Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
MỤC LỤC
Trang
Các kí hiệu thường dùng 2
PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ
1/ Lí do chọn đề tài 3
2/ Phạm vi và thời gian thực hiện đề tài 3
PHẦN THỨ HAI: Q TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
1/ Cơ sở lí luận 4
2/ Cơ sở thực tiễn. 4
3/ Nội dung của đề tài 6
3.1/ Các dạng phương trình đường thẳng 6
3.2/ Một số bài tốn cơ bản về viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 7
3.3/ Một số bài tốn thường gặp về giải tam giác bằng PPTĐ trong mặt phẳng 8
3.4/ Một số bài tốn tham khảo về giải tam giác bằng PPTĐ trong mặt phẳng 19
3.5/ Bài tập tự luyện 20
PHẦN THỨ BA: KẾT QUẢ 22
PHẦN THỨ TƯ: KẾT LUẬN 23
PHẦN THỨ NĂM: ĐỀ XUẤT 24
PHẦN THỨ SÁU:TÀI LIỆU THAM KHẢO 24
Giáo viên: Bùi Quang Bốn -Trường THPT Đồng Xoài - Năm học: 2010-2011 -Trang 1 -
Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
CÁC KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG
Để tiện cho q trình đặt và giải quyết các bài tốn về tam giác trong mặt phẳng
(xác định các yếu tố chưa biết thơng qua các yếu tố đã biết của tam giác), ta sẽ gọi đó
là q trình giải một bài tốn tam giác (hay là giải tam giác) trong mặt phẳng và ta
coi như bài tốn được giải quyết xong nếu như xác định được tọa độ 3 đỉnh hoặc
phương trình ba cạnh của tam giác đó, các bài tập áp dụng phương pháp giải của các
bài tốn được đưa ra trong phần bài tập tự luyện.

Trong tài liệu này ta cũng sử dụng một số kí hiệu sau:
 A, B, C: các đỉnh của tam giác ABC.
 AB, BC, CA: cạnh và phương trình các cạnh của tam giác ABC.
 h
A
, h
B
, h
C
: phương trình các đường cao hạ từ đỉnh A, B, C.
 m
A
, m
B
, m
C
: phương trình các đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A, B, C.
 l
A
, l
B
, l
C
: phương trình các đường phân giác xuất phát từ đỉnh A, B, C.
 t
AB
, t
AC
, t
BC

: phương trình các đường trung trực của các cạnh AB, AC, BC.
 S, p: lần lượt là diện tích, nửa chu vi của tam giác ABC.
 R, r: lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC.
 G, H: lần lượt là trọng tâm và trực tâm của tam giác ABC.
 M = d
1
∩ d
2
: Tọa độ M là giao điểm của d
1
và d
2
.
 Vtcp: vectơ chỉ phương.
 Vtpt: vectơ pháp tuyến.
Giáo viên: Bùi Quang Bốn -Trường THPT Đồng Xoài - Năm học: 2010-2011 -Trang 2 -
Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
Phần thứ nhất :
ĐẶT VẤN ĐỀ
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong chương trình tốn THPT, mà cụ thể là phân mơn Hình Học 10, các em
học sinh được tiếp cận với Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Với Phương pháp
tọa độ trong mặt phẳng các em được trang bị một số kiến thức và bài tốn cơ bản về
lập phương trình một đường thẳng như: Lập phương trình đường thẳng qua 2 điểm,
lập phương trình đường thẳng qua 1 điểm và có 1 véc tơ chỉ phương, lập phương
trình đường thẳng qua 1 điểm và có 1 véc tơ pháp tuyến,… Do vậy nếu gặp một bài
tốn đã có đầy đủ giả thiết của các bài tốn cơ bản thì các em chỉ cần áp dụng cơng
thức là có ngay kết quả, song trong thực tế các kỳ thi hết cấp và thi tuyển sinh vào
Đại học - Cao đẳng - THCN, các em có thể gặp phải các bài tốn về giải tam giác

trong mặt phẳng (tức là phải xác định các đỉnh, trung điểm, trọng tâm, trực tâm, lập
phương trình các cạnh, các đường cao, các đường trung tuyến, trung trực và phân
giác,…của tam giác khi đã biết một số các yếu tố tương ứng) và thực tế là khi gặp
các bài tốn dạng này chỉ có 1 số ít các em học sinh biết phương pháp giải, song cách
trình bày và các lời giải còn chưa gọn gàng, sáng sủa. Tại sao lại như vậy?
Lý do chính ở đây có thể là: trong chương trình SGK Hình Học 10 hiện hành,
kiến thức về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng được trình bày ở học kì II và
lượng các bài tập dạng này chưa được đề cập thường xun trong sách giáo khoa
hoặc có thể chưa đề cập đến. Mặt khác nếu như trong các giờ dạy của mình, các thầy
cơ giáo khơng đưa thêm các bài tập dạng này và phương pháp giải tương ứng thì các
em học sinh khơng thể giải được các bài tốn nói trên.
Với lý do đó, cùng với kinh nghiệm của mình sau 1 thời gian giảng dạy và bồi
dưỡng kiến thức cho học sinh tơi đã khai thác, tổng kết, hệ thống hóa lại các kiến
thức cơ bản, đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về
giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” cũng ra đời từ đó để
cùng trao đổi với các bạn đồng nghiệp và làm tài liệu tham khảo cho các em học
sinh.
Hy vọng đề tài nhỏ này sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh có
một cái nhìn tồn diện cũng như phương pháp giải các bài tốn về giải tam giác trong
mặt phẳng.
2. PHẠM VI VÀ THỜI GIAN THỰC HIỆN ĐỀ TÀI:
Đề tài được sử dụng để giảng dạy và bồi dưỡng cho các em học sinh khối 10
hệ THPT và làm tài liệu tham khảo cho các thầy cơ giảng dạy mơn Tốn. Các thầy cơ
và học sinh có thể sử dụng các bài tốn trong đề tài này làm bài tốn gốc để đặt và
giải quyết các bài tập cụ thể.
Trong đề tài này tơi đã đưa ra và giải quyết một khối lượng lớn các bài tốn
với tương ứng các bài tập tự luyện. Sau mỗi bài tốn tác giả đều có những nhận xét
giúp thầy cơ và các học sinh có thể chọn ra cho mình những phương pháp giải tối ưu
nhất, để có được những lời giải gọn gàng nhất./.
Giáo viên: Bùi Quang Bốn -Trường THPT Đồng Xoài - Năm học: 2010-2011 -Trang 3 -

Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
Phần thứ hai
Q TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN
Những bài tốn hình học cùng với sự phát triển của nó đã và sẽ khơng ngừng dẫn đến
sự chuyển hóa một số hướng nào đó thành những lĩnh vực mới về tính chất của hình
học.
Cùng một vấn đề của bài tốn ta có thể sử dụng phương pháp hình học hoặc phương
pháp giải tích hoặc bằng sự kết hợp của cả hai để giải quyết.
Với phương pháp tọa độ trong mặt phẳng chúng ta có thể làm cho hình học thốt ra
khỏi lối tư duy trực quan nhằm hướng tới sự khái qt hóa của tốn học trong các
lĩnh vực khác.
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng với kiến thức gọn nhẹ, đơn giản giúp học sinh
có thể giải bài tốn giải tam giác một cách nhẹ nhàng. Phương pháp tọa độ trong mặt
phẳng khơng những cung cấp cho học sinh những cơng cụ mới để giải quyết bài tốn
mà còn tập cho học sinh làm quen với phương pháp tư duy nâng cao khả năng suy
luận, ln biết nhìn nhận sự việc và hiện tượng xung quanh với sự vận động và biến
đổi của chúng để nghiên cứu tìm tòi khám phá tạo cơ sở cho sự ra đời của những
phát minh trong tương lai.
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN :
Có rất nhiều cách khác nhau để tiếp cận và tìm hiểu kiến thức thực tế của học
sinh trước khi thực hiện đề tài. Khi giảng dạy trên lớp cũng như bồi dưỡng học sinh,
tơi đã đưa vào một số bài tốn sau ( các câu hỏi trong mỗi bài tốn được đưa ra theo
trật tự: giải xong câu hỏi này sẽ đặt vấn đề để có câu hỏi tiếp theo) nhằm kiểm tra
kiến thức của các em học sinh.
Bài tốn 1:
Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(2, 3), B(4, -1), C(4, 5)
a). Lập phương trình các cạnh AB, BC, CA của tam giác?
b). Lập phương trình các đường trung tuyến của tam giác?

