Hình học lớp 9 chuyên đề cực trị

CỰC TRỊ HNH HỌC
A-Phng php giải bi ton cực trị hnh học.
1- Hớng giải bi ton cực trị hnh học :
a) Khi tm vị tr của hnh H trn miền D sao cho biểu thức f c gi trị lớn nhất ta
phải chứng tỏ ợc :
+Với mọi vị tr của hnh H trn miền D thì f ≤ m ( m l hằng số )
+Xc ịnh vị tr của hnh H trn miền D sao cho f = m
b) Khi tm vị tr của hnh H trn miền D sao cho biểu thức f c gi trị nhỏ nhất ta
phải chứng tỏ ợc :
+Với mọi vị tr của hnh H trn miền D thì f ≥ m ( m l hằng số )
+Xc ịnh vị tr của hnh H trn miền D ể f = m
2 - Cch trnh by lời giải bi ton cực trị hnh học .
+ Cách1 :Trong cc hnh c tnh chất của ề bi,chỉ
ồi chứng minh
mọi hnh khc ều c gi trị của ại lợng phải tm cực trị nhỏ hn ( hoặc lớn hn )
gi trị của ại lợng  của hnh  chỉ ra.
+ Cách2 :Biến ổi tng ng iều kiệ
ng ny ạt cực trị bởi ại
lợng khc ạt cực trị cho ến khi trả lời ợc c
m ề bi yu cầu.
V dụ : Cho ờng trn (O) v iểm P
ong ờng tròn( P khng trng với
O).Xc ịnh vị tr của dy i qua iểm P s
dy  c ộ di nhỏ nhất.
Giải :
+Cách 1 :
Gọi AB l dy vung gc vớ
tại P , v dy CD l dy bất kỳ i qua P và
khng trng với AB ( h.1)
Kẻ OH  CD .
C

OHP vung tạ
< OP  CD > AB
O
Nh vậ
c dy i qua P , dây vuông góc
H
với OP tại P c
hỏ nhất .
B
A
P
+Cách
D
Xt dy AB bất kỳ i qua P ( h.2). Kẻ OH  AB
h .1
Theo lin hệ giữa dy v khoảng cch ến tm:
A
AB nhỏ nhất  OH lớn nhất
O
Ta lại c OH ≤ OP
H
OH = OP  H ≡ P
Do  maxOH = OP
P
B
Khi  dy AB vung gc với OP tại P.
h .2

B-Cc kiến thức thờng dng giải bi ton cực trị hnh học.
1- Sử dụng quan hệ giữa ờng vung gc , ờng xin , hnh chiếu .

a-Kiến thức cần nhớ:

www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online 

Page 1 


A

B

A

C

h.3

K

A

a

a

b
H

B

H
h.5

C
h.4

B

a1) ABC vung tại A (c thể suy biến thnh oạn thẳng)  AB ≤ BC .
Dấu “=” xảy ra  A ≡ C . ( h.3 )

a2) ( h.4 )
+ AH  a  AH ≤ AB .
+ AB < AC  HB < HC

Dấu “=” xảy ra  B ≡ H .

a3)( h.5 )
A,K a; B, H b; a // b ; HK  a  HK ≤ AB
Dấu “=” xảy ra  A ≡ K và B ≡ H .
b-Cc v dụ:
V dụ 1: Trong cc hnh bnh hnh c hai
no c diện tch lớn nhất ? Tnh diện tch lớn nh
Giải :
B

A

C
H O

bằng 6 cm v 8 cm ,hnh
B
O≡H

C

D
D

h.6

h.7

Xét hình b
có AC = 8 cm; BD = 6 cm ( h.6)
Gọi O l g
ờng cho . Kẻ BH  AC .
Ta có : SA
ABC = AC.BH
Ta có AC = 8cm, BH ≤ BO = 3cm. Do  :
SABCD ≤ 8.3 = 24 (cm2)
SABCD = 24 cm2  BH ≡ BO  H ≡ O  BD AC
Vậy max SABCD = 24 cm2 . Khi ó hình bình hành ABCD là hình thoi (h.7) c diện
tích 24cm2.
V dụ 2: Cho hnh vung ABCD . Trn cc cạnh
E K
B
AB,BC ,CD,DA ta lấy theo thứ tự cc iểm E,F,G,H A
sao cho AE = BF = CG = DH . Xc ịnh vị tr của

F
cc iểm E, F,G,H sao cho tứ gic EFGH có chu vi
nhỏ nhất .
O
Giải :
H
HAE = EBF = FCG = GHD
 HE = EF = FG = GH
C
D
G

www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online 
h.8

Page 2 


 EFGH là hình thoi .

