Đề thi-Đáp án học sinh giỏi Thái Bình09

Sở Giáo dục - Đào tạo
Thái Bình
Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS năm học 2008-2009
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
(không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (3 điểm)
Cho x, y là các số nguyên khác 1 thỏa mãn
2 2
x 1 y 1
y 1 x 1

+
+ +
là số nguyên.
Chứng minh rằng x
2
y
22
1 chia hết cho x + 1.
Bài 2. (3 điểm)
Tìm đa thức bậc 7 có các hệ số là số nguyên nhận x =
7 7
3 5
5 3
+
là một nghiệm.
Bài 3. (3 điểm)
Giải phơng trình sau:
( ) ( ) ( )
x 3 . 4 x 12 x x 28+ + + =

Bài 4. (3 điểm)
Cho:
x 0; y 0; z 0
9
xy yz zx
4
> > >



+ + =


Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
2 2 2
A x 14y 10z 4 2y= + +
Bài 5. (3 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, ngoại tiếp đờng tròn tâm O. Chứng minh rằng:
2 2 2
OA OB OC
1
AB.AC BA.BC CA.CB
+ + =
Bài 6. (3 điểm)
Cho tam giác ABC đều, có độ dài cạnh là 1. Trên cạnh BC lấy điểm D không trùng
với B và C. Gọi r
1
là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABD; r
2
là bán kính đờng tròn

nội tiếp tam giác ACD. Xác định vị trí của điểm D để r
1
.r
2
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 7. (2 điểm)
Cho 2009 điểm khác nhau nằm bên trong hình chữ nhật có chiều dài 251cm và
chiều rộng 4cm. Vẽ 2009 hình tròn nhận các điểm trên làm tâm và có cùng bán kính
là
2
cm. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 1 hình tròn trong số chúng chứa ít nhất 3
điểm trong 2009 điểm nói trên.
--- Hết ---
Họ và tên thí sinh:.................................................................. Số báo danh:................
đề chính thức
Sở Giáo dục - Đào tạo
Thái Bình

Kì thi chọn học sinh giỏi Năm học 2008-2009
Hớng dẫn chấm và biểu điểm MÔN toán
(Gồm 06 trang)
Bài Nội dung Điểm
Bài 1
(3 đ)
Đặt
2
2
x 1 a
y 1 b
a;b;c;d Z; (a;b) 1; (c;d) 1; b 0; d 0

y 1 c
x 1 d

=
+

= = > >
ữ


=
+
0,25
Xét
2 2
x 1 y 1 a c ad bc
k
y 1 x 1 b d bd
+
+ = + = =
+ +
(k Z)
ad + bc = bdk ad + bc : b ad
M
b d
M
b (vì (a; b) = 1) (1)
0,25
Tơng tự có b
M

d (2) 0,25
Từ (1) (2) b = d (3)
0,25
Xét
( ) ( )
2 2
a c x 1 y 1
x 1 y 1 m
b d y 1 x 1

ì = ì = =
+ +
(m Z vì x; yZ) 0,25
ac = mbd ac : b c
M
b (vì (a;b) = 1) (4)
0,25
Từ (3) (4) c
M
d (5)
0,25
Và (c ; d) = 1 (6)
(5) (6) d = 1 (y
2
- 1)
M
(x + 1) (7)
0,25
Xét x
2

y
22
- 1 = x
2
(y
22
- 1) + x
2
- 1
0,25
Có y
22
- 1
M
y
2
- 1 (8)
Từ (7) (8) y
22
- 1
M
x + 1 x
2
(y
2
- 1)
M
x + 1 (9)
0,25
Có x

2
- 1
M
x + 1 (10) 0,25
Từ (9) (10) x
2
y
22
- 1
M
x + 1
0,25
Bài 2
(3 đ)
Đặt a =
7
3
5
, b =
7
5
3

a b x
ab 1
+ =


=

0,25
0,25
a
3
+ b
3
= (a + b) (a
2
- ab + b
2
) = (a + b) [(a + b)
2
- 3ab]
= x (x
2
- 3) = x
3
- 3x
0,25
0,25
a
4
+ b
4
= (a
2
+ b
2
)
2