c). Lập phương trình các đường trung bình của tam giác?
d). Lập phương trình các đường cao của tam giác?
e). Lập phương trình các đường trung trực của tam giác?
f). Lập phương trình đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC?
g). Lập phương trình đường phân giác ngồi của góc B của tam giác ABC?
h). Tìm tọa độ trọng tâm G và trực tâm H của tam giác ABC?
i). Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC?
Bài tốn 2:
Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC, biết đỉnh B(-4,-5) và 2 đường cao có
phương trình lần lượt là: 5x+3y-4 = 0, 3x+8y+13 = 0.
Giáo viên: Bùi Quang Bốn -Trường THPT Đồng Xoài - Năm học: 2010-2011 -Trang 4 -
Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
a). Lập phương trình đường cao còn lại của tam giác?
b). Tìm tọa độ 2 đỉnh A và C của tam giác?
c). Lập phương trình 3 cạnh của tam giác?
Bài tốn 3:
Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC, lập phương trình các đường phân giác trong
còn lại của tam giác ABC, biết đỉnh A(1, 2), phân giác trong của góc B và trung
tuyến từ đỉnh C có phương trình lần lượt là: x – y - 3 = 0, x + 4y + 9 = 0.
*Với bài tốn 1: thì các câu hỏi a), b), c), d), e), h) là tương đối cơ bản bởi đây chính
là các bài tốn đã có phương pháp giải tổng qt:
- câu a, b, c): sử dụng phương trình đường thẳng qua 2 điểm.
- câu d, e): sử dụng phương trình đường thẳng qua điểm và có vectơ pháp tuyến.
- câu h): tọa độ trọng tâm G có thể tính được theo tọa độ 3 đỉnh A, B, C hoặc giải hệ
phương trình tạo bởi các đường trung tuyến đã lập được trong câu b). Còn tọa độ trực
tâm H tìm được bằng cách giải HPT tạo bởi các đường cao.
- câu f), g): là tương đối khó với các em học sinh, khơng phải đơn giản để học sinh
nào cũng có thể giải được kể cả các em có lực học khá.
- câu i): Tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác có thể tìm được bằng cách

giải HPT tạo bởi các trung trực của tam giác, còn tâm J của đường tròn nội tiếp có
thể tìm được bằng cách giải HPT tạo bởi các đường phân giác trong của các góc
trong tam giác ( ngồi phương pháp này còn có các cách giải khác nữa).
*Với bài tốn 2: rõ ràng bài tốn này bắt đầu buộc học sinh phải tư duy để xác định
được 2 đường cao đã cho được xuất phát từ đỉnh nào của tam giác( ở đây có thể thấy
rằng tọa độ đỉnh B khơng thỏa mãn 2 PT đường cao đã cho nên ta có thể đặt:
h
A
: 5x + 3y - 4 = 0, và h
C
: 3x + 8y + 13 = 0), sau khi đã xác định rõ ràng được giả
thiết của bài tốn thì nói chung u cầu của bài tốn 2 khơng khó khăn gì nữa(bởi
đây cũng là các bài tốn cơ bản).
*Với bài tốn 3: đây là bài tốn có lẽ là khó nhất trong 3 bài tốn bởi để giải quyết
được bài tốn này phải sử dụng đến việc xác định điểm đối xứng của điểm qua
đường( phải giải quyết 2 bài tốn trung gian để có kết quả).
Đến đây hẳn q thầy cơ và các em học sinh cũng đã nhận thấy rằng việc hệ
thống kiến thức cùng với việc đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác
bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là thật cần thiết phải khơng?.
Giáo viên: Bùi Quang Bốn -Trường THPT Đồng Xoài - Năm học: 2010-2011 -Trang 5 -
Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
III. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI.
1. Các dạng phương trình đường thẳng:
1.1. Phương trình tổng qt:
a). Dạng: Ax + By + C = 0, (d) (điều kiện: A
2
+ B
2
≠

0).
b). Nhận xét:
- Đường thẳng d có Vtpt
n
=(A; B).
- Nếu d có Vtpt
n
=(A; B) thì d có phương trình dạng: Ax + By + m = 0
- Điểm M(x
0
; y
0
)
∈
d
⇔
Ax
0
+ By
0
+ C = 0.
- Nếu A = 0, B
≠
0, thì d có PT dạng: By + C = 0 (d // hoặc trùng Ox).
- Nếu A
≠
0, B = 0, thì d có PT dạng: Ax + C = 0 (d // hoặc trùng Oy).
- Nếu C = 0, thì d có PT dạng: Ax + By = 0 (d đi qua gốc tọa độ O(0; 0)).
- Nếu B
≠

0 thì d có PT dạng: y = -
B
A
x -
B
C
; khi đó giá trị k = -
B
A
được gọi là hệ
số góc của đường thẳng d.
1.2. Phương trình tham số:
a). Dạng:
)(
0
0
Rt
btyy
atxx
∈



+=
+=
, (d) (điều kiện: a
2
+ b
2
≠

0)
b). Nhận xét:
- Đường thẳng d có Vtcp
u
=(a; b) và đi qua điểm M(x
0
; y
0
).
- Với mỗi giá trị t = t
0
tùy ý, ta có M(x
0
+ at
0
; y
0
+ bt
0
)
∈
d.
- Nếu d có Vtcp
u
=(a; b) thì d có PTTQ dạng: bx – ay + m = 0.
- Khử t trong PTTS của d ta có được PTTQ ; ngược lại đặt x =f(t) ( hoặc y = f(t))
trong PTTQ ta sẽ có được PTTS của d.
1.3. Phương trình chính tắc:
a). Dạng:
b

yy
a
xx
00
−
=
−
(d), (điều kiện a.b
≠
0).
b). Nhận xét:
- Đường thẳng d có Vtcp
u
=(a; b) và đi qua điểm M(x
0
; y
0
).
- Rút t từ PTTS ta được PTCT; Thu gọn PTCT của d ta được PTTQ.
- Nếu d có Vtcp
u
=(a; b) mà a.b = 0 thì d khơng có phương trình chính tắc.
- Quy ước: nếu a = 0 thì d có PT: x – x
0
= 0, nếu b = 0 thì d có PT: y – y
0
= 0.
1.4. Phương trình đoạn chắn:
a). Dạng:
1=+

b
y
a
x
(d), (điều kiện a.b
≠
0).
b). Nhận xét:
- PTĐC là dạng đặc biệt của PTTQ của d.
- Đường thẳng d có Vtpt
1 1
;n
a b
 
 ÷
 
r
và cắt Ox tại A(a; 0), cắt Oy tại B(0; b).
1.5. Phương trình pháp dạng:
a). Dạng: Ax + By + C = 0, (d) (điều kiện: A
2
+ B
2
= 1).
Giáo viên: Bùi Quang Bốn -Trường THPT Đồng Xoài - Năm học: 2010-2011 -Trang 6 -
Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
b). Nhận xét:
- PTPD là dạng đặc biệt của PTTQ của d.
2. Một số bài tốn cơ bản về viết phương trình đường thẳng

trong mặt phẳng:
2.1. Bài tốn 1: Đường thẳng đi qua một điểm và có véc tơ chỉ phương.
Đường thẳng d đi qua điểm M(x
0
; y
0
) và có véc tơ chỉ phương
u
=(a; b) sẽ có
phương trình dạng:
- Chính tắc:
b
yy
a
xx
00
−
=
−
(nếu a.b
≠
0)
- Tham số:
)(
0
0
Rt
btyy
atxx
∈