AHE  BEF
 AHE  AEH  900  BEF  AEH  900
 HEF  900
 EFGH là hình vuông
Gọi O l giao iểm của AC v EG . Tứ gic AECG c AE = CG, AE //CG nên là
hình bình hành suy ra O l trung iểm của AC v EG , do  O l tm của cả hai hnh
vuông ABCD và EFGH.
HOE vuông cân : HE2 = 2OE2  HE = OE 2
Chu vi EFGH = 4HE = 4 2 OE . Do  chu vi EFGH nhỏ nhất  OE nhỏ nhất
Kẻ OK AB  OE ≥OK ( OK khng ổi )

OE = OK  E ≡ K
Do  minOE = OK
Nh vậy , chu vi tứ gic EFGH nhỏ nhất khi v chỉ kh
rung iểm của
AB , BC, CD, DA.
V dụ 3: Cho oạn thẳng AB c ộ dài 2a .V
pha của AB cc tia Ax và
By vung gc với AB . Qua trung iểm của M
hai ờng thẳng thay ổi
lun vung gc với nhau v cắt Ax, By theo thứ
D .xc ịnh vị tr của cc
iểm C,D sao cho tam gic MCD c diện
t .Tnh diện tch tam gic .
Giải:
x
y
Gọi K l giao iểm của CM v DB
D
MA = MB ; A  B  900 , AMC
12
 MAC = MBK  MC = M
Mặt khc DM  CK
H
 DCK cân  D1
Kẻ MH  CD
C
MHD =
= MB = a
 SMCD =

2

H ≥

1
1
AB.MH = 2a.a= a2
2
2

SMCD = a2  CD  Ax khi  AMC = 450 ;
BMD =450.
Vậy min SMCD = a2 . Cc iểm C,D ợc xc ịnh
trên Ax; By sao cho AC = BC =a .
A
V dụ 4: Cho tam giác ABC có B là góc
t , iểm D di chuyển trn cạnh BC . Xc
ịnh vị tr của iểm D sao cho tổng cc
khoảng cch từ B v C ến ờng thẳng AD
c gi trị lớn nhất .
H
Giải:
Gọi S l diện tch ABC Khi D di chuyển
www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online 

A

B

M

K
h.9

E
B

C

D
F

h.10
Page 3 


trn cạnh BC ta c :
SABD + SACD = S
Kẻ BE AD , CF  AD
1
2

1
2

 AD.BE + AD.CF = S
2S
AD
Do  BE + CF lớn nhất  AD nhỏ nhất hình chiếu HD nhỏ nhất
Do HD ≥ HB ( do ABD >900 ) và HD = HB  D ≡ B

Vậy Khi D ≡ B th tổng cc khoảng cch từ B v C ến AD c gi trị lớn nhất .
2- Sử dụng quan hệ giữa ờng thẳng v ờng gấp khc.
a-Kiến thức cần nhớ:
Với ba iểm A,B,C bất kỳ ta c : AC +CB ≥ AB
AC +CB = AB  C thuộc oạn thẳng AB
b-Các v dụ:
V dụ 5:Cho góc xOy v iểm A nằm trong   Xc ịnh iểm B thuộc tia
Ox, iểm C thuộc tia Oy sao cho OB = OC v tổ
l nhỏ nhất .
Giải:
m
Kẻ tia Om nằm ngoi gc xOy sao
y
yOm  xOA . Trn tia Om lấy iểm D
D
cho OD = OA . Cc iểm D v A cố ịn
OD =OA, OC = OB , COD  BO
C
 DOC = AOB  C
A
Do  AC +AB = AC
Mà AC +CD ≥ AD
O
AC +AB
AD
B
x
Xảy ra ẳ
ỉ khi C AD
h.11

Vậy min(
=AD . Khi  C l
giao iểm của
y , B thuộc tia Ox sao cho OB = OC.
V dụ 6:Cho hnh chữ nhật ABCD v iểm E thuộc cạnh AD . Xc ịnh vị tr cc
iểm F thuộc cạnh AB , G thuộc cạnh BC , H thuộc cạnh CD sao cho tứ gic EFGH
c chu vi nhỏ nhất.
Giải :
 BE +CF =

