Các phương pháp viết phương trình đường thẳng và mặt phẳng không gian

Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz www.PNE.edu.vn
1. ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng
Để viết pt măt phẳng em có 2 cách cơ bản :
<1>. Xác định 1 điểm và 1 VTPT
<2>. Hoặc gọi ptmp dạng Ax+By+Cz+D=0 rồi dựa vào giả thiết tìm A,B,C,D.
Vậy khi nào sử dụng cách 1 , khi nào sử dụng cách 2 thì em phân biệt các dạng đề bài sau:
Dạng 1: Viết PT mp đi qua A(x
0
; y
0
;z
0
) và có VTPT
n
r
=(A;B;C)
A(x-x
0
) + B(y-y
0
) + C(z-z
0
) = 0
⇔
Ax + By + Cz + D = 0
Dạng 2:Viết pt mặt phẳng đi qua A(x
0
; y
0
;z
0

) và // mp (Q)
- Từ ptmp(Q)
⇒
VTPT
n
v
Q
= (A;B;C)
- Vì (P) // (Q)
⇒
VTPT
n
v
P
=
n
v
Q
= (A;B;C)
- PT mp (P) đi qua A và có VTPT
n
v
P
Dạng 3: Viết pt mp đi qua A(x
0
; y
0
;z
0
) và vuông góc với đường thẳng d

- Từ (d)
⇒
VTCP
u
r
d =
(A;B;C)
- Vì (P) vuông góc với (d)
⇒
Chọn VTPT
n
r
P
=
u
r
d
=(A;B;C)
⇒
Viết ptmp (P) đi qua A và có vtpt
n
r
P
.
Dạng 4: Viết ptmp đi qua A và
⊥
(Q) ,
⊥
(R)
- Từ pt mp (Q) và (R)

⇒
VTPT
n
r
Q
; VTPT
n
r
R
- Vì (P)
⊥
(Q) và
⊥
(R)
⇒
VTPT
n
r
P

⊥
Q
n
r
và
n
r
P

⊥

n
r
R
⇒
Chọn
n
r
P
= [
n
r
Q;

n
r
R
]
- Vậy pt mp (P) đi qua A và có VTPT
n
r
P
= [
n
r
Q;

n
r
R
]

Dạng 5: Viết Pt mp (P) đi qua 3 điểm A,B,C không thẳng hàng
- Tính
AB
uuur
,
AC
uuur
và
a
r
= [
AB
uuur
,
AC
uuur
]
- PT mp (P) đi qua A và có VTPT
n
r
P
=
a
r
= [
AB
uuur
,
AC
uuur

]
Dạng 6: Viết ptmp (P) đi qua A,B và
⊥
(Q)
- Tính
AB
uuur
, vtpt
n
r
Q
và tính [
AB
uuur
,
n
r
Q
]
- Vì A, B
∈
(P) ; (Q)
⊥
(P) nên chọn
n
r
P
=[
AB
uuur

,
n
r
Q
]
- Viết ptmp (P)
Trang 1
Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz www.PNE.edu.vn
Dạng 7: Viết ptmp (P) đi qua A ;
⊥
(Q) và // với dt (d)
- Tính VTPT
n
r
Q
của mp (Q); VTCP
u
r
d
của đường thẳng (d).
- Tính [
u
r
d
,
n
r
Q
]
- Vì (P)

⊥
(Q) và // (d) nên VTPT
n
r
P
= [
u
r
d
,
n
r
Q
]
- Từ đó viết được PT mp (p)
Dạng 8: Viết ptmp (P) là trung trực của AB.
- Tình trung điểm I của ABvà
AB
uuur
- Mp (P) đi qua I và nhận
AB
uuur
làm VTPT.
Dạng 9: Viết pt mp(P) chứa (d) và đi qua A
- Tính VTCP
u
r
d
của đường thẳng (d) và tìm điểm M
∈

