Thaygiaongheo – Video – Tài liệu học toán THPT
SỞ GD& ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT YÊN LẠC
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 2 - LỚP 12
NĂM HỌC 2015-2016
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề
x2
có đồ thị kí hiệu là (C ) .
x 1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho.
Câu 1 (2,0 điểm): Cho hàm số y
b) Tìm m để đường thẳng y x m cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB 2 2.
Câu 2 (1,0 điểm):
3
0 và cos . Tính giá trị của biểu thức: P cos sin .
2
5
3
6
b) Đội văn nghệ của một lớp có 5 bạn nam và 7 bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 bạn tham gia biểu diễn, tìm
xác suất để trong 5 bạn được chọn có cả nam và nữ, đồng thời số bạn nam nhiều hơn số bạn nữ.
Câu 3 (1,0 điểm):
a) Cho
a) Giải phương trình: 31 2 x.27
x 1
3
81 .
b) Tính giá trị của biểu thức: Q log a a b log
a. b log
4
a
3
b
b , biết
rằng a, b là các số thực
dương khác 1.
Câu 4 (1,0 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y x.log x trên khoảng (0;10).
Câu 5 (1,0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng : y 2 0 và các điểm
A(0;6), B(4;4) . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB. Tìm tọa độ điểm C trên đường thẳng
sao cho tam giác ABC vuông tại B.
Câu 6 (1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh AB 2a . Hình chiếu
vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC, góc giữa SA và mặt
phẳng ( ABCD) bằng 300 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và cosin của góc giữa đường thẳng
AC và mặt phẳng (SAB).
Câu 7 (1,0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp
3 1
·
là I ; , tâm đường tròn nội tiếp là J (1;0) . Đường phân giác trong góc BAC
và đường phân giác
2 16
ngoài góc ·
ABC cắt nhau tại K (2; 8) . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết đỉnh B có hoành độ
dương.
Câu 8 (1,0 điểm): Giải bất phương trình: 1 4 x 2 20 x 4 x 2 9.
Câu 9 (1,0 điểm): Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện: xy 1 y. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức: P
x y
x 2 xy 3 y 2
2y x
.
6( x y )
---------- Hết ---------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Thaygiaongheo – Video – Tài liệu học toán THPT
SỞ GD& ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ KSCL ÔN THI THPT QUỐC GIA LẦN 2, NĂM HỌC 2015-2016
TRƯỜNG THPT YÊN LẠC
(Hướng dẫn chấm gồm 6 trang)
Môn : Toán
HƯỚNG DẪN CHẤM
I. LƯU Ý CHUNG:
- Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của thí
sinh. Khi chấm nếu thí sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
- Nếu thí sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
- Thí sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.
- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó
không được điểm.
- Trong lời giải câu 6 và câu 7 nếu thí sinh không vẽ hình thì không cho điểm.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
II. ĐÁP ÁN:
Câu Ý
Nội dung trình bày
1
a
x2
Khảo sát hàm số y
(C ) .
x 1
Điểm
1.0
* TXĐ: D ¡ \ 1
* Giới hạn, tiệm cận:
lim y lim y 1 y 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x
0.25
x
lim y ; lim y x 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
x 1
x 1
x 1 x 2
3
0x D , suy ra hàm số nghịch biến trên các
2
( x 1)
( x 1)2
khoảng (;1) & (1; )
*BBT:
x -∞
1
+∞
y’
Ta có y '
+∞
1
0.25
0.25
y
-∞
*Đồ thị
1
0.25
Trang 1/6
Thaygiaongheo – Video – Tài liệu học toán THPT
y
4
2
1
-2
O
1
2
4
5
x
-2
-4
b
Tìm m để đường thẳng y x m cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
1.0
AB 2 2.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: y=-x+m là:
x 1
x 1
x2
x m
2
2
x 1
x 2 x mx x m
x mx m 2 0 (1)
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1
1 m m 2 0
2
m 2 4m 8 0(*)
m
4(
m
2)
0
Khi đó d cắt (C) tại A( x1 ; x1 m), B ( x2 ; x2 m) , với x1 , x2 là nghiệm phương trình
(1). Theo Viet, ta có
a
2
2 ( x1 x2 ) 4 x1.x2 2 m 4m 8
Yêu cầu bài toán tương đương với :
m 2
(thỏa mãn (*)).
2 m 2 4m 8 2 2 m 2 4m 12 0
m
6
Vậy m 2 hoặc m 6.
3
1,0 điểm Cho 0 và cos . Tính giá trị của biểu thức:
2
5
P cos sin .