+=
+=
- Tổng qt: b(x – x
0
) – a(y – y
0
) = 0, hoặc: – b(x – x
0
) + a(y – y
0
) = 0.
Chú ý:
- Nếu d có Vtcp
u
=(a; b) thì d có Vtpt
n
=(b; - a) hoặc
n
=(- b; a).
- Nếu d có Vtcp
u
=(a; b) thì d có PTTQ dạng: bx – ay + m = 0.
2.2. Bài tốn 2: Đường thẳng đi qua một điểm và có véc tơ pháp tuyến.
Đường thẳng d đi qua điểm M(x
0
; y
0

) và có véc tơ pháp tuyến
n
=(A; B) sẽ có
phương trình dạng:
- Tổng qt: A(x – x
0
) + B( y – y
0
) = 0.
- Tham số:
)(
0
0
Rt
Atyy
Btxx
∈



−=
+=
hoặc:
)(
0
0
Rt
Atyy
Btxx
∈




+=
−=

- Chính tắc:
A
yy
B
xx
−
−
=
−
00
hoặc:
A
yy
B
xx
00
−
=
−
−
(nếu A.B
≠
0)
Chú ý:

- Nếu d có Vtpt
n
=(A; B) thì d có Vtcp
u
=(B; - A) hoặc
n
=(- B; A).
- Nếu d có Vtpt
n
=(A; B) thì d có PTTQ dạng: Ax + By + m = 0
2.3. Bài tốn 3: Đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc.
Đường thẳng d đi qua điểm M(x
0
; y
0
) và có hệ số góc k sẽ có phương trình
dạng: y = k(x – x
0
) + y
0
Chú ý: Nếu d có hệ số góc k thì d có phương trình dạng: y = kx + m.
2.4. Bài tốn 4: Đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
Đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A(x
1
; y
1
) và B(x
2
; y
2

) sẽ có phương
trình:
12
1
12
1
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−
Chú ý:
- Đường thẳng d qua A, B sẽ có véc tơ chỉ phương
AB
= (x
2
– x
1
; y
2
– y
1
).
- Đường thẳng d qua hai điểm A(a; 0) và B(0; b) sẽ có phương trình dạng:
Giáo viên: Bùi Quang Bốn -Trường THPT Đồng Xoài - Năm học: 2010-2011 -Trang 7 -
Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng

phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
1=+
b
y
a
x
2.5. Bài tốn 5: Đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng.
Đường thẳng d qua giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau
d
1
:A
1
x + B
1
y + C
1
= 0 và d
2
: A
2
x + B
2
y + C
2
= 0 sẽ có phương trình dạng:
m(A
1
x + B
1
y + C

1
) + n(A
2
x + B
2
y + C
2
) = 0. (điều kiện: m
2
+ n
2

≠
0)
Chú ý: Sử dụng phương pháp này ta khơng phải tìm tọa độ giao điểm của hai
đường thẳng.
2.6. Bài tốn 6: Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước.
Đường thẳng d song song với đường thẳng: Ax + By + C = 0 sẽ có phương trình
dạng: Ax + By + m = 0.
Chú ý: Nếu d song song với đường thẳng: y = kx + m thì đường thẳng d có
phương trình dạng: y = kx + n. (Do hai đường thẳng song song có hệ số góc k
bằng nhau).
2.7. Bài tốn 7: Đường thẳng vng góc với một đường thẳng cho trước.
Đường thẳng d vng góc với đường thẳng: Ax + By + C = 0 sẽ có phương trình
dạng: Bx – Ay + m = 0 ( hoặc: – Bx + Ay + m = 0 )
Chú ý: Nếu d vng góc với đường thẳng: y = kx + m thì đường thẳng d có
phương trình dạng: y =
k
1
−

x + n.(Do hai đường thẳng vng góc có tích hệ số
góc k bằng -1).
2.8. Bài tốn 8: Đường thẳng tạo với đường thẳng cho trước một góc
α
.
Đường thẳng d tạo với đường thẳng: y = k
1
x + m
1
một góc
α
, sẽ có hệ số góc k
được xác định bởi cơng thức:
1
1
tan
1 .
k k
k k
α
−
=
+
.
Chú ý: Giải phương trình trên ta tìm được hệ số góc k và quay về bài tốn 3.
2.9. Hệ quả của bài tốn 7:
a). Hệ quả 1: Tìm hình chiếu vng góc H của điểm A trên đường thẳng d.
Cách giải: - Lập PT đường thẳng
∆
qua điểm A và vng góc với d.

- Điểm H cần tìm chính là giao điểm của d và
∆
.
b). Hệ quả 2: Tìm điểm đối xứng A’ của điểm A qua đường thẳng d.
Cách giải: - Tìm điểm H là hình chiếu vng góc của A trên d (hệ quả 1).
- Điểm A’ cần tìm được xác định bởi: H là trung điểm của AA’.
3. Một số bài tốn thường gặp về giải tam giác bằng phương
pháp tọa độ trong mặt phẳng :
III.1 Bài tốn 1: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh A, B, C?
Nhận xét: Đây là bài tốn cơ bản nhất về giải tam giác, do đó ta có thể dễ dàng giải
quyết được một số u cầu của giả thiết như:
- Lập phương trình cạnh AB: qua 2 điểm A và B.
Giáo viên: Bùi Quang Bốn -Trường THPT Đồng Xoài - Năm học: 2010-2011 -Trang 8 -
Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
- Lập phương trình đường cao h
A
: qua A và có vectơ pháp tuyến
BC
.
- Lập phương trình đường trung tuyến m
B
: qua B và trung điểm của AC.
- Lập phương trình trung trực của cạnh AB: qua trung điểm AB và
⊥
AB.
- Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là trung bình cộng tọa độ 3 đỉnh A, B, C.
III.2 Bài tốn 2: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 3 trung điểm M, N, P của 3
cạnh AB, BC, CA?
Phương pháp:

- Cạnh AB qua M và có vectơ chỉ phương là
NP
.
- Cạnh CB qua N và có vectơ chỉ phương là
MP
.
- Cạnh AC qua P và có vectơ chỉ phương là
NM
.
Nhận xét: Ta có thể sử dụng cơng thức tọa độ trung điểm để lập hệ PT có ẩn là tọa độ
của 3 đỉnh để có kết quả.
Ví dụ: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trung điểm của 3 cạnh
có tọa độ
( ) ( ) ( )
2;1 , 5;3 , 3; 4 .M N P
−
Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết của bài tốn ta giả sử M là trung điểm của AB, N là trung điểm BC, P
là trung điểm CA.
Khi đó cạnh AB qua M và nhận
( )
2;7PN
uuur
làm vtcp. Hay pt của AB:
( )
2 2

1 7
x t
t R

y t
= +

∈

= +

Khi đó cạnh BC qua N và nhận
( )
1; 5MP
−
uuur
làm vtcp. Hay pt của BC:
( )
5

3 5
x t
t R
y t
= +

∈

= −

Khi đó cạnh AC qua P và nhận
( )
3;2MN
uuuur

làm vtcp. Hay pt của AC:
( )
3 3

4 2
x t
t R
y t
= +

∈

= − +

III.3 Bài tốn 3: Giải tam giác ABC khi biết phương trình 3 cạnh AB, BC, CA
của tam giác?
Nhận xét: đây cũng là bài tốn cơ bản về giải tam giác, do đó ta có thể dễ dàng giải
quyết được một số u cầu của giả thiết như:
- Đỉnh A, B, C lần lượt là giao điểm của AB và AC; của AB và BC; của AC và
BC.
- Đường cao h
A
qua giao điểm của AB, AC đồng thời vng góc với BC.
Ví dụ: Cho tam giác ABC biết phương trình các cạnh lần lượt là:
2 0x y
− − =
,
3 5 0, 4 1 0x y x y
− + = − − =
. Viết phương trình các đường cao của tam giác.

