Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT
SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNG
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 2 NĂM 2016
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
ĐỀ CHÍNH THỨC
2x 1
.
x 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho.
b) Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C ) với đường thẳng y x 7 và viết phương
trình tiếp tuyến của (C ) tại các giao điểm ấy.
Câu 2 (1,0 điểm)
a) Giải phương trình: 2 sin(2 x ) cos x cos 3 x sin 2 x .
4
2
b) Giải bất phương trình: log3 ( x 5 x 7) log 1 ( x 1) 0 .
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y
3
Câu 3 (1,0 điểm)
a) Tìm các số phức 3z z và
3 i
biết z 1 2i .
z
b) Để tham gia hội thi “Khi tôi 18” do Huyện đoàn tổ chức vào ngày 26/03, Đoàn
trường THPT Đoàn Thượng thành lập đội thi gồm có 10 học sinh nam và 5 học sinh
nữ. Từ đội thi, Đoàn trường chọn 5 học sinh để tham gia phần thi tài năng. Tính xác
suất để 5 học sinh được chọn có cả nam và nữ.
1
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân
3x
2
2 x ln(2 x 1) dx .
0
Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có phương
trình lần lượt là x 2 y 2 z 3 0 ; x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 4 z 16 0 . Tìm tọa độ tâm và
tính bán kính của mặt cầu (S). Viết phương trình mặt phẳng ( ) song song với mặt phẳng
(P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a , ABC 600 ,
SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) , góc giữa mặt bên (SCD) và mặt đáy (ABCD) bằng
450 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SCD).
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích
bằng 3 3 , đỉnh D thuộc đường thẳng d: 3 x y 0 , ·
ACB 30 . Giao điểm của đường
phân giác trong góc ·
ABD và đường cao của tam giác BCD kẻ từ C là điểm H
3;3 . Tìm
tọa độ các đỉnh B, D biết hoành độ của B và D đều nhỏ hơn 3 .
4 y x 2 7 2 y 85 50 x 7 y 13 y 2 x 3
Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ
2 x 2 3 xy 4 y 2 4 x 2 3 xy 2 y 2 3( x y)
Câu 9 (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a 2 b 2 c 2 3 . Tìm giá trị
ab
bc
a 3b3 b3c 3
lớn nhất của biểu thức P
.
2
2
3 a
3c
24a 3c3
-----------------Hết----------------Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT
Họ và tên thí sinh:………………………………………………SBD:…………………
Câu
1a
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
Nội dung
2x 1
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y
x 1
- TXĐ : D \ 1 .
3
0, x 1 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng của TXĐ.
( x 1) 2
- Hàm số không có cực trị.
2x 1
- Giới hạn : lim
2 y 2 là TCN.
x x 1
2x 1
2x 1
- lim
; lim
x 1 là TCĐ.
x 1 x 1
x 1 x 1
- Vẽ BBT
- Vẽ đồ thị.
Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C ) với đường thẳng y x 7 và viết
phương trình tiếp tuyến của (C ) tại các giao điểm ấy.
2x 1
- Phương trình hoành độ giao điểm :
x 7 x 2 6 x 8 0, x 1
x 1
x 2 y 5
-
. Các giao điểm là A 2;5 , B 4;3
x 4 y 3
-
1b
-
2b
y ' 2 3 tiếp tuyến tại A là y 3x 11.
1,00
0,25
0,25
0,25
0,25
1,00
0,25
0,25
0,25
1
1
13
tiếp tuyến tại B là y x .
3
3
3
Giải phương trình : 2 sin(2 x ) cos x cos3 x sin 2 x
4
- Phương trình cos 2 x (cos x cos 3 x ) 0 cos 2 x (2 cos x 1) 0 .
k
2
Giải được nghiệm : x
; x
k 2
4 2
3
Giải bất phương trình: log3 ( x 2 5 x 7) log 1 ( x 1) 0
-
2a
y'
Điểm
y ' 4
0,25
0,50
0,25
0,25
0,50
3
-
BPT log 3 ( x 2 5 x 7) log 3 ( x 1) x 2 5 x 7 x 1 0
x 1
2
T 1;2 4; .
x 6x 8 0
3 i
Tìm các số phức 3z z và
biết z 1 2i .
z
- 3 z z 3(1 2i ) 1 2i 4 4i
3 i 3 i 3 i 1 2i
1 i .
z
1 2i
5
3a
Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
0,25
0,25
0,50
0,25
0,25
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT
3b
Đội có 10 nam và 5 nữ. chọn lấy 5 học sinh. Tính xác suất có cả nam và nữ.
