PHẦN 6 hàm số mũ LOGARITH

www.TOANTUYENSINH.com

PHẦN 6. HÀM SỐ MŨ - LOGARITH
6.1. Phương trình mũ
52 x 1  6.5 x  1  0 .

Câu 1. Giải phương trình

5 x  1
x  0
52 x 1  6.5 x  1  0  5.52 x  6.5 x  1  0   x 1  
5 
 x  1

5

Câu 2. Giải phương trình 3.25 x2  3x  10 5 x2  x  3 .
3.25 x  2   3 x  10  5 x  2  x  3



 

 



 5 x  2 3.5 x  2  1  x 3.5 x  2  1  3 3.5 x  2  1  0







 3.5 x 2  1 5 x2  x  3  0
3.5 x2  1  0
1
  x 2
5  x  3  0 2
1
1
+ 1  5x2   x  2  log5  2  log5 3
3
3
x 2
2  5   x  3 . Vế trái là hàm đồng biến vế phải là hàm nghịch biến mà (2)
có nghiệm x = 2 nên là nghiệm duy nhất.
Vậy Phương trình có nghiệm là: x = 2  log5 3 và x = 2.

Câu 3. Giải phương trình: (3  2 2) x  2( 2 1) x  3  0
(3  2 2) x  2( 2  1) x  3  0

 ( 2  1)2 x  2( 2  1) x  3  0
 ( 2  1)3 x  3( 2  1) x  2  0
 ( 2  1) x  2
 x  log 2 1 2
Câu 4. Giải phương trình:
2

2x 2 6 x 6

 x2

3x

1
(2x 2 6x 6)
2
2

x 1

2.4

3

Nguyễn Văn Lực

2x

2

2x 2 6x 6

3

x2

x

2.4x

2.22(x

6

0

1

2x

1)

2

x
x

3x 3

22x

3

3
2

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
Câu 5. Giải phương trình: 24x
24 x
t

2

17.22x

4

17t

16

4

1
0

16x
16

0
t
t

17.22x

4

4x
16
1

17.
4x

1
16

Câu 6. Giải phương trình:

4

x

4

1

16

1

0

0

42x

x

0

x

2

17.4x

16

0

25 x  3.5 x  10  0

25x  3.5x  10  0  52 x  3.5 x  10  0

Đặt t  5x , t  0
Phương trình trở thành:
t  2(nhan)
t 2  3t  10  0  
t  5(loai)
x
t  2  5  2  x  log5 2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  log5 2 .
Câu 7. Giải phương trình 2 x  23 x  2  0
2 x  23 x  2  0  2 x 

8
 2  0  2 2 x  2.2 x  8  0
x
2

Đặt t  2 x , t  0
Phương trình trở thành:
t  4 (nhan)
t 2  2.t  8  0  
t  2 (loai)
t  4  2x  4  x  2

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
Câu 8. Giải phương trình sau: 9x  10.3x  9  0
9x  10.3x  9  0  32 x  10.3x  9  0
Đặt t  3x , t  0 .
t  1 (nhan)
t  9 (nhan)

Phương trình trở thành: t 2  10t  9  0  
t  1  3x  1  x  0
t  9  xx  9  x  2

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = 2.
Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
Câu 9. Giải phương trình sau: 8.3x + 3.2x = 24 + 6x
Phương trình đã cho tương đương (3x -3)(8-2x )= 0
Từ đó tìm được x=1 hoặc x=3
Câu 10. Giải phương trình 2e x  2e x  5  0, x  R .
2e x  2e x  5  0  2e2 x  5e x  2  0.
Đặt t  e x , t  0 . Phương trình trở thành
t  2
2t  5t  2  0   1
t 
 2
ex  2
 x  ln 2

 x 1
e 
 x  ln 1


2
2
2

Câu 11. Giải phương trình sau:
5.32 x 1  7.3x 1 

Đặt t  3x  0 . (1) 
 x  log3 3 ; x   log3 5

1  6.3x  9 x 1  0

5t 2  7t  3 3t  1  0

5

Câu 12. Giải phương trình (2  3) x

2

 2 x 1

 (2  3) x

Phương trình  (2  3) x 2 x  (2  3) x 2 x  4 .
+) Ta có: (2  3) x  2 x .(2  3) x  2 x  (4  3) x
2

2

 2 x 1



4
2 3

2

2

2

2

2 x

 1, x 

.

1
t

đặt t  (2  3) x 2 x  0  (2  3) x 2 x  .
2

2

t  2  3 (TM )
1
t   4  t 2  4t  1  0  
.
t
t  2  3 (TM )

trở thành:

t  2  3 , ta có: (2  3) x

2

2 x

t  2  3 , ta có: (2  3) x

2

x  1 2
 2  3  x2  2 x  1  x2  2 x 1  0  
 x  1  2

2 x

 (2  3) 1  x 2  2 x  1  x 2  2 x  1  0  x  1 .

