PHẦN 6 hàm số mũ LOGARITH

www.TOANTUYENSINH.com

PHẦN 6. HÀM SỐ MŨ - LOGARITH
6.1. Phương trình mũ
52 x +1 − 6.5 x + 1 = 0 .

Câu 1. Giải phương trình

5 x = 1
x = 0
52 x +1 − 6.5x + 1 = 0 ⇔ 5.5 − 6.5 + 1 = 0 ⇔  x 1 ⇔ 
5 =
 x = −1

5
2x

x

Câu 2. Giải phương trình 3.25 x−2 + ( 3x − 10) 5 x−2 = x − 3 .
+3.25 x − 2 + ( 3x − 10 ) 5 x −2 = x − 3

⇔ 5 x −2 ( 3.5 x − 2 − 1) + x ( 3.5 x − 2 − 1) − 3 ( 3.5 x − 2 − 1) = 0

(

)(

)

⇔ 3.5 x −2 − 1 5 x −2 + x − 3 = 0

3.5 x−2 − 1 = 0
(1)
⇔  x−2
5 + x − 3 = 0 ( 2)
1
1
x −2
+ (1) ⇔ 5 = ⇔ x = 2 + log5 = 2 − log 5 3
3
3
x−2
( 2) ⇔ 5 = − x + 3 . Vế trái là hàm đồng biến vế phải là hàm nghịch biến mà (2)
có nghiệm x = 2 nên là nghiệm duy nhất.
Vậy Phương trình có nghiệm là: x = 2 − log 5 3 và x = 2.
Câu 3. Giải phương trình: (3 + 2 2) x − 2( 2 − 1) x − 3 = 0
(3 + 2 2) x − 2( 2 − 1) x − 3 = 0

 ( 2 + 1) 2 x − 2( 2 + 1) − x − 3 = 0
 ( 2 + 1)3 x − 3( 2 + 1) x − 2 = 0
 ( 2 + 1) x = 2
 x = log 2 +1 2
Câu 4. Giải phương trình: ( 2 ) 2x

(

2)

2x 2 + 6x - 6

1

= 2.4x + 1 Û 2 2

2 + 6x - 6

(2x 2 + 6x - 6)

= 2.4x + 1
2

= 2.22( x + 1) Û 2x + 3x éx = - 3
⇔ x 2 + 3x - 3 = 2x + 3 Û x 2 + x - 6 = 0 Û ê
êx = 2
ê
ë

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

3

= 22x + 3

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
Câu 5. Giải phương trình: 24x - 4 - 17.22x - 4 + 1 = 0
24x - 4 - 17.22 x - 4 + 1 = 0 Û

16x
4x
- 17.
+ 1 = 0 Û 4 2x - 17.4 x + 16 = 0
16
16

ét = 1
ê
t - 17t + 16 = 0 ÛÛÛ
êt = 16
ê
ë
2

Câu 6. Giải phương trình:

é4x = 1
ê
ê4x = 16
ê
ë

éx = 0
ê
êx = 2
ê
ë

25 x + 3.5 x − 10 = 0

25 x + 3.5 x − 10 = 0 ⇔ 52 x + 3.5 x − 10 = 0
Đặt t = 5x , t > 0

Phương trình trở thành:
t = 2(nhan)
t 2 + 3t − 10 = 0 ⇔ 
t = −5(loai )
x
t = 2 ⇔ 5 = 2 ⇔ x = log 5 2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = log 5 2 .

Câu 7. Giải phương trình 2 x − 23− x − 2 = 0
2 x − 23 − x − 2 = 0 ⇔ 2 x −

8
− 2 = 0 ⇔ 22 x − 2.2 x − 8 = 0
x
2

Đặt t = 2 x , t > 0
Phương trình trở thành:
t = 4 ( nhan)
t 2 − 2.t − 8 = 0 ⇔ 
t = −2 (loai )
t = 4 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
Câu 8. Giải phương trình sau: 9 x − 10.3x + 9 = 0

9 x − 10.3x + 9 = 0 ⇔ 32 x − 10.3 x + 9 = 0
Đặt t = 3x , t > 0 .
t = 1 (nhan)
t = 9 (nhan)

2
Phương trình trở thành: t − 10t + 9 = 0 ⇔ 

t = 1 ⇔ 3x = 1 ⇔ x = 0
t = 9 ⇔ xx = 9 ⇔ x = 2

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = 2.
Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
Câu 9. Giải phương trình sau: 8.3x + 3.2x = 24 + 6x
Phương trình đã cho tương đương (3x -3)(8-2x )= 0
Từ đó tìm được x=1 hoặc x=3
Câu 10. Giải phương trình 2e x + 2e − x − 5 = 0, x ∈ R .
2e x + 2e− x − 5 = 0 ⇔ 2e2 x − 5e x + 2 = 0.
Đặt t = e x , t > 0 . Phương trình trở thành
t = 2
2t − 5t + 2 = 0 ⇔  1
t =
 2

e x = 2
 x = ln 2

⇔ x 1⇔
e =
 x = ln 1


2
2
2

Câu 11. Giải phương trình sau:
5.32 x −1 −7.3x −1 + 1 −6.3x +9 x +1 =0

Đặt t = 3x > 0 . (1) ⇔
⇒

5t 2 − 7t + 3 3t − 1 = 0

3
x = log 3 ; x = − log 3 5
5

x
Câu 12. Giải phương trình (2 + 3)
2

2

−2 x +1

+ (2 − 3) x

2

−2 x −1

=

4
2− 3

2

Phương trình ⇔ (2 + 3) x −2 x + (2 − 3) x −2 x = 4 .
+) Ta có: (2 + 3) x −2 x .(2 − 3) x −2 x = (4 − 3) x
2

2

2

2

−2 x

= 1, ∀x ∈¡ .

1

t

2

đặt t = (2 + 3) x − 2 x > 0 ⇒ (2 + 3) x −2 x = .
trở thành:

t = 2 − 3 (TM )
1
t + = 4 ⇔ t 2 − 4t + 1 = 0 ⇔ 
.
t
t = 2 + 3 (TM )
x = 1− 2

2

x −2 x
= 2 + 3 ⇔ x2 − 2 x = 1 ⇔ x 2 − 2 x − 1 = 0 ⇔ 
t = 2 + 3 , ta có: (2 + 3)

 x = 1 + 2

t = 2 − 3 , ta có: (2 + 3) x

2

−2 x

= (2 + 3) −1 ⇔ x 2 − 2 x = −1 ⇔ x 2 − 2 x + 1 = 0 ⇔ x = 1 .