-
5
Mỗi cách chọn là một tổ hợp chập 5 của 15 nên n() C15
3003
-
2
3
4
Số cách chọn là n(A) C110 C54 C10
C53 C10
C52 C10
C51 2750
-
Xác suất cần tìm là : P
0,50
0,25
4
2750 250
3003 273
0,25
1
Tính tích phân : 3 x 2 2 x ln(2 x 1) dx .
1,00
0
1
-
1
0
1
-
1
I 3x 2 2 x ln(2 x 1) dx (3x 2 2 x) dx ln(2 x 1)dx
0
0,25
0
1
I1 (3x 2 2 x) dx (x 3 x 2 ) 0
0,25
0
0
1
-
I 2 ln(2 x 1)dx
0
-
5
2
1
dx
u ln(2 x 1)
2x
1
du
Đặt
dx
2 x 1 nên I 2 x ln(2 x 1) 0
2x 1
dv dx
0
v x
1
1
3
3
I 2 ln 3 1
dx ln 3 1 . Vậy I I 2 ln 3 1 .
2x 1
2
2
0
0,25
0,25
mp(P): x 2 y 2 z 3 0 ; mặt cầu (S): x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 4 z 16 0
1,00
- Mặt cầu (S) có tâm I (1; 2; 2); R 5 .
0,25
- Mặt phẳng ( ) song song với mp(P): x 2 y 2 z 3 0 nên phương trình
0,25
mặt phẳng ( ) có dạng : x 2 y 2 z c 0 (c 3) .
1 4 4 c
-
Vì mp ( ) tiếp xúc với mặt cầu (S) d (I;( )) R
-
x 2 y 2z 6 0
c 6
c 24 nên phương trình mp ( ) là : x 2 y 2 z 24 0 .
3
5
Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
0,25
0,25
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT
6
S
H
A
D
1,00
E
K
B
C
F
-
7
Kẻ AE CD , thì mp(SAE) CD SE CD , nên góc giữa mp(SCD) và
mp(ABCD) là góc SEA 450 .
- ACD đều cạnh 2a nên AE 3a SA 3a
- Diện tích đáy S ABCD 2.S ACD AE.CD 2 3a 2 .
1
- Thể tích khối chóp : V SA.S ABCD 2a 3 .
3
- Gọi K là hình chiếu của B trên (SCD) thì SK là hình chiếu của SB trên (SCD)
nên góc giữa SB và mp(SCD) là góc BSK .
a 6
- Gọi H là hình chiếu của A trên SE, thì AH (SCD) , và AH
.
2
a 6
- Do AB / / mp (SCD) BK AH
. Tính được SB 7 a .
2
BK
42
- Xét tam giác vuông SBK ta có sin BSK
.
SB
14
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng
3 3 , đỉnh D thuộc đường thẳng d: 3 x y 0 , ·
ACB 30 . Giao điểm của đường
phân giác trong góc ·
ABD và đường cao tam giác BCD kẻ từ C là điểm H
Tìm tọa độ các đỉnh B, D biết hoành độ B và D đều nhỏ hơn
3;3 .
0,25
0,25
0,25
0,25
1,00
3.
H
A
D
0,25
I
B
C
Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT
- Gọi I AC BD . Đặt AB x BC x 3 , có S AB.BC=3 3 nên x 3 .
Ta có DBC ACB 300 ABD 600 HBD 300 BD là phân giác trong của
góc HBC và cũng là đường cao nên BD là trung trực của HC HD CD 3 ; 0,25
BHD BCD 900 và BH BC 3 .
3
T/M
t
3 3
2
D d D t; 3t ; HD 3
D
; .
0,25
3 3
2 2
Loai
t
2
uuur 3 3
Đường thẳng HB đi qua H( 3;3) , có vecto pháp tuyến DH ; nên có
2 2
3
3
phương trình:
x 3 y 3 0 x 3 y 4 3 0 .
