Phương pháp viết phương trình mặt phẳng và phương trình đường thẳng

Phơng pháp tọa độ trong không gian Oxyz-Gv Nguyễn Đức Đắc - Nguyễn HuệNam định
1. phơng trình mặt phẳng
vit pt mt phng em cú 2 cỏch c bn :
<1>. Xỏc nh 1 im v 1 VTPT
<2>. Hoc gi ptmp dng Ax+By+Cz+D=0 ri da vo gi thit tỡm A,B,C,D.
Vy khi no s dng cỏch 1 , khi no s dng cỏch 2 thỡ
r em phõn bit cỏc dng bi sau:
Dng 1: Vit PT mp i qua A(x0; y0 ;z0) v cú VTPT n =(A;B;C)
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
Ax + By + Cz + D = 0

Dng 2:Vit pt mt phvng i qua A(x0; y0 ;z0) v // mp (Q)
- T ptmp(Q)
VTPT n Q = (A;B;C)
v v
- Vỡ (P) // (Q)
VTPT n P = n Q = (A;B;C)
v
- PT mp (P) i qua A v cú VTPT n P

Dng 3: Vit pt mpr i qua A(x0; y0 ;z0) v vuụng gúc vi ng thng d
- T (d)
VTCP u d = (A;B;C)
r r
- Vỡ (P) vuụng gúc vi (d)
Chn VTPT n P= u d =(A;B;C)
r
Vit ptmp (P) i qua A v cú vtpt n P.

Dng 4: Vit ptmp i qua A v r (Q) , (R)
r

- T pt mp (Q) v (R)
VTPT n Q ; VTPT n R
- Vỡ (P) (Q) v (R)

r

r

r

r

r

r

r

VTPT n P nQ v n P n R

Chn n P = [ n Q; n R]
r
r r
- Vy pt mp (P) i qua A v cú VTPT n P = [ n Q; n R]
Dng 5: Viuuu
quauuu
r mp r(P) iuuu
uuur t Pt
r 3 rim A,B,C khụng thng hng
- Tớnh AB , AC v a = [ AB , AC ]

r r uuur uuur
- PT mp (P) i qua A v cú VTPT n P= a = [ AB , AC ]

Dng 6: Vit ptmp
A,Brv (Q)
r (P) i quauuu
uuur
r
- Tớnh AB , vtpt n Q v tớnh [ AB , n Q]
r uuur r
- Vỡ A, B (P) ; (Q) (P) nờn chn n P=[ AB , n Q]
- Vit ptmp (P)

1


Phơng pháp tọa độ trong không gian Oxyz-Gv Nguyễn Đức Đắc - Nguyễn HuệNam định
Dng 7: Vitrptmp (P) i qua A ; (Q)
r v // vi dt (d)
- Tớnh VTPT n Q ca mp (Q); VTCP u d ca ng thng (d).
r r
- Tớnh [ u d, n Q]
r
r r
- Vỡ (P) (Q) v // (d) nờn VTPT n P = [ u d, n Q]
- T ú vit c PT mp (p)
Dng 8: Vit ptmp (P) l trunguuu
trrc ca AB.
- Tỡnh trung im I ca ABv AB
uuur

- Mp (P) i qua I v nhn AB lm VTPT.
Dng 9: Vitrpt mp(P) cha (d) v i qua A
- Tớnh VTCP u d ca ng thng (d) v tỡm im M (d)
r uuuur
uuuur
- Tớnh AM v [ u d, AM ]
r
r uuuur
- Ptmp (P) i qua A v cú VTPT n P =[ u d, AM ].
Dng 10: Vit pt mp
r (P) cha (d) v // ( )
- T (d)
VTCP u d v im M (d)
r
r r
- T ( )
VTCP u v tớnh [ u d, u ]
r r r
- PT mp (P) i qua M v cú VTPT n = [ u d, u ].
Dng 11: Vit Pt mp(P)
cha (d) v (Q)
r
- T (d)
VTCP u d v im M (d)
r
r r
- T (Q)
VTPT n Q v tớnh [ u d, n Q]
r r r
- PT mp (P) i qua M v cú VTPT n =[ u d, n Q].