(d)
- Tính
AM
uuuur
và [
u
r
d
,
AM
uuuur
]
- Ptmp (P) đi qua A và có VTPT
n
r
P
=[
u
r
d
,
AM
uuuur
].
Dạng 10: Viết pt mp (P) chứa (d) và // (
∆
)
- Từ (d)
⇒
VTCP

u
r
d
và điểm M
∈
(d)
- Từ (
∆
)
⇒
VTCP
u
∆
r
và tính [
u
r
d
,
u
r
∆
]
- PT mp (P) đi qua M và có VTPT
n
r
= [
u
r
d

,
u
r
∆
].
Dạng 11: Viết Pt mp(P) chứa (d) và

⊥
(Q)
- Từ (d)
⇒
VTCP
u
r
d
và điểm M
∈
(d)
- Từ (Q)
⇒
VTPT
n
r
Q
và tính [
u
r
d
,
n

r
Q
]
- PT mp (P) đi qua M và có VTPT
n
r
=[
u
r
d
,
n
r
Q
].
Dạng 12:Viết PT mp (P) // với (Q) và d(A;(P))=h
- Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có dạng Ax + By +Cz + D=0
( theo pt của mp (Q) , trong đó D
≠
D
Q
)
- Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm được D
- Thay A,B,C,D ta có PT mp (P) cần tìm.
Dạng 13: Viết PT mp(P) chứa (d) và d(A,(P))=h
- Gọi VTPT của mp (P) là
n
r
P
= (A,B,C) với đk là A

2
+ B
2
+ C
2
>0
- Từ (d)
⇒
VTCP
u
r
d
và điểm M
∈
(d)
- Vì (d) nằm trong (P)
⇒
u
r
d.

n
r
P
=0 (1)
- PT mp (p) đi qua M: A(x-x
0
) + B(y-y
0
) + C(z-z

0
) = 0
- d(A,(P)) = h (2)
- Giải (1);(2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P).
Dạng 14:Viết Pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc
α
≠
90
0
Trang 2
Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz www.PNE.edu.vn
- Gọi VTPT của mp (P) là
n
r
P
= (A,B,C) với đk là A
2
+ B
2
+ C
2
>0
- Từ (d)
⇒
VTCP
u
r
d
và điểm M
∈

(d)
- Vì d
⊂
(P)
⇒
u
r
d.

n
r
P
=0 (1)
- Tính cos ((P),(Q)) (2)
- Từ (1) và (2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P).
Dạng 15:Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với đt(
∆
)một góc
α
≠
90
0
- Gọi VTPT của mp (P) là
n
r
P
= (A;B;C) với đk là A
2
+ B
2

+ C
2
>0
- Từ (d)
⇒
VTCP
u
r
d
và điểm M
∈
(d)
- Vì d
⊂
(P)
⇒
u
r
d.

n
r
P
=0 (1)
- Tính sin ((P),(
∆
)) (2)
- Hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P).
Dạng 16: Cho A và (d) , viết PT mp (P) chứa (d) sao cho d(A,(P)) là lớn nhất
- Gọi H là hình chiếu

⊥
của A lên (d)
- Ta có : d(A,(P)) = AK
≤
AH
(tính chất đường vuông góc và đường xiên)
Do đó d(A(P)) max
⇔
AK = AH
⇔
K
≡
H
- Viết PT mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT
Dạng 17: Viết Pt mp (P) // với (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0
(theo pt của mp (Q) , trong đó D'
≠
D
Q
).
- Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R
⇒
tìm được D'
- Từ đó ta có Pt (P) cần tìm
Dạng 18: Viết PT mp(P) // (Q) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn(C) có bán kính
r ( hoặc diện tích, chu vi cho trước).
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Adct : Chu vi đường tròn C =

2 r
π
và diện tích S =
2
r
π
tính r.
- d(I,(P)) =
2 2
R r−
(1)
- Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0
(theo pt của mp (Q) , trong đó D'
≠
D
Q
)
- Suy ra d (I,(P)) (2)
⇒
Giải hệ (1), (2) tìm được D'
⇒
viết được pt (P).
Dạng 19: Viết PT mp(P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Gọi VTPT của mp (P) là
n
r
P
= (A;B;C) với đk là A
2