2
2
b
B HD B b; 4
b 3 .
3
0,25
5 3
2
Loai
b
2
3 9
b
2
HB 3 b 3 1
9
B
; .
2
2
3
3
T/M
b
2
3 9
3 3
Vậy tọa độ các điểm B, D là : B
; ; D
;
2
2
2
2
8
4 y x 2 7 x y 85 50 x 7 y 13 y 2 x 3
Giải hệ :
2 x 2 3 xy 4 y 2 4 x 2 3 xy 2 y 2 3( x y)
7
11
23
7
11
- Ta có 2 x 2 3 xy 4 y 2 ( x y)2 (x y)2 ( x y) 2 .
6
6
36
6
6
7
11
7
11
7
11
- Nên 2 x 2 3 xy 4 y 2 ( x y) 2 x y x y .
6
6
6
6
6
6
-
Tương tự
1,00
11
7
11
7
11
7
4 x 2 3 xy 2 y 2 ( x y) 2
x y x y
6
6
6
6
6
6
Cộng lại ta được : 2 x 2 3 xy 4 y 2 4 x 2 3 xy 2 y 2 3( x y ) dấu bằng
xảy ra khi x y 0 .
0,25
7 11 23
Chú ý : Cách tìm các hệ số ; ;
trên như sau :
6 6 36
2 x 2 3 xy 4 y 2 ( ax by ) 2 c.(x y)2
Do tính đối xứng nên giả sử : 2
2
2
2
4 x 3 xy 2 y (b x ay ) c.(x y)
a 2 c 2
Khai triển và đồng nhất hệ số ta có hệ số của x là b 2 c 4
a b 3 do VP 3(x y)
-
Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT
7
11
23
Trừ từng vế (1) cho (2) và kết hợp với (3), ta được a ; b ; c
.
6
6
36
PT (1) 4 x x 2 7 2 x 85 57 x 13 x 2 x 3
-
4 x x 2 7 2x
-
0,25
5 x x 4 2 1
Áp dụng bất đẳng thức bunhia copki ta có :
VT 2 (4 x) 2 12 .(x 2) (7 2 x) (4 x) 2 12 .(5 x)
4 x x 2 7 2x
-
Dấu bằng xảy ra khi
4x
x2
5 x x 4 2 1
1
7 2x
x 3 , nghiệm (x; y) (3;3)
2
2
y
y
y
y
y
Có thể chia hai vế cho x 2 2 3 4 4 3 2 3 1
x
x
x
x
x
9
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P
0,25
ab
bc
a3 b3 b3 c 3
.
2
2
3 a
3c
24a 3c3
- Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
ab
bc
ab
bc
2
2
3 c
3 a
c2 a 2 c2 b2 a 2 b2 a 2 c 2
ab
2 c 2 a 2 c 2 b2
bc
2 a2 b2 a 2 c 2
1 a2
b2
b2
c2
4 c 2 a 2 c 2 b 2 a 2 b 2 a 2 c 2
1
b2
b2 1
b2
b2 1
b
b 1 1b b
1
1
.
1
2
2
2
2
4 c b
2bc 2ab 4 2c 2a 4 8 c a
a b 4
1
- Xét bất đẳng thức : x 3 y 3 (x y)3 (phải chứng minh bđt này)
4
3
3
3
3 3
3 3
(ab bc)
a b b c
1b b
1 1b b 1 b b
Áp dụng :
. P .
4c a
4 8 c a 96 c a
c3 a3
4c3 a 3
b b
1
1 1
Đặt t , khi đó t 0 và P t 3 t .
c a
96
8
4
1 3 1 1
t
Xét hàm số f (t ) t t với t 0.
2
0
96
8
4
–
f '(t )
+
0
1
1
Ta có f '(t ) t 2 ; f '(t ) 0 t 2, vì t 0.
32
8
5
Suy ra bảng biến thiên:
12
f (t )
Dựa vào bảng biến thiên ta có P
Vậy giá trị lớn nhất của P là
5
, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t 2 .
12
5
, đạt được khi a b c 1
12
Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học toán THPT
Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất