng : utt = a 2u xx (0 < x < l , t > 0) (1)
ðiều kiện biên :
u (0, t ) = ux (l , t ) = 0
(2)
ðiều kiện ñầu :
u ( x, 0) = ϕ( x) , ut ( x, 0) = ψ ( x) (3)
Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) dưới dạng : u ( x, t ) = X ( x)T (t ) . Thay biểu thức này vào
phương trình (1) ta ñược phương trình : X ( x)T ''(t ) = a 2 X ''( x)T (t ) ⇒

X ''( x) T ''(t )
= 2
= −λ 2 . Từ ñó ta
X ( x) a T (t )

tìm ñược các phương trình cho các hàm X ( x) và T (t ) như sau :
2 2

T ''(t ) + a λ T (t ) = 0

2
 X ''( x) + λ X ( x) = 0

Từ ñiều kiện biên (2) ta có :

(4)
(5)

u (0, t ) = X (0)T (t ) = 0 ⇒ X (0) = 0
u x (l , t ) = X '(l )T (t ) = 0 ⇒ X '(l ) = 0

4


Nghiệm tổng quát của phương trình (5) có dạng : X ( x) = C1 cos λx + C2 sin λx . Từ ñiều kiện
(2n + 1)π
(n = 0,1,..) .
2
(2n + 1)π
(2n + 1)πx
Từ ñó ta nhận ñược : λ = λ n =
(6) ; chọn C2 = 1 , ta ñược : X n ( x) = sin
(7)
2l
2l
Khi λ = λ n , phương trình (4) trở thành : T ''(t ) + a 2λ n2T (t ) = 0 ; Nghiệm tổng quát của phương trình
(2n + 1)πat
(2n + 1)πat

này có dạng : Tn (t ) = an cos aλ nt + bn sin aλ nt = an cos
+ bn sin
(8).
2l
2l
X (0) = 0 ⇒ C1 = 0 ; Từ ñiều kiện X '(l ) = 0 ⇒ λC2 cos λl = 0 ⇒ λl =

Như vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) có dạng :
∞
(2n + 1)πat
(2n + 1)πat 
(2n + 1)πx

(9)
u ( x, t ) = ∑  an cos
+ bn sin
sin

2l
2l
2l

n=0 
Từ ñiều kiện ñầu (3) và biểu thức (9) cho u ( x, t ) ta có :

∞

(2n + 1)πx
= ϕ ( x)
(10)

2l
n =0
∞
(2n + 1)πa
(2n + 1)πx
= ψ( x) (11)
ut ( x,0) = ∑
bn sin
2
l
2
l
n=0

u ( x, 0) = ∑ an sin

l

Từ (10) và (11) ta tìm ñược :

2
(2n + 1)πx
an = ∫ ϕ( x)sin
dx
l 0
2l
l

4
(2n + 1)πx

bn =
ψ ( x )sin
dx
∫
(2n + 1)πa 0
2l
Thay các biểu thức tìm ñược của an , bn vào (9) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm .
Các bài tập áp dụng :
1. Giải phương trình :
utt = a 2 u xx (0 < x < l , t > 0)
u (0, t ) = ux (l , t ) = 0 ; u( x, 0) = x, ut ( x, 0) = sin

πx
3πx
+ sin
2l
2l

2l
aπt
πx 2l
3aπt
3πx
sin
sin +
sin
sin
aπ
2l
2l 3aπ

2l
2l
2. Giải phương trình :
utt = u xx (0 < x < π, t > 0)

ðS :

u ( x, t ) =

x
, ut ( x, 0) = 1
2
Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng : u ( x, t ) = v( x, t ) + W ( x, t ) , trong ñó W ( x, t ) chọn sao cho :
W (0, t ) = t ,Wx (π, t ) = 1 . Ta có thể chọn : W ( x, t ) = x + t . Khi ñó v( x, t ) là nghiệm của bài toán biên
u (0, t ) = t , ux (π, t ) = 1 ; u ( x, 0) = sin

sau :

vtt = a 2 vxx (0 < x < π, t > 0)
v(0, t ) = vx (l , t ) = 0
x
− x , vt ( x, 0) = ut ( x, 0) − Wt ( x, 0) = 0
2
t
x 8 ∞ (−1) k
(2k + 1)t
(2k + 1) x
ðS : u ( x, t ) = x + t + cos sin − ∑
cos
sin