Hướng dẫn giải:
Giáo viên: Bùi Quang Bốn -Trường THPT Đồng Xoài - Năm học: 2010-2011 -Trang 9 -
Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
Theo giả thiết của bài tốn giả sử phương trình các cạnh của tam giác ABC là:
: 2 0, :3 5 0, : 4 1 0AB x y BC x y CA x y
− − = − + = − − =
khi đó
A AB AC
= ∩
nên tọa
độ của A thỏa mãn hệ phương trình
7
2 0
3
4 1 0 1
3
x
x y
x y
y

=

− − =


⇔
 
− − =



=


hay
7 1
;
3 3
A
 
 ÷
 
Tương tự ta có
7 11
;
2 2
B BC AB B
 
= ∩ ⇒ − −
 ÷
 
,
21 8
;
11 11
C AC BC C
 
= ∩ ⇒ − −
 ÷

 
Đường cao của
ABC
∆
hạ từ đỉnh A sẽ qua A và vng góc với BC nên nó nhận
35 105
;
22 22
BC
 
 ÷
 
uuur
làm vectơ pháp tuyến hay pt
:3 9 10 0
A
h x y+ − =
.
Đường cao của
ABC
∆
hạ từ đỉnh B sẽ qua B và vng góc với AC nên nó nhận
140 35
;
33 33
AC
 
− −
 ÷
 

uuur
làm vectơ pháp tuyến hay pt
:8 2 39 0
B
h x y+ + =
Đường cao của
ABC
∆
hạ từ đỉnh C sẽ qua C và vng góc với AB nên nó nhận
35 35
;
6 6
AB
 
− −
 ÷
 
uuur
làm vectơ pháp tuyến hay pt
:11 11 29 0
C
h x y+ + =
III.4 Bài tốn 4: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 1 đỉnh và phương trình 2
đường trung tuyến xuất phát từ 2 đỉnh còn lại?
Phương pháp: Ta giả sử giả thiết cho A + m
C
+ m
B
- Ta có tọa độ trọng tâm G = m
C

∩ m
B
.
- Tọa độ trung điểm M của BC xác định từ hệ thức:
2GA MG
=
uuur uuuur
.
- Biểu diễn tọa độ B, C theo tham số( vì B
∈
m
B
,
C
∈
m
C
).
- Do M là trung điểm BC
⇒

MCBM =
⇒
tham số
⇒
tọa độ B, C.
Chú ý: Bài tốn sẽ có vơ số nghiệm nếu như giả thiết của bài tốn cho 1 đỉnh và 2
trung tuyến trong đó có 1 trung tuyến xuất phát từ đỉnh đã cho.
Ví dụ: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh
( )

1;3A
và hai
trung tuyến có phương trình lần lượt là:
2 1 0, 1 0x y y
− + = − =
.
Hướng dẫn giải:
Nhận xét thấy
1 2.3 1 0, 0.1 3 1 0
− + ≠ + − ≠
nên A khơng thuộc 2 đường trung tuyến
hay 2 đường trung tuyến trên xuất phát từ B và từ C, khơng làm mất tính tổng qt
giả sử
: 2 1 0, : 1 0
B C
m x y m y− + = − =
. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC khi đó
( )
1;1
B C
G m m G
= ∩ ⇒
.
Gọi M là trung điểm của BC khi đó ta có
2.GA MG
=
uuur uuuur
hay M(1;0).
Giáo viên: Bùi Quang Bốn -Trường THPT Đồng Xoài - Năm học: 2010-2011 -Trang 10 -
m

B
M
m
C
C
B
A
G
Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
Mặt khác
,
B C
B m C m∈ ∈
nên
( ) ( )
1 2 ; , ';1B t t C t
− +
mà M là trung điểm của BC
BM MC
⇒ =
uuuur uuuur
hay
1
' 5
t
t
= −



=

suy ra
( ) ( )
3; 1 , 5;1B C
− −
Cạnh AB của tam giác qua A và nhận
( )
4; 4AB − −
uuur
làm vtcp hay phương trình cần tìm
là
( )
1
1
1
1 4

1 4
x t
t R
y t
= −

∈

= −

Cạnh BC của tam giác qua B và nhận
( )

8;2BC
uuur
làm vtcp hay phương trình cần tìm là
( )
2
2
2
3 8

1 2
x t
t R
y t
= − +

∈

= − +

Cạnh AC của tam giác qua A và nhận
( )
4; 2AC −
uuur
làm vtcp hay phương trình cần tìm
là
( )
3
3
3
1 4

3 2
x t
t R
y t
= +

∈

= −

III.5 Bài tốn 5: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 1 đỉnh và phương trình 2
đường cao hạ từ 2 đỉnh còn lại?
Phương pháp: Ta giả sử giả thiết cho A + h
C
+ h
B
- Cạnh AB qua đỉnh A và vng góc với h
C
.
- Cạnh AC qua đỉnh A và vng góc với h
B
.
- Đỉnh B = AB∩ h
B
; Đỉnh C = AC ∩ h
C
.
Chú ý: Bài tốn sẽ có vơ số nghiệm nếu như giả thiết của bài tốn cho 1 đỉnh và 2
đường cao trong đó có 1 đường cao xuất phát từ đỉnh đã cho.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có đỉnh C(1;1) và phương trình hai đường cao lần lượt
là
2 3 6 0; 2 8 0x y x y
+ − = − + − =
. Xác định tọa độ các đỉnh và lập phương trình
đường cao còn lại của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết của bài tốn ta có C khơng thuộc vào 2 đường cao do
2.1 3.1 6 0, 2.1 1 8 0
+ − ≠ − + − ≠
và
2 3
2 1
≠
−
nên 2 đường cao trên phải xuất phát từ
các đỉnh A, B của tam giác. Khơng làm mất tính tổng qt gọi
: 2 3 6 0
A
h x y+ − =
,
: 2 8 0
B
h x y− + − =
.
Khi đó cạnh BC của tam giác qua C và vng góc với
A
h
nên BC có phương trình.
3 2 1 0x y

− + + =
Cạnh AC của tam giác qua C và vng góc với
B
h
nên AC có phương trình.
2 3 0x y
+ − =
Giáo viên: Bùi Quang Bốn -Trường THPT Đồng Xoài - Năm học: 2010-2011 -Trang 11 -
h
C
h
B
C
B
A
Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
Suy ra
B
B h BC
= ∩
hay
( )
17; 26B
− −
,
A
A h AC= ∩
hay
( )

3;0A
Phương trình đường cao còn lại là
C
h
.
C
h
qua C và vng góc với AB nên nhận
( )
20; 26AB − −
uuur
làm vtpt, hay
:10 13 23 0
C
h x y+ − =
III.6 Bài tốn 6: Giải tam giác ABC khi biết phương trình 1 cạnh và phương
trình 2 đường cao hạ từ 2 đỉnh mà cạnh đó đi qua?
Phương pháp: giả sử giả thiết của bài tốn cho AB + h
A
+
h
B
.
- Đỉnh A = AB ∩ h
A
, đỉnh B = AB ∩ h
B
.
- Cạnh AC qua A và vng góc với h
B

.
- Cạnh BC qua B và vng góc với h
A
.
Ví dụ: Lập phương trình 2 cạnh còn lại của tam giác ABC biết
: 4 3 0AB x y
− + =
,
2 đường cao hạ từ A và từ B là
: 2 1 0, : 3 0
A B
h x y h x y− + = + + =
.
Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết của bài tốn ta có:
A
A AB h= ∩
hay
5 1
;
7 7
A
 