+) KL: ...
Câu 13. Giải phương trình 2 x −1 − 3x = 3x −1 − 2 x + 2
2

2

2

2

Tập xác định ¡ .

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
2x

2

−1

2

− 3x = 3x

x 2 −1

2
⇔ ÷
3

=

2

−1

− 2x

2

+2

⇔ 2x

2

−1

( 1 + 8 ) = 3x −1 ( 1 + 3)
2

4
⇔ x 2 − 1 = 2 ⇔ x = ± 3.
9

Câu 14. Giải phương trình: 7 x + 2.71− x − 9 = 0 .
Đặt t = 7 x , t > 0 . Ta có phương trình: t +

t = 2
14
− 9 = 0 ⇔ t 2 − 9t + 14 = 0 ⇔ 
t
t = 7

Với t = 2, suy ra 7 x = 2 ⇒ x = log 7 2
Với t = 7, suy ra 7 x = 7 ⇒ x = 1
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { log 7 2;1} .
Câu 15. Giải phương trình: 34 − 2 x = 95−3 x− x

2

Đưa về cùng cơ số 3 khi đó phương trình tương đương với x 2 + 2 x − 3 = 0
nghiệm cần tìm là x = 1 hoặc x = -3
Câu 16. Giải phương trình 5 2 x −2 − 26.5 x −2 + 1 = 0
Giải phương trình 5 2 x −2 − 26.5 x −2 + 1 = 0

t = 1
t = 25

Đặt t = 5x >0. Phương trình <=> t2–26t + 25 = 0 <=> 
x = 0

<=> 
.

x = 2
Câu 17. Giải phương trình 2.4 x + 6 x = 9 x.
Phương trình
 2  x
 ÷ = −1 ( Loai )
x
x
2x
x
4 6
2
2
 3 
⇔ x = − log 2 2
⇔ 2.  ÷ +  ÷ = 1 ⇔ 2.  ÷ +  ÷ − 1 = 0 ⇔ 
x
3
9 9
3
3
 2 ÷ = 1
2
 3 
x = − log 2 2

Vậy phương trình có nghiệm

3

Câu 18. Giải phương trình: 31−2 x.27

Nguyễn Văn Lực

x +1
3

= 81 .

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
x +1

Phương trình đã cho tương đương với : 31−2 x.33. 3 = 81 ⇔ 31− 2 x.3x +1 = 34
32− x = 34 ⇔ 2 − x = 4 ⇔ x = −2.

Câu 19. Giải phương trình 4 x
4

x2 + x

x −1

1
= ÷
2

⇔ 22 x

2

+2 x

2

+x

x −1

1
= ÷
2

trên tập số thực.

= 21− x


−3 − 17
x =
4
2 x 2 + 2 x = 1 − x ⇔ 2 x 2 + 3x − 1 = 0 ⇔ 

−3 + 17
x =
4


Câu 20. Giải phương trình 5.9 x − 2.6 x = 3.4 x (1)
Phương trình đã cho xác định với mọi x ∈ ¡
Chia cả hai vế của phương trình (1) cho 4 x > 0 ta được :
2x

x

3
 3
5.9 x − 2.6 x = 3.4 x ⇔ 5.  ÷ − 2.  ÷ = 3
2
 2
2x
x
 3  2 x    3  x 
3
3
⇔ 5.  ÷ − 2.  ÷ − 3 = 0 ⇔  ÷ − 1 5.  ÷ + 3 = 0 (2)
2
2
 2 
   2 

x

x

3
3

Vì 5.  ÷ + 3 > 0 ∀x ∈ ¡ nên phương trình (2) tương đương với  ÷ = 1 ⇔ x = 0 .
2
2
Vậy nghiệm của phương trình là: x = 0

Câu 21. Giải phương trình 2 2 x +5 + 2 2 x +3 = 52 x+ 2 + 3.52 x+1 .
TXĐ D = ¡
Phương trình ⇔ 2 2 x +3 (4 + 1) = 52 x +1 (5 + 3)
⇔ 2 2 x +3.5 = 52 x +1.8
2x

2
⇔  ÷ =1
.
5
⇔ 2x = 0 ⇔ x = 0

Câu 22. Giải phương trình:

Nguyễn Văn Lực

(

) (
x

5 +1 +

)

x

5 − 1 = 2 x+1

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
x

x

5 + 1 5 1
PT
ữ
ữ
ữ +
ữ =2
2 2
x

t

1

5 +1

ữ

ữ = t (t > 0)
2

ta cú phng trỡnh: t + t = 2 t = 1
x

5 +1
Vi t=1
ữ
ữ =1 x = 0
2



Vy phng trỡnh cú nghim x=0
x

Cõu 23. Gii phng trỡnh 0,125.42x 3

2
=
ữ
8 ữ



(1)

a hai v v c s 2, ta c:
- x

( 1) 2 .2
- 3

4 x- 6

ổ- 52 ử
=ỗ
2 ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

5
5
3
x
24 x- 9 = 2 2 4 x - 9 = 2 x 2 x = 9 x = 6

Vy nghim ca phng trỡnh l x = 6
Cõu 24. Gii phng trỡnh 9 x - 4.3x - 45 = 0

(1)

t t = 3x vi t > 0 , phng trỡnh (1) tr thnh t 2 - 4t - 45 = 0

(2)

ột = - 5 ( loaùi)
( 2) ờ
ờ
ởt = 9

ã

Vi t = 9 thỡ 3x = 9 x = 2

Vy nghim ca phng trỡnh l x = 2
Cõu 25. Gii phng trỡnh 3x+ 1 + 18.3- x = 29

Nguyn Vn Lc

(1)

Ninh Kiu Cn Th

0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
Bin i phng trỡnh (1) ta c

( 1) 3.3x +

18
= 29
3x

(2)

t t = 3x vi t > 0 , phng trỡnh (1) tr thnh 3t 2 - 29t + 18 = 0

(3)