2
2
2 π k =0 (2k + 1)
2
2
v( x, 0) = u ( x, 0) − W ( x, 0) = sin

3. Một dây ñồng chất chiều dài ℓ ñược gắn chặt tại mút x = 0 , mút x = ℓ ñược nối với một vòng
không khối lượng, vòng này có thể trượt theo một thanh nhẵn thẳng ñứng và nó lệch khỏi vị trí
cân bằng một ñoạn h , vào lúc t = 0 nó ñược thả ra. Tìm dao ñộng của dây lúc t > 0 .
2. Dao ñộng cưỡng bức của dây với mút x = 0 cột chặt còn mút x = l ñể tự do.
Phương trình dao ñộng : utt = a 2uxx + f ( x, t ) (0 < x < l , t > 0) (1)
ðiều kiện biên :
u (0, t ) = u x (l , t ) = 0 (2)
5


ðiều kiện ñầu :
u ( x, 0) = ut ( x, 0) = 0 (3)
Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) dưới dạng :
∞

u ( x, t ) = ∑ un (t )sin λ n x (4) với λ n =
n=0

(2n + 1)π
.
2l

Thay biểu thức này vào phương trình (1) ta tìm ñược phương trình cho un (t ) dưới dạng :

un'' (t ) + a 2 λ 2n un (t ) = f n (t ) (5)
l

2
Trong ñó : f n (t ) = ∫ f ( x, t )sin λ n xdx . Từ ñiều kiện ñầu (3), ta tìm ñược ñiều kiện cho hàm un (t )
l 0

như sau : un (0) = un' (0) = 0 (6) . Nghiệm của (5) thoả mãn ñiều kiện ñầu (6) có dạng :
1
u n (t ) =
aλ n

t

∫ f (t ) sin [ aλ
n

n

(t − τ) ] d τ (7)

0

Thay (7) và0 (4) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm.
Chú ý : Nghiệm của (5) có thể ñược tìm bằng phương pháp hệ số bất ñịnh như sau :
+ Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng với (5) có dạng :
un(0) (t ) = an cos(aλ n t ) + bn sin(aλ n t )

+ Giả sử un (t ) là một nghiệm riêng của (5), thì nghiệm tổng quát của (5) có dạng :
un (t ) = un(0) (t ) + un (t ) = an cos(aλ n t ) + bn sin( aλ nt ) + un (t )

+ Từ các ñiều kiện ñầu (6), ta có thể xác ñịnh các hệ số an , bn .
Bài tập áp dụng :
1. Giải phương trình :
utt = a 2 u xx + A sin t (0 < x < l , t > 0)
u (0, t ) = ux (l , t ) = 0 ; u ( x, 0) = 0 , ut ( x, 0) = 0

2l
(2k + 1) πat 
(2k + 1)πx
sin t −
sin
sin


(2k + 1)πa
2l
2l
  (2k + 1)πa 
 

(2k + 1)  
−
1


2l
 

§3. Bài toán dao ñộng của dây với mút x = l cột chặt còn mút x = 0 ñể tự do

1. Dao ñộng tự do của dây với mút x = l cột chặt còn mút x = 0 ñể tự do.
Phương trình dao ñộng : utt = a 2u xx (0 < x < l , t > 0) (1)

ðS : u ( x, t ) =

4A ∞
∑
π k =0

1

2

ðiều kiện biên :
u x (0, t ) = u (l , t ) = 0
(2)
u ( x, 0) = ϕ( x) , ut ( x, 0) = ψ ( x) (3)
ðiều kiện ñầu :
Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) dưới dạng : u ( x, t ) = X ( x)T (t ) . Thay biểu thức này vào
phương trình (1) ta ñược phương trình : X ( x)T ''(t ) = a 2 X ''( x)T (t ) ⇒