+) KL: ...
Câu 13. Giải phương trình 2 x 1  3x  3x 1  2 x  2
2

2

2

2

Tập xác định .
2x

2

1

 3x  3x
2

2

1

 2x

Nguyễn Văn Lực

2

2

 2x

2

1

1  8  3x 1 1  3
2

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
2
 
3

x 2 1



4
 x 2  1  2  x   3.
9

Câu 14. Giải phương trình: 7 x  2.71 x  9  0 .
Đặt t  7 x , t  0 . Ta có phương trình: t 

t  2
14
 9  0  t 2  9t  14  0  
t
t  7

Với t  2, suy ra 7 x  2  x  log7 2
Với t  7, suy ra 7 x  7  x  1

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S  log 7 2;1 .
Câu 15. Giải phương trình: 34  2 x = 953 x  x
Đưa về cùng cơ số 3 khi đó phương trình tương đương với x 2  2 x  3  0
2

nghiệm cần tìm là x = 1 hoặc x = -3
Câu 16. Giải phương trình 5 2 x 2  26.5 x 2  1  0
Giải phương trình 5 2 x 2  26.5 x 2  1  0
t  1
t  25

Đặt t = 5x >0. Phương trình <=> t2–26t + 25 = 0 <=> 
x  0

<=> 
.
x  2
Câu 17. Giải phương trình 2.4x  6x  9x.
Phương trình
 2  x
   1  Loai 
x
x
2x
x
3
4 6
2
2
 2.       1  2.       1  0  

 x   log 2 2
 2 x 1
9 9
3
3
3


  
2
 3 
Vậy phương trình có nghiệm x   log 2 2
3

Câu 18. Giải phương trình: 312 x.27

x 1
3

 81 .
1 2 x

3.

Phương trình đã cho tương đương với : 3 .3

x 1
3

 81  312 x.3x 1  34

32 x  34  2  x  4  x  2.

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
Câu 19. Giải phương trình 4
4x

2

x

1
 
2

x 1

 22 x

2

2 x

x2  x

1
 
2

x 1

trên tập số thực.

 21 x


3  17
x 
4
2 x 2  2 x  1  x  2 x 2  3x  1  0  

3  17
x 
4


Câu 20. Giải phương trình 5.9 x  2.6 x  3.4 x (1)
Phương trình đã cho xác định với mọi x 
Chia cả hai vế của phương trình (1) cho 4 x  0 ta được :
2x

x

3
3
5.9  2.6  3.4  5.    2.    3
2
2
2x
x
 3  2 x    3  x 
3
3
 5.    2.    3  0     1 5.    3  0 (2)
2
2
 2 
   2 

x

x

x

x

x

3
3
Vì 5.    3  0 x  nên phương trình (2) tương đương với    1  x  0 .
2

2
Vậy nghiệm của phương trình là: x  0

Câu 21. Giải phương trình 22 x5  22 x3  52 x2  3.52 x+1 .
TXĐ D =
Phương trình  2 2 x 3 (4  1)  52 x 1 (5  3)
 2 2 x 3.5  5 2 x 1.8
2x

2
   1
.
5
 2x  0  x  0

Câu 22. Giải phương trình:
x



 
x

5 1 



x

5  1  2x1

x

 5  1  5 1 
PT  
  
  2
 2   2 
x

Đặt

 5 1
 2   t (t  0)



ta có phương trình:

1
t   2  t 1
t

x

 5 1
Với t=1  
  1  x  0
 2 

Vậy phương trình có nghiệm x=0
Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
 2


 8 



Câu 23. Giải phương trình 0,125.42x 3

x

(1)

Đưa hai vế về cơ số 2, ta được:
3

1

2 .2

4x 6

2
5

24 x

9

22

x

5
2

x

4x 9

5
x
2

3
x
2

9

x

6

Vậy nghiệm của phương trình là x 6
Câu 24. Giải phương trình 9x 4.3x 45 0
Đặt t

3x với t

0 , phương

trình (1) trở thành t 2 4t 45 0
t

2

9

Vậy nghiệm của phương trình là x

2

9

thì 3x

9

x

(2)

loaïi

5

t

Với t

(1)

2

Câu 25. Giải phương trình 3x

1

18.3

x

(1)

29

Biến đổi phương trình (1) ta được
1

Đặt t

3x với t

3.3x

18
3x

0 , phương trình

(2)

29

(1) trở thành 3t 2 29t 18 0
t

3

t

Với t

9

thì 3x

9

Với t

2
thì 3x
3

2
3

x
x

Vậy nghiệm của phương trình là x

Nguyễn Văn Lực

(3)

