Toán 11 đề thi , đáp án học sinh giỏi các trường chuyên, trường chuyên HDC hai phong

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG
Trường THPT Chuyên Trần Phú

KỲ THI HỌC SINH GIỎI DUYÊN HẢI BẮC BỘ
Năm học 2014 – 2015
ĐÁP ÁN ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN 11

Bài 1:
Rõ ràng nếu xyz = 0 thì hệ có nghiệm ( 0;0;0 ) .

(1)

Xét khi xyz ≠ 0 .
x + 3x y = y ⇔ x = ( 1 − 3x
3

2

Khi x ≥
y=

3

2

)

3

1 1
1

y ⇔ =  ÷ − 3×
y x
x

1
1
π 
,α ∈ [ 0;π ] \   thì
, đặt x =
2cos α
2
2

1
1
1
,z =
,x =
2cos3α
2cos9α
2cos 27α

k1π

α = 13 , k1 ∈ { 0;1;...;13}
Nên cos 27α = cos α ⇔ 27α = ±α + k 2π ⇔ 
α = k2π , k ∈ { 1;2;...;13} \ { 7}
2

14

(2)

Ngoài ra rõ ràng hệ có tối đa 27 nghiệm nên (1) và (2) là tất cả nghiệm của hệ.
Bài 2:
n2
≤ un ≤ n + 1 ∀n .
Ta chứng minh quy nạp
n +1
Rõ ràng khẳng định đã đúng với u1 .
k2
( k + 1) ≤ u ≤ k + 2 .
≤ uk ≤ k + 1 , ta chứng minh
Giả sử đã có
k +1
k +1
k+2
2

Thật vậy
uk ≤ k + 1 ⇒ uk +1

( k + 1)
≥

k+2

2

k2
( k + 1) = k + 2 − 1 ≤ k + 2
uk ≥
⇒ uk +1 ≤ 2
k
k +1
k2 + k +1
+1
k +1
2

Vậy ta có

n2
u
≤ un ≤ n + 1 ∀n ⇒ lim n = 1 .
n →+∞ n
n +1

Bài 3:
Phép vị tự tâm E biến (O) thành (O’) sẽ biến B

C

thành D nên B, D, E thẳng hàng.
Tương tự A, D, F cũng thẳng hàng.
E

Gọi AE ∩ BF = C , do D là trực tâm tam giác

P

ABC nên CD ⊥ AB ⇒ CD ≡ d .

M

Gọi AC ∩ ( O ' ) = M , CD ∩ AB = N , CD ∩ EF = P .
Khi đó O’ là trung điểm DM và ( C , D, N , P ) = −1 .
Ta có

A

AM PC O ' D
ND PC
×
×
=−
×
= 1.
AC PD O ' M
NC PD

Do đó theo Menelaus cho tam giác CDM suy ra
A, O’, P thẳng hàng.
Tương tự suy ra điều phải chứng minh.
Bài 4:
k
Đặt P ( x ) = ak x + Q ( x ) , ak ≠ 0,deg Q ( x ) < deg P ( x ) .

P ( n) 

P( x)
= ak ⇒ lim  k  = ak .
k
x →+∞ x
n→+∞
n

Khi đó lim

-) Nếu k = 0 ⇒ Loại.

O'
O

D
N

F
O"
B


-) Nếu k > 1 ⇒ nlim
→+∞

VT
nk

2

k 2 = k
VP
= a , lim k = 2ak ⇒  k +1
⇒ Loại.
n →+∞ n
a
=
2
a
 k
k
k +1
k

VT
VP
= a12 − 1, lim
= 2a1 ⇒ a12 − 2a1 − 1 = 0 ⇒ a1 = 1 ± 2 .
n →+∞ n
n →+∞ n

-) Nếu k = 1 ⇒ lim

(

)

-) Nếu P ( x ) = 1 − 2 x .

(

)(

)

(

)

Đẳng thức  1 − 2  1 − 2 n   − n + 1 = 2  1 − 2 n  sai khi n = 1 .



(

)

-) Nếu P ( x ) = 1 + 2 x .
Chứng minh đẳng thức α [ α n ]  − n + 1 = 2 [ α n ] đúng với α 2 − 2α − 1 = 0,α > 1 .
Thật vậy, xét α [ α n ] − n + 1 − 2 [ α n ] = ( α − 2 ) [ α n ] − n + 1 =
⇒0<−

[ α n] − n + 1 = − { α n}
α

α

+1

1

+ 1 < α [ α n ] − n + 1 − 2 [ α n ] < 1 ⇒ α [ α n ]  − n + 1 = 2 [ α n ]
α

(

)

Kết luận P ( x ) = 1 + 2 x .

Bài 5:
-) Rõ ràng a2015 ∈ { 1;3;5;...;2015} .
-) Khi a2015 = 2k + 1, k = 0,1007 thì a2015 − a1 = 2k nên trong 2014 hiệu an +1 − an có
1007 + k hiệu bằng 1, 1007 − k hiệu bằng −1 .
1007 + k
Số cách chọn 1007 + k hiệu bằng 1 là C2014
.

-) Nếu trong dãy { an } n=1 xuất hiện số 0 thì a2015 = 2k + 1, k = 0,1006 .
2015

Xét vị trí của số 0 đầu tiên, giả sử là 1, a2 ,..., an−1 ,0, an+1 ,..., a2015 . Xét dãy số { bn } n=1

2015

như sau −1, − a2 ,..., − an−1 ,0, an+1 ,..., a2015 . Khi đó mỗi dãy 1, a2 ,..., a2015 xuất hiện số 0


mà an+1 = an ± 1 ∀n = 1,2014 sẽ tương ứng với một dãy −1, b2 ,..., b2015 bất kỳ mà
bn+1 = bn ± 1 ∀n = 1,2014 .
Do b2015 − b1 = 2k + 2 nên trong 2014 hiệu bn+1 − bn có 1008 + k hiệu bằng 1,

1006 − k hiệu bằng −1 .
1008+ k
Số cách chọn 1008 + k hiệu bằng 1 là C2014
.
1007 + k
1008+ k
− C2014
-) Do đó số dãy thỏa mãn đề bài với a2015 = 2k + 1, k = 0,1006 là C2014
,

với a2015 = 2015 là 1.
1006

-) Vậy số dãy thỏa mãn là

∑( C
k =0

1007 + k
2014

1008+ k
1007
− C2014
.
) + 1 = C2014

----------------- Hết -----------------Người ra đề

Lê Đức Thịnh

(0986 530 513)