X ''( x) T ''(t )
= 2
= −λ 2 . Từ ñó ta
X ( x) a T (t )

tìm ñược các phương trình cho các hàm X ( x) và T (t ) như sau :
2 2
T ''(t ) + a λ T (t ) = 0


2
 X ''( x) + λ X ( x) = 0

(4)
(5)

u x (0, t ) = X '(0)T (t ) = 0 ⇒ X '(0) = 0
u (l , t ) = X (l )T (t ) = 0 ⇒ X (l ) = 0
Nghiệm tổng quát của phương trình (5) có dạng : X ( x) = C1 cos λx + C2 sin λx . Từ ñiều kiện
(2n + 1)π
(n = 0,1,..) .
X '(0) = 0 ⇒ C2 = 0 ; Từ ñiều kiện X (l ) = 0 ⇒ C1 cos λl = 0 ⇒ λl =
2
(2n + 1)π
(2n + 1)πx
(6) ; chọn C1 = 1 , ta ñược : X n ( x) = cos
(7)
Từ ñó ta nhận ñược : λ = λ n =
2l
2l

Từ ñiều kiện biên (2) ta có :

6


Khi λ = λ n , phương trình (4) trở thành : T ''(t ) + a 2λ n2T (t ) = 0 ; Nghiệm tổng quát của phương trình
này có dạng : Tn (t ) = an cos aλ nt + bn sin aλ nt = an cos

(2n + 1)πat

(2n + 1)πat
+ bn sin
(8).
2l
2l

Như vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) có dạng :
∞
(2n + 1)πat
(2n + 1)πat 
(2n + 1)πx

(9)
u ( x, t ) = ∑  an cos
+ bn sin
cos

2l
2l
2l

n=0 
Từ ñiều kiện ñầu (3) và biểu thức (9) cho u ( x, t ) ta có :
∞
(2n + 1)πx
u ( x, 0) = ∑ an cos
= ϕ( x) (10)
2l
n=0
∞

(2n + 1)πa
(2 n + 1)πx
ut ( x, 0) = ∑
bn cos
= ψ ( x) (11)
2l
2l
n=0
l
2
(2n + 1) πx
Từ (10) và (11) ta tìm ñược :
an = ∫ ϕ( x) cos
dx
l 0
2l

4
(2n + 1)πx
dx
ψ ( x ) cos
∫
(2k + 1)πa 0
2l
l

bn =

Thay các biểu thức tìm ñược của an , bn vào (9) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm .
Bài tập áp dụng

1. Giải phương trình :
utt = a 2 u xx (0 < x < l , t > 0)
πx
3πx
5πx
, ut ( x, 0) = cos
+ cos
2l
2l
2l
πat
πx 2l
3πat
3πx 2l
5πat
5πx
ðS : u ( x, t ) = cos
cos +
sin
cos
+
sin
cos
2l
2l 3aπ
2l
2l 5aπ
2l
2l
2. Dao ñộng cưỡng bức của dây với mút x = l cột chặt còn mút x = 0 ñể tự do.

Phương trình dao ñộng : utt = a 2uxx + f ( x, t ) (0 < x < l , t > 0) (1)
u x (0, t ) = u (l , t ) = 0 ; u( x, 0) = cos

u x (0, t ) = u (l , t ) = 0 (2)
ðiều kiện biên :
ðiều kiện ñầu :
u ( x, 0) = ut ( x, 0) = 0 (3)
Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) dưới dạng :
∞

u ( x, t ) = ∑ un (t ) cos λ n x (4) với λ n =
n =0

(2n + 1)π
.
2l

Thay biểu thức này vào phương trình (1) ta tìm ñược phương trình cho un (t ) dưới dạng :
un'' (t ) + a 2 λ 2n un (t ) = f n (t ) (5)
l