2
3
9

2
log 3

2
3

2; x

log 3

2
3

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
Câu 26. Giải phương trình

6.9x  13.6x + 6.4x = 0

Chia hai vế phương trình (1) cho 4 ta được
x

Đặt t

3
2

1

(1)
3
6.
2

x 2

3
13.
2

x

6

0 (2)

x

với t

0 , phương

trình (1) trở thành 6t 2 13t 6 0
2
3
3
2

t
3
t

Với t

3

3
thì
2
2

Với t

2
3
thì
3
2

x

x

3
2

x

2
3

x

(3)

1

1

Vậy nghiệm của phương trình là x
Câu 27. Giải phương trình 2log x

1

3

1; x

2log

3

x 2

1

(1)

x

Điều kiện: x 0
Đặt t

log 3 x

x

3t thì phương trình (1) trở thành

1 t
.2
4

2.2t

Với t

2

thì x

9

9 t
.2
4

3t

3t

2 x.5x

25.2 x

5x 4 2 x

2

x

25
4

100

25 2 x

4 2 x 5x

5x

25

x

4

t

2

(1)

0
0

0

2

Vậy nghiệm của phương trình là x
Nguyễn Văn Lực

4
9

9

Câu 28. Giải phương trình 4.5x 25.2x 100 10x
4.5x

t

(thỏa điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là x

Ta có: 1

2
3

2

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
Câu 29. Giải phương trình 3x.2 x

2

(1)

1

Lấy lôgarit hai vế với cơ số 3, ta có
log 3 3x.2 x

1

log3 3x

2

log 3 1

log3 2 x

2

x

0

x 2 log 3 x

x

x1

x log 3 2

Vậy nghiệm của phương trình là x 0, x
Câu 30. Giải phương trình 3x

4x

0

x

(1)

Chia hai vế phương trình (1) cho 5x 5 x

0, x , ta có

1
3
5

Xét hàm số f x

x

4
5

f 2

4
5

trên

x

Mặt khác

(2)

1

( Dạng f x

x

4
4
ln
5
5

Vậy nghiệm của phương trình (1) là x

1
3

Xét các hàm số f x
f x nghịch biến trên

Mặt khác

f 0

g 0

C )

, ta có
f x nghịch biến trên

0, x
2

(*)

(**)

Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình (2) có nghiệm duy nhất x

1

Câu 31. Giải phương trình
3

log 2 3

x

(2) có nghiệm x

1

1
log 3 2

x

3
3
ln
5
5

f' x

x

0

log 2 3

5x

3
5

0

2

2

x

2x 1

x

và g x

2 x 1 trên

, ta có

và g x đồng biến trên
(1) có nghiệm x 0

(*)
(**)

Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình (1) có nghiệm duy nhất x 0

Vậy nghiệm của phương trình là x 0

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
Câu 32. Giải phương trình 2log
Điều kiện: x

3

Khi đó:

1

Đặt t

log 5 x

log 2 x

3

t

log5 2

2
5

Xét hàm số f t

Mặt khác

(1)

x

(2)

log 2 x

t

3

t

t

1
3
5

2

3

t

5

2
5

t

1
3
5

t

(3)

1

t

trên

, ta có

t

2
2

ln
5
5

f' t

x 3

2t thì phương trình (2) trở thành

x

t

5

1
1
3.
ln
5
5

f 1

1

f t nghịch biến trên

0, t

(3) có nghiệm t 1

(*)
(**)

Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình (3) có nghiệm duy nhất t 1
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x
Câu 33. Giải phương trình sau: 5x
5x

2

3x

 625  5 x

2

3x

2

 3x

2

 625

 54  x 2  3 x  4

x 1
 x 2  3x  4  0  
 x  4

Vậy phương trình có nghiệm x = 1 và x = -4.
Câu 34. Giải phương trình sau: 2x
2x

2

3 x  6

 16  2 x

2

3 x  6

2

3 x  6

 16

 24  x 2  3 x  6  4

x  5
 x 2  3x  10  0  
 x  2

Vậy phương trình có nghiệm x = 5 và x = -2.
Câu 35. Giải phương trình sau: 2x 1.5x  200
2 x 1.5x  200  2.2 x.5 x  200
 10 x  100  x  2

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
Câu 36. Giải phương trình: 23 x  x10  4x  x4  2x  x2  16  0 .
2

2

2

Phương trình tương đương:
 x 10

 22 x

2

 (22 x

2 x 12

 1)(2x

23 x

2

2

2 x 8

 2x
2

2

 x2

 x 2

 16  0  23 x

 1)  0  22 x

2

2

 x 14

 2 x 12

 22 x

2

2 x 12

 2x

2

 x 2

1  0

1  0

 x  2
 20  2 x 2  2 x  12  0  
x  3
Vậy phương trình có 2 nghiệm x  2, x  3.
 22 x

2

 2 x 12

Câu 37. Giải phương trình:





10  1

log3 x



10  1



10  1





log3 x



2x
.
3

Điều kiện: x > 0
Ta có phương trinhg tương đương với:
 10  1 


3



log3 x

 10  1 


3



log3 x



log3 x

 10  1 
2
 . Đặt t  

3
3










10  1

log3 x

2
 .3log3 x
3

log3 x

(t > 0).

