GA 12NC: Chương II_Bài 5: Hàm số mũ và hàm số lôgarit (3 tiết)

GIẢI TÍCH 12_ n©ng cao GV: §oµn thÞ kim oanh
CHƯƠNG II: HÀM SỐ LUỸ THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
§5 HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT (3 tiết)
TIẾT 34: HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT (tiết 1)
I. MỤC TIÊU:
1. Về kiến thức
- Hiểu và ghi nhớ được khái niệm và các tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit
- Hiểu và ghi nhớ các công thức tính đạo hàm của hai hàm số nói trên.
2. Về kỹ năng
- Biết vận dụng các công thức để tính đạo hàm của hàm số mũ, hàm số lôgarit
3. Về tư duy và thái độ
- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới. Có tinh thần hợp tác trong học tập.
- Rèn luyện tư duy sáng tạo, khả năng làm việc theo nhóm
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH:
1. Chuẩn bị của GV:
Ngoài giáo án, phấn bảng… còn có:
- Bảng phụ.
2. Chuẩn bị của HS:
Ngoài đồ dùng học tập như SGK, bút… còn có:
- Kiến thức cũ về đạo hàm và khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
III. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC.
Vận dụng linh hoạt các PPDH nhằm giúp HS chủ động, tích cực trong phát hiện, chiếm lĩnh
tri thức, như: thuyết trình, giảng giải, gợi mở vấn đáp, nêu vấn đề.
Phương pháp chính được sử dụng là đàm thoại, gợi và giải quyết vấn đề.
IV. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:
1. Ổn định lớp.
2. Kiểm tra bài cũ.
3. Bài mới.
Trong bài này ta luôn giả thiết
α
là một số dương khác 1 và J là một khoảng hay hợp của

nhiều khoảng nào đó.
HĐ 1: Khái niệm hàm số mũ và hàm số lôgarit
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
Cho hs tính:
x -2 0 1 2
5
2
x
… … … … …
x -8 0 1 4
3
7
log
2
x … … … … …
Hãy nhận xét sự tương ứng giữa
mỗi giá trị của x và giá trị 2
x
(log
2
x)?
Từ đó dẫn dắt đến định nghĩa hàm
số mũ, hàm số lôgarit.
Hs thực hiện yêu cầu.
sự tương ứng là 1:1
HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
Ta luôn giả thiết 0 <a
≠
1
1. Khái niệm hàm số mũ và

lôgarit.
1
GIẢI TÍCH 12_ n©ng cao GV: §oµn thÞ kim oanh
Tìm tập xác định hàm số y = a
x
?
Tương tự tìm txđ của hs y = log
2
x?
Gv nêu chú ý: Khi không cần nhấn
mạnh đến cơ số thì ta goi tắt là hàm
số mũ (hàm số lôgarit).
D = R
D= R
*
+
ĐỊNH NGHĨA: Cho 0 < a
≠
1
Hàm số y = a
x
là hàm số mũ
cơ số a.
Hàm số y = log
a
x là hàm số
lôgarit cơ số a.
- Hàm số logarit cơ số 10
y = logx
- Hàm số lôgarit cơ số e:

y = lnx
- y =e
x
= exp(x)
HĐ 2: Giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit
HĐTP1: Giới thiệu tính liên tục của
hàm số mũ và lôgarit.
Ta thừa nhận hàm số mũ, hàm số
lôgarit liên tục trên tập xác định của
nó. Tức là có
0
lim
x x→
a
x
= … (x ∈R)
0
lim
x x→
log
a
x = … (x
0
∈R
*
+
)
Điền vào … trên?
0
lim

x x→
a
x
= a
x
0
0
lim
x x→
log
a
x = log
a
x
0
2. Một số giới hạn liên quan
đếm hàm số mũ và hàm số
lôgarit.
a) Hàm số mũ, hàm số lôgarit
liên tục trên tập xác định của
nó. Tức là có
∀
x
0

R∈
:
0
lim
x x→

a
x
=
0
x
a
∀
x
0
*
R
∈
:
0
lim
x x→
log
a
x =
log
a
x
0
HĐTP2: Tái hiện kiến thức về hàm
số liên tục.
H1 Tìm các giới hạn sau:
a)
1
lim
x

x
e
→+∞
b)
2
8
lim log
x
x
→

c)
0
sinx
lim log
x
x
→
a)
lim
x→+∞
x
e
1
= 0
b)
8
lim
x→
log

2
x = log
2
8 = 3
c)
x
xsin
→1 khi x→0

0
lim
x→
log
x
xsin
= 0
HĐTP3: Hình thành định lý 1.
Đã biết
lim
t→+∞
(1+
1
t
)
t
= e
lim
t→−∞
(1+
1

t
)
x
= e , tính
0
lim
x→
x
x
1
)1(
+
?
Cho hs thảo luận để tìm ghạn trên.
? Hãy tính giới hạn của ln
x
x
1
)1(
+

từ đó suy ra giới hạn của
x
x)1ln(
+
Đặt
1
x
t
=

, được
0
lim
x→
x
x
1
)1(
+
= e
0
lim
x→
x
x)1ln(
+
=
0
lim
x→
ln
x
x
1
)1(
+
= lne = 1
b) Ta có:
0
lim

x→
x
x
1
)1(
+
= e (1)
ĐỊNH LÝ 1:
2
GIẢI TÍCH 12_ n©ng cao GV: §oµn thÞ kim oanh
→ Giáo viên nêu định lí 1
Hướng dẫn chứng minh (3)
Đặt t = e
x
-1
Hs chứng minh
0
lim
x→
x
x)1ln(
+
= 1 (2)
0
lim
x→
x
e
x
1

−
= 1 (3)
HĐ 3: Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit
Ta sẽ chứng tỏ được rằng hàm số
mũ và hàm số lôgarit có đạo hàm tại
mọi điểm thuộc tập xác định của nó.
HĐTP1: Hình thành định lý 2.
Hãy nêu cách tính đạo hàm của một
hàm số, áp dụng tính đạo hàm của
hs y = e
x
. Cho hs thảo luận nhóm,
sau đó các nhóm cử đại diện trình
bày.
Dựa vào đạo hàm hàm số y = e
x
Hãy
tính đạo hàm của hs y =a
x

GV trình bày nội dung định lý 2.
Cho x số gia
x
∆
y
∆
= e
x+
x
∆

-e
x
= e
x
(e
x
∆
-1)
.
x
y
∆
∆
=
x
e
e
x
x
∆
−
∆
1
.
0
lim
x∆ →
x
e
e

x
x
∆
−
∆
1

=
e
x
0
lim
x∆ →
x
e
x
∆
−
∆
1
=
e
x

→ (e
x
)
’
= e
x

(a
x
)
’
= (
ln
x
a
e
)
’
= (e
xlna
)’ =
lna.a
x

3. Đạo hàm của hàm số mũ
và hàm số lôgarit.
a) Đạo hàm của hàm số mũ.
ĐỊNH LÝ 2:
( )
' ln
x x
a a a=
; (e
x
)' = e
x
( )

( ) ( )
' '( ) ln
u x u x
a u x a a=
;
(e
u(x)
)' = u'(x)e
u(x)
HĐTP2: Củng cố định lý 2.
Yêu cầu HS thực hiện ví dụ 1 và
hoạt động 2.
H2 Tìm đạo hàm của các hàm số
sau:
a) (x+1)e
2x
b)
xe
x
sin
HS làm theo sự hướng
dẫn của giáo viên.
a) [(x+1)e
2x
]
’
= (x+1)
’
e
2x

+ (x+1)(e
2x
)
’
= e
2x
+
2(x+1)(e
2x
) = (2x+3)(e
2x
)
b) [
xe
x
sin
]
’
=
xexe
x
xx
cossin
2
1
+
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của
hàm số: y = (2x
2

+ 1)e
x
Giải:
y' = (4x+1)e
x
+ e
x
(2x
2
+ 1)
= 2(x+1)
2
e
x
3
GIẢI TÍCH 12_ n©ng cao GV: §oµn thÞ kim oanh
HĐTP 3: Tiếp cận định lí 3
Tính (lnx)
’
?
Cho hs thảo luận nhóm, sau đó các
nhóm cử đại diện trình bày
Hd
x
y
∆
∆
= … =
x
x

x
x
x
∆
∆
+
)1ln(
1
→kq?
? Hãy đổi log
a
x sang cơ số e:

? Tính (log
a
x)
’

? Từ kq trên tính (lnu(x))
’
,
(log
a
u(x))
’
?
Tổng kết lại thành định lý 3.
Cho x số gia
x
∆

.
y
∆
= ln(x+
x
∆
) – lnx
x
y
∆
∆
= …=
x
x
x
x
x
∆
∆
+
)1ln(
1
0
lim
x∆ →
x
y
∆
∆
=