2
Trong ñó : f n (t ) = ∫ f ( x, t ) cos λ n xdx . Từ ñiều kiện ñầu (3), ta tìm ñược ñiều kiện cho hàm un (t )
l 0

như sau :
un (0) = un' (0) = 0 (6)
Nghiệm của (5) thoả mãn ñiều kiện ñầu (6) có dạng :
1
u n (t ) =

aλ n

t

∫ f (t ) sin [ aλ
n

n

(t − τ) ] d τ (7)

0

Thay (7) và0 (4) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm.
Chú ý : Nghiệm của (5) có thể ñược tìm bằng phương pháp hệ số bất ñịnh như sau :
+ Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng với (5) có dạng :
un(0) (t ) = an cos(aλ n t ) + bn sin(aλ n t )

+ Giả sử un (t ) là một nghiệm riêng của (5), thì nghiệm tổng quát của (5) có dạng :
un (t ) = un(0) (t ) + un (t ) = an cos(aλ n t ) + bn sin( aλ nt ) + un (t )
+ Từ các ñiều kiện ñầu (6), ta có thể xác ñịnh các hệ số an , bn .

7


Bài tập áp dụng
1. Giải phương trình :

πx
(0 < x < l , t > 0)

2l
u x (0, t ) = u (l , t ) = 0 ; u ( x, 0) = 0 , ut ( x, 0) = 0

utt = a 2 u xx + Ae− t cos

aπt 2l
aπt 
πx
 −t
+ sin
 e − cos
 cos
2l aπ
2l 
2l
 aπ  
1+  
 2l 
§4. Bài toán dao ñộng của dây với các mút x = 0 và x = l ñể tự do
1. Dao ñộng tự do của dây với các mút x = 0 và x = l ñể tự do.
Phương trình dao ñộng : utt = a 2u xx (0 < x < l , t > 0) (1)

ðS : u ( x, t ) =

A

2

ðiều kiện biên :
u x (0, t ) = ux (l , t ) = 0

(2)
ðiều kiện ñầu :
u ( x, 0) = ϕ( x) , ut ( x, 0) = ψ ( x) (3)
Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) dưới dạng : u ( x, t ) = X ( x)T (t ) . Thay biểu thức này vào
phương trình (1) ta ñược phương trình : X ( x)T ''(t ) = a 2 X ''( x)T (t ) ⇒

X ''( x) T ''(t )
=
= −λ 2 . Từ ñó ta
X ( x) a 2T (t )

tìm ñược các phương trình cho các hàm X ( x) và T (t ) như sau :
T ''(t ) + a 2 λ 2T (t ) = 0
(4)

2
(5)
 X ''( x) + λ X ( x) = 0
u x (0, t ) = X '(0)T (t ) = 0 ⇒ X '(0) = 0
Từ ñiều kiện biên (2) ta có :
u x (l , t ) = X '(l )T (t ) = 0 ⇒ X '(l ) = 0
+ Khi λ = 0 , phương trình (5) trở thành : X ''( x) = 0 ⇒ X ( x) = Ax + B . Từ ñiều kiện
X '(0) = X '(l ) = 0 ta tìm ñược : A = 0 , B ≠ 0 . Ta có thể chọn B = 1 . Như vậy khi λ = λ 0 = 0 ,

phương trình (5) có nghiệm : X 0 ( x) = 1 .
Lúc này phương trình (4) trở thành T ''(t ) = 0 ⇒ T0 (t ) = a0 + b0t
+ Khi λ ≠ 0 , nghiệm tổng quát của phương trình (5) có dạng : X ( x) = C1 cos λx + C2 sin λx
Từ ñiều kiện X '(0) = 0 ⇒ C2 = 0 ; Từ ñiều kiện X '(l ) = 0 ⇒ λC1 sin λl = 0 ⇒ λl =

nπ

(n ∈ ℕ) .
l

nπ
nπx
; chọn C2 = 1 , ta ñược : X n ( x) = cos
l
l
2 2
Khi λ = λ n , phương trình (4) trở thành : T ''(t ) + a λ nT (t ) = 0 ; Nghiệm tổng quát của phương trình
nπat
nπat
này có dạng : Tn (t ) = an cos aλ nt + bn sin aλ nt = an cos
+ bn sin
l
l

