Đề thi-Đáp án học sinh giỏi Đà Nẳng 09

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2008 – 2009
______________-______ ________________________
MÔN TOÁN ( thời gian làm bài 150 phút )
Bài 1 : (2,5đ) a) Rút gọn biểu thức
2
)1(
1
:)
1
1
(
x
x
x
xx
P
−
+
−
−
=
Tính giá trị biểu thức P khi
12
1
−
=
x
b) Đặt
33
3232

++−=
a
.Chứng minh rằng
a
a
3
)3(
64
32
−
−
là số nguyên.
Bài 2 (2,5đ) a) Giải phương trình
552
−=−+
xx
b) Giải hệ phương trình



−+=+
+=+
342
236
22
yxyx
yxxy
Bài 3 (2đ) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , cho Parabol (P) y = - x
2
và đường thẳng (d) :

y = -x – 2
a) Vẽ Parabol (P) và đường thẳng (d)
b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng (∆) : y = mx – m +1 cắt đường
thẳng (d) tại các điểm nằm trên Parabol (P)
Bài 4 (3đ) Cho nửa đường tròn (C) tâm O đường kính AB . Gọi C là 1 điểm trên nửa đường
tròn ( C ) và D là điểm chính giữa cung AC . Gọi E là hình chiếu vuông góc của điểm D trên
đường thẳng BC và F là giao điểm của AE với nửa đường tròn ( C ) . Tia BF cắt DE tại M. Chứng
minh :
a) Hai tam giác MDF và MBD đồng dạng .
b) M là trung điểm của đoạn DE .
HƯỚNG DẤN GIẢI ĐỀ :
Bài 1 : a ) Rút gọn P = ( 1 – x )
2
. Trục căn thức ở mẫu ta có
12
+=
x
Thay vào P= 2
b)
33
3232
++−=
a
⇒ a
3
= 3a +4 ⇒ a(a
2
- 3 ) = 4 ⇒ a
2
- 3 = 4 : a (vì a>0)

thay vào và rút gọn ta có
a
a
3
)3(
64
32
−
−
= 4 ∈Z
Bài 2 : a)
552
−=−+
xx
Điều kiện x ≤ 5 do đó
xx
−=−
55
Giải phương trình
xx
−=−+
552
ta được x = 1

b)




−+=+

+=+
)2(342
)1(236
22
yxyx
yxxy
Từ (1) ta có (y-3)(x-2) = 0 ⇒ y = 3 hoặc x = 2
Thay y = 3 vào (2) ta được x
1
= 0 ; x
2
= 2
Thay x =2 vào (2) ta được y
1
= 3 ; y
2
= 1
Hệ phương trình có 3 nghiệm (x;y) là : ( 2;3 ) (2;1) (0;3)
Bài 3 : a) Vẽ đồ thị và tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P) là : (-1 ; -1) và ( 2 ; -4)
b) Thay lần lượt toạ độ của 2 giao điểm trên vào phương trình đường thẳng (∆)ta
được m = 1 và m = - 5
c)
Bài 4 : a) Vì D là điểm chính giữa cung AC nên OD ⊥ AC
⇒ OD // BE ( cùng vuông góc BC)
Mà BE ⊥ DE nên OD ⊥ DE ⇒ DE là tiếp tuyến của (C)
∆ MDE ∼ ∆MBD ( g-g)
b) Vì ∆ MDE ∼ ∆MBD ⇒ MD
2
= MF . MB (*)
∆ MEB có góc E = 90

0
và EF ⊥ MB ⇒ ME
2
= MF . MB (**)( Hệ thức lượng…)
Từ (*) và (**) ta có M là trung điểm đoạn DE