 1  10
t 
3

1 2
2
Phương trình trỏ thành: t    3t  2t  3  0  1  10 (loại)
t 3
t 

3


Với t =

1  10
ta giải được x = 3
3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =3.

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com

6.2. Bất phương trình mũ
x 1

1
Câu 1. Giải bất phương trình:    2 2 x
2
 x 1
 2x
BPT  2  2   x 1  2x  x  1

Câu 2. Giải bất phương trình: 3.9 x  10.3x  3  0 .
Đặt t  3x (t  0) . Bất phương trình đã cho trở thành
3t 2  10t  3  0 

Suy ra

1
t 3
3

1
 3 x  3  1  x  1 .
3

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S  [1;1] .
x 2 1
1 3

Câu 3. Giải bất phương trình: 22x 1   
8
Bất phương trình tương đương với
x 2 1
23 3

 

22x 1 

.

 22x 1  2x

2

1

 2x  1  x 2  1





 x 2  2x  0  2  x  0 . Vậy bất phương trình có tập nghiệm S  2; 0 .
8

Câu 4. Giải bất phương trình:
8
x 2

x 3
x 1

4
x 2

2 x 6
x 1

x 3

2 x  2  4 x 1

4
2x  6

x2
x 1
2  x  1 x  4 
 4  x  1

0
 x  2  x  1
1  x  2
2

4

2

2



Câu 5. Giải bất phương trình 3x
Ta có:

1

3x

2

x

2

x

32

x2

x

x2

x 2

1

x

2

0
2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S
Nguyễn Văn Lực

(1)

9

1; 2

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
Câu 6. Giải bất phương trình sau: 76 x
76 x

2

3x 7

 49  76 x

2

3 x 7

2

3x 7

 49

 72  6 x 2  3x  7  2  6 x 2  3x  9  0

x  1
VT  0  6 x 2  3x  9  0  
 x  3

Xét dấu VT ta được tập nghiệm của bất phương trình S = [-3; 1].
Câu 7. Giải bất phương trình: 4x  3.2x  2  0
Bất phương trình 4x  3.2x  2  0  22 x  3.2x  2  0
Đặt t  2 x , t  0
Bất phương trình trở thành: t 2  3t  2  0  1  t  2  1  2 x  2  0  x  1
Vậy bất phương trình có nghiệm S = (0; 1).
Câu 8. Giải bất phương trình 2

log2 x
2

x

2log2 x

 20  0

Điều kiện: x> 0 ; BPT  24log2 x  x2log2 x  20  0
Đặt t  log 2 x . Khi đó x  2t .
2

BPT trở thành 42t  22t  20  0 . Đặt y  22t ; y  1.
2

2

2

BPT trở thành y2 + y - 20  0  - 5  y  4.
Đối chiếu điều kiện ta có: 22t  4  2t 2  2  t 2  1  - 1  t  1.
2

Do đó - 1  log 2 x  1 

1
 x  2.
2

Câu 9. Giải bất phương trình (2  3) x 2 x1  (2  3) x 2 x1 
2



t  2  3

Bpt  2  3
Đặt

x2 2 x



 2 3

x2 2 x



x2 2 x

2

4
2 3

4

(t  0)

1
t   4  t 2  4t  1  0  2  3  t  2  3 (tm)
t

BPTTT:



2 3  2 3



Nguyễn Văn Lực

x2 2 x

 2  3  1  x 2  2 x  1  x2  2 x  1  0  1  2  x  1  2

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com

6.3. Phương trình logarith
Câu 1. Giải phương trình: 2log2 (x - 2) + log0,5 (2x - 1) = 0
2 log2(x

2)

 Điều kiện:
 Khi đó, (*)
2)2

(x

log0,5(2x
x

2

2x

1)

1)

2

2)2

x 2
1
2
log2 (2x 1) 0

log2 (x

x2

6x

x

1 (loai)

x

5 (nhan)

0

log2 (x

(2x

x

0

1

0 (*)

x

5

0

2)2

log2 (2x

1)

Câu 2. Giải phương trình: x  log 2 (9  2x )  3 .
Điều kiện: 9  2 x  0 . Phương trình đã cho tương đương: log2 (9  2x )  3  x  9  2 x  23 x
2x  1  x  0
8
2x
x
 9  2  x  2  9.2  8  0   x