Từ ñó ta nhận ñược : λ = λ n =

Như vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) có dạng :
∞
∞
nπat
nπat 
nπx

(6)
u ( x, t ) = ∑ X n ( x )Tn (t ) = a0 + b0t +∑  an cos
+ bn sin
cos


l
l 
l
n=0
n =1 
Từ ñiều kiện ñầu (3) và biểu thức (6) cho u ( x, t ) ta có :
∞
nπx
u ( x, 0) = a0 + ∑ an cos
= ϕ( x) (7)
l
n =1
∞
nπa
nπx
ut ( x, 0) = b0 + ∑
bn cos
= ψ ( x) (8)
l
n =0 l

1
2
nπx
ϕ( x) dx , an = ∫ ϕ( x) cos
dx ( n > 1)
∫
l0
l 0

l
l

Từ (7) và (8) ta tìm ñược : a0 =

1
2
nπx
ψ( x) dx , bn =
ψ( x) cos
dx (n > 1)
∫
∫
l0
nπa 0
l
l

b0 =

l

l

8


Thay các biểu thức tìm ñược của an , bn vào (6) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm .
Bài tập áp dụng.
utt = a 2 u xx (0 < x < l , t > 0)

1. Giải phương trình :
u x (0, t ) = ux (l , t ) = 0 ; u ( x, 0) = x , ut ( x, 0) = 1
l
2

ðS : u ( x, t ) = t + −

4l
π2

2. Giải phương trình :

∞

1

∑ (2k + 1)
k =0

2

cos

(2k + 1)πat
(2k + 1)πx
cos
l
l

utt = a 2 u xx (0 < x < l , t > 0)

x
x
Aach
a , u ( x, 0) = −
a
u x (0, t ) = 0, ux (l , t ) = Ae − t ; u ( x, 0) =
t
l
l
sh
sh
a
a
−t
Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng u ( x, t ) = v( x, t ) + e f ( x) . Trong ñó f ( x) chọn sao cho thoả
Aach

mãn ñiều kiện sau : a 2 f ''( x) − f ( x) = 0 , f '(0) = 0, f '(l ) = A . Khi ñó, v( x, t ) là nghiệm của bài toán
biên sau :
vtt = a 2 vxx (0 < x < l , t > 0)
v(0, t ) = v(l , t ) = 0 , v( x, 0) = u ( x, 0) − f ( x) , vt ( x, 0) = ut ( x, 0) + f ( x)
Aa − t x
e ch .
ðS : u ( x, t ) =
l
a
sh
a
2. Dao ñộng cưỡng bức của dây với các mút x = 0 và x = l ñể tự do.

Phương trình dao ñộng : utt = a 2uxx + f ( x, t ) (0 < x < l , t > 0) (1)
u x (0, t ) = ux (l , t ) = 0 (2)
ðiều kiện biên :
ðiều kiện ñầu :
u ( x, 0) = ut ( x, 0) = 0 (3)
Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) dưới dạng :
∞

u ( x, t ) = ∑ un (t ) cos λ n x (4) với λ n =
n =0

nπ
.
l

Thay biểu thức này vào phương trình (1) ta tìm ñược phương trình cho un (t ) dưới dạng :
un'' (t ) + a 2 λ 2n un (t ) = f n (t ) (5)
l