ộ 2
ờ=
t
( 3) ờ 3
ờ
ờ
ởt = 9
ã

Vi t = 9 thỡ 3x = 9 x = 2

ã

Vi t =

2
2
2
thỡ 3x = x = log 3
3
3
3

Vy nghim ca phng trỡnh l x = 2; x = log 3

Cõu 26. Gii phng trỡnh

2
3

6.9 x 13.6 x + 6.4 x = 0

(1)
2

x
x
ộổử
ự
ổử
3
3
ờ
ữ
ỳ
ữ
ỗ
Chia hai v phng trỡnh (1) cho 4 ta c ( 1) 6. ờỗỗỗ ữ
ữ
ỗ
ữỳ - 13.ố
ữ + 6 = 0 (2)
ỗ2 ứ
ố

ứ
2
ờ
ỳ
ở ỷ
x

x

ổử
3
t t = ỗỗỗ ữ
vi t > 0 , phng trỡnh (1) tr thnh 6t 2 - 13t + 6 = 0
ữ
ữ
ố2 ứ

(3)

ộ 2
ờ=
t
ờ 3
( 3) ờ
ờ 3
ờt =
ờ
ở 2
x

ổử
3
3ữ 3
ã Vi t = thỡ ỗ
ữ
ỗ
ữ = 2 x =1
ỗ
ố2 ứ
2
x

ổử
2
3ữ 2
ã Vi t = thỡ ỗ
ữ= x =- 1
ỗ
ỗ
ố2 ữ
ứ 3
3

Vy nghim ca phng trỡnh l x = - 1; x = 1
Cõu 27. Gii phng trỡnh 2log x+ 1 + 2log x- 2 = x
3

3

(1)

iu kin: x > 0
t
t t = log 3 x x = 3 thỡ phng trỡnh (1) tr thnh

Nguyn Vn Lc

Ninh Kiu Cn Th

0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
t

æö
1
9
2÷ 4
2.2 + .2t = 3t Û .2t = 3t Û ç
÷
ç
÷= 9 Û t = 2
ç
è3 ø
4
4
t

Với t = 2 thì x = 9 (thỏa điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là x = 9
Câu 28. Giải phương trình 4.5x + 25.2 x = 100 + 10 x

(1)

x
x
x
x
Ta có: ( 1) Û 4.5 - 2 .5 + 25.2 - 100 = 0

Û 5 x ( 4 - 2 x ) + 25 ( 2 x - 4) = 0
Û ( 4 - 2 x ) ( 5 x - 25) = 0
é5x = 25
Û êx
Û x=2
ê2 = 4
ë

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2
Câu 29. Giải phương trình 3x.2 x = 1

(1)

2

Lấy lôgarit hai vế với cơ số 3, ta có

( 1) Û log 3 ( 3x.2 x ) = log 3 1
2

Û log 3 3x + log 3 2 x = 0 Û x + x 2 log 3 x = 0
2

éx = 0
ê
Û ê
1
êx = = - log 2 3
ê
log 3 2
ë

Û x ( 1 + x log 3 2) = 0

Vậy nghiệm của phương trình là x = 0, x = - log 2 3
Câu 30. Giải phương trình 3x + 4 x = 5x

(1)

x
Chia hai vế phương trình (1) cho 5x ( 5 ¹ 0, " x) , ta có
x

x

æö
æö
3
4÷

ç
+
=1
( 1) Û ççç ÷
÷
ç
÷ è
÷
ç5 ÷
è5 ø
ø
x

(2)

( Dạng f ( x) = C )

x

æö
æö
3
4÷
ç
+
Xét hàm số f ( x) = ççç ÷
trên ¡ , ta có
÷
ç
÷ è

÷
ç5 ÷
è5 ø
ø
x

x

æö
3 ÷ 3 æö
4÷ 4
ç
f '( x ) = ç
ln
+
÷
÷
ç
ç
÷ 5 è
÷ ln 5 < 0, " x Î ¡
ç5 ø
ç5 ø
è

Nguyễn Văn Lực

Þ

Ninh Kiều – Cần Thơ

f ( x) nghịch biến trên ¡

(*)

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
f ( 2) = 1 Þ

Mặt khác

(2) có nghiệm x = 2

(**)

Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình (2) có nghiệm duy nhất x = 2
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 2
x

æö
1
Câu 31. Giải phương trình ççç ÷
÷
÷ = 2x + 1
è3 ø
x

æö

1
Xét các hàm số f ( x) = ççç ÷
÷ và g ( x ) = 2 x + 1 trên ¡ , ta có
è3 ÷
ø

f ( x) nghịch biến trên ¡ và g ( x ) đồng biến trên ¡
f ( 0 ) = g ( 0) Þ

Mặt khác

(1) có nghiệm x = 0

(*)
(**)

Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 0
Vậy nghiệm của phương trình là x = 0
Câu 32. Giải phương trình 2log ( x+ 3) = x

(1)

5

Điều kiện: x > - 3

( 1) Û log5 ( x + 3) = log 2 x

Khi đó:

(2)

t
Đặt t = log 2 x Û x = 2 thì phương trình (2) trở thành
t

æö
2÷
log 5 ( 2 + 3) = t Û 2 + 3 = 5 Û ç
÷+
ç
ç
è5 ÷
ø
t

t

t

æö
2
Xét hàm số f ( t ) = ççç ÷
÷
÷+
è5 ø
t

t

æö
1÷
3ç
÷= 1
ç
ç
è5 ÷
ø

(3)

t

æö
1÷
3ç
÷ trên ¡ , ta có
ç
ç
è5 ÷
ø

t

æö
æö
2÷ 2
1÷ 1
f '( t ) = ç
ln + 3.ç

÷
÷
ç
ç
÷
÷ln 5 < 0, " t Î ¡
ç
ç
è5 ø 5
è5 ø

Mặt khác

t

f ( 1) = 1 Þ

Þ

f ( t ) nghịch biến trên ¡

(3) có nghiệm t = 1

(*)
(**)

Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình (3) có nghiệm duy nhất t = 1
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 2
Câu 33. Giải phương trình sau: 5 x
5x

2

+3x

= 625 ⇔ 5 x

2

+3x

2

+ 3x

= 625

= 54 ⇔ x 2 + 3 x = 4

x = 1
⇔ x 2 + 3x − 4 = 0 ⇔ 
 x = −4
Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com

Vậy phương trình có nghiệm x = 1 và x = -4.
Câu 34. Giải phương trình sau: 2 x
2x

2

−3 x −6

= 16 ⇔ 2 x

2

−3 x − 6

2

−3 x − 6

= 16

= 24 ⇔ x2 − 3x − 6 = 4

x = 5
⇔ x 2 − 3 x − 10 = 0 ⇔ 
 x = −2

Vậy phương trình có nghiệm x = 5 và x = -2.
Câu 35. Giải phương trình sau: 2 x +1.5 x = 200
2 x +1.5 x = 200 ⇔ 2.2 x.5 x = 200
⇔ 10 x = 100 ⇔ x = 2

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
Câu 36. Giải phương trình: 23 x − x −10 + 4 x − x −4 − 2 x
2

2

2

+ x +2

− 16 = 0 .