3
6
AB
2
2
x2 x1 x1 x2
2
0.25
0.25
0.25
2
4
0 nên sin 1 cos 2 . Suy ra
2
5
P cos cos sin .sin sin .cos cos .sin
3
3
6
6
0.25
0.5
Vì
b
3 1 4 3 4 3 3 1 3
P . .
.
. .
5 2 5 2 5 2 5 2 5
Đội văn nghệ của một lớp có 5 bạn nam và 7 bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 bạn tham
gia biểu diễn, tìm xác suất để trong 5 bạn được chọn có cả nam và nữ, đồng thời số
bạn nam nhiều hơn số bạn nữ.
0.25
0.25
0.5
Số cách chọn 5 bạn bất kì là: C125 729 . Để chọn được 5 bạn thỏa mãn yêu cấu bài
0.25
toán, ta có hai khả năng sau:
Trang 2/6
Thaygiaongheo – Video – Tài liệu học toán THPT
-TH1: Chọn 4 bạn nam và 1 bạn nữ, có C54 .C71 35 cách chọn.
-TH2: Chọn 3 bạn nam và 2 bạn nữ, có C53 .C72 210 cách chọn.
Vậy xác suất cần tìm là: P
3
a
1 2 x
Giải phương trình: 3
.27
x 1
3
0.25
35 210 245
.
729
729
0.5
81 .
3.
Phương trình đã cho tương đương với : 31 2 x.3
x 1
3
81 312 x.3x 1 34
32 x 34 2 x 4 x 2.
b
0.25
0.25
Tính giá trị của biểu thức: Q log a a b log
a. b log
4
a
3
b
b , biết rằng a, b là
0.5
các số thực dương khác 1.
Ta có Q log a a b 2 log a a. 4 b 3log b b
a b
1
log a a b log a a 2 . b 3 log a 2
3 log a 3 1 3 2.
a
a b
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) x.log x trên khoảng (0;10].
4
0.25
Hàm số đã cho liên tục trên (0;10]. Ta có f '( x) log x x.
f '( x) 0 log x log e x
1
log x log e .
x ln10
1
.
e
0.25
1.0
0.25
0.25
BBT:
x
1/e
0
f’(x)
0
-
10
+
0.25
f(x)
5
log e
e
log e
1
x .
(0;10]
e
e
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng : y 2 0 và các điểm
Từ BBT ta suy ra min f '( x)
0.25
A(0;6), B(4;4) . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB. Tìm tọa độ điểm C
1.0
trên đường thẳng sao cho tam giác ABC vuông tại B.
x0 y6
x y6
Phương trình đường thẳng AB là:
40 46
2
1
x 2 y 12 x 2 y 12 0.
uuur
uuur
C C (t ; 2) BA(4; 2), BC (t 4; 2)
uuur uuur
Tam giác ABC vuông tại B nên BA.BC 0 4t 16 4 0 t 3 C (3; 2).
6
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh AB 2a . Hình chiếu của
S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC, góc giữa SA và
Trang 3/6
0.25
0.25
0.25
0.25
1.0
Thaygiaongheo – Video – Tài liệu học toán THPT
mặt phẳng ( ABCD) bằng 300 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và cosin của
góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SAB).
S
H
K
A
I
B
G
O
D
M
C
Gọi M là trung điểm BC, O là giao điểm của AC và BD. Ta có
2
2 5a
AM
. Vì SG vuông góc với mặt đáy,
3
3
· 300 . Xét tam giác vuông SGA, ta có
nên góc giữa SA và mặt đáy là SAG
AM AB 2 BM 2 a 5 AG
· tan 300
tan SAG
1
SG
2 5a
SG
.
3 AG
3 3
1
1 2 5a 2 8 15a 3
S ABCD 4a 2 . Suy ra VS . ABCD SG.S ABCD .
.4a
(đvtt)
3
3 3 3
27
Hạ GI vuông góc với AB, I thuộc AB. Nối S với I, hạ GK vuông góc với SI, K thuộc
2
2a
SI. Khi đó K là hình chiếu vuông góc của G trên (SAB). Ta có GI MB
, do
3
3
đó GK
GS .GI
2
GS GI
0.25
2
0.25
0.25
10a
.
6
3
10a
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên (SAB), ta có OH GK
. Khi đó
2
4
·
AH là hình chiếu của AO lên (SAB) suy ra góc giữa AC và (SAB) là OAH
. Xét tam
0.25
OH
10a
5
11
·
cos OAH
.
OA 4. 2.a
4
4
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp
·
giác vuông OHA, ta có sin OAH
7
3 1
·
là I ; , tâm đường tròn nội tiếp là J (1;0) . Đường phân giác trong góc BAC
và
2 16
đường phân giác ngoài góc ·
ABC cắt nhau tại K (2; 8) . Tìm tọa độ các đỉnh của tam
giác ABC biết đỉnh B có hoành độ dương.