(thỏa điều kiện)
2
2  8  x  3
x

Câu 3. Giải phương trình log52 x  log0,2 (5x)  5  0.
GPT: log 52 x  log 0,2 (5 x)  5  0 (1)
Đk: x>0. PT (1)  log52 x  log5 (5x)  5  0  log52 x  log5 x  6  0
log5 x  3
 x  125


 x  1/ 25
log5 x  2
KL: Vậy tập nghiệm PT (1) là T  1/ 25;125

Câu 4. Giải phương trình 2log3  x  1  log 3  2 x  1  2 .
x  1

+ PT  


log3  x  1  log3  2 x  1  1
x  1
+  2
 x2
2
x


3
x

2

0


Câu 5. Giải phương trình: log 2 ( x 2  2 x  8)  1  log 1 ( x  2)
2

log 2 ( x  2 x  8)  1  log 1 ( x  2)
2

2

 log 2 ( x2  2 x  8)  log 2 2  log 2 ( x  2)  log2 ( x2  2 x  8)  log 2 2( x  2)

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
x20







2
 x  2 x  8  2( x  2)



x20

2
 x  4 x  12  0

 x  6

Câu 6. Giải phương trình: log 2 3.log 3  2 x  1  1
PT  log 2  2 x  1  1  2x 1  2  x 

3
2

Câu 7. Giải phương trình: log 3  x  1  log 3  3  x   log 3  2 x  3
Điều kiện

x 1  0

3  x  0  1  x  3 (*)
2 x  3  0


Phương trình tương đương log 3  x  1  log 3  3  x   log 3  2 x  3
 log 3  x  1 (3  x)  log 3  2 x  3
  x  1 (3  x)  2 x  3

  x2  2 x  3  2 x  3   x2  0
 x = 0 , kết hợp với đk (*) phương trình có 1 nghiệm x = 0

Câu 8. Giải phương trình: log 2  3x  1  6  log 0,5  5 x  2 
ĐK x 

2
5

PT đã cho tương đương với log 2  3x  2  5 x  2   6   3x  2  5 x  2   64
x  2
 15 x  4 x  68  0  
 x   34
15

Kết hợp đk ta được tập nghiệm phương trình là: S  2
2

Câu 9. Giải phương trình:

log

3

x  2  log 1 (2  x)  log 27 x3  0

3

+ ĐK: 0  x  2 (*)
+PT  log3 ( x  2)  log3 (2  x)  log3 x  0  log3 [( x  2)(2  x)]= log3 x  (2  x)(2  x)  x
 x2  x  4  0  x 

1  17
2

Kết hợp với (*) ta được nghiệm của phương trình là x 

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

1  17
2

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
Câu 10. Giải phương trình: log2 (4x1  4).log 2 (4x  1)  3 .





log 2 (4 x 1  4).log 2 (4 x  1)  3  2  log 2 (4 x  1) .log 2 (4 x  1)  3

t  1
t  3

Đặt t  log 2 (4 x  1) , phương trình trở thành:  2  t  t  3  
 t  1  log2 (4x  1)  1  4 x  1  2  x  0 .
1
8

7
8

 t  3  log 2 (4 x  1)  3  4 x  1   4 x   : Phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x  0 .
Câu 11. Giải phương trình log

2

 x2  x  1  log2  x2  x  3

ĐK: x 





2







 
2



PT  log 2 x 2  x  1  log 2 x 2  x  3  x 2  x  1  x 2  x  1  2  0
Đặt: t  x 2  x  1, t 

3
4
t  1( L)
t  2( N )

Ta được phương trình : t 2  t  2  0  

1  5
x 
2
Với t  2  x 2  x  1  0  

1  5
x 
2


Vậy : x 

1  5
1  5
và x 
là nghiệm của phương trình.
2
2

Câu 12. Giải phương trình sau:
2log32 x  5log3 (9 x)  3  0
Đk:x>0
 2log 32 x  5(log 3 9  log 3 x)  3  0
Khi đó PT  2log 32 x  5log 3 x  12  0
 x  81
log 3 x  4


1 (t/m)
x 
log 3 x  3
3

9

2
Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309

www.TOANTUYENSINH.com
Câu 13. Giải phương trình

log2 (x

1)

log2 (3x

4) 1

0.

4
(*). Với điều kiện (*), ta có
3
(1)  log2 (x  1)(3x  4)  1  log2(3x 2  7x  4)  log2 2

Điều kiện xác định: x 

 3x 2  7x  2  0  x  2 (do điều kiện (*)).

Vâ ̣y phương triǹ h đã cho có nghiê ̣m duy nhấ t x = 2.
Câu 14. log3  x  5  log9  x  2  log 3  x  1  log
2

3

2.  2 

Tập xác định D  1;   \ 2.