Phương trình tương đương:
23 x

2

− x −10

⇔ (22 x

2

+ 22 x
− 2 x −12

2

− 2 x −8

− 2x

− 1)(2 x

2

2

+ x+2

+ x −2

− 16 = 0 ⇔ 23 x

+ 1) = 0 ⇔ 22 x

2

2

− x −14

− 2 x −12

+ 22 x

2

− 2 x −12

− 2x

2

+ x −2

−1 = 0

−1 = 0

 x = −2
= 20 ⇔ 2 x 2 − 2 x − 12 = 0 ⇔ 
x = 3
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = −2, x = 3.
⇔ 22 x

2

− 2 x −12

(

Câu 37. Giải phương trình:

)

10 + 1

log3 x

−

(

)

10 − 1

log 3 x

=

2x
.
3

Điều kiện: x > 0
Ta có phương trinhg tương đương với:
log3 x

 10 + 1 
⇔
÷
 3 

log 3 x

 10 − 1 
−

÷
 3 

(

)

10 + 1

log3 x

−

(

)

10 − 1

log 3 x

2
= .3log3 x
3

log3 x

 10 + 1 
2
= . Đặt t = 

÷
3
 3 

(t > 0).

 1 + 10
t =
3
⇔
1 2
2
Phương trình trỏ thành: t − = ⇔ 3t − 2t − 3 = 0
 1 − 10 (loại)
t 3
t =
3


Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
Với t =

1 + 10

ta giải được x = 3
3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =3.

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com

6.2. Bất phương trình mũ
x +1

1
Câu 1. Giải bất phương trình:  ÷ > 2− 2 x
2
BPT ⇔ 2− x −1 > 2− 2 x ⇔ − x − 1 > −2 x ⇔ x > 1

Câu 2. Giải bất phương trình: 3.9 x − 10.3x + 3 ≤ 0 .
Đặt t = 3x (t > 0) . Bất phương trình đã cho trở thành
3t 2 − 10t + 3 ≤ 0 ⇔

Suy ra

1
≤t≤3

3

1
≤ 3 x ≤ 3 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1 .
3

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = [−1;1] .
x 2 −1
1 3

Câu 3. Giải bất phương trình: 22x +1 <  ÷
8
Bất phương trình tương đương với
22x +1 <

x 2 −1
2 −3 3

( )

.

⇔ 22x +1 < 2−x

2

+1

⇔ 2x + 1 < −x 2 + 1

(

)

⇔ x 2 + 2x < 0 ⇔ −2 < x < 0 . Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = −2; 0 .

Câu 4. Giải bất phương trình:
−8
x −2

x+3
x +1

−4
x −2

2 x +6
x +1

2

−8
x−2

>4

x+3
x +1

−4

2x + 6
>
x−2
x +1
2 ( x − 1) ( x + 4 )
 −4 < x < −1
⇔
<0⇔
( x − 2 ) ( x + 1)
1 < x < 2
2

>4

⇔2

>2

⇔

Câu 5. Giải bất phương trình 3x - x < 9
2

(1)

2

x - x
2
Ta có: ( 1) Û 3 < 3

Û x2 - x < 2
Û x2 - x - 2 < 0
Û - 1< x < 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( - 1; 2)
Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
Câu 6. Giải bất phương trình sau: 76 x
76 x

2

+3 x −7

≤ 49 ⇔ 7 6 x

2

+3 x−7

2

+3x−7

≤ 49

≤ 7 2 ⇔ 6 x 2 + 3x − 7 ≤ 2 ⇔ 6 x 2 + 3x − 9 ≤ 0

x = 1
VT = 0 ⇔ 6 x 2 + 3 x − 9 = 0 ⇔ 
 x = −3

Xét dấu VT ta được tập nghiệm của bất phương trình S = [-3; 1].
Câu 7. Giải bất phương trình: 4 x − 3.2 x + 2 < 0
Bất phương trình 4 x − 3.2 x + 2 < 0 ⇔ 22 x − 3.2 x + 2 < 0
Đặt t = 2 x , t > 0
Bất phương trình trở thành: t 2 − 3t + 2 < 0 ⇔ 1 < t < 2 ⇔ 1 < 2 x < 2 ⇔ 0 < x < 1
Vậy bất phương trình có nghiệm S = (0; 1).
Câu 8. Giải bất phương trình 2log

2
2

x

+x

2log 2 x

− 20 ≤ 0

2

Điều kiện: x> 0 ; BPT ⇔ 24log 2 x + x 2 log2 x − 20 ≤ 0
Đặt t = log 2 x . Khi đó x = 2t .
BPT trở thành 42t + 22t − 20 ≤ 0 . Đặt y = 22t ; y ≥ 1.
BPT trở thành y2 + y - 20 ≤ 0 ⇔ - 5 ≤ y ≤ 4.
Đối chiếu điều kiện ta có: 22t ≤ 4 ⇔ 2t 2 ≤ 2 ⇔ t 2 ≤ 1 ⇔ - 1 ≤ t ≤ 1.
2

2

2

2

Do đó - 1 ≤ log 2 x ≤ 1 ⇔

1
≤ x ≤ 2.
2
2

2

x − 2 x +1
+ (2 − 3) x − 2 x −1 ≤
Câu 9. Giải bất phương trình (2 + 3)

(

Bpt ⇔ 2 + 3

(

)

Đặt t = 2 + 3

x2 −2 x

)

(

+ 2− 3

x2 − 2 x

)

x2 −2 x

4
2− 3

≤4

(t > 0)

1
t + ≤ 4 ⇔ t 2 − 4t + 1 ≤ 0 ⇔ 2 − 3 ≤ t ≤ 2 + 3 (tm)
t

BPTTT:

(

2− 3 ≤ 2+ 3

)