- 2(ab)
2
= [(a + b
2
) - 2ab]
2
- 2(ab)
2

= (x
2
- 2)
2
- 2 = x
4
- 4x
2
+ 2
0,25
0,25
(a
3
+ b
3
)(a
4
+ b
4
) = a
7

+ b
7
+ (ab)
3
(a + b) =
3 5 34
x x
5 3 15
+ + = +
(1) 0,25
(a
3
+ b
3
)(a
4
+ b
4
) = (x
3
- 3x) (x
4
- 4x
2
+ 2)
= x
7
- 3x
5
- 4x

5
+ 12x
3
+ 2x
3
- 6x
= x
7
- 7x
5
+ 14x
3
- 6x (2)
0,25
(1) (2) x
7
- 7x
5
+ 14x
3
- 6x =
34
x
15
+
15x
7
- 105x
5
+ 210x

3
- 90x = 34 + 15x
15x
7
- 105x
5
+ 210x
3
- 105x - 34 = 0
0,25
Bài Nội dung Điểm
Ta thấy 15x
7
- 105x
5
+ 210x
3
- 105x - 34 nhận x =
7
3
5
+
7
5
3
là nghiệm
15x
7
- 105x
5

+ 210x
3
- 105x - 34 có tất cả các hệ số là số nguyên
0,25
0,25
15kx
7
- 105 kx
5
+ 210kx
3
- 105kx - 34k (k là số nguyên khác không)
Là đẳng thức cần tìm
0,25
Bài 3
(3 đ)
( ) ( ) ( )
x 3 . 4 x 12 x x 28+ + + =
(*)
ĐKXĐ: -12 x 4
0,25
Đặt x + 3 = u
(4 x)(12 x) + = v
u
2
+ v
2
= x
2
+ 6x + 9 + 48 - 8x - x

2
= 57 - 2x
u
2
+ v
2
- 1 = 56 - 2x = 2(28-x) (1)
0,25
Có u.v = 28 - x (2)
0,25
Từ (1) (2) có u
2
+ v
2
- 1 = 2uv
(u + v)
2
= 1

u v 1
u v 1
=


=

0,25
0,25
Xét u - v = 1 v = u - 1
Thay trở lại ta có (4 x)(12 x) + = x + 2

0,25

2 2
x 2 0
48 8x x x 4x 4
+


= + +


2
x 2
x 6x 22 0



+ =


( )
2
x 2
x 3 31




+ =

x 2
x 3 31 x 3 31




= + =



0,25

x 3 31= +
(thỏa mãn ĐKXĐ)
0,25
Xét u - v = -1 v = u + 1
Thay trở lại ta có (4 x)(12 x) + = x + 4
0,25

2 2
x 4
48 8x x x 8x 16



= + +

( )
2
2
x 4
x 4
x 8x 16 0
x 4 32







+ =
+ =




x 4
x 4 4 2 x 4 4 2




= + =

x 4 4 2= +
(thỏa mãn ĐKXĐ)
0,25
0,25
Kết luận: Phơng trình có tập nghiệm: S =
{ }
3 31; 4 4 2 + +
0,25
hoặc
hoặc
Bài Nội dung Điểm
Bài 4
(3 đ)
Có x > 0
2
x
2
> 0 ; y > 0 8y
2
> 0
áp dụng bất đẳng thức Co-si cho 2 số dơng
2
x
2
và 8y
2
ta có:
2
2

x
8y
2
+
4 xy (1)
0,25
Tơng tự
2
2
x
8z 4xz
2
+
(2)
2(y
2
+ z
2
) 4yz (3)
0,25
0,25
Xét A = x
2
+ 14y
2
+ 10z
2
- 4 2y
=
( )