 2   log3  x  5  log3 x  2  2 log3  x  1  log3 2
 x  5 . x  2  2  x  5 . x  2  2 x  1 2



 
2
 x  1
2
Với x  2 ta có:  x  5 x  2   2  x  1  x 2  3x  10  2 x 2  4 x  2
x  3
 x 2  7 x  12  0  
x  4
2
Với 1  x  2 ta có  x  5 2  x   2  x  1   x 2  3x  10  2 x 2  4 x  2

97
t / m 
x  1
6
2

 3x  x  8  0 

1  97
 loai 
x 

6


1  97


;3; 4 .


 6


Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm x  

Câu 15. Giải phương trình: log 2 ( x  5)  log 2 ( x  2)  3
Điều kiện x  5 . Phương trình đã cho tương đương với
log 2 ( x  5)( x  2)  3  ( x  5)( x  2)  8

 x  6(t / m)
 x 2  3x  18  0  
 x  3(l )
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  6.

Câu 16. Giải phương trình:
Điều kiện: x  3  x  7

1
log
2

2

x

2

 2 x  3  log 2

Phương trình  log 2 (x 2  2x  3)  log 2

Nguyễn Văn Lực

x3
0
x 3

x 7
0
x 3

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
(x 2  2x  3).(x  3)
0
x 7
(x 2  2x  3).(x  3)


1
x 7
 x 3  5x 2  2x  2  0
 (x  1)(x 2  4x  2)  0
 x  1
 x  1
 2
 
 x  4x  2  0
 x  2  6  x  2  6
So với điều kiện, phương trình có nghiệm x  2  6 .
 log 2

Câu 17. Giải phương trình 2 log 8  2 x   log 8  x 2  2 x  1 

4
3

Điều kiện x  0, x  1 .
Với điều kiện đó, PT đã cho tương đương với :
log8  2 x   x  1 
2

2

 2 x  x  1  4
2
4
 x2

  2 x  x  1   16  
3
 2 x  x  1  4

Câu 18.  2  log3 x  log9 x 3 

4
1
1  log3 x

Giải phương trình  2  log3 x  log9 x 3 

ĐKXĐ:

4
 1 (1)
1  log3 x


x  0

 x  3 (*)

1
x 
9


Với ĐK (*), ta có : (1)   2  log3 x 

1
4
2  log3 x
4

1 

 1 (2)
log3 9 x 1  log3 x
2  log3 x 1  log3 x

t  1
(**) ). Khi đó phương trình (2) trở thành:
t  2

Đặt: t  log 3 x ( ĐK: 

t  1
1

t  1  x 
2t
4


 t  2


3


2  t 1 t
t  4
t 2  3t  4  0
 x  81

1
3

So sánh điều kiện được 2 nghiệm x  ; x  81

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
Câu 19. Giải phương trình: log 2  x  1  3log 1  3x  2   2  0
8

Điều kiện: x  1
Khi đó phương trình đã cho tương đương với phương trình
log 2  x  1  log 2  3x  2   2  0  log 2  4 x  4   log 2  3x  2 
 4 x  4  3x  2  x  2

Kết hợp với điều kiện phương trình có nghiệm x  2 .
Câu 20. Giải phương trình: log3 x 2  x   log 1 x  4   1 .
3

x  1

Điều kiện: 





 4  x  0





3  x  4    x






 x  3 x  4 



log 3 x 2  x  log 3 x  4  1  log 3 x 2  x  log 3 x  4  log 3 3





 log 3 x 2  x  log 3

2

x   2
 x 2  4x  12  0  
(thoả mãn)
x  6

Vậy phương trình có hai nghiệm x  2; x  6 .
Câu 21. Giải phương trình: log3 ( x 2  3x)  log 1 (2 x  2)  0 ; ( x  )
3

Đk: x>0 (*)
Với Đk(*) ta có: (1)  log3 ( x2  3x)  log3 (2 x  2)
 x  1(t / m)
. Vậy nghiệm của PT là x = 1
 x2  x  2  0  
 x  2(loai)

Câu 22. Giải phương trình: log 22 x  4 log 4 4 x  7 .
Đk: x>0,

log 22 x  4 log 4 4x  7  0  log 22 x  2 log 2 x  3  0

x  2
log 2 x  1
1


1 . Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của PT là x  2 và x  .
log x  3  
8
x
 2

8

Câu 23. Giải phương trình: log32 x  log32 x  1  5  0

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
Điều kiện: x  0.
Đặt t  log 32 x  1, t  1.
t  2

Phương trình trở thành t 2  t – 6  0  

t  3  loai 

 x3 3
 log 3 x  3
log x  1  2  log 3 x  3  
(tmđk).