−
 ÷
 
,
B
B AB h= ∩
hay

6 9
;
5 5
B
 
− −
 ÷
 
.
Khi đó cạnh AC của tam giác qua A và vng góc với
B
h
nên cạnh AC có phương
trình
7 7 6 0x y
− + − =
Cạnh BC của tam giác qua B và vng góc với
A
h
nên cạnh BC có phương trình
10 5 21 0x y
+ + =
.
III.7 Bài tốn 7: Giải tam giác ABC khi biết phương trình 1 cạnh và 2 đường
trung tuyến?
Với bài tốn này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:
- Dạng 1: Phương trình 1 cạnh và 2 đường trung tuyến
xuất phát từ 2 đỉnh mà cạnh đó đi qua(ví dụ: BC +
m
B

+ m
C
).
- Dạng 2: Phương trình 1 cạnh và 2 đường trung
tuyến, trong đó có 1 trung tuyến xuất phát từ 1 đỉnh
mà cạnh đó khơng đi qua (ví dụ: BC + m
B
+ m
A
).
Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 1, dạng 2 được xét tương tự.
- Ta có tọa độ trọng tâm G = m
C
∩ m
B
.
Giáo viên: Bùi Quang Bốn -Trường THPT Đồng Xoài - Năm học: 2010-2011 -Trang 12 -
h
A
h
B
C
B
A
m
B
m
C
C
B

A
G
Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
- Đỉnh B = m
B
∩ BC, đỉnh C = m
C
∩ BC.
- Tọa độ A suy từ:
OCOBOGOA
−−=
3
Ví dụ: Cho tam giác ABC có phương trình cạnh BC:
5 28 0x y
+ − =
, phương trình
2 đường trung tuyến xuất phát từ B, C lần lượt là:
:12 40 0, :3 4 10 0
B C
m x y m x y− − = + − =
. Xác định tọa độ đỉnh B và phương trình
đường cao hạ từ B.
Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết của bài tốn ta có
B
B BC m= ∩
hay
( )
4;8B

,
C
C BC m
= ∩
hay
( )
6; 2C
−
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC khi đó
B C
G m m
= ∩
hay
10
;0
3
G
 
 ÷
 
gọi A(x;y)
khi đó
3OA OB OC OG
+ + =
uuur uuur uuur uuur
hay
( )
0
0; 6
6

x
A
y
=

⇒ −

= −

Đường cao hạ từ đỉnh B của tam giác ABC qua B và vng góc với AC nên nhận
( )
6;4AC
uuur
làm vtpt hay phương trình
:3 2 28 0
B
h x y+ − =
III.8 Bài tốn 8: Giải tam giác ABC khi biết 1 đỉnh, phương trình 1 đường
trung tuyến và 1 đường phân giác trong?
Với bài tốn này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:
- Dạng 1: đường phân giác trong và trung tuyến
xuất phát từ cùng 1 đỉnh và khơng trùng với đỉnh
đã cho (ví dụ: A + l
B
+ m
B
).
- Dạng 2: đường phân giác và trung tuyến xuất phát
từ 2 đỉnh phân biệt khơng trùng với đỉnh đã cho
(ví dụ: A + l

B
+ m
C
).
Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 2, dạng 1 được xét tương tự.
- Do M
∈
m
C
, B
∈
l
B

⇒
biểu diễn tọa độ M, B theo tham số.
- Giải hệ PT:
MABM
=

⇒
tham số
⇒
tọa độ B.
- Gọi A
1
là điểm đối xứng của A qua l
B
⇒
A

1
∈
BC
- Cạnh BC qua 2 điểm B, A
1
⇒
đỉnh C = m
C
∩ BC
Ví dụ: Lập phương trình cạnh AC của tam giác ABC biết đỉnh B(-5;3), phương
trình đường phân giác trong và trung tuyến xuất phát từ đỉnh C lần lượt là:
2 5 0x y
+ − =
,
4 7 0x y
− + =
.
Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết của bài tốn gọi phương trình đường phân giác trong hạ từ C:
: 2 5 0
C
l x y+ − =
, phương trình đường trung tuyến hạ từ C:
: 4 7 0
C
m x y− + =
.
Khi đó ta có
C C
C l m= ∩

hay
( )
1;3C
−
.
Gọi
∆
qua B và
C
l∆ ⊥
hay
: 2 13 0x y
∆ − + =
, gọi
C
H l
= ∆ ∩
hay
21 23
;
5 5
H
 
−
 ÷
 
Giáo viên: Bùi Quang Bốn -Trường THPT Đồng Xoài - Năm học: 2010-2011 -Trang 13 -
M
A
1

m
C
l
B
C
B
A
Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
Gọi A’ là điểm đối xứng của B qua
C
l
thì H là trung điểm của BA’ hay
17 31
' ;
5 5
A
 
−
 ÷
 
Cạnh AC của tam giác ABC qua 2 điểm A’ và C nên AC qua C và nhận
12 16
' ;
5 5
A C
 
−
 ÷
 

uuuur
làm vtcp. Hay AC có phương trình:
( )
12
1
5

16
3
5
x t
t R
y t

= − +


∈


= −


III.9 Bài tốn 9: Giải tam giác ABC khi biết 1 đỉnh, 1 đường cao và 1 đường
phân giác?
Với bài tốn này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:
- Dạng 1: đường cao và phân giác xuất phát từ 2 đỉnh phân
biệt khơng trùng với đỉnh đã cho (ví dụ: A + h
B
+ l

C
).
- Dạng 2: đường cao và phân giác xuất phát từ cùng 1 đỉnh
khơng trùng với đỉnh đã cho (ví dụ: A + h
B
+ l
B
).
Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 1, dạng 2 được xét tương tự.
- Cạnh AC qua A và
⊥
h
B
.
⇒
Đỉnh C = AC ∩ l
C
.
- Gọi A
1
là điểm đốixứng của A qua l
C
⇒
A
1
∈
BC
- Cạnh BC qua C và A
1

⇒
đỉnh B = BC ∩ h
B
.
Ví dụ: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết đỉnh A(4;5) và phương
trình đường cao và phân giác kẻ từ 1 đỉnh lần lượt là
3 6 0, 3 0.x y
− = − =
Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết của bài tốn giả sử phương trình đường phân giác xuất phát từ đỉnh B
là
: 3 0
B
l y − =
, phương trình đường cao xuất phát từ đỉnh B là
:3 6 0
B
h x − =
.
Gọi
B B
B h l= ∩
hay
( )
2;3B
. Mặt khác cạnh AC của tam giác ABC qua A và vng
góc với
B
h
nên AC có phương trình y-5 = 0.

Gọi
∆
qua A và
B
l∆ ⊥
khi đó
: 4 0x
∆ − =
. Gọi
( )
4;3
B
H l H
= ∆ ∩ ⇒
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua
B
l
thì H là trung điểm của AA’ hay
( )
' 4;1A
.
Cạnh BC của tam giác ABC qua 2 điểm B và A’ nên BC qua B và có vtcp
( )
' 2; 2BA
−
uuur

hay cạnh BC:
( )
2 2

3 2
x t
t R
y t
= +

∈

= −

III.10 Bài tốn 10: Giải tam giác ABC khi biết phương trình 1 cạnh, 1 trung
tuyến và đường cao?
Giáo viên: Bùi Quang Bốn -Trường THPT Đồng Xoài - Năm học: 2010-2011 -Trang 14 -
A
1
l
C
h
B
C
B
A
Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
Với bài tốn này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:
- Dạng 1: Đường cao và trung tuyến xuất phát từ 2
đỉnh mà cạnh đi qua(ví dụ: AB + h
A
+ m

B
).
Dạng 2: Đường cao và trung tuyến khơng cùng xuất
phát từ 1 đỉnh và trung tuyến xuất phát từ đỉnh mà
cạnh đó khơng đi qua (ví dụ: AB + h
A
+ m
C
)
Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 1, dạng 2 được xét tương tự.
- Đỉnh A = AB ∩ h
A
; Đỉnh B =AB ∩ m
B
.
- Cạnh BC qua B và
⊥
h
A
.
- Do M
∈
m
B
, C
∈
BC
⇒
biểu diễn tọa độ M, C theo tham số.
- Giải hệ PT:

MACM
=

⇒
tham số
⇒
tọa độ C.
Ví dụ : Lập phương trình cạnh AC của tam giác ABC, biết cạnh
: 2 7 0AB x y
+ − =
,
đường cao hạ từ A có phương trình
: 4 7 0
A
h x y+ − =
, trung tuyến hạ từ B có
phương trình
: 2 1 0
B
m x y− + =
.
Hướng dẫn giải :
Theo giả thiết của bài tốn ta có
A
A AB h= ∩
hay
( )
1;3A
,
B

B AB m= ∩
hay
( )
3;2B
.
Khi đó cạnh BC qua B và vng góc với
A
h
hay BC có phương trình
4 5 0x y
− + − =
Mặt khác gọi M là trung điểm của AC khi đó ta có
,
B
M m C BC∈ ∈
nên M và C có
tọa độ lần lượt là
( ) ( )
1 2 ; , 5 4 '; 'M t t C t t
− + − +
với
, 't t R
∈
.
Do M là trung điểm của AC nên
CM MA
=
uuuur uuur
hay
7

4 2 4 ' 2 2
2
' 3
' 4
t t t
t
t t t
t

+ − = −
=


⇔
 
− = −


=


( )
7
6; , 11;4
2
M C
 
⇒
 ÷
 

Vậy cạnh AC của tam giác qua C và nhận
( )
10;1AC
uuur
làm vtcp nên AC có phương
trình
( )
1
1
1
11 10

4
x t
t R
y t
= +

∈

= +

.
III.11 Bài tốn 11: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 2 đỉnh và tọa độ trực tâm?
Phương pháp: giả sử giả thiết của bài tốn cho A + B + H(trực
tâm).
- Cạnh AB qua 2 điểm A và B.
- Cạnh AC qua điểm A và vng góc với BH.
- Cạnh BC qua điểm B và vng góc với AH.
Giáo viên: Bùi Quang Bốn -Trường THPT Đồng Xoài - Năm học: 2010-2011 -Trang 15 -

m
B
M
h
A
A
C
B
A
C
C
H
B
Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
Ví dụ : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh
( ) ( )
1;3 , 1; 2A C
− −

trực tâm
71 77
;
31 31
H
 
−
 ÷
 
.

Hướng dẫn giải :
Theo giả thiết của bài tốn ta có cạnh AC qua A và nhận
( )
2; 5AC −
uuur
làm vtcp hay
nhận
( )
5;2n
r
làm vtpt nên AC có phương trình
( ) ( )
5 1 2 3 0 5 2 1 0x y x y
+ + − = ⇔ + − =
.
Cạnh AB qua A và nhận
40 15
;
31 31
CH
 
−
 ÷
 
uuur
làm vtpt hay AB có phương trình
40 15 85 0x y
− + =
.
Cạnh BC qua C và nhận

102 170
;
31 31
AH
 
−
 ÷
 
uuur
làm vtpt hay BC có phương trình
102 170 442 0x y
− − =
III.12 Bài tốn 12: Giải tam giác ABC khi biết phương trình cạnh, trung tuyến
và phân giác trong?
Với bài tốn này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:
- Dạng 1: Trung tuyến và phân giác trong xuất phát từ 2
đỉnh mà cạnh đó đi qua(ví dụ: AB + l
B
+ m
A
).
- Dạng 2: Trung tuyến và phân giác trong xuất phát từ 2
đỉnh, với cạnh và trung tuyến khơng chung đỉnh(ví dụ:
AB + l
A
+ m
C
)
Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 1, dạng 2 được xét tương tự.
- Đỉnh A = AB ∩ m

A
; Đỉnh B = AB ∩ l
B
.
- Gọi A
1
là điểm đối xứng của A qua l
B
.
⇒
A
1
∈
BC
⇒
cạnh BC qua B và A
1
- Trung điểm N = BC ∩ m
A
.
- Đỉnh C xác định từ hệ thức:
NCBN =
Ví dụ : Cho tam giác ABC biết phương trình cạnh
: 4 3 0AB x y
− + =
, phân giác
trong
: 2 1 0
A
l x y− + =

trung tuyến
: 6 9 177 0
B
m x y+ + =
. Viết phương trình hai cạnh
còn lại của tam giác.
Hướng dẫn giải :
Theo giả thiết của bài tốn ta có
A
A AB l= ∩
hay
5 1
;
7 7
A
 
−
 ÷
 
,
B
B AB m= ∩

hay
34 115
;
7 7
B
 
− −

 ÷
 
.
Gọi
∆
là đường thẳng qua B và vng góc với
A
l
nên
∆
có phương trình
14 7 183 0x y
+ + =
, gọi
A
H l
= ∆ ∩
hay
373 169
;
35 35
H
 
− −
 ÷
 
.
Giáo viên: Bùi Quang Bốn -Trường THPT Đồng Xoài - Năm học: 2010-2011 -Trang 16 -
l
B

m
A
C
B
N A
1
A
Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua
A
l
hay
576 237
' ;
35 35
B
 
−
 ÷
 
Khi đó AC qua A và B’ hay AC qua A và nhận
( )
232;551n
r
làm vtpt.
Cạnh AC có phương trình là.
232 551 87 0x y
+ + =
Gọi N là trung điểm của AC khi đó

556 233
;
7 7
B
N m AC N
 
= ∩ ⇒ −
 ÷
 
1107 465
;
7 7
C
 
⇒ −
 ÷
 
.
Cạnh BC có phương trình
( )
34 1073
7 7

115 580
7 7
x t
t R
y t

= − −



∈


= − +


.
III.13 Bài tốn 13: Giải tam giác ABC khi biết phương trình 2 cạnh và tọa độ
trực tâm?
PP: giả sử giả thiết của bài tốn cho AB+AC+H (trực tâm).
- Đỉnh A = AB ∩ AC.
- Đường cao h
B
qua H và
⊥
AC.
- Đỉnh B = AB ∩ h
B
.
- Cạnh BC qua B và
⊥
AH.
Ví dụ : Cho tam giác ABC có phương trình 2 cạnh là
9 0, 5 7 3 0x y x y
+ − = − + =

và trực tâm
11 14

;
3 3
H
 
 ÷
 
. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải :
Theo giả thiết của bài tốn giả sử phương trình 2 cạnh của
ABC
∆
là
: 9 0, : 5 7 3 0AB x y AC x y
+ − = − + =
, khi đó đỉnh
A AB AC
= ∩
hay tọa độ của
( )
5;4A
.
Gọi
B
h
là đường cao hạ từ đỉnh B của tam giác qua H và vng góc với AC nên
B
h

có phương trình
7 5 49 0x y

+ − =
.
Đỉnh B của tam giác :
B
B AB h= ∩
hay
( )
2;7B
.
Cạnh BC qua B và vng góc với AH nên BC có phương trình
2 3 0x y
− + − =
Tọa độ đỉnh C của tam giác ABC.
( )
2; 1C BC AC C
= ∩ ⇒ − −
.
Giáo viên: Bùi Quang Bốn -Trường THPT Đồng Xoài - Năm học: 2010-2011 -Trang 17 -
A
C
C
B
H
Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
III.14 Bài tốn 14: Giải tam giác ABC khi biết phương trình 2 cạnh và tọa độ
trọng tâm?
PP: giả sử giả thiết của bài tốn cho AB + AC + G(trọng
tâm).
- Đỉnh A = AB ∩ AC.