F

A

B

I
K

E

M

D

F

A

B

I
G

E

K
G

C

H
h.12
www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online 

M

D
H

C

h.13
Page 4 


Gọi I ,K, L theo thứ tự l trung iểm của EF, EG , EH (h.12).
AEF vung tại A c AI l trung tuyến  AI =1/2EF
CGH vung tại C c CM l trung tuyến  CM =1/2GH
IK l ờng trung bnh của  EFG  IK = 1/2FG

KM l ờng trung bnh của EGH  KM = 1/2EH
Do  : chu vi EFGH = EF +FG +GH +EH =2(AI + IK + KM + MC)
Ta lại c : AI + IK + KM + MC ≥ AC
Suy ra chu vi EFGH ≥ 2AC ( ộ di AC khng ổi )
Chu vi EFGH nhỏ nhất bằng 2AC  A,I,K,M,C thẳng hàng.
Khi  ta c EH//AC,FG//AC, AEI  EAI  ADB nn EF//DB , tng tự GH//DB
.Suy ra tứ gic EFGH l hnh bnh hnh c cc cạnh song song với cc ờng cho
của hnh chữ nhật ABCD (h.13).
3- Sử dụng cc bất ẳng thức trong ờng trn.
a-Kiến thức cần nhớ:
C

D
A

H

A

C
O

B

O

C
K

h.14

B

B
A

D
h.15

D

C

D

B

A
h.16

h.17

a1) AB l ờng knh , CD l d bấ
 CD ≤ AB (h.14)
a2) OH,OK l cc khoảng cch t
ến dy AB v CD :
AB ≥ CD  OH ≤ O
a3) AB,CD l cc cun
) : AB ≥ CD  AOB  COD (h.16)
a4) AB,CD

ủa (O) : AB ≥ CD  AB  CD
(h.17)
b-Cc v d
V dụ 7: Cho hai ờng trn (O) v (O’) cắt nhau ở A v B . một ct tuyến chung
bất kỳ CBD (B nằm giữa C v D) cắt cc ờng trn (O) v (O’) tại C v D . Xc
ịnh vị tr của ct tuyến CBD ể ACD c chu vi lớn nhất.
Giải:
1
1
A
s C = s AmB ; s D = s AnB
2
2
D
 số o cc gc ACD khng ổi
O
O’
 ACD c chu vi lớn nhất khi một
n m
cạnh của n lớn nhất , chẳng hạn AC l lớn
nhất.
D’
C’
B
AC l dy của ờng trn (O) , do  AC
lớn nhất khi AC l ờng knh của ờng
C

www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online 

h.18
Page 5 


trn (O), khi  AD l ờng knh của ờng trn (O’). Ct tuyến CBD ở vị tr
C’BD’ vung gc với dy chung AB.
V dụ 8: Cho ờng trn (O) v một iểm P nằm trong ờng trn . Xc ịnh dy
AB i qua P sao cho OAB c gi trị lớn nhất .
Giải:
Xt tam gic cn OAB , gc ở y OAB lớn nhất nếu
gc ở ỉnh AOB nhỏ nhất .
B’
1
O
AOB  s AB
2
)
B
Góc AOB nhỏ nhất  Cung AB nhỏ nhất  dây A
H P
AB nhỏ nhất  Khoảng cch ến tm OH lớn nhất.
Ta c OH ≤ OP
OH =OP  H ≡ P nn max OH = OP  AB  OP
h.19
Suy ra dy AB phải xc ịnh l dy A’B’ vung gc
với OP tại P .
4- Sử dụng bất ẳng thức về ly thừa bậc h
a-Kiến thức cần nhớ:
Cc bất ẳng thức về ly thừa bậc hai ợc
g

i dạng :
2
2
A ≥ 0 ; A ≤ 0
Do  với m l hằng số , ta c :
f =A2 + m ≥ m ; min f = m với A
f =  A2 + m ≤ m ; max f = m ới
0
b-Cc v dụ:
4-x
V dụ 9: Cho hnh v
c cạnh bằng 4cm .
B
A x E
Trn cc cạnh AB, BC CD
eo thứ tự cc iểm E,
F, G, H sao ch AE
= D . Tnh ộ di AE sao
4-x
F
cho tứ gic EF
hỏ nhất.
Giải:
AHE = BE
C G = DGH
H
0
 HE = EF = FG = GH , HEF = 90
 HEFG là hình vuông nên chu vi EFGH nhỏ nhất khi
C