Dng 12:Vit PT mp (P) // vi (Q) v d(A;(P))=h
- Vỡ (P) // (Q) nờn pt mp (P) cú dng Ax + By +Cz + D=0
( theo pt ca mp (Q) , trong ú D DQ)
- Vỡ d(A,(P))= h nờn thay vo ta tỡm c D
- Thay A,B,C,D ta cú PT mp (P) cn tỡm.
Dng 13: Vit PT mp(P) ch
r a (d) v d(A,(P))=h 2
- Gi VTPT ca mp (P) l n P = (A,B,C) vi k l A + B2 + C2 >0
r
- T (d)
VTCP u d v im M (d)
r r
- Vỡ (d) nm trong (P)
u d. n P=0 (1)
- PT mp (p) i qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
- d(A,(P)) = h (2)

2


Phơng pháp tọa độ trong không gian Oxyz-Gv Nguyễn Đức Đắc - Nguyễn HuệNam định
- Gii (1);(2) ta tỡm c A,B theo C t ú chn A,B,C ỳng t l , ta vit c PT mp(P).
Dng 14:Vit Pt mp(P) chr
a (d) v hp vi mp (Q) mt gúc 900
- Gi VTPT ca mp (P) l n P = (A,B,C) vi k l A2 + B2 + C2 >0
r
- T (d)
VTCP u d v im M (d)
r r
- Vỡ d (P)

u d. n P=0 (1)
- Tớnh cos ((P),(Q)) (2)
- T (1) v (2) ta tỡm c A,B theo C t ú chn A,B,C ỳng t l , ta vit c PT mp(P).
Dng 15:Vit Pt mp (P) chr
a (d) v hp vi t( )mt gúc 900
- Gi VTPT ca mp (P) l n P = (A;B;C) vi k l A2 + B2 + C2 >0
r
- T (d)
VTCP u d v im M (d)
r r
- Vỡ d (P)
u d. n P=0 (1)
- Tớnh sin ((P),( )) (2)

- H (1) v (2) tỡm c A,B theo C t ú chn A,B,C ỳng t l , ta vit c PT mp(P).
Dng 16: Cho A v (d) , vit PT mp (P) cha (d) sao cho d(A,(P)) l ln nht
- Gi H l hỡnh chiu ca A lờn (d)
- Ta cú : d(A,(P)) = AK AH
(tớnh cht ng vuụng gúc v ng xiờn)
Do ú d(A(P)) max
AK = AH
K H
- Vit PT mp (P) i qua H v nhn AH lm VTPT
Dng 17: Vit Pt mp (P) // vi (Q) v tip xỳc vi mt cu (S)
- Xỏc nh tõm I, bỏn kớnh R ca mt cu (S)
- Vỡ (P) // (Q) nờn (P) cú dng Ax + By + Cz + D'=0
(theo pt ca mp (Q) , trong ú D' DQ).
- M (P) tip xỳc vi (S) nờn d(I,(P))= R tỡm c D'
- T ú ta cú Pt (P) cn tỡm
Dng 18: Vit PT mp(P) // (Q) v ct mt cu (S) theo giao tuyn l ng trũn(C) cú bỏn

kớnh r ( hoc din tớch, chu vi cho trc).
- Xỏc nh tõm I, bỏn kớnh R ca mt cu (S)
- Adct : Chu vi ng trũn C = 2 r v din tớch S = r 2 tớnh r.
- d(I,(P)) = R 2 r 2 (1)
- Vỡ (P) // (Q) nờn (P) cú dng Ax + By + Cz + D'=0
(theo pt ca mp (Q) , trong ú D' DQ)
- Suy ra d (I,(P)) (2)
Gii h (1), (2) tỡm c D'

3

vit c pt (P).


Phơng pháp tọa độ trong không gian Oxyz-Gv Nguyễn Đức Đắc - Nguyễn HuệNam định
Dng 19: Vit PT mp(P) cha (d) v tip xỳc vi mt cu (S)
- Xỏc nh tõm I, bỏn kớnh Rrca mt cu (S)
- Gi VTPT ca mp (P) l n P = (A;B;C) vi k l A2 + B2 + C2 >0
r
- T (d)
VTCP u d v im M (d)
r r
- d (P)
u d. n P=0 (1)
- M (P) tip xỳc vi (S) nờn d(A,(P))= R (2)
- Gii h (1) v (2) tỡm c A,B theo C
PT mp(P).
Dng 20: Vit Pt mp (P) cha (d) v ct mt cu (S) theo giao tuyn l ng trũn (C) cú bỏn
kớnh r ( hoc din tớch , chu vi cho trc)
- Xỏc nh tõm I, bỏn kớnh R ca mt cu (S)

- Adct : Chu vi ng trũn C = 2 r v din tớch S = r 2 tớnh r.
r r
- Vỡ d (P)
u d. n P=0 (1)
r
- Gi VTPT ca mp (P) l n P = (A,B,C) vi k l A2 + B2 + C2 >0,
chn M trờn ng thng d.
=>PT mp (P) i qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
- Vỡ (P) ct (S) theo ng trũn bỏn kớnh r nờn d(I,(P)= r (2)
- Gii h (1) v (2) tỡm c A,B theo C
PT mp(P).
Dng 21: Vit PT mp (P) cha (d) v ct mt cu (S) theo giao tuyn l ng trũn (C) cú bỏn
kớnh nh nht .(ỏp dng trng hp d ct (S) ti 2 im).
- Xỏc nh tõm I, bỏn kớnh R ca mt cu (S)