+ B
2
+ C
2
>0
Trang 3
Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz www.PNE.edu.vn
- Từ (d)
⇒
VTCP
u
r
d
và điểm M
∈
(d)
- d
⊂
(P)
⇒
u
r
d.

n
r
P
=0 (1)
- Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(A,(P))= R (2)
- Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C

⇒
PT mp(P).
Dạng 20: Viết Pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán
kính r ( hoặc diện tích , chu vi cho trước)
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Adct : Chu vi đường tròn C =
2 r
π
và diện tích S =
2
r
π
tính r.
- Vì d
⊂
(P)
⇒
u
r
d.

n
r
P
=0 (1)
- Gọi VTPT của mp (P) là
n
r
P
= (A,B,C) với đk là A

2
+ B
2
+ C
2
>0,
chọn M trên đường thẳng d.
=>PT mp (P) đi qua M: A(x-x
0
) + B(y-y
0
) + C(z-z
0
) = 0
- Vì (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r nên d(I,(P)= r (2)
- Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C
⇒
PT mp(P).
Dạng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán
kính nhỏ nhất .(áp dụng trường hợp d cắt (S) tại 2 điểm).
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Bán kính r =
2 2
( ,( ))R d I p−
để r min
⇒
d(I,(P)) max
- Gọi H là hình chiếu
⊥
của I lên (d) ; K là hình chiếu

⊥
của I lên (P)
- Ta có: d(I,(P))= IK
≤
Ih ( tính chất đường vuông góc và đường xiên)
- Do đó: d(I,(P)) max
⇔
AK = AH
⇔
K
≡
H
- PT mp(P) đi qua H và nhận
IH
uuur
làm VTPT
2. ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng
Có 2 loại phương trình đường thẳng : PT ThamSố và PT ChínhTắc.
Dạng 1: Viết ptđt (d) qua M(x
0
; y
0
;z
0
) và có VTCP
u
r
=(a,b,c)
PP: phương trình tham số của đường thẳng d là:
(d):

0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +

với t
∈
R
* Chú ý : Nếu cả a, b, c
≠
0 thì (d) có PT chính tắc
0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =
* Chú ý: Đây là bài toán cơ bản. Về nguyên tắc muốn viết PT dt(d) thì cần phải biết 2 yếu tố đó là
tọa độ một điểm thuộc d và toạ độ VTCP của d.
Dạng 2: Viết pt dt(d) đi qua 2 điểm A,B
- Tính
AB

uuur
Trang 4
Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz www.PNE.edu.vn
- Viết PT đường thăng đi qua A, và nhận
AB
uuur
làm VTCP
Dạng 3: Viết PT dt (d) đi qua A và //với đường thẳng (
∆
)
- Từ pt(
∆
)
⇒
VTCP
u
r
∆
- Viết Pt dt(d) đi qua A và nhận
u
r
∆
làm VTCP
Dạng 4: Viết PT dt(d) đi qua A và
⊥
(P)
- Tìm VTPT của mp(P) là
n
r
P

- Pt dt(d) đi qua A và Có VTCP
u
r
d
=
n
r
P
Dạng 5: Viết Pt dt(d) đi qua A và vuông góc với cả 2 dt (d
1
),(d
2
)
- Từ (d
1
),(d
2
)
1 2 1 2
, à u à uVTCPd d l v⇒
uur uur
=> tính [
1
u
uur
,
2
u
uur
].