Nguyễn Văn Lực

x2 −2 x

≤ 2 + 3 ⇔ −1 ≤ x 2 − 2 x ≤ 1 ⇔ x 2 − 2 x − 1 ≤ 0 ⇔ 1 − 2 ≤ x ≤ 1 + 2

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com

6.3. Phương trình logarith
Câu 1. Giải phương trình: 2log 2 (x - 2) + log 0,5 (2x - 1) = 0
2 log2 (x - 2) + log 0,5 (2x - 1) = 0 (*)
ìï x > 2
ìï x - 2 > 0
ïï
ï
 Điều kiện: íï 2x - 1 > 0 Û íï

1Û x> 2
ïî
ïï x >
2
î

 Khi đó, (*) Û

log2 (x - 2)2 - log2 (2x - 1) = 0 Û log2 (x - 2)2 = log2 (2x - 1)

éx = 1 (loai)
Û (x - 2)2 = (2x - 1) Û x 2 - 6x + 5 = 0 Û ê
êx = 5 (nhan)
ê
ë

Câu 2. Giải phương trình: x + log 2 (9 − 2 x ) = 3 .
Điều kiện: 9 − 2 x > 0 . Phương trình đã cho tương đương: log 2 (9 − 2 x ) = 3 − x ⇔ 9 − 2 x = 23− x
8
⇔ 9 − 2 = x ⇔ 22 x − 9.2 x + 8 = 0 ⇔
2
x

 2x = 1
⇔
 x
 2 = 8

x = 0
 x = 3 (thỏa điều kiện)



2
Câu 3. Giải phương trình log 5 x + log 0,2 (5 x) − 5 = 0.

GPT: log 5 x + log 0,2 (5 x) − 5 = 0 (1)
Đk: x>0. PT (1) ⇔ log 52 x − log 5 (5 x) − 5 = 0 ⇔ log 52 x − log 5 x − 6 = 0
2

 log 5 x = 3
 x = 125
⇔
⇔
 x = 1/ 25
 log 5 x = −2
KL: Vậy tập nghiệm PT (1) là T = { 1/ 25;125}

Câu 4. Giải phương trình 2log 3 ( x − 1) + log

3

( 2 x − 1) = 2 .

x > 1


+ PT ⇔ 

log 3 ( x − 1) + log 3 ( 2 x − 1) = 1
x > 1

⇔ x=2
+ ⇔ 2
2
x
−
3
x
−
2
=
0


2
Câu 5. Giải phương trình: log 2 ( x − 2 x − 8) = 1 − log 12 ( x + 2)

log 2 ( x 2 − 2 x − 8) = 1 − log 1 ( x + 2)
2

 log 2 ( x − 2 x − 8) = log 2 2 + log 2 ( x + 2)  log 2 ( x 2 − 2 x − 8) = log 2 2( x + 2)
2

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com

x+2>0
 x − 2 x − 8 = 2( x + 2)




2

x+2>0
<=> x = 6
 x − 4 x − 12 = 0




2

Câu 6. Giải phương trình: log 2 3.log 3 ( 2 x − 1) = 1
PT ⇔ log 2 ( 2 x − 1) = 1 ⇔ 2 x − 1 = 2 ⇔ x =

3
2

Câu 7. Giải phương trình: log 3 ( x + 1) + log 3 ( 3 − x ) = log 3 ( 2 x + 3)
Điều kiện

x +1 > 0

3 − x > 0 ⇔ −1 < x < 3 (*)
2 x + 3 > 0



Phương trình tương đương log 3 ( x + 1) + log 3 ( 3 − x ) = log 3 ( 2 x + 3 )
⇔ log 3 ( x + 1) (3 − x) = log 3 ( 2 x + 3 )
⇔

( x + 1) (3 − x) = 2 x + 3

⇔ − x2 + 2x + 3 = 2 x + 3 ⇔ − x2 = 0
⇔ x = 0 , kết hợp với đk (*) phương trình có 1 nghiệm x = 0

Câu 8. Giải phương trình: log 2 ( 3 x − 1) = 6 + log 0,5 ( 5 x − 2 )
ĐK x >

2
5

PT đã cho tương đương với log 2 ( 3x + 2 ) ( 5 x − 2 ) = 6 ⇔ ( 3x + 2 ) ( 5 x − 2 ) = 64
x = 2
⇔ 15 x − 4 x − 68 = 0 ⇔ 
34
x=−
15

Kết hợp đk ta được tập nghiệm phương trình là: S = { 2}
2

Câu 9. Giải phương trình:

log

3

x + 2 − log 1 (2 − x) − log 27 x3 = 0
3

+ ĐK: 0 < x < 2 (*)
+PT ⇔ log3 ( x + 2) + log3 (2 − x) − log 3 x = 0 ⇔ log3 [( x + 2)(2 − x)]= log3 x ⇔ (2 + x)(2 − x) = x
−1 ± 17
⇔ x2 + x − 4 = 0 ⇔ x =
2

Kết hợp với (*) ta được nghiệm của phương trình là x =

−1 + 17
2

Câu 10. Giải phương trình: log 2 (4 x +1 + 4).log 2 (4 x + 1) = 3 .
Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com

(

)

log 2 (4 x +1 + 4).log 2 (4 x + 1) = 3 ⇔ 2 + log 2 (4 x + 1) .log 2 (4 x + 1) = 3
t = 1
 t = −3

Đặt t = log 2 (4 x + 1) , phương trình trở thành: ( 2 + t ) t = 3 ⇔ 
 t = 1 ⇒ log 2 (4 x + 1) = 1 ⇔ 4 x + 1 = 2 ⇔ x = 0 .
1
8

7
8

 t = −3 ⇒ log 2 (4 x + 1) = −3 ⇔ 4 x + 1 = ⇔ 4 x = − : Phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = 0 .
Câu 11. Giải phương trình log

2

( x2 + x + 1) = log2 ( x2 + x + 3)

ĐK: x ∈ ¡

(

)

2

(

)

(

) (
2

)

PT ⇔ log 2 x 2 + x + 1 = log 2 x 2 + x + 3 ⇔ x 2 + x + 1 − x 2 + x + 1 − 2 = 0
Đặt: t = x 2 + x + 1, t ≥

3
4
t = −1( L)
t = 2( N )

2
Ta được phương trình : t − t − 2 = 0 ⇔ 


−1 + 5
x =
2
2
Với t = 2 ⇒ x + x − 1 = 0 ⇔ 

−1 − 5
x =


2

Vậy : x =

−1 + 5
−1 − 5
và x =
là nghiệm của phương trình.
2
2

Câu 12. Giải phương trình sau:
2log 32 x − 5log 3 (9 x) + 3 = 0
Đk:x>0
⇔ 2 log 32 x − 5(log 3 9 + log 3 x) + 3 = 0
⇔ 2 log 32 x − 5log 3 x − 12 = 0
Khi đó PT

 x = 81
log 3 x = 4
⇔
⇔
1 (t/m)
−
3
x =
log 3 x =
3
9


2


Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
Câu 13. Giải phương trình

log2 (x - 1) + log2 (3x - 4) - 1 = 0 .