R 2 d 2 ( I ,( p )) r min d(I,(P)) max
- Gi H l hỡnh chiu ca I lờn (d) ; K l hỡnh chiu ca I lờn (P)
- Bỏn kớnh r =

- Ta cú: d(I,(P))= IK Ih ( tớnh cht ng vuụng gúc v ng xiờn)
- Do ú: d(I,(P)) max
AK =uuAH
K H
ur
- PT mp(P) i qua H v nhn IH lm VTPT

2. phơng trình đờng thẳng
Cú 2 loi phng trỡnh ng thng : PT ThamS v
r PT ChớnhTc.
Dng 1: Vit ptt (d) qua M(x0; y0 ;z0) v cú VTCP u =(a,b,c)

PP: phng trỡnh tham s ca ng thng d l:

x = x0 + at
y = y0 + bt vi t R
z = z0 + ct
x x0 y y0 z z0
=
=
0 thỡ (d) cú PT chớnh tc
a
b
c
(d):

* Chỳ ý : Nu c a, b, c

4


Phơng pháp tọa độ trong không gian Oxyz-Gv Nguyễn Đức Đắc - Nguyễn HuệNam định
* Chỳ ý: õy l bi toỏn c bn. V nguyờn tc mun vit PT dt(d) thỡ cn phi bit 2 yu t ú
l ta mt im thuc d v to VTCP ca d.
Dng 2:
uuuVi
r t pt dt(d) i qua 2 im A,B
- Tớnh AB
uuur
- Vit PT ng thng i qua A, v nhn AB lm VTCP
Dng 3: Vit PT dt (d)
r i qua A v //vi ng thng ( )

- T pt( )
VTCP u
r
- Vit Pt dt(d) i qua A v nhn u lm VTCP
Dng 4: Vit PT dt(d) i qua
r A v (P)
- Tỡm VTPT ca mp(P) l n P
r r
- Pt dt(d) i qua A v Cú VTCP u d = n P
Dng 5: Vit Pt dt(d) i qua Auu
v
r vuụng
uur gúc viuurcuu2r dt (d1),(d2)
- T (d1),(d2) VTCPd1, d 2l u1v u 2 => tớnh [ u1 , u2 ].

uur uur

r

- Vỡ (d) (d1),(d2) nờn cú VTCP u d= [ u1 , u2 ]

r

uur uur

- Pt dt(d) i qua A v cú VTCP u d= [ u1 , u2 ]
Dng 6: Vit PT ca dt (d) l giao tuyn ca 2 mp
(P):Ax + By + Cz + D = 0
'
(Q):A'x + B'y + C'z +

r D r= 0
- T (P) v (Q)
n P ,n Q
r r
- Tớnh [ n P , n Q]
- Xột h

Ax + By + Cz +D =0
'

A' x + B' y + C ' z + D = 0

.

Chn mt nghim (x0; y0 ;z0) trú rM rd
- Pt dt(d) i qua M v cú VTCP u d =[ n P , n Q].

Dng 7: Vit PT hỡnh chiu ca d lờn mp(P)
Cỏch 1: - Vit ptmp(Q) cha d v vuụng gúc vi mp(P)
- Hỡnh chiu cn tỡm d' = (P) I(Q)
Cỏch 2: + Tỡm A = d I ( P ) ( ch ỏp dng vi gi thit d ct (P) )
+ Ly M d v xỏc nh hỡnh chiu H ca M lờn (P)
+ Vit phng trỡnh d' i qua M, H
Dng 8: Vit pt ng thng d i qua im A v ct 2 ng thng d1, d2:
Cỏch 1 : * Vit pt mt phng ( ) i qua im A v cha ng thng d1