2 2
2 2 2 2 2
x x
8y 8z 2 y z 4y 4 2y
2 2

+ + + + + +
ữ ữ

(4)
0,25
Từ (1) (2) (3) và (4) có: A 4(xy + xz + yz) + 4y
2
- 4
2y 0,25
Có xy + xz + yz =
9
4
A 9 + 4y
2
- 4 2y (5) 0,25
Xét 4y
2
- 4 2y + 9 =
( )
( )
2
4y 4y 1 2 2y 2 2y 1 6 + + + +
=
( )

( )
2
2
2y 1 2 2y 1 6 + +
0,25
Có
( )
( )
2
2
2
2y 1 0 ; 2 2y 1 0 4y 4 2y 9 6 +
(6) 0,25
Từ (5) và (6) A 6 (7)
0,25
A = 6
2
2
2
2
2 2
x 0; y 0; z 0
9
xy yz xz
4
x
8y
2
x
8z

2
y z
2y 1 0
2y 1 0
> > >



+ + =



=



=



=

=


=

1
y
2
1
z
2
x 2

=



=


=



(8)
0,25
0,25
Từ (7) (8) có A
min
= 6
( )
1 1
x; y;z 2; ;

2 2

=
ữ

0,25
Bài 5
Gọi E; F; P lần lợt là tiếp điểm của (O) với cạnh AB; AC; BC 0,25
Bµi Néi dung §iÓm
(3 ®)
⇒ AEO = AFO = 90
o
(t/c tiÕp tuyÕn)
⇒ A ; E ; F ; O thuéc ®êng trßn ®êng kÝnh AO
Gäi A
1
lµ trung ®iÓm AO
⇒ A
1
lµ t©m ®êng trßn ®êng kÝnh AO
Cã BAC nhän ⇒ BAC =
1
2
EA
1
F
(hq gãc nt)
sin EA
1
I =

1
2
EA
1
F
(I lµ giao ®iÓm cña AO vµ EF)
⇒ sin BAC = EA
1
I
⇒ sin EF = AO sinBAC
T¬ng tù EP = BO sinABC
FP = CO sinACB
0,25
0,25
⇒ EF.AO + EP.BO + FP.CO = AO
2
sinBAC + BO
2
sinABC+CO
2
sinACB (3)
0,25
Cã AO ⊥ EF (suy ra tõ tÝnh chÊt 2 tiÕp tuyÕn c¾t nhau)
⇒ 2S
AEOF
= AE.AO
0,25
T¬ng tù 2S
BEOP
= EP.BO

2S
CFOP
= EP.CO
0,25
⇒ 2S
ABC
= AE.AO + EP.BO + FP.CO (O n»m trong ∆ABC) (4)
0,25
Tõ (3) (4) ⇒ AO
2
sinBAC + BO
2
sinABC+CO
2
sinACB = 2S
ABC
(5)
0,25
KÎ BH ⊥ AC ⇒
ABC
ABC
2S BH.AC
2S
sin BAC
BH ABsin BAC AB.AC
=

⇒ =

=


0,25
T¬ng tù cã
ABC
2S
sin ABC
BA.BC
=

ABC
2S
sin ACB
CA.CB
=
(6) 0,25
Tõ (5) vµ (6) ⇒
2 2 2
ABC ABC ABC
ABC
2S 2S 2S
AO . BO . CO . 2S
AB.AC BA.BC CA.CB
+ + =
0,25
2 2 2
AO BO CO
1
AB.AC BA.BC CA.CB
+ + =
0,25

Bµi 6
(3 ®)
§Æt BD = x ⇒ CD = 1 - x (0 < x < 1)
0,25
KÎ DE ⊥ AB
XÐt ∆BED vu«ng t¹i E cã EBD = 60
o
; BD = x
⇒ BE =
x
2
, DE =
x 3
2
0,25
∆DEA vu«ng t¹i E
⇒ AD
2
= AE
2
+ DE
2

A
E
F
H
C
C
PB

O
I
A
1
B
D
C
E
A