4
(*). Với điều kiện (*), ta có
3
(1) ⇔ log2 (x − 1)(3x − 4) = 1 ⇔ log2 (3x 2 − 7x + 4) = log 2 2

Điều kiện xác định: x >

⇔ 3x 2 − 7x + 2 = 0 ⇔ x = 2 (do điều kiện (*)).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.
Câu 14. log 3 ( x + 5 ) + log 9 ( x − 2 ) − log 3 ( x − 1) = log
2

3

2. ( 2 )

Tập xác định D = ( 1; +∞ ) \ { 2} .

( 2 ) ⇔ log3 ( x + 5) + log3 x − 2 − 2 log3 ( x − 1) = log 3 2
( x + 5) . x − 2 = 2 ⇔ x + 5 . x − 2 = 2 x − 1 2
⇔
(
)
( )
2
( x − 1)
2
Với x > 2 ta có: ( x + 5) ( x − 2 ) = 2 ( x − 1) ⇔ x 2 + 3x − 10 = 2 x 2 − 4 x + 2
x = 3
⇔ x 2 − 7 x + 12 = 0 ⇔ 
x = 4
2
Với 1 < x < 2 ta có ( x + 5) ( 2 − x ) = 2 ( x − 1) ⇔ − x 2 − 3 x + 10 = 2 x 2 − 4 x + 2

97
( t / m)
x = 1+
6
2

⇔ 3x − x − 8 = 0 ⇔

1 − 97

( loai )
x =
6

1 + 97

;3; 4 .
 6



Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm x = 

Câu 15. Giải phương trình: log 2 ( x − 5) + log 2 ( x + 2) = 3
Điều kiện x > 5 . Phương trình đã cho tương đương với
log 2 ( x − 5)( x + 2) = 3 ⇔ ( x − 5)( x + 2) = 8

 x = 6(t / m)
⇔ x 2 − 3x − 18 = 0 ⇔ 
 x = −3(l )
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 6.

Câu 16. Giải phương trình:
Điều kiện: x < −3 ∨ x > 7

1
log
2

2

(x

2

+ 2 x − 3) + log 2

Phương trình ⇔ log 2 (x 2 + 2x − 3) − log 2

Nguyễn Văn Lực

x+3
=0
x−3

x −7
=0
x +3

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
(x 2 + 2x − 3).(x + 3)
=0
x−7
(x 2 + 2x − 3).(x + 3)
⇔

=1
x−7
⇔ (x + 1)(x 2 + 4x − 2) = 0
⇔ x 3 + 5x 2 + 2x − 2 = 0
 x = −1
 x = −1
⇔ 2
⇔ 
 x + 4x − 2 = 0
 x = −2 − 6 ∨ x = −2 + 6
So với điều kiện, phương trình có nghiệm x = −2 − 6 .
⇔ log 2

Câu 17. Giải phương trình 2 log 8 ( 2 x ) + log8 ( x 2 − 2 x + 1) =
Điều kiện x > 0, x ≠ 1 .
Với điều kiện đó, PT đã cho tương đương với :
log8 ( 2 x )

2

( x − 1)

2

=

 2 x ( x − 1) = 4
2
4
⇔x=2

⇔  2 x ( x − 1)  = 16 ⇔ 
3
 2 x ( x − 1) = −4

Câu 18. ( 2 − log 3 x ) log 9 x 3 −

4
=1
1 − log 3 x

Giải phương trình ( 2 − log 3 x ) log 9 x 3 −

ĐKXĐ:

4
3

4
= 1 (1)
1 − log 3 x


x > 0

 x ≠ 3 (*)

1
x ≠
9


1

4

Với ĐK (*), ta có : (1) ⇔ ( 2 − log 3 x ) log 9 x − 1 − log x = 1
3
3

⇔

2 − log 3 x
4
−
=1
2 + log 3 x 1 − log 3 x

(2)

t ≠ 1
(**) ). Khi đó phương trình (2) trở thành:
t ≠ − 2

Đặt: t = log3 x ( ĐK: 

t ≠ 1
1

t = −1  x =
2−t

4

=
⇔ t ≠ −2
⇔
⇒
3

t
=
4
2 + t 1− t

t 2 − 3t − 4 = 0
 x = 81

1
3
log 2 ( x − 1) + 3log 1 ( 3x − 2 ) + 2 = 0

So sánh điều kiện được 2 nghiệm x = ; x = 81
Câu 19. Giải phương trình:
Nguyễn Văn Lực

8

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309

www.TOANTUYENSINH.com
Điều kiện: x > 1
Khi đó phương trình đã cho tương đương với phương trình
log 2 ( x − 1) − log 2 ( 3 x − 2 ) + 2 = 0 ⇔ log 2 ( 4 x − 4 ) = log 2 ( 3 x − 2 )
⇔ 4 x − 4 = 3x − 2 ⇔ x = 2

Kết hợp với điều kiện phương trình có nghiệm x = 2 .
2
Câu 20. Giải phương trình: log3 ( x − x ) + log 1 ( x + 4 ) = 1 .
3

x > 1

Điều kiện:  −4 < x < 0


(

)

(

)
(
3 ( x + 4 )  ⇔ x



)

(

)

log 3 x 2 − x − log 3 x + 4 = 1 ⇔ log 3 x 2 − x = log 3 x + 4 + log 3 3

(

)

⇔ log 3 x − x = log 3
2

2

(

−x = 3 x +4

)

x = − 2
⇔ x 2 − 4x − 12 = 0 ⇔ 
(thoả mãn)
x = 6

Vậy phương trình có hai nghiệm x = −2; x = 6 .
2
Câu 21. Giải phương trình: log 3 ( x + 3x) + log 13 (2 x + 2) = 0 ; ( x ∈ ¡ )

Đk: x>0 (*)
Với Đk(*) ta có: (1) ⇔ log 3 ( x 2 + 3x) = log 3 (2 x + 2)
 x = 1(t / m)
⇔ x2 + x − 2 = 0 ⇔ 
. Vậy nghiệm của PT là x = 1
 x = −2(loai )

Câu 22. Giải phương trình: log 22 x + 4 log 4 4 x = 7 .
Đk: x>0,

log 22 x + 4 log 4 4x − 7 = 0 ⇔ log 22 x + 2 log 2 x − 3 = 0

x = 2
log 2 x = 1
1

1 . Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của PT là x = 2 và x = .
log x = −3 ⇔ 
x=
8
 2
8


Câu 23. Giải phương trình: log 32 x + log 32 x + 1 − 5 = 0
Điều kiện: x > 0.