5


Phơng pháp tọa độ trong không gian Oxyz-Gv Nguyễn Đức Đắc - Nguyễn HuệNam định

* Tỡm B = ( ) I d 2
* ng thng cn tỡm i qua A, B
Cỏch 2 : - Vit pt mt phng ( ) i qua im A v cha ng thng d1
- Vit pt mt phng ( ) i qua im B v cha ng thng d2
- ng thng cn tỡm d = I
Dng 9: Vit pt ng thng d song song d1 v ct c d2 , d3
- Vit phng trỡnh mp (P) song song d1 v cha d2
- Vit phng trỡnh mp (Q) song song d1 v cha d3
- ng thng cn tỡm d = ( P ) I (Q)
Dng 10 : Vit ptt d i qua A v vuụng gúc ng thng d1 v ct d2
Cỏch 1 : - Vit pt mp ( ) qua A v vuụng gúc d1
- Tỡm giao im B = ( ) I d 2
- ng thng cn tỡm i qua A, B
Cỏch 2 : * Vit pt mp ( ) qua A v vuụng gúc d1
* Vit pt mp ( ) qua A v cha d1
* ng thng cn tỡm d = I
Dng 11 : Vit ptt d i qua A, song song mp ( ) , ct ng thng d'
Cỏch 1 : - Vit ptmp(P) i qua A v song song vi ( )
- Vit ptmp(Q) i qua A v cha d'
- ng thng cn tỡm d = ( P ) I (Q)
Cỏch 2 : * Vit ptmp(P) i qua A v song song vi ( )
* Tỡm B = ( P ) I d '
* ng thng cn tỡm i qua 2 im A,B
Dng 12 : Vit ptt d nm trong mp(P) v ct 2 ng thng d1, d2 cho trc.
- Tỡm giao im A=d1 I( P ) v B=d2 I( P )
- ng thng d i qua 2 im A, B
Dng 13 : Vit ptt d nm trong mp(P) v vuụng gúc vi ng thng d' ti giao im I ca
(P) v d'.
* Tỡm giao im I' = d' I( P )

r

r

r

rr

* Tỡm VTCP u ca d' v VTPT n ca (P) v tớnh v = [u,n]
r
* Vit ptt d qua I v cú VTCP v
Dng 14 : Vit ptt vuụng gúc chung d ca 2 dng thng chộo nhau d1, d2 :

6


Phơng pháp tọa độ trong không gian Oxyz-Gv Nguyễn Đức Đắc - Nguyễn HuệNam định
- Gi M ( x0 + at , y0 + bt , z0 + ct ) d1 ,
v N ( x0' + a ' t ', y0' + b ' t ', z0' + c ' t ') d 2
l cỏc chõn ng vuụng gúc chung ca d1, d2

uuuur r
MN d1
MN .u1 = 0
uuuur r
t, t ' .
- Ta cú h
MN d 2
MN .u 2 = 0

- Thay t, t' tỡm M, N. Vit ptt i qua M,N.
( Vi cỏch 2 em tớnh thờm c khong cỏch MN, cng chớnh l di ng vuụng gúc)
Dng 15 : Vit pt ng thng d vuụng gúc vi mp(P) v ct 2 ng thng d1,d2 .
* Vit ptmp(Q) cha d1 v vuụng gúc vi mp(P)
* Vit ptmp(R) cha d2 v vuụng gúc vi mp(P)
* ng thng d = (Q) I ( R )
Dng 16 : Vit ptt d i qua im A , ct v vuụng gúc vi ng thng d1 .
- Vit pt mp ( ) qua A v vuụng gúc d1
- Tỡm giao im B = ( ) I d1
- ng thng cn tỡm i qua A, B
Dng 17 : Vit ptt d i qua A ,vuụng gúc vi d1,to vi d2 gúc (00 ;900 ) (= 300, 450, 600)

r

* Gi VTCP ca d l u = (a; b; c), dk : a 2 + b 2 + c 2 > 0
rr
* Vỡ d d1 u.u1 = 0 =>phng trỡnh (1)
rr
u.u 2
Vỡ cos = r r => phng trỡnh (2)
u . u2
Th (1) vo (2) => a,b,c => ptt d.
( chỳ ý : nu thay gi thit l d to vi mp(P) gúc

rr
u.u P
(00 ;900 ) thỡ cú sin = r r )
u . uP

Dng 18 : Vit ptt d di qua A , song song vi mp(P) , to vi d1 gúc

r

(00 ;900 ) .

- Gi VTCP ca d l u = (a; b; c), dk : a 2 + b 2 + c 2 > 0

rr

- Vỡ d//(P) nờn u.n p = 0 => phng trỡnh (1).
rr
u.u1
- Vỡ cos (d , d1 ) = r r = cos nờn cú phng trỡnh (2).
u . u1
- Gii h phng trỡnh (1), (2) tỡm
r a,b theo c=> chn a,b,c.
=>vit ptt d i qua A, cú vtcp u = (a; b; c)
Dng 19 : Vit ptt d di qua A , nm trong mp(P) , to vi d1 gúc

r

- Gi VTCP ca d l u = (a; b; c), dk : a 2 + b 2 + c 2 > 0

rr

- Vỡ d (P) nờn u.n p = 0 => phng trỡnh (1).

7

(00 ;900 ) .