 3
l
o
g
x


3

x

3
 3


Với t = 2 thì

2
3

2

Vậy phương trình có hai nghiệm x  3 3 và x  3
Câu 24. Giải phương trình:  2  log 3 x  log 9 x 3 

3

4
1

1  log 3 x

Điều kiện x  0, x  3, x  1/ 9
Phương trình   2  log 3 x 

2  log 3 x
1
4
4

1 

1
log 3 9 x 1  log 3 x
2  log 3 x 1  log 3 x

Câu 25. Giải phương trình log 2 x 1
Điều kiện:

x 1
3x

Khi đó: 1

0
2

0

x

1

x

2
3

log 2 x 1
log 2

x 1
3x 2

4x

4

2 log 4 3x

x

1

(*)

log 2 3 x

2

2

3x

x 1
3x 2

2
2

x

2

Vậy nghiệm của phương trình là x

2

2

2

0

(1)

1
4

[thỏa (*)]

Câu 26. Giải phương trình log 2 x  log3 x  log 6 x  log36 x

(1)

Điều kiện: x 0
Áp du ̣ng công thức log a c  log a b  log b c ,  0  a, b, c; a  1; b  1 , ta có
1  log 2 x  log3 2  log 2 x  log 6 2  log 2 x  log36 2  log 2 x
 log 2 x  log 3 2  log 6 2  1  log 36 2   0 *

Do log3 2  log 6 2  1  log36 2  0 nên *  log 2 x  0  x  1
Vậy nghiệm của phương trình là x 1

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
Câu 27. Giải phương trình: log3 (x  1)2  log 3 (2x  1)  2
x 1

Điều kiện:

0

2x 1

Khi đó:

0

1

x

1

x

1
2

(*)

2 log 3 x 1

2 log 3 2 x 1

log 3 x 1

x 1 2x 1
1
2

x

1 thì

2

2

log 3 2 x 1

log 3 x 1 2 x 1

Với

(1)

1

1

(2)

3

1 x 2x 1

2 x2

3

3x

4

0 : phương trình vô

nghiệm
Với x 1 thì

2

x 1 2x 1

3

2x

2

3x

2

0

1
2

x
x

loaïi

2

[thỏa (*)]
Vậy nghiệm của phương trình là x
Câu 28. Giải phương trình

2

log 22 x

3log 2 2 x

1

(1)

0

Điều kiện: x 0
Khi đó:
Đặt t

1

log 22 x

3log 2 x

2

0

log 2 x , phương trình (1) trở thành t 2

3

3t

2

t

1

t

2

0

Với t

1

thì log 2 x

1

x

1
2

[thỏa (*)]

Với t

2

thì log 2 x

2

x

1
4

[thỏa (*)]

Vậy nghiệm của phương trình là x

Nguyễn Văn Lực

1
;x
4

(3)

1
2

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
1
5 log x

Câu 29. Giải phương trình
x

(1)

1

0

Điều kiện: log x 5

(*)

log x

Đặt t

2

1 log x

1

log x t

1 , phương trình (1) trở thành

5, t

3

Với t
Với t

1 t

2 5 t

t2

5 t 1 t

thì log x 2
3 thì log x 3

x

100

x

1000

2

5t

1

2

5 t

1 t
t
0
t

6

(3)

1

2
3

[thỏa (*)]
[thỏa (*)]

Vậy nghiệm của phương trình là x 100; x 1000
5.2 x 8
log 2 x
2 2

Câu 30. Giải phương trình

(1)

3 x

Điều kiện 5.2x 8 0 (*)
Ta có:

5.2 x 8
2x 2

1

2 x 5.2 x

23

x

8

8 2x

5.22 x 16.2x 16

Đặt t

2x với t

2

(2)

0

0 , phương trình

(2) trở thành 5t 2 16t 16 0
t
3

Với t

4

thì 2x

4

x

4
4

5

[thỏa (*)]

2

Vậy nghiệm của phương trình là x
Câu 31. Giải phương trình sau

t

(3)

2

log 2 x  log 4 x  log8 x  11

log 2 x  log 4 x  log8 x  11 (1)

Điều kiện: x > 0.
(1)  log 2 x  log 22 x  log 23 x  11

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com

1
1
 log 2 x  log 2 x  log 2 x  11
2
3
11
 log 2 x  11
6
 log 2 x  6  x  26  64 (nhan)

Vậy phương trình có nghiệm x = 64.
log5 x  log 25 x  log 0,2

Câu 32. Giải phương trình sau
1

log5 x  log 25 x  log 0,2

3

1
3

(1)

Điều kiện: x > 0.



3

log 5 x  log 5
2

 log 5 x  log 5

 

1

1
 log5 x  log5 x  log5 3
2
2
3  log 5 x  log 5 3
3

(1)  log 5 x  log 52 x  log 51

 3

2
3

3

 log 5 x  log 5 3 3

x33

Vậy phương trình có nghiệm x  3 3 .