0
lim
x∆ →
x
x
x
x
x
∆
∆
+
)1ln(
1
=
1
x
log
a
x =
a
x
ln
ln
(log
a
x)' =
ln 1
'
ln ln
x

a x a
 
=
 ÷
 
(lnu(x))
’
=
)(
))((
'
xu
xu
( )
'( )
log ( ) '
( )ln
a
u x
u x
u x a
=
b) Đạo hàm của hàm số
lôgarit.
ĐỊNH LÝ 3:
a) Với mọi x > 0.
( )
1
log '
ln

a
x
x a
=
;
( )
1
ln 'x
x
=
a) Nếu hàm số u = u(x) > 0
∀ x ∈ J ⇒
( )
'( )
log ( ) '
( )ln
a
u x
u x
u x a
=

( )
'( )
ln ( ) '
( )
u x
u x
u x
=

HĐTP 4: Củng cố định lý 3.Cho HS
làm hoạt động 3 ( trang 105)
H3 Chứng minh rằng: [ln(-x)]
’
=
x
1
Đặt –x = u(x) được
(lnu(x))
’
=
)(
))((
'
xu
xu
=
x
x
−
−
'
)(
=
x
1
→ [ln(-x)]
’
=
x

1
Từ định lý 3 và bài toán trong hoạt
động 3 ta có hệ quả sau:
HỆ QUẢ:
a)
( )
1
ln 'x
x
=
với ∀ x
≠
0
b)
( )
'( )
ln ( ) '
( )
u x
u x
u x
=
(u(x)
≠
0 và có đạo hàm trên J)
4. Củng cố
- Định nghĩa hàm số mũ và lôgarit.
- Một số công thức giới hạn
- Các công thức tính đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit.
5. Hướng dẫn công việc ở nhà.

- Học lý thuyết.
4
GIẢI TÍCH 12_ n©ng cao GV: §oµn thÞ kim oanh
- Đọc trước phần còn lại của bài.
TIẾT 35: HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT (tiếp)
I. MỤC TIÊU:
Qua bài học HS cần:
1. Về kiến thức:
- Biết cách khảo sát sự biến thiên của hàm số mũ và hàm số lôgarit.
- Nắm được cách vẽ đồ thị của hàm số mũ và hàm số lôgarit.
2. Về kỹ năng
- Rèn luyện kỹ năng lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số mũ và hàm số lôgarit.
3. Về tư duy và thái độ:
- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới. Có tinh thần hợp tác trong học tập.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH:
1. Chuẩn bị của GV:
Ngoài giáo án, phấn bảng còn có: Bảng phụ.
2. Chuẩn bị của HS:
Ngoài đồ dùng học tập như SGK, bút… còn có:
- Kiến thức cũ về hàm số mũ và hàm số lôgarit, phương pháp khảo sát sự biến thiên và vẽ
đồ thị của hàm số.
III. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC.
Phương pháp chính được sử dụng là đàm thoại, gợi và giải quyết vấn đề.
IV. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:
1. Ổn định lớp.
2. Kiểm tra bài cũ.
3. Bài mới.
HĐ4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hs mũ lôgarit
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
HĐTP 1:Sự biến thiên và vẽ

đồ thị của hsy = a
x

- Nêu các bước khảo sát sự
biến thiên của một hàm số ?
- Tính y'.
- Nhận xét dấu của a
x

- Căn cứ vào đâu dể biết dấu
của y
’

Khi nào lna >0, lna <0?
→ xét sự biến thiên của hs
dựa vào hai trường hợp của hệ
số a
TH a > 1
- Dựa vào bbt cho biết TGT
của hàm số y = a
x
HS đứng tại chỗ trả lời.
y
’
= a
x
lna
Nhận xét a
x
>0,

Rx
∈∀

Căn cứ vào dấu của
lna
lna > 0 ⇔ a > 1
lna < 0 ⇔ 0 < a < 1
T = [0 ; +
∞
)
Quan sát và nhận xét
4. Sự biến thiên và đồ thị của hàm
số mũ và hàm số lôgarit
a) Hàm số mũ y = a
x

* TH1: a > 1
⇒ y' > 0 ∀ x ⇒ hàm số đồng biến
trên R.
Ta có
lim
x
x
a
→+∞
= + ∞
lim
x
x
a

→−∞
=0 ⇒ đồ thị hàm số có tiệm
cận ngang khi x → -∞ là y = 0
Ta có bảng biến thiên:
x
-∞ 0 +∞
y = a
x
+∞
1
0
5