- Vì (d)
⊥
(d
1
),(d
2
) nên có VTCP
u
r
d=
[
1
u
uur
,
2
u
uur
]
- Pt dt(d) đi qua A và có VTCP
u
r
d=
[
1
u
uur
,
2
u

uur
]
Dạng 6: Viết PT của dt (d) là giao tuyến của 2 mp
(P):Ax + By + Cz + D = 0
(Q):A
'
x + B
'
y + C
'
z + D
'
= 0
- Từ (P) và (Q)
⇒
n
r
P
,
n
r
Q
- Tính [
n
r
P
,
n
r
Q

]
- Xét hệ
'
' ' '
Ax + By + Cz +D =0
A 0x B y C z D



+ + + =


.
Chọn một nghiệm (x
0
; y
0
;z
0
) từ đó
⇒
M
∈
d
- Pt dt(d) đi qua M và có VTCP
u
r
d
=[
n

r
P
,
n
r
Q
].
Dạng 7: Viết PT hình chiếu của d lên mp(P)
Cách 1: - Viết ptmp(Q) chứa d và vuông góc với mp(P)
- Hình chiếu cần tìm d
'
= (P)
I
(Q)
Cách 2: + Tìm A =
( )d PI
( chỉ áp dụng với giả thiết d cắt (P) )
+ Lấy M
d∈
và xác định hình chiếu H của M lên (P)
+ Viết phương trình d' đi qua M, H
Dạng 8: Viết pt đường thẳng d đi qua điểm A và cắt 2 đường thẳng d
1
, d
2
:
Cách 1 : * Viết pt mặt phẳng (
α
) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d
1

* Tìm B =
2
( ) d
α
I
* Đường thẳng cần tìm đi qua A, B
Cách 2 : - Viết pt mặt phẳng (
α
) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d
1
Trang 5
Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz www.PNE.edu.vn
- Viết pt mặt phẳng (
β
) đi qua điểm B và chứa đường thẳng d
2
- Đường thẳng cần tìm d =
α β
I
Dạng 9: Viết pt đường thẳng d song song d
1
và cắt cả d
2
, d
3

- Viết phương trình mp (P) song song d
1
và chứa d
2

- Viết phương trình mp (Q) song song d
1
và chứa d
3
- Đường thẳng cần tìm d =
( ) ( )P QI
Dạng 10 : Viết ptđt d đi qua A và vuông góc đường thẳng d
1
và cắt d
2

Cách 1 : - Viết pt mp
( )
α
qua A và vuông góc d
1

- Tìm giao điểm B =
2
( ) d
α
I
- Đường thẳng cần tìm đi qua A, B
Cách 2 : * Viết pt mp
( )
α
qua A và vuông góc d
1
* Viết pt mp
( )

β
qua A và chứa d
1
* Đường thẳng cần tìm d =
α β
I
Dạng 11 : Viết ptđt d đi qua A, song song mp
( )
α
, cắt đường thẳng d'
Cách 1 : - Viết ptmp(P) đi qua A và song song với
( )
α
- Viết ptmp(Q) đi qua A và chứa d'
- Đường thẳng cần tìm d =
( ) ( )P QI
Cách 2 : * Viết ptmp(P) đi qua A và song song với
( )
α
* Tìm B =
( ) 'P dI
* Đường thẳng cần tìm đi qua 2 điểm A,B
Dạng 12 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và cắt 2 đường thẳng d
1
, d
2
cho trước.
- Tìm giao điểm A=d
1
( )PI

và B=d
2
( )PI
- Đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B
Dạng 13 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và vuông góc với đường thẳng d' tại giao điểm I của (P)
và d'.
* Tìm giao điểm I' = d'
( )PI
* Tìm VTCP
u
r
của d' và VTPT
n
r
của (P) và tính
[u,n]v =
r r r
* Viết ptđt d qua I và có VTCP
v
r
Dạng 14 : Viết ptđt vuông góc chung d của 2 dường thẳng chéo nhau d
1
, d
2
:
- Gọi
0 0 0 1
( , , )M x at y bt z ct d+ + + ∈
,
và

' ' '
0 0 0 2
( ' ', ' ', ' ')N x a t y b t z c t d+ + + ∈
là các chân đường vuông góc chung của d
1
, d
2
Trang 6
Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz www.PNE.edu.vn
- Ta có hệ
1
1
2
2
. 0
, '
. 0
MN d
MN u
t t
MN d
MN u