Trong ñó : f n (t ) =

2
f ( x, t ) cos λ n xdx . Từ ñiều kiện ñầu (3), ta tìm ñược ñiều kiện cho hàm un (t )
l ∫0

như sau :
un (0) = un' (0) = 0 (6)
+ Khi n = 0 , phương trình (5) trở thành :
u0'' (t ) = f 0 (t ) (7)
với ñiều kiện ñầu (6) trở thành :

u0 (0) = u0' (0) = 0 (8)
τ

Nghiệm của (7) thoả mãn ñiều kiện (8) có dạng : u0 (t ) = ∫ d τ  ∫ f n (ξ)d ξ  (9)
0
0

+ Khi n > 0 , nghiệm của (5) thoả mãn ñiều kiện ñầu (6) có dạng :
t
1
u n (t ) =
f n (t ) sin [ aλ n (t − τ) ] d τ (10)
aλ n ∫0
t

Thay (9) và (10) vào (4) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm dưới dạng :
∞

u ( x, t ) = u0 (t ) + ∑ un (t ) cos λ n x
n =1

Chú ý : Nghiệm của (5) khi n > 0 có thể ñược tìm bằng phương pháp hệ số bất ñịnh như sau :
+ Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng với (5) có dạng :
un(0) (t ) = an cos(aλ n t ) + bn sin(aλ n t )

9


+ Giả sử un (t ) là một nghiệm riêng của (5), thì nghiệm tổng quát của (5) có dạng :
un (t ) = un(0) (t ) + un (t ) = an cos(aλ n t ) + bn sin( aλ nt ) + un (t )

+ Từ các ñiều kiện ñầu (6), ta có thể xác ñịnh các hệ số an , bn .
Bài tập áp dụng
1. Giải phương trình :
utt = a 2 u xx + f ( x) (0 < x < l , t > 0)
u x (0, t ) = α, u x (l , t ) = β ; u ( x, 0) = ϕ( x) , ut ( x, 0) = ψ ( x)

Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng : u ( x, t ) = v( x, t ) + W ( x)
với : W ( x) = (a1 x 2 + b1 x)α + (a2 x 2 + b2 x)β , các hệ số a1 , a2 , b1 , b2 ñược chọn sao cho hàm W ( x) thoả
mãn ñiều kiện biên W '(0) = α , W '(l ) = β .
ðS : u ( x, t ) =

Trong ñó :

f
β−α 2
x + αx + ϕ0 + ψ 0t + 0 t 2 +
2l
2
2
2
∞ 


nπat
l
nπat 
nπx
 l 
 1 

+ ∑ 
+
ϕ
−
+
ϕ
f
f
cos
sin


 cos
n
n
 n

 n
l
nπa
l 
l
 nπa 
n =1  nπa 




δn l 
δn l 

(β − α)a 2 
nπx
(β − α) x 2
nπx
f n = ∫  f ( x) +
cos
dx
ϕ
=
ϕ
(
x
)
−
− αx  cos
dx
,
n


∫
l 0
l
l
l 0
2l
l


ψn =

δn l
nπx
ψ ( x) cos
dx , δ0 = 1, δ k = 2 (k = 1, 2,...)
∫
l 0
l

utt = a 2 u xx + sin 2t (0 < x < l , t > 0)
2
2l
2x
u x (0, t ) = 0, ux (l , t ) = sin sin 2t ; u ( x, 0) = 0 , ut ( x, 0) = −2 cos
a
a
a
Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng u ( x, t ) = v( x, t ) + f ( x) sin 2t . Trong ñó f ( x) ñược chọn sao
2
2l
cho thoả mãn ñiều kiện sau : a 2 f ''( x) + 4 f ( x) = −1, f '(0) = 0, f '(l ) = sin
. Khi ñó v( x, t ) là
a
a
nghiệm của bài toán biên sau :
vtt = a 2 vxx (0 < x < l , t > 0)
vx (0, t ) = vx (l , t ) = 0 , v( x, 0) = 0 , vt ( x, 0) = ut ( x, 0) − 2 f ( x)

2. Giải phương trình :

ðS : u ( x, t ) = −  + cos  sin 2t .
2 4
a 
t

1

2x

10