- Gọi M là trung điểm BC
⇒
tọa độ M xác định bởi hệ
thức:
GMAG 2
=
.
- Do B
∈
AB, C
∈
AC
⇒
biểu diễn tọa độ B, C theo tham số.
- Giải HPT:
MCBM
=

⇒
tham số
⇒
tọa độ B, C
Ví dụ: Lập phương trình các đường cao của tam giác ABC biết phương trình 2
cạnh lần lượt là
2 7 0; 4 1 0x y x y
+ − = − − =
và tọa độ trọng tâm
( )
1;1G
Hướng dẫn giải :

Theo giả thiết của bài tốn giả sử phương trình 2 cạnh của tam giác ABC là :
: 2 7 0, : 4 1 0AB x y AC x y
+ − = − − =
khi đó đỉnh
( )
5;1A AB AC A
= ∩ ⇒
.
Gọi M là trung điểm của BC khi đó điểm M được xác định bởi hệ thức
( )
2 1;1AG GM M= ⇒ −
uuur uuuur
, mặt khác do.

( ) ( ) ( )
, 7 2 ; , 1 4 '; ' , 'B AB C AC B t t C t t t t R
∈ ∈ ⇒ − + ∈
khi đó
3
' 1
t
BM MC
t
=

= ⇒

= −

uuuur uuuur

( ) ( )
1;3 , 3; 1B C
− −
. Đường cao hạ từ A đến BC sẽ qua A và vng góc với BC nên
: 6 0
A
h x y+ − =
,
Đường cao hạ từ B đến AC sẽ qua B và vng góc AC nên
: 4 7 0
B
h x y+ − =
.
Đường cao hạ từ C đến AB sẽ qua C và vng góc AB nên
: 2 5 0
C
h x y− + − =
.
Giáo viên: Bùi Quang Bốn -Trường THPT Đồng Xoài - Năm học: 2010-2011 -Trang 18 -
C
B
M
C
G
A
Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
4. Một số bài tốn tham khảo về giải tam giác bằng phương
pháp tọa độ trong mặt phẳng :
4.1Bài tốn a: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 3 chân đường phân giác trong

M, N, P của các góc A, B, C?
Phương pháp:
- Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp
∆
MNP.
- Lập phân giác trong l
A
qua M, I và phân
giác l
B
qua N, I.
- Gọi N’ là điểm đối xứng của N qua l
A
.
- Cạnh AB qua 2 điểm P, N’
⇒
B = l
B
∩ AB và A = l
A
∩ AB.
- Cạnh AC qua A, N và cạnh BC qua B, M.
Chú ý: Ta có thể lập hai cặp phân giác khác và làm tương tự như trên.
4.2Bài tốn b: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 1 đỉnh và phương trình 2
đường trung trực?
Giáo viên: Bùi Quang Bốn -Trường THPT Đồng Xoài - Năm học: 2010-2011 -Trang 19 -
N
N’
M’
P

M
C
A
B
I
Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
Với bài tốn này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:
- Dạng 1: 1 đỉnh và 2 đường trung trực của 2 cạnh
kề với đỉnh đó(ví dụ: A + t
AC
+ t
AB
).
- Dạng 2: 1 đỉnh và trung trực của 1 cạnh kề và trung
trực của 1 cạnh đối với đỉnh đó(ví dụ:
A + t
AB
+ t
BC
).
Phương pháp: Ta xét dạng 1, với dạng 2 được xét tương tự:
- Cạnh AB qua đỉnh A và
⊥
t
AB

⇒
M = AB ∩ t
AB

- Cạnh AC qua đỉnh A và
⊥
t
AC

⇒
P = AC ∩ t
AC
- Đỉnh B và C được xác định từ kết quả M là trung điểm của AB, P là trung điểm
của AC.
4.3Bài tốn c: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 1 đỉnh và tọa độ 2 chân đường
cao?
Với bài tốn này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:
- Dạng 1: 1 đỉnh và 2 chân đường cao thuộc 2 cạnh kề
với đỉnh đó (ví dụ: A + N + P).
- Dạng 2: 1 đỉnh và 2 chân đường cao, trong đó có 1
chân đường cao hạ từ đỉnh đã cho (ví dụ: A + M +
P).
Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 1, dạng 2 được xét tương tự.
- Cạnh AB qua 2 điểm A, P.
- Cạnh AC qua 2 điểm A, N.
- h
B
qua N và
⊥
AC
⇒
B = h
B
∩ AB.

- h
C
qua P và
⊥
AB
⇒
C = h
C
∩ AC.
5. Bài tập tự luyện:
Do khn khổ của sáng kiến kinh nghiệm và thời gian có hạn nên việc có lời
giải chi tiết mỗi bài tập thuộc từng loại là khơng thể. Sau đây là một số bài tập mà ta
có thể sử dụng các bài tốn cơ bản ở trên để giải quyết, song vì trên đây là lời giải
của các bài tốn tổng qt nên khi áp dụng để làm các bài tập cụ thể chúng ta nên
nghiên cứu kỹ giả thiết và u cầu của bài tốn để có được lời giải ngắn gọn nhất.
Một điều nữa là các bài tập sau đây đều được xét trong hệ tọa độ Đềcác vng
góc Oxy, nên để đề bài được ngắn gọn và cơ đọng, ta sẽ khơng nói đến “cụm từ này”
trong các bài tập nữa, song các bạn vẫn phải hiểu rằng ta đang xét trong hệ tọa độ
Oxy.
Bài 1: Cho tam giác ABC biết A(- 2; 1), B(2; 5), C(4; 1). Hãy viết phương trình các
đường trung trực của các cạnh AB và AC, đồng thời xác định tọa độ tâm và bán kính
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?
Bài 2: Cho tam giác ABC biết phương trình các cạnh lần lượt là: x – y – 2 = 0,
3x – y + 5 = 0, x – 4y – 1 = 0. Viết phương trình các đường cao của tam giác?
Giáo viên: Bùi Quang Bốn -Trường THPT Đồng Xoài - Năm học: 2010-2011 -Trang 20 -
P
N
M
C
A

B
P
N
M
C
B
A
Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
Bài 3: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trung điểm của 3 cạnh có
tọa độ là: M(4; 1), N(5; -3), P(-3; 4)?
Bài 4: Cho tam giác ABC có M(- 2; 2) là trung điểm của một cạnh, còn hai cạnh kia
có phương trình lần lượt là: x – 2y – 2 = 0, 2x + 5y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của
tam giác?
Bài 5: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh A(-1; -3) và hai đường
trung tuyến có phương trình lần lượt là: x – 2y + 1 = 0, y – 2 = 0.?
Bài 6: Cho tam giác ABC có đỉnh B(2; -1) và phương trình 2 đường phân giác trong
có phương trình lần lượt là: x – 2y + 1 = 0, x + y + 3 = 0. Lập phương trình các cạnh
và phân giác còn lại?
Bài 7: Cho tam giác ABC có đỉnh C(-1; -1) và phương trình 2 đường cao lần lượt là:
2x - 4y – 5 = 0, - 2x + y – 8 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh và lập phương trình đường
cao còn lại?
Bài 8: Viết phương trình cạnh BA của
∆
ABC, biết đỉnh C(4; 1), đường cao và phân
giác qua hai đỉnh A, B lần lượt là: 2x – 3y + 12 = 0, 2x + 3y = 0.?
Bài 9: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết đỉnh A(6; 5) và phương
trình đường cao và phân giác kẻ từ một đỉnh lần lượt là:3 x – 9 = 0 , y – 5 = 0.?
Bài 10: Lập phương trình các đường cao còn lại của tam giác ABC biết đỉnh B(2; 1),
đường cao và trung tuyến xuất phát từ C và A có phương trình lần lượt là:

3x + 5y – 23 = 0, 7x – 6y + 1 = 0.?
Bài 11: Cho tam giác ABC có đỉnh B(3; 5), đường cao và trung tuyến kẻ từ 1 đỉnh có
phương trình lần lượt là: 5x + 4y – 1= 0, 8x + y – 7 = 0. Tính độ dài cạnh AB?
Bài 12: Cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 1/4), phân giác và trung tuyến xuất phát từ
B, C có phương trình lần lượt là: x + y – 1 = 0, 29x + 20y - 27 = 0.?
Bài 13: Lập phương trình cạnh AC của tam giác ABC, biết đỉnh B( 5; 3), phương
trình phân giác trong và trung tuyến xuất phát từ đỉnh C lần lượt là: x - 2y – 5 = 0,
4x – y + 7 = 0.?
Bài 14: Cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB, đường cao qua đỉnh A, B có
phương trình lần lượt là: 5x – 3y + 2 = 0, 4x – 3y + 1= 0, 7x + 2y – 22 = 0. Lập
phương trình hai cạnh còn lại.?
Bài 15: Cho tam giác ABC có phương trình cạnh BC: -5x + y – 28 = 0, phương trình
hai đường trung tuyến xuất phát từ B, C lần lượt là: 12x – y – 40 = 0, 3x - 4y – 10 =
0. Xác định tọa độ đỉnh B và đường cao hạ từ B.?
Bài 16: Cho tam giác ABC, có phương trình cạnh AB, hai trung tuyến xuất phát từ
đỉnh A, C có phương trình lần lượt là: 4x – 7y – 21 = 0, 10x + 39y + 98 = 0, 20x –
51y – 277 = 0. Xác định tọa độ 3 đỉnh A, B, C.?
Giáo viên: Bùi Quang Bốn -Trường THPT Đồng Xoài - Năm học: 2010-2011 -Trang 21 -
Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
Bài 17: Xác định tọa độ đỉnh A của tam giác ABC biết phương trình cạnh BC, hai
phân giác xuất phát từ đỉnh B, C có phương trình lần lượt là: 3x – y + 3 = 0, x – 2y +
1 = 0,
-x + y + 3 = 0.?
Bài 18: Cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB, đường cao hạ từ B, phân giác
hạ từ C có phương trình lần lượt là:9x +11y + 5 = 0, 2x+ 3y = 0, 7x – 3y -77 = 0.
Tìm tọa độ đỉnh C.?
Bài 19: Lập phương trình cạnh AC của tam giác ABC, biết cạnh AB có phương trình
x + 2y +9 = 0, đường cao h
A

: 4x + y – 7 = 0, trung tuyến m
C
: x – 2y + 1 = 0.?
Bài 20: Lập phương trình các cạnh và trung trực của tam giác ABC, biết phương
trình cạnh BC: x- 4 = 0, đường cao h
B
: x + y – 3 = 0, phân giác trong l
A
: x – 2 = 0.?
Bài 21: Cho tam giác ABC biết phương trình cạnh AB: x – 4y - 3 = 0, phân giác
trong l
A
: x – 2y + 1 = 0, trung tuyến m
B
: 6x - 9y + 133 = 0. Viết phương trình hai
cạnh còn lại.?
Bài 22: Viết phương trình các đường trung tuyến còn lại của tam giác ABC, biết
cạnh BC: 4x +3y – 5 =0, phân giác trong l
B
: x + 2y –5 =0, trung tuyến m
A
: 4x +11y –
13 = 0?
Bài 23: Cho tam giác ABC có phương trình hai cạnh là: x - y – 9 = 0, 5x – 7y + 3 =
0 và trực tâm
10 14
;
3 3
H
 

 ÷
 
. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.?
Bài 24: Lập phương trình các đường cao của tam giác ABC biết phương trình hai
cạnh lần lượt là: -x + 2y – 7 = 0, x – 4y –3 = 0, và tọa độ trọng tâm G(-1; -1).?
Giáo viên: Bùi Quang Bốn -Trường THPT Đồng Xoài - Năm học: 2010-2011 -Trang 22 -
Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
Phần thứ ba
KẾT QUẢ
Qua một thời gian tìm tòi và thực nghiệm đề tài “Đề xuất và giải quyết các
bài tốn về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” phần nào đã
có kết quả khả quan, kết quả học tập mơn Tốn của học sinh trường THPT Đồng
Xồi được nâng lên rõ rệt, số học sinh trong lớp tơi giảng dạy (có 49/58 chiếm tỉ lệ
84,5% học sinh có điểm 5,0 trở lên ), số học sinh thi đậu vào Đại học, Cao đẳng ngày
một nhiều gần 70%. Nhiều em đạt được điểm giỏi mơn Tốn khi thi hết kì, thi HSG
và thi Đại học. Một số học sinh giỏi của trường thi mơn Tốn, giải Tốn trên máy
tính casio cũng đã được xếp hạng cao của tỉnh, xin được nêu ra một số điển hình như
sau.
Năm Môn toán khối 10
Điểm từ 5 trở lên
HSG Tỉnh Môn Toán
- Casio
SL %
2008-2009 584/832 (70,19%) 63/78 80,77% 0-1
2009-2010 366/525 (69,71%) 60/70 85,71% 4-2
2010-2011 419 9-1
Giáo viên: Bùi Quang Bốn -Trường THPT Đồng Xoài - Năm học: 2010-2011 -Trang 23 -
Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”

Phần thứ tư
KẾT LUẬN
Đứng trước u cầu của các em học sinh cần có những phương pháp cho một
số bài tốn tổng qt về giải tam giác trong mặt phẳng và u cầu cao hơn là có
những phương pháp giải tối ưu để có được những lời giải gọn gàng và tường minh
nhất, đề tài “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng phương pháp
tọa độ trong mặt phẳng” đã ra đời và đã đáp ứng được u cầu trên.
Đề tài này ra đời là kết quả của q trình nghiên cứu, tìm tòi và sáng tạo về
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Đó còn là sự động viên, góp ý của các bạn
đồng nghiệp trong tổ Tốn- Trường THPT Đồng Xồi.
Hy vọng rằng đề tài này ra đời sẽ giúp các em học sinh cùng các bạn đồng
nghiệp có được một cái nhìn tồn diện về các bài tốn liên quan đến tam giác trong
mặt phẳng, đó là: xác định tọa độ các đỉnh, trung điểm, trọng tâm, trực tâm, chân
đường cao, chân đường phân giác, xác định phương trình các cạnh, các đường cao,
các đường trung tuyến, trung trực, phân giác, Trong đề tài đã trình bày một số các bài
tốn tổng qt, trong đó đã có một số bài tốn đã xuất hiện trong các kỳ thi hết cấp và
tuyển sinh vào Đại Học, Cao Đẳng. Mặc dù đã có sự đầu tư cả về thời gian và cơng
sức của bản thân trong đề tài, song phần trình bày một lượng khơng nhỏ kiến thức
liên quan, một lượng tương đối lớn các dạng bài tập khác nhau ở dạng tổng qt nên
phần thiếu sót vẫn có thể xẩy ra. Tơi rất mong nhận được sự góp ý và sự chỉ bảo chân
thành từ q thầy cơ và các bạn đồng nghiệp./.

Đồng Xồi, ngày 22 tháng 02 năm 2011
Người viết
Bùi Quang Bốn
Giáo viên: Bùi Quang Bốn -Trường THPT Đồng Xoài - Năm học: 2010-2011 -Trang 24 -
Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
Phần thứ năm
ĐỀ XUẤT

Để giúp các em học sinh có được những phương pháp cho một số dạng tốn về giải
tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và u cầu cao hơn là có những
phương pháp tối ưu để học sinh có được lời giải gọn gàng, tơi thiết nghĩ chúng ta nên
có những chun đề ngoại khóa nói về đề tài này.
Phần thứ sáu
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1/ Sách giáo khoa Hình học 10 NC – NXB Giáo Dục
2/ Sách giáo khoa Hình học 10 - NXB Giáo Dục
3/ Báo tốn học và tuổi trẻ.
4/ Phân dạng và phương pháp giải Hình Học 10 – Trần Đình Thì
5/ Bồi Dưỡng Tốn Hình Học 10 – Trần Bá Hà, Nguyễn Sinh Ngun.
Giáo viên: Bùi Quang Bốn -Trường THPT Đồng Xoài - Năm học: 2010-2011 -Trang 25 -