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
Đặt t = log 32 x + 1, t ≥ 1.
t = 2
)
t = −3 ( loai
&
 x=3 3
 log 3 x = 3
2
2
⇔
log 3 x + 1 = 2 ⇔ log 3 x = 3 ⇔ 
(tmđk).
 x = 3− 3
log 3 x = − 3

2
Phương trình trở thành t + t – 6 = 0 ⇔ 

Với t = 2 thì

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 3 và x = 3−
Câu 24. Giải phương trình: ( 2 − log 3 x ) log 9 x 3 −
Điều kiện x > 0, x ≠ 3, x ≠ 1 / 9
Phương trình ⇔ ( 2 − log 3 x )

3

4
=1
1 − log 3 x

1
4
2 − log 3 x
4
−
=1 ⇔
−
=1
log3 9 x 1 − log 3 x
2 + log 3 x 1 − log 3 x

Câu 25. Giải phương trình log 2 ( x - 1) - 2 log 4 ( 3x - 2) + 2 = 0
ìï x - 1 > 0
Û
Điều kiện: ïíï
ïî 3x - 2 > 0

ìï x > 1
ïï
Û x> 1
í
ïï x > 2
ïî

3

(1)

(*)

Khi đó: ( 1) Û log 2 ( x - 1) - log 2 ( 3 x - 2) = - 2
Û log 2

x- 1
=- 2
3x - 2

Û

x- 1
1
=
3x - 2 4

Û 4 x - 4 = 3x - 2 Û x = 2

[thỏa (*)]

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2
Câu 26. Giải phương trình log 2 x + log 3 x + log 6 x = log 36 x

(1)

Điều kiện: x > 0

Áp dụng công thức log a c = log a b ×log b c , ( 0 < a, b, c; a ≠ 1; b ≠ 1) , ta có
( 1) ⇔ log 2 x + log 3 2 ×log 2 x + log 6 2 ×log 2 x = log36 2 ×log 2 x
⇔ log 2 x ( log 3 2 + log 6 2 + 1 − log 36 2 ) = 0 ( *)

Do log 3 2 + log 6 2 + 1 − log 36 2 > 0 nên ( *) ⇔ log 2 x = 0 ⇔ x = 1
Vậy nghiệm của phương trình là x = 1
2
Câu 27. Giải phương trình: log3 (x − 1) + log 3 (2x − 1) = 2

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

(1)
 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
ìï x - 1 ¹ 0
Û
Điều kiện: ïíï
2
x
1
>
0
ïî

ìï x ¹ 1
ïï

í
ïï x > 1
ïî
2

(*)

( 1) Û 2 log 3 x - 1 + 2 log 3 ( 2 x - 1) = 2

Khi đó:

Û log 3 x - 1 + log 3 ( 2 x - 1) = 1
ù
Û log 3 é
ëx - 1 ( 2 x - 1) û= 1
Û x - 1 ( 2 x - 1) = 3
·

Với

(2)

1
< x < 1 thì ( 2) Û ( 1- x) ( 2 x - 1) = 3 Û 2 x 2 + 3x + 4 = 0 : phương trình vô
2

nghiệm
é
1
êx = · Với x > 1 thì ( 2) Û ( x - 1) ( 2 x - 1) = 3 Û 2 x - 3 x - 2 = 0 Û ê

2
ê
ê
ëx = 2
2

( loaïi)

[thỏa (*)]
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2
Câu 28. Giải phương trình

log 22 x + 3log 2 ( 2 x ) - 1 = 0

(1)

Điều kiện: x > 0

( 1) Û log 22 x + 3log 2 x + 2 = 0

Khi đó:

Đặt t = log 2 x , phương trình (1) trở thành t 2 + 3t + 2 = 0

(3)

ét = - 1
ët = - 2

( 3) Û ê

ê
·

Với t = - 1 thì log 2 x = - 1 Û x =

1
2

[thỏa (*)]

·

Với t = - 2 thì log 2 x = - 2 Û x =

1
4

[thỏa (*)]

1
4

Vậy nghiệm của phương trình là x = ; x =
Câu 29. Giải phương trình
Nguyễn Văn Lực

1
2

1

2
+
=1
5 - log x 1 + log x
Ninh Kiều – Cần Thơ

(1)
 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
ỡù x > 0
ùù
iu kin: ớù log x ạ 5
ùù log x ạ - 1
ùợ

(*)

1
2
+
=1
5 - t 1+ t
ột = 2
( 3) 1 + t + 2 ( 5 - t ) = ( 5 - t ) ( 1 + t ) t 2 - 5t + 6 = 0 ờ
ờ
ởt = 3
ã Vi t = 2 thỡ log x = 2 x = 100
[tha (*)]

ã Vi t = 3 thỡ log x = 3 x = 1000
[tha (*)]

t t = log x ( t ạ 5, t ạ - 1) , phng trỡnh (1) tr thnh

(3)

Vy nghim ca phng trỡnh l x = 100; x = 1000
Cõu 30. Gii phng trỡnh

ổ
5.2 x - 8 ử
ữ
ỗ
log 2 ỗ x
ữ
ữ= 3 - x
ỗ
ố2 + 2 ứ

(1)

iu kin 5.2 x - 8 > 0 (*)
5.2 x - 8
= 23- x
x
2 +2

Ta cú: ( 1)

2 x ( 5.2 x - 8) = 8 ( 2 x + 2)

(2)

5.22 x - 16.2 x - 16 = 0

t t = 2 x vi t > 0 , phng trỡnh (2) tr thnh 5t 2 - 16t - 16 = 0

(3)