HE nhỏ nhất .
D
G
ặt AE = x th HA = EB = 4-x
h.20
HAE vung tại A nn :
HE 2 = AE2 +AE2 = x2 + (4  x)2 = 2x2  8x +16 = 2(x  2)2 +8 ≥ 8
HE = 8 =2 2  x = 2
Chu vi tứ gic EFGH nhỏ nhất bằng 8 2 cm , khi  AE = 2 cm .
V dụ 10: Cho tam gic vung ABC c ộ di cc cạnh gc vung AB = 6 cm,
AC = 8cm.M l iểm di chuyển trn cạnh huyền BC.Gọi D v E l chn cc ờng
vung gc kẻ từ M ến AB v AC . Tnh diện tch lớn nhất của tứ gic ADME.
www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online 

Page 6 


Giải:
ADME là hình chữ nhật .
A
ặt AD = x th ME = x
x
EM CE
x CE
4
D
8- 4 x
ME //AB 

 

 CE  x
3
AB CA
6
8
3
E
4
 AE = 8  x
B
C
M
3
h.21
4
4 2
Ta có : SADME = AD .AE = x ( 8  x ) = 8x  x
3
3
4
=  (x  3)2 +12 ≤ 12
3
2
SADME = 12 cm  x =3
Diện tch lớn nhất của tứ gic ADME bằng 12 cm2 ,khi 
rung iểm của
AB , M l trung iểm của BC v E l trung iểm của AC.
5- Sử dụng bất ẳng thức C-si .
a-Kiến thức cần nhớ:
Bất ẳng thức C-si :Với x ≥ 0 ; y ≥ 0 ta có

Dấu “=” xảy ra

hi x = y

Bất ẳng thức C-si thờng ợc sử
2
x  y

2
2
+ Dạng 1: x  y 

+ Dạng 2:

 x  y

xy

2



i cc dạng sau :
Dấu “=” xảy ra khi v chỉ khi x = y

y



 x  y

;



1
4



1
2

2

x2  y2

 x  y

xy

2

Dấu “=” xảy ra khi v chỉ khi x = y
+ Dạng 3:Với x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x +y khng ổi th xy lớn nhất khi v chỉ khi x = y
+ Dạng4: Với x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; xy không ổi th x+y nhỏ nhất khi v chỉ khi x = y
b-Cc v dụ:
V dụ 11: Cho oạn thẳng AB, iểm M di chuyển trn oạn thẳng ấy . Vẽ cc
ờng trn c ờng knh MA v MB
. Xc ịnh vị tr của iểm M ể tổng
diện tch của hai hnh trn c gi trị

nhỏ nhất .
O
O’
M
A
B
Giải :


ặt MA =x , MB = y
y
x
Page 7 

www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online 
h.22


Ta có : x + y =AB (0 < x,y < AB)
Gọi S v S’ theo thứ tự l diện tch của hai hnh trn c ờng knh l MA v MB
.
Ta có :
2

2

x2  y2
 x
 y
S +S’ =        = .

4
 2
 2
2

2

Ta c bất ẳng thức : x  y

 x  y
S +S’  .

 x  y

2

2

nên :

2

AB2
= .
8
8
Dấu ẳng thức xảy ra khi v chỉ khi x = y
AB2
Do  min (S+S’) = .
.Khi  M l trung iểm củ A

8
V dụ 12: Cho iểm M nằm trn oạn thẳng AB .Vẽ
pha của AB cc tia
Ax v By vung gc với AB . Qua M c hai ờng ẳ
ay ổi lun vung gc với
nhau v cắt Ax, By theo thứ tự tại C v D . Xc
của cc iểm C,D sao cho
tam gic MCD c diện tch nhỏ nhất .
Giải :
y
1
Ta có : SMCD = MC.MD
D
2
x