Câu 33. Giải phương trình sau

log 22 x  log 2 x  6  0

log 22 x  log 2 x  6  0 (3)

Điều kiện: x > 0.
t  3
t  2

Đặt t  log 2 x . PT (3) trở thành t 2  t  6  0  
t  3  log 2 x  3  x  23  8 (thỏa mãn)
t  2  log 2 x  2  x  22  4 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = 4 và x = 8.
Câu 34. Giải phương trình sau 4 log 22 x  log
4 log 22 x  log

2

2

x2

x  2 (1)

Điều kiện x > 0.

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
(1)  4 log 22 x  log

1
22

x  2  4 log 22 x  2 log 2 x  2  0 (1’)

t  1
Đặt t  log 2 x . PT (1’) trở thành 4t  2t  2  0   1
t 
 2
1
t  1  log 2 x  1  x  21  (t / m)
2
1
1
1
2
t   log 2 x   x  2  2 (t / m)
2
2
1
Vậy phương trình có nghiệm x  và x  2
2

2

3log 32 x  10 log 3 x  3

Câu 35. Giải phương trình sau
3log 32 x  10 log 3 x  3 (5)

Điều kiện x > 0
t  3
Đặt t  log 3 x ta được 3t  10t  3  3t  10t  3  0   1
t 
 3
3
t  3  log 3 x  3  x  3  27 (nhận)
2

t

2

1
1
1
 log3 x   x  33  3 3
3
3

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 27 và x  3 3 .
Câu 36. Giải phương trình sau ln( x 2  6 x  7)  ln( x  3)
ln( x 2  6 x  7)  ln( x  3) (1)

 x2  6x  7  0
Điều kiện 
x  3  0

 x  2 (loai)
(1)  x 2  6 x  7  x  3  x 2  7 x  10  0  
 x  5 (nhan)

Vậy phương trình có nghiệm x = 5.
Câu 37. Giải phương trình:
log 4  x  1  2  log
2

Nguyễn Văn Lực

4  x  log8  4  x  (1)
3

2

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
1
2
 2log 3 x  1  2log 3  2 x  1  2  log 3 x  1  log 3  2 x  1  1

Điều kiện:  x  1

 1
 2  x  1
 2

 log 3 x  1  2 x  1  log 3 3  x  1  2 x  1  3   2 x  3 x  4  0(vn)  x  2

 x  1
 2 x 2  3x  2  0


Câu 38. Giải phương trình:
log 4  x  1  2  log

4  x  log8  4  x  (1)

2

3

2

x 1  0
 4  x  4

Điều kiện: 4  x  0  
 x  1
4  x  0


(1)  log 2 x  1  2  log 2  4  x   log 2  4  x   log 2 x  1  2  log 2 16  x 2 
 log 2 4 x  1  log 2 16  x 2   4 x  1  16  x 2

+ Với 1  x  4 ta có phương trình x 2  4 x  12  0 (2) ;
x  2
(2)  
 x  6  lo¹i 

+ Với 4  x  1 ta có phương trình x2  4 x  20  0 (3);
 x  2  24
3

  
 x  2  24  lo¹i 





Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x  2 hoặc x  2 1  6 .

log x x 2  14log16 x x3  40.log 4 x x  0

Câu 39. Giải phương trình:

2

log x x  14log16 x x  40.log 4 x x  0 (1)
2

3

2

Đk: x  0, x  1/ 4, x  1/16, x  2 (*)
Khi đó, phương trình tương đương với 2.log x x  42.log16 x x  20.log 4 x x  0 (2)
2

Nhận thấy x =1 luôn là nghiệm của PT.
Với 0 < x ≠ 1, PT (2) 

2
log x

Nguyễn Văn Lực

x
2



42
20

0
log x 16 x log x 4 x

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
Đặt t = logx2, phương trình trên trở thành

2
42
20


0
1  t 1  4t 1  2t

(3)

(3)  2t2 + 3t – 2 = 0  t = 1/2 hoặc t = -2(tmđk)
* Với t = -2 thì logx2 = -2  x  

1
2

* Với t = 1/2 thì logx2 = 1/2  x = 4.
Kết hợp đk ta được nghiệm của phương trình là x = 4, x =

1
2

x2  x  1
 x 2  3x  2

Câu 40 Giải phương trình log 3 2
2x  2x  3
2
2
Đặt u  x  x  1; v  2 x  2 x  3  u  0, v  0  suy ra v – u  x2  3x 2.
u
 v  u  log3 u  log3 v  v  u  log3 u  u  log3 v  v (1).
v
Xét hàm đặc trưng: f  t   log3 t  t , t  0 .

PT đã cho trở thành log3

Ta có f ' (t ) 

1
 1  0, t  0 nên hàm số đồng biến khi t > 0.
t.ln 3

Từ (1) ta có f(u) = f(v), suy ra u = v hay v-u=0, tức là x2-3x+2=0.
Phương trình có nghiệm x  1, x  2 .

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309