ột = 4
ờ
( 3) ờ
4
ờt = ờ
5
ở

ã

Vi t = 4 thỡ 2 x = 4 x = 2

[tha (*)]

Vy nghim ca phng trỡnh l x = 2
Cõu 31. Gii phng trỡnh sau

log 2 x + log 4 x + log 8 x = 11

log 2 x + log 4 x + log8 x = 11 (1)

iu kin: x > 0.
(1) log 2 x + log 22 x + log 23 x = 11

Nguyn Vn Lc

Ninh Kiu Cn Th

0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
1
1
⇔ log 2 x + log 2 x + log 2 x = 11
2
3
11
⇔ log 2 x = 11
6
⇔ log 2 x = 6 ⇔ x = 26 = 64 ( nhan)

Vậy phương trình có nghiệm x = 64.
log5 x + log 25 x = log 0,2

Câu 32. Giải phương trình sau
1

log 5 x + log 25 x = log 0,2

3

1
3

(1)

Điều kiện: x > 0.

⇔

3
log 5 x = log 5
2

⇔ log 5 x = log5

( 3)

1
⇔ log 5 x + log 5 x = log 5 3
2
2
3 ⇔ log5 x = log 5 3
3

(1) ⇔ log 5 x + log 52 x = log 5−1

( 3)

2
3

−1

⇔ log 5 x = log 5 3 3

⇔x= 33

Vậy phương trình có nghiệm x = 3 3 .
Câu 33. Giải phương trình sau

log 22 x − log 2 x − 6 = 0

log 22 x − log 2 x − 6 = 0 (3)

Điều kiện: x > 0.
t = 3
t = 2

2
Đặt t = log 2 x . PT (3) trở thành t − t − 6 = 0 ⇔ 

t = 3 ⇔ log 2 x = 3 ⇔ x = 23 = 8 (thỏa mãn)
t = 2 ⇔ log 2 x = 2 ⇔ x = 22 = 4 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = 4 và x = 8.
2
Câu 34. Giải phương trình sau 4 log 2 x + log

4 log 22 x + log

2

2

x=2

x = 2 (1)

Điều kiện x > 0.

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
(1) ⇔ 4 log 22 x + log

1
22

x = 2 ⇔ 4 log 22 x + 2 log 2 x − 2 = 0 (1’)

t = −1
Đặt t = log 2 x . PT (1’) trở thành 4t + 2t − 2 = 0 ⇔  1
t =

 2
1
t = −1 ⇔ log 2 x = −1 ⇔ x = 2−1 = (t / m )
2
1
1
1
2
t = ⇔ log 2 x = ⇔ x = 2 = 2 (t / m)
2
2
1
Vậy phương trình có nghiệm x = và x = 2
2
2

Câu 35. Giải phương trình sau

3log 32 x = 10 log 3 x − 3

3log 32 x = 10 log 3 x − 3 (5)

Điều kiện x > 0
t = 3
Đặt t = log 3 x ta được 3t = 10t − 3 ⇔ 3t − 10t + 3 = 0 ⇔  1
t=
 3
2

2

t = 3 ⇔ log 3 x = 3 ⇔ x = 33 = 27 (nhận)
1
1
1
t = ⇔ log 3 x = ⇔ x = 33 = 3 3
3
3

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 27 và x = 3 3 .
Câu 36. Giải phương trình sau ln( x 2 − 6 x + 7) = ln( x − 3)
ln( x 2 − 6 x + 7) = ln( x − 3) (1)
 x2 − 6x + 7 > 0
Điều kiện 
x − 3 > 0

 x = 2 (loai )
(1) ⇔ x 2 − 6 x + 7 = x − 3 ⇔ x 2 − 7 x + 10 = 0 ⇔ 
 x = 5 (nhan)

Vậy phương trình có nghiệm x = 5.
Câu 37. Giải phương trình:

log 4 ( x + 1) + 2 = log
2

Nguyễn Văn Lực

4 − x + log 8 ( 4 + x ) (1)
3

2

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
1
2
⇔ 2log 3 x − 1 + 2log 3 ( 2 x − 1) = 2 ⇔ log 3 x − 1 + log 3 ( 2 x − 1) = 1

Điều kiện: < x ≠ 1

 1
 2 < x < 1
 2
⇔ log 3 x − 1 ( 2 x − 1) = log 3 3 ⇔ x − 1 ( 2 x − 1) = 3 ⇔  2 x − 3 x + 4 = 0(vn) ⇔ x = 2

 x > 1
 2 x 2 − 3 x − 2 = 0


Câu 38. Giải phương trình:
log 4 ( x + 1) + 2 = log

4 − x + log 8 ( 4 + x ) (1)

2

3

2

x +1 ≠ 0
−4 < x < 4

Điều kiện: 4 − x > 0 ⇔ 
 x ≠ −1
4 + x > 0


(1) ⇔ log 2 x + 1 + 2 = log 2 ( 4 − x ) + log 2 ( 4 + x ) ⇔ log 2 x + 1 + 2 = log 2 ( 16 − x 2 )
⇔ log 2 4 x + 1 = log 2 ( 16 − x 2 ) ⇔ 4 x + 1 = 16 − x 2

+ Với −1 < x < 4 ta có phương trình x 2 + 4 x − 12 = 0 (2) ;
x = 2
(2) ⇔ 
 x = −6 ( lo¹i )
+ Với −4 < x < −1 ta có phương trình x 2 − 4 x − 20 = 0 (3);
 x = 2 − 24

( 3) ⇔ 

 x = 2 + 24 ( lo¹i )

(

)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 2 hoặc x = 2 1 − 6 .

log x x 2 − 14 log16 x x 3 + 40.log 4 x x = 0

Câu 39. Giải phương trình:

2

log x x − 14log16 x x + 40.log 4 x x = 0 (1)
2

3

2

Đk: x > 0, x ≠ 1 / 4, x ≠ 1 /16, x ≠ 2 (*)
Khi đó, phương trình tương đương với 2.log 2x x − 42.log16 x x + 20.log 4 x x = 0 (2)
Nhận thấy x =1 luôn là nghiệm của PT.
Với 0 < x ≠ 1, PT (2) ⇔

Nguyễn Văn Lực

2
log x

x
2

−

42
20
+
=0
log x 16 x log x 4 x

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309