ặt MA = a , MB = b
AMC  BDM 
C
a
MC =
, MD =
cos
s
A a (
1
B
b
M
SMCD =

2
h.23
Do a,b l
n SMCD nhỏ nhất  2sin.cos lớn nhất .
Theo bất ẳng thức 2xy  x2 +y2
ta có :
2
2
2sin.cos  sin  +cos  = 1 nên SMCD ≥ ab
SMCD = ab  sin = cos  sin = sin(900)   = 900   = 450
 AMC và BMD vuông cân.
Vậy min SMCD = ab .Khi  cc iểm C,D ợc xc ịnh trên tia Ax ; By sao cho
AC = AM , BD = BM .
V dụ 13: Cho ABC , iểm M di ộng trn cạnh BC . Qua M kẻ cc ờng
thẳng song song với AC v với AB , chng cắt AB v AC theo thứ tự ở D v E.Xc
ịnh vị tr của iểm M sao cho hnh bnh hnh ADME c diện tch lớn nhất.
Giải :
A
www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online 

D

K

Page 8 


SADME
lớn nhất
SABC

Kẻ BK  AC cắt MD ở H.
SADME = MD . HK
1
SABC = AC . BK
2
SADME
MD HK
 2.
.
SABC
AC BK
ặt MB = x , MC = y ,
MD BM
x
MD//AC ta có :


AC BC x  y
xy
1
Theo bất ẳng thức 

2
 x  y 4
SADME lớn nhất 

HK MC
y



BK BC x  y
SADME
2xy


SABC
;

Dấu ẳng thức xảy ra khi x = y
1
Vậy
maxSADME = SABC khi  M l trun
BC.
2
V dụ 14: Cho  ABC vuông cân c cạnh
= a . Gọi D l trung iểm
của AB. iểm E di chuyển trn cạnh AC
theo thứ tự l chn cc ờng
vung gc kẻ từ D, E ến BC . Tnh diện
nhất của hnh thang DEKH . Khi 
hnh thang trở thnh hnh g ?
Giải:
Ta có :
2SDEKH = (DH +EK).HK
KC ) .HK
M (BH + KC) +HK
ng ổi
a
Nên (BH KC) H
t BH + KC) = HK =

2
Do  :
a2
B
max SDEKH = . . 
2 2 2 8
H
a
Khi  ờng cao HK = suy ra :
2
D
a
a
a
K
KC = BC BH –HK = a   =
2 2
4
a
a
Do  DH = HB = , EK = KC = .
4
4
C
A
E
Hnh thang DEKH l hnh chữ nhật , E l trung
h.25
iểm của AC.

www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online 

Page 9 


6- Sử dụng tỉ số lợng gic.
a-Kiến thức cần nhớ:
Hệ thức giữa cạnh v gc trong tam gic vung

B
a

c

+ b = a.sinB = a.cosC
+ b = c.tgB = c.cotgC

A

b
h.26

C

b-Cc v dụ:
V dụ 15: Chứng minh rằng trong cc tam gic cn c cng diện tch tam gic c
cạnh y nhỏ hnlà tam gic c gc ở ỉnh nhỏ hn.
Giải:
A
Xt cc tam gic ABC cn tại A c cng

diện tch S. Kẻ ờng cao AH . ặt BAC = 
AHC vung tại H, ta c :

HAC  ,
B
C
H
2
h.27
 1

AH = HC .cotg = BC.cotg
2 2
2
1
1
1

Do  : S = BC.AH = BC. BC.c
C 2cotg
2
2
2
4
2
4S

 BC =
 2 S.t g


2
cot g
2
Do S khng ổi nn :


BC nhỏ nhất  tg
nhỏ nhất   nhỏ nhất  BAC nhỏ nhất
2
V dụ 16:
hật ABCD. Trn cc cạnh BC,CD lần lợt lấy cc iểm
K,M sao cho B
= 4 : 1, CM : MD = 4 : 1.Tm tỉ số AB : BC ể số o góc KAM
lớn nhất .
t gx  t gy
B
( Cho cng thức biến ổi tg( x +y )=
) A
x
1  t gx.t gy
y
Giải:
ặt BAK  x , DAM  y ( x + y < 900 )
K

KAMlớn nhất  BAK + DAM nhỏ nhất
 x + y nhỏ nhất  tan (x + y) nhỏ nhất
Giả sử AB : BC = 1 : m ( m> 0)
BK BK BC 4m


.

tg x =
AB BC AB 5

www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online 

D

C

M
h.28

Page 10