Trang 4/6
1.0
Thaygiaongheo – Video – Tài liệu học toán THPT
4
A
3
2
1
I
-4
J
-2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-1
C
B
-2
-3
-4
H
-5
-6
-7
-8
K
Gọi giao điểm của AK và đường tròn (I) là H. Xét tam giác BHJ có
· JAB
· JBA
· (góc ngoài tam giác JAB)
HJB
· ·
JAC
JBC ( vì AJ, BJ là các đường phân giác)
· JBC
·
¼ của đường tròn (I))
(nội tiếp cùng chắn cung CH
CBH
0.25
·
HBJ
· HBJ
·
Suy ra tam giác HJB cân tại H, vậy HJ=HB và HJB
(1)
Lại có BJ, BK thứ tự là phân giác trong và phân giác ngoài góc ·
ABC nên tam giác
· HKB
·
· HBK
·
BKJ vuông tại B. Suy ra HJB
(2).
900 HBJ
·
·
Từ (1) và (2) suy ra HKB
HBK
hay tam giác HBK cân tại H, do đó
HJ HB HK , vậy H
là trung điểm JK, hay
0.25
3
H ; 4 . Tương tự
2
HJ HC HK .
uuur
65 uuur 1
Ta có IH 0; ; HJ ; 4
16
2
B, C cùng thuộc các đường tròn (I;IH) và (H; HJ) nên tọa độ B, C là nghiệm của hệ:
2
2
2
3
1 65
x
y
2
16 16
x 5; y 2
x 2; y 2 B(5; 2), C (2; 2).
2
3
1
2
x 2 y 4 4 16
AH đi qua J và K nên phương trình đường thẳng AH
là:
x 1 y 0
8 x y 8 0 . Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với AH, d
2 1 8 0
r
uuur
có véc tơ pháp tuyến n 2 HJ 1; 8 , phương trình đường thẳng d là:
x 8 y 1 0 . Gọi M là giao điểm của d và AH,
Trang 5/6
tọa độ M là nghiệm hệ:
0.25
0.25
Thaygiaongheo – Video – Tài liệu học toán THPT
x 8 y 1 0
x 1
1
M (1; 0) J . M là trung điểm AH nên A ; 4 .
2
8 x y 8 0
y 0
1
Kết luận: A ; 4 , B(5; 2), C (2; 2).
2
8
Giải bất phương trình: 1 4 x 2 20 x 4 x 2 9. (1)
1.0
Bất phương trình đã cho tương đương với:
4 x 2 16
4 x 2 9 5 6 4 x 2 20 x 2 0
4x2 9 5
16 4 x 2
6 4 x 2 20
0.25
x20
4x 8
4x 8
x 2
1 0
2
2
4 x 9 5 6 4 x 20
Từ
(1)
suy
4x 8
x 1 4 x 2 20 4 x 2 9 0 x 1 .
ra
4x 8
1 4 x 8 .
4 x 2 9 5 6 4 x 2 20
9
0.25
Do
1 4 x 2 20 4 x 2 9
4 x 2 9 5 6 4 x 2 20
đó
1 0
Vậy nghiệm của bất phương trình là x 2.
Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện: xy 1 y. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức: P
x y
2
x xy 3 y
2
2y x
.
6( x y )
0.25
0.25
1.0
2
x y 1 1 1 1 1 1 1
Do x 0, y 0, xy y 1 nên 0 2 2 .
y
y
y y
4 y 2 4
x
1
t 1
t2
t 1
1
1
Đặt t 0 t . Khi đó P
.
y
4
t 2 t 3 6t 6
t 2 t 3 6 2(t 1)
7 3t
Ta có P '(t )
2
t
2
t 3
3
1
.
2(t 1) 2
1
t 2 t 3 t (t 1) 3 3;7 3t 6; t 1 1 , do đó
4
7 3t
7 3t
1
1
1
1 1
;
P '(t )
0.
2
3
2(
t
1)
2
2
2
6
3
3
3
t t 3
Vì 0 t
2
0.25
0.25
5 7
1
1
Vậy P(t ) đồng biến trên 0; , suy ra P (t ) P
.
4
4 3 30
0.25
5 7
5 7
1
1
Khi x ; y 2 thì ta có P
MaxP
x ; y 2.
2
3 30
3 30
2
0.25
---------- Hết ----------
Trang 6/6
Thaygiaongheo – Video – Tài liệu học toán THPT
Trang 7/6