⊥
=


⇒ ⇒
 
⊥

=



uuuur r
uuuur r
.
- Thay t, t' tìm M, N. Viết ptđt đi qua M,N.
( Với cách 2 em tính thêm được khoảng cách MN, cũng chính là độ dài đường vuông góc)
Dạng 15 : Viết pt đường thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt 2 đường thẳng d
1
,d
2
.
* Viết ptmp(Q) chứa d
1
và vuông góc với mp(P)
* Viết ptmp(R) chứa d
2
và vuông góc với mp(P)
* Đường thẳng d =
( ) ( )Q RI
Dạng 16 : Viết ptđt d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường thẳng d
1
.
- Viết pt mp
( )
α
qua A và vuông góc d
1

- Tìm giao điểm B =
1
( ) d
α
I
- Đường thẳng cần tìm đi qua A, B
Dạng 17 : Viết ptđt d đi qua A ,vuông góc với d
1
,tạo với d
2
góc
0 0
(0 ;90 )
α
∈
(= 30
0
, 45
0
, 60
0
)
* Gọi VTCP của d là
2 2 2
( ; ; ), : 0u a b c dk a b c= + + >
r
* Vì
1
1

. 0d d u u⊥ ⇒ =
r r
=>phương trình (1)
Vì
2
2
.
.
u u
cos
u u
α
=
r r
r r
=> phương trình (2)
Thế (1) vào (2) => a,b,c => ptđt d.
( chú ý : nếu thay giả thiết là d tạo với mp(P) góc
0 0
(0 ;90 )
α
∈
thì có
.
.
P
P
u u
sin
u u

α
=
r r
r r
)
Dạng 18 : Viết ptđt d di qua A , song song với mp(P) , tạo với d
1
góc
0 0
(0 ;90 )
α
∈
.
- Gọi VTCP của d là
2 2 2
( ; ; ), : 0u a b c dk a b c= + + >
r
- Vì d//(P) nên
. 0
p
u n =
r r
=> phương trình (1).
- Vì
1
1
1
.
( , )
.

u u
cos d d cos
u u
α
= =
r r
r r
nên có phương trình (2).
- Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c.
=>viết ptđt d đi qua A, có vtcp
( ; ; )u a b c=
r
Dạng 19 : Viết ptđt d di qua A , nằm trong mp(P) , tạo với d
1
góc
0 0
(0 ;90 )
α
∈
.
- Gọi VTCP của d là
2 2 2
( ; ; ), : 0u a b c dk a b c= + + >
r
- Vì d
∈
(P) nên
. 0
p
u n =

r r
=> phương trình (1).
- Vì
1
1
1
.
( , )
.
u u
cos d d cos
u u
α
= =
r r
r r
nên có phương trình (2).
- Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c.
=>viết ptđt d đi qua A, có vtcp
( ; ; )u a b c=
r
Trang 7
Phng phỏp ta trong khụng gian Oxyz www.PNE.edu.vn
Dng 20: Vit ptt d di qua A , vuụng gúc d
1
v khong cỏch t M n d bng h.
* Gi VTCP ca d l
2 2 2
( ; ; ), : 0u a b c dk a b c= + + >
r

* Vỡ d
1
d

nờn
1
. 0u n =
r r
=> phng trỡnh (1).
* Vỡ
[ , ]
( , )
u
u AM
d M d h h= =
r uuuur
r
=> phng trỡnh (2).
*Gii h phng trỡnh (1), (2) tỡm a,b theo c=> chn a,b,c.
=>vit ptt d i qua A, cú vtcp
( ; ; )u a b c=
r
Chúc các em ôn tập tốt, đạt kết quả cao!!!
Gạo đem vào giã bao đau đớn,
Gạo giã xong rồi trắng tựa bông.
Sống ở trên đời ngời cũng vậy,
Gian nan rèn luyện mới thành công!
Hồ Chí Minh!
www.PNE.edu.vn
Trang 8